TD 3 (Ex & Sol)

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

1/15

Prof . FELLAH Mohammed-Kari m

2007 / 2008 Asser vi ssement Rgulat i on

Enoncs TD n3 : Rduct i on des bl ocs f onct i onnel s TD3 - 1

Universit Djillali Liabs de Sidi Bel-AbbsFacult des Sciences de l'IngnieurDpartement d'Electrotechnique

Enoncs TD n 3Rduct io n des bl ocs f onct i onnel s

ETL 405 - ETL 412ETL 423 - ETL 433

Exercice n1

Dterminez les fonctions de transfert par simplifications successives des blocs fonctionnels, puis en utilisant largle de Mason.

a)

b)

c)

d)

e)

S(p)E(p)2G

1G

+

+

+

+

4G

3G

S(p)E(p)2G

1G

+

+

+

+

2H

1H

S(p)E(p)

1G 2G 3G

2H

1H

4G

+

+

++

S(p)1G 2G 3G

2H

1H

E(p)

+

+

++

+

3H

S(p)

1G 2G 3G

1H

3H

4G

E(p)

+

+

++

+

2H

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

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2007 / 2008 Asser vi ssement Rgulat i on

Enoncs TD n3 : Rduct i on des bl ocs f onct i onnel s TD3 - 2

Exercice n2

Soit le systme suivant 2 entres. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p) :

S(p)

1G 3G 4G

6G

7G

2G

E(p)

+ +

+

+

+

5G

++

W(p)

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

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2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on

Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 3

Universit Djillali Liabs de Sidi Bel-AbbsFacult des Sciences de l'IngnieurDpartement d'Electrotechnique

Sol ut i ons TD n3Rduct io n des bl ocs f onct i onnel s

ETL 405 - ETL 412ETL 423 - ETL 433

Exercice n1

Simplification de schmas fonctionnels, et calcul des fonctions de transfert correspondantes :

1.a)

1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :

2memthode : Par application de la rgle de Mason :

Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de

chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plus

dune fois.1 1

2 2

M G

M G

=

=

Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plus

dune fois.1 3 2 3

1 4 2 4

1 3

2 4

Boucle G G Boucle G G

Boucle G G Boucle G G

= =

= =

Trouver les j :

j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.

Si nous liminons le chemin 1 1M G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :

1 1 = .


2 1 = . Trouver (fonction caractristique) :

S(p)E(p)

2G

1G

+

+

+

+

4G

3G

SE1 2G G+

3 4G G

+

SE

( )( )

1 2

1 2 3 41

G G

G G G G

+

+ +

S(p)E(p)

1G

2G

3G

4G

1

1

1

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( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles

produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas

produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas

=

+

+

( )1 3 1 4 2 3 2 41 () () ()....G G G G G G G G = + + + +

( )( )1 3 1 4 2 3 2 4 1 2 3 41 1G G G G G G G G G G G G = + + = + +

La solution est alors :

( )( )1 2

1 2 3 4

( )

( ) 1

j j

j

M

S p G G

E p G G G G

+

= = + +

1.b)


S(p)E(p)2G

1G

+

+

+

+

2H

1H

SE2G

1G

+

+

+

+

2H

1H

SE2G

1G

+

+

+

1 2H H

E11 G+ ( )

2

2 1 21

G

G H H+ S E ( )

( )2 1

2 1 2

1

1

G G

G H H

+

+

S

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dune fois.1 1 2

2 2

M G G

M G

=

=

Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plus

dune fois.2 1

2 2

1

2

Boucle G H

Boucle G H

=

=

Trouver les j :


Si nous liminons le chemin 1 1 2M G G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :

1 1 = .


2 1 = . Trouver (fonction caractristique) :

( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles



=

+

+

( )2 1 2 21()

()

()....

G H G H = ++

+

( )2 1 2 2 2 1 21 1G H G H G H H = + = +


( )

( )

( )

2 11 2 2

2 1 2 2 1 2

1( )

( ) 1 1

j j

j

MG GS p G G G

E p G H H G H H

++

= = =

+ +

S(p)E(p)

1G

2G

1H

2H

1

1

1 1 1

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1.c)


S(p)E(p)1G 2G 3G

2H

1H

4G

+

+

++

SE1 2 3G G G

21

HG

1H

43

GG

+

+

++

SE1 2 3G G G

21

1

HH G+

43

1 G

G+

+

SE

1 2 3

21 2 3 1

11

G G G

HG G G H

G

+ +

43

1 GG

+

SE ( )1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 21

G G G G

G G G H G G H

+

+ +

E1G 2G 3G

2

1

H

G

1H

+

+

++

43

GG

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

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dune fois.1 1 2 3

2 1 2 4

M G G G

M G G G

=

=

Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.

1 2 3 1

2 3 2

1

2

Boucle G G G H

Boucle G G H

=

=

Trouver les j :


Si nous liminons le chemin 1 1 2 3M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.

Alors : 1 1 = .


Alors : 2 1 = .

Trouver (fonction caractristique) :

( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles



=

+

+

( )1 2 3 1 2 3 21

()()

()....

G G G H G G H =

+

+

1 2 3 1 2 3 21 G G G H G G H = + +


1 2 3 1 2 4

1 2 3 1 2 3 2

( )

( ) 1

j j

j

MS p G G G G G G

E p G G G H G G H

+

= = + +

( )1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 2

( )( ) 1

G G G G S p

E p G G G H G G H +=

+ +

S(p)E(p)1G 2G 3G

2H

1H

4G

1 1 1

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1.d)


S(p)1G 2G 3G

2H

1H

E(p)

+

+

++

+

3H

S

1G

2G

3G

2H

12

HG

E

+

+

++

+

3H

S1G

2

2 21

G

G H+ 3G

1

21

H

G+ E

+

+

3H

S1G

( )

( ) ( )3 2 1

2 2 2 1 3 31

G G H

G H G H G H

+

+ + +

E

+

S( )( ) ( )

1 3 2 1

2 2 2 1 3 31

G G G H

G H G H G H

+

+ + +

E

+

S( )1 3 2 1

2 2 2 3 3 3 1 3 1 2 3 1 3 11

G G G H

G H G G H G H H G G G G G H

+

+ + + + +

E

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chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plusdune fois.

1 1 2 3

2 1 1 3

M G G G

M G H G

=

=


2 2 1 2 3 1 3 3

2 3 3 1 1 3

1 3 5

2 4

Boucle G H Boucle G G G Boucle H G H

Boucle G G H Boucle G H G

= = =

= =

Trouver les j :


Si nous liminons le chemin 1 1 2 3M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.Alors : 1 1 = .

Si nous liminons le chemin 2 1 1 3M G H G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.

Alors : 2 1 = .


( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles



=

+

+

( )2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 3 1 3 31 () () ()....G H G G H G G G G H G H G H = + +

2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 3 1 3 31 G H G G H G G G G H G H G H = + + + + +

La solution est alors :( )

( )

j j

j

MS p

E p

=

( )1 3 2 1

2 2 2 3 3 3 1 3 1 2 3 1 3 1

( )

( ) 1

G G G H S p

E p G H G G H G H H G G G G G H

+=

+ + + + +

S(p)E(p)1G 2G 3G

3H

2H

1 1

1H

1 1

1

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

10/15



Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 10

1.e)


Difficile simplifier cause des inversions "nud-comparateur".



chaines directes du systme) :

Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plusdune fois.

1 1 2 3

2 4

M G G G

M G

=

=


1 2 1 1 2 3 3 4 2 2 1

2 3 2 4 3

1 3 5

2 4

Boucle G G H Boucle G G G H Boucle G H G H

Boucle G G H Boucle G H

= = =

= =

Trouver les j :



Alors : 1 1 = .


2 1 = .


S(p)

1G 2G 3G

1H

3H

4G

E(p)

+

+

++

+

2H

S(p)E(p)1G 2G 3G

2H1H

4G

1 1

3H

1

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

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( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles



=

+

+

( )1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 11

()

()

()....

G G H G G H G G G H G H G H G H = +

+

+

1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 11 G G H G G H G G G H G H G H G H = + + + +


( )

( )

j j

j

MS p

E p

=

1 2 3 4

1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 1

( )

( ) 1

S p G G G G

E p G G H G G H G G G H G H G H G H

+=

+ + + +

Exercice n2

Soit le systme suivant 2 entres. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p).

Il s'agit en fait de trouver 2 fonctions de transfert : la premire, ( )SEG p , entre l'entre E et la sortie S. La

seconde, ( )SWG p , entre l'entre W et la sortie S. Puisque le systme est suppos linaire, lorsque nous

calculons ( )SEG p , nous pouvons considrer que l'entre W = 0. De mme, lorsque nous calculons ( )SWG p ,nous pouvons considrer que l'entre E = 0. Une fois les 2 fonctions de transfert calcules, la sortie S(p) dueaux 2 entres E(p) et W(p) est donne par :

S(p) = ( )SEG p . E(p) + ( )SWG p . W(p)

Bien que ( )SEG p et ( )SWG p peuvent tre obtenues par manipulation des blocs fonctionnels, cesmanipulations ne sont pas simples. De plus, les manipulations utilises pour le calcul de ( )SEG p ne sont,

gnralement, pas utilises pour calculer ( )SWG p . Il est donc requis 2 sries spares de manipulations.

S(p)

1G 3G 4G

6G

7G

2G

E(p)

+ +

+

+

+

5G

++

W(p)

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Difficile simplifier cause des inversions "nud-comparateur".


Dterminons (fonction caractristique). Cette fonction est indpendante des entres et des sorties

considres :

( )

( )

( )

1

.....

gains de boucles



=

+

+

Pour cela :

Nous commenons par calculer les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.

1 6 3 4 7 2 4

4 5 1 3 4

1 3 5

2 4

Boucle G G Boucle G G G Boucle G G

Boucle G G Boucle G G G

= = =

= =

Les boucles 2 5 sont des boucles qui se touchent car elles passent toutes par G4.

Les boucles 1 et 2 ne se touchent pas. Les boucles 1 et 5 non plus.

Nous pouvons alors dfinir la fonction caractristique :

( )

( )( ) ( )( )

1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4

1 6 4 5 1 6 2 4

1

()

()....

G G G G G G G G G G G G

G G G G G G G G

= + +

+ +

+

1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 61 G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G = + + + +

S(p)E(p)1G 3G 4G

7G

6G

2G

1

1

1 11

1 5G

W(p)

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

13/15




Calculons maintenant les chaines directes et leurs gains. Les chaines directes sont les chemins parcourusd'une entre vers une sortie. Elles dpendent donc de l'entre considre :

( EiM avec i = entier reprsentant le nombre de chaines directes du systme entre l'entre E et la sortie S).

( WjM avec j = entier reprsentant le nombre de chaines directes du systme entre l'entre W et la sortie S).

De E(p) vers S(p) : 1 1 3 4

2 2 4

E

E

M G G G M G G

==

De W(p) vers S(p) : 1 4WM G=

Trouvons les Ei :

Ei = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine i). Si aucune restante alors Ei = 1.

Si nous liminons le chemin 1 1 3 4EM G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.

Alors : 1 1E = .Si nous liminons le chemin 2 2 4EM G G= du systme, il reste la boucle n1 = 1 6G G complte.

Alors : ( )2 1 6 1 61 1E G G G G = = + .

( )SEG p est alors gale :( )

( )( )

Ei Ei

iSE

MS p

G pE p

= =

( )1 3 4 2 4 1 6

1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6

1( )

1

SE

G G G G G G G G p

G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

+=

+ + + +

Trouvons les Wj :

Wj = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors Wj = 1.

Si nous liminons le chemin 1 4WM G= du systme, , il reste la boucle n1 = 1 6G G complte.

Alors : ( )1 1 6 1 61 1W G G G G = = + .

( )SWG p est alors gale : ( )( )( )

Wj Wj

jSW

M

S pG pW p

= =

( )4 1 6

1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6

1( )

1SW

G G GG p


+=

+ + + +

Finalement :

S(p) = ( ). ( ) ( ). ( )SE SW G p E p G p W p+

S(p) =( ) ( )1 3 4 2 4 1 6 4 1 6

1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6

1 ( ) 1 ( )

1

G G G G G G G E p G G G W p


+ + + + + +

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

14/15




Rgles de transformation des schmas fonctionnels

N Schma fonctionnel original Schma fonctionnel quivalent

1.

2.

3.

4.

5.

6.

G1 G2A.G1 A.G1.G2A

G2 G1A.G2 A.G1.G2A

G1 G2A.G1 A.G1.G2A G1.G2

A.G1.G2A

G1+G2A.G1+A.G2A

AB+C

+

A

B C+

+

AB AB+C

+

+

A

C B

+

A+C

B+

A

C

+ AB+CAB+C

+

A

B C+

+

AB

G1

G2

A.G1 A.G1+A.G2A

++

A.G2

A

B

GA.G A.G B

+

A.G B

B

GA

G

BA

+

G

B G

1

8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)

15/15



7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

B

G

A B A.G B.GA

+

G

G

A.GA

A.G

GA.GA

A

G

G

1

A.GA

A.G

A

G

A.G

A

A.G

A.G2 A.(G1+G2)A

+

+

G1G2A A.G1

A.G2

G1

G2

BA

+

G1

G2

BA

+

+

21

1

G.G1

G

+

A B

21

1

G.G1

G

A B

B.G

GA.G B.GA

+

GB

A.G

B

A BA

A B

+

A B

A

A B+

+

B

G1

G2

A.G1 A.(G1+G2)A

++

A.G2

BA

+

G2

2G

1

G1G1

G2

BA

+

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TD 3 (Ex & Sol)