Terminale S TD - Maths
TD - SUITES
I Exercices d’application
Exercice I.1. ⋆ 20 min
Dans chaque cas, étudier la nature de la suite (un)n∈N et préciser sa limite si possible :
1) un =
(
− 1
10
)n
2) un =2n2 + 3n+ 1
4n2 + 33) un = −2 × (1, 01)n 4) un =
e2n
(n+ 1)2
5) un =√n2 + 1− n 6) un =
2en + 1
en + 27) un =
n3 + (−1)n
n28) un =
2 cos
(
n
2
)
n2 + 2
Exercice I.2. ⋆ 10 min
On considère la suite (un) définie sur N par :
{
u0 = −1
un+1 =4
4− un
.
1. Montrer que pour tout n de N, un < 2.
2. Soit la suite (vn)n∈N définie par : vn =1
un − 2.
a. Montrer que (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et laraison.
b. Exprimer vn en fonction de n.
Exercice I.3. ⋆ 10 min
On considère la suite (un) définie sur N par :
u0 = 1
un+1 =un
√
1 + u2n
.
1. Donner la valeur exacte de u1, u2, u3 et u4.
2. Formuler une conjecture sur l’expression de un en fonction de n.
3. Démontrer cette conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Exercice I.4. ⋆ ⋆ 15 min
On considère la suite (un) définie sur N par :
{
u0 = 4un+1 = 3un − 4
.
1. Trouver le réel α pour lequel la suite (vn), définie pour tout n ∈ N, par vn = un − α, estune suite géométrique.
2. Exprimer vn puis un en fonction de n.
Exercice I.5. ⋆ 10 min
On définit les suites (un) et (vn) pour tout n ∈ N⋆
par : un =1
net vn =
1√n2 + 1
.
1. Démontrer que 1 est un majorant de (vn).
2. Démontrer que pour tout n ∈ N⋆
, vn < un.
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Exercice I.6. ⋆ ⋆ 10 min
Étudier la convergence de la suite (un) définie pour tout n ∈ N⋆
par : un = sin
(
nπ − 1
n
)
.
Exercice I.7. ⋆ ⋆ 10 min
Étudier la convergence de la suite (un) définie sur N par :
{
u0 = −5un+1 = n− un
.
Exercice I.8. ⋆ 10 min
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout n ∈ N⋆
par : un = 1− 1
net vn = 1+
1
n2.
Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
II Exercices d’entraînement
Exercice II.1. ⋆ ⋆ 20 min
On considère la suite réelle (un) définie sur N par :
u0 = 1/2
un+1 =1
2
(
un +1
un
)
.
1. Montrer par récurrence, que tous les termes de cette suite sont strictement positifs.
2. On pose vn =un − 1
un + 1, pour tout n ∈ N. Trouver une relation entre vn+1 et vn.
En déduire l’expression de vn en fonction de n, ainsi que sa limite.
3. Donner l’expression de un en fonction de n, ainsi que sa limite.
Exercice II.2. ⋆ ⋆ 30 min
On considère la suite réelle (un)n∈N définie par : u0 = 1, u1 = 2 et un+2 =3
2un+1 −
1
2un.
1. On pose pour tout n ∈ N : vn = un+1 − un. Montrer que (vn) est une suite géométrique.Exprimer (vn) en fonction de n.
2. Calculer v0 + v1 + · · ·+ vn−1. En déduire la limite L de (un).
3. Déterminer l’entier p à partir duquel |up − L| < 10−3.
Exercice II.3. ⋆ ⋆ 30 min
On considère la suite réelle (un)n∈N définie par : u0 = 4 et un+1 =√un.
1. Montrer que pour tout n ∈ N, un existe et un > 1.
2. Vérifier que pour tout n ∈ N, un+1 − 1 =un − 1√un + 1
.
3. En déduire que pour tout n ∈ N, un+1 − 1 61
2(un − 1).
4. Démontrer que pour tout n ∈ N, |un − 1| < 3
2n.
5. En déduire que la suite (un) converge et préciser sa limite.
Exercice II.4. ⋆ ⋆ ⋆ 60 min
1. Montrer que l’équation xn + nx − 1 = 0 avec x > 0 et n ∈ N admet une solution uniqueque l’on notera un.
2. Montrer que la suite (un) a pour limite 0.
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III Exercices d’approfondissement
Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 30 min
On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N⋆
par :
un = 1− 1
2+
1
3− 1
4· · ·+ (−1)n+1
n.
1. On pose pour tout n ∈ N⋆
, vn = u2n et wn = u2n+1. On a donc :
vn = 1− 1
2+
1
3− 1
4· · · − 1
2net wn = 1− 1
2+
1
3− 1
4· · ·+ 1
2n+ 1.
Montrer que les suites vn et wn sont adjacentes.
2. On note L la limite commune des suites (vn) et (wn).Prouver que pour tout n ∈ N
⋆
, u2n 6 L 6 u2n+1.
3. Trouver une valeur approchée à 10−2 près de cette limite L.
4. Démontrer que la suite (un) converge vers L.
Exercice III.2. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 60 min
On considère la suite (un)n∈N définie par : u0 = 0, u1 = 1 et un+2 = un+1 + un.Une telle suite est appelée suite de Fibonacci.
1. Montrer que pour tout n ∈ N, un > 0.
2. Montrer que la suite (un) est croissante.
3. Montrer que pour tout n ∈ N :n
∑
k=0
uk = un+2 − 1.
4. Montrer que pour tout n ∈ N : unun+2 − u2n+1 = (−1)n+1.
5. Montrer que pour tout n ∈ N : un =1√5
[
(
1 +√5
2
)n
−(
1−√5
2
)n]
.
6. Déterminer N = limn→+∞
un+1
un
.
Exercice III.3. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 15 min
Démontrer que pour tout n ∈ N⋆
:n∏
k=1
(6k − 3) =
(
3
2
)n(2n)!
n!.
Exercice III.4. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 45 min
Soit (un)n∈N une suite réelle vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation :
un+2 = |un+1| − un.
Montrer qu’il existe un entier p non nul tel que la relation un = un+p ait lieu pour tout entiernaturel n.Indication : On peut poser u0 = a, u1 = b et étudier les termes successifs de la suite (un).
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