TD Suites Réelles

Terminale S TD - Maths

TD - SUITES

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ 20 min

Dans chaque cas, étudier la nature de la suite (un)n∈N et préciser sa limite si possible :

1) un =

(

− 1

10

)n

2) un =2n2 + 3n+ 1

4n2 + 33) un = −2 × (1, 01)n 4) un =

e2n

(n+ 1)2

5) un =√n2 + 1− n 6) un =

2en + 1

en + 27) un =

n3 + (−1)n

n28) un =

2 cos

(

n

2

)

n2 + 2


On considère la suite (un) définie sur N par :

{

u0 = −1

un+1 =4

4− un

.

1. Montrer que pour tout n de N, un < 2.

2. Soit la suite (vn)n∈N définie par : vn =1

un − 2.

a. Montrer que (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et laraison.

b. Exprimer vn en fonction de n.



u0 = 1

un+1 =un

√

1 + u2n

.

1. Donner la valeur exacte de u1, u2, u3 et u4.

2. Formuler une conjecture sur l’expression de un en fonction de n.

3. Démontrer cette conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Exercice I.4. ⋆ ⋆ 15 min


{

u0 = 4un+1 = 3un − 4

.

1. Trouver le réel α pour lequel la suite (vn), définie pour tout n ∈ N, par vn = un − α, estune suite géométrique.

2. Exprimer vn puis un en fonction de n.


On définit les suites (un) et (vn) pour tout n ∈ N⋆

par : un =1

net vn =

1√n2 + 1

.

1. Démontrer que 1 est un majorant de (vn).

2. Démontrer que pour tout n ∈ N⋆

, vn < un.

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Étudier la convergence de la suite (un) définie pour tout n ∈ N⋆

par : un = sin

(

nπ − 1

n

)

.


Étudier la convergence de la suite (un) définie sur N par :

{

u0 = −5un+1 = n− un

.


On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout n ∈ N⋆

par : un = 1− 1

net vn = 1+

1

n2.

Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ 20 min

On considère la suite réelle (un) définie sur N par :

u0 = 1/2

un+1 =1

2

(

un +1

un

)

.

1. Montrer par récurrence, que tous les termes de cette suite sont strictement positifs.

2. On pose vn =un − 1

un + 1, pour tout n ∈ N. Trouver une relation entre vn+1 et vn.

En déduire l’expression de vn en fonction de n, ainsi que sa limite.

3. Donner l’expression de un en fonction de n, ainsi que sa limite.


On considère la suite réelle (un)n∈N définie par : u0 = 1, u1 = 2 et un+2 =3

2un+1 −

1

2un.

1. On pose pour tout n ∈ N : vn = un+1 − un. Montrer que (vn) est une suite géométrique.Exprimer (vn) en fonction de n.

2. Calculer v0 + v1 + · · ·+ vn−1. En déduire la limite L de (un).

3. Déterminer l’entier p à partir duquel |up − L| < 10−3.


On considère la suite réelle (un)n∈N définie par : u0 = 4 et un+1 =√un.

1. Montrer que pour tout n ∈ N, un existe et un > 1.

2. Vérifier que pour tout n ∈ N, un+1 − 1 =un − 1√un + 1

.

3. En déduire que pour tout n ∈ N, un+1 − 1 61

2(un − 1).

4. Démontrer que pour tout n ∈ N, |un − 1| < 3

2n.

5. En déduire que la suite (un) converge et préciser sa limite.

Exercice II.4. ⋆ ⋆ ⋆ 60 min

1. Montrer que l’équation xn + nx − 1 = 0 avec x > 0 et n ∈ N admet une solution uniqueque l’on notera un.

2. Montrer que la suite (un) a pour limite 0.




III Exercices d’approfondissement

Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 30 min

On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N⋆

par :

un = 1− 1

2+

1

3− 1

4· · ·+ (−1)n+1

n.

1. On pose pour tout n ∈ N⋆

, vn = u2n et wn = u2n+1. On a donc :

vn = 1− 1

2+

1

3− 1

4· · · − 1

2net wn = 1− 1

2+

1

3− 1

4· · ·+ 1

2n+ 1.

Montrer que les suites vn et wn sont adjacentes.

2. On note L la limite commune des suites (vn) et (wn).Prouver que pour tout n ∈ N

⋆

, u2n 6 L 6 u2n+1.

3. Trouver une valeur approchée à 10−2 près de cette limite L.

4. Démontrer que la suite (un) converge vers L.

Exercice III.2. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 60 min

On considère la suite (un)n∈N définie par : u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = un+1 + un.Une telle suite est appelée suite de Fibonacci.

1. Montrer que pour tout n ∈ N, un > 0.

2. Montrer que la suite (un) est croissante.

3. Montrer que pour tout n ∈ N :n

∑

k=0

uk = un+2 − 1.

4. Montrer que pour tout n ∈ N : unun+2 − u2n+1 = (−1)n+1.

5. Montrer que pour tout n ∈ N : un =1√5

[

(

1 +√5

2

)n

−(

1−√5

2

)n]

.

6. Déterminer N = limn→+∞

un+1

un

.


Démontrer que pour tout n ∈ N⋆

:n∏

k=1

(6k − 3) =

(

3

2

)n(2n)!

n!.


Soit (un)n∈N une suite réelle vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation :

un+2 = |un+1| − un.

Montrer qu’il existe un entier p non nul tel que la relation un = un+p ait lieu pour tout entiernaturel n.Indication : On peut poser u0 = a, u1 = b et étudier les termes successifs de la suite (un).



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