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Terminale S TD - Maths
TD - LOGARITHME
I Exercices d’application
Exercice I.1. ⋆ 10 minDéterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0 :
a. 1−
(
2
3
)n
> 0, 99. b. 2n > 1012.
Exercice I.2. ⋆ 20 minRésoudre sans R :
a. 9x + 3x−1 = 10. b. 3x − 3x+2 = 8. c. 2(32x−1)− 33x−1 − 1 = 0.
Exercice I.3. ⋆ ⋆ 10 min
Montrer que la fonction x 7−→ ln
(
2 + x
x− 4
)
admet le point (1; 0) pour centre de symétrie.
Exercice I.4. ⋆ 20 minDériver les fonctions suivantes, en précisant les intervalles sur lesquels elles sont dérivables :
a. x 7−→ ln
(
x− 1
x+ 1
)
b. x 7−→ln2 (x)
xc. x 7−→ ln (x2 − 4x+ 1) d. x 7−→ ln (ln x)
Exercice I.5. ⋆ 20 minDéterminer les limites suivantes :
a. limx→0
ln
(
x2
x2 + 1
)
b. limx→+∞
4x−ln x c. limx→+∞
x ln
(
x+ 1
x
)
d. limx→0+
(
ln x√x+ x− 1
)
Exercice I.6. ⋆ 20 min
Étudier la fonction f : x 7−→ x− ln (x).
II Exercices d’entraînement
Exercice II.1. ⋆ ⋆ 30 min
1. Résoudre dans R l’inéquation : −x2 + 5x+ 6 > 0.
2. On définit la fonction f sur ]− 1; 6[ par : f(x) = ln (−x2 + 5x+ 6).Étudier les limites de f en −1 et en 6.
3. Étudier les variations de f .
Exercice II.2. ⋆ ⋆ 30 min
On étudie la fonction f définie sur R⋆
+ par : f(x) =1 + ln x√x
.
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Étudier les limites de f en 0 et en +∞. En déduire deux asymptotes à la courbe Cf .
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2. Étudier les variations de f .3. Déterminer les coordonnées du point A, intersection de Cf avec l’axe des abscisses.4. Tracer Cf .
Exercice II.3. ⋆ ⋆ 20 min
On considère la fonction f définie par : f(x) = ln (1 + cosx).1. Préciser l’ensemble de définition de f .2. Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la fonction f .3. Montrer que f est de période 2π.4. On se place dans [0; π[ . Étudier les variations de f .5. Résoudre dans R l’équation : f(x) = 0.
Exercice II.4. ⋆ ⋆ 30 min
On étudie la fonction f définie sur R⋆
+ par : f(x) = (x2 − 4x) ln (x) +x2
2.
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d’unitégraphique 2 cm.
1. Étudier les limites de f en 0 et en +∞.2. Étudier les variations de f .3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec la courbe représentative
de la fonction g : x 7−→x2
2.
4. Tracer les deux courbes.
Exercice II.5. ⋆ ⋆ ⋆ 75 min
On considère la fonction f définie sur R+
par :
f(x) =ln (1 + x)
xsi x > 0 et f(0) = 1 .
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d’unitégraphique 3 cm.
1. a. Montrer que f est continue en 0.b. Montrer que pour tout x ∈ R
+
:
x−x2
26 ln (1 + x) 6 x−
x2
2+
x3
3.
c. Montrer que pour tout x ∈ R⋆
+ :
−1
26
ln (1 + x)− x
x26 −
1
2+
x
3.
d. En déduire que f est dérivable en 0, et préciser le nombre dérivé de f en 0.2. Étudier la limite de f en +∞. Préciser une équation d’une asymptote à la courbe Cf .
3. Étudier les variations de la fonction g définie sur R+
par : g(x) =x
1 + x− ln (1 + x).
4. Étudier les variations de f .5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 0.6. Tracer Cf .
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III Exercices d’approfondissement
Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min
On note C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère orthonormal (O;~i,~j).On note d la fonction qui, à tout point M de C , associe la distance OM.
1. Montrer que la fonction d admet un minimum, noté a.
2. Donner une valeur approchée à 0,001 près de a.
3. Montrer qu’au point d’abscisse a, la tangente à C est perpendiculaire à la droite (OM).
Exercice III.2. ⋆ ⋆ ⋆ 90 min
On considère la famille de fonctions fn où n ∈ N⋆
, définie sur R⋆
+ par :
fn(x) = x− n−n ln (x)
x.
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (O;~i,~j) d’unité 2 cm.
1. On considère la fonction gn où n ∈ N⋆
, définie sur R⋆
+ par : gn(x) = x2 − n + n ln (x).
a. Étudier les limites de gn en 0 et en +∞.
b. Étudier les variations de gn.
c. Montrer que l’équation gn(x) = 0 admet une solution unique αn dans l’intervalle [1; 3].
d. Étudier le signe de gn(x)
2. a. Montrer que, pour tout x ∈ R⋆
+, f ′
n(x) =gn(x)
x2.
En déduire les variations de fn.
b. Étudier les limites de fn en 0 et en +∞.
c. Montrer que la droite Dn d’équation y = x− n est asymptote à Cn.
d. Étudier la position de Cn par rapport à Dn.
3. Cas n = 1 .
a. Calculer α1, dresser un tableau de variations de f1.
b. Tracer D1 et C1.
4. Cas n = 2 .
a. Donner un encadrement de α2 à 0,1 près. Montrer que : −1, 24 6 f2(α2) 6 −1, 10 .Dresser le tableau de variations de f2.
b. Tracer D2 et C2.
5. a. Calculer limn→∞
(
fn(x)− fn+1(x))
.
b. On considère la fonction h définie sur R⋆
+ par : h(x) = 1 +ln (x)
x.
Étudier les variations de h, puis montrer qu’il existe un unique réel a dans l’intervalle]0; 1] tel que h(a) = 0. Montrer que fn(a) = a.
c. Montrer que toutes les courbes Cn se coupent en un point A dont on précisera cescoordonnées.
d. Préciser la position relative des courbes Cn et Cn+1.
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