7/26/2019 TD1 Exercices de Prparation
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Ecole Preparatoire en Sciences et Techniques de Tlemcen,
Departement de Mathematiques Annee 2012 - 2013
Algebre III Travaux derigees
TD 1 : Exercices de Preparation
Exercice 1. Soit E= C( R;R) le R - espace vectoriel des
fonctions infiniment derivables sur R a valeur dansR. Montrer que
les familles suivantes sont libres
{x , ex } , {x , sin(x ) } , {sin(x ) , cos(x ) } ,
ex , e2 x , e3 x
, {sin(x ) , sin( 2x ) , sin( 3x ) } .
Exercice 2. Determiner la dimension pour chaque famille
mentionnee dans le cas ou elle est un sous espacevectoriel et un
supplementaire pour chaque sous espace vectoriel.
1. Dans le cas de R4 vu comme un R - espace vectoriel, les
familles sont
F1 = (x,y ,z , t) R4 : x + y = 2t + z ,
F3 =
(x,y ,z , t) R4 : x2 y2 = 0
,F2 =
(x,y ,z , t) R4 : x + y = 0, t + z = x
.
2. Dans le cas de R6[X] le R - espace vectoriel des polynomes a
une indetermine a coefficients dans R de degreau plus 6 les
familles sont
P1 =
P R6[X], P(X) =
2k= 1
k ( X3 + 1 )k , k R
,
P2 =
P R6[X],
+
(X2 + X + 1 )P(X)dX= 0
.
Exercice 3. Soit la matrice suivante
A =
1 1 21 2 1
1 1 2
.
1. Calculer le determinant de A.
2. Calculer linverse de A.
3. Determainer lendomorphisme f associe a la matrice A dans la
base canonique de R3.
4. Montrer que f est bijective.
5. Determiner f 1.
Exercice 4. Soit les deux application suivante
f1
xy
z
=
x + y + zx + 2y + z
y z
, f2
xy
z
=
x y zy 2z
x + z
,
1. Montrer quelles sont lineaires, determiner leurs noyaux et
leurs images ainsi que leurs rang.
2. Determiner la nature des ces deux applications.
3. Determiner la matrice associee a chaque application dans la
base canonique de lespace R3.
4. Determiner de deux facons differentes la matrie associee a
chaque application dans la base suivante
v1 = 11
1 , v2 =
12
1 , v3 =
11
2 ,
Exercice 5. Soit lendomorphisme f de R2[X] defini par
lexpression suivante
P R2[X ] : f(P ) = P( 1 ) + P( 2 ) X .
1. Determiner la matrice associee a fdans la base canonique de
R2[X ].
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2. Determiner la matrice de passage de la base canonique a la
base
X2 + 1, X + 1, X2 + X + 1.
Exercice 6. Soit le sous espace vectoriel de lespace C( [0, ], R
) defini par
T3 =
fC( [0, ], R )/ ( a1 , a2, a3) R3 : f(x ) = a1 sin(x ) + a2 sin(
2x ) + a3 sin( 3x )
.
et soit lapplication definie sur T3 par
f T3 : (f ) = f( 2n) , n N .
1. Montrer que represente un endomorphisme de T3.
2. Determiner les deux ensembles Ker et Im .
3. Determiner la matrice associee a dans une base de T3.
Exercice 7. Soient Cn[X] le C- espace vectoriel des polynomes a
une indetermine a coefficients dans Cde degreau plus n, f une
application definie sur Cn[X] par
P Cn[X] : f(P ) = (Xn P)( n ),
Montrer que f represente un endomorphisme de Cn[X], determiner
lensemble Ker f.
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