Revisions d’electrocinetique MP

TD R1 : Revisions d’electrocinetique

Questions de cours

— Qu’est ce que l’ARQS, dans quel cas est-elle valable ?— Donner l’expression de l’energie emmagasinee par une bobine, par un condensateur— Quelle grandeur est continue aux bornes d’une bobine, d’un condensateur ?— Donner les formules du diviseur de potentiel et du diviseur de courant— Quelle est le temps caracteristique d’un circuit RC, d’un circuit RL ?— Donner l’expression canonique de l’equation differentielle regissant uc dans un RLC— Quel sont les 3 regimes possibles de reponse a un echelon de tension par un RLC ? Quelle

grandeur determine le regime ?— Qu’est ce que la valeur efficace ?— Donner l’impedance et l’admittance des dipoles usuels— Donner la formule du diviseur de potentiel en RSF— Definir la fonction de transfert, le gain et le dephasage d’un circuit— Dessiner schematiquement le diagramme de Bode d’un passe-bas, passe-haut et passe-

bande— Quelle est l’influence du facteur de qualite sur un filtre

Dipoles et circuits du premier ordre

1. Loi des noeuds en Terme de potentiel

En partant de la loi des nœuds et de la loi d’Ohm, exprimer le potentiel VD du noeud Den fonction des potentiels VA, VB, VC des nœuds respectifs A, B et C.

2. Point de fonctionnement d’un circuit a diode Zener

Un generateur ideal de tension de f.e.m. E > 0 et branche en serie avec une resistance R etune diode Zener D dont la caracteristique courant tension I(U) est donnee dans la figureci-dessous (a droite).

(a) Determiner le point de fonctionnement du montage, c’est-a-dire l’intensite du courantet la tension aux bornes de la diode.

(b) Meme question si on retourne la diode.

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3. Charge d’un condensateur

On considere le circuit ci-contre. A t = 0, on met lecircuit sous tension par l’intermediaire du generateuranterieurement eteint.

(a) Determiner i(0+) et i(∞) par des considerationssimples.

(b) Determiner i(t).

(c) Calculer la constante de temps τ pour C =10 µF, R1 = 6 kΩ, r = 100 Ω et R = 4 kΩ.

La comparer a la valeur qu’elle aurait si R1 etaitinfinie et r nulle.

Oscillateur amorti

1. Decrement logarithmique

On etudie la reponse u(t) a unechelon de tension e(t) dans lecircuit ci-contre.

(a) Determiner la valeur u(∞) vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est E, endessinant un schema equivalent en regime permanent.

(b) Demontrer qued2u(t)

dt2+ 2λ

du

dt+ ω2

0u(t) = ω20u(∞).

On exprimera λ et ω0 en fonction de L, R1, R2 et C.

(c) Definir et tracer un echelon de tension. Expliquer comment on le realise experimentalement.

(d) On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) suivante.

i. Determiner la valeur numeriquede la pseudo-periode T .

ii. Determiner la valeur numeriquedu decrement logarithmiquedefini par

δ =1

nln

(u(t)− u(∞)

u(t+ nT )− u(∞)

).

(e) Exprimer la forme mathematique de u(t) en fonction de λ, ω0, u(∞) et t. On necherchera pas a determiner les constantes d’integration.

(f) Determiner la relation entre δ, λ et T . En deduire la valeur numerique de λ. Relier λau facteur de qualite Q.

(g) Sachant que R1 = 200 Ω, R2 = 5 kΩ, L = 100 mH, determiner la valeur numeriquede C.

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2. Oscillateur a deux ressorts

Un mobile suppose ponctuel de masse m est astreint a glisser le long d’une tige horizontalede direction (Ox). Ce mobile est relie par deux ressorts lineaires a deux points fixes A etB.

Les deux ressorts sont identiques : meme constante de raideur k et meme longueur au repos`0. Dans la position d’equilibre du systeme, les longueurs des ressorts sont identiques etvalent `eq, et le mobile se trouve a l’origine O de l’axe (Ox). On se place dans le referentielterrestre, considere comme galileen. A t = 0, le mobile est abandonne sans vitesse initialede la position x0 6= 0.

(a) Dans un premier temps, on neglige tout frottement.

i. Etablir l’equation differentielle dont x(t) est solution.

ii. Montrer que le systeme constitue un oscillateur harmonique dont on precisera lapulsation ω0 et la periode T0 en fonction de k et m.

iii. Donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales.

(b) En fait, il existe des frottements entre le mobile et la tige. On modelise ce frottementvisqueux lineaire par une force ~F = −µ~v, ou µ est une constante positive et ~v lavitesse du mobile.

i. Etablir l’equation differentielle dont x(t) est la solution. On posera h =µ

m.

ii. Montrer que lorsque µ < 23/2√km, le mouvement est oscillatoire amorti.

Donner l’expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales, et exprimerla pseudo-periode en fonction de ω0 et h.

(c) Tracer l’allure des deux trajectoires de phase suivies par cet oscillateur, dans le plande phase defini par (x, x), en l’absence de frottement, puis en presence de frottement.

Regime sinusoıdal force

1. Dipoles equivalents

On se place en regime sinusoıdal force de pulsation ω et on considere les deux dipolesci-dessous.

(a) Quelles doivent etre les expressions de L′ et R′ (en fonction de R, L et ω) pour queles deux dipoles soient equivalents ?

(b) Pour quelle pulsation a-t-onL

R=L′

R′?

2. Equilibre d’un pont

Soit le circuit de la figure suivante, connecte a une source libre de tension sinusoıdale :

VC − VD = e = Em cosωt.

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Pour determiner les caracteristiques d’une bobine reelle, modelisee par l’association seried’une bobine ideale d’inductance L et d’un resistor de resistance r, on place celle-ci dansune structure en pont, alimentee par une tension sinusoıdale.

(a) Exprimer la tension complexe uAB qui s’applique aux bornes du voltmetre.

(b) La capacite C du condensateur et la resistance R sont ajustables. On choisit leursvaleurs de maniere a annuler la tension lue par le voltmetre (on dit alors que lepont est equilibre). Determiner l’expression de l’inductance L et de la resistance r enfonction de R, C, R1 et R2.

3. Oscillations forcees d’un vehicule sur une route ondulee

Un vehicule automobile est sommairement modelise par une masse m placee en M etreposant sur une roue de centre O, par l’intermediaire d’un ressort de raideur k mis enparallele sur un amortisseur de coefficient de frottement h. En toutes circonstances, l’axeOM reste vertical.

On se propose d’examiner le comportement du vehicule lorsqu’il a la vitesse v sur uneroute dont le profil impose au centre O de la roue une elongation zO(t) = a cos

(2π xλ

)par

rapport a sa position d’equilibre. On repere le mouvement de la masse m par l’elongationz(t) par rapport a sa position d’equilibre quand le vehicule est au repos.

(a) Etablir l’equation differentielle en z(t) du mouvement de la masse, lorsque le vehiculese deplace a vitesse constante v.

(b) Determiner l’amplitude du mouvement d’oscillation vertical du vehicule en regimepermanent.

A quelle allure faut-il rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible ?

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Filtres

1. Filtre a retard de phaseOn considere le filtre ci-contre. La tension d’entree est si-

nusoıdale, de pulsation ω. On posera α =R′

Ret x = RCω.

(a) Faire une analyse qualitative de ce filtre pour leshautes et basses frequences.

(b) Determiner sa fonction de transfert H =us

ue.

(c) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de cefiltre.

2. Filtre de Hartley

On realise le montage decrit sur la figure suivante :

(a) Etablir sa fonction de transfert H(jω) sous la forme H(jω) = H0

jω

ω0

1 + 2jω

Qω0− ω2

ω20

.

On exprimera H0, ω0 et Q en fonction de R, L, et C.

(b) Dans le cas ou R = 10, 0 kΩ, L = 1, 0 mH et C = 100, 0 nF , le diagramme de Bodeen amplitude a l’allure presentee sur la figure suivante :

Identifier les pentes des asymptotes, les valeurs de α et β. En deduire l’allure dudiagramme de Bode en phase.

(c) Le montage peut-il servir d’integrateur, ou de derivateur ? Si oui, dans quelle bandede frequence ?

(d) On etudie la sortie s1(t) associee a l’entree e1(t) = E0 +E1 cos(ω1t), ou ω1 =1√

2LC.

Comment realiser experimentalement ce signal en TP ?

(e) Calculer l’expression litterale de la sortie s1(t), observee sur l’oscilloscope en regimepermanent.

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(f) On etudie maintenant la sortie s2(t) associee au signal creneau e2(t), de periodeT2 = 6π

√2LC, d’amplitude E2,0 = 1 V , represente sur la figure suivante :

On donne sa decomposition en serie de Fourier :

e2(t) =4E2,0

π

[sin(ω2t) +

sin(3ω2t)

3+

sin(5ω2t)

5+ · · ·+ sin[(2n+ 1)ω2t]

2n+ 1+ . . .

]Calculer la valeur efficace E2,eff de e2(t).

(g) Tracer l’allure du spectre de e2(t). Preciser numeriquement les pulsations des 3premieres harmoniques.

(h) Calculer numeriquement les amplitudes des 3 premieres harmoniques du signal desortie s2.

Justifier alors le nom de ”tripleur de frequence” donne au montage.

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Elements de reponse

Dipoles et circuits du premier ordre

1. VD =

VAR1

+VBR2

+VCR3

1

R1+

1

R2+

1

R3

.

2.

(U = U1, I =

E − U1

R

)si E > U1 et (U = E, I = I0) si E < U1.

3. i(t) =ER1

r(R+R1) +RR1e−

tτ ; τ = 41 ms

Oscillateur amorti

1. (a) u(∞) =R2

R1 +R2E.

(b)d2u

dt2+

(1

R2C+R1

L

)du

dt+R1 +R2

R2LCu =

R1 +R2

R2LC

(R2

R1 +R2e

).

(c) T = 620 µs ; δ = 1, 4 = λT ; λ = 2, 2.103 s−1 ;

C =1

R2(2λ− R1L )

= 100 nF .

2. (a) x+2k

mx = 0 ; ω0 =

√2k

m; T0 = 2π

√m

2k; x(t) = x0 cosω0t.

(b) x+ hx+ ω20x = 0 ; regime pseudo-periodique si h < 2ω0 ;

x(t) = x0 exp

(−ht

2

)[cos Ωt+

h

2Ωsin Ωt

].

Regime sinosoıdal force

1. R′ =R2 + L2ω2

Ret L′ =

R2 + L2ω2

Lω2; ω =

R

L

2. uAB =

(r + jLω

r +R2 + jLω− (1 + jRCω)R1

(1 + jRCω)R1 +R

)e.

r =R1R2

RL = R1R2C.

3. z + 2αz + ω20z = a(ω2

0 cosωt− 2αω sinωt).

Il faut rouler a grande vitesse pour que les amplitudes des oscillations soient faibles.

Filtres

1. H =1 + jx

1 + j(1 + α)x

2. H(jω) =jL

Rω

1 + 2jL

Rω + 2LC(jω)2

.

Comportement integrateur a THF et derivateur a TBF.

L’harmonique de rang 3 domine les autres dans le signal de sortie (amplitude bien superieureaux autres).

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