TD SOUTIEN ELECTROMAGNETISME L2 EXERCICE 1 Le condensateur du circuit lectrique reprsent ci-contre est constitu de deux disques mtalliques, d'axe (Oz) et de rayon a, distants de e. Le systme fonctionne dans le cadre de l'A.R.Q.P. et on ngligera tout effet de bord. 1) Quelles sont les valeurs des champs lectrique et magntique l'intrieur du condensateur ?

2) En comparant les ordres de grandeur des termes lectrique et magntique de l'nergie volumique, indiquer valeur de l'nergie lectromagntique stocke par le condensateur. 3) Calculer le vecteur de POYNTING associ, puis le flux d'nergie lectromagntique travers les parois condensateur, constitues par le cylindre d'axe (O z), de rayon a et de hauteur e. quelle grandeur ce flux est-il gal ? 4) Vrifier sur cet exemple l'criture du thorme de POYNTING. EXERCICE 2 : nergie magntique stocke dans une bobine Une bobine, de longueur 1, de rayon a et d'axe (Oz), est constitue par un enroulement de n spires circulaires-jointives par unit de longueur. On utilisera pour l'tude qui suit l'approximation du solnode infini pour dcrire cette bobine et l'on se placera dans le cadre de I' A.R.P.Q. I) Quel est, dans ces conditions, le champ magntique engendr par la bobine lorsqu'elle est parcourue par le courant I ? 2) Quelle est l'nergie magntique Em associe la bobine ? Quelle valeur du coefficient d'induction L de la bobine peut-on en dduire ? A.N. : I=1A, l=10cm, a=10cm, n=5000m-1 (cette valeur leve peut tre obtenue par superposition denroulements : le modle du solnode une couche d'enroulement est alors simpliste, mais les ordres grandeur sont tout de mme convenables). 3) La bobine est mise en charge par un gnrateur force lectromotrice e, de rsistance interne R grande rapport celle de l'enroulement. Quelle est la loi d'volution du courant dans le circuit, ferm l'instant t =0 ? 4) Calculer les champs magntique et lectrique engendrs par la bobine l'instant t en tout point.

EXERCICE 3 : Courants de FOUCAULT dans un disque

Un disque conducteur mince d'axe (O z), de rayon b et d'paisseur e, est plong dans un champ magntique uniforme B(t) = Bm cos t z localis dans un cylindre de rayon a=b et nul ailleurs. On convient de ngliger le champ induit cr par le courant induit. 1) Quelle est la forme des lignes de courant ? 2) Calculer le vecteur densit de courant en tout point du disque. 3) Dterminer la puissance moyenne dissipe dans le disque. Faire le calcul pour un disque de cuivre ( = 6 . 107 S . m - 1) de 2 mm d'paisseur, de rayon a = 2 cm entirement plong (a = b)

dans un champ de valeur maximal, Bm= 0,1 T vibrant 50 Hz.

4) Calculer le champ B induit cr au centre par la distribution de courants induits, puis discuter la pertinence de l'hypothse initiale.

EXERCICE IV : Effet de peau Un conducteur linaire, de conductivit , occupe le demi-espace dfini par z < O. On tudie dans ce matriau les consquences d'un courant sinusodal de densit de courant =J(z)cost x. On pourra utiliser la notation complexe (on note le complexe associ au champ rel E). 1) Donner l'expression de . 2) On se place dans l'ARQS. partir des quations de Maxwell, montrer que : a) est port par y,. b) ne dpend que de z et de t. 3) Dterminer (z, t). 4) tablir l'quation diffrentielle vrifie par J(z) ainsi que celle vrifie par (z) et (z) . 5) Dterminer les solutions de l'quation caractristique de l'quation diffrentielle prcdente et mettre en vidence une longueur caractristique de la variation spatiale des grandeurs j, E et B. 6) Dterminer la loi (z, t) et interprter le rsultat en particulier en tudiant la variation de J avec la distance au plan Oxy un instant donn.

L'espace tant rapport un tridre orthonorm direct Oxyz, une OPPS se propage dans le vide, dans la direction u de cosinus directeurs .

IV Structure d'une OPPS - Application.

1- Donner les expressions de et en notation complexe on adopte la convention 2- Montrer que

et trois relations analogues pour 3- En utilisant les quations de Maxwell, dterminer la structure de l'onde plane dans le vide et dterminer le rapport E/B. 4- Posant = k z , reprsenter sur une figure claire l'volution spatiale ( t donn) des champs

et dans le cas d'une polarisation rectiligne et circulaire. 5- Application : Une OPPS, polarise rectilignement, se propage dans le vide, dans la direction Ou du plan Oxy faisant avec Ox l'angle (Ox, Ou) = . Le champ lectrique est parallle oz. Ecrire les composantes du vecteur d'onde , puis celle du champ lectrique (M , t ) , et du champ magntique (M , t ) .