Algbre Linaire Semestre 2 Bachelor 1 2009 - 2010

Fiche de TD N2

Applications linaires

Exercice 1 :

Soit f l'application de IR4 IR3 dfinie pour tout vecteur X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) de IR4 par f (X) = ( x1 - x2 , x3 - x4 , 0 )

1) Montrer que f est une application linaire

2) Dterminer une base B1 de Ker f et une base B2 de Im f

3) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Exercice 2 :

Soit f : IR3 [X] IR3[X] dfinie par : f(P) = P + ( 1 - x ) P', pour tout P de IR3[X]

1. Montrer que f est un endomorphisme de IR3 [X] 2. Dterminer une base B1 de Ker f et une base B2 de Im f 3. Montrer que B1 U B2 est une base de IR3 [X]. Conclure

Exercice 3_01 : Projection vectorielle Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de tel que : p o p = p.

Montrer que si p est un projecteur , alors E = Ker p Imp. ( i.e. p est la projection sur Imp paralllement Ker p).

Exercice 3_02 : Symtrie vectorielle

Soient F et G deux s.e.v. de E tels que E =FG. Soit s la symtrie vectorielle par rapport F, paralllement G.

1. ontrer que s est un automorphisme de E et que s o s = Id (on dit que s est un automorphisme involutif i.e. s 1 = s).

2. Montrer quil existe un projecteur p tel quon ait la relation s = 2p Id

Exercice 3 :

Soit g : IR2 [X] IR2[X] dfinie par : g(P) = P(0)X2 + P'(0)X + 1/2 P''(0)

1) Montrer que g est une application linaire bijective

2) Dfinir l'application g2 = gog puis gn = gogog...og n fois.

3) Soit h = Id - g ; o Id dsigne l'identit. Dterminer une base de Ker h et une base de Im h

Exercice 4 :

Soit f : IR3 IR3dfinie pour tout X = ( x , y ,z ) de IR3 par : f(X) = ( 2x - y - z , -x + 2y - z , -x - y +2z ) 1) Montrer que f est linaire

2) Dterminer une base B1 de Ker f et une base B2 de Im f

3) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

4) B' = B1 U B2 est-elle une base ?

5) On dfinit une nouvelle application linaire g telle que : g(X) = 1/3 f(X)

a) Donner le noyau et l'image de g

b) Montrer que g est un projecteur. Donner ses caractristiques.

Exercice 5 :

Soit f : IR3 --> IR3 dfinie pour tout lment X = ( x , y ,z ) de IR3 par f(X) = ( x , y , 0 )

1) Montrer que f est linaire

2) Dterminer le Noyau et l'Image de f

3) Montrer que f est un projecteur. Donner ses caractristiques.