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Un énoncé de TD sur les Généralités de Fonctions en Terminale S.Niveau Requis : Première S.Chapitres requis : Aucun.
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Terminale S TD - Maths
TD - GÉNÉRALITÉS FONCTIONS
I Exercices d’application
Exercice I.1. ⋆ 10 min
Montrer que la droite d’équation x = −1 est un axe de symétrie de la courbe représentativedans un repère orthogonal de la fonction f définie sur R par :
f(x) =4x2 + 8x+ 1
3x2 + 6x+ 4.
Exercice I.2. ⋆ 10 min
Montrer que le point I de coordonnées (1; 1) est un centre de symétrie de la courbe représentativedans un repère orthogonal de la fonction f définie sur R\{1} :
f(x) =x2 − 3
2x− 2
Exercice I.3. ⋆ 10 minSoit f la fonction définie sur R par : f(x) = x− 3 cosx.Montrer que l’étude de f peut se faire sur [0; 2π].Préciser la transformation à utiliser pour compléter la représentation graphique de f .
Exercice I.4. ⋆ ⋆ 15 min
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) =sin x
1 + sin2 x.
Étudier la parité et la périodicité de f .Calculer f(π − x).Qu’en déduit-on ?
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Terminale S TD - Maths
II Exercices d’entraînement
Exercice II.1. ⋆ ⋆ ⋆ 60 min
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = cos (3x)− 2 cos3 (x).On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;~i,~j).
1. a. Montrer que pour tout x ∈ R :
sin (3x) =(
4 cos2 (x)− 1)
sin x et cos (3x) = 4 cos3 x− 3 cosx.
(
On pourra écrire que sin (3x) = sin (2x+ x) et que cos (3x) = cos (2x+ x))
.
b. Résoudre l’inéquation cos (2x) > 0.
2. a. Montrer que f est périodique de période 2π.
b. Montrer que f est paire.
3. a. Montrer que pour tout x ∈ R : f ′(x) = −3 cos (2x) sin x.
b. Étudier les variations de f .
4. a. Montrer que pour tout x ∈ R : f(x) = (2 cos2 x− 3) cos x.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
5. Représenter Cf sur l’intervalle [−2π; 2π].
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