Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SEacuteRIE | CONCEPTION
INTRODUCTIONAUX PLANSDrsquoEXPEacuteRIENCES
Jacques Goupy bull Lee Creighton
GESTION INDUSTRIELLE
CONCEPTION
FROID ET GEacuteNIE CLIMATIQUE
MEacuteCANIQUE ET MATEacuteRIAUX
CHIMIE
ENVIRONNEMENT ET SEacuteCURITEacute
EEA
TECHNIQUE ET INGEacuteNIERIESeacuterie Conception
Jacques Goupy bull Lee Creighton
INTRODUCTION AUX PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES
3 e eacutedition
JACQUES GOUPY
est ingeacutenieur-conseilaupregraves drsquoimportantessocieacuteteacutes et enseigne lameacutethodologie des plansdrsquoexpeacuteriences en eacutecolesdrsquoingeacutenieurs et danslrsquoindustrieIl est lrsquoauteur de plusieurslivres et articles dereacutefeacuterence sur le sujet dontPratiquer les plansdrsquoexpeacuteriences Plansdrsquoexpeacuteriences poursurfaces de reacuteponse etPlans drsquoexpeacuteriences lesmeacutelanges parus auxeacuteditions Dunod
LEE CREIGHTON
est professeur dematheacutematiques etresponsable de ladocumentation JMPreg chezSAS Institute Inc Il estlrsquoauteur de plusieursouvrages de statistiquesdont JMP Start Statistitics a Guide to Statistics andData Analysis etRegression with JMP
Pour travailler plusefficacement teacuteleacutechargezles fichiers JMPreg desexemples deacuteveloppeacutes danslrsquoouvrage
Agrave travers de nombreux exemples reacuteels emprunteacutes agrave des expeacuterimentateursissus de secteurs industriels varieacutes cet ouvrage expose de faccedilon progressiveet appliqueacutee les techniques neacutecessaires agrave la conduite drsquoune eacutetude parplans drsquoexpeacuteriences Cette 3e eacutedition a eacuteteacute compleacuteteacutee pour aborderlrsquoensemble des types de plans bull plan factoriel complet bull plan fractionnaire bull plan pour surfaces de reacuteponse (composites de Box-Behnken de
Doehlert) bull plan de meacutelanges bull plan optimal bull plan pour variables discregravetes
Cet ouvrage constitue un outil preacutecieux pour tous les expeacuterimentateursen recherche en deacuteveloppement ou en industrialisation dans de tregravesnombreux domaines (agroalimentaire chimie meacutetallurgie meacutecaniqueeacutelectronique pharmacie meacutedecine informatique etc)Le CD-Rom gratuit accompagnant lrsquoouvrage contient une version reacutecenteet complegravete du logiciel de plans drsquoexpeacuteriences JMPreg (SAS Institute Inc)Ce logiciel permet de reacutealiser rapidement les calculs les plus complexeset de tracer les diagrammes des exemples drsquoapplications proposeacutes
httpwwwplansdexperiencescom
9 7 8 2 1 0 0 4 9 7 4 4 7
ISBN 2 10 049744 8 wwwdunodcom
INTR
OD
UC
TION
AU
X PLA
NS D
rsquoEXPEacuteR
IENC
ESJ G
OU
PYL C
REIG
HTO
N
3e eacutedition
I
NTRODUCTIONAUX PLANS
DrsquoEXPEacuteRIENCES
prelim Goupy Page I Mardi 26 septembre 2006 1153 11
CHEZ LE MEcircME EacuteDITEUR
Jacques G
OUPY
Pratiquer les plans drsquoexpeacuteriences
(avec CD-Rom)568 p
Jacques G
OUPY
Plans drsquoexpeacuteriences les meacutelanges
304 p
Reneacutee V
EYSSEYRE
Aide-meacutemoire de statistiqueet probabiliteacutes pour lrsquoingeacutenieur
2
e
eacutedition 320 p
Page de coll Goupy Page I Mardi 26 septembre 2006 1154 11
Jacques Goupy bull Lee Creighton
I
NTRODUCTIONAUX PLANS
DrsquoEXPEacuteRIENCES
3
e
eacutedition
prelim Goupy Page III Mardi 26 septembre 2006 1153 11
Du mecircme auteur
Pratiquer les plans drsquoexpeacuteriences
(avec CD-Rom)
Dunod
2005
Plans drsquoexpeacuteriences les meacutelanges
Dunod 2000
copy Dunod Paris 2001 2006
copy Bordas Paris 1988 pour la 1
re
eacutedition
ISBN 2 10 049744 8
prelim Goupy Page IV Mardi 26 septembre 2006 1153 11
Disclaimer This eBook does not include the ancillary media that waspackaged with the original printed version of the book
V
TABLE DES MATIEgraveRES
Avant-propos IX
1 bull Faites connaissance avec la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences 1
11 Processus drsquoacquisition des connaissances 1
12 Eacutetude drsquoun pheacutenomegravene 3
13 Terminologie 4
14 Variables centreacutees reacuteduites 8
15 Points expeacuterimentaux 9
16 Plans drsquoexpeacuteriences 10
2 bull Votre premier plan drsquoexpeacuteriences 15
21 Exemple 01 je maicirctrise la consommation de ma voiture 15
3 bull Plan drsquoexpeacuteriences pour 3 facteurs 31
31 Exemple 02 des bijoux en or 31
32 Conclusion de lrsquoeacutetude 47
4 bull Plans factoriels complets agrave 4 facteurs 49
41 Exemple 03 la galette des rois 50
42 Fonction deacutesirabliteacute 60
43 Application agrave lrsquoexemple 03 64
44 Conclusion de lrsquoeacutetude 65
5 bull Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriences 67
51 Exemple 04 dureacutee de vie des outils de coupe jetables 68
52 Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriences 71
53 Facteurs et interactions influents 81
54 Analyse de la variance 82
55 Application agrave lrsquoexemple 04 85
56 Conclusion de lrsquoeacutetude 91
Goupy Livre Page V Jeudi 21 septembre 2006 623 18
VI
6 bull Plans factoriels fractionnaires 93
61 Exemple 05 le tellure 94
62 Theacuteorie des aliases 97
63 Calcul de Box 99
64 Relation drsquoeacutequivalence 102
65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases 104
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire 105
67 Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base 112
68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 05 112
69 Conclusion de lrsquoeacutetude 113
7 bull Exemples de plans factoriels fractionnaires 115
71 Exemple 06 la sulfonation 116
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre 124
73 Exemple 08 les pommes de terre chips 140
8 bull Ordre des essais 147
81 Nature des erreurs 148
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking) 151
83 Exemple 10 les haricots de Yates 161
84 Exemple 11 le broyeur (exemple de plan anti-deacuterive) 168
85 Avantages et dangers de la randomisation 175
9 bull Plans pour surfaces de reacuteponse 179
91 Preacutesentation des plans composites 179
92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken 180
93 Preacutesentation des plans de Doehlert 181
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre (exemple de plan composite) 184
95 Exemple 13 un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken) 194
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide (exemple de plan de Doehlert) 199
10 bull Plans de meacutelanges 207
101 Contrainte fondamentale des meacutelanges 207
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges 208
103 Plans de meacutelanges classiques 212
104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges 215
105 Exemple 15 les trois polymegraveres 217
Goupy Livre Page VI Jeudi 21 septembre 2006 623 18
VII
11 bull Notion de plan optimal 221
111 Exemple drsquoHotelling 221
112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences 223
113 Optimaliteacute 225
114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire 229
115 Quand utiliser des plans optimaux 232
116 Adaptabiliteacute des plans optimaux 232
117 Exemple 16 deacuteveloppement drsquoun deacutetecteur de fissures 235
118 Exemple 17 les comprimeacutes du pharmacien 240
119 Exemple 18 la cregraveme agrave bronzer 248
12 bull Carreacutes latins et plans associeacutes 255
121 Exemple 19 les salaires ndash un facteur discret agrave plusieurs niveaux 255
122 Suite de lrsquoexemple 19 ndash deux facteurs discrets agrave plusieurs niveaux 257
123 Carreacutes latins 264
124 Carreacutes greacuteco-latins 265
125 Carreacutes de Youden 266
126 Exemple 20 eacutetude de la peacuteneacutetromeacutetrie 267
13 bull Synthegravese et conseils 271
131 Choix drsquoune meacutethode drsquoexpeacuterimentation 271
132 Expeacuterimentation 277
133 Analyse des reacutesultats 277
134 Acquisition progressive des connaissances 279
135 Recommandations 280
136 Limites de lrsquoexpeacuterimentique 280
14 bull Preacuteparez et analysez vos plans drsquoexpeacuteriences avec JMPreg 281
141 Construire un plan drsquoexpeacuteriences 281
142 Le tableur de JMP 286
143 Choisir et utiliser un modegravele 288
144 Examiner et analyser les reacutesultats 290
145 Principaux graphiques et rapports drsquoanalyse 291
146 Transfeacuterer et sauvegarder les reacutesultats et les analyses 293
Goupy Livre Page VII Jeudi 21 septembre 2006 623 18
Annexes
A bull Origine des exemples 297
B bull Comparaison de deux moyennes indeacutependantes 299
C bull Seacuteries drsquoessais laissant les facteurs principaux insensibles agrave une deacuterive lineacuteaire 301
D bull Introduction au calcul matriciel 307
Bibliographie 313
Index 321
Instructions pour utiliser le logiciel JMPreg 324
Goupy Livre Page VIII Jeudi 21 septembre 2006 623 18
IX
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
AVANT-PROPOS
La premiegravere eacutedition de ce livre a eacuteteacute publieacutee en 1988 Depuis cette anneacutee-lagrave lrsquoutili-sation des plans drsquoexpeacuteriences srsquoest consideacuterablement deacuteveloppeacutee dans les mondesindustriels et universitaires De nombreux logiciels consacreacutes aux plans drsquoexpeacute-riences sont apparus Ils ont simplifieacute la construction des plans effaceacute les diffi-culteacutes de calcul et permis la reacutealisation rapide de graphiques mettant en valeur lesprincipaux reacutesultats de lrsquoexpeacuterimentation Il eacutetait donc devenu neacutecessaire de rajeunirlrsquoouvrage Introduction aux plans drsquoexpeacuteriences pour tenir compte de cette rapideeacutevolution Crsquoest lrsquoobjet de cette troisiegraveme eacuteditionLes premiegravere et deuxiegraveme eacuteditions ne traitaient que des plans factoriels complets oufractionnaires Cette troisiegraveme eacutedition comporte en plus des chapitres sur les planspour surfaces de reacuteponse sur les plans de meacutelanges sur les plans D-optimaux et surles plans pour variables discregravetes Cet eacutelargissement a eacuteteacute possible gracircce aux logicielsdrsquoaujourdrsquohui qui permettent de construire facilement tous ces plans et qui reacutealisentles calculs les plus complexes rapidement et sans aucune difficulteacutePour que vous puissiez vous rendre compte de la puissance des logiciels actuels lasocieacuteteacute SAS nous a permis drsquoincorporer une version complegravete de son logiciel JMPreg
(prononcez jump) dans ce livre Vous aurez ce logiciel agrave votre disposition pendantsix mois agrave partir du moment ougrave vous lrsquoaurez activeacute (voir les instructions en findrsquoouvrage)Ce livre est compleacuteteacute par un blog (httpwwwplansdexperiencescom) sur lequelvous trouverez des explications suppleacutementaires sur les exemples un manuel (enfranccedilais) drsquointroduction au logiciel et les fichiers teacuteleacutechargeables des exemples Unedocumentation plus complegravete existe en anglais et peut ecirctre consulteacutee et teacuteleacutechargeacuteesur le site httpwwwjmpcomNous tenons agrave remercier Michel Genetay Reacutemi Longeray Lalatiana Rakotozafy etJacques Vailleacute qui ont relu le manuscrit original de ce livre et qui nous ont faitprofiter de leurs suggestions et de leurs conseilsNous conseillons aux lecteurs qui veulent compleacuteter leurs connaissances drsquoaccom-pagner leur lecture par lrsquoexeacutecution des calculs avec le logiciel Ils pourront ainsiapprofondir les analyses et proceacuteder agrave leur propre interpreacutetation Nous avonsessayeacute de fournir aux lecteurs tous les outils et toutes les explications pour qursquoilspuissent utiliser facilement la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences pour leurs proprestravaux Il nous reste agrave leur souhaiter laquo Bons plans drsquoexpeacuteriences raquo
Jacques Goupy Paris (France)Lee Creighton Cary (Caroline du Nord Eacutetats-Unis)
Goupy Livre Page IX Jeudi 21 septembre 2006 623 18
Goupy Livre Page X Jeudi 21 septembre 2006 623 18
1
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull FAITES CONNAISSANCE AVECLA MEacuteTHODE DES PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES
Si vous lisez ce livre crsquoest que probablement vous faites des expeacuteriences et que vouscherchez agrave mieux les organiser Vous cherchez surtout agrave ne faire que les bonnesexpeacuteriences crsquoest-agrave-dire celles qui vont vous apporter la meilleure informationexpeacuterimentale que vous puissiez espeacutererCe livre est eacutecrit pour vous aider Il va vous deacutecrire la meacutethode et les outils pour quevous ne fassiez plus que les bonnes expeacuteriences et que vous en tiriez le maximumde renseignements Vous prendrez vos deacutecisions en connaissance de cause et voustrouverez des solutions agrave vos problegravemesNous allons drsquoabord regarder comment srsquointegravegrent les plans drsquoexpeacuteriences dans leprocessus drsquoacquisition des connaissances Puis nous verrons les concepts de basequi permettent de bien deacutefinir une eacutetude et comment lrsquoon interpregravete les reacutesultatsdes essais
11 Processus drsquoacquisition des connaissances
Augmenter ses connaissances crsquoest trouver la reacuteponse agrave une question poseacutee Oncommence donc par se poser une ou plusieurs questions (Figure 11) Par exemplesi lrsquoon deacutesire connaicirctre lrsquoinfluence drsquoun engrais sur le rendement en bleacute drsquouneparcelle de terrain on pourra se poser les questions suivantes qui bien sucircr ne sontpas limitatives
ndash laquo Peut-on obtenir 10 quintaux de bleacute de plus agrave lrsquohectare en augmentant la quantiteacutedrsquoengrais raquo
ndash laquo Quelle est lrsquoincidence de la pluie sur lrsquoefficaciteacute de lrsquoengrais raquondash laquo La qualiteacute du bleacute restera-t-elle bonne si jrsquoutilise cet engrais raquondash laquo Combien dois-je utiliser drsquoengrais pour obtenir la quantiteacute maximale de bleacute
par hectare raquo
Ces questions deacutelimitent le problegraveme agrave reacutesoudre et fixent les travaux agrave exeacutecuterIl est donc important de se poser les questions qui correspondent reacuteellement auproblegraveme Bien sucircr avant drsquoentreprendre des expeacuteriences il est prudent de veacuterifierque lrsquoinformation chercheacutee nrsquoexiste pas deacutejagrave ailleurs Dans ce but on effectue uninventaire des connaissances soit une bibliographie soit une consultation drsquoexpertssoit un calcul theacuteorique soit toute autre deacutemarche ayant pour but de reacutepondre
Goupy Livre Page 1 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
2
11 Processus drsquoacquisition des connaissances1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
sans expeacuterience aux questions poseacutees Apregraves cette phase drsquoenquecircte les questionsinitiales peuvent ecirctre entiegraverement reacutesolues et il nrsquoy a plus de problegraveme Dans le cascontraire certaines questions restent entiegraveres ou elles sont modifieacutees il est alorsneacutecessaire drsquoentreprendre des expeacuteriences pour obtenir les reacuteponses complegravetes quelrsquoon souhaite Ce travail preacutealable fait partie du meacutetier drsquoexpeacuterimentateur et nousnrsquoinsisterons pas Ce nrsquoest pas sur cette phase du processus que nous voulons faireporter notre effort de reacuteflexion et drsquoameacuteliorationNrsquoayant plus que les questions sans reacuteponse immeacutediate il faut faire des expeacuteriencesComment peut-on choisir ces expeacuteriences pour
ndash arriver rapidement aux meilleurs reacutesultats possiblesndash eacuteviter de reacutealiser des expeacuteriences inutilesndash obtenir la meilleure preacutecision possible sur les reacutesultatsndash permettre drsquoavancer agrave coup sucircrndash eacutetablir la modeacutelisation du pheacutenomegravene eacutetudieacutendash deacutecouvrir la solution optimale
Les trois aspects essentiels du processus drsquoacquisition des connaissances sont lessuivantes
ndash le choix de la meacutethode drsquoexpeacuterimentationndash lrsquoanalyse des reacutesultatsndash lrsquoacquisition progressive de la connaissance
Examinons plus en deacutetail ces trois aspects sachant que les expeacuteriences sont organiseacuteespour faciliter lrsquoexploitation des reacutesultats et pour permettre lrsquoacquisition progressivedes reacutesultats drsquointeacuterecirct
Figure 11 ndash Les plans drsquoexpeacuteriences optimisent les trois parties encadreacutees du processus drsquoacquisition des connaissances
Goupy Livre Page 2 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
12 Eacutetude drsquoun pheacutenomegravene
3
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
111 Choix de la meacutethode drsquoexpeacuterimentation
La meacutethode drsquoexpeacuterimentation choisie doit faciliter lrsquointerpreacutetation des reacutesultatsElle doit eacutegalement minimiser le nombre des essais sans toutefois sacrifier la qualiteacuteLa theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences assure les conditions pour lesquelles on obtientla meilleure preacutecision possible avec le minimum drsquoessais On a donc le maximumdrsquoefficaciteacute avec le minimum drsquoexpeacuteriences et par conseacutequent le coucirct minimum
112 Analyse des reacutesultats
Lrsquoanalyse des reacutesultats drsquoexpeacuteriences est faciliteacutee par le choix initial des expeacuteriencesLes reacutesultats seront faciles agrave interpreacuteter et riches drsquoenseignement si lrsquoon a bien preacutepareacuteles expeacuteriencesGracircce aux ordinateurs et aux logiciels la construction des plans drsquoexpeacuteriences et lescalculs neacutecessaires agrave leur interpreacutetation sont devenus tregraves simples Ces outils favorisenteacutegalement les repreacutesentations graphiques qui illustrent de maniegravere spectaculaire lesreacutesultats et ameacuteliorent la compreacutehension des pheacutenomegravenes
113 Acquisition progressive de la connaissance
Lrsquoexpeacuterimentateur qui entreprend une eacutetude ne connaicirct pas les reacutesultats il estdonc sage drsquoavancer progressivement pour pouvoir reacuteorienter les essais en fonctiondes premiers reacutesultats Une premiegravere eacutebauche permettra de mieux orienter les essaisvers les seuls aspects inteacuteressants de lrsquoeacutetude et drsquoabandonner les voies sans issuesUne premiegravere seacuterie drsquoexpeacuteriences conduit agrave des conclusions provisoires en fonc-tion de ces conclusions provisoires on lance une nouvelle seacuterie drsquoessais Lrsquoensembledes deux seacuteries drsquoexpeacuteriences est utiliseacute pour obtenir un contour preacutecis des reacutesultatsdrsquoeacutetude Lrsquoexpeacuterimentateur accumule ainsi les seuls reacutesultats dont il a besoin etsrsquoarrecircte degraves qursquoil a obtenu ce qursquoil cherche
12 Eacutetude drsquoun pheacutenomegravene
Lrsquoeacutetude drsquoun pheacutenomegravene revient souvent agrave srsquointeacuteresser agrave une grandeur particuliegraverecomme la consommation drsquoessence drsquoune voiture ou comme le prix de revientdrsquoun produit chimique ou encore comme le rendement en bleacute drsquoune parcelle deterrain Cette grandeur consommation prix ou rendement deacutepend drsquoun grandnombre de variables La consommation de la voiture est fonction de la vitesse duveacutehicule de la puissance du moteur de la maniegravere de conduire de la direction etde la force du vent du gonflage des pneumatiques de la preacutesence ou non drsquounporte-bagages du nombre de personnes transporteacutees de la marque de la voitureetc Le prix du produit chimique deacutepend de la qualiteacute des matiegraveres premiegraveres desrendements des uniteacutes de production des speacutecifications imposeacutees des conditionsde fabrication etc Il en est de mecircme pour le rendement en bleacute qui est fonction dela nature du terrain de la quantiteacute drsquoengrais incorporeacute de lrsquoexposition au soleildu climat de la varieacuteteacute de bleacute ensemenceacute etc
Goupy Livre Page 3 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
4
13 Terminologie1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
Sous une forme matheacutematique on peut eacutecrire que la grandeur drsquointeacuterecirct y quenous appellerons eacutegalement reacuteponse par la suite est une fonction de plusieursvariables xi (variables que nous appellerons aussi facteurs par la suite) On a
y = f (x1x2x3hellipxk)
Lrsquoeacutetude du pheacutenomegravene se ramegravene agrave deacuteterminer la fonction f( ) qui lie la reacuteponse yaux diffeacuterents facteurs x1 x2 hellip xkPour approfondir cette approche il faut introduire quelques notions particuliegravereset une terminologie speacutecifique aux plans drsquoexpeacuteriences
13 Terminologie
La grandeur drsquointeacuterecirct qui est geacuteneacuteralement noteacutee y porte le nom de reacuteponse Lesvariables qui peuvent modifier la reacuteponse sont appeleacutees facteurs On parle donc desfacteurs qui influent sur une reacuteponse Les termes facteur et reacuteponse sont universellementemployeacutes dans le domaine des plans drsquoexpeacuteriences
131 Les diffeacuterents types de facteurs
La construction des plans et lrsquointerpreacutetation des reacutesultats deacutependent en grandepartie des types de facteurs rencontreacutes dans lrsquoeacutetude On distingue plusieurs typesde facteurs Nous retiendrons les types de facteurs suivants les facteurs continusles facteurs discrets les facteurs ordonnables les facteurs booleacuteens
m Facteurs continus
La pression est un exemple de facteur continu Dans un intervalle de pressiondonneacute on peut choisir toutes les valeurs possibles Il en est de mecircme drsquoune longueurdrsquoune concentration ou drsquoune tempeacuterature Les valeurs prises par les facteurs continussont donc repreacutesenteacutees par des nombres continus
m Facteurs discrets
Au contraire les facteurs discrets ne peuvent prendre que des valeurs particuliegraveresCes valeurs ne sont pas forceacutement numeacuteriques on peut repreacutesenter un facteurdiscret par un nom une lettre une proprieacuteteacute ou mecircme par un nombre qui nrsquoaalors en soi aucune valeur numeacuterique mais qursquoune signification de repegravere Parexemple on peut srsquointeacuteresser aux couleurs drsquoun produit bleu rouge et jaune sontdes facteurs discrets
m Facteurs ordonnables
Il srsquoagit de facteurs discrets que lrsquoon peut mettre dans un ordre logique Par exemplegrand moyen petit ou encore premier deuxiegraveme troisiegraveme et quatriegraveme
m Facteurs booleacuteens
Les facteurs booleacuteens sont des facteurs discrets qui ne peuvent prendre que deuxvaleurs haut ou bas ouvert ou fermeacute blanc ou noir etc
Goupy Livre Page 4 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
13 Terminologie
5
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
La frontiegravere est parfois floue entre ces diffeacuterents types de facteurs Une couleurfacteur apparemment discret peut ecirctre transformeacutee en grandeur ordonnable etmecircme continue si lrsquoon introduit la notion de longueur drsquoonde Un facteurcontinu comme la vitesse peut ecirctre transformeacute en facteur ordonnable ou discret rapide et lent ou vitesse A et vitesse B Cette possibiliteacute nrsquoest pas un inconveacutenientcrsquoest une souplesse suppleacutementaire dont lrsquoexpeacuterimentateur pourra tirer avantage aumoment de lrsquointerpreacutetation En effet suivant le choix effectueacute on pourra mettreplus facilement en relief un aspect particulier de lrsquoeacutetude Le changement de typesde variables est aussi un moyen drsquoadapter la reacuteponse agrave lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude Parexemple on possegravede lrsquoacircge des membres drsquoune population Si lrsquoon cherche lrsquoacircgemoyen la variable laquo acircge raquo sera choisie continue Si lrsquoon cherche le pourcentage despersonnes ayant un acircge donneacute la variable laquo acircge raquo sera choisie ordonnable il y auraplusieurs cateacutegories deacutefinies par les limites drsquoacircge les jeunes les adolescents lesadultes et les seniors Si lrsquoon cherche la proportion de jeunes de moins de 18 ansla variable laquo acircge raquo sera choisie booleacuteenne les moins de 18 ans et les plus de 18 ansLa compreacutehension des plans drsquoexpeacuteriences srsquoappuie sur la notion essentielledrsquoespace expeacuterimental des grandeurs eacutetudieacutees Nous allons examiner en deacutetail ceconcept fondamental Nous insisterons sur les facteurs continus qui sont les pluscouramment utiliseacutes
132 Espace expeacuterimental
Pour preacutesenter lrsquoespace expeacuterimental nous utiliserons un espace agrave deux dimen-sions ce qui facilitera les repreacutesentations graphiques Il est ensuite facile drsquoeacutetendreles notions introduites agrave des espaces multidimensionnelsUn facteur continu peut ecirctre repreacutesenteacute par un axe gradueacute et orienteacute Srsquoil y a unsecond facteur continu il est repreacutesenteacute lui aussi par un axe gradueacute et orienteacuteCe second axe est disposeacute orthogonalement au premier On obtient ainsi unrepegravere carteacutesien qui deacutefinit un espace euclidien agrave deux dimensions Cet espaceest appeleacute lrsquoespace expeacuterimental (figure 12) Lrsquoespace expeacuterimental comprend tousles points du plan laquo facteur 1 times facteur 2 raquo et chacun drsquoeux repreacutesente une expeacute-rience
Figure 12 ndash Chaque facteur est repreacutesenteacute par un axe gradueacute et orienteacute Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux Lrsquoespace ainsi deacutefini est lrsquoespace expeacuterimental
Espace expeacuterimental
Goupy Livre Page 5 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
6
13 Terminologie1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
Srsquoil y a un troisiegraveme facteur on le repreacutesente aussi par un axe orienteacute et gradueacute eton le positionne perpendiculairement aux deux premiers Agrave partir de quatrefacteurs on opegravere de mecircme mais il nrsquoy a plus de repreacutesentation geacuteomeacutetriquepossible et lrsquoon doit adopter une repreacutesentation purement matheacutematique de lrsquoespaceexpeacuterimental qui est un hypervolume agrave quatre dimensions
133 Domaine drsquoun facteur
La valeur donneacutee agrave un facteur pour reacutealiser une expeacuterience est appeleacutee niveau
Lorsqursquoon eacutetudie lrsquoinfluence drsquoun facteur en geacuteneacuteral on limite ses variations entredeux bornes La borne infeacuterieure est le niveau bas La borne supeacuterieure est leniveau haut Si lrsquoon eacutetudie lrsquoinfluence de la vitesse du veacutehicule sur la consommationcelle-ci peut varier par exemple entre 80 et 120 kmh La vitesse de 80 kmh estle niveau bas et la vitesse de 120 kmh est le niveau haut Crsquoest lrsquoexpeacuterimentateurqui deacutefinit ces deux niveaux en fonction des speacutecificiteacutes de lrsquoeacutetude Lrsquoensemble detoutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau hautsrsquoappelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine dufacteurSrsquoil y a plusieurs facteurs chacun drsquoeux agrave son domaine de variation Afin drsquoavoirune repreacutesentation commune pour tous les facteurs on a lrsquohabitude drsquoindiquer lesniveaux bas par ndash1 et les niveaux hauts par +1 La vitesse de 80 kmh est le niveaundash1 et celle de 120 kmh est le niveau +1Agrave lrsquointeacuterieur du domaine drsquoun facteur continu toutes les valeurs sont theacuteorique-ment possibles On peut donc y choisir deux trois ou plusieurs niveaux selon lesbesoins de lrsquoeacutetude Par exemple si lrsquoon veut eacutetablir un modegravele du second degreacute onchoisira trois ou quatre niveaux crsquoest-agrave-dire trois ou quatre vitesses diffeacuterentes
134 Domaine drsquoeacutetude
Dans la pratique lrsquoexpeacuterimentateur seacutelectionne une partie de lrsquoespace expeacuterimentalpour reacutealiser son eacutetude Cette zone particuliegravere de lrsquoespace expeacuterimental est ledomaine drsquoeacutetude (figure 14) Ce domaine est deacutefini par les niveaux hauts et lesniveaux bas de tous les facteurs et eacuteventuellement par des contraintes entre lesfacteurs Supposons que le second facteur soit la surcharge du veacutehicule deacutefiniecomme toute masse suppleacutementaire agrave celle du veacutehicule et du chauffeur Le niveau
Figure 13 ndash Le domaine de variation de la vitesse est constitueacute de toutes les vitesses comprises entre 80 et 120 kmh Le niveau bas du facteur est noteacute ndash1 et le niveau haut +1
80 kmh
niveau bas
Vitesse du veacutehicule
niveau haut
Domaine deacutetude de la vitesse du veacutehicule
ndash 1 + 1
120 kmh
Goupy Livre Page 6 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
13 Terminologie
7
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
bas de la surcharge est 0 kg et le niveau haut 300 kg par exemple Srsquoil nrsquoy a pas decontraintes le domaine drsquoeacutetude est repreacutesenteacute par tous les points dont les surchargessont comprises entre 0 et 300 kg et dont les vitesses sont comprises entre 80 et120 kmh
Il peut y avoir des contraintes sur le domaine drsquoeacutetude Par exemple il peut ecirctreimpossible drsquoatteindre la vitesse de 120 kmh avec une surcharge trop eacuteleveacutee Lafigure 15 illustre une reacuteduction possible du domaine drsquoeacutetude initial Une zone dudomaine drsquoeacutetude initial eacutechappe aux expeacuteriences
Figure 14 ndash Le domaine drsquoeacutetude est deacutefini par la reacuteunion des domaines des diffeacuterents facteurs (ici il nrsquoy a pas de contraintes)
Figure 15 ndash Le domaine drsquoeacutetude sous contraintes est repreacutesenteacute par la partie griseacutee
+ 1
+ 11 Facteur 1
Facteur 2
Domaine deacutetude
Vitesse
Surcharge
80 kmh
0 kg
300 kg
120 kmh
ndash
1ndash
+ 1
+ 11
1
Vitesse ( kmh)
Surcharge (kg)
Domaine deacutetude
300
0
80 120
Zone exclue
ndash
ndash
Goupy Livre Page 7 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
8
14 Variables centreacutees reacuteduites1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
14 Variables centreacutees reacuteduites
Lorsqursquoon attribue la valeur minus1 au niveau bas drsquoun facteur et la valeur +1 au niveauhaut on effectue deux modifications importantes
ndash On deacuteplace lrsquoorigine des mesures Dans lrsquoexemple choisi le milieu de lrsquointer-valle [minus1 +1] correspond agrave une valeur de 100 kmh La valeur numeacuterique de lanouvelle origine zeacutero diffegravere donc de lrsquoorigine exprimeacutee en uniteacute courante
ndash On change lrsquouniteacute de mesure Par exemple si le niveau bas du facteur laquo vitessedu veacutehicule raquo est 80 kmh et le niveau haut 120 kmh il y a 40 kmh entre cesdeux valeurs soit 40 fois lrsquouniteacute de vitesse Entre minus1 et +1 il y a deux uniteacutesnouvelles la nouvelle uniteacute vaut 20 kmh on lui donne le nom de Pas
Ces deux modifications entraicircnent lrsquointroduction de nouvelles variables que lrsquoonappelle variables centreacutees reacuteduites (vcr) centreacutees pour indiquer le changementdrsquoorigine et reacuteduites pour signaler la nouvelle uniteacute On utilise eacutegalement le termede variables codeacutees ou drsquouniteacutes codeacuteesLe passage des variables drsquoorigine A aux variables codeacutees x et inversement est donneacutepar la formule suivante (A0 est la valeur centrale en uniteacutes courantes)
11
Lrsquointeacuterecirct des uniteacutes codeacutees est de pouvoir preacutesenter les plans drsquoexpeacuteriences de lamecircme maniegravere quels que soient les domaines drsquoeacutetude retenus et quels que soient lesfacteurs La theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences preacutesente ainsi une grande geacuteneacuteraliteacuteLrsquoutilisation des vcr est tregraves reacutepandue dans les logiciels de plans drsquoexpeacuteriences etcertaines opeacuterations comme la recherche des meilleurs points drsquoexpeacuteriences par lecritegravere de D-optimaliteacute ne sont reacutealisables qursquoavec ces variablesLes variables codeacutees reacutesultent du rapport de deux grandeurs de mecircme uniteacute physiqueelles sont donc sans dimension La disparition des uniteacutes naturelles associeacutee au faitque tous les facteurs ont le mecircme domaine de variation (deux uniteacutes codeacutees)permet la comparaison directe des effets des facteurs entre eux
Application 1
Un expeacuterimentateur choisit pour le facteur laquo vitesse de la voiture raquo 80 kmh comme niveau bas et120 kmh comme niveau haut Quelle est en variables codeacutees la valeur de la vitesse de 90 kmh
Calculons le Pas du facteur vitesse Il est eacutegal agrave la moitieacute de la diffeacuterence entre le niveau haut et leniveau bas
A0 est la valeur centrale entre le niveau haut et le niveau bas crsquoest-agrave-dire la moitieacute de la somme duniveau haut et du niveau bas
Appliquons la relation 11
Pour cet exemple la vitesse de 90 kmh est donc eacutegale agrave minus05 en variables codeacutees
xA A0ndash
Pas---------------=
PasA+1 A 1ndashndash
2---------------------- 120 80ndash
2--------------------- 20= = =
A0A+1 A 1ndash+
2---------------------- 120 80+
2--------------------- 100= = =
xA A0ndash
Pas--------------- 90 100ndash
20--------------------- 05ndash= = =
Goupy Livre Page 8 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
15 Points expeacuterimentaux
9
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
Application 2
On peut aussi chercher la valeur normale connaissant la valeur codeacutee Quelle est en uniteacutesnormales la valeur de la vitesse de +05 en uniteacutes codeacutees Eacutecrivons la relation 11
Drsquoougrave A = +100 + 05 times 20 = 110
La vitesse codeacutee de 05 correspond agrave une vitesse de 110 kmh
15 Points expeacuterimentaux
Dans un espace agrave deux dimensions le niveau i du facteur 1 noteacute x1i et le niveau jdu facteur 2 noteacute x2j peuvent ecirctre consideacutereacutes comme les coordonneacutees drsquoun pointde lrsquoespace expeacuterimental ou du domaine drsquoeacutetude (figure 16) Par exemple si leniveau de la vitesse est 90 kmh et celui de la surcharge est 250 kg les coordonneacuteesdu point expeacuterimental sont
x1i = 90 kmhx2j = 250 kg
Une expeacuterience donneacutee est alors repreacutesenteacutee par un point dans ce systegraveme drsquoaxesCrsquoest la raison pour laquelle une expeacuterience est souvent deacutesigneacutee par lrsquoexpressionpoint expeacuterimental point drsquoexpeacuterience ou mecircme simplement point Un plan drsquoexpeacute-riences est donc repreacutesenteacute par un ensemble de points expeacuterimentaux eux-mecircmessitueacutes dans lrsquoespace expeacuterimental Dans lrsquoexemple que nous avons pris lrsquoexpeacuterienceest conduite sur un veacutehicule qui roule agrave 90 kmh avec une surcharge de 250 kg
Jusqursquoagrave trois facteurs il est possible de dessiner le domaine drsquoeacutetude Au-delagrave detrois facteurs on utilise une repreacutesentation en tableau dite matricielle plus geacuteneacuteralepuisqursquoelle permet de repreacutesenter les points drsquoexpeacuteriences dans un hypervolume agraveun nombre quelconque de dimensions
Figure 16 ndash Dans lrsquoespace expeacuterimental les niveaux des facteurs deacutefinissent des points expeacuterimentaux
+05 A 100ndash20
------------------=
Facteur 2
Facteur 1
Point expeacuterimental
x2 j
x1 i
Vitesse
Surcharge
90 km h
250 kg
Goupy Livre Page 9 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
10
16 Plans drsquoexpeacuteriences1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
16 Plans drsquoexpeacuteriences
161 Meacutethodologie des plans sans contrainte
Le choix du nombre et de lrsquoemplacement des points drsquoexpeacuteriences est le problegravemefondamental des plans drsquoexpeacuteriences On cherche agrave reacutealiser le minimum drsquoexpeacute-riences tout en reacuteduisant lrsquoinfluence de lrsquoerreur expeacuterimentale sur les modeacutelisationsmatheacutematiques qui serviront agrave prendre des deacutecisions On atteint ce but en consi-deacuterant les proprieacuteteacutes matheacutematiques et statistiques qui relient la reacuteponse auxfacteurs Lorsqursquoil nrsquoy a pas de contraintes sur le domaine drsquoeacutetude il existe desplans classiques qui possegravedent drsquoexcellentes qualiteacutes statistiques et qui permettentde modeacuteliser les reacuteponses dans les meilleures conditions (figure 17) Lorsqursquoilexiste des contraintes il faut construire des plans sur mesure en recherchant laposition des points expeacuterimentaux qui conduisent lagrave aussi agrave de bonnes qualiteacutesstatistiques et agrave une bonne modeacutelisation des reacuteponses
162 Meacutethodologie des plans avec contrainte
La proceacutedure de construction des plans dont le domaine est contraint est la suivante 1 On deacutefinit le domaine de chacun des facteurs (niveau bas et niveau haut)2 On deacutefinit les contraintes qui pegravesent sur les facteurs Ces contraintes sont expri-meacutees par des relations drsquoineacutegaliteacute entre les facteurs et elles deacutefinissent les zonesautoriseacutees crsquoest-agrave-dire celles ougrave les expeacuteriences sont possibles et les zones inter-dites crsquoest-agrave-dire celles ougrave les expeacuteriences ne doivent pas ecirctre exeacutecuteacutees3 On deacutefinit les niveaux des facteurs les plus inteacuteressants pour lrsquoeacutetude autres queles niveaux bas et hauts Le plus souvent entre 2 et 5 niveaux suppleacutementaires parfacteur4 On construit une grille en prenant en compte toutes les combinaisons desniveaux des facteurs Cette grille ne doit contenir que les points expeacuterimentauxreacutealistes crsquoest-agrave-dire les points du domaine autoriseacute Ces points constituent lespoints candidats (figure 18)
Figure 17 ndash Exemple de disposition des points expeacuterimentaux dans un domaine sans contraintes
+ 1
+ 1 1
1
Facteur 1
Facteur 2
ndash
ndash
Goupy Livre Page 10 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
16 Plans drsquoexpeacuteriences
11
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
5 On choisit une fonction reliant a priori la reacuteponse aux facteurs6 On seacutelectionne en fonction drsquoun critegravere drsquooptimaliteacute choisi le nombre etlrsquoemplacement des points expeacuterimentaux les plus utiles agrave la modeacutelisation dupheacutenomegravene eacutetudieacute (figure 19) Cette seacutelection exige de longs calculs et nrsquoest possibleqursquoavec lrsquoaide drsquoun logiciel de plans drsquoexpeacuteriences
Figure 18 ndash La grille des points candidats est constitueacutee drsquoexpeacuteriences possibles dans le domaine drsquoeacutetude
Figure 19 ndash Les meilleurs points sont seacutelectionneacutes par le logiciel
+ 1
+ 1 1
1
Vitesse
Surcharge (kg)
1 000
0
80 120
Facteur 1
Facteur 2
ndash
ndash
(kmh)
+ 1
+ 1 1
1
Vitesse (kmh)
Surcharge (kg)
1 000
0
80 120
Facteur 1
Facteur 2
ndash
ndash
Goupy Livre Page 11 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
12
16 Plans drsquoexpeacuteriences1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
163 Surfaces de reacuteponse
Agrave chaque point du domaine drsquoeacutetude correspond une reacuteponse Agrave lrsquoensemble de tousles points du domaine drsquoeacutetude correspond un ensemble de reacuteponses qui se localisesur une surface appeleacutee surface de reacuteponse (figure 110)
En geacuteneacuteral on ne connaicirct que quelques reacuteponses celles qui correspondent auxpoints expeacuterimentaux retenus par lrsquoexpeacuterimentateur On interpole agrave lrsquoaide drsquounmodegravele matheacutematique les reacuteponses inconnues pour obtenir la surface de reacuteponseLes points drsquoexpeacuteriences retenus par la theacuteorie des plans drsquoexpeacuteriences assurent lameilleure preacutecision possible sur la forme et la position de la surface de reacuteponse
164 Modeacutelisation matheacutematique a priori de la reacuteponse
m Modeacutelisation matheacutematique
En lrsquoabsence de toute information sur la fonction qui lie la reacuteponse aux facteurson se donne a priori une loi drsquoeacutevolution dont la formulation la plus geacuteneacuterale est lasuivante
y = f (x1x2x3hellipxn) 12
Cette fonction est trop geacuteneacuterale et il est drsquousage drsquoen prendre un deacuteveloppementlimiteacute de Taylor-Mac Laurin crsquoest-agrave-dire une approximation Si les deacuteriveacuteespeuvent ecirctre consideacutereacutees comme des constantes le deacuteveloppement preacuteceacutedentprend la forme drsquoun polynocircme de degreacute plus ou moins eacuteleveacute
13
Figure 110 ndash Lrsquoensemble des reacuteponses qui correspond agrave tous les points du domaine drsquoeacutetude forme la surface de reacuteponse
A B
1 +1
1
Facteur 2
Facteur 1
Reacuteponse
D+1
ndash
ndash
y a0 aixisum aijxixjsum aiixi2sum hellip+ + + +=
Goupy Livre Page 12 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
16 Plans drsquoexpeacuteriences
13
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
ougrave
ndash y est la grandeur agrave laquelle srsquointeacuteresse lrsquoexpeacuterimentateur crsquoest la reacuteponse ou lagrandeur drsquointeacuterecirct
ndash xi repreacutesente un niveau du facteur indash xj repreacutesente un niveau du facteur jndash a0 ai aij aii sont les coefficients du polynocircme
Ce modegravele est appeleacute le modegravele a priori ou le modegravele postuleacuteLes modegraveles eacutetablis sont des modegraveles de preacutevision valables dans le domaine drsquoeacutetudedomaine que lrsquoon doit toujours preacuteciser Ce ne sont pas des modegraveles theacuteoriquesbaseacutes sur des lois physico-chimiques ou meacutecaniques Dans quelques rares cas il estpossible drsquoutiliser des lois physiques theacuteoriques connues
m Modeacutelisation expeacuterimentale
Deux compleacutements doivent ecirctre apporteacutes au modegravele purement matheacutematiquepreacuteceacutedemment deacutecritLe premier compleacutement est le manque drsquoajustement Cette expression traduit le faitque le modegravele choisi par lrsquoexpeacuterimentateur avant les expeacuteriences est probablementun peu diffeacuterent du modegravele reacuteel qui reacutegit le pheacutenomegravene eacutetudieacute Il y a un eacutecartentre ces deux modegraveles Cet eacutecart est le manque drsquoajustement (lack of fit en anglais)on le note par la lettre DLe second compleacutement est la prise en compte de la nature aleacuteatoire de la reacuteponseEn effet dans le cas geacuteneacuteral si lrsquoon mesure plusieurs fois une reacuteponse en un mecircmepoint expeacuterimental on nrsquoobtiendra pas exactement le mecircme reacutesultat Il y a unedispersion des reacutesultats Les dispersions ainsi constateacutees sont appeleacutees erreurs aleacuteatoiresou erreurs expeacuterimentales (pure error en anglais) et on les note par la lettre eLa relation geacuteneacuterale 12 doit ecirctre modifieacutee ainsi
y = f (x1x2x3hellipxn) + D + e 14
Cette relation sera exploiteacutee au cours du chapitre 5 ougrave lrsquoon verra comment on estimele manque drsquoajustement D et lrsquoerreur aleacuteatoire e
m Systegraveme drsquoeacutequations
Chaque point expeacuterimental apporte une valeur de la reacuteponse Or cette reacuteponse estmodeacuteliseacutee par un polynocircme dont les coefficients sont les inconnues qursquoil fautdeacuteterminer Agrave la fin du plan drsquoexpeacuteriences on a un systegraveme de n eacutequations (srsquoil y an essais) agrave p inconnues (srsquoil y a p coefficients dans le modegravele choisi a priori) Cesystegraveme srsquoeacutecrit drsquoune maniegravere simple en notation matricielle
y = X a + e 15
ougrave
ndash y est le vecteur des reacuteponsesndash X est la matrice de calcul des coefficients ou matrice du modegravele qui deacutepend des
points expeacuterimentaux choisis pour exeacutecuter le plan et du modegravele postuleacutendash a est le vecteur des coefficientsndash e est le vecteur des eacutecarts
Goupy Livre Page 13 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
14
16 Plans drsquoexpeacuteriences1 bull Deacutecouvrir la meacutethodedes plans drsquoexpeacuteriences
Ce systegraveme ne peut pas en geacuteneacuteral ecirctre reacutesolu simplement car le nombre drsquoeacutequa-tions est infeacuterieur au nombre drsquoinconnues En effet il y a n eacutequations et p + ninconnues Cette reacutesolution ne peut ecirctre meneacutee agrave bien que si lrsquoon utilise unemeacutethode de reacutegression La plupart du temps cette meacutethode est baseacutee sur le critegraveredrsquooptimisation des moindres carreacutes On obtient ainsi les estimations des coefficientsque lrsquoon note
acircLe reacutesultat de ce calcul est
acirc = (Xcent X)ndash1 Xcent y 16formule dans laquelle la matrice Xcent est la matrice transposeacutee de X (voir lrsquoannexe Dsur le calcul matriciel) Il existe de nombreux logiciels qui exeacutecutent ce calcul etqui donnent directement les valeurs des coefficientsDeux matrices interviennent constamment dans la theacuteorie des plans drsquoexpeacute-riences ndash la matrice drsquoinformation Xcent Xndash la matrice de dispersion (Xcent X)ndash1
Goupy Livre Page 14 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
15
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull VOTRE PREMIER PLAN DrsquoEXPEacuteRIENCES
Si vous avez lu le premier chapitre vous en savez assez pour attaquer votre premierplan drsquoexpeacuteriences Nous allons suivre la deacutemarche suivante dont les principaleseacutetapes sont
ndash la preacuteparation de lrsquoeacutetudendash le choix du plan drsquoexpeacuteriencesndash lrsquoexpeacuterimentationndash lrsquointerpreacutetation des reacutesultatsndash lrsquoarrecirct ou la poursuite de lrsquoeacutetude
Nous allons examiner ces diffeacuterentes phases sur un premier exemple
21 Exemple 01 je maicirctrise la consommation de ma voiture
211 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
Cette eacutetape se deacutecompose en plusieurs parties dont les principales sont deacutecritesdans les paragraphes suivants
m Deacutefinition de lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude
Nous allons suivre la reacutealisation drsquoune eacutetude que tout le monde peut mettre surpieds Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de connaicirctre la consommation drsquoessence drsquounevoiture lorsqursquoon roule plus ou moins chargeacute et plus ou moins viteLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut reacutepondre agrave des questions telles que laquo Combien mavoiture consomme-t-elle si elle est agrave vide ou non si je roule vite ou non si elleest chargeacutee et si je roule vite raquo
m Description des eacuteleacutements sur lesquels va porter lrsquoexpeacuterimentation
Je vais deacutecrire les essais que jrsquoai effectueacutes sur ma propre voiture Je vais ecirctre le seulconducteur et jrsquoeffectuerai les essais sur une autoroute Si jrsquoen avais la possibiliteacute jeferais les essais sur un circuit automobile ougrave il est facile de respecter la plupart desconditions imposeacutees agrave lrsquoexpeacuterimentation Il est en effet plus facile de reacutealiser desessais sur un circuit dans un laboratoire un atelier pilote ou tout lieu speacutecialementconccedilu pour ce genre drsquoactiviteacute
Goupy Livre Page 15 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
16
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif
La reacuteponse sera la consommation drsquoessence en litres pour 100 kilomegravetres parcourus
m Recherche des facteurs qui pourraient ecirctre influents sur la reacuteponse
Quels sont les facteurs qui peuvent modifier la consommation drsquoune voiture Il y a bien sucircr les deux facteurs que je vais eacutetudier la charge et la vitesse de la voitureMais il y en a drsquoautres Par exemple la marque et la pression de gonflage des pneu-matiques la preacutesence ou non drsquoune galerie la direction du vent la pluie le reacuteglagedu moteur le nombre drsquoarrecircts et de deacutemarrages la route plus ou moins accidenteacuteeIl est prudent de noter par eacutecrit tous les facteurs possibles Pour remplir la listedes facteurs et essayer de ne pas en oublier on peut aller voir son garagiste pour luidemander srsquoil ne connaicirct pas drsquoautres facteurs pouvant augmenter ou reacuteduire laconsommation On a toujours inteacuterecirct agrave bien faire le tour du problegraveme On ne serapas obligeacute drsquoeacutetudier tous les facteurs mais on connaicirctra ceux qui pourraient ecirctreinfluents Les facteurs qui ne seront pas eacutetudieacutes dans le plan drsquoexpeacuteriences seront engeacuteneacuteral fixeacutes agrave un niveau constant pendant toute lrsquoexpeacuterimentation
m Deacutefinition des niveaux des facteurs
Il srsquoagit de choisir les niveaux haut et bas de chaque facteurLa vitesse ne devra pas ecirctre trop faible et elle ne devra pas deacutepasser les limitationsimposeacutees par la seacutecuriteacute Dans notre exemple le niveau bas sera de 80 kmh et leniveau haut de 120 kmhLa charge agrave vide est deacutefinie par la preacutesence du conducteur seul sans aucun bagage Lasurcharge est deacutefinie par le poids ajouteacute agrave la charge agrave vide Srsquoil y a 3 personnes suppleacute-mentaires et 25 kg de bagage par personne la surcharge est drsquoenviron 3 times 70 = 210pour les passagers et 4 times 25 = 100 kg pour les bagages des quatre personnes agrave bordsoit environ 300 kg de surcharge Au lieu de faire appel agrave ses voisins pour les essaison pourra utiliser des gueuses de fonte reacuteguliegraverement reparties sur les siegraveges et dansle coffre Le poids total des gueuses est de 300 kgLe niveau bas du facteur charge sera la voiture et le conducteur seul et sans bagageLe niveau haut du facteur charge sera la voiture le conducteur et une chargesuppleacutementaire de 300 kg reacuteguliegraverement reacutepartieIl est bon de reacutesumer ces niveaux dans un tableau (Tableau 21)
Ce tableau est important car les conclusions de lrsquoexpeacuterimentation ne seront valablesqursquoagrave lrsquointeacuterieur de ce domaine drsquoeacutetude Si lrsquoon charge la voiture agrave 400 kg et quelrsquoon roule agrave 130 kmh on ne pourra pas utiliser les conclusions de cette eacutetude
Tableau 21 ndash Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Facteur Niveau bas (ndash) Niveau haut (+)
Vitesse (1) 80 kmh 120 kmh
Surcharge (2) 0 300 kg
Goupy Livre Page 16 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
17
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
m Examen des contraintes
Lorsque lrsquoon roule la quantiteacute drsquoessence diminue Le poids du veacutehicule est doncmodifieacute au cours de lrsquoexpeacuterimentation Il faudra commencer chaque essai avec lereacuteservoir plein pour que le facteur laquo diminution drsquoessence au cours de lrsquoessai raquo nrsquoaitpas trop drsquoinfluence Cela oblige agrave deacutebuter le parcours dans une station serviceIl faudra qursquoil fasse le mecircme temps pour tous les essais (tempeacuterature vent pluie)On choisira donc de faire les essais le mecircme jour et si possible un jour de beautemps sans vent ni pluie La longueur du parcours devra ecirctre compatible avec cettecontrainteOn choisira le mecircme parcours et dans le mecircme sens pour chaque essai pour quelrsquoinfluence des cocirctes et des descentes soit toujours la mecircmeOn veacuterifiera que les pneus sont bien gonfleacutes agrave la mecircme pression avant chaque essaiOn peut ainsi faire une liste de preacutecautions agrave prendre pour tenir compte descontraintes
212 Choix du plan drsquoexpeacuteriences
On sait qursquoil y a deux facteurs agrave eacutetudier Les niveaux bas et haut de chaque facteuront eacuteteacute deacutefinis Les facteurs agrave conserver constants pendant lrsquoexpeacuterimentation sont le parcours et par conseacutequent le kilomeacutetrage le sens du parcours le point dedeacutepart le point drsquoarriveacutee et la pression des pneusAyant deux facteurs prenant chacun deux niveaux le plus simple est de choisir unplan drsquoexpeacuteriences factoriel complet 22 La deacutenomination 22 a la significationsuivante le 2 en exposant indique le nombre de facteurs lrsquoautre 2 indique les nombresde niveaux des facteurs Ce plan est bien adapteacute agrave notre problegraveme puisqursquoil corres-pond exactement agrave deux facteurs prenant chacun deux niveaux Les points drsquoexpeacute-riences ont pour coordonneacutees les niveaux bas et les niveaux hauts des facteursOn peut preacutesenter ce plan de plusieurs maniegraveres qui se complegravetent les unes les autresOn peut drsquoabord dessiner le domaine drsquoeacutetude dans lrsquoespace expeacuterimental puisajouter les points drsquoexpeacuteriences en tenant compte de leurs coordonneacutees (Figure 21)On peut aussi repreacutesenter les expeacuteriences agrave faire sous forme de tableaux en utili-sant soit les grandeurs habituelles ou leacutegales (kmh et kg) soit les grandeurscodeacutees Avec les grandeurs leacutegales le tableau prend le nom de tableau drsquoexpeacuterimen-tation ou de matrice drsquoexpeacuterimentation Avec les grandeurs codeacutees le tableau prendle nom de plan drsquoexpeacuteriences ou de matrice drsquoexpeacuteriencesLa premiegravere colonne de la matrice drsquoexpeacuterimentation est utiliseacutee pour indiquer lesnoms des essais (Tableau 22) On peut soit les numeacuteroter soit leur donner unnom La deuxiegraveme colonne est celle du premier facteur on y indique successive-ment les niveaux qursquoil faut donner agrave ce facteur La troisiegraveme colonne est celle dudeuxiegraveme facteur et on y indique eacutegalement les niveaux de ce facteur Le premieressai essai n˚ 1 ou essai A sera exeacutecuteacute avec une vitesse de 80 kmh et sanssurcharge Le deuxiegraveme essai essai n˚ 2 ou essai B sera exeacutecuteacute avec une vitesse de120 kmh et sans surcharge Le troisiegraveme essai essai n˚ 3 ou essai C sera exeacutecuteacuteavec une vitesse de 80 kmh et avec une surcharge de 300 kg Enfin le quatriegravemeessai essai n˚ 4 ou essai D sera exeacutecuteacute avec une vitesse de 120 kmh et avec unesurcharge de 300 kg Ce tableau est tregraves utile pour lrsquoexeacutecution des essais
Goupy Livre Page 17 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
La premiegravere colonne de la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 23) est utiliseacutee de lamecircme maniegravere pour indiquer les noms des essais La deuxiegraveme colonne est celledu premier facteur on y indique successivement les niveaux qursquoil faut donner agrave ce
Figure 21 ndash Repreacutesentation du plan drsquoexpeacuterimentation
Tableau 22 ndash Matrice drsquoexpeacuterimentation
Essai n˚Vitesse
Facteur 1SurchargeFacteur 2
1 (A) 80 kmh 0 kg
2 (B) 120 kmh 0 kg
3 (C) 80 kmh 300 kg
4 (D) 120 kmh1 300 kg
Tableau 23 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences
Essai n˚Vitesse
Facteur 1SurchargeFacteur 2
1 (A) minus1 minus1
2 (B) +1 minus1
3 (C) minus1 +1
4 (D) +1 +1
Niveau ndash1 80 kmh 0 kg
Niveau +1 120 kmh 300 kg
+ 1
+ 1 1
1
Facteur 1
Facteur 2
Domaine deacutetude
Vitesse
Surcharge
80 kmh
0 kg
300 kg
120 kmh
A
DC
B
ndash
ndash
Goupy Livre Page 18 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
19
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
facteur mais cette fois sous forme codeacutee crsquoest-agrave-dire avec des minus1 et des +1 La troi-siegraveme colonne est celle des niveaux codeacutes du deuxiegraveme facteur On trouve deuxlignes en bas du tableau pour indiquer la signification des niveaux minus1 et +1 dechaque facteur Ce tableau est utiliseacute lors de la construction du planPour lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoessais on utilise soit la matrice drsquoexpeacuterimenta-tion soit la matrice drsquoexpeacuteriences selon les faits que lrsquoon veut mettre en eacutevidence
213 Expeacuterimentation
Crsquoest la partie technique de lrsquoeacutetude Il faut que les essais soient meneacutes avec beau-coup de soin et il faut ecirctre sucircr de la qualiteacute des reacutesultats Pour le preacutesent exemplelrsquoordre des essais a peu drsquoimportance mais nous verrons que ce nrsquoest pas toujoursle cas Nous eacutetudierons au chapitre 8 les principes qui reacutegissent le choix de lrsquoordredes essais Dans le cadre de lrsquoeacutetude en cours il est facile de changer la vitesse drsquounessai agrave lrsquoautre En revanche il serait maladroit de charger la voiture pour le premieressai de la deacutecharger pour le second et de la recharger pour le troisiegraveme ou lequatriegraveme essai On fera donc en premier les essais n˚ 1 et 2 puis les essais n˚ 3 et4 On pourrait aussi faire drsquoabord les essais n˚ 3 et 4 puis les essais n˚ 1 et 2 Dansles deux cas il nrsquoy a qursquoun seul chargement agrave faireLe parcours a eacuteteacute choisi et fait 120 km de long soit 5 heures de conduite Lestemps drsquoarrecirct agrave la pompe agrave essence de mesure de la consommation de la veacuterifica-tion de la pression des pneumatiques et de chargement de la voiture sont estimeacutes agraveenviron 2 heures On pourra faire les essais en une journeacuteeOn exeacutecute lrsquoessai n˚ 1 (80 kmh et sans surcharge) et on note la consommationdrsquoessence On trouve 10 litres soit une consommation de 83 litres aux 100 kilo-megravetres Le deuxiegraveme essai (120 kmh et sans surcharge) donne une consommationde 107 litres aux 100 kilomegravetres Les deux autres essais (essais n˚ 3 et 4) fournissentrespectivement une consommation de 97 et de 123 litres aux 100 kilomegravetres Lesreacutesultats sont consigneacutes dans une quatriegraveme colonne de la matrice drsquoexpeacuterimentationou de la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 24)
Tableau 24 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats
N˚ essaiVitesse
Facteur 1SurchargeFacteur 2
Consommation(l100 km)
1 (A) minus1 minus1 183
2 (B) +1 minus1 107
3 (C) minus1 +1 97
4 (D) +1 +1 123
Niveau ndash1 80 kmh 0 kg
Niveau +1 120 kmh 300 kg
Goupy Livre Page 19 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
20
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
On peut reporter ces reacutesultats sur le domaine drsquoeacutetude (Figure 22)
214 Signification des coefficients
Ces consommations eacutetant mesureacutees il ne semble pas facile drsquoen donner une inter-preacutetation simple En effet on aimerait reacutepondre agrave des questions comme laquo Quelleest la consommation de ma voiture quand je la charge agrave 100 kg et que je roule agrave90 kmh raquo ou laquo Quelle est la consommation suppleacutementaire quand je roule agrave100 kmh au lieu de 80 kmh avec une surcharge de 150 kg raquo Les reacuteponses agrave cesquestions existent Elles se cachent dans les reacutesultats que nous avons enregistreacutesmais pour le moment nous ne les voyons pas Il va falloir que nous transformionsnos reacutesultats bruts pour en avoir une vision claire et preacutecise Crsquoest la phase drsquointer-preacutetation Les logiciels de plans drsquoexpeacuteriences vont maintenant prendre delrsquoimportance car ce sont eux qui vont nous aider agrave reacutealiser toutes les transforma-tions qui nous sont neacutecessaires et toutes les illustrations qui nous aideront agrave biencomprendre les reacutesultatsLe modegravele postuleacute des plans factoriels complets 22 est
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 21
ougrave
ndash y est la reacuteponse dans cet exemple la consommation drsquoessence ndash x1 repreacutesente le niveau du facteur 1 (la vitesse) dans cet exemple 80 kmh (ou
ndash1) et 120 kmh (ou +1) selon les essais ndash x2 repreacutesente le niveau du facteur 2 (la surcharge) dans cet exemple 0 kg (ou
ndash1) et 300 kg (ou +1) selon les essais ndash x1x2 est le produit des niveaux des facteurs 1 et 2 dans cet exemple en uniteacutes
codeacutees ce produit est eacutegal agrave ndash1 (x1x2 = ndash1yen+1 = +1yenndash1 = ndash1) ou agrave +1 (x1x2= ndash1yenndash1 = +1yen+1 = +1)
Figure 22 ndash Valeur de la reacuteponse en divers points du domaine drsquoeacutetude
+ 1
+ 1 1
1
Facteur 1
Facteur 2
Vitesse (kmh)
Surcharge (kg)
80
0
300
120
A
DC
B
0
0
100
150
83
12397
107
ndash
ndash
Goupy Livre Page 20 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
21
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
ndash a0 est le coefficient constant du modegravele ndash a1 est le coefficient du facteur 1 ndash a2 est le coefficient du facteur 2 ndash a12 est le coefficient du terme x1x2
Ce modegravele est appeleacute modegravele polynomial du premier degreacute avec interactions ou modegravelePDAI et nous allons examiner la signification de ses coefficients
m Signification du coefficient constant
Pour trouver la signification du coefficient constant a0 il suffit de donner la valeur0 (uniteacutes codeacutees) aux niveaux des deux facteurs Le point repreacutesentatif de lrsquoexpeacute-rience correspondante est alors au centre du domaine drsquoeacutetude (Figure 23) et lareacuteponse en ce point a pour valeur y0
La relation 21 devient
y = a0 + a1 yen 0 + a2 yen 0 + a12 yen 0 yen 0y0 = a0
La valeur du coefficient constant a0 est eacutegale agrave la reacuteponse au centre du domainedrsquoeacutetude
m Signification du coefficient du facteur 1
Consideacuterons les deux points B et D qui se trouvent au niveau haut du facteur 1Les coordonneacutees de ces points sont en uniteacutes codeacutees
Figure 23 ndash Le coefficient constant a pour valeur la reacuteponse au centre du domaine drsquoeacutetude
+ 1
+ 1 1
1
Facteur 1
Facteur 2
Vitesse (kmh)
Surcharge (kg)
80
0
300
120
A
DC
B
0
0
100
1500
43
21
yy
y
yy
ndash
ndash
Bx1 +1=
x2 1ndash=D
x1 +1=
x2 +1=
Goupy Livre Page 21 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
22
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
La reacuteponse au point B est y2 reacuteponse que lrsquoon peut eacutecrire en remplaccedilant lesniveaux par leurs valeurs en uniteacutes codeacutees
y2 = a0 + a1yen(+1) + a2yen(ndash1) + a12yen(+1)yen(ndash1) = a0 + a1 ndash a2 ndash a12
La reacuteponse au point D est y4 que lrsquoon peut eacutecrire en remplaccedilant les niveaux parleurs valeurs en uniteacutes codeacutees
y4 = a0 + a1yen(+1) + a2yen(+1) + a12yen(+1)yen(+1) = a0 + a1 + a2 + a12
Additionnons les deux reacuteponses y2 et y4
y2 + y4 = 2(a0 + a1)
Faisons le mecircme calcul pour les points A et C qui se trouvent au niveau bas dufacteur 1 et ougrave les reacuteponses sont respectivement y1 et y3 On obtient
y1 + y3 = 2(+a0 ndash a1)
Si on soustrait ces deux derniegraveres relations on a
4a1 = ndashy1 + y2 ndashy3 + y4
relation que lrsquoon peut eacutecrire
Or est la moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 On nomme
cette moyenne Quant agrave lrsquoexpression crsquoest la moyenne des reacuteponses au
niveau bas du facteur 1 soit On peut eacutecrire
Le coefficient a1 est donc la demi-diffeacuterence entre la moyenne des reacuteponses au niveauhaut du facteur 1 et la moyenne des reacuteponses au niveau bas du mecircme facteur 1Quand on passe du niveau bas au niveau haut la reacuteponse varie en moyenne
comme la diffeacuterence Si cette diffeacuterence est grande la reacuteponse varie beau-coup si cette diffeacuterence est faible la reacuteponse varie peu On a donc lagrave un moyen desavoir comment la reacuteponse varie en fonction du facteur 1 Crsquoest la raison pourlaquelle on appelle le coefficient a1 lrsquoeffet du facteur 1
Application
On connaicirct les quatre reacuteponses on peut donc calculer facilement le coefficient
Lrsquoeffet de la vitesse (facteur 1) est de 125 litre aux 100 kilomegravetres Cela signifie que si la vitessepasse de 80 agrave 100 kmh la consommation augmente en moyenne de 125 litre aux 100 kilomegravetresSi la vitesse passe de 80 agrave 120 kmh la consommation augmente de 250 litres aux 100 kilomegravetres
a112---
y2 y4+
2---------------
y1 y3+
2---------------ndash=
y2 y4+
2---------------
y+y1 y3+
2---------------
yndash
a112--- y+ yndashndash[ ]=
y+ yndashndash[ ]
a114--- y1ndash y2 y3ndash y4+ +[ ]=
a114--- 83 + 107 ndash 97 + 123 ndash [ ] 125 = =
Goupy Livre Page 22 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
23
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
m
Repreacutesentation du coefficient du facteur 1
La moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 est situeacutee sur la surfacede reacuteponse et se trouve agrave lrsquoaplomb du point M
+
milieu du segment BD (Figure 24)Il a donc pour coordonneacutees
La moyenne des reacuteponses au niveau bas du facteur 1 est situeacutee sur la surface dereacuteponse et se trouve agrave lrsquoaplomb du point M
ndash
milieu du segment AC Il a doncpour coordonneacutees
La variation de la reacuteponse entre la moyenne des reacuteponses au niveau haut dufacteur 1 et la moyenne des reacuteponses au niveau bas de ce mecircme facteur est
ndash crsquoest-agrave-dire deux fois le coefficient
a
1
Figure 24
ndash Le coefficient du facteur 1 est la pente de la droite qui joint les deux reacuteponses
et
y+
M+x1 +1=
x2 0=
Mndashx1 ndash1=
x2 0=
Facteur 1
Facteur 2
Reacuteponse
B
+ 1
+ 1
ndash 1
ndash 1
0
0
y1
A
DC
y4
y3
y2
+y
yndash
M -
M +
y0
Dcent
Ccent
Acent
Bcent
Mcent+
M-
(Consommation)
(123)
(97)
(83) (107)
(9)
(115)
(Vitesse)
(Surch
arge)
(80) (100) (120)
(0)
(300)
(150)
y+ y+
y+ yndashy+ yndash
Goupy Livre Page 23 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
24
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
Le coefficient
a
1
est donc eacutegal agrave la variation de la reacuteponse entre
y
0
reacuteponse au centredu domaine drsquoeacutetude et moyenne des reacuteponses au niveau haut du facteur 1 Onpeut eacutegalement regarder le coefficient
a
1
comme la pente de la droite On peut dire aussi que le coefficient
a
1
est eacutegal agrave la variation moyenne de lareacuteponse quand le facteur 1 passe du niveau zeacutero au niveau haut Il repreacutesente donclrsquoinfluence du facteur 1 dans le domaine drsquoeacutetude
m
Illustration de lrsquoeffet du facteur 1
On a lrsquohabitude pour faire apparaicirctre clairement la droite et illustrerlrsquoeffet du facteur 1 drsquoextraire le plan de la figure 24 Onobtient la figure 25 qui est beaucoup plus facile agrave lire
Lrsquoeffet du facteur 1 peut ecirctre positif ou neacutegatif suivant le signe du coefficient
Application
Figure 25
ndash Illustration de lrsquoeffet du facteur 1
Figure 26
ndash Illustration de lrsquoeffet de la vitesse
y+Mprimendash M prime +
Mprimendash M prime +M+ M ndash Mprimendash M prime +
Facteur 1
Effet du Facteur 1
Reacuteponse
+ 1ndash 1 0
+y
yndash
M ndash M +
y0
Mcentndash
Mcent+
Effet de la vitesse 125 l 100 km
M ndash M +
Mcentndash
Mcent+115
9
1025
Vitesse (kmh)80 120100
Consommation (l 100 km)
Goupy Livre Page 24 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
25
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
La moyenne des consommations au niveau haut de la vitesse (facteur 1) est
La moyenne des consommations au niveau bas de la vitesse (facteur 1) est
La consommation passe en moyenne de 9 agrave 115 litres aux 100 kilomegravetres quand la vitesse passede 80 agrave 120 kmh La consommation au centre est la moitieacute des deux moyennes soit 1025 litresaux 100 kilomegravetres
La consommation passe en moyenne de 1025 agrave 115 litres aux 100 kilomegravetres quand la vitessepasse de 100 agrave 120 kmh Cette augmentation de 125 litre aux 100 kilomegravetres repreacutesente lrsquoeffetdu facteur laquo vitesse raquo (Figure 26)
m
Signification du coefficient du facteur 2
De la mecircme maniegravere on montre que le coefficient
a
2
est eacutegal agrave la variationmoyenne de la reacuteponse quand le facteur 2 passe du niveau zeacutero au niveau haut Ilrepreacutesente lrsquoinfluence du facteur 2 dans le domaine drsquoeacutetude On lrsquoappelle laquo effet dufacteur 2 raquoDrsquoune maniegravere geacuteneacuterale quand le modegravele choisi est un polynocircme les coefficientsdes termes du premier degreacute sont les effets des facteurs
Application
On connaicirct les quatre reacuteponses on peut donc calculer facilement le coefficient
a
2
Lrsquoeffet de la surcharge (facteur 2) est de 075 l aux 100 km Cela signifie que si la surcharge passede 0 agrave 150 kg la consommation augmente en moyenne de 075 l aux 100 km Si la surcharge passede 0 agrave 300 kg la consommation augmente de 150 l aux 100 km
Figure 27
ndash Illustration de lrsquoeffet de la surcharge
y+y2 y4+
2--------------- 107 + 123
2 --------------------------- 115 = = =
yndashy1 y3+
2--------------- 83 + 97
2 --------------------- 9 = = =
a214--- y1ndash y2ndash y3 y4+ +[ ]=
a214--- 83 ndash 107 + 97 + 123 ndash [ ] 075 = =
Effet de la surcharge 075 l100 km
M ndash M +
Mcent-
Mcent+11
95
1025
Surcharge (kg)0 300150
Consommation (l 100 km)
Goupy Livre Page 25 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
26
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
La moyenne des consommations au niveau haut de la surcharge (facteur 2) est
La moyenne des consommations au niveau bas de la surcharge (facteur 2) est
La consommation passe en moyenne de 95 agrave 11 l aux 100 km quand la surcharge passe de 0 agrave300 kg La consommation au centre est la moitieacute des deux moyennes soit 1025 l aux 100 km
La consommation passe en moyenne de 1025 agrave 11 l aux 100 km quand la surcharge passe de 150agrave 300 kg Cette augmentation de 075 l aux 100 km est lrsquoeffet du facteur surcharge (Figure 27)
m
Signification du coefficient
a
12
On peut calculer le coefficient
a
12
par une meacutethode analogue agrave celle qui a eacuteteacuteutiliseacutee pour les coefficients
a
1
et
a
2
On trouve que le coefficient
a
12
est eacutegal agrave
Or est lrsquoeffet du facteur 1 lorsque le facteur 2 est au niveau haut Crsquoest la
moitieacute de la variation de la reacuteponse entre
y
4
et
y
3
Cet effet est illustreacute par la pentede la droite C
prime
D
prime
(Figure 24 et Figure 28)
Lrsquoexpression est lrsquoeffet du facteur 1 lorsque le facteur 2 est au niveau bas
Crsquoest la moitieacute de la variation de la reacuteponse entre
y
2
et
y
1
Cet effet est illustreacute parla pente de la droite A
prime
B
prime
(Figure 28)Le coefficient
a
12
est la moitieacute de la diffeacuterence entre ces deux effets
Figure 28
ndash Illustration drsquoune interaction entre deux facteurs
y+y3 y4+
2--------------- 97 + 123
2 ------------------------ 11 = = =
yndashy1 y2+
2--------------- 83 + 107
2 ------------------------ 95 = = =
a1212---
y4 y3ndash
2---------------
y2 y1ndash
2---------------ndash=
y4 y3ndash
2---------------
Facteur 1
Effet du facteur 1au niveau haut du facteur 2
Reacuteponse
+ 1ndash 1 0
Effet du facteur 1au niveau bas du facteur 2
y1
y4
y3
y2
Dcent
Ccent
Acent
Bcent
y2 y1ndash
2---------------
Goupy Livre Page 26 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
27
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
Le coefficient
a
12
mesure donc la variation de lrsquoeffet du facteur 1 quand le niveaudu facteur 2 est modifieacute On peut aussi montrer que le mecircme coefficient
a
12
mesureeacutegalement la variation de lrsquoeffet du facteur 2 quand le niveau du facteur 1 est luiaussi modifieacuteLe coefficient a 12 est appeleacute lrsquo interaction entre les facteurs 1 et 2On peut illustrer une interaction entre deux facteurs en extrayant de la figure 24les plans ABA
prime
B
prime
(niveau bas du facteur 2) et CDC
prime
D
prime
(niveau haut du facteur 2)et en projetant ces plans sur un mecircme plan (Figure 28)Srsquoil nrsquoy a pas drsquointeraction entre deux facteurs les pentes des droites A
prime
B
prime
et C
prime
D
prime
sont les mecircmesSrsquoil y a interaction entre deux facteurs les pentes des deux droites preacuteceacutedentes ne sontpas les mecircmes Lrsquointeraction est drsquoautant plus forte que les pentes sont diffeacuterentes
Application
On peut donc calculer lrsquointeraction avec la relation
Lrsquointeraction entre les facteurs 1 et 2 est de 005 l aux 100 km Cela signifie que lrsquoeffet de la vitesseest un peu plus eacuteleveacute quand on se trouve en surcharge Quand la vitesse est de 80 kmh lrsquoeffet de lasurcharge est de 07 l aux 100 km Quand la vitesse est de 120 kmh lrsquoeffet de la surcharge est de08 l aux 100 km
Cela signifie aussi que lrsquoeffet de la surcharge est plus important quand on roule vite Quand il nrsquoy apas de surcharge lrsquoeffet de la vitesse est de 12 l aux 100 km Quand la surcharge est de 300 kglrsquoeffet de la vitesse est de 13 l aux 100 km (Figure 29)
Figure 29
ndash Illustration de lrsquointeraction entre la vitesse et la surcharge Cette interaction est tregraves faible puisque les deux droites ont presque la mecircme pente
a1214--- +y1 y2ndash y3ndash y4+[ ]=
a1214--- +83 ndash 107 ndash 97 + 123 [ ] 005 = =
Vitesse (kmh)
Effet de la Vitessepour 300 kg de surcharge
Consommation(litres aux 100 km)
12080 100
Effet de la Vitessesans surcharge
Dprime
Cprime
Aprime
Bprime
123
83
107
97 120 l 100 km
130 l 100 km
Goupy Livre Page 27 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
28
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
215 Interpreacutetation des reacutesultats des calculs
On connaicirct maintenant les valeurs ndash du coefficient constant
a
0
=
1025 ndash du coefficient du facteur 1 (vitesse)
a
1
=
125 ndash du coefficient du facteur 2 (surcharge)
a
2
=
075 ndash de lrsquointeraction
a
12
entre la vitesse et la surcharge
a
12
=
005On peut reporter ces valeurs dans la relation 21 du modegravele postuleacute
y
=
1025 + 125
x
1
+ 075
x
2
+ 005
x
1
x
2
22
On comprend qursquoavec ce modegravele on puisse calculer toutes les reacuteponses dans ledomaine drsquoeacutetude Il suffit drsquoattribuer des valeurs aux niveaux
x
1
et
x
2
pour obtenirimmeacutediatement la consommation Le modegravele eacutetant en uniteacutes centreacutees reacuteduites ilfaut faire les calculs dans ces uniteacutes et transformer ensuite les reacutesultats obtenus enuniteacutes leacutegales Si lrsquoon veut utiliser les uniteacutes leacutegales directement il faut transformerla relation 22 Dans ce cas il suffit drsquoappliquer la relation 11
Facteur 1 (vitesse)
Facteur 2 (surcharge)
Drsquoougrave la relation en uniteacutes leacutegales
y
=
35 + 006A
1
+ 00033A
2
+ 00000167A
1
A
2
23
On peut donc reacutepondre facilement aux questions du deacutebut du paragraphe 5 enutilisant soit la relation 22 soit la relation 23
Application
La question eacutetait laquo Quelle est la consommation de ma voiture quand je la charge agrave 100 kg et queje roule agrave 90 kmh raquo Appliquons la relation 23
y
=
35 + 006
times
90 + 000333
times
100 + 00000167
times
90
times
100
y
=
35 + 54 + 0333 + 0150
=
9383
xA A0ndash
Pas---------------=
x1A1 A0ndash
Pas1------------------
A1 100ndash
20---------------------= =
x2A2 A0ndash
Pas2------------------
A2 150ndash
150---------------------= =
y 1025 + 125A
1
20 ------ 100
20 ---------ndash ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 075A
2
150 --------- 150
150 ---------ndash ⎝ ⎠
⎛ ⎞ 005A
1
20 ------ 100
20 ---------ndash ⎝ ⎠
⎛ ⎞ A
2
150 --------- 150
150 ---------ndash ⎝ ⎠
⎛ ⎞ + +=
y 1025 12520---------ndash 075ndash
125A1
20----------------
075A2
150-----------------
005A1
20----------------- 5
20------ndash⎝ ⎠
⎛ ⎞ A2
150--------- 1ndash⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + +=
y 325 520------ 125
20---------- 005
20----------ndash A1
075150---------- 5
20 150times---------------------ndash A2
005A1
20----------------
A
2 150
---------+ + + +=
Goupy Livre Page 28 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
29
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
La reacuteponse est Si je roule agrave 90 kmh avec une surcharge de 100 kg je consommerai 938 l aux100 km
Application
La question eacutetait laquo Quelle est la consommation suppleacutementaire quand je roule agrave 100 kmh au lieude 80 kmh avec une surcharge de 150 kg raquo Commenccedilons par transformer les uniteacutes leacutegales enuniteacutes codeacutees
80 kmh = niveau
minus
1
100 kmh = niveau 0
150 kg = niveau 0
et appliquons la relation 22
y
=
1025 + 125
times
(ndash1) + 075
times
(0) + 005(ndash1
times
0)
y
=
1025 ndash 125
=
9
Quand je roule au niveau
minus
1 (80 kmh) avec une surcharge au niveau 0 (150 kg) je consomme9 litres de carburant aux 100 kilomegravetres
y
=
1025 + 125
times
(0) + 075
times
(0) + 005(0
times
0)
y
=
1025
Quand je roule au niveau 0 (100 kmh) avec une surcharge au niveau 0 (150 kg) je consomme1025 litres de carburant aux 100 kilomegravetres
La reacuteponse est donc avec une surcharge de 150 kg la consommation augmente de 125 l aux100 km quand je passe de 80 agrave 100 kmh
Il est donc possible de reacutepondre aux questions poseacutees ainsi qursquoagrave beaucoup drsquoautresfaisant intervenir la vitesse et la charge Mais ne trouvez-vous pas que ces calculssont fastidieux qursquoils ne sont guegravere enrichissants et que notre esprit pourrait ecirctreutiliseacute agrave des tacircches plus productives Crsquoest pourquoi nous vous conseillonsdrsquoutiliser un logiciel de plan drsquoexpeacuteriences Tous les calculs que nous avons vus etbeaucoup drsquoautres sont reacutealiseacutes avec faciliteacute et rapiditeacute Les logiciels permettentaussi de tracer des graphiques faisant ressortir les principales caracteacuteristiques delrsquoeacutetude Ils multiplient la puissance de raisonnement de lrsquoexpeacuterimentateur et reacuteali-sent des calculs impossibles agrave faire agrave la main En effet degraves que le nombre defacteurs augmente les calculs se compliquent et lrsquoutilisation drsquoun logiciel faciliteconsideacuterablement la tacircche de lrsquoexpeacuterimentateurAgrave titre drsquoexemple les deux diagrammes suivants montrent la puissance des logi-ciels Le premier diagramme (Figure 210) indique lrsquoeffet des deux facteurs vitesseet surcharge ainsi que la valeur correspondante de la reacuteponse Ce diagramme estinteractif on peut choisir les niveaux que lrsquoon veut dans tout le domaine drsquoeacutetudePour chaque couple de niveaux on obtient la valeur de la reacuteponse On peut doncfacilement reacutepondre agrave la premiegravere question sans ecirctre obligeacute de faire le deacutetail descalculs Ce mecircme diagramme permet aussi de reacutepondre agrave la deuxiegraveme questionLe deuxiegraveme diagramme (Figure 211) indique les courbes isoreacuteponses dans ledomaine drsquoeacutetude Par exemple la courbe 10 indique toutes les combinaisons devitesse et de surcharge qui engendrent une consommation de 10 l de carburantaux 100 km Si lrsquoon ne veut pas deacutepasser une consommation de 11 l aux 100 kmon voit comment il faut adapter sa vitesse en fonction de la surcharge Par exemplesi la surcharge est de 200 kg il ne faudra pas deacutepasser 1079 kmh
Goupy Livre Page 29 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
30
21 Exemple 01 je maicirctrisela consommation de ma voiture
2 bull Votre premier plandrsquoexpeacuteriences
Si vous voulez reacutealiser vous-mecircme ces calculs et ces graphiques consultez le chapitre 14ougrave vous trouverez les explications deacutetailleacutees pour mener agrave bien ces opeacuterationsVous pouvez aussi consulter le site httpwwwplansdexperiencescom consacreacuteaux exemples de ce livre
Figure 210
ndash Valeur de la reacuteponse en divers points du domaine drsquoeacutetude
Figure 211
ndash Avec une surcharge de 200 kg on limitera la vitesse agrave 1079 kmh pour ne pas consommer plus de 11 l aux 100 km
80
123
938
90 120
83
Vitesse
Reacutep
onse
0 100 300
Surcharge
12
11
105
10
115
85
9
95
Surcharge
Vitesse80 120
0
300
200
1079
Goupy Livre Page 30 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3
bull PLAN DrsquoEXPEacuteRIENCES POUR 3 FACTEURS
Le chapitre preacuteceacutedent eacutetait destineacute agrave vous montrer que mecircme sur un exemplesimple ne comprenant que deux facteurs on pouvait tirer beaucoup de renseigne-ments agrave partir de quatre essais seulement Si beaucoup drsquoinformations peuvent ecirctreextraites drsquoune eacutetude faisant intervenir deux facteurs on comprend qursquoune eacutetudede plusieurs facteurs soit encore plus fructueuse Crsquoest la raison pour laquelle lesplans multifactoriels vont ecirctre deacutecrits maintenant Nous commencerons par troisfacteurs et nous verrons une eacutetude de sept facteurs Les principes eacutetant toujours lesmecircmes quel que soit le nombre de facteurs il est tout agrave fait possible drsquoaller plusloin et on trouve dans les articles publieacutes ou dans les archives des socieacuteteacutes des plansde plus de dix facteurs Au-delagrave les difficulteacutes rencontreacutees ne concernent pas latheacuteorie mais la mise en œuvre et le controcircle des niveaux des facteurs pendantlrsquoexpeacuterimentation En effet pour onze facteurs il faut controcircler tous les niveaux agravechaque essai et ecirctre absolument sucircr qursquoils sont tous parfaitement respecteacutes Si lrsquoonreacutealise 12 essais cela fait 132 niveaux agrave garantir La moindre erreur risque decompromettre lrsquoeacutetude Dans le cas des simulations numeacuteriques il est facile deprogrammer le passage des calculs et drsquoecirctre sucircr du respect des niveaux Il nrsquoy a alorsplus aucune limite au nombre de facteurs eacutetudieacutes
31 Exemple 02 des bijoux en or311 Preacuteparation de lrsquoeacutetude
m Description de lrsquoeacutetude
Le grand inteacuterecirct de lrsquoor est qursquoil ne srsquooxyde pas et garde toujours son brillant et sabelle couleur doreacutee Mais crsquoest un meacutetal cher et crsquoest pourquoi beaucoup drsquoobjetssont simplement recouverts drsquoune fine couche drsquoor qui les protegravege et leur donnelrsquoapparence de lrsquoor massif Les bijoux plaqueacutes or sont recouverts drsquoun fin deacutepocirctdrsquoor qui doit avoir le mecircme aspect que lrsquoor mais aussi des proprieacuteteacutes de reacutesistancemeacutecanique qui assurent leur longeacuteviteacute Ces deacutepocircts sont effectueacutes par eacutelectrolyseLe meacutetal agrave recouvrir drsquoor est plongeacute dans une solution contenant un sel drsquoor et ilest relieacute agrave la cathode drsquoune pile eacutelectrique (Figure 31) Ces deacutepocircts doivent posseacutederde bonnes proprieacuteteacutes meacutecaniques pour reacutesister aux diverses sollicitationsauxquelles ils seront soumis Pour ameacuteliorer leur qualiteacute il est coutume de formerdes alliages en ajoutant drsquoautres meacutetaux en preacutesence drsquoadditifs Les alliages les plusutiliseacutes sont geacuteneacuteralement agrave base de nickel ou de cobalt
Goupy Livre Page 31 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
32
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Dans la preacutesente eacutetude on examine les alliages drsquoor et de cobalt Pour cela onreacutealise une solution drsquoeacutelectrolytes contenant des cyanures de ces deux meacutetaux
m Deacutefinition de lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude
Les objectifs de lrsquoeacutetude sont ndash Reacutealiser le deacutepocirct le plus vite possible en respectant les impeacuteratifs de qualiteacutendash Obtenir une teneur en cobalt comprise entre 3 500 et 4 500 ppm dans lrsquoalliage
du deacutepocirctLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut donner des consignes de reacuteglage des facteurs pouratteindre les deux objectifs
m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif
ndash La premiegravere reacuteponse correspond au premier objectif On choisira donc la vitessede deacutepocirct et elle sera mesureacutee en milligrammes par minute (mgmin) Pourassurer la rentabiliteacute du proceacutedeacute il faut une vitesse de deacutepocirct au moins eacutegale agrave80 mgmin
ndash La seconde reacuteponse correspond au second objectif On choisira donc la teneuren Cobalt de lrsquoalliage Cette teneur sera mesureacutee en partie par million (ppm)Pour assurer la qualiteacute du deacutepocirct la teneur en cobalt de lrsquoalliage doit ecirctre compriseentre 3 500 et 4 500 ppm
m Recherche des facteurs qui pourraient ecirctre influents sur la reacuteponse
Quels sont les facteurs qui peuvent modifier la vitesse de deacutepocirct et la teneur encobalt de lrsquoalliage Pour essayer de ne pas oublier de facteurs il faut proceacutedermeacutethodiquement Il faut analyser tous les grands secteurs pouvant faire intervenirdes facteurs modifiant les reacuteponses choisies On utilise souvent la meacutethode delrsquoarecircte de poisson drsquoIshikawa (Figure 32) associeacutee agrave la meacutethode des 6M (MeacutethodeMatiegraveres Milieu Main drsquoœuvre Machines et Mesures) Cette meacutethode consiste agravesegmenter la recherche des facteurs ayant une possible influence sur les reacuteponsesPar exemple on se demande drsquoabord si les Matiegraveres premiegraveres ont une influence
Figure 31 ndash Scheacutema de principe des deacutepocircts eacutelectrolytiques drsquoor
Eacutelectrolyte contenantdes sels dor et de cobalt
- +Batterie eacutelectrique
Objet agrave recouvrir drsquoor
Goupy Livre Page 32 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
33
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Dans le cas de la preacutesente eacutetude lrsquoorigine et la pureteacute du sel drsquoor peuvent modifierles reacutesultats la nature du sel drsquoor eacutegalement Il en est de mecircme du cobalt des additifsde lrsquoeau et mecircme du courant eacutelectrique Apregraves lrsquoexamen des matiegraveres premiegraveres onsrsquointeacuteresse aux meacutethodes employeacutees crsquoest-agrave-dire aux conditions opeacuteratoires inten-siteacute et voltage au cours de lrsquoeacutelectrolyse eacutelectrolyse en continue ou par seacutequencesetc Cette quecircte systeacutematique des facteurs permet de faire le tour du problegraveme etdrsquoeacuteviter les gros oublis
Agrave titre drsquoexemple nous avons construit un diagramme drsquoIshikawa reacuteunissant quel-ques facteurs pouvant ecirctre influents et nous en avons donneacute un deacutebut de liste pourillustrer la deacutemarche (les chercheurs qui ont reacutealiseacute cette eacutetude en avaient fait euxune liste bien plus complegravete)
ndash tempeacuterature de la solution drsquoeacutelectrolytendash pH de la solution drsquoeacutelectrolytendash concentration en lrsquoor de lrsquoeacutelectrolytendash nature et concentration des additifs ajouteacutes agrave lrsquoeacutelectrolytendash concentration en cobalt de lrsquoeacutelectrolytendash nature du supportndash surface du supportndash mouvement du supportndash position des eacutelectrodesndash forme du reacuteacteurndash agitation de la solutionndash forme des eacutelectrodesndash densiteacute de courant intensiteacute voltage etc
Agrave partir de cette liste on seacutelectionne les facteurs que lrsquoon pense ecirctre influents et onles divise en deux cateacutegories les facteurs qui seront eacutetudieacutes gracircce au plan drsquoexpeacute-riences et les facteurs qui ne seront pas eacutetudieacutes au cours de lrsquoexpeacuterimentation mais
Figure 32 ndash Exemple simplifieacute de diagramme drsquoIshikawa
Meacutethodes
Agitation Forme
Reacuteacteur
Tempeacuterature
Voltage
Intensiteacute
SoinDensiteacute de courant
Habileteacute
Nature
Concentration
Eacutelectriciteacute
OrigineSels dor etde Cobalt
Eacuteclairage
Pression
PureteacuteFormation
AddidifSels
Moyens
Matiegraverespremiegraveres
Mesures
Meacutethodes
Milieu
Tempeacuterature
Origine Nature
Reacuteacteur
Voltmegravetre
EacutelectrodesAmpegraveremegravetreBalance
Meacutethodesde mesure
Eau
Humiditeacute
Or
Cobalt
Support
Eacutelectriciteacute
Vitessede deacutepocirct
Teneuren Cobalt
Goupy Livre Page 33 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
34
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
dont les niveaux seront fixeacutes toujours agrave la mecircme valeur Dans cette eacutetude trois facteursont eacuteteacute retenus pour construire le plan drsquoexpeacuteriences
ndash concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolytendash densiteacute de courantndash concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte
Les autres facteurs seacutelectionneacutes qui peuvent modifier les reacuteponses seront fixeacutes agrave unniveau constant pour tous les essais Par exemple on a fixeacute les facteurs suivants
ndash le pH est fixeacute agrave 45 ndash la nature et lrsquoorigine des sels ndash la nature et lrsquoorigine des additifs ndash le reacuteacteur et les eacutelectrodes resteront les mecircmes ndash les conditions eacutelectriques de lrsquoeacutelectrolyse ndash la tempeacuterature du bain drsquoeacutelectrolyse etc
Les facteurs qui resteront fixes pendant lrsquoexpeacuterimentation et les facteurs du plandrsquoexpeacuteriences sont les facteurs controcircleacutes Tous les autres facteurs qui ne sont pas fixeacutessont les facteurs non controcircleacutes Si les facteurs non controcircleacutes ont peu drsquoinfluence ousrsquoils restent au mecircme niveau pendant tous les essais ils nrsquoentraicircneront que de petitesvariations Les facteurs non controcircleacutes sont agrave lrsquoorigine de lrsquoerreur expeacuterimentale Sipar un mauvais hasard un facteur influent nrsquoa pas eacuteteacute pris en compte et qursquoil changede niveau pendant lrsquoexpeacuterimentation il grossirait consideacuterablement lrsquoerreur expeacute-rimentale et risquerait de compromettre lrsquoeacutetude Il faut donc ecirctre vigilant quandon eacutetablit la liste des facteurs pour essayer de nrsquoen oublier aucun drsquoimportantLrsquoavantage de la meacutethode des plans drsquoexpeacuteriences par rapport agrave la meacutethode clas-sique est drsquoobliger lrsquoexpeacuterimentateur agrave reacutefleacutechir agrave ce problegraveme et de lui eacuteviterdrsquoeacuteventuels oublis
m Deacutefinition des niveaux des facteurs
Il srsquoagit de choisir les niveaux hauts et bas des trois facteurs retenus
ndash concentration en or dans la solution drsquoeacutelectrolyte (en grammes par litre)ndash densiteacute de courant pendant lrsquoeacutelectrolyse (en ampegraveres par deacutecimegravetre carreacute)ndash concentration en cobalt dans la solution drsquoeacutelectrolyte (en grammes par litre)
Il est bon de reacutesumer ces niveaux dans un tableau (Tableau 31)
Tableau 31 ndash Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Facteur Niveau bas (ndash) Niveau haut (+)
Concentration en or (1) 2 gl 15 gl
Densiteacute de courant (2) 5 Adm2 25 Adm2
Concentration en cobalt (3) 05 gl 15 gl
Goupy Livre Page 34 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
35
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Nous insistons sur lrsquoimportance de bien preacuteciser les bornes du domaine drsquoeacutetudeEn effet les conclusions de lrsquoeacutetude ne sont valides qursquoagrave lrsquointeacuterieur de ce domaineEn dehors on peut essayer de faire des projections de reacutesultats mais il ne faut enaucun cas les consideacuterer comme vraies et en tirer des conclusions
312 Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Il y a trois facteurs agrave eacutetudier Les niveaux bas et hauts de chaque facteur ont eacuteteacutedeacutefinis Les niveaux des facteurs agrave conserver constants pendant lrsquoexpeacuterimentationont eacutegalement eacuteteacute preacuteciseacutes et seront veacuterifieacutes avant chaque essaiAyant trois facteurs prenant chacun deux niveaux et comme on pense que le modegraveledu premier degreacute avec interactions (modegravele PDAI) est suffisant pour expliquer lesreacutesultats il convient de choisir un plan drsquoexpeacuteriences factoriel complet 23
y = a0 + a1x1 + a2x2 +a3x3 +a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3 31
Nous verrons que si lrsquoon soupccedilonne un modegravele du second degreacute on choisira unplan diffeacuterent La deacutenomination 23 a la signification suivante le 3 en exposantindique le nombre de facteurs le 2 indique le nombre de niveaux des facteursOn peut repreacutesenter ce plan par une figure (Figure 33) en indiquant le domainedrsquoeacutetude et les points drsquoexpeacuteriences Les points drsquoexpeacuteriences ont pour coordonneacuteesles niveaux bas et les niveaux hauts des facteurs On peut eacutegalement repreacutesenter ceplan par des matrices la matrice drsquoexpeacuterimentation (uniteacutes normales) ou la matricedrsquoexpeacuteriences (uniteacutes codeacutees)
La matrice drsquoexpeacuterimentation (Tableau 32) comporte 6 colonnes les noms desessais les trois facteurs et les deux reacuteponses La matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 33) comporte eacutegalement les mecircmes six colonnesmais deux lignes ont eacuteteacute ajouteacutees pour preacuteciser la signification des niveaux minus1et +1Pour lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoessais on utilise soit la matrice drsquoexpeacuterimentationsoit la matrice drsquoexpeacuteriences selon les particulariteacutes que lrsquoon veut mettre en eacutevidence
Figure 33 ndash Repreacutesentation du plan drsquoexpeacuteriences
Concentration en Or
Densiteacutede courant
(Facteur 3)
(Facteur 1)
(Facteur 2)
Concentrationen Cobalt
Goupy Livre Page 35 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
36
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Tableau 32 ndash Matrice drsquoexpeacuterimentation
Essai n˚Concentration
en or (gl)Facteur 1
Densiteacute de courant (Adm2)
Facteur 2
Concentration en cobalt (gl)
Facteur 3
Vitesse (mgmin)
Teneur en cobalt (ppm)
1 2 5 05
2 15 5 05
3 2 25 05
4 15 25 05
5 2 5 15
6 15 5 15
7 2 25 15
8 15 25 15
Tableau 33 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences
Essai n˚Concentration
en orFacteur 1
Densiteacute de courant
Facteur 2
Concentration en cobaltFacteur 3
Vitesse (mgmin)
Teneur en cobalt (ppm)
1 minus1 minus1 minus1
2 +1 minus1 minus1
3 minus1 +1 minus1
4 +1 +1 minus1
5 minus1 minus1 +1
6 +1 minus1 +1
7 minus1 +1 +1
8 +1 +1 +1
Niveau minus 2 gl 5 Adm2 05 gl
Niveau + 15 gl 25 Adm2 15 gl
Goupy Livre Page 36 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
37
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
313 Expeacuterimentation
Les essais sont meneacutes conformeacutement au plan drsquoexpeacuteriences et les reacutesultats sontconsigneacutes dans la matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 34)
314 Interpreacutetation des reacutesultats des calculs
Le mecircme modegravele postuleacute celui des plans factoriels complets 23 sera utiliseacute pourles deux reacuteponses
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3 31
Dans ce modegravele les lettres ont la signification suivante y est lrsquoune des reacuteponsesles x1 sont les niveaux des facteurs les a1 sont les effets des facteurs les aij sont lesinteractions entre deux facteurs ou interactions drsquoordre 2 et a123 est lrsquointeractionentre les trois facteurs ou interaction drsquoordre 3Dans un premier temps les reacuteponses sont eacutetudieacutees lrsquoune apregraves lrsquoautre
m Vitesse de deacutepocirct
On reporte les reacutesultats des vitesses de deacutepocirct sur le domaine drsquoeacutetude (Figure 34)On constate que la vitesse de 80 mgmin est facilement atteinte et qursquoil estpossible drsquoaller plus vite puisque la vitesse maximale en de lrsquoordre de 134 mgminOn constate aussi que les fortes vitesses sont du cocircteacute des fortes concentrationsen or
Tableau 34 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats
Essai n˚Concentration
en orFacteur 1
Densiteacute de courant
Facteur 2
Concentration en cobaltFacteur 3
Vitesse (mgmin)
Teneur en cobalt (ppm)
1 minus1 minus1 minus1 53 4 100
2 +1 minus1 minus1 122 3 510
3 minus1 +1 minus1 20 3 950
4 +1 +1 minus1 125 1 270
5 minus1 minus1 +1 48 4 870
6 +1 minus1 +1 70 2 810
7 minus1 +1 +1 68 7 750
8 +1 +1 +1 134 3 580
Niveau ndash1 2 gl 5 Adm2 05 gl
Niveau +1 15 gl 25 Adm2 15 gl
Goupy Livre Page 37 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
38
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Pour affiner la compreacutehension des reacutesultats il faut modeacuteliser les pheacutenomegravenes Oncommence par calculer les effets des facteurs et leurs interactions (Tableau 35)
Crsquoest le facteur 1 la concentration en or qui est le plus influent Les facteurs 2 et3 ne sont pas directement influents mais ils le sont par lrsquointermeacutediaire de leursinteractions drsquoordre 2 Les trois interactions ont des valeurs agrave peu pregraves identiquesmais de signes diffeacuterents Lrsquointeraction drsquoordre 3 est pratiquement nulle Ces reacutesultatspermettent drsquoeacutecrire le modegravele donnant la vitesse de deacutepocirct en fonction des niveauxdes trois facteurs (uniteacutes codeacutees)
yvitesse = 80 + 3275 x1 + 675 x2 +10 x1x2 ndash 1075 x1x3 + 1425 x2x3 32
Cette relation est utiliseacutee par les logiciels pour faire tous les calculs et tracer tousles graphiques
Figure 34 ndash Valeur de la vitesse de deacutepocirct aux sommets du domaine drsquoeacutetude
Tableau 35 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees) Reacuteponse laquo Vitesse de deacutepocirct raquo
Effet Valeur
Constante 80
Concentration en or (1) 3275
Densiteacute de courant (2) 675
Concentration en cobalt (3) 0
Interaction 12 10
Interaction 13 minus1075
Interaction 23 1425
Interaction 123 1
Concentration en Or
Densiteacutede courant
(3)
(1)
(2)
Concentrationen Cobalt
122
20 125
4870
68
53
134
Goupy Livre Page 38 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
39
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
On illustre souvent le tableau 35 par un diagramme agrave barres (Figure 35) qui permetdrsquoun coup drsquoœil de se rendre compte de lrsquoimportance des diffeacuterents coefficients
Deux autres diagrammes sont utiles pour bien se rendre compte de lrsquoinfluence desfacteurs le diagramme des effets (Prediction Profiler dans JMP) qui indique leseffets principaux des facteurs et le diagramme des interactions (Interaction Profilesdans JMP) qui montre les interactions drsquoordre 2 entre les facteurs
M Diagramme des effets
Nous avons deacutejagrave rencontreacute ce diagramme Il indique les effets principaux des facteurscrsquoest-agrave-dire les coefficients des termes du premier degreacute du modegravele matheacutematiqueCe diagramme peut ecirctre construit avec les uniteacutes codeacutees ou avec les uniteacutes normales(Figure 36) Lrsquoimpression visuelle est la mecircme Pour la preacutesentation des reacutesultatsil est plus commode drsquoemployer les uniteacutes normales qui donnent immeacutediatementles valeurs de comparaison
Figure 35 ndash Illustration du tableau 35
Figure 36 ndash Effet des facteurs
Coefficients du modegravele laquo Vitesse de deacutepocirct raquo
ndash
ndash
ndash
ndash
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
35
Or (1) Courant (2) Co (3) 12 13 23 123
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
2
134
80
85 15
20
Vit
esse
5 15 25 Densiteacute de courantOr Cobalt
05 1 15
Goupy Livre Page 39 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
40
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
La vitesse de deacutepocirct est drsquoautant plus grande que la solution drsquoeacutelectrolyte contientplus drsquoor et que la densiteacute de courant est plus eacuteleveacutee La concentration en cobaltde la solution drsquoeacutelectrolyte ne semble jouer aucun rocircle Mais pour avoir une inter-preacutetation complegravete il faut tenir compte des interactions qui nous lrsquoavons vu nesont pas neacutegligeables
M Diagramme des interactions
Le diagramme des drsquointeractions indique les effets drsquoun facteur au niveau bas et auniveau haut drsquoun autre facteur Le diagramme de la figure 37 se lit de la maniegraveresuivante la reacuteponse est indiqueacutee en ordonneacutees et les eacutechelles des facteurs sont enabscisses Dans le carreacute supeacuterieur droit lrsquoeffet du facteur laquo densiteacute de courant raquo estindiqueacute pour les niveaux bas (2) et haut (15) du facteur concentration en OrDans le carreacute infeacuterieur gauche lrsquoeffet du facteur laquo concentration en or raquo estindiqueacute pour les niveaux bas (5) et haut (25) du facteur laquo densiteacute de courant raquoNous savons que si les droites des effets ne sont pas parallegraveles il y a une interactionsignificative Crsquoest le cas de ces deux facteurs dont les pentes des effets sont diffeacute-rentes dans une perspective et se croisent dans lrsquoautre
On peut preacutesenter le diagramme des interactions en prenant les interactions soitseacutepareacutement deux agrave deux soit toutes regroupeacutees dans un seul tableau (Figure 38)Le diagramme des profils drsquointeractions montre clairement que les interactions nesont pas neacutegligeables et qursquoil faut les prendre en compte pour faire lrsquointerpreacutetationLa vitesse maximale de deacutepocirct est atteinte lorsque les trois facteurs sont agrave leur niveauhaut 15 gl drsquoor et 15 gl de cobalt dans la solution drsquoeacutelectrolyte et une densiteacutede courant de 25 Adm2 (Figure 39)
Figure 37 ndash Le diagramme des interactions illustre lrsquoimportance des interactions
2
Or
0
Densiteacutede courant
Vite
sse
150
75
0
150
75
25
15
5
152 5 25
Goupy Livre Page 40 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
41
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
m Teneur en cobalt de lrsquoalliage
On peut eacutegalement reporter les reacutesultats des teneurs en cobalt sur le domainedrsquoeacutetude (Figure 310)On constate que de fortes teneurs en cobalt dans lrsquoalliage sont obtenues lorsque laconcentration en or est faible dans la solution drsquoeacutelectrolyte On constate eacutegalement
Figure 38 ndash Les profils des interactions sont regroupeacutes en un seul tableau
Figure 39 ndash La plus grande vitesse de deacutepocirct est atteinte lorsque les trois facteurs sont agrave leur niveau haut
2
Or
0
Densiteacutede courant
Vite
sse
150
75
0
150
75
25
15
5
152 5 25
2
15
25
5
05
1505
15 Cobalt
05 15
0
150
75
2
133
85 15
20
Vit
esse
5 15 25
Densiteacutede courant
Or Cobalt
05 1 15
Goupy Livre Page 41 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
42
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
que cette teneur en cobalt augmente avec la densiteacute de courant et avec la concen-tration en cobalt dans lrsquoeacutelectrolyte
Calculons maintenant les effets des facteurs et leurs interactions (Tableau 36)
Ce sont les facteurs 1 (la concentration en or) et 3 (la concentration en cobalt) quisont les plus influents (Figure 311) Mais ils sont de sens opposeacutes Lrsquoeffet du facteur 1est neacutegatif cela signifie que la reacuteponse baisse quand le facteur passe du niveau bas auniveau haut Lrsquoeffet du facteur 3 est positif cela signifie que la reacuteponse augmente
Figure 310 ndash Valeur de la reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo aux sommets du domaine drsquoeacutetude
Tableau 36 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees) Reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo
Effet Valeur
Constante 3 980
Concentration en or (1) minus1 1875
Densiteacute de courant (2) 1575
Concentration en cobalt (3) 7725
Interaction 12 minus525
Interaction 13 minus370
Interaction 23 755
Interaction 123 minus25
Concentrationen Cobalt
Concentration en Or
Densiteacutede courant
(3)
(1)
(2)
3510
3950 1270
4870
2810
7750
4100
3580
Goupy Livre Page 42 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
43
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
quand le facteur passe du niveau bas au niveau haut Les interactions drsquoordre 2sont importantes (Figure 312) Lrsquointeraction drsquoordre 3 est neacutegligeableCes reacutesultats permettent drsquoeacutecrire le modegravele donnant la concentration en cobalt delrsquoalliage en fonction des niveaux des trois facteurs (uniteacutes codeacutees)
ycobalt = 3 980 ndash 1 1875 x1 + 1575 x2 + 7725 x1 ndash 525 x1x2 ndash 370 x1x3 + 755 x2x3 33
Cette relation est utiliseacutee par les logiciels pour faire tous les calculs et tracer tousles graphiquesLa teneur en cobalt de lrsquoalliage doit ecirctre comprise entre 3 500 et 4 500 ppm Cesdeux valeurs peuvent ecirctre atteintes puisque la reacuteponse varie de 1 270 agrave 7 750 ppmagrave lrsquointeacuterieur du domaine drsquoeacutetude Pour avoir une vue drsquoensemble il faut tracer lescourbes isoreacuteponses de la surface de reacuteponse correspondant aux deux facteurs lesplus influents la concentration en or et la concentration en cobalt (Figure 313)La courbe 4 000 ppm a eacuteteacute traceacutee et les limites de 3 500 et 4 500 ppm ont eacuteteacuteindiqueacutees Les zones griseacutees sont en dehors de lrsquoobjectif et les zones claires rassem-blent toutes les combinaisons de concentrations qui permettent drsquoatteindrelrsquoobjectif Le diagramme a eacuteteacute traceacute pour trois niveaux de la densiteacute de courant 515 et 25 Adm2 Plus la densiteacute de courant est eacuteleveacutee et plus la zone autoriseacutee esteacutetroiteCes diagrammes peuvent ecirctre construits avec un tableur ou avec un logiciel de plansdrsquoexpeacuteriences
Figure 311 ndash Illustration du tableau 36
Coefficients du modegravelelaquoTeneur en Cobalt de lalliage raquo
1 200
1 000
800
600
400
ndash
ndash
ndash
ndash
ndash
ndash
200
0
200
400
600
800
1 000
Or (1) Courant(2)
Co (3) 12 13 23 123
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 43 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
44
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
m Recherche de conditions opeacuteratoires respectant les objectifs
Comme il y a deux objectifs une vitesse de deacutepocirct au moins eacutegale agrave 80 mgmin et uneteneur en cobalt de lrsquoalliage comprise entre 3 500 et 4 500 ppm nous allons super-poser les reacutesultats de la vitesse de deacutepocirct agrave ceux de la teneur en cobalt (Figure 314)On interdit les vitesses infeacuterieures agrave 80 mgmin
Figure 312 ndash Profils des interactions pour la reacuteponse laquo Teneur en cobalt de lrsquoalliage raquo
Figure 313 ndash Lrsquoobjectif de teneur en cobalt nrsquoest pas atteint pour les zones griseacutees
2Or
0
Densiteacutede courant
Co
ba
lt d
an
s la
llia
ge
8 000
4 000
0
8 000
4 000
25
5
152 5 25
2
15
25
5
05
15
05
15
Cobalt
05 15
0
8 000
4 000
15
4500
Concentration Or (1) 152
Co
nce
ntr
atio
n C
ob
alt
(3)
05
15
4000
Teneur en Cobalt dans lalliage
3500
Densiteacute de courant 5 A dm2
Concentration Or (1) 152
4000
4000
4000
Teneur en Cobalt dans lalliage
4000
4000
Teneur en Cobalt dans lalliage
Concentration Or (1) 152
Densiteacute de courant 15 A dm
Densiteacute de courant 25 A dm
35003500
4500 4500
2 2
Goupy Livre Page 44 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
31 Exemple 02 des bijoux en or
45
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Pour les faibles densiteacutes de courant on constate que la zone des faibles concentra-tions en or est supprimeacutee Il ne reste qursquoune zone utile de fortes concentrations enor et de faibles concentrations en cobaltPour les densiteacutes de courant moyennes on constate eacutegalement que la zone desfaibles concentrations en or est supprimeacutee Il ne reste qursquoune zone ougrave les deuxobjectifs sont respecteacutes elle se situe aux fortes concentrations en or et aux fortesconcentrations en cobaltPour les fortes densiteacutes de courant la zone des faibles concentrations en or estsupprimeacutee Il ne reste qursquoune zone qui ressemble agrave celle des densiteacutes moyennes decourantToutes les combinaisons appartenant aux zones non griseacutees permettent de reacutepondreaux objectifs Lrsquoexpeacuterimentateur a donc un large eacuteventail de solutions Il pourrachoisir une solution reacutepondant agrave une contrainte suppleacutementaire par exemple unesolution donnant un meilleur aspect de surface ou une solution plus eacuteconomique
m Peut-on faire mieux
On peut se poser la question de savoir dans quelles conditions on peut travailler unpeu plus vite par exemple agrave 100 mgmin Il suffit de remplacer la valeur de la limitede vitesse de 80 mgmin par 100 mgmin On obtient des diagrammes analoguesagrave ceux de la figure 315Si lrsquoon veut travailler agrave 100 mgmin il faut choisir une densiteacute de courant soitfaible soit forte Il nrsquoy a aucune solution si la densiteacute de courant est moyennePour les faibles densiteacutes de courant il faut une forte concentration en or et unefaible concentration en cobaltPour les fortes densiteacutes de courant il faut une forte concentration en or et uneforte concentration en cobaltGracircce aux modegraveles eacutetablis lrsquoexpeacuterimentateur peut calculer (avec le logiciel) despreacutevisions de reacuteponses pour des conditions opeacuteratoires donneacutees Par exemple ilpeut deacutecider de privileacutegier les solutions faisant intervenir les fortes densiteacutes decourant qui permettent drsquoatteindre une concentration en cobalt de 4 000 ppm
Figure 314 ndash Les objectifs sont respecteacutes dans les zones non griseacutees
Concentration Or 152
Co
nce
ntr
atio
n C
ob
alt
05
15
Concentration Or 152 Concentration Or 152
Densiteacute de courant 5 A dm
Densiteacute de courant 15 A dm
Teneur en Cobalt dans lalliage
80
Vitesse
4000
80
Vitesse
Teneur en Cobalt dans lalliage
3500
3500
2 2Densiteacute de courant 25 A dm
4000 3500
Vitesse
4500
80
Teneur en Cobalt dans lalliage
2
Goupy Livre Page 45 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
46
31 Exemple 02 des bijoux en or3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
alors que les faibles densiteacutes de courant ne le permettent pas Dans cette hypothegravese ilne peut pas conclure sans effectuer une veacuterification Il va donc preacutevoir une ou plusieursexpeacuteriences de controcircle (Figure 316) Lrsquoexpeacuterimentateur ajuste les facteurs fixeacutes agrave leursniveaux drsquoexpeacuterimentation et il attribue les valeurs suivantes aux facteurs du plan
ndash La concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolyte est reacutegleacutee agrave 12 glndash La concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte est reacutegleacutee agrave 13 glndash La densiteacute de courant est reacutegleacutee agrave 25 Adm2
Avec les modegraveles eacutetablis lrsquoexpeacuterimentateur calcule que la vitesse devrait ecirctre de115 mgmin et la teneur en cobalt de lrsquoalliage devrait ecirctre de 4 011 ppm
Figure 315 ndash Avec une vitesse de deacutepocirct de 100 mgmin les objectifs sont respecteacutes uniquement dans deux petites zones non griseacutees
Figure 316 ndash Les preacutevisions de reacuteponses indiquent que les objectifs pourraient ecirctre atteints si la concentration en or de lrsquoeacutelectrolyte eacutetait de 12 mgl et celle du cobalt de 13 mgl
pour une densiteacute de courant de 25 Adm2
100
Vitesse
3500
Concentration Or 152
Co
nce
ntr
atio
n C
ob
alt
05
15
Concentration Or 152
Densiteacute de courant 5 A dm
Densiteacute de courant 15 A dm
Vitesse
Teneur en Cobalt dans lalliage
100
2 2
Concentration Or 152
Densiteacute de courant 25 A dm
4000
3500
Vitesse
4500
Teneur en Cobalt dans lalliage
100
2
12
13
Co
nce
ntr
atio
n C
ob
alt
05
15
Concentration Or 152
Densiteacute de courant 25 A dm
4000
3500
4500
100
Vitesse
2
Teneur en Cobalt dans lalliage
Goupy Livre Page 46 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
32 Conclusion de lrsquoeacutetude
47
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
3 bull Plan drsquoexpeacuteriencespour 3 facteurs
Il reacutealise deux essais de controcircle en reprenant ces conditions opeacuteratoires Il trouveune vitesse de deacutepocirct de 110 et 105 mgmin et une teneur en cobalt dans lrsquoalliagede 3 950 et 3 920 ppm Ces reacutesultats le satisfont car ils confirment ses preacutevisionsLrsquoexpeacuterimentateur va pouvoir faire ses recommandations
32 Conclusion de lrsquoeacutetudeLrsquoexpeacuterimentateur preacutecise les conditions opeacuteratoires permettant de reacutealiser des deacutepocirctsdrsquoor fin reacutepondant aux impeacuteratifs de qualiteacute deacutefinis au deacutepart de lrsquoeacutetude Il indique le mateacuteriel la nature lrsquoorigine et les proprieacuteteacutes des matiegraveres premiegraveres la mise enœuvre des matiegraveres premiegraveres les niveaux des facteurs qui ont eacuteteacute fixeacutes pendantlrsquoexpeacuterimentation Enfin il rappelle les reacuteglages des quatre principaux facteurs ndash le pH de lrsquoeacutelectrolyte reacutegleacute agrave 45 ndash la concentration en or de la solution drsquoeacutelectrolyte reacutegleacutee agrave 12 gl ndash la concentration en cobalt de la solution drsquoeacutelectrolyte reacutegleacutee agrave 13 gl ndash la densiteacute de courant reacutegleacutee agrave 25 Adm2Dans ces conditions on doit obtenir une vitesse de deacutepocirct leacutegegraverement supeacuterieure agrave100 mgmin et une teneur en cobalt dans lrsquoalliage de lrsquoordre 3 900 ppm Les objectifsde lrsquoeacutetude sont respecteacutes et mecircme un peu deacutepasseacutes
Goupy Livre Page 47 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
Goupy Livre Page 48 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
49
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull PLANS FACTORIELS COMPLETSAgrave 4 FACTEURS
Nous avons vu un plan factoriel complet agrave deux facteurs et un autre agrave trois facteursDans ces deux plans les facteurs ne prenaient que deux niveaux un niveau bas etun niveau haut Le premier plan a eacuteteacute deacutesigneacute comme plan 22 (deux facteursprenant chacun deux niveaux) Le second plan a eacuteteacute deacutesigneacute comme plan 23 (troisfacteurs prenant chacun deux niveaux) Nous allons voir maintenant un planfaisant intervenir quatre facteurs prenant chacun deux niveaux crsquoest-agrave-dire unplan 24 Le nombre drsquoessais est donc de 16 ce qui est encore raisonnable Plus lenombre de facteurs est eacuteleveacute plus le nombre drsquoessais devient grand Ce nombredrsquoessais augmente exponentiellement avec le nombre de facteurs Pour 5 facteursil faudrait reacutealiser 32 essais et pour 6 facteurs 64 essais Il est donc rare drsquoexeacutecuterun plan factoriel complet ayant plus de 5 ou 6 facteurs Nous verrons qursquoil estpossible moyennant certaines hypothegraveses de reacuteduire le nombre drsquoessais sans dimi-nuer le nombre de facteurs Les plans factoriels fractionnaires ont eacuteteacute inventeacutespour reacutesoudre ce problegravemeDans le preacutesent chapitre nous traitons lrsquoexemple de la galette des rois Cet exemplene pose aucun problegraveme de construction Mais nous verrons que lrsquointerpreacutetationnrsquoest pas automatique et que lrsquoexpeacuterimentateur doit faire preuve de connaissances etsavoir faire appel agrave toutes les compeacutetences pour choisir la bonne deacutecision Lrsquoexpeacuteri-mentateur est celui qui sait preacutesenter les diffeacuterentes alternatives aux deacutecideurs pourque lrsquoentreprise fasse le bon choixIl existe en France une tradition qui srsquoappelle la laquo galette des rois raquo Agrave la fin du mois dedeacutecembre et pendant tout le mois de janvier on trouve chez les deacutetaillants desgacircteaux particuliers appeleacutes laquo galettes des rois raquo Ce gacircteau preacutesente la particulariteacutedrsquoavoir un petit objet la fegraveve glisseacute et dissimuleacute dans la pacircte Cette galette estdeacutegusteacutee en famille ou avec des amis Le Papa ou la Maman deacutecoupe la galette enun nombre de parts exactement eacutegal au nombre de convives Le plus jeune desenfants se place de maniegravere agrave ne pas voir la galette par exemple dans une piegravecevoisine ou sous la table La personne qui a deacutecoupeacute la galette deacutesigne lrsquoune desparts et demande agrave lrsquoenfant laquo Pour qui cette part-lagrave raquo Lrsquoenfant reacutepond parexemple laquo Pour ma sœur raquo La part est attribueacutee agrave la sœur On poursuit ainsi ladistribution jusqursquoagrave ce que chacun ait sa part Celui qui trouve la fegraveve dans sa partde galette est le roi ou la reine de la soireacutee il est applaudi et congratuleacute par tousLes enfants adorent la galette des rois et espegraverent bien devenir le roi ou la reine dela soireacuteehellip mais je crois que crsquoest pareil pour les grandes personnes On notera que
Goupy Livre Page 49 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
50
41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
les petits Franccedilais sont bien entraicircneacutes pour reacutealiser une distribution parfaitementaleacuteatoire et que la galette des rois est une bonne initiation agrave la science statistiqueCet exemple sera lrsquooccasion de preacutesenter une meacutethode drsquooptimisation multicritegraveretregraves utile la deacutesirabiliteacute
41 Exemple 03 la galette des rois411 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
La galette des rois est preacutepareacutee agrave partir drsquoune pacircte feuilleteacutee speacuteciale que lrsquoon eacutetaleen plaque drsquoenviron 1 centimegravetre drsquoeacutepaisseur et que lrsquoon deacutecoupe en forme decercle Ces cercles de pacircte sont appeleacutes des abaisses Pour reacutealiser une galette il fautdeux abaisses Sur la premiegravere abaisse lrsquoabaisse infeacuterieure on deacutepose un fourragede pacircte drsquoamandes et lrsquoon place la fegraveve de maniegravere agrave ce qursquoelle soit parfaitementdissimuleacutee On recouvre lrsquoensemble drsquoune deuxiegraveme abaisse identique agrave la premiegravereOn perce lrsquoabaisse supeacuterieure de nombreux petits trous pour que la vapeur drsquoeaupuisse srsquoeacutechapper pendant la cuisson On obtient une galette que lrsquoon introduit dansun four chauffeacute de maniegravere homogegravene agrave une certaine tempeacuterature et que lrsquoon laissecuire pendant 30 minutes Pour la preacutesente eacutetude il srsquoagit de galettes industriellesqui une fois cuites sont congeleacutees et achemineacutees dans les magasins gracircce agrave un reacuteseaude distribution Agrave la sortie du four les galettes sont examineacutees et seules celles quine preacutesentent aucun deacutefaut sont congeleacutees Les galettes sont ensuite conditionneacuteeset distribueacutees chez les revendeurs en preacuteservant la chaicircne du froid Les galettes sontvendues en geacuteneacuteral dans les trois semaines qui suivent leur fabricationTout serait pour le mieux si des clients meacutecontents nrsquoeacutetaient pas revenus reacuteclameren faisant constater que certaines galettes avaient des abaisses deacutecolleacutees et preacutesen-taient des fentes sur lrsquoabaisse infeacuterieure Le principal grief eacutetait que les galettes lais-saient apparaicirctre la fegraveve et que la magie de la galette des rois srsquoeacutevanouissait alorscomplegravetementDevant une telle catastrophe lrsquoindustriel reacuteagit immeacutediatement en convoquant sesmeilleurs techniciens La situation est analyseacutee et la deacutecision de faire une eacutetude pourtrouver lrsquoorigine des deux deacutefauts est prise sans tarder Les galettes ne doivent preacutesenteraucun deacutefaut 4 semaines apregraves la sortie drsquousine Les deacutefauts viseacutes sont le deacutecollementet les fentes qui en jargon technique de pacirctisserie srsquoappellent des fecircles
m Objectif de lrsquoeacutetude
Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de trouver les conditions de fabrication qui permettront dereacuteduire et si possible drsquoeacuteliminer les deacutecollements et les fecircles sur les galettes congeleacuteesayant 4 semaines de vie
m Reacuteponses
Le choix de la reacuteponse permettant de bien mesurer la grandeur drsquointeacuterecirct et de corrigerles deacutefauts constateacutes est bien souvent difficile agrave deacutefinir Ici la mesure du deacutecollementse heurte agrave plusieurs difficulteacutes Le deacutecollement nrsquoest pas reacutegulier et lrsquoon a constateacute
Goupy Livre Page 50 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
41 Exemple 03 la galette des rois
51
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
plusieurs zones de deacutecollement plus ou moins longues sur la mecircme galette Il peuty avoir des parties bien colleacutees drsquoautres agrave moitieacute colleacutees et enfin drsquoautres complegravetementdeacutecolleacutees Les tentatives drsquoeacutevaluation du deacutecollement par des mesures de longueurde profondeur et drsquoeacutepaisseur se soldegraverent par des eacutechecs Il en fut de mecircme pour lamesure des fecircles celles-ci eacutetant plus ou moins larges plus ou moins profondes etplus ou moins rectilignes On finit donc par eacutetablir un baregraveme avec des deacutefautstests ce qui permit de donner des notes agrave toutes les galettes participant agrave lrsquoeacutetudeLe deacutecollement fut estimeacute par une note comprise entre 0 et 3 ndash 3 est lrsquoabsence de deacutecollement ndash 0 est le plus mauvais deacutecollement constateacuteLa fecircle fut estimeacutee par une note comprise entre 0 et 3 ndash 3 est lrsquoabsence de fecircle ndash 0 est la galette posseacutedant le plus grand nombre de fecirclesLrsquoobjectif chiffreacute est donc 3 pour le deacutecollement et 3 pour la fecircle
m Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Lrsquoindustriel et son eacutequipe eacutetablirent la liste de tous les facteurs pouvant influencerlrsquoapparition des deacutefauts Puis ils seacutelectionnegraverent ceux qui leur paraissaient suscep-tibles drsquoengendrer les deux deacutefauts ndash Facteur 1 rapport du poids des abaisses Crsquoest le rapport poids de lrsquoabaisse
supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse infeacuterieure bull niveau bas 09bull niveau haut 11
ndash Facteur 2 nombre de trous dans lrsquoabaisse supeacuterieure bull niveau bas peubull niveau haut beaucoup
ndash Facteur 3 profil de chauffage du four de cuisson bull niveau bas fort au deacutebutbull niveau haut fort agrave la fin
ndash Facteur 4 dureacutee de la cuisson bull niveau bas 29 minbull niveau haut 31 min
Les facteurs et leurs niveaux sont rassembleacutes dans le tableau 41
Tableau 41 ndash Facteurs retenus et domaine drsquoeacutetude
Facteur Niveau bas Niveau moyen Niveau haut
Rapport du poids des abaisses (1) 090 1 11
Nombre de trous (2) Peu Normal Beaucoup
Profil de chauffage (3) Fort au deacutebut Homogegravene Fort agrave la fin
Dureacutee de la cuisson (4) 29 min 30 min 31 min
Goupy Livre Page 51 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52
41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Le niveau moyen correspond aux conditions de la fabrication utiliseacutees avant leplan drsquoexpeacuteriences
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Le responsable de la fabrication deacutecide drsquoeacutetudier les 4 facteurs avec un plan factorielcomplet 24 car il srsquoattend agrave de nombreuses interactions entre les facteurs Le plancomporte donc 16 essais (Tableau 42)
Tableau 42 ndash Plan drsquoexpeacuteriences pour lrsquoeacutetude sur la galette des rois
Essai n˚Rapport du poids
des abaisses(1)
Nombre de trous
(2)
Chauffage du four
(3)
Dureacutee de la cuisson
(4)
1 ndash ndash ndash ndash
2 + ndash ndash ndash
3 ndash + ndash ndash
4 + + ndash ndash
5 ndash ndash + ndash
6 + ndash + ndash
7 ndash + + ndash
8 + + + ndash
9 ndash ndash ndash +
10 + ndash ndash +
11 ndash + ndash +
12 + + ndash +
13 ndash ndash + +
14 + ndash + +
15 ndash + + +
16 + + + +
ndash1 090 Peu Fort au deacutebut 29 min
+1 11 Beaucoup Fort agrave la fin 31 min
Goupy Livre Page 52 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
41 Exemple 03 la galette des rois
53
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
La preacutesentation du plan suit lrsquoordre classique des essais ou ordre de Yates Lesniveaux de la premiegravere colonne sont alterneacutes et commencent par un minus1 Les niveauxde la deuxiegraveme colonne sont alterneacutes deux par deux 2 signes minus1 et 2 signes +1 etainsi de suite Les niveaux de la troisiegraveme colonne sont alterneacutes quatre par quatre 4 signes minus1 et 4 signes +1 et ainsi de suite Les niveaux de la quatriegraveme colonnesont alterneacutes huit par huit 8 signes minus1 et 8 signes +1 Cet ordre sera utiliseacute pourpreacutesenter tous les plans drsquoexpeacuteriences du livre et tous les fichiers informatiquesMais lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais drsquoun plan nrsquoest pas forceacutement lrsquoordre de preacutesen-tation Lrsquoordre des essais est une question importante que nous eacutetudierons en deacutetailau cours du chapitre 8
412 Expeacuterimentation
Les galettes sont cuites dans un four industriel continu Agrave lrsquoentreacutee du four elles sontdeacuteposeacutees sur un tapis roulant et disposeacutees les unes derriegravere les autres sur plusieursrangeacutees Elles avancent reacuteguliegraverement dans le four et cuisent progressivement ellesy seacutejournent le temps imposeacute par le plan drsquoexpeacuteriences Elles sont reacutecupeacutereacutees agrave lasortie du four puis refroidies On seacutelectionne celles qui ne preacutesentent aucun deacutefaut eton les congegravele On preacutelegraveve au hasard un eacutechantillon de 100 galettes preacutepareacuteesdans les mecircmes conditions Elles sont empaqueteacutees eacutetiqueteacutees et stockeacutees pendant4 semaines Au bout de quatre semaines chaque galette passe entre les mains drsquounjuge qui lui attribue une note pour la fecircle et une autre pour le deacutecollement Unsecond juge veacuterifie les notes du premier et en cas de deacutesaccord les deux juges seconcertent pour mettre la note la plus preacutecise possible Pour chaque essai du planon lance une fabrication particuliegravere telle que lrsquoon vient de la deacutecrireUn tel plan neacutecessite une excellente organisation pour ecirctre meneacute agrave bien et lrsquoenjeu doitecirctre important car le coucirct drsquoune telle recherche est consideacuterable Heureusementdans notre cas tous les essais et toutes les mesures ont pu ecirctre reacutealiseacutes Nous nedonnerons pas les reacutesultats des 100 galettes par essais Nous nous contenterons desmoyennes pour chacune des deux reacuteponses Les reacutesultats figurent dans le tableau 43
Tableau 43 ndash Reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences laquo Galette des rois raquo
Essai n˚Poids des abaisses
(1)
Nombre de trous
(2)
Chauffage(3)
Dureacutee de cuisson
(4)Deacutecollement Fecircle
1 ndash ndash ndash ndash 28 22
2 + ndash ndash ndash 3 28
3 ndash + ndash ndash 22 12
4 + + ndash ndash 3 26
5 ndash ndash + ndash 3 14
6 + ndash + ndash 26 2
7 ndash + + ndash 3 14
Goupy Livre Page 53 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
54
41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Crsquoest agrave partir de ce tableau que lrsquointerpreacutetation peut deacutebuter
413 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
m Modeacutelisation matheacutematique
Le modegravele matheacutematique choisi a priori (modegravele PDAI) est le suivant y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4
+a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4+a123x1x2x3 + a124x1x2x4 + a134x1x3x4 + a234x2x3x4
+a1234x1x2x3x4 Ce modegravele matheacutematique comporte
ndash un coefficient constant a0 ndash quatre termes comprenant un coefficient ai (effets des facteurs) multiplieacute par les
niveaux respectifs de chaque facteur ndash des termes comprenant un coefficient aij (interactions entre deux facteurs) et le
produit des niveaux des facteurs pris deux agrave deux ndash des termes comprenant un coefficient aijk (interactions entre trois facteurs) et le
produit des niveaux des facteurs pris trois agrave trois ndash un terme comprenant un coefficient aijkl (interaction entre quatre facteurs) et
le produit des niveaux des facteurs pris quatre agrave quatre
Il y a 16 coefficients soit 16 inconnues Les 16 essais vont permettre de calculer ces16 inconnues La reacutesolution de ce systegraveme drsquoeacutequations est reacutealiseacutee gracircce au logiciel
Essai n˚Poids des abaisses
(1)
Nombre de trous
(2)
Chauffage(3)
Dureacutee de cuisson
(4)Deacutecollement Fecircle
8 + + + ndash 24 22
9 ndash ndash ndash + 14 24
10 + ndash ndash + 28 3
11 ndash + ndash + 08 12
12 + + ndash + 16 3
13 ndash ndash + + 14 14
14 + ndash + + 26 3
15 ndash + + + 3 18
16 + + + + 28 3
minus1 090 Peu Fort au deacutebut 29 min
+1 11 Beaucoup Fort agrave la fin 31 min
Tableau 43 ndash Reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences laquo Galette des rois raquo (Suite)
Goupy Livre Page 54 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
41 Exemple 03 la galette des rois
55
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Le mecircme modegravele de base sera utiliseacute pour les deux reacuteponses Mais les coefficientsseront fort probablement diffeacuterents drsquoune reacuteponse agrave lrsquoautre La repreacutesentationmatheacutematique finale ne sera pas la mecircme pour chacune des reacuteponses
m Preacuteparation des calculs
Quel que soit le logiciel que vous utilisez vous devez entrer les reacutesultats expeacuteri-mentaux dans lrsquoordinateur Vous prendrez bien garde drsquoassocier correctementchaque reacutesultat avec lrsquoessai correspondant du plan drsquoexpeacuteriences Un deacutecalage ouune erreur de transcription ruinerait les efforts de recherche et pourrait conduire agraveune interpreacutetation erroneacutee des reacutesultatsPour le deacutetail des manipulations permettant de lancer les calculs avec le logicielreportez-vous au chapitre 14
m Examiner les reacutesultats des calculs
Les reacutesultats des calculs sont afficheacutes dans le tableau 44
Tableau 44 ndash Effets et interactions des facteurs (uniteacutes codeacutees)
Effet Deacutecollement Fecircle
Moyenne 24 216
Poids des abaisses (1) 02 054
Trous (2) minus005 minus011
Chauffage (3) 02 minus014
Dureacutee de cuisson (4) minus035 019
Interaction 12 minus01 011
Interaction 13 minus02 minus001
Interaction 14 02 011
Interaction 23 025 019
Interaction 24 005 001
Interaction 34 02 009
Interaction 123 minus01 minus014
Interaction 124 minus015 minus001
Interaction 134 005 006
Interaction 234 02 001
Interaction 1234 0 minus006
Goupy Livre Page 55 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
56
41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Trois facteurs sont influents sur le deacutecollement ndash Facteur 1 rapport du poids des abaissesndash Facteur 3 profil de chauffage du four de cuissonndash Facteur 4 dureacutee de la cuissonIl y a de nombreuses interactions drsquoordre 2 et drsquoordre 3 qui sont du mecircme ordre degrandeur que les effets principaux Cela nrsquoa rien de surprenant dans le domaine dela pacirctisserie La figure 41 illustre les valeurs des coefficients du modegravele de lareacuteponse laquo Deacutecollement raquo
Pour la fecircle il nrsquoy a qursquoun facteur (le rapport du poids des abaisses) nettement plusinfluent que les trois autres Mais aucun ne peut ecirctre neacutegligeacute car tous les facteursmodifient suffisamment la note pour ecirctre pris en compte On veacuterifie qursquoil y a aussi denombreuses interactions drsquoordre 2 et drsquoordre 3 La figure 42 illustre le tableau 44Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est drsquoameacuteliorer les deux reacuteponses en mecircme temps pour dimi-nuer le deacutecollement et la fecircle On cherche les conditions qui permettentdrsquoatteindre une note de 3 pour les deux reacuteponses
m Interpreacuteter les reacutesultats des calculs
La preacutesence des interactions ne permet pas drsquoeacutetudier lrsquoinfluence drsquoun facteur agrave partirdu seul effet principal sur une reacuteponse car lorsqursquoon change le niveau drsquoun facteuron modifie les effets de tous les autres facteurs Au centre du domaine drsquoeacutetude lanote du deacutecollement est 24 et la note de la fecircle est 21625 (Figure 43) Une inter-preacutetation baseacutee uniquement sur les effets principaux des facteurs serait sourcedrsquoerreurs il faut tenir compte des interactions On va progresser par eacutetapes en tenantcompte du sens de variation des effets pour les deux reacuteponses Le calcul des reacuteponsesen fonction du niveau des facteurs est effectueacute gracircce agrave un logiciel de plans drsquoexpeacute-riences Avec le logiciel JMP crsquoest lrsquooutil Prediction Profiler qursquoil faut utiliser
Figure 41 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele de la reacuteponse laquo Deacutecollement raquo
Deacutecollement
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Nom des coefficients
1 2 3
06
04
02
0
ndash 02
ndash 04
ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234
Goupy Livre Page 56 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
41 Exemple 03 la galette des rois
57
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Le sens de variation du facteur 1 (le rapport du poids des abaisses) est le mecircmepour les deux reacuteponses Donc quand on ameacuteliore (deacuteteacuteriore) lrsquoune on ameacuteliore(deacuteteacuteriore) lrsquoautre Cela est inteacuteressant puisque crsquoest le seul facteur sur lequel onpeut jouer pour ameacuteliorer la fecircle On obtiendra en mecircme temps des galettes avecmoins de fecircle et moins de deacutecollement On regravegle donc le facteur 1 au niveau haut(Figure 44) La note du deacutecollement passe agrave 26 et celle de la fecircle agrave 27Pour cette valeur du niveau du facteur 1 on srsquoaperccediloit que le facteur 2 ne modifieque le deacutecollement et qursquoil est sans effet sur la fecircle
Figure 42 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele de la reacuteponse Fecircle
Figure 43 ndash Diagramme des effets des quatre facteurs pour les deux reacuteponses
FecircleV
aleu
r d
es c
oef
fici
ents
Nom des coefficients
1 2 3
06
04
02
0
ndash 02
ndash 04
ndash 064 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234
ndash ndash ndash ndash1
3
24
0 +1
08
Deacutec
olle
men
t
Poids (1)
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
1
3
21625
0 +1
08Fecircl
e
Poids (1)
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
ndash ndash ndash ndash
Goupy Livre Page 57 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
58
41 Exemple 03 la galette des rois4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
On regravegle ce facteur au niveau bas pour reacuteduire le deacutecollement (Figure 45) Onremarque que maintenant le facteur 3 agit de la mecircme faccedilon sur les deuxreacuteponses Les changements de pente des facteurs sont dus aux interactions
On profite de cette situation favorable qui eacutevite un compromis le facteur 3 estplaceacute au niveau bas pour les deux reacuteponses (Figure 46)
Figure 44 ndash Le facteur 1 est reacutegleacute au niveau haut
Figure 45 ndash Le facteur 2 est reacutegleacute au niveau bas
ndash1
326
0 +1
08Deacutec
olle
men
t
Poids (1)
ndash1 0 +1 ndash1 0 +1 ndash1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
ndash1
327
0 +1
08
Fecircl
e
Poids (1)
ndash1 0 +1 ndash1 0 +1 ndash1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
ndash
ndash ndash ndash ndash
ndash ndash ndash1
32747
0 +1
08
Deacutec
olle
men
t
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
1
32696
0 +1
08
Fecircl
e
Poids (1)
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
Goupy Livre Page 58 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
41 Exemple 03 la galette des rois
59
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Le reacuteglage du facteur 4 la dureacutee de la cuisson est plus deacutelicat En effet ce facteuragit de maniegravere opposeacutee sur les deux reacuteponses Si on le place au niveau haut onobtient bien la note 3 pour la fecircle mais on redescend agrave 28 pour le deacutecollementInversement si on le place au niveau bas on obtient la note 3 pour le deacutecolle-ment mais on redescend agrave 28 pour la fecircle Lorsqursquoon laisse le facteur 3 au niveauzeacutero on a la note 29 pour les deux reacuteponses (Figure 47)
Figure 46 ndash Le facteur 3 est reacutegleacute au niveau bas
Figure 47 ndash Le facteur 4 peut ecirctre reacutegleacute agrave diffeacuterents niveaux selon la solution rechercheacutee
ndash
ndash ndash ndash ndash
ndash ndash ndash1
329
0 +1
08
Deacutec
olle
men
t
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
1
329
0 +1
08
Fecircl
e
Poids (1)
1 0 +1 1 0 +1 1 0 +1
Trous (2) Chauffage (3) Cuisson (4)
ndash
ndash ndash ndash
ndash ndash1
328
0 +1
08
Deacutec
olle
men
t
1 0 +11 0 +1
1
3
0 +1
08
Fecircl
e
1 0 +11 0 +1
Cuisson 31 min
3
28
29
29
29 min 30 min
Goupy Livre Page 59 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
60
42 Fonction deacutesirabliteacute4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Faut-il laisser une dureacutee de cuisson de 30 minutes ou faut-il la reacuteduire pour eacuteliminerles deacutecollements ou lrsquoaugmenter pour supprimer les fecircles La reacuteponse nrsquoappartient pasnormalement au technicien mais au responsable du marketing qui devra appreacutecier lamoins mauvaise solution eacutetant donneacute sa clientegravele Les graphiques permettent depreacutesenter les diffeacuterentes facettes du problegraveme et facilitent les prises de deacutecision Le tech-nicien possegravede toutes les donneacutees et tous les moyens de les preacutesenter aux deacutecideursLe technicien peut eacutegalement suggeacuterer un compleacutement drsquoeacutetude pour obtenir lanote 3 pour les deux reacuteponses Lorsqursquoon examine la figure 46 on constate quelrsquoon peut ameacuteliorer la situation ndash en augmentant le rapport du poids des abaisses ndash en diminuant le nombre de trous ndash en forccedilant la tempeacuterature du deacutebut de chauffe dans le fourSi lrsquoenjeu en vaut la peine lrsquoexpeacuterimentateur nrsquoaura aucun mal agrave obtenir uncompleacutement de budget pour finaliser lrsquoeacutetude
42 Fonction deacutesirabliteacuteLa fonction deacutesirabiliteacute est tregraves utile quand il faut trouver le meilleur compromisentre plusieurs reacuteponses Cette fonction a eacuteteacute proposeacutee par Derringer et Suich et ellefigure dans de nombreux logiciels de plans drsquoexpeacuteriences Elle est tregraves facile agrave utiliseret rend de grands services Nous aurons lrsquooccasion de lrsquoutiliser sur plusieurs exemples
421 La fonction deacutesirabiliteacute appliqueacutee agrave une seule reacuteponse
Commenccedilons par deacutefinir la fonction deacutesirabiliteacute pour une seule reacuteponse Cettefonction varie de 0 agrave 1 La valeur 1 correspond agrave une satisfaction maximale lavaleur 0 agrave un refus complet
m Fortes valeurs souhaiteacutees
Par exemple supposons que vous deacutesiriez un deacutecollement supeacuterieur agrave 25 En deccedilagravede 25 vous estimez qursquoil y a trop de deacutecollement et donc la fonction deacutesirabiliteacutecorrespondante vaut 0 pour tous les deacutecollements compris entre 0 et 25 Enrevanche au-delagrave de 25 vous ecirctes satisfait et la fonction deacutesirabiliteacute correspon-dante vaut 1 pour tous les deacutecollements eacutegaux ou supeacuterieurs agrave 25On peut repreacutesenter la fonction deacutesirabiliteacute comme sur la figure 48 Cette fonc-tion reste agrave la valeur 0 tant que la valeur de la reacuteponse ne convient pas et passe agrave 1degraves que la valeur de la reacuteponse convient Mais cette repreacutesentation est brutale etsans nuances Si vous avez un deacutecollement de 249 crsquoest presque la mecircme choseque 251 et pourtant la fonction deacutesirabiliteacute passe de 0 agrave 1 Il faut introduire un peude souplesse et de progressiviteacute Si le deacutecollement atteint 26 crsquoest mieux que 24mais crsquoest moins bien que 27 On va donc introduire des valeurs intermeacutediairesentre les valeurs qui ne conviennent pas et celles que lrsquoon souhaite Par exempleon fixe la grille suivante ndash deacutesirabiliteacute = 0 pour un deacutecollement de 23 et moins ndash deacutesirabiliteacute = 025 pour un deacutecollement de 24 ndash deacutesirabiliteacute = 050 pour un deacutecollement de 25
Goupy Livre Page 60 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
42 Fonction deacutesirabliteacute
61
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
ndash deacutesirabiliteacute = 075 pour un deacutecollement de 26 ndash deacutesirabiliteacute = 1 pour un deacutecollement de 27 et plus
Figure 48 ndash La fonction deacutesirabiliteacute vaut 1 quand la reacuteponse convient Elle vaut 0 quand la reacuteponse ne convient pas
Figure 49 ndash La fonction deacutesirabiliteacute varie de 0 agrave 1 quand la reacuteponse srsquoameacuteliore progressivement
d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute
Deacutecollement
(La reacuteponse estsatisfaisante)
(La reacuteponse ne convient pas)
21
22
23
25
26
24
28
27
Trop dedeacutecollement
Peu de deacutecollement
d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute
Deacutecollement
(La reacuteponse estsatisfaisante)
(La reacuteponse ne convient pas)
21
22
23
25
26
24
28
27
Trop dedeacutecollement
Peu de deacutecollement
Deacutecollement de plus en plus acceptable(La reacuteponse estplus ou moinssatisfaisante)
Goupy Livre Page 61 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
62
42 Fonction deacutesirabliteacute4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
La forme de la fonction qui permet de passer de 0 agrave 1 peut prendre toutes lesallures possibles Certains logiciels proposent un grand choix de telles fonctionsdont certaines peuvent ecirctre compliqueacutees pour srsquoadapter aux impeacuteratifs de lrsquoeacutetudeDans le preacutesent ouvrage nous ne consideacutererons que les variations lineacuteaires de lafonction deacutesirabiliteacute ce qui est suffisant dans la plupart des cas
m Faibles valeurs souhaiteacutees
La figure 49 repreacutesente une reacuteponse dont on souhaitait les fortes valeurs Mais onpeut vouloir au contraire favoriser les faibles valeurs Par exemple srsquoil srsquoagit drsquouneimpureteacute on cherchera agrave en diminuer la concentration le plus possible On adoptealors une fonction deacutesirabiliteacute ayant lrsquoallure de la figure 410
m Une valeur preacutecise souhaiteacutee
On peut eacutegalement vouloir qursquoune reacuteponse prenne une valeur preacutecise La figure 411repreacutesente le choix drsquoune valeur particuliegravere La fonction deacutesirabiliteacute vaut 0 lorsqursquoonest loin de la valeur souhaiteacutee puis elle augmente progressivement lorsqursquoon enapproche Elle vaut 1 pour la valeur souhaiteacutee puis diminue lorsqursquoon srsquoen eacuteloignepour atteindre agrave nouveau 0 quand on en est suffisamment loin La monteacutee et ladescente de la fonction deacutesirabiliteacute peuvent ne pas avoir la mecircme pente
422 Plusieurs valeurs preacutecises souhaiteacutees
Au lieu drsquoune valeur preacutecise on peut souhaiter un ensemble de valeurs La fonctiondeacutesirabiliteacute preacutesente alors un plateau
Figure 410 ndash La fonction deacutesirabiliteacute favorise ici les faibles valeurs de la reacuteponse
d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute
Reacuteponse
La reacuteponse estsatisfaisante
La reacuteponse neconvient pas
La reacuteponse passe de meacutediocreagrave satisfaisant
ybon
ymauvais
Goupy Livre Page 62 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
42 Fonction deacutesirabliteacute
63
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
La figure 412 preacutesente un tel plateau pour lequel la vitesse de monteacutee est diffeacuterentede celle de la descente et dont les changements de pente sont amortis par des arrondisOn constate que lrsquoon peut ajuster la forme de la fonction deacutesirabiliteacute agrave toutes lessituations possibles
Figure 411 ndash La fonction deacutesirabiliteacute peut favoriser une valeur particuliegravere
Figure 412 ndash La fonction deacutesirabiliteacute peut preacutesenter un plateau
d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute
Reacuteponse
La reacuteponse neconvient pas
La reacuteponse estsatisfaisante
La reacuteponse neconvient pas
d = 0 d = 1 Deacutesirabiliteacute
Reacuteponse
La reacuteponse estsatisfaisante
La reacuteponse ne convient pas
La reacuteponse ne convient pas
Goupy Livre Page 63 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
64
43 Application agrave lrsquoexemple 034 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
423 La fonction deacutesirabiliteacute appliqueacutee agrave plusieurs reacuteponses
Nous avons examineacute la fonction deacutesirabiliteacute pour une seule reacuteponse Mais lrsquointeacuterecirctde cette fonction est de pouvoir ecirctre utiliseacutee pour plusieurs reacuteponses agrave la fois Il estainsi possible de trouver le meilleur compromis lorsque des contraintes pegravesent surchacune des reacuteponsesLa deacutesirabiliteacute globale D crsquoest-agrave-dire qui prend en compte agrave la fois les exigencessur toutes les reacuteponses est la moyenne geacuteomeacutetrique des deacutesirabiliteacutes individuelles
On peut aboutir agrave plusieurs situations ndash La deacutesirabiliteacute globale est eacutegale agrave 1 lorsque tous les objectifs sont atteints Dans
ce cas toutes les deacutesirabiliteacutes individuelles sont eacutegales agrave 1ndash La deacutesirabiliteacute globale est eacutegale agrave 0 si lrsquoun au moins des objectifs nrsquoest pas
atteint Dans ce cas lrsquoune au moins des deacutesirabiliteacutes individuelles est eacutegale agrave 0ndash La deacutesirabiliteacute globale est comprise entre 0 et 1 quand certains objectifs sont
complegravetement atteints et drsquoautres partiellement seulement Dans ce cas aucunedeacutesirabiliteacute individuelle nrsquoest eacutegale agrave 0 et les deacutesirabiliteacutes ne sont pas toutes eacutegales agrave 1
Le meilleur compromis est obtenu pour la plus forte valeur de la deacutesirabiliteacute globaleLes calculs drsquooptimisation neacutecessitent un logiciel programmeacute pour les reacutealiser Nousallons regarder une application en reprenant lrsquoexemple de la galette des rois
43 Application agrave lrsquoexemple 03Supposons que les objectifs de lrsquoeacutetude soient un deacutecollement supeacuterieur agrave 25 etune fecircle supeacuterieure agrave 28 La forme de la fonction deacutesirabiliteacute du deacutecollementdeacutepend des niveaux des 4 facteurs drsquoeacutetude et elle est illustreacutee par la courbe dedroite de la figure 413 Cette courbe vaut 0 jusqursquoagrave 2 passe de 0 agrave 1 de 2 agrave 25 etvaut 1 au-dessus de 25
dDeacutecollement = f (x1x2x3x4)
Il en est de mecircme de la fecircle mais la fonction deacutesirabiliteacute est diffeacuterente de celle dudeacutecollement elle vaut 0 jusqursquoagrave 25 passe de 0 agrave 1 de 25 agrave 28 et vaut 1 au-dessusde 28 (Figure 414)
dFecircle = f cent (x1x2x3x4)
Figure 413 ndash La valeur de la fonction deacutesirabiliteacute du deacutecollement varie en fonction du niveau des facteurs
D n d1d2hellipdn=
ndash1
326
0
08Deacutec
olle
men
t
ndash1 0 +1ndash1 0 +1Cuisson (4) Trous (2) Poids (1)
ndash1 0 +1 0 +1+1
252
Chauffage (3) Deacutesirabiliteacute
Goupy Livre Page 64 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
44 Conclusion de lrsquoeacutetude
65
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
Le logiciel calcule la valeur de la fonction deacutesirabiliteacute D agrave partir des fonctionsdDeacutecollement et dFecircle Il obtient une fonction qui deacutepend des niveaux des quatrefacteurs et des fonctions deacutesirabiliteacute choisies pour chaque reacuteponse Le logicielcalcule la fonction deacutesirabiliteacute D pour chaque point du domaine drsquoeacutetude Parexemple la figure 415 indique que la fonction deacutesirabiliteacute D vaut 0996 pour lepoint (en uniteacutes codeacutees) x1 = +1 x2 = ndash1 x3 = 0 x4 = 067 Le logiciel afficheeacutegalement les coupes de la surface de reacuteponse selon des plans deacutefinis pour desniveaux fixes des trois autres facteurs Par exemple pour le facteur 1 (le rapport dupoids des abaisses) on a la coupe de cette surface de reacuteponse pour les niveaux x2 = ndash1x3 = 0 x4 = 067 des autres facteurs Crsquoest en modifiant la valeur des niveaux desfacteurs que lrsquoon trouve la deacutesirabiliteacute maximale Certains logiciels ont une fonctionoptimisation qui permet de trouver rapidement la deacutesirabiliteacute la plus eacuteleveacutee
On obtient ainsi les niveaux des facteurs donnant la deacutesirabiliteacute la plus forteComme on peut obtenir une deacutesirabiliteacute eacutegale agrave 1 pour diffeacuterents reacuteglages desniveaux des facteurs lrsquooptimiseur ne donne pas toujours la mecircme solution Il endonne une parmi toutes les solutions possibles Il donne celle qui est la plus proche decelle que vous avez trouveacutee par tacirctonnements lorsque vous avez deacuteplaceacute le curseursur les diagrammes
44 Conclusion de lrsquoeacutetudeOn diminue le deacutecollement et la fecircle en reacuteglant ndash le rapport du poids des abaisses (poids de lrsquoabaisse supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse
infeacuterieure) agrave 11
Figure 414 ndash La valeur de la fonction deacutesirabiliteacute de la fecircle varie en fonction du niveau des facteurs
Figure 415 ndash La fonction deacutesirabiliteacute globale varie en fonction des niveaux des facteurs
ndash1
329
0
08
Fecircl
e
ndash1 0 +1ndash1 0 +1Cuisson (4) Trous (2) Poids (1)
ndash1 0 +1 0 +1+1
2528
Chauffage (3) Deacutesirabiliteacute
-1
1
0Deacutes
irab
iliteacute
-1 067+1-1 0 +1
Cuisson (4) Trous (2) Poids (1)-1 0 +1+1
Chauffage (3)
0996
Goupy Livre Page 65 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
66
44 Conclusion de lrsquoeacutetude4 bull Plans factoriels completsagrave 4 facteurs
ndash le nombre de trous au niveau laquo Peu raquo ndash la tempeacuterature du four au niveau laquo Forte au deacutebut raquoOn favorise la diminution du deacutecollement au deacutetriment de la fecircle en reacuteduisant ladureacutee de cuisson agrave 29 min Inversement on favorise la fecircle au deacutetriment du deacutecol-lement en augmentant la dureacutee de cuisson agrave 31 minDes voies drsquoameacutelioration sont possibles si lrsquoon sort du domaine drsquoeacutetude deacutefini audeacutebut de lrsquoeacutetude En effet on constate que lrsquoon pourrait atteindre les objectifs enaugmentant le rapport du poids des abaisses au-delagrave de 11 en diminuant lenombre de trous et en augmentant la tempeacuterature du four en deacutebut de chauffe Ilsrsquoagit lagrave drsquoune extrapolation maicirctriseacutee on utilise le modegravele matheacutematique eacutetablidans le domaine drsquoeacutetude en dehors de ce domaine On fait donc lrsquohypothegravese quedans le voisinage du domaine drsquoeacutetude les tendances indiqueacutees par le modegravelematheacutematique sont encore acceptables Il faut bien sucircr comme on le fait pourtoutes les hypothegraveses veacuterifier que les preacutevisions extrapoleacutees sont confirmeacutees parlrsquoexpeacuterience Dans le cas de la galette des rois des essais compleacutementaires ont eacuteteacuteentrepris pour veacuterifier que lrsquoon atteignait bien la note 3 pour les deux reacuteponses (ledeacutecollement et la fecircle) lorsqursquoon sortait du domaine initialement choisi Les essaisont eacuteteacute essentiellement orienteacutes vers une leacutegegravere augmentation du rapport du poidsdes abaisses et vers une augmentation de la tempeacuterature en deacutebut de four Lrsquoobjectifa eacuteteacute atteint pour ndash le rapport du poids des abaisses (poids de lrsquoabaisse supeacuterieurepoids de lrsquoabaisse
infeacuterieure) agrave 12 ndash le nombre de trous au niveau laquo Peu raquo (sans changement) ndash la tempeacuterature du four au niveau laquo Un peu plus forte que preacuteceacutedemment raquoLa pratique montre que lrsquoextrapolation maicirctriseacutee est un moyen efficace pour orienterune eacutetude vers la solution souhaiteacutee Mais il est indispensable pour eacuteviter demauvaises surprises de veacuterifier que les preacutevisions extrapoleacutees sont bien confirmeacuteespar lrsquoexpeacuterience
Goupy Livre Page 66 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
67
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull NOTIONS DE STATISTIQUEAPPLIQUEacuteES AUX PLANS DrsquoEXPEacuteRIENCES
Les plans factoriels complets que nous avons vus permettent drsquoeacutevaluer lrsquoinfluencedes facteurs et de leurs interactions par lrsquointermeacutediaire des coefficients du modegravelepostuleacute Nous avons estimeacute que les coefficients ayant la plus forte valeur eacutetaient lesplus importants Nous avons jugeacute lrsquoimportance des coefficients en les comparantentre eux Mais nous nrsquoavions aucun eacutetalon pour comparer tous les coefficients etindiquer ceux qui devaient ecirctre conserveacutes et ceux qui pouvaient ecirctre eacutelimineacutes dumodegravele matheacutematique final Ce qui nous manquait crsquoeacutetait une eacutevaluation delrsquoincertitude attacheacutee aux coefficients Il y a deux sources drsquoerreurs sur la deacutetermi-nation des coefficients drsquoun modegravele La premiegravere est lrsquoerreur commise sur chaquereacuteponse crsquoest lrsquoerreur expeacuterimentale La seconde est le modegravele matheacutematique lui-mecircme qui nrsquoest qursquoune repreacutesentation plus ou moins bonne du pheacutenomegravene eacutetudieacutecrsquoest le manque drsquoajustement Lrsquoincertitude est constitueacutee de ces erreursQuand on reacutealise plusieurs fois la mecircme expeacuterience dans les mecircmes conditionsopeacuteratoires et que lrsquoon mesure les reacuteponses on trouve des valeurs qui sont prochesles unes des autres mais qui sont diffeacuterentes de lrsquoune agrave lrsquoautre Il y a une dispersiondes mesures Cette dispersion traduit le fait que les reacuteponses sont des grandeursaleacuteatoires Il y a une erreur expeacuterimentale attacheacutee agrave chaque deacutetermination drsquounereacuteponse Cette erreur expeacuterimentale se transmet aux coefficientsIl y a eacutegalement une diffeacuterence entre le modegravele postuleacute par lrsquoexpeacuterimentateur et lemodegravele reacuteel Cette diffeacuterence est le manque drsquoajustement entre les deux modegravelesCette erreur se transmet eacutegalement aux coefficients du modegravele Ce sont ces deuxtypes drsquoerreur lrsquoerreur expeacuterimentale et lrsquoerreur drsquoajustement qui vont servir poureacutevaluer lrsquoimportance des coefficients Par exemple si lrsquoerreur drsquoappreacuteciation sur uncoefficient est de 5 et si ce coefficient vaut 4 il sera consideacutereacute comme neacutegligeable etnon influent En revanche un coefficient de valeur 30 sera consideacutereacute comme influentIl est donc important de connaicirctre lrsquoerreur que lrsquoon commet dans lrsquoestimation descoefficients Pour mener agrave bien cette eacutetude il faut connaicirctre les bases statistiquesqui sont utiliseacutees pour faire les calculs et appliquer les raisonnements corrects Leslogiciels nous soulagent de toute la partie calcul mais il faut ecirctre capable drsquointer-preacuteter les grandeurs statistiques qursquoils nous fournissentLrsquoexemple des outils de coupe jetables servira agrave illustrer les concepts theacuteoriques quisont deacuteveloppeacutes dans ce chapitre Nous introduirons drsquoabord les deux grandeursstatistiques les plus importantes la moyenne et lrsquoeacutecart-type Puis nous verrons lesnotions de population drsquoeacutechantillon et de distribution Nous insisterons sur le rocircle
Goupy Livre Page 67 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
68
51 Exemple 04 dureacutee de viedes outils de coupe jetables
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
preacutepondeacuterant de lrsquoeacutecart-type qui sert drsquoeacutetalon pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoune gran-deur aleacuteatoire Nous verrons comment lrsquoeacutecart-type permet de calculer la p-value quimesure la probabiliteacute qursquoun eacuteveacutenement soit rare Lrsquoobjectif premier de ce chapitreest de preacuteciser les notions qui permettent drsquoeacutevaluer et drsquoameacuteliorer lrsquoaptitude dumodegravele postuleacute agrave repreacutesenter les reacutesultats expeacuterimentaux En un mot ces notionsnous aideront agrave trouver le modegravele qui repreacutesente le mieux possible les donneacuteesexpeacuterimentales et qui devrait nous permettre de faire des preacutevisions de qualiteacute
51 Exemple 04 dureacutee de vie des outils de coupe jetables511 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Lrsquousinage des meacutetaux neacutecessite des outils de coupe dont la matiegravere et les profilssont particuliegraverement eacutetudieacutes Les bons outils doivent couper parfaitement ne pasmettre en danger la seacutecuriteacute des ouvriers ne pas srsquouser trop vite et assurer la preacuteci-sion des objets fabriqueacutes Lrsquoaffucirctage de tels outils pose de nombreux problegravemes etun fabricant a deacutecideacute drsquoeacutetudier des outils jetables Pour assurer leur rentabiliteacute cesoutils doivent avoir une dureacutee de vie suffisanteLa preacutesente eacutetude porte sur des outils speacuteciaux agrave usage intensif dont on cherche agravemaximiser la dureacutee de vie
m Objectif de lrsquoeacutetude
Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de trouver les conditions drsquoemploi qui assurent une dureacuteede vie supeacuterieure agrave 20 heures aux outils de coupe
m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif
La reacuteponse choisie est la dureacutee de vie des outils
m Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Les facteurs retenus sont ndash le deacutebit de lrsquohuile de coupendash la vitesse de coupe de lrsquooutilndash la profondeur de coupe de lrsquooutilndash la vitesse drsquoavance de lrsquooutilSoit quatre facteurs dont les domaines sont indiqueacutes dans le tableau 51
Tableau 51 ndash Facteurs retenus et domaine drsquoeacutetude
Facteurs Niveau ndash1 Niveau 0 Niveau +1
Deacutebit (1) 650 725 800
Vitesse de coupe (2) 10 18 26
Profondeur (3) 005 0125 020
Vitesse drsquoavance (4) 05 075 1
Goupy Livre Page 68 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
51 Exemple 04 dureacutee de viedes outils de coupe jetables
69
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Lrsquoexpeacuterimentateur deacutecide drsquoexeacutecuter un plan complet 24 soit 16 essais Mais il deacutesireavoir une estimation de lrsquoerreur expeacuterimentale Pour ce faire il ajoute quatre essaissitueacutes au centre du domaine drsquoeacutetude Il va donc effectuer 20 essais (Tableau 52)
512 Expeacuterimentation
Tableau 52 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences laquo Outils de coupe jetables raquo (uniteacutes codeacutees)
Essai n˚Deacutebit
(1)
Vitesse de coupe
(2)
Profondeur(3)
Vitesse drsquoavance
(4)
Dureacutee de vie(h)
1 minus1 minus1 minus1 minus1 261
2 +1 minus1 minus1 minus1 222
3 minus1 +1 minus1 minus1 101
4 +1 +1 minus1 minus1 122
5 minus1 minus1 +1 minus1 142
6 +1 minus1 +1 minus1 127
7 minus1 +1 +1 minus1 59
8 +1 +1 +1 minus1 56
9 minus1 minus1 minus1 +1 23
10 +1 minus1 minus1 +1 201
11 minus1 +1 minus1 +1 24
12 +1 +1 minus1 +1 37
13 minus1 minus1 +1 +1 11
14 +1 minus1 +1 +1 134
15 minus1 +1 +1 +1 05
16 +1 +1 +1 +1 17
17 0 0 0 0 111
18 0 0 0 0 126
19 0 0 0 0 104
20 0 0 0 0 119
minus1 650 10 005 05
0 725 18 0125 075
+1 800 26 02 1
Goupy Livre Page 69 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
70
51 Exemple 04 dureacutee de viedes outils de coupe jetables
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Les points au centre sont regroupeacutes agrave la fin du plan pour la preacutesentation des essaisMais lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais drsquoun plan ne suit pas forceacutement lrsquoordre depreacutesentation On pourra par exemple faire un point au centre au deacutebut de lrsquoeacutetudeun autre apregraves lrsquoessai n˚ 6 un troisiegraveme apregraves lrsquoessai n˚ 12 et le dernier agrave la fin
513 Calculs et interpreacutetation
On adopte un modegravele avec les facteurs principaux et les interactions entre deuxfacteurs Les interactions entre trois et quatre facteurs ne rentrent pas dans cemodegravele Pour faire ces calculs on ne tient compte que des 16 essais du plan factorielOn ne prend pas en compte les 4 points centraux En effet ces points sont des pointsde controcircle et non des points de calcul Ils serviront agrave calculer une estimation delrsquoerreur expeacuterimentaleLe logiciel calcule le coefficient constant les effets principaux et les six interactionsdrsquoordre 2 (Tableau 53)
Pour bien interpreacuteter ce tableau il faut comprendre la signification des informa-tions fournies en particulier lrsquoeacutecart-type le t de Student et la p-value Cela nousoblige agrave faire un long deacutetour pour introduire les principales notions de statistiquesutiles aux plans drsquoexpeacuteriences Nous verrons comment on utilise les principalesproprieacuteteacutes de la distribution normale pour estimer les erreurs et les probabiliteacutesCes outils statistiques permettent drsquoobtenir une bonne meacutethode drsquoeacutevaluation delrsquoinfluence des facteurs Enfin nous verrons comment lrsquoanalyse de la variance
Tableau 53 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur Eacutecart-type t de Student p-value
Constante 1155 03609 32 lt 00001
Deacutebit (1) minus010 03609 minus028 07928
Vitesse de coupe (2) minus629 03609 minus1742 lt 00001
Profondeur (3) minus342 03609 minus949 00002
Vitesse drsquoavance (4) minus207 03609 minus575 00022
12 064 03609 177 01376
13 032 03609 090 04091
14 035 03609 097 03767
23 159 03609 440 00070
24 minus111 03609 minus308 00274
34 060 03609 166 01573
Goupy Livre Page 70 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
71
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
donne accegraves agrave des grandeurs statistiques utiles pour bien eacutevaluer les modegraveles matheacute-matiques utiliseacutes La derniegravere partie de cette grande parenthegravese est une applicationqui permet de voir comment sont utiliseacutees les notions de statistique introduites
52 Notions de statistique appliqueacutees aux plans drsquoexpeacuteriencesOn deacutefinira drsquoabord lrsquoerreur expeacuterimentale puis les notions de population etdrsquoeacutechantillon
521 Erreur expeacuterimentale
Les quatre points au centre ont des valeurs diffeacuterentes Au lieu de donner la liste desquatre valeurs on peut essayer de la reacutesumer en indiquant la valeur centrale et ladispersion autour de cette valeur centrale En geacuteneacuteral on prend la moyenne arith-meacutetique comme valeur centrale et lrsquoeacutecart-type comme mesure de la dispersion
m Moyenne
Par deacutefinition la moyenne arithmeacutetique drsquoun ensemble de valeurs est la somme detoutes les valeurs diviseacutees par le nombre de valeurs Ici la moyenne arithmeacutetiqueest eacutegale agrave
m Eacutecart-type
La deacutefinition de lrsquoeacutecart-type est un peu moins simple que celle de la moyenneNous allons deacutecrire son calcul pas agrave pas 1 On commence par calculer les eacutecarts agrave la moyenne crsquoest-agrave-dire la diffeacuterenceentre chaque valeur et la moyenne
111 ndash 115 = ndash04126 ndash 115 = +11104 ndash 115 = ndash11119 ndash 115 = 04
Notez que la somme de ces eacutecarts agrave la moyenne est eacutegale agrave zeacutero On deacutemontre drsquoailleursque crsquoest toujours le cas
On ne peut donc pas prendre la somme des eacutecarts comme mesure de la dispersionCrsquoest pourquoi on fait disparaicirctre le signe neacutegatif en prenant les carreacutes des eacutecarts2 Ces eacutecarts agrave la moyenne sont donc eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtientainsi la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne
(ndash04)2 + (11)2 + (ndash11)2 + (04)2 = +016 + 121 + 121 + 016 = +274
y 14--- 111 + 126 + 104 + 119( ) 115= =
yi yndash( )i 1=
i n=
sum yi
i 1=
i n=
sum yi 1=
i n=
sumndash nn--- yi
i 1=
i n=
sum nyndash ny nyndash 0= = = =
Goupy Livre Page 71 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
3 Cette somme est diviseacutee par le nombre de valeurs moins 1
Cette quantiteacute porte le nom de variance Crsquoest une grandeur fondamentale de lascience statistique On la retrouve partout et il en sera fait un grand usage4 Enfin lrsquoeacutecart-type est obtenu en prenant la racine carreacutee de la variance
eacutecart-type = = 09557 096
Pourquoi prend-on la racine carreacutee de la variance Simplement pour exprimer ladispersion dans la mecircme uniteacute que les donneacutees drsquoorigine et que la moyenne Lescomparaisons sont ainsi faciliteacutees En effet quand on a eacuteleveacute au carreacute les eacutecarts agrave lamoyenne on a aussi eacuteleveacute au carreacute lrsquouniteacute de mesure La variance est doncexprimeacutee avec une uniteacute qui a pour dimension le carreacute de lrsquouniteacute drsquoorigineHeureusement les ordinateurs sont lagrave pour faire ces calculs et ils indiquent directe-ment la valeur de lrsquoeacutecart-type des reacuteponsesQue signifient ces deux grandeurs moyenne et eacutecart-type Et comment allons-nous nous en servir Si lrsquoon a une seacuterie de reacuteponses effectueacutees au mecircme point expeacuterimental on peutcalculer la moyenne et lrsquoeacutecart-type de la seacuterie Mais peut-on dire drsquoavance avec uneforte probabiliteacute de ne pas se tromper quelle serait la valeur drsquoune nouvelle mesureeffectueacutee au mecircme point expeacuterimental Il est fort probable qursquoelle ne serait pas tregravesdiffeacuterente de la moyenne Si au lieu drsquoindiquer un chiffre on indiquait une fourchetteon aurait moins de chances de se tromper Si lrsquoon dit laquo la valeur sera probablementcomprise entre telle et telle valeur raquo on augmente les chances de preacutevision parrapport agrave la moyenne Si on prend une fourchette plus large on aura de grandeschances de faire une bonne preacutevision Les statisticiens ont calculeacute la probabiliteacuteque lrsquoon avait de ne pas se tromper Et cela gracircce agrave lrsquoeacutecart-typePour approfondir ces importantes questions nous allons voir successivement lesnotions de population drsquoeacutechantillon de distribution de degreacutes de liberteacute et de trans-mission des erreurs
522 Population
Supposons que nous fassions plusieurs mesures dans les mecircmes conditions expeacuteri-mentales Nous obtenons une suite de valeurs qui sont proches les unes des autresmais qui sont leacutegegraverement diffeacuterentes Imaginons que nous poursuivions lesmesures jusqursquoagrave en obtenir une infiniteacute Lrsquoensemble de toutes ces valeurs formeune population de grandeurs aleacuteatoires caracteacuteriseacutee par ndash la valeur centrale des mesures appeleacutee moyenne de la population et noteacutee m ndash lrsquoeacutecart-type de la population noteacute spopulationndash la distribution
523 Eacutechantillon
Drsquoun point de vue statistique obtenir un eacutechantillon de n valeurs crsquoest tirer auhasard n valeurs dans la population de toutes les valeurs possibles La valeur de n
2744 1ndash------------ 09133=
09133
Goupy Livre Page 72 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
73
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
est petite vis-agrave-vis du nombre drsquoindividus de la population Un eacutechantillon de nvaleurs est caracteacuteriseacute par
ndash la valeur moyenne des mesures soit un eacutechantillon de n reacuteponses yi lamoyenne est calculeacutee gracircce agrave la relation
=
ndash lrsquoeacutecart-type de lrsquoeacutechantillon noteacute seacutechantillon ndash lrsquohistogramme des valeurs
Un histogramme est une repreacutesentation graphique de lrsquoensemble de toutes lesvaleurs de lrsquoeacutechantillon Pour construire lrsquohistogramme de la figure 51 nousavons supposeacute que lrsquoeacutechantillon contenait 100 valeurs comprises entre 9 et 14 Ondeacutefinit des classes de largeur 05 uniteacute La premiegravere classe contient 1 valeurcomprise entre 9 et 950 La deuxiegraveme contient 5 valeurs comprises entre 950 et10 La troisiegraveme contient 8 valeurs comprises entre 10 et 1050 La quatriegravemecontient 14 valeurs comprises entre 1050 et 11 La cinquiegraveme contient 20 valeurscomprises entre 11 et 1150 La sixiegraveme classe contient 22 valeurs comprises entre1150 et 12 Les classes suivantes contiennent 15 9 5 valeurs et la derniegraverecontient 1 valeur
524 De lrsquoeacutechantillon agrave la population
Il est tregraves rare que lrsquoon puisse connaicirctre directement les caracteacuteristiques drsquounepopulation Le moyen le plus souvent utiliseacute est drsquoestimer ces caracteacuteristiques agravepartir drsquoun eacutechantillon Les statisticiens se sont pencheacutes sur ce problegraveme et voicileurs conclusions
Figure 51 ndash Histogramme des 100 mesures de lrsquoeacutechantillon
y
y 1n--- yi
i 1=
i n=
sum
Valeur de la variable
8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
9 10 11 12 13 14 15
Eff
ecti
f
Goupy Livre Page 73 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
74
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
ndash La meilleure estimation de la moyenne de la population crsquoest la moyenne delrsquoeacutechantillon
Meilleure estimation de m = de lrsquoeacutechantillon
ndash La meilleure estimation de lrsquoeacutecart-type de la population est noteacutee par la lettre sElle est donneacutee par la relation
s = Meilleure estimation de spopulation =
Il faut souligner que le deacutenominateur est n minus 1 et non n
m Degreacutes de liberteacute
Soit n reacuteponses mesureacutees indeacutependamment les unes des autres Il nrsquoexiste pas derelation matheacutematique entre elles Les n eacutecarts agrave la moyenne correspondants nesont pas indeacutependants En effet il existe une relation matheacutematique entre ceseacutecarts Quand on en connaicirct n minus 1 on peut calculer le dernier avec la relationmatheacutematique Par exemple reprenons les quatre eacutecarts agrave la moyenne de lrsquoexemple(voir lrsquoeacutecart-type) Les trois premiers eacutecarts sont
minus04 +11 minus11Le quatriegraveme eacutecart srsquoobtient facilement puisque la somme des eacutecarts est toujourseacutegale agrave 0
quatriegraveme eacutecart ndash 04 + 11 ndash 11 = 0quatriegraveme eacutecart = 04
Il nrsquoy a donc que n minus 1 eacutecarts indeacutependants On dit que la seacuterie des n eacutecarts agrave lamoyenne possegravede n minus 1 degreacutes de liberteacute (ou ddl) Le nombre de degreacutes de liberteacuteest important car il intervient dans de nombreuses formules de statistique
m Distribution
Au fur et agrave mesure que lrsquoon ajoute des valeurs agrave un eacutechantillon on obtient unhistogramme de plus en plus reacutegulier et pour un nombre infini de valeurs crsquoest-agrave-dire pour une population on a une reacutepartition qui srsquoappelle une distribution Il estpossible de deacutecrire la distribution drsquoune population par une relation matheacutematiquePar exemple la distribution la plus souvent rencontreacutee dans les plans drsquoexpeacuteriencesest la distribution normale ou distribution de Laplace-Gauss Cette distribution estillustreacutee par une courbe ayant lrsquoaspect drsquoune cloche et elle est deacutefinie par la relation
Cette distribution est parfaitement deacutefinie par la moyenne de la population m etpar lrsquoeacutecart-type spopulation On peut ramener toutes les distributions de Laplace-Gauss agrave la distribution normale ayant une moyenne nulle et un eacutecart-type uniteacute(Figure 52)
y
1n 1ndash------------ yi yndash( )2
i 1=
i n=
sum
f y( ) 1
σpopulation 2π----------------------------------e
y microndash( )2
2σpopulation2
--------------------------
=
Goupy Livre Page 74 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
75
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
525 Principales proprieacuteteacutes de la distribution normale
La lecture de la courbe de Laplace-Gauss consiste agrave regarder la surface qui est sousla courbe en cloche La surface totale repreacutesente toutes les valeurs possibles de lapopulation La probabiliteacute qursquoune valeur soit supeacuterieure agrave 12 (ou toute autrevaleur donneacutee) est repreacutesenteacutee par la surface comprise entre 12 et lrsquoinfini(Figure 53)
La probabiliteacute qursquoune valeur soit infeacuterieure agrave 08 (ou toute autre valeur donneacutee) estrepreacutesenteacutee par la surface comprise entre moins lrsquoinfini et 08 (Figure 54)
Figure 52 ndash Repreacutesentation de la distribution normale (m = 0 spopulation = 1)
Figure 53 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur supeacuterieure agrave 12 est proportionnelle agrave la surface griseacutee
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndashndashndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
12
Goupy Livre Page 75 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
76
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Enfin la probabiliteacute qursquoune valeur soit comprise entre minus05 et +15 (ou toute autrevaleur donneacutee) est repreacutesenteacutee par la surface comprise entre ces deux valeurs(Figure 55)
Par exemple il a eacuteteacute deacutemontreacute que 6826 des valeurs de la population sontcomprises entre moins un eacutecart-type et plus un eacutecart-type autour de la moyennede la population (Figure 56) On en deacuteduit que si lrsquoon fait un tirage au hasarddans une population de distribution normale on a environ 68 de chances detirer une valeur comprise entre m plusmn spopulation et 32 de chances de tirer une valeurexteacuterieure agrave cet intervalle
Figure 54 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur infeacuterieure agrave 08 est proportionnelle agrave la surface griseacutee
Figure 55 ndash La probabiliteacute de tirer une valeur comprise entre ndash05 et +15 est proportionnelle agrave la surface griseacutee
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
08
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
15ndash 05
Goupy Livre Page 76 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
77
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
On a montreacute de mecircme que 95 des valeurs de la population sont comprisesentre moins 196 eacutecart-type et plus 196 eacutecart-type autour de la moyenne de lapopulation (Figure 57) Un tirage au hasard dans une population de distributionnormale aura une valeur comprise entre m plusmn 196spopulation dans 95 des casDans 5 des cas on tirera une valeur exteacuterieure agrave cet intervalle
Enfin dans lrsquointervalle m plusmn 3spopulation il y a 9974 des valeurs de la population(Figure 58) Il y a environ 25 chances sur 1 000 de tirer une valeur qui diffegravere de3 eacutecarts-types de la moyenne de la populationDans tous les cas crsquoest lrsquoeacutecart-type de la population qui est pris comme reacutefeacuterenceCette statistique est donc tregraves importante puisque crsquoest gracircce agrave elle que lrsquoon peutestimer la dispersion des mesures On prend lrsquoestimation de lrsquoeacutecart-type de lapopulation des reacuteponses comme mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale
Figure 56 ndash Dans lrsquointervalle m plusmn spopulation il y a 6826 de la population
Figure 57 ndash Dans lrsquointervalle m plusmn 196spopulation il y a 95 de la population
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndashndashndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
Goupy Livre Page 77 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
78
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
526 Transmission des erreurs
Drsquoun point de vue statistique deacuteterminer une reacuteponse crsquoest faire un tirage au hasarddrsquoune valeur dans la population de ces reacuteponses Cette population possegravede unedistribution une moyenne et un eacutecart-type Dans la majoriteacute des cas la distributiondes reacuteponses est une distribution de Laplace-Gauss et lrsquoeacutecart-type de cette populationest une mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale Si lrsquoon tire plusieurs reacuteponses au hasardelles ont de grandes chances drsquoecirctre reacuteparties autour de la moyenneSi on a reacutealiseacute plusieurs mesures de la reacuteponse au point central on peut calculer lamoyenne de ces reacuteponses
=
Comment les erreurs commises sur les reacuteponses yi se reacutepercutent-elles sur lamoyenne Les statisticiens ont eacutetudieacute ce problegraveme et se sont aperccedilus que les erreursne srsquoadditionnaient pas Lrsquoerreur commise sur la moyenne nrsquoest pas quatre fois lrsquoerreurcommise sur une reacuteponse Pour reacutesoudre ce problegraveme il faut faire intervenir unenouvelle grandeur la variance Par deacutefinition la variance drsquoune reacuteponse V(yi) estle carreacute de son eacutecart-type crsquoest-agrave-dire que si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse y1 est syla variance de cette reacuteponse est La relation donnant une estimation de lavariance de la population des reacuteponses est
On constate que la variance est eacutegale agrave la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyennediviseacutee par le nombre de degreacutes de liberteacute des eacutecarts agrave la moyenne Drsquoune maniegraveregeacuteneacuterale la variance drsquoune seacuterie de donneacutees est obtenue de la mecircme maniegravere ondivise la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne par le nombre de degreacutes deliberteacute de la seacuterie de donneacutees Cette regravegle sera largement utiliseacutee dans le paragraphesur lrsquoanalyse de la variance ougrave plusieurs variances ayant des degreacutes de liberteacute diffeacuterentsseront calculeacutees
Figure 58 ndash Dans lrsquointervalle m plusmn 3spopulation il y a 9974 de la population
Distribution normale
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
ndash ndash ndash ndash4 3 2 1 0 1 2 3 4
Eacutecart-type
Den
siteacute
de
freacuteq
uen
ce
y 14--- +y1 y2 y3 y4+ + +[ ]
σy2
sy2
sy2 V yi( ) 1
n 1ndash------------ yi yndash( )2
i 1=
i n=
sum= =
Goupy Livre Page 78 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
79
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Ce sont les variances qui srsquoadditionnent et elles srsquoadditionnent quel que soit lesigne (positif ou neacutegatif) qui est devant la reacuteponse La variance drsquoune somme est donceacutegale agrave
V(+y1 + y2 + y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)
La variance drsquoune diffeacuterence est eacutegale agrave V(ndashy1 + y2 ndash y3 + y4) = V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)
Dans la formule de la moyenne il y a le coefficient 14 Quand on passe agrave lavariance ce coefficient est eacuteleveacute au carreacute La variance de la moyenne est eacutegale agrave
V( ) = V(y1 + y2 + y3 + y4) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)]
Si les variances des reacuteponses sont eacutegales entre elles on dit qursquoil y a homosceacutedasticiteacuteet la relation preacuteceacutedente devient
V( ) = [V(y1) + V(y2) + V(y3) + V(y4)] = V(yi)
V( ) = V(yi)
Prenons les racines carreacutees des deux membres de cette relation et remplaccedilons par nle nombre de reacuteponses intervenant dans la formule de la moyenne
soit
51
Lrsquoeacutecart-type de la moyenne est eacutegal agrave lrsquoeacutecart-type des reacuteponses individuelles diviseacutepar la racine carreacutee du nombre des reacuteponses individuelles qui interviennent dans lecalcul de la moyenne Cette relation indique que plus n est grand meilleure est lapreacutecision sur la moyenneLa dispersion de la moyenne est plus faible que la dispersion des reacuteponses On adonc une meilleure preacutecision sur lrsquoestimation de la moyenne que sur les reacuteponseselles-mecircmes
527 Intervalle de confiance des reacuteponses
Nous venons de voir lrsquoimportance de lrsquoeacutecart-type de la population des reacuteponsesqui est consideacutereacute comme une eacutevaluation de lrsquoerreur expeacuterimentale ou erreur pureLrsquoestimation de lrsquoeacutecart-type s drsquoune population de reacuteponses agrave partir drsquoun eacutechan-tillon est obtenue agrave lrsquoaide de la relation
y 14---⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 14---⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2
y 14---⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2 416------⎝ ⎠
⎛ ⎞
y 14---
V y( )V yi( )
n------------=
σy
σyi
n-------=
s 1n 1ndash------------ yi yndash( )2
i 1=
i n=
sum=
Goupy Livre Page 79 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
80
52 Notions de statistique appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Mais la qualiteacute de cette estimation deacutepend du nombre n de valeurs prises en comptepour calculer lrsquoeacutecart-type Si lrsquoeacutechantillon contient beaucoup de mesures lrsquoeacutecart-typecalculeacute sera de bonne qualiteacute crsquoest-agrave-dire proche de lrsquoeacutecart-type de la populationSi lrsquoeacutechantillon contient peu de mesures lrsquoeacutecart-type calculeacute sera de moins bonnequaliteacute et il faudra prendre des preacutecautions suppleacutementaires pour lrsquoutiliser Lrsquointervallede confiance Ic deacutepend
ndash de la probabiliteacute choisie par lrsquoutilisateur cette probabiliteacute est souvent de 95 ou99
ndash de la qualiteacute de lrsquoeacutecart-type calculeacute
On a
Ic = k seacutechantillon
Le tableau 54 indique les valeurs de k en fonction de la probabiliteacute choisie parlrsquoutilisateur (pourcentage de cas ougrave lrsquohypothegravese est correcte) et de la qualiteacute delrsquoeacutecart-type calculeacute (nombre de mesures ayant servi agrave calculer s)Si lrsquoeacutechantillon possegravede un tregraves grand nombre de valeurs indeacutependantes la qualiteacutede lrsquoeacutecart-type est bonne On observe cette situation dans les usines ou les labora-toires de controcircle qui procegravedent journellement aux mecircmes mesures sur les mecircmesproduits Choisissons une probabiliteacute de 95 Dans ce cas si lrsquoon effectue unemesure yi on pourra dire que lrsquoon a 95 de chances que lrsquointervalle yi plusmn 196seacutechantillon contienne la moyenne de la populationDans le cas des plans drsquoexpeacuteriences il est rare que n soit eacuteleveacute On a le plus souventreacutealiseacute quelques mesures de la reacuteponse au mecircme point drsquoexpeacuteriences en geacuteneacuteral aucentre du domaine expeacuterimental Il srsquoagit de reacutepeacutetitions crsquoest-agrave-dire de mesuresreacutealiseacutees dans les mecircmes conditions expeacuterimentales Supposons que lrsquoeacutecart-type aiteacuteteacute obtenu avec 5 mesures de reacutepeacutetition et que lrsquoon souhaite une probabiliteacute de95 Dans ce cas si lrsquoon effectue une mesure yi on aura 95 de chances quelrsquointervalle yi plusmn 278 s contienne la moyenne de la population Avec 10 mesures dereacutepeacutetition pour le calcul de lrsquoeacutecart-type on pourra dire que lrsquoon a 95 de chancesque lrsquointervalle yi plusmn 226 s contienne la moyenne de la population
Tableau 54 ndash Nombre drsquoeacutecarts-types agrave prendre compte pour deacuteterminer la probabiliteacute que la moyenne de la population soit dans lrsquointervalle de confiance
Nombre de mesures ayant servi agrave calculer s
2 3 4 5 10 20 bull
Pourcentage de cas ougrave
lrsquohypothegravese est correcte
70 196 138 125 119 110 106 103
90 631 292 235 213 183 173 164
95 1271 43 318 278 226 206 196
99 6366 992 584 460 325 286 258
Goupy Livre Page 80 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
53 Facteurs et interactions influents
81
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
53 Facteurs et interactions influents
Lrsquoinfluence des facteurs et de leurs interactions est eacutevalueacutee par lrsquointermeacutediaire descoefficients du modegravele postuleacute Il nous faut donc trouver une valeur eacutetalon pourjuger de lrsquoimportance drsquoun coefficient Cet eacutetalon sera lrsquoeacutecart-type du coefficientOn comparera la valeur du coefficient agrave la valeur de son eacutecart-type1 Si le coefficient est nettement plus grand que son eacutecart-type on estimera que lecoefficient est influent
a1 gtgt sa1
2 Si le coefficient est nettement plus petit que son eacutecart-type on estimera que lrsquoonpeut eacuteliminer ce coefficient
a1 ltlt sa1
3 Si le coefficient est du mecircme ordre de grandeur que son eacutecart-type il faudrafaire appel agrave ses connaissances du pheacutenomegravene et aux enjeux de lrsquoeacutetude pour prendreune deacutecision
a1 sa1
Pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoun coefficient la theacuteorie des statistiques compare cecoefficient agrave son eacutecart-type en faisant le rapport a1sa1
Ce rapport est appeleacute le tde Student Agrave partir du t de Student on peut eacutevaluer la probabiliteacute que le coeffi-cient soit nul ou autrement dit sans importance ou peu significatif Cette proba-biliteacute est la p-value Si la p-value est proche de 0 (probabiliteacute nulle) le coefficientest influent car il nrsquoest pas nul Si la p-value est proche de 1 le coefficient estproche de 0 et donc neacutegligeable Si la p-value possegravede une valeur intermeacutediaire lecoefficient est peut-ecirctre leacutegegraverement significatif ou non significatifSavoir si un coefficient est neacutegligeable ou non impose drsquoavoir une eacutevaluation delrsquoeacutecart-type de la population de ce coefficient Nous savons que les coefficientsdeacutependent des reacuteponses du modegravele postuleacute et de la meacutethode de calcul De mecircme lavariance des coefficients deacutepend des reacuteponses du modegravele postuleacute et de la meacutethodede calcul Les statisticiens ont eacutetabli les formules donnant la variance des coeffi-cients V(ai) = en fonction de la variance des eacutecarts V(e) somme de la variance delrsquoerreur expeacuterimentale et de la variance de lrsquoerreur commise sur le modegravele postuleacute
V(ai) = K V(e)
ougrave la constante K deacutepend du modegravele postuleacute et de la matrice drsquoexpeacuteriences Dansle cas le plus geacuteneacuteral K est tregraves long agrave calculer et seuls les logiciels speacutecialiseacutes possegrave-dent les algorithmes pour faire ce calcul Dans le cas des plans factoriels dont lesniveaux minus1 et +1 sont parfaitement respecteacutes et lorsque le modegravele postuleacute est unpolynocircme crsquoest-agrave-dire dans les cas que nous avons rencontreacutes la relation sesimplifie et devient
V(ai) = V(e)
La variance des coefficients est donc directement lieacutee agrave la variance de lrsquoeacutecartRappelons que lrsquoeacutecart peut ecirctre diviseacute en deux parties le manque drsquoajustement(lack of fit en anglais) et lrsquoerreur expeacuterimentale (pure error en anglais)
e = + D + e
σai
2
1n---
Goupy Livre Page 81 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82
54 Analyse de la variance5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Et que lrsquoon a
V(e) = V(D) + V(e)
Pour obtenir la grandeur eacutetalon que nous recherchons il faut posseacuteder une valeurde la variance de lrsquoeacutecart On obtient cette valeur gracircce agrave lrsquoanalyse de la variance
54 Analyse de la variance
541 Principes de lrsquoanalyse de la variance
Lrsquoanalyse de la variance consiste agrave rechercher les sources de variation des reacuteponses Onsuppose que les reacuteponses ont eacuteteacute calculeacutees avec le modegravele postuleacute yi = f (x1x2x3hellipxn) + eien utilisant la meacutethode des moindres carreacutes crsquoest-agrave-dire en minimisant la sommedes carreacutes des eacutecarts Dans ce cas les reacuteponses calculeacutees srsquoeacutecrivent et les eacutecarts eprennent des valeurs particuliegraveres ri qui srsquoappellent les reacutesidus Les reacutesidus sontdonc des valeurs particuliegraveres des eacutecarts On a
= f (x1x2x3hellipxn)
Avec ces nouvelles notations la relation donnant la reacuteponse peut srsquoeacutecrire
yi = + ri
Lrsquoanalyse classique de la variance fait intervenir non pas les reacuteponses mais la diffeacute-
rence entre les reacuteponses et leur moyenne ou Cette diffeacuterence estdeacutesigneacutee soit par eacutecarts agrave la moyenne soit par reacuteponse corrigeacutee de la moyenne Dans lecas des reacuteponses calculeacutees on parle aussi de modegravele corrigeacute de la moyenneDans le cadre de la meacutethode des moindres carreacutes la moyenne des reacuteponses mesureacuteesest eacutegale agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele postuleacute On a donc
eacutetant la moyenne des reacuteponses
Lorsqursquoon eacutelegraveve les deux membres de cette relation au carreacute on obtient
52
Crsquoest la relation de base de lrsquoanalyse de la variance Le membre de gauche est lasomme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees Cette somme sedeacutecompose en deux eacuteleacutements la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne desreacuteponses calculeacutees avec le modegravele et la somme des carreacutes des reacutesidusLa somme des carreacutes des reacutesidus est la plus faible valeur de la somme des carreacutes deseacutecarts On a donc
Minimum de Minimum de
Si lrsquoon divise la somme des carreacutes des reacutesidus par le nombre de degreacutes de liberteacute desreacutesidus on obtient la variance des reacutesidus La variance des reacutesidus V(ri) est donc laplus petite variance des eacutecarts V(e) On peut eacutecrire
yi
yiˆ
yi
yi yndash( ) yi yndash( )
y
yi yndash y i yndash ri+=
yi yndash( )2sum y i yndash( )2sum ri
2sum+=
ri2sum = ei
2sum = ∆ σ+( )i2sum
Goupy Livre Page 82 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
54 Analyse de la variance
83
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
V(ri) = Minimum de V(e) =
Crsquoest cette valeur minimale de la variance des eacutecarts qui est geacuteneacuteralement adopteacuteecomme eacutetalon de comparaison pour eacutevaluer lrsquoimportance drsquoun coefficient La variancedes coefficients est alors calculeacutee ndash soit par la formule geacuteneacuterale utiliseacutee par les ordinateurs
V(ai) = K V(e) = V(ri)
ndash soit par la formule simplifieacutee lorsqursquoil srsquoagit de plans factoriels et drsquoun modegravelepostuleacute polynomial
V(ai) = V(e) = V(ri) 53
En reacutesumeacute la variance des reacutesidus de lrsquoanalyse de la variance sert agrave calculer lavariance des coefficients Crsquoest la variance des coefficients qui sert drsquoeacutetalon pour testersi un coefficient est significatif ou non
Remarque 1
Les n reacuteponses mesureacutees sont toutes indeacutependantes crsquoest-agrave-dire qursquoil nrsquoexiste pas de relation matheacute-matique entre elles Elles possegravedent donc n degreacutes de liberteacute On a utiliseacute un degreacute de liberteacute pourcalculer la moyenne La variance des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees possegraveden ndash 1 degreacutes de liberteacute
Le calcul des p coefficients a pris p ndash 1 degreacutes de liberteacute seulement car la moyenne avait deacutejagrave eacuteteacutecalculeacutee La variance des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees possegravede donc p ndash 1degreacutes de liberteacute
Il reste donc n ndash 1 ndash (p ndash 1) = n ndash p degreacutes de liberteacute pour le calcul de la variance des reacutesidus
Remarque 2
Les regravegles et les tests statistiques ne srsquoappliquent qursquoaux variables purement aleacuteatoires Le manquedrsquoajustement nrsquoeacutetant pas une grandeur aleacuteatoire mais une erreur systeacutematique on ne devrait pasappliquer les regravegles statistiques aux eacutecarts On le fait pourtant car on suppose que le manquedrsquoajustement est de lrsquoordre de grandeur de lrsquoerreur expeacuterimentale Il est donc bon de srsquoassurer de lavaliditeacute de cette hypothegravese le manque drsquoajustement est de lrsquoordre de grandeur de lrsquoerreur expeacuteri-mentale La mesure de lrsquoerreur expeacuterimentale V(σ) est assureacutee par des reacutepeacutetitions La mesure de lavariance des reacutesidus V(r) est tireacutee de lrsquoanalyse de variance On peut donc calculer la variance delrsquoajustement V(D)
V(r) = V(∆) + V(σ)
En comparant la variance de lrsquoerreur expeacuterimentale agrave la variance de lrsquoajustement il est possible devoir si lrsquohypothegravese est valide
Remarque 3
Il ne faut pas confondre les eacutecarts les reacutesidus et les eacutecarts agrave la moyenne
Les eacutecarts sont les diffeacuterences e entre les reacuteponses mesureacutees et le modegravele matheacutematique postuleacuteavant drsquoeffectuer les calculs des coefficients par la meacutethode des moindres carreacutes
yi = f (x1x2x3hellipxn) + ei
Les reacutesidus sont les diffeacuterences ri entre les reacuteponses mesureacutees et les reacuteponses calculeacutees avec descoefficients obtenus par la meacutethode des moindres carreacutes
ri = yi ndash
1n pndash----------- ri
2
i 1=
i n=
sum
1n--- 1
n---
yi yndash
y i yndash
y i
Goupy Livre Page 83 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
84
54 Analyse de la variance5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
Les eacutecarts agrave la moyenne sont les diffeacuterences yi ndash ou entre les reacuteponses et la moyenne desreacuteponses
Remarque 4
Le carreacute moyen des reacutesidus est obtenu en divisant la somme des carreacutes des reacutesidus par le nombre dedegreacutes de liberteacute correspondant Crsquoest donc une grandeur analogue agrave une variance Par conseacutequentla racine carreacutee de cette variance est analogue agrave un eacutecart-type Crsquoest pourquoi on trouve souventles expressions variance reacutesiduelle et eacutecart-type des reacutesidus pour qualifier ces grandeurs Mais commeles eacutecarts ne sont pas entiegraverement aleacuteatoires certains auteurs preacutefegraverent utiliser le terme carreacute moyendes reacutesidus agrave la place de variance reacutesiduelle et racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus au lieu drsquoeacutecart-type des reacutesidus Lrsquoexpression racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus eacutetant un peu longue on alrsquohabitude drsquoutiliser agrave la place lrsquoabreacuteviation anglo-saxonne RMSE (Root Mean Square Error)
Quand le modegravele est bien ajusteacute on utilise cette RMSE pour calculer lrsquoerreur sur les coefficients dumodegravele postuleacute
Quelles que soient les deacutenominations utiliseacutees pour ces grandeurs elles impliquentde longs calculs Heureusement les ordinateurs reacutealisent tous ces calculs et fournis-sent directement les reacutesultats de lrsquoanalyse de la variance sous la forme drsquoun tableau Leseul eacuteleacutement choisi par lrsquoexpeacuterimentateur est le modegravele a priori qui sert agrave obtenir lesreacuteponses calculeacutees Les reacutesultats de lrsquoanalyse de la variance seront deacutependants duchoix du modegravele Nous invitons les lecteurs agrave refaire les calculs de lrsquoanalyse de lavariance en utilisant diffeacuterents modegraveles postuleacutes Ils verront lrsquoinfluence du choixdu modegravele sur la valeur de la RMSE
542 Preacutesentation de lrsquoanalyse de la variance
Les logiciels et mecircme les tableurs ont des programmes qui construisent lestableaux drsquoanalyse de la variance Les plus simples de ces tableaux comportent5 colonnes (source de variation somme des carreacutes degreacutes de liberteacute carreacute moyenet statistique de Fisher) et 4 lignes (titres modegravele corrigeacute de la moyenne reacutesidus etreacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne) semblables au tableau 55 La premiegraverecolonne indique les sources de variation On y trouve le modegravele les reacutesidus et lesreacuteponses mesureacutees La deuxiegraveme colonne donne les sommes des carreacutes des eacutecarts agravela moyenne On remarque que la somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees (corri-geacutees de la moyenne) est eacutegale agrave la somme des deux autres sommes de carreacutes Latroisiegraveme colonne indique les degreacutes de liberteacute (ddl) de chaque somme de carreacutesOn remarque eacutegalement que la somme des ddl du modegravele et des reacutesidus est eacutegaleaux ddl des reacuteponses mesureacutees Les carreacutes moyens de la quatriegraveme colonne sont lessommes des carreacutes diviseacutees par les ddl On notera que la racine carreacutee du carreacutemoyen des reacutesidus sert agrave calculer lrsquoeacutetalon permettant de tester les coefficients Crsquoestdonc une statistique tregraves importante Enfin la cinquiegraveme colonne indique le F deFisher qui est le rapport du carreacute moyen du modegravele agrave celui des reacutesidus Ce rapportpermet de calculer la probabiliteacute que ces deux carreacutes ne soient pas eacutegaux En drsquoautrestermes si le F de Fisher est eacuteleveacute (faible probabiliteacute que le modegravele soit celui de lamoyenne) les variations des reacuteponses mesureacutees sont bien dues aux variations desfacteurs Si le F de Fisher est proche de 1 (forte probabiliteacute que le modegravele soit celuide la moyenne) les variations des reacuteponses mesureacutees sont comparables agrave celles desreacutesidus
y y i yndash
Goupy Livre Page 84 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
55 Application agrave lrsquoexemple 04
85
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
m Coefficient de deacutetermination R2
Lrsquoanalyse de la variance permet de calculer une statistique tregraves utile le R2 ou R carreacuteCette statistique est le rapport de la somme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees (corri-geacutees de la moyenne) agrave la somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees (corrigeacutees de lamoyenne)
Dans cet exemple
Si le modegravele permet de retrouver exactement la valeur des reacuteponses mesureacutees lasomme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees est eacutegale agrave la somme des carreacutes des reacuteponsesmesureacutees Le R2 est eacutegal agrave 1Si le modegravele fournit des reacuteponses calculeacutees eacutegales agrave la moyenne la somme descarreacutes des reacuteponses calculeacutees est eacutegale agrave 0 Le R2 est eacutegal agrave 0 On dit que le modegravelenrsquoa pas de puissance drsquoexplicationLe R2 est donc une mesure de la qualiteacute du modegravele Srsquoil est eacutegal agrave 1 le modegravelepermet de retrouver la valeur des reacuteponses mesureacutees Srsquoil est eacutegal agrave 0 le modegravele nrsquoendit pas plus que la moyenne des reacuteponses Dans la pratique il est difficile drsquoindiquerla valeur drsquoun bon R2 car les valeurs varient beaucoup drsquoune discipline agrave lrsquoautrePar exemple un R2 de 08 peut ecirctre consideacutereacute comme mauvais par un ingeacutenieur etun R2 de 03 peut ecirctre vu comme bon par un psychologueLe R2 joue veacuteritablement son rocircle drsquoindicateur de la qualiteacute du modegravele agrave conditionque les reacutesidus ne soient pas nuls Si les reacutesidus sont nuls le R2 est eacutegal agrave 1 quelleque soit la qualiteacute du modegravele On observe un tel cas lorsqursquoil nrsquoy a pas de degreacutes deliberteacute Le R2 est donc un bon indicateur de la qualiteacute du modegravele srsquoil y a plus depoints expeacuterimentaux diffeacuterents que de coefficients dans le modegravele postuleacute
55 Application agrave lrsquoexemple 04
551 Analyse de la variance
Nous allons construire la table de lrsquoanalyse de la variance de lrsquoexemple sur les outilsjetables et en deacuteduire lrsquoimportance de chaque coefficient Rassemblons drsquoabord les
Tableau 55 ndash Analyse de la variance
Source des variationsSomme
des carreacutesddl
Carreacute moyen
Fisher
Modegravele corrigeacute de la moyenne 96530 10 96530 463196
Reacutesidus 1042 5 2084 Prob F 00003
Reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne 97572 15
R2 = Somme des carreacutes des reacuteponses calculeacutees corrigeacutees de la moyenneSomme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne
R2 9653097572---------------- 09893= =
Goupy Livre Page 85 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
86
55 Application agrave lrsquoexemple 045 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
donneacutees de base les reacuteponses mesureacutees les reacuteponses calculeacutees avec un modegravele etles reacutesidus correspondants (Tableau 56) Le modegravele choisi est le modegravele des plansfactoriels avec les interactions drsquoordre 2 Il contient 11 coefficients
= 1155 ndash 01x1 ndash 62875x2 ndash 3425x3 ndash 2075x4
+ 06375x1x2 + 0325x1x3 + 035x1x4 + 15875x2x3 ndash 11125x2x4 + 06x3x4
m Somme des carreacutes des reacuteponses mesureacutees corrigeacutees de la moyenne
La moyenne des reacuteponses mesureacutees est 11551 On commence par calculer les eacutecarts agrave la moyenne des 16 reacuteponses mesureacutees aucours du plan factoriel
261 ndash 1155 = +1455222 ndash 1155 = +1065101 ndash 1155 = ndash145hellip05 ndash 1155 = ndash110517 ndash 1155 = ndash985
Tableau 56 ndash Donneacutees de base de lrsquoanalyse de la variance
Essai n˚ Reacuteponses mesureacutees Reacuteponses calculeacutees Reacutesidus
1 261 25825 0275
2 222 23 minus08
3 101 11025 minus0925
4 122 1075 145
5 142 1395 025
6 127 12425 0275
7 59 55 04
8 56 6525 minus0925
9 23 22 1
10 201 20575 minus0475
11 24 275 minus035
12 37 3875 minus0175
13 11 12525 minus1525
14 134 124 1
15 05 minus0375 0875
16 17 205 minus035
y
Goupy Livre Page 86 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
55 Application agrave lrsquoexemple 04
87
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
2 Puis ces eacutecarts agrave la moyenne sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtientainsi la somme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses mesureacutees corrigeacuteesde la moyenne
(1455)2 + (1065)2 + hellip + (ndash1105)2 + (ndash985)2 = + 211702 5 + 113422 5 + hellip + 122102 5 + 97022 5 = + 97572
m Carreacute moyen des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele et corrigeacutees de la moyenne(variance des reacuteponses calculeacutees ou variance du modegravele)
1 On calcule les 16 reacuteponses avec le modegravele deacutefini plus haut On veacuterifie que leurmoyenne est eacutegale agrave 11552 On calcule les eacutecarts agrave la moyenne des 16 reacuteponses calculeacutees
25825 ndash 1155 = +14275230 ndash 1155 = +114511025 ndash 1155 = ndash0525hellipndash0375 ndash 1155 = ndash11925205 ndash 1155 = ndash95
3 Ces eacutecarts agrave la moyenne sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtient ainsi lasomme des carreacutes des eacutecarts agrave la moyenne des reacuteponses calculeacutees corrigeacutees de lamoyenne
(14275)2 + (1145)2 + hellip + (ndash11925)2 + (ndash95)2 = + 203775 625 + 131102 5 + hellip + 142205 625 + 9025 = + 96530
4 Cette somme est diviseacutee par le nombre de coefficients du modegravele moins 1 Onobtient le carreacute moyen des reacuteponses calculeacutees avec le modegravele (ou variance desreacuteponses calculeacutees ou variance du modegravele)
m Carreacute moyen des reacutesidus (variance des reacutesidus)
Rappelons qursquoun reacutesidu est eacutegal agrave
1 On calcule les 16 reacutesidus
261 ndash 25825 = +0275222 ndash 23 = ndash08101 ndash 11025 = ndash0925hellip05 ndash (ndash0375) = ndash087517 ndash 205 = ndash035
2 Ces reacutesidus sont eacuteleveacutes au carreacute et additionneacutes On obtient ainsi la somme descarreacutes des reacutesidus
+0075 625 + 064 + hellip + 0765 625 + 0122 5 = +1042
9653011 1ndash---------------- 9653=
ri yi yindash=
Goupy Livre Page 87 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
88
55 Application agrave lrsquoexemple 045 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
3 Cette somme est diviseacutee par n ndash p = 16 ndash 11 = 5 degreacutes de liberteacute des reacutesidus
On obtient ainsi le carreacute moyen des reacutesidus La racine carreacutee de ce carreacute moyen estla RMSE qui sert drsquoeacutetalon pour eacutevaluer lrsquoimportance des coefficients La RMSEvaut ici 14436 lorsque le modegravele postuleacute ne contient que les effets principaux etleurs interactions drsquoordre 2
m Eacutecart-type des coefficients
Dans le cas de lrsquoexemple des outils de coupe jetables il srsquoagit drsquoun plan factoriel ougraveles niveaux minus1 et +1 ont eacuteteacute respecteacutes Le modegravele est bien un modegravele polynomial onpeut donc appliquer la formule simplifieacutee et obtenir ainsi lrsquoeacutetalon de comparaisonChaque coefficient a eacuteteacute calculeacute avec n = 16 reacuteponses
Crsquoest la valeur de comparaison que nous cherchions
m p-value
La p-value est la probabiliteacute qursquoun coefficient soit neacutegligeable On calcule cette p-value agrave partir du rapport du coefficient agrave son eacutecart-type (t de Student) Parexemple le t de Student du coefficient du deacutebit est ndash010360 9 = 028 et la p-value associeacutee est eacutegale agrave 0792 8Il est maintenant possible de construire un tableau ougrave chaque coefficient figureaccompagneacute de sa valeur de son eacutecart-type du t de Student et de la p-value(Tableau 57) Ce tableau est identique au tableau 53 La seule diffeacuterence est quemaintenant vous ecirctes agrave mecircme de comprendre la signification de tous les chiffresLa constante agrave moins de 1 chance sur 10 000 drsquoecirctre eacutegale agrave 0 Elle nrsquoest donc certai-nement pas eacutegale agrave 0 elle est significative et il faut la conserver dans le modegravele finalLe deacutebit (1) agrave une p-value de 079 il a donc une forte chance drsquoecirctre eacutegal agrave 0 Il peutecirctre consideacutereacute comme nul ou comme tregraves petit Il nrsquoest donc pas significatif et onpeut lrsquoeacuteliminer du modegravele final Cela signifie que les reacuteponses calculeacutees ne seront pastregraves diffeacuterentes que lrsquoon utilise un modegravele final avec ou sans ce coefficientSi lrsquoon fixe la probabiliteacute drsquoacceptation des coefficients agrave une p-value de 010 onconservera la vitesse de coupe (2) la profondeur de coupe (3) la vitesse drsquoavance(4) ainsi que les interactions 23 et 24 Le modegravele final srsquoeacutecrit alors
y = 1155 ndash 629x2 ndash 342x3 ndash 21x4 + 16x2x3 ndash 11x2x4 54
On veacuterifie que ce modegravele possegravede un bon R2 (097) et que les p-values des coeffi-cients sont toujours infeacuterieures agrave 01 Si lrsquoon avait fixeacute la probabiliteacute drsquoacceptationdes coefficients agrave un autre niveau on aurait pu obtenir un autre modegravele final Lechoix du modegravele deacutefinitif est laisseacute agrave lrsquoappreacuteciation de lrsquoexpeacuterimentateur qui luiconnaicirct les enjeux et les risques de lrsquoeacutetude
104216 11ndash------------------ 2084=
V ai( ) 1n---V ri( ) 1
16------2084 0130 25= = =
σai0130 25 0360 9= =
Goupy Livre Page 88 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
55 Application agrave lrsquoexemple 04
89
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
552 Analyse des reacutesidus
Si lrsquointerpreacutetation a eacuteteacute bien faite le modegravele doit bien repreacutesenter les reacuteponses mesu-reacutees (R2 proche de 1) et la racine carreacutee du carreacute moyen des reacutesidus doit ecirctre du mecircmeordre de grandeur que lrsquoerreur expeacuterimentale On peut encore srsquoassurer qursquoil ne restepas un peu drsquoinformation structureacutee dans les reacutesultats en examinant le graphique desreacutesidus Il est donc important de regarder comment les reacutesidus se reacutepartissent en fonc-tion de diffeacuterents critegraveres Srsquoils semblent reacutepartis au hasard il ne reste probablementplus rien agrave extraire des donneacutees Crsquoest le cas de lrsquoexemple de ce chapitre (Figure 59)
Tableau 57 ndash Importance des coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Coefficient Valeur Eacutecart-type t de Student p-value
Constante 1155 0360 9 32 lt 0000 1
Deacutebit (1) minus01 0360 9 minus028 0792 8
Vitesse de coupe (2) minus6287 5 0360 9 minus1742 lt 0000 1
Profondeur (3) minus3425 0360 9 minus949 0000 2
Vitesse drsquoavance (4) minus2075 0360 9 minus575 0002 2
Interaction (12) 0637 5 0360 9 177 0137 6
Interaction (13) 0325 0360 9 090 0409 1
Interaction (14) 035 0360 9 097 0376 7
Interaction (23) 1587 5 0360 9 440 0007 0
Interaction (24) minus1112 5 0360 9 minus308 0027 4
Interaction (34) 06 0360 9 166 0157 3
Figure 59 ndash Analyse des reacutesidus de lrsquoexemple sur les outils de coupe
Reacuteponses preacutevues de la dureacutee de vie
0 30252015105
3
0
ndash 3
Reacutes
idu
s
Goupy Livre Page 89 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
90
55 Application agrave lrsquoexemple 045 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
En revanche si lrsquoanalyse des reacutesidus fait apparaicirctre des dispositions remarquablesil reste un peu drsquoinformation agrave extraire Par exemple on peut rencontrer desdiagrammes ougrave les reacutesidus sont de plus en plus eacuteleveacutes lorsque la reacuteponse augmente(Figure 510 haut) Dans ce cas lrsquohypothegravese drsquohomosceacutedasticiteacute (mecircme erreurexpeacuterimentale dans tout le domaine drsquoeacutetude) nrsquoest pas veacuterifieacutee On peut aussirencontrer des diagrammes ougrave les reacutesidus sont neacutegatifs pour les faibles et les fortesvaleurs de la reacuteponse et positifs pour les valeurs intermeacutediaires (Figure 510 bas)Dans ce cas lrsquohypothegravese drsquoun modegravele simple du premier degreacute ou drsquoun modegravele dupremier degreacute avec interactions (modegravele PDAI) est probablement agrave remettre encause et il faut passer agrave un modegravele du second degreacute
Figure 510 ndash Exemples drsquoanalyse des reacutesidus montrant une structure particuliegravere en haut la dispersion des reacutesidus augmente avec la reacuteponse (il nrsquoy a pas homosceacutedasticiteacute)
en bas les reacutesidus laissent supposer un modegravele du second degreacute
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25 30 35
Reacuteponses preacutevues
Reacutes
idu
s
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25 30 35
Reacuteponses preacutevues
Reacutes
idu
s
Seacuterie 1
Goupy Livre Page 90 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
56 Conclusion de lrsquoeacutetude
91
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
56 Conclusion de lrsquoeacutetude
La dureacutee de vie des outils de coupe est surtout influenceacutee par la vitesse et laprofondeur de coupe Pour meacutenager les outils il faut travailler agrave faible vitesse decoupe et ne pas prendre des passes trop profondes Mais si lrsquoon veut assurer larentabiliteacute du proceacutedeacute il faut que le rendement soit suffisamment eacuteleveacute Il faudrachoisir le compromis qui assure une production rentable agrave une usure controcircleacutee desoutils de coupe Ce compromis est atteint si la dureacutee de vie est au moins de20 heures Le modegravele eacutetabli (uniteacutes codeacutees) permet de faire des preacutevisions
y = 1155 ndash 629x2 ndash 342x3 ndash 21x4 + 16x2x3 ndash 11x2x4
Le diagramme de la figure 511 traceacute pour un deacutebit de 725 et une vitesse drsquoavancede 075 indique une zone potentiellement favorable qui se situe dans le quartinfeacuterieur gauche crsquoest-agrave-dire aux faibles vitesses de coupe et aux faibles profon-deurs Drsquoapregraves les reacutesultats du plan drsquoexpeacuteriences les essais n˚ 1 2 9 et 10 reacutepon-dent agrave ces impeacuteratifs et on veacuterifie que les dureacutees de vie sont supeacuterieures agrave 20 heures(Tableau 58)
Mais avant de faire des propositions il est bon de reacutealiser des expeacuteriences decontrocircle pour confirmer les preacutevisions On reacutealise donc trois essais (Tableau 59)lrsquoun aux bornes du domaine (essai n˚ 21) et deux aux limites des 20 heures (essaisn˚ 22 et 23)
Figure 511 ndash Courbes isoreacuteponses de la dureacutee de vie des outils de coupe en fonction de la vitesse de coupe et de la profondeur Le deacutebit et la vitesse drsquoavance sont fixeacutes respectivement agrave 725 et agrave 075
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26005
006
007
008
009
01
011
012
013
014
015
016
017
018
019
02
Vitesse de coupe
Pro
fon
deu
r
Courbes isoreacuteponses de la dureacutee de vie
15
10
20
5
Goupy Livre Page 91 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
92
56 Conclusion de lrsquoeacutetude5 bull Statistiques appliqueacuteesaux plans drsquoexpeacuteriences
On compare les preacutevisions faites avec le modegravele simplifieacute 54 aux mesures effectueacuteesOn constate un bon accord Le modegravele est donc valideacute et les recommandationspourraient ecirctre les suivantesAfin de preacuteserver les outils de coupe et leur assurer une dureacutee de vie proche de20 heures ou plus il ne faut pas deacutepasser une vitesse de coupe de 11 la profon-deur de coupe doit ecirctre infeacuterieure agrave 007 et lrsquoavance doit ecirctre plus petite que 075(Figure 512) Ces recommandations sont faciles agrave trouver avec la fonction deacutesira-biliteacute (chapitre 4)
Tableau 58 ndash Essais dont les dureacutees de vie sont supeacuterieures agrave 20 heures
Essai n˚Deacutebit
(1)
Vitesse de coupe
(2)
Profondeur(3)
Vitesse drsquoavance(4)
Reacuteponses
1 650 10 005 05 261
2 800 10 005 05 222
9 650 10 005 1 23
10 800 10 005 1 201
Tableau 59 ndash Essais de veacuterification
Essai n˚Deacutebit
(1)
Vitesse de coupe
(2)
Profondeur(3)
Vitesse drsquoavance
(4)
Reacuteponses preacutevues
Reacuteponses mesureacutees
21 725 10 005 075 2286 231
22 725 13 005 075 1990 202
23 725 10 009 075 2018 198
Figure 512 ndash La deacutesirabiliteacute permet de trouver rapidement les bonnes conditions opeacuteratoires
1
0Deacutes
irab
iliteacute
11 +1
Avance (4) Vitesse (2) Deacutebit (1) Profondeur (3)725 075007
Goupy Livre Page 92 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
93
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES
Comme les plans factoriels complets les plans factoriels fractionnaires possegravedentdes facteurs ayant chacun deux niveaux un niveau bas et un niveau haut Mais onne reacutealise pas toutes les combinaisons de niveaux En effet le nombre drsquoessais desplans factoriels complets augmente rapidement avec le nombre de facteurs Il nrsquoestpas rare de rencontrer des eacutetudes faisant intervenir 7 ou 8 facteurs Il est bien sucircrdeacuteraisonnable de vouloir exeacutecuter 27 = 128 ou 28 = 256 essais On seacutelectionne unefraction des essais drsquoun plan complet pour construire un plan fractionnaire Cetteseacutelection est baseacutee sur des consideacuterations matheacutematiques qui seront mises enapplication gracircce au calcul de Box Il est aussi possible drsquoutiliser les logiciels deplans drsquoexpeacuteriences qui mettent en œuvre ces principes matheacutematiques Lrsquointer-preacutetation des plans fractionnaires est moins facile que celle des plans completspuisqursquoon possegravede moins drsquoinformation On se contente souvent de savoir quelssont les facteurs influents et parfois on va un peu plus loin en examinant les inter-actions drsquoordre 2 Crsquoest la raison pour laquelle ces plans sont souvent appeleacutes plansde criblage Ces plans permettent drsquoeacutetudier beaucoup de facteurs et de deacuteterminerceux qui sont influents Lrsquoanalyse ne va souvent pas plus loin et atteint rarement lamodeacutelisation matheacutematique des reacuteponses
Les modegraveles matheacutematiques utiliseacutes sont donc eux aussi beaucoup plus simplesOn emploie des modegraveles ne comportant que les facteurs principaux au premierdegreacute ou des modegraveles avec des interactions drsquoordre 2 suivant les objectifs de lrsquoeacutetude
Au lieu de reacutealiser un plan complet 24 de 16 essais on peut nrsquoexeacutecuter que 8 essaiscrsquoest-agrave-dire la moitieacute des essais Le plan fractionnaire correspondant est un plan 24
diviseacute par 2 soit un plan 242 ou 24ndash1 La signification des termes de la deacutenomi-nation 24ndash1 est la suivante le 2 indique que les facteurs prennent chacun deuxniveaux le 4 signifie que lrsquoon eacutetudie 4 facteurs Enfin 4 ndash 1 = 3 signifie que lrsquoonutilise un plan analogue au plan factoriel complet 23 qui ne comprend que 8essais On remarque eacutegalement que cette maniegravere de deacutesigner un plan indique lenombre drsquoessais agrave effectuer puisque lrsquoon a 24ndash1 = 8
Lrsquointerpreacutetation des plans fractionnaires neacutecessite de connaicirctre la theacuteorie des aliaseset drsquoappliquer des hypothegraveses drsquointerpreacutetation La premiegravere des principales hypo-thegraveses drsquointerpreacutetation est la suivante
Hypothegravese 1 ndash Les interactions drsquoordre trois et toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute peuvent ecirctre neacutegligeacutees
Goupy Livre Page 93 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94
61 Exemple 05 le tellure6 bull Plans factorielsfractionnaires
61 Exemple 05 le tellure611 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Preacutesentation de lrsquoeacutetude sur le tellure
Des chimistes cherchent agrave deacuteterminer la teneur en tellure (Te) dans lrsquoeau de merMais la nature et la concentration drsquoautres meacutetaux faussent les mesures La teneuren tellure peut ecirctre soit trop eacuteleveacutee soit trop faible en fonction des autres meacutetauxet de leur concentration Les meacutetaux perturbateurs pourraient ecirctre le sodium (Na)le potassium (K) le calcium (Ca) et le magneacutesium (Mg)
m Deacutefinition de lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude
Les chimistes deacutesirent savoir quels sont les meacutetaux qui perturbent leur mesure etavoir une ideacutee de lrsquoimportance des diffeacuterences entre la concentration mesureacutee et laconcentration reacuteelle en tellure Ils veulent pouvoir reacutepondre agrave la question laquo Lateneur en tellure mesureacutee est-elle beaucoup moyennement ou peu perturbeacutee parla preacutesence de Na de K de Ca et de Mg raquo Pour reacutealiser cette eacutetude les chimistespreacuteparent des solutions contenant toujours la mecircme quantiteacute de tellure auxquellesils ajoutent des teneurs variables en meacutetaux perturbateursIl ne srsquoagit pas de faire des corrections de mesure en fonction des teneurs en Na KCa et Mg Dans ce cas il faudrait faire un plan complet de 16 essais eacuteventuelle-ment suivi drsquoun plan du second degreacute si le modegravele PDAI eacutetait insuffisant Il srsquoagitsimplement de connaicirctre lrsquoimportance de lrsquoerreur provoqueacutee par la preacutesence desquatre meacutetaux testeacutes
m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif
La reacuteponse choisie est la diffeacuterence entre la concentration vraie en tellure et laconcentration deacutetermineacutee par spectromeacutetrie atomique
m Recherche des facteurs qui pourraient ecirctre influents sur la reacuteponse
Pour les quatre meacutetaux perturbateurs on retient ndash la concentration en sodiumndash la concentration en potassiumndash la concentration en calciumndash la concentration en magneacutesiumLe tableau 61 indique les concentrations et le domaine drsquoeacutetude On notera que lepoint central nrsquoest pas du tout au milieu de lrsquointervalle [25 250] La raison estque les chimistes savent qursquoil faut faire intervenir les concentrations par leur loga-rithme Avec une eacutechelle logarithmique le niveau 0 est bien au point centralLes facteurs eacutetudieacutes et qui seront utiliseacutes dans les modegraveles matheacutematiques sont ndash le logarithme de la concentration en sodium Nandash le logarithme de la concentration en potassium Kndash le logarithme de la concentration en calcium Candash le logarithme de la concentration en magneacutesium Mg
Goupy Livre Page 94 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
61 Exemple 05 le tellure
95
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Lrsquoexpeacuterimentateur pourrait faire un plan complet 24 soit 16 essais Il pourraitainsi eacutevaluer les effets principaux les interactions entre 2 3 et 4 facteurs Maisdrsquoapregraves ses connaissances il est peu probable qursquoil y ait des interactions entre lesmeacutetaux perturbateurs Il deacutecide donc de faire un plan de 8 essais crsquoest-agrave-dire unplan 24-1 Il pourra ainsi eacutevaluer les effets principaux de chaque facteur et savoir sides interactions drsquoordre 2 risquent drsquoecirctre influentesLe tableau 62 indique les deacutetails du plan drsquoexpeacuteriences et les reacuteponses mesureacutees aucours de lrsquoexpeacuterimentation
612 Expeacuterimentation
Tableau 61 ndash Facteurs retenus et domaine drsquoeacutetude
FacteursNiveau ndash1
(mgml)Niveau 0(mgml)
Niveau +1(mgml)
Concentration Na (1) 25 25 250
Concentration K (2) 25 25 250
Concentration Ca (3) 25 25 250
Concentration Mg (4) 25 25 250
Tableau 62 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences sur le tellure
Essai n˚Na(1)
K(2)
Ca(3)
Mg(4)
Reacuteponse
1 minus1 minus1 minus1 minus1 128
2 +1 minus1 minus1 +1 153
3 minus1 +1 minus1 +1 104
4 +1 +1 minus1 minus1 130
5 minus1 minus1 +1 +1 86
6 +1 minus1 +1 minus1 109
7 minus1 +1 +1 minus1 66
8 +1 +1 +1 +1 96
minus1 Log 25 Log 25 Log 25 Log 25
0 Log 25 Log 25 Log 25 Log 25
+1 Log 250 Log 250 Log 250 Log 250
Goupy Livre Page 95 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
96
61 Exemple 05 le tellure6 bull Plans factorielsfractionnaires
613 Interpreacuteter les reacutesultats des calculs
Pour interpreacuteter les reacutesultats expeacuterimentaux on peut traiter les donneacutees brutes deplusieurs maniegraveres On peut eacuteliminer des coefficients du modegravele matheacutematique pouravoir autant (ou moins) drsquoinconnues que drsquoeacutequations On peut aussi regrouper lescoefficients pour avoir lagrave aussi autant (ou moins) drsquoinconnues que drsquoeacutequationsDans ce dernier cas il faut utiliser la theacuteorie des aliases pour comprendre ce quesignifient les valeurs numeacuteriques calculeacutees On peut aussi employer une meacutethodemixte baseacutee agrave la fois sur des modegraveles simplifieacutes et sur la theacuteorie des aliasesCette interpreacutetation des reacutesultats est faciliteacutee par les hypothegraveses drsquointerpreacutetationNous verrons plusieurs plans fractionnaires et nous verrons comment des raison-nements simples permettent soit de conclure que lrsquoeacutetude est finie soit de deacuteciderqursquoil faut faire des essais suppleacutementaires pour lever les difficulteacutes rencontreacutees
m Modegravele matheacutematique
En accord avec la premiegravere hypothegravese drsquointerpreacutetation (laquo Les interactions drsquoordre troiset toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute peuvent ecirctre neacutegligeacutees raquo) on choisit un modegravele faisantintervenir tous les termes du premier degreacute et toutes les interactions entre deux facteurs
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 +a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4 61
Il y a donc 11 coefficients Le logiciel calculera le coefficient constant les effets princi-paux et trois groupes drsquointeractions Si les groupes drsquointeractions calculeacutees sontfaibles on pourra les eacuteliminer Si les groupes drsquointeractions calculeacutees sont forts onne pourra pas les eacuteliminer et lrsquointerpreacutetation deviendra plus deacutelicate et il faudrafaire appel agrave la theacuteorie des aliases et agrave de nouvelles hypothegraveses drsquointerpreacutetationCette modeacutelisation est un simple outil permettant de connaicirctre rapidement lesfacteurs qui risquent drsquoavoir le plus drsquoinfluence sur le pheacutenomegravene eacutetudieacute Il nesrsquoagit pas drsquoune modeacutelisation permettant de faire des preacutevisions
Tableau 63 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
Constante 109
Na (1) 13
K (2) minus10
Ca (3) minus1975
Mg (4) 075
Na K (12) + Ca Mg (34) 1
Na Ca (13) + K Mg (24) 025
K Ca (23) + Na Mg (14) 175
Goupy Livre Page 96 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
62 Theacuteorie des aliases
97
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
On constate (Tableau 63) qursquoun facteur a un effet particuliegraverement faible le facteur 4(magneacutesium) La teneur en tellure est fausseacutee par les trois autres meacutetaux le sodium(Na) le potassium (K) et le calcium (Ca) Les sommes drsquointeractions sont moins eacuteleveacuteesque les effets des facteurs principaux et peuvent ecirctre consideacutereacutees comme faibles
62 Theacuteorie des aliasesLa theacuteorie des aliases est tregraves utile pour comprendre et interpreacuteter les reacutesultats drsquounplan fractionnaire Nous avons diviseacute lrsquoeacutetude de cette theacuteorie en cinq parties 1 Deacutefinition des contrastes2 Hypothegraveses drsquointerpreacutetation3 Calcul de Box4 Relation drsquoeacutequivalence5 Geacuteneacuterateurs drsquoaliasesAgrave la suite de la theacuteorie des aliases nous verrons deux aspects importants des plansfractionnaires ndash la construction des plans fractionnairesndash le nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base donneacute
621 Deacutefinition des contrastes
Lors de lrsquointerpreacutetation des reacutesultats drsquoun plan fractionnaire on applique lesmecircmes regravegles de calcul que celles des plans complets Le modegravele postuleacute pouranalyser les reacutesultats de lrsquoexemple sur le tellure est alors
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a12x1x2 + a13x1x3 + a14x1x4 + a23x2x3 + a24x2x4 + a34x3x4 62
+a123x1x2x3 + a124x1x2x4 + a134x1x3x4 + a234x2x3x4 +a1234x1x2x3x4
Ce modegravele comporte 16 coefficients inconnus Pour les calculer il faut posseacuteder16 eacutequations Crsquoest bien le cas avec les plans complets Mais avec le plan fraction-naire employeacute il nrsquoy a que 8 eacutequations La matrice du modegravele comporte donc 8 ligneset 16 colonnes On srsquoarrange pour que les colonnes possegravedent deux agrave deux descolonnes ayant des niveaux identiques Les inconnues sont ainsi regroupeacutees deuxpar deux On obtient un systegraveme de 8 groupes drsquoinconnues pour 8 eacutequationsDans lrsquoexemple du tellure les niveaux du facteur 4 sont les mecircmes que les niveauxde lrsquointeraction 123 on a donc la colonne du facteur 4 identique agrave la colonne delrsquointeraction 123 Pour ce plan on peut eacutecrire x4 = x1x2x3 On verra dans les para-graphes suivants comment srsquoassocient les colonnes et par conseacutequent les coeffi-cients en fonction des points drsquoexpeacuteriences retenus pour un plan fractionnairedonneacute On possegravede de cette maniegravere 8 groupes de 2 inconnues et on peut reacutesoudrele systegraveme Ces regroupements de coefficients srsquoappellent des aliases ou descontrastes On les note par la lettre i Dans lrsquoexemple du tellure le contraste 1regroupe le coefficient a1 du facteur 1 et le coefficient a234 de lrsquointeraction 234On dit que le coefficient a1 est aliaseacute avec lrsquointeraction a234De mecircme ndash Le coefficient a2 est aliaseacute avec lrsquointeraction a134
Goupy Livre Page 97 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
98
62 Theacuteorie des aliases6 bull Plans factorielsfractionnaires
ndash Le coefficient a3 est aliaseacute avec lrsquointeraction a124ndash Le coefficient a4 est aliaseacute avec lrsquointeraction a123ndash Le coefficient a12 est aliaseacute avec lrsquointeraction a34ndash Le coefficient a13 est aliaseacute avec lrsquointeraction a24ndash Le coefficient a23 est aliaseacute avec lrsquointeraction a14ndash Le coefficient a0 est aliaseacute avec lrsquointeraction a1234La relation 62 srsquoeacutecrit alors
y = (a0 + a1234) + (a1 + a234)x1+ (a2 + a134)x2+ (a3 + a124)x3+ (a4 + a123)x4
+ (a12 + a34)(x1x2 ou x3x4)+ (a13 + a24)(x1x3 ou x2x4)+ (a14 + a23)(x1x4 ou x2x3)
La valeur numeacuterique de ces regroupements est la somme des valeurs des coeffi-cients Par exemple le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1 augmenteacute de la valeurde lrsquointeraction 234
1 = a1 + a234
Si lrsquointeraction 234 est faible le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1 Commenous avons admis lrsquohypothegravese 1 qui suppose les interactions drsquoordre 3 neacutegligeableson peut dire que le contraste 1 est eacutegal agrave lrsquoeffet du facteur 1Consideacuterons maintenant lrsquointeraction 12 qui est aliaseacutee avec lrsquointeraction 34
12 = 34 = a12 + a34
La valeur numeacuterique du contraste 12 (ou 34) est due agrave la fois agrave lrsquointeraction 12 etagrave lrsquointeraction 34 Il nrsquoy a aucun moyen de savoir lrsquoimportance individuelle desinteractions Elles sont regroupeacutees dans un mecircme contraste et lrsquoon ne connaicirct quela valeur de ce regroupementMais agrave force de faire des plans drsquoexpeacuteriences les expeacuterimentateurs ont constateacuteque dans la plupart des cas si un contraste avait une valeur numeacuterique faible crsquoestque les interactions aliaseacutees dans ce contraste eacutetaient elles-mecircmes faibles Ils ontconstateacute eacutegalement que lorsque deux facteurs eacutetaient forts il pouvait tregraves bien yavoir une interaction entre eux En revanche si deux facteurs eacutetaient faibles il y avaitpeu de chance qursquoil y ait une interaction entre eux On en a deacuteduit de nouvelleshypothegraveses drsquointerpreacutetation des plans fractionnaires
622 Nouvelles hypothegraveses drsquointerpreacutetation
Pour analyser les reacutesultats drsquoun plan fractionnaire lrsquohypothegravese 1 doit ecirctre compleacuteteacuteepar de nouvelles hypothegraveses ndash Hypothegravese 1 ndash Les interactions drsquoordre trois et toutes celles drsquoordre plus eacuteleveacute
peuvent ecirctre neacutegligeacuteesndash Hypothegravese 2 ndash Tous les coefficients aliaseacutes dans un contraste faible (neacutegli-
geable) sont eux-mecircmes faibles (neacutegligeables)ndash Hypothegravese 3 ndash Si deux contrastes sont forts on se meacutefiera de leur interaction
qui peut ecirctre fortendash Hypothegravese 4 ndash Si deux contrastes sont faibles on suppose que leur interaction
lrsquoest aussindash Hypothegravese 5 ndash Un facteur principal faible et un facteur principal fort engen-
drent le plus souvent mais pas toujours une interaction faible
Goupy Livre Page 98 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
63 Calcul de Box
99
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
Les cinq hypothegraveses preacutesenteacutees ici sont tregraves souvent veacuterifieacutees mais il arrive parfoisqursquoelles soient mises en deacutefaut On estime que ces hypothegraveses sont valides agrave 95 et qursquoil y a environ 5 de cas ougrave elles ne sont pas veacuterifieacutees Par exemple lrsquohypo-thegravese 4 est parfois mise en deacutefaut srsquoil faut que deux facteurs soient preacutesents simul-taneacutement pour deacuteclencher une variation de la reacuteponse la prise drsquoune reacutesinethermodurcissable est deacuteclencheacutee par la preacutesence simultaneacutee drsquoun catalyseur(premier facteur) et drsquoun acceacuteleacuterateur (deuxiegraveme facteur) le catalyseur seul oulrsquoacceacuteleacuterateur seul ne modifie pas la reacutesine Il est toujours possible drsquoadopter drsquoautreshypothegraveses en fonction du problegraveme traiteacute et des risques encourus Pour une bonneanalyse des reacutesultats il est prudent de toujours bien preacuteciser les hypothegraveses drsquointer-preacutetation que lrsquoon a retenues Ces hypothegraveses sont drsquoexcellents guides pour analyserles reacutesultats drsquoun plan fractionnaire Elles permettent de trouver les insuffisancesde lrsquoexpeacuterimentation et de preacuteciser les essais compleacutementaires agrave entreprendre pourobtenir une interpreacutetation complegraveteNous venons de constater qursquoun contraste est la somme de deux coefficients Maisil peut aussi ecirctre une suite de sommes ou de diffeacuterences car les associations entrecoefficients deacutependent de la position des points drsquoexpeacuteriences qui ont eacuteteacute choisislors de la construction du plan fractionnaire Savoir retrouver les eacuteleacutements quicomposent les contrastes est primordial pour faire une bonne interpreacutetation drsquounplan fractionnaire La theacuteorie matheacutematique geacuteneacuterale des aliases fait appel agrave desnotions qui deacutepassent le cadre de cet ouvrage Il existe aussi une theacuteorie beaucoupplus simple baseacutee sur le calcul de Box Elle convient uniquement aux plans facto-riels fractionnaires agrave deux niveaux parfaitement fixeacutes agrave ndash1 et +1 en valeurs codeacuteesOn peut aussi utiliser un logiciel de plan drsquoexpeacuteriences qui donnent directement lacomposition des aliasesLes lecteurs inteacuteresseacutes par la theacuteorie matheacutematique geacuteneacuterale des aliases se reporte-ront aux ouvrages signaleacutes dans la bibliographie Nous donnerons un aperccedilu ducalcul de Box car associeacute agrave la relation drsquoeacutequivalence il sert agrave comprendre lrsquointer-preacutetation et la construction des plans fractionnaires
63 Calcul de Box
Le calcul de Box permet de retrouver rapidement comment les effets et les interactionssont aliaseacutes dans les contrastes Comme nous lrsquoavons deacutejagrave signaleacute il srsquoapplique auxplans fractionnaires agrave deux niveaux fixeacutes agrave ndash1 et +1
631 Notation de Box
Dans la notation de Box on deacutesigne par le chiffre 1 (en gras) la colonne des signesdu facteur 1 signes ordonneacutes selon la preacutesentation de Yates Pour un plan 22 on a
1
1ndash
+11ndash
+1
=
Goupy Livre Page 99 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
100
63 Calcul de Box6 bull Plans factorielsfractionnaires
La colonne du facteur 2 sera deacutesigneacutee par
On introduit eacutegalement des colonnes de signes moins et de signes plus
632 Opeacuterations sur les colonnes de signes
Le calcul de Box consiste agrave faire des opeacuterations sur les colonnes de signes que nousvenons de deacutefinir On multiplie les signes terme agrave terme en appliquant la regravegle dessignes Par exemple la multiplication de 1 par 2 est
Le signe +1 du premier terme de la colonne-produit est le reacutesultat de la multiplica-tion de ndash1 (premier terme de 1) par ndash1 (premier terme de 2) Les autres signes dela colonne-produit sont obtenus de la mecircme maniegravereVoyons dans les paragraphes suivants les opeacuterations les plus utiliseacutees sur les colonnesde signes
m Multiplication drsquoune colonne par elle-mecircme
Par exemple multiplions la colonne 1 par elle-mecircme
On obtient une colonne de signes plus La multiplication de la colonne 2 par elle-mecircme donne le mecircme reacutesultat Drsquoune maniegravere geacuteneacuterale la multiplication drsquounecolonne par elle-mecircme donne une colonne de signes plus
2
1ndash
1ndash
+1+1
=
I
+1+1+1+1
= Indash
1ndash
1ndash
1ndash
1ndash
=
1 2times
1ndash
+11ndash
+1
1ndash
1ndash
+1+1
times
+11ndash
1ndash
+1
= =
1 1times
1ndash
+11ndash
+1
1ndash
+11ndash
+1
times
+1+1+1+1
I= = =
Goupy Livre Page 100 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
63 Calcul de Box
101
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
m Multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes plus
Multiplions la colonne 2 par I
La multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes plus donne la colonneinitiale On peut dire aussi que la multiplication par une colonne de signes plus nechange pas la colonne multiplieacutee
m Multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes moins
Multiplions la colonne 2 par ndashI
La multiplication drsquoune colonne par une colonne de signes moins donne une colonneopposeacutee agrave la colonne initiale
m Multiplication drsquoune colonne de signes plus par elle-mecircme
On a
La multiplication drsquoune colonne de signes plus par elle-mecircme donne une colonnede signes plus
m Commutativiteacute de la multiplication
Le reacutesultat de la multiplication de 1 par 2 est le mecircme que celui de la multiplicationde 2 par 1 Cette proprieacuteteacute srsquoappelle la commutativiteacute
2 Itimes
1ndash
1ndash
+1+1
+1+1+1+1
times
1ndash
1ndash
+1+1
2= = =
2 Indash( )times
1ndash
1ndash
+1+1
1ndash
1ndash
1ndash
1ndash
times
+1+1
1ndash
1ndash
2ndash= = =
I Itimes
+1+1+1+1
+1+1+1+1
times
+1+1+1+1
I= = =
1 2times
1ndash
+11ndash
+1
1ndash
1ndash
+1+1
times
+11ndash
1ndash
+1
1ndash
1ndash
+1+1
1ndash
+11ndash
+1
times 2 1times= = = =
Goupy Livre Page 101 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
102
64 Relation drsquoeacutequivalence6 bull Plans factorielsfractionnaires
633 Regravegles agrave retenir
Il faut simplement retenir les regravegles suivantes du calcul de Box Pour simplifier lessignes multiplieacutes ont eacuteteacute eacutelimineacutes des formules ndash Regravegle 1 minus Commutativiteacute
1 2 = 2 1ndash Regravegle 2 minus Multiplication drsquoune colonne par elle-mecircme
1 1 = I 2 2 = Indash Regravegle 3 minus Multiplication drsquoune colonne par I ou ndash I
1 I = 1 2 I = 21 (ndashI) = ndash1 2 (ndashI) = ndash2
I I = I
64 Relation drsquoeacutequivalence641 Plan de base
Consideacuterons un plan 23 et son modegravele postuleacute y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a123x1x2x3
Le terme x1x2 est le produit des niveaux des facteurs 1 et 2 Ce terme est celui delrsquointeraction 12 On peut donc construire une colonne de signes correspondant agravelrsquointeraction 12 en multipliant selon le calcul de Box les colonnes du facteur 1 etdu facteur 2 On peut faire de mecircme pour les interactions 13 23 et 123 On peutaussi ajouter une colonne de signes plus pour introduire la constante dans lescalculs On obtient ainsi un tableau appeleacute matrice de base ou plan de base quicomporte 8 lignes et 8 colonnes (Tableau 64)
Tableau 64 ndash Matrice de base drsquoun plan 23
Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123
1 + ndash ndash ndash + + + ndash
2 + + ndash ndash ndash ndash + +
3 + ndash + ndash ndash + ndash +
4 + + + ndash + ndash ndash ndash
5 + ndash ndash + + ndash ndash +
6 + + ndash + ndash + ndash ndash
7 + ndash + + ndash ndash + ndash
8 + + + + + + + +
Goupy Livre Page 102 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
64 Relation drsquoeacutequivalence
103
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
Cette matrice de base correspond agrave la matrice qui est utiliseacutee pour calculer leseffets et les interactions drsquoun plan complet Mais pour un plan fractionnaire onnrsquoutilise que la moitieacute des essais de cette matrice Divisons cette matrice de base endeux fractions un demi-plan constitueacute des essais n˚ 5 2 3 et 8 (lignes plusfonceacutees du tableau 65) et un demi-plan constitueacute des essais n˚ 1 6 7 et 4
Dans un premier temps inteacuteressons-nous au demi-plan supeacuterieur le plan plusfonceacute Il contient huit colonnes de quatre signes qui sont eacutegales deux agrave deux Ennotation de Box on peut eacutecrire par exemple que la colonne des quatre signes dufacteur 1 est eacutegale agrave celle de lrsquointeraction 23 soit
1 = 23Nous avons vu que dans ce demi-plan le facteur 1 eacutetait confondu avec lrsquointer-action 23 et que le contraste 1 calculeacute avec la colonne 1 (ou avec la colonne 23)eacutetait la somme des coefficients a1 et a23
1 = 23 = a1 + a23
642 Relation drsquoeacutequivalence
On remarque que les coefficients aliaseacutes dans un contraste sont ceux qui ont lesmecircmes colonnes de signes dans le demi-plan consideacutereacute Crsquoest une regravegle geacuteneacuterale un contraste est la somme algeacutebrique des coefficients qui ont les mecircmes colonnesde signes Crsquoest-agrave-dire que si lrsquoon a 1 = 23 en calcul de Box le contraste calculeacuteavec la colonne 1 sera la somme 1 = a1 + a23 et le contraste calculeacute avec lacolonne 23 sera la somme 23 = a1 + a23 On a donc
1 = 23 est eacutequivalent agrave 1 = 23 = a1 + a23
Crsquoest la relation drsquoeacutequivalence Elle est valable dans les deux sens et elle constituela base de la theacuteorie des aliases
Tableau 65 ndash Matrice de base coupeacutee en deux plans fractionnaires
Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123
5 + ndash ndash + + ndash ndash +
2 + + ndash ndash ndash ndash + +
3 + ndash + ndash ndash + ndash +
8 + + + + + + + +
1 + ndash ndash ndash + + + ndash
6 + + ndash + ndash + ndash ndash
7 + ndash + + ndash ndash + ndash
4 + + + ndash + ndash ndash ndash
Goupy Livre Page 103 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
104
65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases6 bull Plans factorielsfractionnaires
Lrsquoexamen du tableau 65 montre que lrsquoon a aussi 2 = 13 est eacutequivalent agrave 2 = 13 = a2 + a13
3 = 12 est eacutequivalent agrave 3 = 12 = a3 + a12
I = 123 est eacutequivalent agrave 0 = 123 = a0 + a123
Lrsquoimportance de ces relations reacuteside dans le fait que lrsquoon peut retrouver commentles effets et les interactions sont aliaseacutes dans chaque contraste Pour connaicirctre lastructure des aliases on pourrait opeacuterer comme nous venons de le faire eacutecrire unplan de base le deacutecouper en fractions rechercher les colonnes de signes qui sonteacutegales Mais ce processus utile pour comprendre la relation drsquoeacutequivalence est agrave lafois trop long et trop laborieux pour retrouver la structure des aliases Crsquoest aveclrsquoutilisation du calcul de Box et lrsquointroduction des geacuteneacuterateurs drsquoaliases que nousallons facilement retrouver cette structure
Remarque
Le terme contraste nrsquoest pas universellement utiliseacute Dans certains ouvrages on trouvera le termeconfusion On trouvera eacutegalement le terme aliase tregraves souvent utiliseacute Enfin le terme concomitanceest parfois employeacute pour montrer qursquoon estime simultaneacutement des coefficients dans la mecircme struc-ture Tous ces termes sont synonymes et traduisent les deux aspects de la relation drsquoeacutequivalence ensoulignant que des effets et des interactions sont fusionneacutes dans une seule inconnue et que descolonnes de signes se correspondent dans les demi-plans La notion de contrastes elle-mecircme estdeacutelicate et les diffeacuterents termes utiliseacutes expriment la difficulteacute agrave trouver le bon terme Ces diffeacute-rentes appellations sont utiliseacutees et consideacutereacutees comme des synonymes dans le preacutesent ouvrage
65 Geacuteneacuterateurs drsquoaliases651 Geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan supeacuterieur
Consideacuterons le demi-plan supeacuterieur du tableau 65 Les deux colonnes de signesplus permettent drsquoeacutecrire en notation de Box
I = 123 63En multipliant par 1 les deux membres de cette relation et en tenant compte desregravegles de multiplication de Box on retrouve les colonnes identiques du demi-plansupeacuterieur 1 Multiplication par 1 des deux membres de la relation 63
1I = 11232 Application de la regravegle 2
1I = I233 Application de la regravegle 3
1 = 23En multipliant les deux membres de la relation 63 successivement par 2 et par3 on obtient les deux relations
2 = 133 = 12
Goupy Livre Page 104 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire
105
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
La relation I = 123 permet donc de retrouver toutes les colonnes qui sont eacutegalesdans le demi-plan supeacuterieur Connaissant ces eacutegaliteacutes et en appliquant la relationdrsquoeacutequivalence on retrouve comment les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastesLa relation I = 123 srsquoappelle le geacuteneacuterateur drsquoaliases
652 Geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan infeacuterieur
En consideacuterant le demi-plan infeacuterieur (Tableau 65) on veacuterifie que les colonnes secorrespondent deux agrave deux mais avec des signes opposeacutes Agrave la colonne de signesplus correspond la colonne de signes moins de lrsquointeraction 123 On peut eacutecrireen notation de Box
I = minus123 64Crsquoest le geacuteneacuterateur drsquoaliases du demi-plan infeacuterieurEn multipliant par 1 les deux membres de la relation 64 et en tenant comptedes regravegles de multiplication de Box on a
1I = 1minus1231 = minusI 231 = minus23
La colonne de lrsquointeraction 23 a bien des signes opposeacutes agrave ceux de la colonne 1On trouve la structure du contraste de la colonne 1 en appliquant la relationdrsquoeacutequivalence
cent1 = ndash cent23 = a1 ndash a23
Les contrastes calculeacutes avec le demi-plan infeacuterieur sont des diffeacuterences de coefficientsOn calcule que lrsquoon a de mecircme
2 = ndash13 soit cent2 = ndash cent13 = a2 ndash a13
3 = ndash12 soit cent3 = ndash cent12 = a3 minus a12
I = ndash123 soit cent0 = ndash cent123 = a0 ndash a123
653 Lecture des aliases dans les logiciels
Les bons logiciels de plans drsquoexpeacuteriences indiquent toujours comment les coeffi-cients sont aliaseacutes dans les contrastes Par exemple le logiciel joint agrave ce livre donneles aliases en mecircme temps que les reacutesultats du plan dans une rubrique intituleacuteeSingularity Details Les colonnes qui sont eacutegales sont indiqueacutees comme dans lecalcul de Box Drsquoautres logiciels fournissent les coefficients aliaseacutes dans chaquecontraste
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaireLorsqursquoon examine les quatre premiegraveres colonnes du demi-plan supeacuterieur(Tableau 65) on constate que lrsquoon retrouve les colonnes de signes drsquoun plan debase 22 Ce plan comporte la colonne des facteurs 1 et 2 la colonne 12 construitepar la regravegle des signes et une colonne de signes plus (Tableau 66)
Goupy Livre Page 105 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
106
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire6 bull Plans factorielsfractionnaires
Lrsquointeraction 12 peut servir agrave eacutetudier un facteur suppleacutementaire le facteur 3 Eneffet les niveaux drsquoeacutetude du facteur suppleacutementaire sont semblables aux signes dela colonne de signes de lrsquointeraction 12 (Tableau 67) On profite de cette simili-tude pour construire facilement les plans fractionnaires En notation de Box oneacutecrit que le facteur 3 est eacutetudieacute sur les signes de lrsquointeraction 12
3 = 12Multiplions chaque membre de cette relation par 3 on retrouve le geacuteneacuterateur duplan fractionnaire
I = 123Ce geacuteneacuterateur permet gracircce au calcul de Box et agrave la relation drsquoeacutequivalence deretrouver comment les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastes
Au lieu de prendre le geacuteneacuterateur I = 123 on peut prendre le geacuteneacuterateur I = minus123
Dans ce cas le troisiegraveme facteur est eacutetudieacute sur les signes de lrsquointeraction ndash12(Tableau 68)
Tableau 66 ndash Plan de base 22
Essai n˚ I 1 2 12
1 + ndash ndash +
2 + + ndash ndash
3 + ndash + ndash
4 + + + +
Tableau 67 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 23-1 bacircti avec le geacuteneacuterateur I = 123
Essai n˚ 1 2 3
1 ndash ndash +
2 + ndash ndash
3 ndash + ndash
4 + + +
Tableau 68 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 23ndash1 bacircti avec le geacuteneacuterateur I = ndash123
Essai n˚ 1 2 3
1 ndash ndash ndash
2 + ndash +
3 ndash + +
4 + + ndash
Goupy Livre Page 106 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire
107
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
La construction pratique des plans fractionnaires que nous venons de voir sur unplan de base 22 se geacuteneacuteralise agrave tous les plans de base 2k
ndash On choisit un plan complet et lrsquoon eacutecrit le plan de base correspondant en appli-quant la regravegle des signes
ndash Dans ce plan de base on choisit une colonne de signes correspondant agrave uneinteraction et on lui attribue un facteur suppleacutementaire On peut prendre soitla colonne elle-mecircme avec ses signes soit la colonne avec les signes opposeacutes
ndash On en deacuteduit le geacuteneacuterateur drsquoaliases gracircce au calcul de Boxndash En multipliant le geacuteneacuterateur drsquoaliases et en appliquant la relation drsquoeacutequivalence
on retrouve la structure de tous les contrastes
Voyons comment cela fonctionne sur un plan de base 23Reprenons le plan de base 23 (Tableau 69) Il y a quatre colonnes disponiblespour eacutetudier des facteurs suppleacutementaires les interactions 12 13 23 et 123 Onpeut donc construire plusieurs plans fractionnaires qui auront tous 8 essais maisqui permettront drsquoeacutetudier plus ou moins de facteurs
De ce plan de base nous allons successivement extraire le plan complet et les plansfractionnaires que lrsquoon peut construire
661 Plan complet 23
Les colonnes 1 2 et 3 sont celles drsquoun plan complet pour eacutetudier trois facteurs(Tableau 610)
Tableau 69 ndash Plan de base drsquoun plan 23
Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123
1 + ndash ndash ndash + + + ndash
2 + + ndash ndash ndash ndash + +
3 + ndash + ndash ndash + ndash +
4 + + + ndash + ndash ndash ndash
5 + ndash ndash + + ndash ndash +
6 + + ndash + ndash + ndash ndash
7 + ndash + + ndash ndash + ndash
8 + + + + + + + +
Goupy Livre Page 107 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
108
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire6 bull Plans factorielsfractionnaires
662 Plan fractionnaire 24ndash1
Crsquoest le plan qui a eacuteteacute utiliseacute pour le tellure On deacutesire eacutetudier quatre facteursen ne faisant que 8 essais On donne le nom de 4 au facteur suppleacutementaireOn choisit lrsquoune des quatre colonnes drsquointeraction par exemple la colonne 123(Tableau 611) Les niveaux drsquoeacutetude du facteur 4 sont ceux de la colonne 123 Onconstruit le plan fractionnaire en extrayant les quatre colonnes 1 2 3 et 123 duplan de base
Tableau 610 ndash Plan complet 23
Essai n˚ 1 2 3
1 ndash ndash ndash
2 + ndash ndash
3 ndash + ndash
4 + + ndash
5 ndash ndash +
6 + ndash +
7 ndash + +
8 + + +
Tableau 611 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 24-1
Essai n˚ 1 2 3 4 = 123
1 ndash ndash ndash ndash
2 + ndash ndash +
3 ndash + ndash +
4 + + ndash ndash
5 ndash ndash + +
6 + ndash + ndash
7 ndash + + ndash
8 + + + +
Goupy Livre Page 108 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire
109
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
Le quatriegraveme facteur eacutetant eacutetudieacute sur la colonne de signes de lrsquointeraction 123 onpeut eacutecrire en notation de Box
I = 1234Crsquoest le geacuteneacuterateur drsquoaliases qui permet de calculer la structure des contrastes Enmultipliant ce geacuteneacuterateur successivement par 1 2 3 et 4 on obtient les eacutegaliteacutes decolonnes puis en utilisant la relation drsquoeacutequivalence les contrastes
1 = 234 est eacutequivalent agrave 1 = a1 + a234
2 = 134 est eacutequivalent agrave 2 = a2 + a134
3 = 124 est eacutequivalent agrave 3 = a3 + a124
4 = 123 est eacutequivalent agrave 4 = a4 + a123
I = 1234 est eacutequivalent agrave 0 = a0 + a1234
On aurait pu aliaser le facteur 4 sur une autre interaction on aurait eu drsquoautresstructures de contrastes Par exemple si on choisit drsquoeacutetudier le facteur 4 sur lrsquointer-action 12 on a
4 = 12drsquoougrave le geacuteneacuterateur drsquoaliases
I = 124En multipliant ce geacuteneacuterateur successivement par 1 2 3 et 4 on obtient les rela-tions drsquoeacutequivalence et la structure des contrastes correspondants
1 = 24 est eacutequivalent agrave 1 = a1 + a24
2 = 14 est eacutequivalent agrave 2 = a2 + a14
3 = 1234 est eacutequivalent agrave 3 = a3 + a1234
4 = 12 est eacutequivalent agrave 4 = a4 + a12
I = 124 est eacutequivalent agrave 0 = a0 + a124
On pourrait eacutegalement choisir soit lrsquointeraction 13 soit lrsquointeraction 23 pour eacutetudierle facteur 4 Mais ces choix ne sont pas eacutequivalents Le premier choix 4 = 123 estbien meilleur que les trois autres car les effets principaux des facteurs sont tousaliaseacutes avec des interactions drsquoordre 3 crsquoest-agrave-dire avec des interactions qui ont degrandes chances drsquoecirctre faibles Ce nrsquoest pas le cas des trois autres plans 24-1 pourlesquels certains effets principaux sont aliaseacutes avec des interactions drsquoordre 2
663 Plan fractionnaire 25-2
Il est tout agrave fait possible drsquoeacutetudier deux facteurs suppleacutementaires On choisit deuxcolonnes qui ne sont pas deacutejagrave occupeacutees par des facteurs (ici colonnes 1 2 et 3) parexemple on peut choisir la colonne 12 pour le quatriegraveme facteur et la colonne 13pour le cinquiegraveme facteur (Tableau 612) Le plan fractionnaire correspondant estun plan 25-2 car il srsquoagit drsquoun plan complet agrave 32 essais coupeacute en quatre Le plan 25
a eacuteteacute diviseacute par 22 soit 2522 ce qui peut eacutegalement srsquoeacutecrire 25-2 Le tableau 612repreacutesente ce plan fractionnaire 25-2
Goupy Livre Page 109 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
110
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire6 bull Plans factorielsfractionnaires
Eacutetablissons gracircce agrave la notation de Box la structure des aliases de ce plan fraction-naire On a deux relations
4 = 12 5 = 13et bien sucircr deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases
I = 124 I = 135Ces deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases proviennent du choix de deux interactions indeacutepen-dantes du plan de base On les appelle des geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependantsSi lrsquoon multiplie ces deux geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants membre agrave membreon obtient un troisiegraveme geacuteneacuterateur
II = 124135I = 2345
Ce nouveau geacuteneacuterateur drsquoaliases est un geacuteneacuterateur deacutependant On remarque quedeux facteurs suppleacutementaires introduisent non pas un geacuteneacuterateur mais un groupede geacuteneacuterateurs drsquoaliases (GGA) comportant quatre termes
I = 124 = 135 = 2345Ce GGA est utiliseacute pour eacutetablir la structure des aliases de ce plan fractionnaire Parexemple le contraste 1 sera deacutetermineacute en multipliant tous les termes du GGA parla colonne 1
1I = 1124 = 1135 = 12345En simplifiant
1 = 24 = 35 = 12345Les quatre colonnes 1 24 35 et 12345 sont identiques dans le quart de plan de baseLa relation drsquoeacutequivalence donne les quatre coefficients aliaseacutes dans les contrastes 124 35 et 12345
1 = 24 = 35 = 12345 = a1 + a24 + a35 + a12345
Tableau 612 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 25-2
Essai n˚ 1 2 3 4 = 12 5 = 13
1 ndash ndash ndash + +
2 + ndash ndash ndash ndash
3 ndash + ndash ndash +
4 + + ndash + ndash
5 ndash ndash + + ndash
6 + ndash + ndash +
7 ndash + + ndash ndash
8 + + + + +
Goupy Livre Page 110 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
66 Construction pratique drsquoun plan fractionnaire
111
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
On simplifie lrsquoeacutecriture en nrsquoindiquant que lrsquoun des contrastes 1 = a1 + a24 + a35 + a12345
Les autres contrastes sont calculeacutes de la mecircme maniegravere et comportent tous 4 coef-ficients
Remarque
Le groupe de geacuteneacuterateurs drsquoaliases (GGA) est eacutegalement appeleacute relation de deacutefinition En effet crsquoestcette relation qui permet de deacutefinir le plan fractionnaire avec preacutecision et qui donne la structuredes aliases
664 Plan fractionnaire 27-4
On peut geacuteneacuteraliser cette meacutethode et utiliser toutes les colonnes du plan de base(Tableau 613) Sur le plan de base 23 on peut eacutetudier jusqursquoagrave 7 facteurs puisqursquoily a 4 colonnes drsquointeraction Dans ce cas il srsquoagit de diviser en 16 un plan completde 128 essais
Le geacuteneacuterateur drsquoaliases srsquoobtient en prenant drsquoabord les 4 geacuteneacuterateurs indeacutepen-dants
4 = 123 5 = 126 = 13 7 = 23
Les geacuteneacuterateurs deacutependants srsquoobtiennent en multipliant deux agrave deux puis trois agrave troiset enfin quatre agrave quatre les geacuteneacuterateurs indeacutependants Le GGA contient 16 termesCe GGA est multiplieacute successivement par 1 2 3 4 5 6 et 7 Les relations obtenuespermettent drsquoeacutetablir la structure des contrastes qui comportent chacun 16 termesdans le cas du plan 27-4 Dans le cas geacuteneacuteral les contrastes drsquoun plan fractionnaire2k-p contiennent 2p termes Le calcul de tels contrastes est ennuyeux fatigant etfastidieux et nous verrons comment on les obtient facilement avec le logiciel
Tableau 613 ndash Plan drsquoexpeacuteriences 27-4
Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 13 7 = 23
1 ndash ndash ndash ndash + + +
2 + ndash ndash + ndash ndash +
3 ndash + ndash + ndash + ndash
4 + + ndash ndash + ndash ndash
5 ndash ndash + + + ndash ndash
6 + ndash + ndash ndash + ndash
7 ndash + + ndash ndash ndash +
8 + + + + + + +
Goupy Livre Page 111 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
112
68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 056 bull Plans factorielsfractionnaires
67 Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de baseOn peut eacutetudier autant de facteurs suppleacutementaires qursquoil y a drsquointeractions dans leplan de base (Tableau 614)Sur un plan de base 22 il y a une interaction On pourra donc eacutetudier trois facteursdeux sur les colonnes 1 et 2 le troisiegraveme sur la colonne de lrsquointeractionSur un plan de base 23 il y a quatre interactions On pourra donc eacutetudier septfacteurs trois sur les colonnes 1 2 et 3 les quatre autres sur les colonnes drsquointer-action 12 13 23 et 123Le tableau 614 indique le nombre maximal de facteurs que lrsquoon peut eacutetudier surdiffeacuterents plans de base
68 Application de la theacuteorie des aliases agrave lrsquoexemple 05Voyons comment toutes les notions acquises sont mises en œuvre sur lrsquoexemple dece chapitre
681 Confusions du plan Tellure
Le plan Tellure est un plan 24ndash1 dont le geacuteneacuterateur drsquoaliases est I = 1234
En appliquant le calcul de Box on obtient pour les facteurs principaux 1 = 234 2 = 134 3 = 124
Si lrsquoon a choisi un modegravele matheacutematique sans les interactions drsquoordre 3 on aimmeacutediatement (relation drsquoeacutequivalence)
1 = a1 2 = a2 et 3 = a3
Pour les interactions on obtient 12 = 34 13 = 24 23 = 14
drsquoougrave 12 = 34 = a12 + a34 13 = 24 = a13 + a24 et 23 = 14 = a23 + a14
Tableau 614 ndash Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes sur un plan de base donneacute
Plan de base
Nombre de facteurs du plan complet
Nombre drsquointeractions
Nombre maximal de facteurs eacutetudieacutes
22 2 1 3
23 3 4 7
24 4 11 15
25 5 26 31
26 6 57 63
27 7 120 127
Goupy Livre Page 112 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
69 Conclusion de lrsquoeacutetude
113
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
6 bull Plans factorielsfractionnaires
682 Application des hypothegraveses drsquointerpreacutetation au plan Tellure
Lrsquohypothegravese 1 a eacuteteacute appliqueacutee dans le choix du modegravele On obtient directement leseffets des facteurs principaux Ils ne sont pas confondus avec des interactions Pourfaire lrsquoanalyse des reacutesultats reprenons le tableau 63 des contrastes sous forme drsquoundiagramme agrave barres (Figure 61) et faisons en lrsquoanalyse
Appliquons lrsquohypothegravese 2 (Tous les coefficients aliaseacutes dans un contraste faiblesont eux-mecircmes faibles) en admettant qursquoun contraste infeacuterieur agrave 2 est neacutegligeableLe contraste 13 eacutetant eacutegal agrave 025 on le considegravere comme neacutegligeable Par conseacute-quent les coefficients a13 et a24 sont eacutegalement neacutegligeables On tient le mecircmeraisonnement pour le contraste 14 et on en deacuteduit que les coefficients a14 et a23sont proches de zeacutero et donc neacutegligeables De la mecircme faccedilon les coefficients a12 eta34 sont neacutegligeables
69 Conclusion de lrsquoeacutetude
Seuls les sels de calcium de potassium et de sodium faussent les mesures de laconcentration en tellure de lrsquoeau de mer Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre cesmeacutetaux Tout se passe comme si chaque meacutetal eacutetait seul agrave modifier la mesure dutellure dans lrsquoeau de mer
ndash Le magneacutesium ne modifie pas les mesures et on obtient des valeurs correctes dela teneur en tellure
Figure 61 ndash Diagramme agrave barres des coefficients
Effet des meacutetaux sur la teneur en Tellure
20
15
ndash
ndash
ndash
10
ndash5
0
5
10
15
20
Na (1) K (2) Ca (3) Mg (4) 12 + 34 13 + 24 23 + 14
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 113 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
114
69 Conclusion de lrsquoeacutetude6 bull Plans factorielsfractionnaires
ndash Le facteur le plus influent est le calcium La teneur apparente en tellure est plusfaible que la teneur reacuteelle En preacutesence de calcium on obtient des valeurs pardeacutefaut
ndash Le potassium a la mecircme influence que le calcium En preacutesence de potassium onobtient des valeurs par deacutefaut
ndash Quant au sodium il conduit agrave une teneur apparente en tellure supeacuterieure agrave lavaleur reacuteelle Il induit des valeurs trop fortes En preacutesence de sodium on obtientdes valeurs par excegraves
Pour faire des mesures preacutecises on ne peut pas neacutegliger ces interfeacuterences Les selsde calcium et de potassium diminuent les valeurs reacuteelles Au contraire les sels desodium augmentent les valeurs reacuteellesLrsquoeacutetude drsquoorientation qui vient drsquoecirctre faite montre qursquoil faut envisager des correc-tions aux reacutesultats de mesure Il faut entreprendre une eacutetude plus complegravete pourpouvoir donner des directives preacutecises de corrections Il faut alors envisager un ouplusieurs plans permettant de modeacuteliser le pheacutenomegravene Nous verrons que les planscomposites sont alors preacutecieux pour eacutetablir un modegravele du second degreacute (chapitre 9)
Goupy Livre Page 114 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
115
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull EXEMPLES DEPLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES
Dans le chapitre preacuteceacutedent nous avons vu un exemple de plan fractionnaire (leplan Tellure) Nous avons eacutegalement vu plusieurs aspects de la theacuteorie concernantces plans la theacuteorie des aliases le calcul de Box la relation drsquoeacutequivalence leshypothegraveses drsquointerpreacutetation et la construction des plans fractionnaires Lrsquoassimilationde toutes ces notions ne peut pas se faire avec un seul exemple Crsquoest pourquoi lepreacutesent chapitre traite plusieurs exemples de plans fractionnaires Le nombre defacteurs de ces plans ira croissant sans que pour autant le nombre drsquoessais soit tropeacuteleveacute Lrsquointerpreacutetation de ces plans sera conduite en tenant compte drsquoun modegravelepostuleacute de la theacuteorie des aliases et des hypothegraveses drsquointerpreacutetation Mais nousverrons qursquoavec tregraves peu drsquoessais on peut obtenir lrsquoinformation chercheacuteeNous avons vu que sur un plan de base 2k-p on pouvait theacuteoriquement eacutetudierk facteurs dont p avaient pour niveaux drsquoeacutetude les signes des colonnes de certainesinteractions Les signes moins sont utiliseacutes comme niveaux bas et les signes pluscomme niveaux hauts Jusqursquoagrave maintenant nous nrsquoavons utiliseacute qursquoune seule inter-action du plan de base Sur un plan de base 23 il y a 4 interactions on peut donceacutetudier 4 facteurs suppleacutementaires soit 7 facteurs en 8 essais Le plan fraction-naire correspondant est un plan 27-4 Comme toutes les interactions sont utiliseacuteespour eacutetudier des facteurs on dit que le plan est satureacute Est-il vraiment possibledrsquoeacutetudier 7 facteurs en seulement 8 essais Nous allons voir que cela est possible etajoutons que dans la pratique les expeacuterimentateurs reacutealisent souvent de tels plansLa seule condition pour reacuteussir agrave tous les coups est de bien utiliser la theacuteorie desaliases et de bien manier les hypothegraveses drsquointerpreacutetation Il arrive en effet souventque lrsquoon soit obligeacute de poursuivre la premiegravere expeacuterimentation par un plancompleacutementaire bien choisi pour lever les ambiguiumlteacutes qui apparaissent lors delrsquointerpreacutetation du plan initial Mais mecircme si lrsquoon reacutealise un premier plan de 8essais suivi drsquoun plan compleacutementaire eacutegalement de 8 essais on est toujoursgagnant car en deacutefinitive on exeacutecute 16 essais au lieu des 128 drsquoun plan complet 27On retrouve le pari toujours gagnant des plans fractionnaires
Goupy Livre Page 115 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
116
71 Exemple 06 la sulfonation7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
71 Exemple 06 la sulfonation711 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Preacutesentation de lrsquoeacutetude sulfonation drsquoun meacutelange BTX
La sulfonation des composeacutes aromatiques permet drsquoobtenir des composeacutes tensio-actifs qui sont les produits de base des lessives du commerce Les composeacutes aroma-tiques eacutetudieacutes sont le benzegravene le toluegravene et les xylegravenes (meacutelange BTX) sous-produitsdrsquoune exploitation de peacutetrole brut Seuls le toluegravene et les xylegravenes fournissent destensioactifs inteacuteressants Pour obtenir les produits tensioactifs on ajoute de lrsquoacidesulfurique (SO4H2) au meacutelange BTX puis on laisse ces produits en contactpendant un certain temps pour qursquoils reacuteagissent En preacutesence drsquoacide sulfuriqueles trois produits benzegravene toluegravene et xylegravenes se transforment progressivement enacides sulfoniques qui serviront agrave preacuteparer les sulfonates La reacuteaction de sulfonationpeut ecirctre acceacuteleacutereacutee soit par ajout drsquoanhydride sulfurique (SO3) soit par eacuteliminationde lrsquoeau formeacutee soit simultaneacutement par ces deux traitements La reacuteaction chimiquedes BTX avec lrsquoacide sulfurique srsquoappelle la sulfonation et on dit que le meacutelange BTXa eacuteteacute sulfoneacute Les sulfonates formeacutes contiennent les tensioactifs
m Deacutefinition de lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude
On cherche agrave obtenir les sulfonates de toluegravene et de xylegravenes qui permettent depreacuteparer des lessives de bonne qualiteacute En revanche on cherche agrave eacuteviter les sulfonatesde benzegravene qui ne preacutesentent aucun inteacuterecirct On recherche donc les conditionsopeacuteratoires qui permettent de sulfoner le toluegravene et les xylegravenes tout en eacutevitant lasulfonation du benzegraveneLrsquoeacutetude sera reacuteussie si on peut donner des consignes de reacuteglage des facteurs pouratteindre les deux objectifs sulfoner le toluegravene et les xylegravenes ne pas sulfoner lebenzegravene
m Choix de la reacuteponse permettant drsquoatteindre lrsquoobjectif
La reacuteponse choisie est le rapport de sulfonation deacutefini par
On a donc tout inteacuterecirct agrave obtenir une grande valeur de ce rapport
m Recherche des facteurs qui pourraient ecirctre influents sur la reacuteponse
Parmi tous les facteurs pouvant influencer la reacuteaction de sulfonation lrsquoexpeacuterimen-tateur en a retenu six ndash la dureacutee de la mise en contact de lrsquoacide sulfurique avec le meacutelange BTXndash le pourcentage de SO3 dans lrsquoacide sulfuriquendash la tempeacuterature de la reacuteactionndash lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en cours de reacuteactionndash la dureacutee drsquoaddition drsquoacide sulfuriquendash le rapport (acide)(toluegravene + xylegravenes)
ρ (Toluegravene + xylegravenes) sulfoneacutesBenzegravene sulfoneacute
-----------------------------------------------------------------=
Goupy Livre Page 116 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
71 Exemple 06 la sulfonation
117
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Le domaine drsquoeacutetude des six facteurs eacutetudieacutes au cours du plan drsquoexpeacuteriences estpreacuteciseacute dans le tableau 71
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Si lrsquoexpeacuterimentateur avait deacutecideacute de faire un plan complet pour des facteurs neprenant que deux niveaux il aurait ducirc reacutealiser 64 essais Ce qui est consideacuterable Ila donc eacuteteacute deacutecideacute de reacuteduire le nombre drsquoessais et de faire un plan factoriel frac-tionnaire Les facteurs auront toujours deux niveaux drsquoeacutetude Le budget de lrsquoexpeacute-rimentateur autorise une eacutetude de 16 essais soit quatre fois moins drsquoessais que leplan complet Avec un plan fractionnaire 26ndash2 de 16 essais il est tout agrave fait possibledrsquoeacutetudier 6 facteurs avec leurs interactions drsquoordre 2
m Construction du plan drsquoexpeacuteriences
Le plan de base est un plan 24 Lrsquoexpeacuterimentateur choisit drsquoaliaser le facteur 5 surlrsquointeraction 124 et le facteur 6 sur lrsquointeraction 234 Crsquoest-agrave-dire que les niveauxdrsquoeacutetude du facteur 5 seront analogues aux signes de lrsquointeraction 124 De mecircme lesniveaux drsquoeacutetude du facteur 6 seront analogues aux signes de lrsquointeraction 234 Onpeut eacutecrire en notation de Box
5 = 1246 = 234
On eacutecrit les 4 colonnes drsquoun plan 24 et on calcule les signes des interactions 124 et234 en utilisant la regravegle des signes (Tableau 72)
712 Expeacuterimentation
Voir tableau 72 page suivante
Tableau 71 ndash Facteurs retenus et domaine drsquoeacutetude
Facteurs Niveau minus1 Niveau +1
Dureacutee de la reacuteaction (1) 5 h 9 h
SO3 dans SO4H2 (2) 0 10
Tempeacuterature de la reacuteaction (3) 95 ˚C 110 ˚C
Eacutelimination de lrsquoeau (4) sans avec
Dureacutee de lrsquoaddition drsquoacide (5) 10 min 30 min
Rapport (acidetoluegravene +xylegravenes) (6) 08 12
Goupy Livre Page 117 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
118
71 Exemple 06 la sulfonation7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Tableau 72 ndash Essais et reacuteponses du plan drsquoexpeacuteriences sur la sulfonation
Essai n˚Dureacutee
1SO3
2Tempeacuterature
3Eau
4Acide
5 = 124Rapport6 = 234
Reacuteponse
1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1176
2 +1 minus1 minus1 minus1 +1 minus1 1255
3 minus1 +1 minus1 minus1 +1 +1 789
4 +1 +1 minus1 minus1 minus1 +1 820
5 minus1 minus1 +1 minus1 minus1 +1 1235
6 +1 minus1 + 1 minus1 +1 +1 1398
7 minus1 +1 +1 minus1 +1 minus1 725
8 +1 +1 +1 minus1 minus1 minus1 1010
9 minus1 minus1 minus1 +1 +1 +1 1306
10 +1 minus1 minus1 +1 minus1 +1 1340
11 minus1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 1210
12 +1 +1 minus1 +1 +1 minus1 891
13 minus1 minus1 +1 +1 +1 minus1 1365
14 +1 minus1 +1 + 1 minus1 minus1 1610
15 minus1 +1 +1 +1 minus1 +1 1109
16 +1 +1 +1 +1 +1 +1 986
minus1 5 0 95 Sans eacutelim 10 08
+1 9 10 110 Avec eacutelim 30 12
Goupy Livre Page 118 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
71 Exemple 06 la sulfonation
119
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
713 Interpreacutetation des reacutesultats des calculs
Pour interpreacuteter les reacutesultats drsquoun plan fractionnaire il est bon de connaicirctre la maniegraveredont les coefficients sont aliaseacutes dans les contrastes Le plus souvent il ne srsquoagit quedes interactions drsquoordre 2 car lrsquohypothegravese drsquointerpreacutetation 1 a fait disparaicirctre les inter-actions drsquoordre 3
m Modegravele matheacutematique
On adopte un modegravele comprenant le coefficient constant les coefficients des facteursprincipaux et les coefficients des interactions drsquoordre 2
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a12x1x2 + a13x1x3 + hellip + a56x5x6 71
On a donc un systegraveme de 16 eacutequations pour trouver 22 inconnues On sait qursquoil ya des confusions entre les interactions drsquoordre 2 et le calcul de Box nous a indiqueacutecomment ces interactions se regroupaient dans les aliases
m Confusions
Nous avons deacutejagrave eacutecrit
5 = 124 6 = 234
drsquoougrave
I = 1245 I = 2346
Si on multiplie 1245 par 2346 on obtient 1356 qui est aussi eacutegal agrave I On obtientainsi le groupe des geacuteneacuterateurs drsquoaliases
I = 1245 = 2346 = 1356
Ce groupe montre que les effets des facteurs principaux sont aliaseacutes avec des inte-ractions drsquoordre 3 Si lrsquohypothegravese 1 est respecteacutee on obtiendra directement lrsquoeffet desfacteurs principaux Les interactions drsquoordre 2 seront aliaseacutees entre elles Onobtient les contrastes en multipliant le geacuteneacuterateur drsquoaliases par 12 13hellip et enappliquant la relation drsquoeacutequivalence Les 15 interactions drsquoordre 2 se regroupentdans les 7 contrastes suivants
12 = 45 = a12 + a45
13 = 56 = a13 + a56
14 = 25 = a14 + a25
15 = 24 = 36 = a15 + a24 + a36
16 = 35 = a16 + a35
23 = 46 = a23 + a46
26 = 34 = a26 + a34
Goupy Livre Page 119 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
120
71 Exemple 06 la sulfonation7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Valeur des effets
Le tableau 73 indique les reacutesultats du calcul des effets et des aliases Le diagrammeagrave barres de la figure 71 illustre ce tableau
Tableau 73 ndash Effets et aliases (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
Constante 1139
Dureacutee de la reacuteaction (1) 025
SO3 dans SO4H2 (2) minus196
Tempeacuterature de la reacuteaction (3) 041
Eacutelimination de lrsquoeau (4) 088
Dureacutee de lrsquoaddition drsquoacide (5) minus049
Rapport acidetoluegravene +xylegravenes (6) minus016
12 = a12 + a45 minus040
13 = a13 + a56 046
14 = a14 + a25 minus045
15 = a15 + a24 + a36 018
16 = a16 + a35 minus011
23 = a23 + a46 minus026
26 = a26 + a34 minus0003
Figure 71 ndash Diagramme agrave barres des coefficients du modegravele Sulfonation
Rapport de sulfonation
25
15
ndash
ndash
ndash
05
05
15
25
1 2 3 4 5 6
12 +
45
13 +
56
14 +
24
+ 36
16 +
35
23 +
46
26 +
34
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 120 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
71 Exemple 06 la sulfonation
121
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Comment distinguer les facteurs influents
Deux facteurs lrsquoanhydride sulfurique (facteur 2) et lrsquoeacutelimination de lrsquoeau (facteur 4)sont plus eacuteleveacutes que les autres Ce sont donc eux qui vont ecirctre les plus efficacespour approcher ou atteindre lrsquoobjectif Mais y a-t-il drsquoautres facteurs influents Savoir ougrave mettre la limite entre les facteurs influents et les non influents est unequestion deacutelicate qui a eacuteteacute traiteacutee lorsqursquoon possegravede une eacutevaluation de lrsquoerreurexpeacuterimentale (chapitre 5) Comme on limite le nombre drsquoessais lors de lrsquoexeacutecu-tion drsquoun plan fractionnaire on ne possegravede pas toujours cette valeur Lrsquoanalyse dela variance apporte un deacutebut de reacuteponse mais il ne faut pas oublier que les reacutesiduslorsqursquoil y en a sont constitueacutes des interactions qui nrsquoont pas eacuteteacute calculeacutees Enfonction du modegravele postuleacute choisi on peut obtenir une RMSE (racine carreacutee du carreacutemoyen des reacutesidus) plus ou moins eacuteleveacutee Lrsquoanalyse de la variance est une reacuteponsepartielle au problegraveme poseacute Il reste deux outils permettant de se faire une ideacutee delrsquoimportance relative des coefficients Ce sont le diagramme de Pareto et lediagramme de Daniel qui vont nous aider agrave prendre une deacutecision raisonnable Cesoutils aident lrsquoexpeacuterimentateur agrave fixer une limite entre les facteurs influents etpeut-ecirctre faiblement influents Dans cette situation on peut tenir plusieurs typesde raisonnement qui se complegravetent les uns les autres sans apporter chacun unereacuteponse deacutefinitiveUn premier raisonnement consiste agrave dire que tous les effets infeacuterieurs agrave unecertaine valeur ne sont pas assez eacuteleveacutes pour modifier la reacuteponse de maniegravere inteacute-ressante Par exemple le responsable dira qursquoune variation du rapport (acidetoluegravene + xylegravenes) infeacuterieure agrave 05 ne lrsquointeacuteresse pas Dans ce cas il nrsquoy a quedeux facteurs influents Si le responsable deacutecide de mettre la limite agrave 025 il y aura4 facteurs influentsLa seconde meacutethode consiste agrave utiliser le diagramme de Pareto (Figure 72) onordonne les valeurs absolues des coefficients par ordre deacutecroissant On a donc unevue drsquoensemble de tous les coefficients Cela facilite le choix de la limite entre lesdeux populations on conserve les coefficients qui sont au-dessus drsquoune certainevaleur et on eacutelimine ceux qui sont au-dessous Il nrsquoy a pas une grande diffeacuterence defond entre ces deux premiers raisonnements agrave part que le second srsquoappuie sur undiagramme et qursquoil facilite les comparaisonsUne troisiegraveme meacutethode vient en appui des deux raisonnements preacuteceacutedents Onutilise un diagramme de Daniel les coefficients de faibles valeurs suivent unedistribution normale ils sont assimileacutes aux erreurs expeacuterimentales et ils srsquoalignentsur la droite de Henry Les coefficients de valeur eacuteleveacutee ne suivent pas une distri-bution normale et ils ne srsquoalignent pas sur la droite de Henry preacuteceacutedente Ondistingue donc deux populations les erreurs expeacuterimentales et les effets agrave prendreen compte (Figure 73) Avec le diagramme de Daniel lrsquoarbitraire de la deacutecisionest consideacuterablement diminueacuteSi on en a la possibiliteacute il faut aussi employer les autres techniques statistiques quiaident agrave prendre la bonne deacutecision Par exemple si lrsquoexpeacuterimentateur a fait desreacutepeacutetitions il a une estimation de lrsquoerreur expeacuterimentale et il peut utiliser cettedonneacutee pour obtenir la limite entre les facteurs significatifs et ceux qui ne le sont pasIl peut choisir pour limite comme il est souvent fait deux ou trois fois lrsquoeacutecart-type
Goupy Livre Page 121 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
122
71 Exemple 06 la sulfonation7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Figure 72 ndash Diagramme de Pareto des effets de lrsquoexemple sur la sulfonation
Figure 73 ndash Diagramme de Daniel permettant de distinguer les effets importants
Diagramme de Pareto Sulfonation
0 05 1 15 2 25
2
4
5
13 +56
14+25
3
12+35
23+46
1
15+24+36
6
16+35
26+34
No
m d
es c
oef
fici
ents
Valeur des coefficients
Diagramme de Daniel - Sulfonation
-2
-15
-1
-05
0
05
1
15
2
ndash ndash ndash ndash ndash25 2 15 1 05 0 05 1 15
Effet
No
rmit
2
4
Droite de Henry
Goupy Livre Page 122 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
71 Exemple 06 la sulfonation
123
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
La deacutecision est baseacutee sur lrsquoerreur de mesure et la connaissance des enjeux qui permetde deacutefinir le nombre drsquoeacutecarts-types agrave prendre en compteQuel que soit le raisonnement que vous utiliserez il est toujours bon drsquoexaminerle diagramme de Pareto et le diagramme de Daniel Ils vous aident agrave prendre vosdeacutecisionsLrsquoexamen des diagrammes de Pareto et de Daniel montre qursquoil faut retenir unfacteur influent la concentration drsquoanhydre sulfurique dans lrsquoacide sulfurique (2)Cet examen montre eacutegalement que lrsquoeacutelimination de lrsquoeau (4) est peu influente Ladeacutecision de le conserver ou de lrsquoeacuteliminer ne peut pas ecirctre baseacutee sur une statistiqueIci crsquoest un raisonnement chimique qui doit guider lrsquoexpeacuterimentateur Eacutetant donneacuteque lrsquoeacutelimination de lrsquoeau modifie la concentration en acide sulfurique il est chimique-ment normal de consideacuterer le facteur 4 comme leacutegegraverement influent et de le conserverLes autres facteurs et les autres interactions sont tregraves faibles et de peu drsquointeacuterecirctpour reacutesoudre le problegravemeDans un choix il y a toujours une part drsquoarbitraire mais dans le cas des plansdrsquoexpeacuteriences ce choix nrsquoest jamais deacutefinitif et il peut ecirctre modifieacute pour donnerlieu agrave une nouvelle analyse
714 Conclusion de lrsquoeacutetude
Lrsquoimportance relative des contrastes est indiqueacutee par le diagramme agrave barres (Fi-gure 71) le diagramme de Pareto (Figure 72) et le diagramme de Daniel (Figure 73)Les contrastes 12 13 14 15 16 23 et 26 sont faibles Drsquoapregraves lrsquohypothegravese 2tous les coefficients aliaseacutes dans ces contrastes sont nuls Il nrsquoy a donc pas drsquointer-action drsquoordre 2 entre les facteursIl ne reste que deux facteurs influents (Figure 74) la quantiteacute drsquoanhydride sulfu-rique preacutesente dans lrsquoacide sulfurique (facteur 2) et lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en coursde reacuteaction (facteur 4)
La quantiteacute drsquoanhydride sulfurique (SO3) preacutesente dans lrsquoacide sulfurique ayantun effet neacutegatif la reacuteponse sera eacuteleveacutee si lrsquoon choisit le niveau bas crsquoest-agrave-dire dene pas mettre de SO3 dans lrsquoacide sulfurique
Figure 74 ndash Effets des deux facteurs influents
161
1139
725
Rap
po
rt d
e su
lfo
nat
ion
Anhydride sulfurique (2)
ndash1 0 +1 ndash 1 0 +1
Eacutelimination de lrsquoeau (4)
Goupy Livre Page 123 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
124
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Lrsquoeacutelimination de lrsquoeau en cours de reacuteaction ayant un effet positif la reacuteponse seraeacuteleveacutee si lrsquoon choisit le niveau haut crsquoest-agrave-dire si on eacutelimine lrsquoeau en cours de reacuteactionCet effet est peu eacuteleveacute et pourrait ecirctre ignoreacute si lrsquoon se reacutefeacuterait simplement auxstatistiques Mais drsquoun point de vue chimique lrsquoeacutelimination de lrsquoeau augmente laconcentration en acide sulfurique et deacuteplace ainsi la reacuteaction vers la formationdrsquoacides sulfoniques On ne peut pas neacutegliger lrsquoinfluence de ce facteurLa sulfonation du benzegravene en preacutesence de toluegravene et de xylegravenes est donc minimiseacuteesi lrsquoon opegravere en milieu acide sulfurique concentreacute (mais sans anhydride sulfurique)en eacuteliminant lrsquoeau en cours de reacuteaction
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre721 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Le benzopyregravene est un produit catalogueacute comme canceacuterigegravene Sa teneur dans leshuiles lubrifiantes doit ecirctre infeacuterieure agrave des quantiteacutes infiniteacutesimales Son analyseest donc deacutelicate et neacutecessite des moyens importants Les speacutecialistes chargeacutes demettre au point la meacutethode de dosage ont choisi la spectrofluorimeacutetrie La figure 75preacutesente le scheacutema de lrsquoappareil un faisceau lumineux issu drsquoune lampe agrave xeacutenontombe sur un premier monochromateur La lumiegravere est diffracteacutee Une lumiegravere delongueur drsquoonde bien deacutefinie ressort du monochromateur en passant par unefente la fente drsquoexcitation Ce rayon tombe sur lrsquoeacutechantillon qui en absorbe unepartie et reacuteeacutemet dans toutes les directions une lumiegravere de fluorescence Cettelumiegravere doit ecirctre analyseacutee Elle passe donc dans un deuxiegraveme monochromateurqui la reacutesout en diffeacuterentes longueurs drsquoonde Puis elle ressort en passant agrave traversune fente la fente drsquoeacutemission et elle est deacutetecteacutee par un photomultiplicateurEnfin le spectre correspondant est enregistreacute par un appareil muni drsquoun photo-multiplicateur La longueur drsquoonde drsquoun des pics du spectre est caracteacuteristique dubenzopyregravene Ce pic est situeacute agrave 481 nm et sa hauteur est proportionnelle agrave laconcentration du benzopyregravene Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est drsquoobtenir un spectre debonne qualiteacute permettant de faire un dosage quantitatif du benzopyregravene Pour celail faut que la hauteur du pic agrave 481 nm soit la plus eacuteleveacutee possible il faut aussi quele petit pic situeacute agrave 489 nm soit bien deacutetacheacute du pic agrave 481 nm (Figure 75) Enfinle bruit de fond ne doit pas cacher le pic du benzopyregravene agrave 481 nm quand lateneur est faible et que ce pic est petitUn tel appareil neacutecessite des reacuteglages tregraves fins pour que la concentration enbenzopyregravene soit deacutetermineacutee avec fiabiliteacute et preacutecision
m Reacuteponses
Les expeacuterimentateurs ont deacutefini trois reacuteponses (Figure 76) ndash la sensibiliteacute (A) eacutevalueacutee par la hauteur du pic situeacute agrave 481 nm ndash le bruit de fond (B) eacutevalueacute par la distance entre lrsquoenveloppe infeacuterieure et lrsquoenve-
loppe supeacuterieure de la courbe drsquoenregistrement aux basses longueurs drsquoonde ndash la seacutelectiviteacute (C) eacutevalueacutee par la largeur agrave mi-hauteur du pic agrave 481 nm
Goupy Livre Page 124 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
125
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Les reacuteponses A et B sont exprimeacutees en densiteacute optique
m Objectif de lrsquoeacutetude
Les cibles viseacutees pour chacune des reacuteponses sont les suivantes
ndash Sensibiliteacute la hauteur du pic agrave 481 nm doit ecirctre la plus eacuteleveacutee possiblendash Seacutelectiviteacute la largeur agrave mi-hauteur du pic agrave 481 nm doit ecirctre la plus faible possiblendash Bruit de fond la distance entre les enveloppes infeacuterieure et supeacuterieure doit ecirctre
la plus faible possible
Figure 75 ndash Scheacutema drsquoun spectrofluorimegravetre
Figure 76 ndash Deacutefinition des reacuteponses sur le spectre drsquoenregistrement sensibiliteacute (A) bruit de fond (B) et seacutelectiviteacute (C)
MonochromateurMonochromateur
Eacutechantillon
Lampe au Xeacutenon
drsquoeacutemission drsquoexcitation
Fentedrsquoexcitation
Fentedrsquoeacutemission
Photomultiplicateur
Enregistreur
481 489 Longueur donde (nm)
B
C
A
Goupy Livre Page 125 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
126
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Drsquoapregraves les experts en spectrofluorimeacutetrie sept facteurs peuvent modifier les reacuteponseschoisies ndash Facteur 1 largeur de la fente drsquoexcitationndash Facteur 2 largeur de la fente drsquoeacutemissionndash Facteur 3 tempeacuterature de lrsquoeacutechantillonndash Facteur 4 vitesse de balayagendash Facteur 5 gain de lrsquoappareilndash Facteur 6 tension du photomultiplicateurndash Facteur 7 amortissement de la plume drsquoenregistrementLe domaine drsquoeacutetude est un espace agrave 7 dimensions deacutefini par les niveaux bas et hautde chacun des facteurs (Tableau 74)
m Modeacutelisation matheacutematique
On cherche les facteurs influents et leurs sens de variation ainsi que les interactionsdrsquoordre 2Le modegravele matheacutematique choisi a priori est un modegravele polynomial classique dupremier degreacute avec les interactions drsquoordre 2 Ce modegravele matheacutematique comporte29 coefficients
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Avec 8 expeacuteriences on peut deacuteterminer 8 inconnues crsquoest-agrave-dire 8 contrastesPour gagner notre pari il faut que pour chaque reacuteponse on puisse deacuteterminersans ambiguiumlteacutes les coefficients importants Si ce nrsquoest pas le cas on risque drsquoavoirun plan compleacutementaire agrave effectuerOn aliase le premier facteur suppleacutementaire le facteur 4 sur lrsquointeraction 123 duplan de base 23 On peut eacutecrire en notation de Box
4 = 123
Tableau 74 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteurs Niveau ndash1 Niveau +1
Fente drsquoexcitation (1) 25 nm 75 nm
Fente drsquoeacutemission (2) 25 nm 75 nm
Tempeacuterature (3) 20 ˚C 40 ˚C
Vitesse balayage (4) 20 100
Gain (5) 1 10
Tension (6) 310 V 460 V
Amortissement (7) 2 4
Goupy Livre Page 126 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
127
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Puis on aliase les facteurs suivants ainsi
5 = 12
6 = 23
7 = 13
On en deacuteduit les 4 geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants
I = 1234 = 125 = 236 = 137
Lrsquoexpeacuterimentateur ne preacutevoit pas de point de controcircle car il sait qursquoil ne proceacutederaagrave aucune modeacutelisation pour faire des preacutevisions
m Construction du plan
Pour construire le plan 27-4 il suffit de prendre le plan de base 23 (Tableau 69 duchapitre 6) et drsquoattribuer les facteurs suppleacutementaires aux interactions
m Confusions
Les quatre geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants I = 1234 = 125 = 236 = 137permettent de calculer les geacuteneacuterateurs drsquoaliases deacutependants on multiplie au sensdu calcul de Box les geacuteneacuterateurs drsquoaliases indeacutependants deux par deux trois partrois et quatre par quatre On obtient
1234 times 125 = 345 1234 times 236 = 146 1234 times 137 = 247
125 times 236 = 12356 125 times 137 = 2357 236 times 137 = 1267
1234 times 125 times 236 = 2456 1234 times 125 times 137 = 1457
1234 times 236 times 137 = 3467
125 times 236 times 137 = 567
1234 times 125 times 236 times 137 = 1234567
Tableau 75 ndash Plan fractionnaire 27-4
Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13
1 ndash ndash ndash ndash + + +
2 + ndash ndash + ndash + ndash
3 ndash + ndash + ndash ndash +
4 + + ndash ndash + ndash ndash
5 ndash ndash + + + ndash ndash
6 + ndash + ndash ndash ndash +
7 ndash + + ndash ndash + ndash
8 + + + + + + +
Goupy Livre Page 127 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
128
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Soit le geacuteneacuterateur complet qui comprend 16 termes
I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 12356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 3467 = 567 = 1234567
Pour obtenir les coefficients aliaseacutes dans le contraste 1 on multiplie les geacuteneacutera-teurs drsquoaliases par 1 Les geacuteneacuterateurs perdent un chiffre srsquoils possegravedent un 1 ouaugmentent drsquoun chiffre srsquoils ne possegravedent pas de 1 Comme nous avons supposeacuteque les interactions drsquoordre 3 eacutetaient neacutegligeables nous pouvons eacuteliminer du geacuteneacute-rateur complet les geacuteneacuterateurs de plus de 4 chiffres Drsquoougrave le geacuteneacuterateur completsimplifieacute
I = 234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 567
Ce geacuteneacuterateur complet simplifieacute permet de savoir comment sont aliaseacutes les effetsprincipaux et les interactions drsquoordre 2 pour ce plan fractionnaire
1 = a1 + a25 + a37 + a46
2 = a2 + a15 + a36 + a47
3 = a3 + a17 + a26 + a45
4 = a4 + a16 + a27 + a35
5 = a5 + a12 + a34 + a67
6 = a6 + a14 + a23 + a57
7 = a7 + a13 + a24 + a56
722 Reacutealisation des essais
Les essais sont reacutealiseacutes en accord avec le plan drsquoexpeacuteriences et les reacutesultats sontnoteacutes dans le tableau 76
Tableau 76 ndash Reacuteponses du plan initial
Essai n˚ Sensibiliteacute Seacutelectiviteacute Bruit de fond
1 122 55 minus147
2 09 9 minus147
3 533 20 23
4 564 12 minus069
5 389 75 069
6 388 8 04
7 282 13 026
8 233 23 minus391
Goupy Livre Page 128 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
129
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
723 Interpreacutetation des reacutesultats du plan initial
m Preacuteparation des calculs
Un examen montre qursquoil nrsquoy a pas de correacutelations marqueacutees entre les trois reacuteponsesOn va donc les analyser les unes apregraves les autres On preacutepare les calculs en choisis-sant un modegravele contenant les facteurs principaux et les interactions drsquoordre 2Examinons drsquoabord la sensibiliteacute
m Reacuteponse Sensibiliteacute
On sait que les valeurs indiqueacutees sont celles des contrastes (Tableau 77 et Figure 77)Lrsquointerpreacutetation se fait donc en regardant la structure des aliases et en appliquantles regravegles drsquointerpreacutetation
Deux contrastes sont forts 2 et 6
Il faut se meacutefier de lrsquointeraction 26 (hypothegravese 3) Lrsquointeraction 26 est aliaseacutee aveclrsquoeffet du facteur 3 lrsquointeraction 17 et lrsquointeraction 45 dans le contraste 3 Lecontraste 3 est pratiquement nul Drsquoapregraves lrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de cecontraste sont nuls Lrsquointeraction 26 peut donc ecirctre neacutegligeacutee
Srsquoil nrsquoy avait que la reacuteponse Sensibiliteacute lrsquoeacutetude serait termineacutee et lrsquoon saurait qursquoilnrsquoy a que deux facteurs influents la fente drsquoeacutemission (facteur 2) et la tension duphotomultiplicateur (facteur 6) On peut veacuterifier cette conclusion en choisissantun modegravele avec ces deux facteurs et leur interaction Ce modegravele possegravede un coeffi-cient de deacutetermination de 099 Le diagramme des effets indique que les niveauxqui favorisent une forte sensibiliteacute sont le niveau haut pour le facteur 2 et le niveaubas pour le facteur 6 (Figure 78)
Tableau 77 ndash Coefficients du modegravele Sensibiliteacute (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
0 (constante) 325
1 minus006
2 078
3 minus002
4 minus014
5 0018
6 minus143
7 minus006
Goupy Livre Page 129 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
130
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Reacuteponse Bruit de fond
On megravene les calculs de la mecircme maniegravere que pour la sensibiliteacute crsquoest-agrave-dire quelrsquoon considegravere un modegravele avec toutes les interactions drsquoordre 2 La structure desaliases est la mecircme que pour la sensibiliteacute Lrsquoanalyse des reacutesultats se conduit de lamecircme maniegravere
ndash Trois contrastes sont forts 1 5 et 6 (Tableau 78 et Figure 79)ndash Il faut donc se meacutefier des interactions 15 16 et 56 (hypothegravese 3)ndash Lrsquointeraction 15 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 2 lrsquointeraction 36 et lrsquointer-
action 47 dans le contraste 2 Le contraste 2 est pratiquement nul Drsquoapregraves
Figure 77 ndash Diagramme agrave barres des aliases (sensibiliteacute)
Figure 78 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur la sensibiliteacute
Les aliases de la Sensibiliteacute
ndash2
15
ndash1
ndash
ndash
05
0
05
1
15
2
1+25
+37+
46
2+15
+36+
47
3+17
+26+
45
4+16
+27+
35
5+12
+34+
67
6+14
+23+
57
7+13
+24+
56
Nom des aliases
Val
eur
des
alia
ses
564
325
09
Sen
sib
iliteacute
Fente deacutemission (2)
ndash 1 0 +1 ndash 1 0 +1
Tension photomutiplicateur (6)
Goupy Livre Page 130 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
131
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
lrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 15peut donc ecirctre neacutegligeacutee
ndash Lrsquointeraction 16 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 4 lrsquointeraction 27 et lrsquointerac-tion 35 dans le contraste 4 Le contraste 4 est pratiquement nul Drsquoapregraveslrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 16peut donc ecirctre neacutegligeacutee
ndash Lrsquointeraction 56 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 7 lrsquointeraction 13 et lrsquointer-action 24 dans le contraste 7 Le contraste 7 est pratiquement nul Drsquoapregraveslrsquohypothegravese 2 tous les coefficients de ce contraste sont nuls Lrsquointeraction 56peut donc ecirctre neacutegligeacutee
Tableau 78 ndash Coefficients du modegravele Bruit de fond (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
0 (constante) minus0486
1 minus0931
2 minus0024
3 minus0154
4 minus0111
5 minus0858
6 minus1161
7 minus0183
Figure 79 ndash Diagramme agrave barres des aliases (bruit de fond)
Les aliases du Bruit de fond
ndash
ndash
ndash
ndash
2
15
1
05
0
05
1
15
2
1+25+37+46
2+15+36+47
3+17+26+45
4+16+27+35
5+12+34+67
6+14+23+57
7+13+24+56
Nom des aliases
Val
eur
des
alia
ses
Goupy Livre Page 131 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
132
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Le bruit de fond est influenceacute par la fente drsquoexcitation (facteur 1) par le gain delrsquoappareil (facteur 5) et par la tension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy apas drsquointeractions entre ces facteursOn peut veacuterifier cette conclusion en choisissant un modegravele avec ces trois facteurset leurs interactions Le modegravele a un coefficient de deacutetermination de 099 Lesniveaux bas des trois facteurs Fente drsquoexcitation (1) Gain de lrsquoappareil (5) etTension du photomultiplicateur (6) favorisent un faible bruit de fond (Figure 710)
Srsquoil nrsquoy avait que les deux reacuteponses Sensibiliteacute et Bruit de fond lrsquoeacutetude seraittermineacutee et lrsquoon saurait qursquoil y a
ndash deux facteurs influents sur la sensibiliteacute la fente drsquoeacutemission (facteur 2) et latension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre cesdeux facteurs
ndash trois facteurs influents sur le bruit de fond la fente drsquoexcitation (facteur 1) legain de lrsquoappareil (facteur 5) et la tension du photomultiplicateur (facteur 6)Il nrsquoy a pas drsquointeraction entre ces trois facteurs
m Reacuteponse Seacutelectiviteacute
Les calculs sont meneacutes de la mecircme maniegravere que pour la sensibiliteacute et le bruit defond crsquoest-agrave-dire que lrsquoon prend un modegravele avec toutes les interactions drsquoordre 2La structure des aliases est donc la mecircme que pour la sensibiliteacute et le bruit de fondLrsquoanalyse des reacutesultats se conduit de la mecircme maniegravere
ndash Trois contrastes sont forts 2 4 et 7 (Tableau 79 et Figure 711)ndash Il faut donc se meacutefier des interactions 24 27 et 47 (hypothegravese 3)ndash Lrsquointeraction 24 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 7 lrsquointeraction 13 et lrsquointer-
action 56 dans le contraste 7 Le contraste 7 nrsquoest pas faible et par conseacutequenton ne peut pas appliquer lrsquohypothegravese 2 On ne peut pas savoir si le contraste 7est fort agrave cause de lrsquoeffet du facteur 7 ou de lrsquointeraction 24 Il y a ambiguiumlteacute
ndash Lrsquointeraction 27 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 4 lrsquointeraction 16 et lrsquointer-action 35 dans le contraste 4 Le contraste 4 ne peut pas ecirctre neacutegligeacute et donc
Figure 710 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur le bruit de fond
23
ndash 048
ndash 391
Bru
it d
e fo
nd
Fente drsquoexcitation (1)
1 0 +1 ndash ndashndash 1 0 +1
Gain (5)
Tension photomultiplicateur (6)
1 0 +1
Goupy Livre Page 132 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
133
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
lrsquohypothegravese 2 ne srsquoapplique pas On ne peut pas savoir si le contraste 4 est fortagrave cause de lrsquoeffet du facteur 4 ou de lrsquointeraction 27 Il y a ambiguiumlteacute
ndash Lrsquointeraction 47 est aliaseacutee avec lrsquoeffet du facteur 2 lrsquointeraction 15 et lrsquointer-action 36 dans le contraste 2 Le contraste 2 ne peut pas ecirctre neacutegligeacute et donclrsquohypothegravese 2 ne srsquoapplique pas On ne peut pas savoir si le contraste 2 est fortagrave cause de lrsquoeffet du facteur 2 ou de lrsquointeraction 47 Il y a ambiguiumlteacute
La reacuteponse Seacutelectiviteacute nous oblige agrave envisager un plan compleacutementaire pourdeacutesaliaser
ndash lrsquoeffet du facteur 2 (fente drsquoeacutemission) de lrsquointeraction 47 ndash lrsquoeffet du facteur 4 (vitesse balayage) de lrsquointeraction 27 ndash lrsquoeffet du facteur 7 (amortissement) de lrsquointeraction 24
Tableau 79 ndash Coefficients du modegravele Seacutelectiviteacute (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
0 (constante) 1225
1 075
2 475
3 0625
4 2625
5 minus025
6 0375
7 1875
Figure 711 ndash Diagramme agrave barres des aliases (seacutelectiviteacute)
Les aliases de la Seacutelectiviteacute
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1+25+37+46
2+15+36+47
3+17+26+45
4+16+27+35
5+12+34+67
6+14+23+57
7+13+24+56
Nom des aliases
Val
eur
des
alia
ses
Goupy Livre Page 133 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
134
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Bilan provisoire des reacutesultats acquis
Avant drsquoattaquer le plan compleacutementaire on peut faire le point sur les renseigne-ments deacutejagrave acquis Dans le tableau 710 on indique les niveaux qui sont favorablesaux objectifs qui ont eacuteteacute deacutefinis
On constate que ndash Le facteur 1 nrsquoagit que sur le bruit de fondndash Le facteur 2 agit sur la sensibiliteacute et peut-ecirctre sur la seacutelectiviteacutendash Le facteur 3 nrsquoa aucune influence sur les reacuteponsesndash Si le facteur 4 agit crsquoest uniquement sur la seacutelectiviteacutendash Le facteur 5 nrsquoagit que sur le bruit de fondndash Le facteur 6 agit sur la sensibiliteacute et sur le bruit de fond Les niveaux de reacuteglage
sont incompatibles Cela nrsquoest pas pour surprendre car si les reacuteglages augmentent(ou diminuent) la densiteacute optique ils augmenteront (ou diminueront) aussibien le pic agrave 481 nm que le bruit de fond
ndash Si le facteur 7 agit crsquoest uniquement sur la seacutelectiviteacute
724 Eacuteleacutements pour construire le plan compleacutementaire
Le plan compleacutementaire doit permettre drsquoobtenir lrsquoeffet du facteur 2 sans les inter-actions 15 36 et 47 crsquoest-agrave-dire qursquoil faut trouver le plan ayant comme contraste
cent2 = a2 ndash a15 ndash a36 ndash a47
Ce contraste correspond aux confusions 2 = minus15 = minus36 = minus47
En multipliant par 2 on obtient trois geacuteneacuterateurs du plan chercheacute I = minus125 = minus236 = minus247
Comme il faut quatre geacuteneacuterateurs on reprend I = 1234
Tableau 710 ndash Niveaux favorables des facteurs influents sur les reacuteponses
Facteurs Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute
Fente drsquoexcitation (1) +
Fente drsquoeacutemission (2) +
Tempeacuterature (3)
Vitesse balayage (4)
Gain (5) +
Tension (6) ndash +
Amortissement (7)
Goupy Livre Page 134 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
135
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Pour associer le geacuteneacuterateur minus247 avec une interaction du plan de base on peutremplacer 4 par 123
minus247 = minus21237 = minus137Drsquoougrave les quatre geacuteneacuterateurs indeacutependants du plan compleacutementaire
I = minus125 = minus236 = minus137 = 1234On en deacuteduit les colonnes de signes du plan compleacutementaire On applique lecalcul de Box en multipliant les geacuteneacuterateurs indeacutependants par 4 5 6 et 7
4 = 1235 = minus126 = minus237 = minus13
Il faut donc changer les signes des colonnes des facteurs 5 6 et 7Veacuterifions que ce choix deacutesaliase bien lrsquoeffet du facteur 2 de lrsquointeraction 47 Leplan initial fournit un contraste 2 dont la structure est
2 = a2 + a15 + a36 + a47
Le plan compleacutementaire fournit un contraste cent2 dont la structure est cent2 = a2 ndash a15 ndash a36 ndash a47
Lrsquoanalyse des deux plans donnera la somme et la diffeacuterence de ces deux contrastes on obtiendra drsquoune part lrsquoeffet du facteur 2 seul drsquoautre part la somme des troisinteractions
Lrsquoeffet du facteur 2 est bien deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 47Ce qui est vrai pour le facteur 2 est vrai pour les autres facteurs drsquoune maniegraveregeacuteneacuterale les effets des facteurs seront deacutesaliaseacutes des interactions drsquoordre 2 et celles-ciresteront aliaseacutees entre elles
m Construction du plan compleacutementaire
Pour construire le plan compleacutementaire on change simplement les signes des inter-actions 12 13 et 23
Tableau 711 ndash Plan fractionnaire compleacutementaire 27-4
Essai n˚ 1 2 3 4 = 123 5 = ndash12 6 = ndash23 7 = ndash13
9 ndash ndash ndash ndash ndash ndash ndash
10 + ndash ndash + + ndash +
11 ndash + ndash + + + ndash
12 + + ndash ndash ndash + +
13 ndash ndash + + ndash + +
14 + ndash + ndash + + ndash
15 ndash + + ndash + ndash +
16 + + + + ndash ndash ndash
l2 prime2+
2----------------- a2=2 + cent2 l2 prime2+
2----------------- a15 a36 a47+ +=2 ndash cent2
Goupy Livre Page 135 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
136
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
On exeacutecute ces 8 nouveaux essais et on mesure les 3 reacuteponses
m Confusions (plan initial et plan compleacutementaire)
On possegravede maintenant un plan 27-3 de 16 essais dont le geacuteneacuterateur indeacutependantest
I = 1234 = 3467 = 1356 = 1457 = 1267 = 1356 = 2357On voit que les facteurs principaux sont aliaseacutes avec des interactions drsquoordre 3 ouplus eacuteleveacute Comme drsquoapregraves lrsquohypothegravese 1 ces interactions sont neacutegligeables lescontrastes des effets principaux sont eacutegaux aux effetsLes interactions drsquoordre 2 sont aliaseacutees entre elles trois par trois
12 = a12 + a34 + a67
13 = a13 + a24 + a56
14 = a14 + a23 + a57
15 = a15 + a36 + a47
16 = a16 + a35 + a27
17 = a17 + a26 + a45
25 = a25 + a37 + a46
En particulier lrsquoeffet du facteur 2 est deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 47 lrsquoeffet du facteur 4 estdeacutesaliaseacute de lrsquointeraction 27 et lrsquoeffet du facteur 7 est deacutesaliaseacute de lrsquointeraction 24On va drsquoabord analyser la seacutelectiviteacute pour savoir si les deux plans reacuteunis sont suffi-sants pour expliquer cette reacuteponse Si oui on pourra srsquoarrecircter sinon on continueralrsquoexpeacuterimentation en ajoutant les essais qui permettront de lever les nouvellesambiguiumlteacutesOn veacuterifie ensuite que les analyses faites sur les reacuteponses Sensibiliteacute et Bruit defond sont confirmeacutees sur les 16 essais
Tableau 712 ndash Reacuteponses du plan compleacutementaire
Essai n˚ Sensibiliteacute Seacutelectiviteacute Bruit de fond
9 414 35 356
10 318 12 minus241
11 282 14 139
12 274 14 minus19
13 244 8 minus062
14 098 6 minus322
15 566 14 002
16 563 14 minus161
Goupy Livre Page 136 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
137
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Les trois reacuteponses analyseacutees sur seize essais
On reprend lrsquoensemble des 16 essais et on refait les calculs On obtient les coefficientset non les contrastes pour les effets principaux Les interactions sont regroupeacuteesdans les contrastes (Tableau 713)
Les expeacuterimentateurs ont consideacutereacute que toutes les interactions eacutetaient insuffisam-ment importantes pour modifier de maniegravere inteacuteressante les reacuteglages de lrsquoappareil(Figure 712) Dans ce cas seuls les effets principaux sont agrave prendre en compte Ilnrsquoy a donc que trois facteurs influents sur la seacutelectiviteacute et il nrsquoy a pas drsquointeractionsimportantes entre ces facteursLa seacutelectiviteacute qui est mesureacutee par la largeur du pic agrave mi-hauteur sera bonne si cettelargeur est petite Il faut donc reacutegler les facteurs 2 4 et 7 aux niveaux bas (Figure 713)Pour la sensibiliteacute on retrouve bien les deux facteurs importants la fente drsquoeacutemission(facteur 2) et la tension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeractions
Tableau 713 ndash Coefficients (sensibiliteacute bruit de fond seacutelectiviteacute)
Effet Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute
Constante 335 minus054 1147
Fente drsquoexcitation (1) minus019 minus131 078
Fente drsquoeacutemission (2) 077 002 403
Tempeacuterature (3) 010 minus046 022
Vitesse balayage (4) minus0035 minus016 197
Gain (5) minus013 minus066 028
Tension (6) minus132 minus082 009
Amortissement (7) minus0002 minus041 159
12 = 12 + 34 + 67 015 minus020 minus053
13 = 13 + 24 + 56 minus0058 022 028
14 = 14 + 23 + 57 minus0115 minus034 028
15 = 15 + 36 + 47 0007 minus005 072
16 = 16 + 27 + 35 minus010 005 066
17 = 17 + 26 + 45 minus012 030 041
25 = 25 + 37 + 46 0126 038 minus003
Goupy Livre Page 137 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
138
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
importantes entre ces facteurs Pour obtenir une bonne sensibiliteacute il faut reacutegler lefacteur 2 au niveau haut et le facteur 6 au niveau basPour le bruit de fond on retrouve bien que les trois facteurs importants sont lafente drsquoexcitation (facteur 1) le gain du photomultiplicateur (facteur 5) et latension du photomultiplicateur (facteur 6) Il nrsquoy a pas drsquointeractions importantesentre ces facteurs Pour obtenir un faible bruit de fond il faut reacutegler les facteurs 15 et 6 au niveau haut
725 Conclusion de lrsquoeacutetude
Nous devons rassembler lrsquoensemble des conclusions obtenues sur chaque reacuteponsepour faire le bilan de lrsquointerpreacutetation Les reacutesultats que nous avions consigneacutes dans
Figure 712 ndash Diagramme agrave barres des effets et des aliases des trois reacuteponses
Figure 713 ndash Diagramme des effets des facteurs influents sur la seacutelectiviteacute
Effets des facteurs sur les trois reacuteponses
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7
12+34+67
13+24+56
14+23+57
15+36+47
16+27+35
17+26+45
25+37+46
Nom des effets et des aliases
Val
eur
des
eff
ets
et d
es
alia
ses
Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute
23
114
ndash 35
Seacutel
ecti
viteacute
Fente drsquoeacutemission (2)
ndash ndash ndash1 0 +1 1 0 +1
Balayage (4)
Amortissement (7)
1 0 +1
Goupy Livre Page 138 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
72 Exemple 07 le spectrofluorimegravetre
139
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
le tableau 710 sont confirmeacutes pour la sensibiliteacute et le bruit de fond Nous pouvonsmaintenant le compleacuteter pour la seacutelectiviteacute (Tableau 714)
Sur les 7 facteurs 5 sont faciles agrave reacutegler
ndash La fente drsquoexcitation (facteur 1) doit ecirctre reacutegleacutee agrave 75 nm pour diminuer le bruitde fond
ndash La tempeacuterature de lrsquoeacutechantillon (facteur 3) nrsquoa aucune influence sur les reacuteponsesElle peut donc varier entre 20 et 40 ˚C
ndash La vitesse de balayage (facteur 4) doit ecirctre reacutegleacutee agrave 20 pour reacuteduire la largeur dupic agrave mi-hauteur (seacutelectiviteacute)
ndash Le gain (facteur 5) doit ecirctre reacutegleacute sur 10 pour abaisser le bruit de fondndash Lrsquoamortissement (facteur 7) doit ecirctre reacutegleacute sur 2 pour favoriser la seacutelectiviteacute
Deux facteurs sont deacutelicats agrave reacutegler
ndash Si la tension du photomultiplicateur (facteur 6) est reacutegleacutee sur 310 V la sensibiliteacutesera eacuteleveacutee mais le bruit de fond sera important Inversement si la tension duphotomultiplicateur est de 460 V il y aura peu de bruit de fond mais la sensibiliteacutesera diminueacutee Il faudra trouver le meilleur compromis entre ces deux reacuteponses
ndash Une large fente drsquoeacutemission (facteur 2) augmente la sensibiliteacute mais deacutegrade laseacutelectiviteacute Une fente drsquoeacutemission eacutetroite ameacuteliore la seacutelectiviteacute mais deacutegrade lasensibiliteacute Il faudra reacutegler la largeur de cette fente pour trouver le meilleurcompromis entre ces deux reacuteponses
Un spectre a eacuteteacute reacutealiseacute avec ces reacuteglages (Figure 714) Le pic agrave 481 nm est eacuteleveacute etse deacutetache bien de celui situeacute agrave 489 nm le bruit de fond a pratiquement disparuDans la pratique on pourra reacutegler les cinq premiers facteurs aux niveaux conseilleacuteset reacutealiser un plan drsquooptimisation avec les deux autres facteurs tension du photo-multiplicateur et fente drsquoeacutemission pour trouver le meilleur compromis en fonc-tion de la concentration en benzopyregravene et de la preacutesence drsquoimpureteacutes dans lessolutions agrave analyser
Tableau 714 ndash Niveaux favorables des facteurs influents sur les reacuteponses
Facteurs Sensibiliteacute Bruit de fond Seacutelectiviteacute
Fente drsquoexcitation (1) +
Fente drsquoeacutemission (2) + ndash
Tempeacuterature (3)
Vitesse balayage (4) ndash
Gain (5) +
Tension (6) ndash +
Amortissement (7) ndash
Goupy Livre Page 139 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
140
73 Exemple 08 les pommes de terre chips7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
73 Exemple 08 les pommes de terre chips
731 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Les chips sont de fines tranches de pommes de terre que lrsquoon laisse frire dans unbain drsquohuile Ces chips sont agreacuteables agrave manger agrave condition de ne pas trop sentirlrsquohuile Agrave la fin de la cuisson la plus grosse partie de lrsquohuile est extraite sous unepression de 40 MPa pendant 1 heure agrave 60 ˚C Puis les chips sont soumises agrave untraitement de finition qui eacutelimine encore de lrsquohuile Il srsquoagit drsquoun traitement sousune pression de 10 MPa pendant 30 min sous un deacutebit de 700 kgh de gaz carbo-nique surpercritique Enfin les chips sont saleacutees et empaqueteacutees Il y a plusieurstypes de chips des petites ou des grandes et des plates ou des strieacutees
m Reacuteponses
Les responsables de la fabrication ont deacutefini deux reacuteponses
ndash la quantiteacute drsquohuile retireacutee qui est eacutevalueacutee en poidsndash le goucirct des chips qui est eacutevalueacute par un jury constitueacute drsquoexperts qui mettent la
note 0 si la qualiteacute est mauvaise et 10 si elle est bonne
Figure 714 ndash Spectre enregistreacute avec les conditions optimales deacutefinies agrave lrsquoaide du plan drsquoexpeacuteriences
481 489 Longueur donde (nm)
Goupy Livre Page 140 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
73 Exemple 08 les pommes de terre chips
141
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Objectif de lrsquoeacutetude
Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de seacutelectionner les facteurs les plus influents sur les deuxreacuteponses choisies Il srsquoagit drsquoune eacutetude preacuteliminaire devant servir agrave preacuteparer unplan de modeacutelisation Il srsquoagit donc drsquoune eacutetude de criblage faisant intervenir un grandnombre de facteurs
m Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Les facteurs retenus couvrent lrsquoensemble du processus de deacuteshuilage depuis lrsquoextractionjusqursquoau salage Neuf facteurs pouvant ecirctre influents ont eacuteteacute recenseacutes ndash Facteur 1 pression drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 2 tempeacuterature drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 3 dureacutee drsquoextraction de lrsquohuilendash Facteur 4 pression de seacuteparation de lrsquohuilendash Facteur 5 tempeacuterature de seacuteparation de lrsquohuilendash Facteur 6 deacutebit du gaz carbonique surpercritiquendash Facteur 7 quantiteacute de sel ajouteacutee aux chipsndash Facteur 8 taille des chipsndash Facteur 9 type de chipsLe domaine drsquoeacutetude est deacutefini par les niveaux bas et haut de chacun des facteurs(Tableau 715)
m Modeacutelisation matheacutematique
On cherche les facteurs influents et leurs sens de variation Le modegravele matheacutema-tique postuleacute est un simple modegravele polynomial ne faisant intervenir que les termesdu premier degreacute
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7 + a8x8 + a9x9 71
Tableau 715 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteurs Uniteacutes Niveau ndash1 Niveau +1
Pression drsquoextraction (1) MPa 30 50
Tempeacuterature drsquoextraction (2) ˚C 50 70
Dureacutee drsquoextraction (3) min 45 75
Pression de seacuteparation (4) MPa 5 15
Tempeacuterature de seacuteparation (5) ˚C 25 40
Deacutebit CO2 (6) kgh 600 800
Sel (7) g 0 1
Taille (8) petite grande
Type (9) plat strieacute
Goupy Livre Page 141 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
142
73 Exemple 08 les pommes de terre chips7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
On adopte le mecircme modegravele pour les deux reacuteponses
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Il y a 10 inconnues agrave deacuteterminer la constante et les 9 effets principaux Il fautdonc au moins 10 essais Le plan classique le plus proche est un plan de Plackett etBurman de 12 essaisCes plans peuvent se construire agrave la main en suivant les regravegles eacutenonceacutees par Plackettet Burman mais il est plus commode de faire appel agrave un logiciel de plans drsquoexpeacute-riences Ces plans comportent un nombre drsquoessais multiple de 4 Les plans facto-riels 2k comportent eacutegalement un nombre drsquoessais multiple de 4 Cela provient dufait que tous ces plans agrave deux niveaux sont construits sur des matrices drsquoHadamardqui comportent un nombre de lignes (ou de colonnes) multiple de 4 Ces matricesdrsquoHadamard possegravedent lrsquoimportante proprieacuteteacute drsquoorthogonaliteacute crsquoest-agrave-dire que leproduit scalaire de deux colonnes quelconques est eacutegal agrave 0Lrsquohabitude a eacuteteacute prise drsquoappeler plan factoriel (complet ou fractionnaire) tous lesplans ayant un nombre drsquoessais eacutegal agrave 2k et drsquoappeler tous les autres plans de Plackettet Burman Ainsi un plan de 12 essais est un plan de Plackett et Burman mais unplan de 16 essais est un plan factoriel Cette distinction se justifie car les proprieacuteteacutesde ces plans sont un peu diffeacuterentes Par exemple les aliases des plans factorielspeuvent se calculer avec le calcul de Box mais les aliases des plans de Plackett etBurman ne peuvent pas se calculer avec le calcul de Box
Tableau 716 ndash Plan drsquoexpeacuteriences de Plackett et Burman de 12 essais
Essai n˚ PE Te DE PS TS CO2 Sel Taille Type
1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1
2 1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1
3 minus1 1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 minus1
4 1 minus1 1 1 minus1 1 minus1 minus1 1
5 1 1 minus1 1 1 minus1 1 minus1 1
6 1 1 1 minus1 1 1 minus1 1 1
7 minus1 1 1 1 minus1 1 1 minus1 minus1
8 minus1 minus1 1 1 1 minus1 1 1 1
9 minus1 minus1 minus1 1 1 1 minus1 1 minus1
10 1 minus1 minus1 minus1 1 1 1 minus1 minus1
11 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 1 1 1
12 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1
Goupy Livre Page 142 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
73 Exemple 08 les pommes de terre chips
143
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
732 Reacutealisation des essais
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterimentation figurent dans le tableau 717
733 Interpreacutetation des reacutesultats du plan et conclusion
m Reacuteponse Huile
Agrave partir des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus sur lrsquohuile on calcule la valeur descoefficients de chaque facteur en utilisant le modegravele simplifieacute 71 Ces valeursfigurent dans le tableau 718 et sont illustreacutees par la figure 715 Deux facteurssont nettement influents la pression drsquoextraction (1) et la pression de seacutepara-tion (4) Les autres facteurs ne jouent aucun rocircle important sur lrsquoeacutelimination delrsquohuile
Essai n˚ PE Te DE PS TS CO2 Sel Taille Type
ndash 30 50 45 5 25 600 0 petite plat
+ 50 70 75 15 40 800 1 grande strieacute
Tableau 717 ndash Reacuteponses du plan
Essai n˚ Huile Goucirct
1 504 8
2 539 1
3 458 5
4 554 1
5 533 4
6 501 2
7 504 7
8 498 7
9 492 3
10 506 7
11 449 9
12 457 5
Tableau 716 ndash Plan drsquoexpeacuteriences de Plackett et Burman de 12 essais (Suite)
Goupy Livre Page 143 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
144
73 Exemple 08 les pommes de terre chips7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Les effets eacutetant positifs on extrait plus drsquohuile agrave forte pression qursquoagrave faible pression
Tableau 718 ndash Coefficients du modegravele Huile (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur p-value
Constante 4996 lt 00001
Pression drsquoextraction (1) 232 00025
Tempeacuterature drsquoextraction (2) minus022 01943
Dureacutee drsquoextraction (3) 036 00921
Pression de seacuteparation (4) 204 00033
Tempeacuterature de seacuteparation (5) minus016 03085
Deacutebit CO2 (6) 014 03495
Sel (7) minus006 06674
Taille (8) minus024 01748
Type (9) minus009 05153
Figure 715 ndash Coefficients du modegravele de la reacuteponse Huile
Huile
ndash 25
ndash 15
ndash 05
05
15
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nom des coefficients
Va
leu
r d
es
co
effi
cie
nts
Goupy Livre Page 144 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
73 Exemple 08 les pommes de terre chips
145
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
m Reacuteponse Goucirct
La reacuteponse Goucirct est traiteacutee de la mecircme maniegravere que la reacuteponse Huile Le tableau 719et la figure 716 montrent qursquoil y a un seul facteur tregraves influent le sel (7) et deuxfacteurs influents la pression drsquoextraction (1) et la pression de seacuteparation (4)
On ameacuteliore le goucirct si lrsquoon met du sel
Tableau 719 ndash Coefficients du modegravele Goucirct (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur p-value
Constante 49 00003
Pression drsquoextraction (1) minus108 00059
Tempeacuterature drsquoextraction (2) minus 025 00955
Dureacutee drsquoextraction (3) 008 04226
Pression de seacuteparation (4) minus108 00059
Tempeacuterature de seacuteparation (5) minus025 00955
Deacutebit CO2 (6) minus008 04226
Sel (7) 208 00016
Taille (8) 008 04226
Type (9) minus025 00955
Figure 716 ndash Coefficients du modegravele de la reacuteponse Goucirct
Goucirct
25
15
ndash
ndash
ndash
05
05
15
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 145 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
146
73 Exemple 08 les pommes de terre chips7 bull Exemples de plansfactoriels fractionnaires
Les chips sont donc meilleures au niveau bas des pressions drsquoextraction et de seacutepa-ration Or crsquoest pour ce niveau que lrsquoon retire le moins drsquohuile Les chips ont doncmoins de goucirct quand on retire trop drsquohuile On voit bien la difficulteacute de cettefabrication srsquoil y a trop drsquohuile les chips sont grasses et srsquoil nrsquoy a pas assez drsquohuileelles manquent de moelleux La quantiteacute drsquohuile qui reste sur les chips doit doncecirctre bien eacutequilibreacutee On comprend pourquoi un plan drsquooptimisation est neacuteces-saire il faut trouver le bon eacutequilibre entre le sel et lrsquohuile restante dans les chipsUn plan faisant intervenir les trois facteurs le sel la pression drsquoextraction et lapression de seacuteparation devrait apporter la solution chercheacutee Agrave travers cetexemple on voit tout lrsquointeacuterecirct drsquoun plan de criblage qui eacutelimine tous les facteursne jouant qursquoun rocircle mineur sur les reacuteponses eacutetudieacutees
Goupy Livre Page 146 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
147
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull ORDRE DES ESSAIS
Est-il indiffeacuterent de reacutealiser les essais dans un ordre ou dans un autre Pourreacutepondre agrave cette question il faut tenir compte de plusieurs eacuteleacutements les uns prati-ques les autres theacuteoriques Le choix de lrsquoordre des essais srsquoeffectuera en tenantcompte de ces deux aspectsDes impeacuteratifs expeacuterimentaux peuvent imposer un ordre Par exemple une piegravece enverre doit prendre deux positions dans un montage drsquoeacutetude Pour eacuteviter de la casser enla deacuteplaccedilant plusieurs fois il peut ecirctre avantageux de reacutealiser la seacutequence des essais desniveaux bas puis ensuite la seacutequence des essais des niveaux hauts On ne la deacuteplaceraainsi qursquoune fois La mise en eacutequilibre thermique drsquoun four peut ecirctre tregraves longue agraveeacutetablir et lrsquoexpeacuterimentateur ne tient pas agrave la refaire plusieurs fois On pourrait trouverdrsquoautres exemples ou les conditions mecircmes des expeacuteriences imposent un ordre dereacutealisation des essais qursquoil srsquoagisse de contraintes mateacuterielles temporelles ou autresLrsquoexpeacuterimentateur peut soupccedilonner une eacutevolution dans le temps ou dans lrsquoespacedu pheacutenomegravene qursquoil eacutetudie et donc des variations systeacutematiques de la reacuteponse oudes reacuteponses Il devra en tenir compte Si lrsquoeacutevolution est reacuteguliegravere par exemplelrsquousure drsquoune piegravece meacutecanique ou le vieillissement drsquoun produit il y a deacuterive et leplan drsquoexpeacuteriences devra ecirctre ordonneacute pour la mesurer ou lrsquoeacutecarter des reacutesultatsimportants On peut utiliser des plans anti-deacuterive etou ajouter des points de controcirclepour suivre lrsquoeacutevolution de cette deacuteriveIl se peut que le lieu ou le moment ougrave lrsquoon effectue les essais affecte les reacutesultats delrsquoexpeacuterimentation Par exemple les mesures effectueacutees le matin peuvent ecirctre systeacute-matiquement plus fortes que celles de lrsquoapregraves-midi Lrsquoexpeacuterimentateur devra menerses expeacuteriences en conseacutequence Il se peut encore que lrsquoon soit obligeacute de travaillersur des lots diffeacuterents de matiegravere Comment faire pour obtenir des effets qui nesoient pas entacheacutes par lrsquoerreur systeacutematique qui existe entre les mesures du matinet de lrsquoapregraves-midi ou entre les deux lots de matiegravere Il srsquoagit dans tous ces cas devariations systeacutematiques dont il faut tenir compte Nous verrons que le blockingest le moyen de lutte contre ces erreurs systeacutematiquesIl se peut eacutegalement que de petites erreurs systeacutematiques modifient les reacutesultats pargroupes drsquoessais On peut utiliser la randomisation pour que ces erreurs systeacutematiquespuissent ecirctre consideacutereacutees comme erreurs aleacuteatoires et que lrsquoon puisse appliquer lestests statistiquesEnfin les variations peuvent nrsquoecirctre dues qursquoagrave des causes aleacuteatoires
Goupy Livre Page 147 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
148
81 Nature des erreurs8 bull Ordre des essais
Nous commencerons par eacutetudier la nature des diffeacuterentes erreurs Nous donneronsensuite des exemples des diffeacuterentes strateacutegies que lrsquoon peut adopter en fonctiondes connaissances que lrsquoon a des perturbations qui peuvent intervenir en coursdrsquoexpeacuterimentation
81 Nature des erreurs
Quand on reacutealise plusieurs fois la mecircme mesure dans les mecircmes conditions opeacutera-toires on constate de petites diffeacuterences entre toutes ces mesures Ces petites variationsforment ce que lrsquoon appelle lrsquoerreur expeacuterimentaleLrsquoorigine de ces variations doit ecirctre chercheacutee dans les variations des niveaux de tousles facteurs qui peuvent modifier la reacuteponse On considegravere que lrsquoon peut classer lesfacteurs actifs sur la reacuteponse en deux cateacutegories les facteurs controcircleacutes et les facteursnon controcircleacutesLes facteurs controcircleacutes sont ceux dont lrsquoexpeacuterimentateur fixe les niveaux Il srsquoagitdonc des facteurs pris en compte pour lrsquoexeacutecution du plan et de tous les facteurs fixeacutesagrave un niveau constant pendant toute lrsquoexpeacuterimentation On considegravere (hypothegravesede la reacutegression lineacuteaire) que ces facteurs nrsquointroduisent pas drsquoerreurs On peutillustrer les changements de niveaux subis par un facteur controcircleacute (facteur 1) lorsde lrsquoexeacutecution drsquoun plan 23 par la figure 81
Les facteurs non controcircleacutes sont les autres facteurs ceux dont les niveaux ne sont pasfixeacutes par lrsquoexpeacuterimentateur Ces facteurs peuvent faire varier la reacuteponse dans des limitesplus ou moins importantes selon les variations impreacutevues et inconnues de leursniveaux On distingue plusieurs types de facteurs non controcircleacutes donnant lieu auxtrois techniques de lutte suivantes blocking plans anti-deacuterive et randomisation
811 Blocking
Consideacuterons les facteurs dont le niveau reste constant pendant une seacuterie drsquoessaisPar exemple si lrsquoon effectue la premiegravere partie drsquoun plan drsquoexpeacuteriences pendant
Figure 81 ndash Facteur controcircleacute les changements de niveaux sont imposeacutes par lrsquoexpeacuterimentateur
1 32 4 75 6 8Essai
Niveau +1
Niveau ndash1
Goupy Livre Page 148 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
81 Nature des erreurs
149
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
lrsquoeacuteteacute et la seconde partie en hiver il y a deux campagnes drsquoessais On suppose qursquounfacteur non controcircleacute conserve le niveau a pendant la premiegravere campagne et le niveau bpendant la seconde campagne Cependant les niveaux a et b sont diffeacuterents Onpeut aussi imaginer que le plan soit exeacutecuteacute agrave la mecircme peacuteriode mais par deuxopeacuterateurs diffeacuterents ou dans deux laboratoires diffeacuterents Une application freacutequenteen agriculture se preacutesente lorsque lrsquoon doit mener les essais sur deux terrains diffeacute-rents Il peut y avoir un eacutecart constant entre les reacuteponses mesureacutees agrave deux eacutepoquesou par deux opeacuterateurs ou par deux laboratoires ou sur deux terrains La figure 82illustre les variations de niveaux drsquoun facteur non controcircleacute lors de lrsquoexeacutecution drsquounplan 24 en deux campagnes
On trouve souvent ce genre de situation et nous avons la chance que les plansfactoriels offrent une meacutethode pour lutter contre ce type drsquoerreur systeacutematiqueCette meacutethode est le blocking Il est possible malgreacute la perturbation introduite parle facteur non controcircleacute drsquoobtenir les effets des facteurs eacutetudieacutes dans le plan sansqursquoils soient fausseacutes par les variations de ce facteur non controcircleacuteLe blocking est une technique tregraves employeacutee
812 Plans anti-deacuterive
Le niveau drsquoun facteur non controcircleacute peut diminuer ou augmenter reacuteguliegraverementen fonction des essais Les reacuteponses seront modifieacutees par cette variation de niveauet les effets des facteurs du plan seront fausseacutes si lrsquoon ne prend pas de preacutecautionsCette variation progressive srsquoappelle une deacuterive et elle est illustreacutee par la figure 83Comme exemples on peut citer lrsquoactiviteacute drsquoun catalyseur qui diminue progressive-ment le flux drsquoun liquide qui se reacuteduit agrave cause du bouchage progressif drsquoun tuyauune solution de soude qui srsquoaltegravere au fur et agrave mesure du temps qui passe ou le vieillisse-ment drsquoune colonne chromatographique qui seacutepare de moins en moins bienLagrave aussi nous avons la chance que les plans factoriels offrent une meacutethode pourlutter contre la deacuterive Il existe des plans anti-deacuterive qui permettent drsquoobtenir la valeurdes effets des facteurs principaux comme srsquoil nrsquoy avait pas de deacuterive
Figure 82 ndash Facteur non controcircleacute (blocking) les niveaux de la premiegravere campagne sont constants mais diffeacuterents de ceux de la deuxiegraveme
1 32 4 75 6 8
Niveau a
Niveau b
1 32 4 75 6 8
Goupy Livre Page 149 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
150
81 Nature des erreurs8 bull Ordre des essais
813 Variations aleacuteatoires
Le niveau drsquoun facteur peut varier de maniegravere parfaitement aleacuteatoire drsquoun essai agravelrsquoautre (Figure 84) Il nrsquoy a pas de moyens de lutter contre les perturbations drsquountel facteur Il contribue agrave la formation de lrsquoerreur expeacuterimentale Srsquoil nrsquointroduitque de toutes petites variations il ne sera pas trop gecircnant Srsquoil introduit de fortesvariations de la reacuteponse il faudra essayer de le controcircler ou drsquoen reacuteduire lrsquoinfluence
814 Petites variations systeacutematiques
Le niveau drsquoun facteur non controcircleacute peut rester stable pendant deux ou trois essaispuis changer brusquement pour se stabiliser de nouveau pour deux ou trois essais agraveun autre niveau et ainsi de suite Ce facteur introduit des erreurs systeacutematiquesqui sont incompatibles avec les tests statistiques Pour pouvoir appliquer ces testson est ameneacute agrave transformer ces erreurs systeacutematiques en erreurs aleacuteatoires Pourcela on emploie la randomisationLa randomisation consiste agrave choisir lrsquoordre des essais de maniegravere aleacuteatoire Ontransforme ainsi la figure 85 en figure 84 Il est maintenant possible drsquoutiliser les
Figure 83 ndash Facteur non controcircleacute (deacuterive) les changements de niveaux sont progressifs drsquoun essai agrave lrsquoautre
Figure 84 ndash Facteur non controcircleacute les changements de niveaux sont aleacuteatoires
1 32 4 75 6 8
a
bc
f
h
g
de
Essai
1 32 4 75 6 8
a
bc
f
h
g
de
Essai
Goupy Livre Page 150 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
151
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
tests statistiques La transformation des erreurs systeacutematiques en erreurs aleacuteatoiresest agrave la fois une bonne et une mauvaise chose une bonne chose pour les testsstatistiques et une mauvaise car elle augmente la valeur de lrsquoerreur aleacuteatoire Il devientalors plus difficile de deacutetecter les facteurs peu influents La proceacutedure correcte estdrsquoeacuteliminer drsquoabord les erreurs systeacutematiques les plus importantes en utilisant leblocking ou les plans anti-deacuterive et de randomiser ensuiteNous eacutetudierons speacutecialement le blocking qui est une technique tregraves puissante lesplans anti-deacuterive et la randomisation
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking)
821 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
La peacutenicilline est fabriqueacutee agrave partir du Penicillium chrysogenum Les responsablesde cette fabrication recherchent le milieu nutritif le plus favorable au deacuteveloppe-ment rapide de leur souche Ils entreprennent un plan drsquoexpeacuteriences complet surles cinq facteurs dont ils veulent connaicirctre lrsquoinfluence Ils ont donc 32 essais agravereacutealiser La dureacutee des essais et les contraintes mateacuterielles ne leur permettent pas dereacutealiser tous les essais en une seule fois Ils doivent opeacuterer en deux temps Ils effec-tuent une premiegravere campagne de 16 essais font une pause obligatoire de plusieurssemaines puis reacutealisent une deuxiegraveme campagne de 16 essais Le problegraveme estqursquoentre les deux campagnes beaucoup de facteurs non controcircleacutes ont pu changerde niveaux la souche la tempeacuterature les opeacuterateurs etc Malgreacute ces changementspossibles et impreacutevisibles les chercheurs souhaitent obtenir les effets comme si lesfacteurs non controcircleacutes nrsquoexistaient pas Ils ont donc recours au blocking
m Reacuteponses
La reacuteponse est le poids de peacutenicilline obtenu pour chaque essai
Figure 85 ndash Facteur non controcircleacute (randomisation) les changements de niveaux sont par paquets
1 32 4 75 6 8
a
b
c
Essai
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 151 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
152
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
8 bull Ordre des essais
m Objectif de lrsquoeacutetude
Deacutefinir la composition de la solution nutritive pour avoir le meilleur rendementen peacutenicilline
m Facteurs
Les facteurs drsquoeacutetude crsquoest-agrave-dire les facteurs dont les niveaux sont controcircleacutes aucours du plan drsquoexpeacuteriences sont les concentrations des produits suivants ndash Facteur 1 liqueur de maiumlsndash Facteur 2 lactosendash Facteur 3 preacutecurseurndash Facteur 4 nitrate de sodiumndash Facteur 5 glucose
m Domaine drsquoeacutetude
Le domaine est preacuteciseacute dans le tableau 81
m Facteur de blocking
En plus des cinq facteurs du plan il faut prendre en consideacuteration le fait que lrsquooneffectue les essais en deux campagnes On introduit ainsi un facteur suppleacutementaire la campagne Les 16 premiers essais sont au niveau moins du facteur campagne etles 16 essais de la deuxiegraveme campagne sont au niveau plus Ce facteur suppleacutementaireest le facteur de blocking Le niveau du facteur de blocking reste constant agrave un niveaudonneacute mais inconnu pendant toute la premiegravere campagne et reste constant agrave unautre niveau (lui aussi inconnu) pendant toute la seconde campagne Il srsquoagit drsquounfacteur suppleacutementaire dont on ne connaicirct pas la valeur des niveaux
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
En reacutealiteacute on ne reacutealise pas un plan complet 25 mais un plan fractionnaire 26-1 Ilfaut donc aliaser le facteur de blocking sur une interaction Comme il nrsquoy a qursquounfacteur suppleacutementaire on choisit lrsquointeraction drsquoordre le plus eacuteleveacute
6 = 12345
Tableau 81 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteurs Niveau ndash1 Niveau +1
Liqueur de maiumls (1) 2 3
Lactose (2) 2 3
Preacutecurseur (3) 0 005
Nitrate de sodium (4) 0 03
Glucose (5) 0 05
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 152 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
153
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
Les essais du plan complets 25 vont se partager en deux groupes celui dont lessignes de lrsquointeraction 12345 sont positifs et celui dont les signes de lrsquointeraction12345 sont neacutegatifs Bien sucircr crsquoest avant drsquoentreprendre les essais qursquoil faut fairecette distinction pour attribuer convenablement les essais soit agrave la premiegravere soit agravela deuxiegraveme campagne
m Confusion
Le geacuteneacuterateur drsquoaliases permet gracircce au calcul de Box et agrave la relation drsquoeacutequivalencede savoir comment les coefficients du modegravele sont regroupeacutes dans les aliases Enparticulier le facteur de blocking est aliaseacute avec lrsquointeraction 12345
6 = 12345 = a6 + a12345
Lrsquointeraction 12345 risque drsquoapparaicirctre eacuteleveacutee Srsquoil y a des interactions entre lefacteur de blocking et les facteurs eacutetudieacutes on risque eacutegalement de voir des interac-tions drsquoordre 2 eacuteleveacutees
16 = a16 + a2345 26 = a26 + a1345 etc
822 Construction du plan et veacuterification de lrsquointeacuterecirct du blocking
m Construction du plan
La construction des plans avec blocking est exactement la mecircme que celle desplans fractionnaires On eacutecrit le plan de base 25 et on calcule les signes de lrsquointerac-tion 12345 (Tableau 82) Mais pour les plans avec blocking on regroupe les essaisen fonction du signe de lrsquointeraction Le premier bloc est celui pour lequel le signede lrsquointeraction 12345 est moins Le premier bloc est constitueacute des 16 essais n˚ 118 19 4 21 6 7 24 25 10 11 28 13 30 31 et 16 Le second bloc est celuipour lequel le signe de lrsquointeraction 12345 est plus Il est constitueacute des 16 essaisn˚ 17 2 3 20 5 22 23 8 9 26 27 12 29 14 15 et 32
Tableau 82 ndash Construction du plan avec blocking
Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345
1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1
18 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1
19 minus1 1 minus1 minus1 1 minus1
4 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1
21 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1
6 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1
7 minus1 1 1 minus1 minus1 minus1
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 153 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
154
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
8 bull Ordre des essais
Essai n˚ 1 2 3 4 5 Bloc = 12345
24 1 1 1 minus1 1 minus1
25 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1
10 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1
11 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1
28 1 1 minus1 1 1 minus1
13 minus1 minus1 1 1 minus1 minus1
30 1 minus1 1 1 1 minus1
31 minus1 1 1 1 1 minus1
16 1 1 1 1 minus1 minus1
17 minus1 minus1 minus1 minus1 1 1
2 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1
3 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1
20 1 1 minus1 minus1 1 1
5 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1
22 1 minus1 1 minus1 1 1
23 minus1 1 1 minus1 1 1
8 1 1 1 minus1 minus1 1
9 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1
26 1 minus1 minus1 1 1 1
27 minus1 1 minus1 1 1 1
12 1 1 minus1 1 minus1 1
29 minus1 minus1 1 1 1 1
14 1 minus1 1 1 minus1 1
15 minus1 1 1 1 minus1 1
32 1 1 1 1 1 1
Tableau 82 ndash Construction du plan avec blocking (Suite)
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 154 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
155
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
m Veacuterification de lrsquointeacuterecirct du blocking
On peut veacuterifier lrsquointeacuterecirct du blocking sur cet exemple Si au cours de la secondecampagne toutes les reacuteponses sont augmenteacutees de 10 points par rapport agrave lapremiegravere campagne agrave cause des facteurs non controcircleacutes on peut calculer lrsquoinci-dence de ce deacutecalage sur les coefficients en attribuant la valeur 10 agrave tous les essaisde la seconde campagne Le fichier laquo Penicilline_verifjmp raquo a eacuteteacute construit pourque vous puissiez faire cette veacuterification Faites le calcul des coefficients en adop-tant le modegravele avec toutes les interactions jusqursquoagrave lrsquoordre 5 Vous constaterez queseuls le coefficient constant et lrsquointeraction choisie pour aliaser le facteur de bloc-king sont affecteacutes par le deacutecalage entre les deux campagnes Tous les autres coeffi-cients sont eacutepargneacutes Tout se passe pour eux comme si lrsquoon avait reacutealiseacute tous lesessais en une seule fois lrsquoinfluence de la campagne a eacuteteacute gommeacutee (Figure 86)pour tous les coefficients excepteacute le coefficient constant et le coefficient de lrsquointe-raction de blocking
823 Reacutealisation des essais
La premiegravere campagne drsquoessais est reacutealiseacutee selon les indications du plan drsquoexpeacute-riences Les 16 essais du premier plan sont exeacutecuteacutes dans un ordre aleacuteatoire Aublocking qui permet de renvoyer lrsquoerreur systeacutematique sur lrsquointeraction 12345 lesexpeacuterimentateurs ont pris une preacutecaution suppleacutementaire une randomisation desessais pour srsquoaffranchir drsquoeacuteventuelles petites erreurs systeacutematiques Les essais portentagrave cocircteacute de leur nom un chiffre entre parenthegraveses Ce chiffre indique lrsquoordre drsquoexeacutecutionde lrsquoessai Par exemple lrsquoessai n˚ 18 a eacuteteacute exeacutecuteacute en 16e position et il figure agrave la2e ligne du tableau 83
Figure 86 ndash Influence de lrsquoerreur de blocking sur les coefficients
Nom des coefficients
Effet du blocking sur les coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 155 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
156
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
8 bull Ordre des essais
Agrave ce stade il est possible de faire une interpreacutetation des premiers reacutesultats car onpeut calculer les 5 effets des facteurs principaux et leurs 10 interactions drsquoordre 2Il a eacuteteacute reacutealiseacute la moitieacute drsquoun plan complet 25 soit un plan 25-1 avec comme geacuteneacute-rateur drsquoaliases I = ndash12345
Tableau 83 ndash Premiegravere campagne drsquoessais
Essai n˚Maiumls(1)
Lactose(2)
Preacutecurseur(3)
Nitrate(4)
Glucose(5)
Reacuteponse
1 (5) minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 142
18 (16) 1 minus1 minus1 minus1 1 106
19 (11) minus1 1 minus1 minus1 1 88
4 (10) 1 1 minus1 minus1 minus1 109
21 (6) minus1 minus1 1 minus1 1 113
6 (9) 1 minus1 1 minus1 minus1 162
7 (1) minus1 1 1 minus1 minus1 200
24 (3) 1 1 1 minus1 1 79
25 (7) minus1 minus1 minus1 1 1 101
10 (2) 1 minus1 minus1 1 minus1 108
11 (13) minus1 1 minus1 1 minus1 146
28 (15) 1 1 minus1 1 1 72
13 (4) minus1 minus1 1 1 minus1 200
30 (14) 1 minus1 1 1 1 83
31 (8) minus1 1 1 1 1 145
16 (12) 1 1 1 1 minus1 118
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 156 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
157
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
824 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
La deuxiegraveme campagne drsquoessais est reacutealiseacutee quelques mois plus tard Le tableau 84indique les reacutesultats des mesures
Pour lrsquointerpreacutetation complegravete du plan on reacuteunit les 32 essais et on en fait lrsquoanalyseglobale On choisit un modegravele avec toutes les interactions On obtient 32 coeffi-cientsOn voit tout de suite que la liqueur de maiumls (1) le preacutecurseur (3) et le glucose (5)sont tregraves influents (Tableau 85 et Figure 87) Il y a aussi lrsquointeraction 35 qui est forteEt tout agrave fait bizarrement des interactions drsquoordre eacuteleveacute 1234 1345 et 12345
Tableau 84 ndash Seconde campagne drsquoessais
Essai n˚Maiumls(1)
Lactose(2)
Preacutecurseur(3)
Nitrate(4)
Glucose(5)
Reacuteponse
17 (23) minus1 minus1 minus1 minus1 1 106
2 (31) 1 minus1 minus1 minus1 minus1 114
3 (18) minus1 1 minus1 minus1 minus1 129
20 (28) 1 1 minus1 minus1 1 98
5 (25) minus1 minus1 1 minus1 minus1 185
22 (17) 1 minus1 1 minus1 1 88
23 (30) minus1 1 1 minus1 1 166
8 (20) 1 1 1 minus1 minus1 172
9 (26) minus1 minus1 minus1 1 minus1 148
26 (22) 1 minus1 minus1 1 1 114
27 (19) minus1 1 minus1 1 1 140
12 (32) 1 1 minus1 1 minus1 95
29 (21) minus1 minus1 1 1 1 130
14 (27) 1 minus1 1 1 minus1 164
15 (24) minus1 1 1 1 minus1 215
32 (29) 1 1 1 1 1 110
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 157 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
158
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
8 bull Ordre des essais
Tableau 85 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur Effet Valeur
Constante 12956
123 minus131
Maiumls (1) minus1756 124 minus287
Lactose (2) 056 125 minus162
Preacutecurseur (3) 1606 134 175
Nitrate (4) 1 135 minus325
Glucose (5) minus2087 145 281
234 minus262
12 minus594 235 275
13 minus606 245 231
14 minus5 345 056
15 262 1234 4
23 444 1235 262
24 minus1 1245 181
25 3 1345 419
34 minus1 2345 106
35 minus105
45 219 12345 631
Figure 87 ndash Effets des facteurs principaux et des interactions
Effet des facteurs - Peacutenicilline
25
20
15
ndash
ndash
ndash
ndash
ndash
10
5
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5
12 13 14 15 23 24 25 34 35 45
123
124
125
134
135
145
234
235
245
345
123
4
123
5
124
5
134
5
234
5
123
45
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
eff
icie
nts
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 158 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
159
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
Pour essayer de distinguer les effets agrave prendre en compte et ceux que lrsquoon peut neacutegligeron peut utiliser le diagramme de Pareto (Figure 88) et le diagramme Daniel (Figure 89)
Lrsquoexamen des diagrammes de Pareto et de Daniel montre que lrsquoon peut retenircomme facteurs influents ndash liqueur de maiumls (facteur 1)ndash preacutecurseur (facteur 3)ndash glucose (facteur 5)ndash interaction 35La coupure entre les coefficients agrave conserver et les coefficients agrave rejeter semble sesituer aux alentours de la valeur 6 Ce choix peut paraicirctre arbitraire mais il nrsquoestjamais deacutefinitif et peut ecirctre modifieacute pour donner lieu agrave une nouvelle analyse Aveccette deacutecision que faut-il penser de lrsquointeraction 12345 qui est au niveau de lacoupure et qui selon les hypothegraveses drsquointerpreacutetation habituelles devrait ecirctre tregravesfaible
Figure 88 ndash Diagramme de Pareto des effets de lrsquoexemple sur la peacutenicilline
0 5 10 15 20 25
513
3512345
13121423
1345123413525
124145235
123523415
24545
1245134125123
23453424
4345
2
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 159 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
160
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
8 bull Ordre des essais
Crsquoest lrsquointeraction sur laquelle nous avons aliaseacute le facteur 6 le facteur de blocking
6 = 12345
La relation drsquoeacutequivalence indique que le facteur de blocking est aliaseacute avec lrsquointer-action 12345
6 = 12345 = a6 + a12345
Dans ce contraste ce nrsquoest pas lrsquointeraction 12345 qui est eacuteleveacutee mais lrsquoeffet dufacteur 6 Il y a une diffeacuterence de 12 points entre les reacuteponses de la premiegraverecampagne et celles de la deuxiegraveme Cette diffeacuterence nrsquoest pas neacutegligeable et elleaurait fortement fausseacute les reacutesultats si les expeacuterimentateurs nrsquoavaient pas pris lapreacutecaution de faire un blocking
825 Conclusion de lrsquoeacutetude
Comment faut-il reacutegler les niveaux des trois facteurs les plus influents pourobtenir la meilleure production possible de peacutenicilline (Figure 810)
ndash La concentration en liqueur de maiumls (facteur 1) sera fixeacutee agrave 2 (niveau bas)ndash La concentration en preacutecurseur (facteur 3) sera fixeacutee agrave 005 (niveau haut)ndash Il nrsquoy aura pas de glucose (niveau bas du facteur 5)
Si on veut encore ameacuteliorer leacutegegraverement la production on pourra fixer
ndash la concentration en lactose (facteur 2) agrave 3 (niveau haut) ndash la concentration en nitrate de sodium (facteur 4) agrave 03 (niveau haut)
Figure 89 ndash Diagramme de Daniel permettant de distinguer les effets importants
Peacutenicilline
ndash25
ndash2
ndash15
ndash1
-05
0
05
1
15
2
25
ndash30 ndash20 ndash10 0 10 20
Effet
No
rmit
12345
351
5
3
Effet
82 Exemple 09 le Penicillium chrysogenum(exemple de blocking)
Goupy Livre Page 160 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
83 Exemple 10 les haricots de Yates
161
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
83 Exemple 10 les haricots de Yates
831 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Yates travaillait avec Fisher agrave la station expeacuterimentale de Rothamsted en Angleterredans le Hertfordshire En 1935 il lanccedila une recherche sur lrsquoinfluence des engraissur le rendement drsquoune espegravece de haricots dont les reacutesultats furent publieacutes en1937 il srsquoagit drsquoun des plus anciens plans drsquoexpeacuteriences et il est inteacuteressant de voirque degraves cette eacutepoque les chercheurs avaient su exploiter au mieux les avantagesdes plans drsquoexpeacuteriences dans le milieu agronomique et en particulier utiliser latechnique du blocking pour srsquoaffranchir des multiples facteurs non controcircleacutes quelrsquoon rencontre dans leur domaine Les expeacuteriences eacutetant longues et les terrainsdrsquoexpeacuterimentation eacutetant tregraves grands il nrsquoest pas neacutecessaire de restreindre le nombredrsquoessais et drsquoenvisager des plans fractionnaires Les preacutecautions agrave prendre sont drsquounautre ordre En effet on nrsquoest jamais sucircr que deux terrains aient la mecircme fertiliteacuteSur lrsquoun drsquoeux les plantes vont pousser avec exubeacuterance et sur lrsquoautre elles serontmalingres et rachitiques Comment obtenir lrsquoinfluence drsquoun engrais malgreacute ladiffeacuterence de fertiliteacute de terrains sur lesquels on megravene une mecircme expeacuterimenta-tion Il faut drsquoabord rechercher des terrains assez proches au point de vue fertiliteacuteet envisager ensuite un blocking pour renvoyer lrsquoinfluence de la fertiliteacute sur lefacteur de blockingYates voulait eacutetudier quatre engrais et il avait seacutelectionneacute quatre terrains pour sescultures Comment organiser les plantations pour qursquoagrave la fin des expeacuteriences on
Figure 810 ndash Choix des niveaux des facteurs pour optimiser la production de peacutenicilline
ndash ndash ndash
ndash ndash
1
215
72
0 +1
Po
ids
Maiumls (1)
1 0 +1 1 0 +1
1 0 +1
Preacutecurseur (3)Lactose (2)
Nitrate (4)
1 0 +1
Glucose (5)
215
72
Po
ids
Goupy Livre Page 161 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
162
83 Exemple 10 les haricots de Yates8 bull Ordre des essais
puisse avoir une vue agrave peu pregraves juste de lrsquoinfluence de chaque engrais testeacute Il nrsquoapas choisi la meacutethode maladroite drsquoeacutetudier un engrais par terrain Il a au contrairesavamment disposeacute les essais drsquoun plan drsquoexpeacuteriences sur les quatre terrains et atenu compte de la diffeacuterence de fertiliteacute
m Reacuteponses
La reacuteponse est le poids de haricots reacutecolteacutes par essai
m Objectif de lrsquoeacutetude
Trouver lrsquoinfluence des engrais seuls ou associeacutes entre eux
m Facteurs
Les facteurs retenus par Yates eacutetaient ndash Facteur 1 espace entre les rangeacutees de haricotsndash Facteur 2 quantiteacute de fumurendash Facteur 3 quantiteacute de nitratendash Facteur 4 quantiteacute de superphosphatendash Facteur 5 quantiteacute de potasse
m Domaine drsquoeacutetude
Le domaine drsquoeacutetude est preacuteciseacute dans le tableau 86
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Comme il y a 5 facteurs qui prennent 2 niveaux Yates deacutecida de reacutealiser un plancomplet 25 Mais il prit la preacutecaution de faire un blocking pour renvoyer les diffeacute-rences de fertiliteacute sur des interactions et obtenir ainsi la vraie valeur des effets des5 facteurs du planIl faut reacutepartir les 32 essais sur les 4 terrains dont les fertiliteacutes peuvent ecirctre diffeacute-rentes On srsquoarrange pour mettre 8 essais par terrain Pour diviser 32 par 4 il fautintroduire 2 facteurs de blocking le facteur 6 et le facteur 7 En effet la colonne
Tableau 86 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteurs Niveau ndash1 Niveau +1
Espace entre rangeacutees (1) 18 inches 24 inches
Fumure (2) 0 tonne agrave lrsquoacre 10 tonnes agrave lrsquoacre
Nitrate (3) 0 livre agrave lrsquoacre 50 livres agrave lrsquoacre
Superphosphate (4) 0 livre agrave lrsquoacre 60 livres agrave lrsquoacre
Potasse (5) 0 livre agrave lrsquoacre 100 livres agrave lrsquoacre
Goupy Livre Page 162 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
83 Exemple 10 les haricots de Yates
163
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
du facteur 6 contient autant de signes moins que de signes plus Elle permet dediviser les essais en deux blocs Il en est de mecircme de la colonne 7 En associant lacolonne 6 et la colonne 7 on obtient les 4 blocs (+ +) (+ minus) (minus +) et (minus minus) contenantchacun 8 essaisTout se passe comme si Yates ne reacutealisait pas un plan complet 25 mais un planfractionnaire 27-2 Comme il y a deux facteurs de blocking il faut choisir deuxinteractions Yates aliase le facteur de blocking 6 sur lrsquointeraction 124 et le facteurde blocking 7 sur lrsquointeraction 135
6 = 124 7 = 135
Ces deux geacuteneacuterateurs indeacutependants engendrent le GGA
I = 1246 = 1357 = 234567
On pourrait calculer agrave la main la reacutepartition des essais entre les quatre blocs et crsquoestce qursquoa fait Yates car il nrsquoavait pas drsquoordinateur Il a eacutecrit tous les signes des inter-actions 124 et 135 et les a groupeacutes selon le tableau 87 Le bloc 1 contient tous lesessais dont lrsquointeraction 124 possegravede un signe moins et lrsquointeraction 135 possegravedeun signe moins Le bloc 1 est composeacute des essais n˚ 1 8 11 14 20 21 26 et 31Ce bloc est attribueacute agrave lrsquoun des quatre terrains On opegravere de mecircme pour les autresblocs Aujourdrsquohui on utilise un logiciel pour faire ce travail ce qui est beaucoupplus rapide
m Veacuterification de lrsquointeacuterecirct du blocking
On utilise le modegravele drsquoun plan complet 25 avec toutes les interactions mais certainesseront fausseacutees par la preacutesence des facteurs de blockingVeacuterifions qursquoune diffeacuterence de fertiliteacute entre les terrains ne modifie pas les effetsdes facteurs eacutetudieacutes Pour cela on suppose que la fertiliteacute du premier bloc deacutecale lesreacuteponses de 5 que la fertiliteacute du second bloc deacutecale les reacuteponses de 10 que la fertiliteacutedu troisiegraveme bloc deacutecale les reacuteponses de 15 et que la fertiliteacute du quatriegraveme blocdeacutecale les reacuteponses de 20Seuls le coefficient constant et les interactions choisies pour aliaser les facteurs deblocking sont affecteacutes par le deacutecalage entre les fertiliteacutes des quatre terrains(Figure 811) Les autres coefficients ne sont pas affecteacutes par les variations de ferti-liteacute Tout se passe comme si Yates nrsquoavait eu qursquoun seul terrain de mecircme fertiliteacute
Tableau 87 ndash Deacutefinition des niveaux des facteurs de blocking pour chaque terrain
Terrain 124 135
Bloc 1 minus1 minus1
Bloc 2 +1 minus1
Bloc 3 minus 1 +1
Bloc 4 +1 +1
Goupy Livre Page 163 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
164
83 Exemple 10 les haricots de Yates8 bull Ordre des essais
m Mise en place des essais
On divise le premier terrain en 8 parcelles et on lui attribue au hasard lrsquoun desquatre blocs On y dispose les 8 essais correspondant au bloc On opegravere de mecircmepour les trois autres terrainsComment faut-il disposer les essais sur chaque terrain Il est probable qursquoil y a lagraveaussi de petites variations de fertiliteacute Il est aussi possible que cette variation nesoit pas aleacuteatoire La fertiliteacute peut diminuer progressivement quand on se deacuteplacedu nord au sud ou drsquoest en ouest Toutes les autres variations sont eacutegalement possi-bles Dans ces conditions si on dispose les essais par ordre de numeacutero croissant dunord au sud on aura une correacutelation entre lrsquoerreur introduite par la variation defertiliteacute et le numeacutero drsquoordre des essais Cette situation est tregraves gecircnante pour appli-quer les tests statistiques qui supposent que les eacutecarts (variation de fertiliteacute) sontindeacutependants crsquoest-agrave-dire non correacuteleacutes entre eux Pour pouvoir appliquer les testsstatistiques on a lrsquohabitude de reacutepartir les essais au hasard agrave lrsquointeacuterieur des blocsdonc ici sur le terrain Crsquoest ce que fit Yates
832 Expeacuterimentation
Apregraves cette phase de preacuteparation les cultures sont lanceacutees et surveilleacutees jusqursquoagrave lareacutecolte des haricots Les quantiteacutes recueillies sont peseacutees et le poids de haricots dechaque essai est enregistreacute Ces reacutesultats figurent dans le tableau 88
Figure 811 ndash Veacuterification de lrsquoincidence du blocking
Tableau 88 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux
Essai n˚ 1 2 3 4 5 6 = 124 7 = 135 Bloc Reacuteponses
1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 665
2 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 1 4 362
3 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 minus1 2 748
Veacuterification blocking - Yates
6
4
ndash
ndash
ndash
2
0
2
4
6
1 2 3 4 5
12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 123
124
125
134
135
145
234
235
245
345
1234
1235
1245
1345
2345
1234
5
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cie
nts
Goupy Livre Page 164 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
83 Exemple 10 les haricots de Yates
165
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
Essai n˚ 1 2 3 4 5 6 = 124 7 = 135 Bloc Reacuteponses
4 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 3 547
5 minus1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 3 68
6 1 minus1 1 minus1 minus1 1 minus1 2 233
7 minus1 1 1 minus1 minus1 1 1 4 673
8 1 1 1 minus1 minus1 minus1 minus1 1 705
9 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1 2 567
10 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1 3 299
11 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1 minus1 1 767
12 1 1 minus1 1 minus1 1 1 4 498
13 minus1 minus1 1 1 minus1 1 1 4 363
14 1 minus1 1 1 minus1 minus1 minus1 1 457
15 minus1 1 1 1 minus1 minus1 1 3 608
16 1 1 1 1 minus1 1 minus1 2 646
17 minus1 minus1 minus1 minus1 1 minus1 1 3 636
18 1 minus1 minus1 minus1 1 1 minus1 2 393
19 minus1 1 minus1 minus1 1 1 1 4 513
20 1 1 minus1 minus1 1 minus1 minus1 1 733
21 minus1 minus1 1 minus1 1 minus1 minus1 1 712
22 1 minus1 1 minus1 1 1 1 4 605
23 minus1 1 1 minus1 1 1 minus1 2 737
24 1 1 1 minus1 1 minus1 1 3 925
25 minus1 minus1 minus1 1 1 1 1 4 496
26 1 minus1 minus1 1 1 minus1 minus1 1 743
27 minus1 1 minus1 1 1 minus1 1 3 636
28 1 1 minus1 1 1 1 minus1 2 563
29 minus1 minus1 1 1 1 1 minus1 2 48
30 1 minus1 1 1 1 minus1 1 3 479
31 minus1 1 1 1 1 minus1 minus1 1 77
32 1 1 1 1 1 1 1 4 613
Tableau 88 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux (Suite)
Goupy Livre Page 165 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
166
83 Exemple 10 les haricots de Yates8 bull Ordre des essais
833 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
Lrsquoanalyse de ce plan commence comme drsquohabitude par le calcul des coefficientsdu modegravele polynomial dont toutes les interactions ont eacuteteacute conserveacutees dans lemodegravele (Tableau 89)
Ce tableau est illustreacute par le diagramme agrave barres de la figure 812On obtient 32 coefficients dont les plus eacuteleveacutes sont les suivants ndash Le facteur 2 (fumure) est de loin le plus efficacendash Lrsquointeraction 124 Il ne faut pas ecirctre eacutetonneacute de trouver une interaction drsquoordre 3
si eacuteleveacutee Il srsquoagit en reacutealiteacute drsquoun des deux facteurs de blocking Ce reacutesultat prouveque la fertiliteacute eacutetait tregraves diffeacuterente drsquoun terrain agrave lrsquoautre Sans la preacutecaution du
Tableau 89 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur Effet Valeur
Constante 5891
123 099
Espace entre rangeacutees (1) minus390 124 minus585
Fumure (2) 785 125 minus076
Nitrate (3) 162 134 045
Superphosphate (4) minus275 135 minus308
Potasse (5) 38 145 minus174
234 054
12 252 235 112
13 166 245 minus087
14 147 345 minus242
15 437 1234 minus031
23 257 1235 minus102
24 minus024 1245 minus186
25 minus194 1345 minus317
34 minus258 2345 156
35 2175
45 minus021 12345 239
Goupy Livre Page 166 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
83 Exemple 10 les haricots de Yates
167
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
blocking lrsquointerpreacutetation du plan aurait eacuteteacute complegravetement erroneacutee puisqursquoonaurait attribueacute aux facteurs drsquoeacutetude des rendements provenant des diffeacuterences defertiliteacute du terrain
ndash Lrsquointeraction 15 Lrsquoinfluence de la potasse nrsquoest pas la mecircme selon que les rangssont serreacutes ou non
ndash Le facteur 1 (espace entre les rangs)ndash Le facteur 5 (potasse)ndash Lrsquointeraction 135 Elle correspond au deuxiegraveme facteur de blocking La forte valeur
de cette interaction confirme les fortes dispariteacutes de fertiliteacute entre les terrainsndash Lrsquointeraction 1345 Il srsquoagit de lrsquointeraction entre le facteur 4 (superphosphate)
et la fertiliteacute des terrains Cette interaction traduit le fait que cet engrais nrsquoa pasla mecircme influence selon les terrains
Lrsquoinfluence des autres facteurs et interactions est ensuite de plus en plus faibleNous retiendrons trois facteurs influents
ndash lrsquoespacement entre rangeacutees (facteur 1)ndash la quantiteacute de fumure (facteur 2)ndash la quantiteacute de potasse (facteur 5)
834 Conclusion de lrsquoeacutetude
On peut refaire les calculs avec les trois facteurs preacuteceacutedents et leurs interactionsdrsquoordre 2 Les reacutesultats sont reporteacutes sur la figure 813Srsquoil nrsquoy a ni fumure (niveau bas du facteur 2) ni potasse (niveau bas du facteur 5) et siles rangeacutees sont espaceacutees (niveau haut du facteur 1) le rendement est mauvais (345)On peut ameacuteliorer ce rendement de deux maniegraveres
ndash On resserre les rangeacutees et on ajoute de la fumure Le rendement est doubleacute (706)
Figure 812 ndash Coefficients du modegravele des haricots de Yates
Effets des facteurs - Yates
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 2 3 4 512 13 14 15 23 24 25 34 35 45
123
124
125
134
135
145
234
235
245
345
1234
1235
1245
1345
2345
1234
5
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 167 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
168
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
8 bull Ordre des essais
ndash On conserve les rangeacutees espaceacutees mais on ajoute de la fumure et de la potasseLagrave aussi le rendement est doubleacute (716)
Les deux reacuteglages conduisent agrave peu pregraves au mecircme rendement On peut doncchoisir le plus eacuteconomique ou le plus pratique
84 Exemple 11 le broyeur (exemple de plan anti-deacuterive)
841 Introduction
Nous venons de voir un exemple de variations systeacutematiques les variations parblocs Il existe aussi des variations systeacutematiques par deacuterive de la reacuteponse Il y adeacuterive lorsque la reacuteponse de chaque expeacuterience est augmenteacutee (ou diminueacutee)drsquoune quantiteacute croissante par rapport agrave la reacuteponse sans deacuterive Par exemple lrsquousureprogressive drsquoune piegravece meacutecanique ou le vieillissement drsquoun mateacuteriau peut entraicircnerune variation systeacutematique de la reacuteponse au cours de lrsquoexpeacuterimentation Deuxtypes de deacuterives seront examineacutes la deacuterive lineacuteaire et la deacuterive quelconque Il fautpenser agrave se preacutemunir contre une deacuterive
m Deacuterive lineacuteaire
La reacuteponse du premier essai est y1 quand il nrsquoy a pas de deacuterive Quand il y a deacuteriveelle vaut yprime1 telle que yprime1 = + y1 + hPour le second essai la reacuteponse sans deacuterive est y2 La reacuteponse avec deacuterive yprime2 esttelle que yprime2 = + y2 + 2hLe tableau 810 reacutesume les donneacutees du problegraveme pour un plan 23 en supposantque lrsquoordre des essais soit celui correspondant agrave lrsquoordre habituel crsquoest-agrave-dire agravelrsquoordre de Yates
Figure 813 ndash Rendement des haricots en fonction des trois facteurs les plus influents
Espacement entre rangeacutees
Fumure
(Facteur 5)
(Facteur 1)
(Facteur 2)
Potasse
656 716
591
345
706
588
561
547
Goupy Livre Page 168 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
169
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
La matrice des effets drsquoun plan 23 permet de calculer lrsquoincidence de la deacuterive surchacun des effets et sur chacune des interactions Le tableau 811 illustre ce calcul
On en conclut que les effets sont modifieacutes ainsi
Eprime1 = E1 + 05 h Eprime2 = E2 + 1 h Eprime3 = E3 + 2 h
Eprime12 = E12 Eprime13 = E13 Eprime23 = E23
Eprime123 = E123 Iprime = I + 45 h
Tableau 810 ndash Deacuterive lineacuteaire
Essai Reacuteponses sans deacuterive Reacuteponses avec deacuterive
1 y1 ycent1 = y1 + h
2 y2 ycent2 = y2 + 2h
3 y3 ycent3 = y3 + 3h
4 y4 ycent4 = y4 + 4h
5 y5 ycent5 = y5 + 5h
6 y6 ycent6 = y6 + 6h
7 y7 ycent7 = y7 + 7h
8 y8 ycent8 = y8 + 8h
Tableau 811 ndash Influence de la deacuterive sur les effets drsquoun plan 23
Essai n˚ I 1 2 3 12 13 23 123 Reacuteponses
1 (1) +1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 +1 minus1 1 h
2 (2) +1 +1 minus1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 2 h
3 (3) +1 minus1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 +1 3 h
4 (4) +1 +1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 minus1 4 h
5 (5) +1 minus1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 5 h
6 (6) +1 +1 minus1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 6 h
7 (7) +1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 7 h
8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h
Influence deacuterive 36 h 4 h 8 h 16 h 0 0 0 0
Goupy Livre Page 169 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
170
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
8 bull Ordre des essais
Les quatre interactions ne sont pas influenceacutees par la deacuterive alors que les effetsprincipaux le sont Ne peut-on pas srsquoarranger pour que ce soit lrsquoinverse Il suffit deremarquer que crsquoest lrsquoordre des signes plus et moins des interactions qui annulelrsquoinfluence de la deacuterive Il faut donc organiser les essais pour que les effets principauxutilisent lrsquoordre des signes des interactions Le facteur 1 sera par exemple eacutetudieacutesur la colonne des signes de lrsquointeraction 123 le facteur 2 sur celle de 12 et lefacteur 3 sur celle de 23Ce qui conduit agrave la nouvelle matrice drsquoexpeacuteriences ougrave figurent les mecircmes essaisque dans la matrice initiale mais dans un ordre diffeacuterent Avec les hypothegraveses faites ilfaut adopter lrsquoordre 7 6 2 3 4 1 5 8 Les effets principaux sont alors indeacutependantsde la deacuterive mais les interactions sont eacutevidemment entacheacutees drsquoune erreur commele montre le tableau 812
Il faut retenir que lorsqursquoil y a deacuterive lrsquoordre des essais nrsquoest pas indiffeacuterent sur lereacutesultat et qursquoil faut soigneusement choisir cet ordre pour aboutir agrave des conclusionspertinentes sur les effets principaux et les interactionsEn particulier on se meacutefiera des interactions qui dans ce cas sont fausseacutees parlrsquoerreur de deacuterive On a lagrave un moyen de deacutetecter une deacuterive car il y a trois valeursqui sont dans les proportions 1 2 4Lrsquoordre des essais que nous venons drsquoindiquer nrsquoest pas le seul qui permettedrsquoobtenir des effets principaux vierges de lrsquoinfluence drsquoune deacuterive lineacuteaire On peuteacutecrire 144 ordres diffeacuterents qui reacutealisent ce mecircme objectif pour un plan 23Lrsquoannexe 3 les indique tousSi lrsquoon a pris la preacutecaution drsquoordonner les essais suivant les donneacutees de ce tableauil est possible de deacuteceler une deacuterive (examen des interactions) tout en obtenant debonnes estimations des effets principaux
Tableau 812 ndash Influence de la deacuterive sur les effets drsquoun plan 23 reacuteordonneacute
Essai n˚ I 1prime 2prime 3prime 1prime2prime 1prime3prime 2prime3prime 1prime2prime3prime Reacuteponses
7 (1) +1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 +1 minus1 1 h
6 (2) +1 +1 minus1 minus1 minus1 minus1 +1 +1 2 h
2 (3) +1 minus1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 +1 3 h
3 (4) +1 +1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 minus1 4 h
4 (5) +1 minus1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 5 h
1 (6) +1 +1 minus1 +1 minus1 +1 minus1 minus1 6 h
5 (7) +1 minus1 +1 +1 minus1 minus1 +1 minus1 7 h
8 (8) +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 8 h
Influence deacuterive 36 h 0 0 0 16 h 4 h 0 8 h
Goupy Livre Page 170 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
171
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
m Deacuterive quelconque
Lrsquoexpeacuterimentateur redoute une deacuterive mais il nrsquoa aucune raison de penser qursquoelleest lineacuteaire Il deacutesire mieux la connaicirctre et pouvoir le cas eacutecheacuteant calculer les effetscomme srsquoil nrsquoy avait pas eu de perturbation
842 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Un expeacuterimentateur deacutesire augmenter la quantiteacute de poudre qursquoil produit avec unbroyeur Il redoute une usure des macircchoires qui risque drsquointroduire une deacuterive etdonc drsquoobtenir des effets fausseacutes
m Objectif de lrsquoeacutetude
Obtenir les effets des facteurs principaux comme srsquoil nrsquoy avait pas de deacuterive
m Reacuteponses
La reacuteponse est la masse de poudre (en grammes) qui sort agrave la bonne granulomeacutetriedu broyeur chaque essai ayant la mecircme dureacutee
m Facteurs
Les facteurs agrave prendre en compte sont
ndash la vitesse de rotation (facteur 1)ndash la pression drsquoeacutecrasement (facteur 2)ndash la hauteur de lrsquoentrefer (facteur 3)
m Choix du plan drsquoexpeacuteriences
Comme il y a trois facteurs agrave eacutetudier le plus simple est de choisir un plan factorielcomplet 23 Mais la preacutesence drsquoune deacuterive eacuteventuelle incite lrsquoexpeacuterimentateur agravechoisir un plan anti-deacuterive Mecircme si la deacuterive nrsquoest pas lineacuteaire les effets principauxseront peu affecteacutes par cette cause drsquoerreur Mais il vaut mieux en plus pouvoireacutevaluer exactement lrsquoinfluence de cette deacuterive Pour cela il faut inseacuterer des pointsde reacutepeacutetition dans le plan drsquoexpeacuteriences afin de suivre lrsquoeacutevolution de la deacuterive et depouvoir apporter les corrections neacutecessaires agrave lrsquoobtention des effets comme srsquoil nrsquoyavait pas de deacuterive Le nombre de reacutepeacutetitions deacutepend de lrsquoenjeu de lrsquoeacutetude et ducoucirct des essais Il faut preacutevoir au moins un point de reacutepeacutetition au deacutebut au milieuet agrave la fin du plan On peut preacutevoir au plus un point de reacutepeacutetition entre chaque essaidu plan En fonction de lrsquoenjeu de lrsquoeacutetude et du budget lrsquoexpeacuterimentateur choisiraentre 3 et 9 points au centre pour suivre la deacuterive Lrsquoexemple est deacuteveloppeacute avec9 points au centreLrsquoexpeacuterimentateur tire donc au hasard lrsquoordre drsquoun plan anti-deacuterive dans la liste des144 ordres possibles et incorpore un point de reacutepeacutetition entre chaque essai du planLrsquoordre tireacute au hasard est 6 7 3 2 4 1 5 8 Les points au centre sont numeacuteroteacutes avecun 0 devant le chiffre de lrsquoessai Le plan anti-deacuterive complet comprend donc9 + 8 = 17 essais Le tableau 813 rassemble les expeacuteriences reacutealiseacutees et les reacuteponsesobtenues
Goupy Livre Page 171 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
172
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
8 bull Ordre des essais
843 Reacutealisation des essais
Les essais sont scrupuleusement reacutealiseacutes dans lrsquoordre preacutevu par le plan drsquoexpeacuterienceset les reacutesultats sont consigneacutes dans le tableau 813
844 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
Lrsquoexamen de la suite des valeurs obtenues pour le point au centre montre claire-ment qursquoil y a deacuterive On peut la tracer sur un graphique en portant en ordonneacuteesles valeurs de la reacuteponse et en abscisses les numeacuteros des expeacuteriences (Figure 814)
Tableau 813 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats bruts des mesures
Essai n˚Vitesse rotation
(1)Pression
(2)Entrefer
(3)Reacuteponses
01 0 0 0 500
6 (1) + minus + 493
02 0 0 0 460
7 (2) minus + + 410
03 0 0 0 426
3 (3) minus + minus 402
04 0 0 0 393
2 (4) + minus minus 410
05 0 0 0 363
4 (5) + + minus 434
06 0 0 0 335
1 (6) minus minus minus 261
07 0 0 0 309
5 (7) minus minus + 216
08 0 0 0 285
8 (8) + + + 338
09 0 0 0 263
Niveau minus 40 4 020
Niveau 0 50 6 025
Niveau + 60 8 030
Goupy Livre Page 172 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
173
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
On portera eacutegalement sur le mecircme graphique les reacuteponses correspondant aux pointsexpeacuterimentaux du plan 23
Bien que la deacuterive ne soit pas lineacuteaire le calcul des effets (Tableau 814) fait appa-raicirctre des interactions dans les rapports proches de 0 1 2 et 4 Les effets princi-paux ne devraient pas ecirctre trop loin des valeurs reacuteelles Il est bien apparent sur cetexemple que les interactions ne sont en aucun cas des estimations de lrsquoerreur surles coefficients Seule lrsquointeraction 13 pourrait ecirctre consideacutereacutee comme telle (Rappelonsque le calcul des effets et des interactions est effectueacute sans les points de controcircleau centre)
Figure 814 ndash Les reacutepeacutetitions au point central permettent de faire apparaicirctre la deacuterive
Tableau 814 ndash Coefficients obtenus sans corrections (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
Constante 3705
Vitesse rotation (1) 4825
Pression (2) 255
Entrefer (3) minus625
12 minus5825
13 3
23 minus1575
123 minus29
Broyeur
200
250
300
350
400
450
500
550
01 6 02 7 03 3 04 2 05 4 06 1 07 5 08 8 09
Nom de lessai
Po
ids
Goupy Livre Page 173 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
174
84 Exemple 11 le broyeur(exemple de plan anti-deacuterive)
8 bull Ordre des essais
La deacuterive nrsquoeacutetant pas tout agrave fait lineacuteaire il nrsquoest pas possible drsquoutiliser les formulesdu paragraphe preacuteceacutedent pour faire les corrections Nous allons adopter unemeacutethode graphique Entre les essais n˚ 01 et 02 lrsquoeacutecart est de 40 g soit 20 g pourlrsquoessai n˚ 6 exeacutecuteacute entre les essais n˚ 01 et 02 On suppose que srsquoil nrsquoy avait pas eu dedeacuterive le reacutesultat trouveacute aurait eacuteteacute plus fort de 20 g soit 493 + 20 = 513 g Pourlrsquoessai n˚ 7 (exeacutecuteacute en second) la valeur moyenne au point milieu a eacuteteacute 12(460+ 426) = 443 g au lieu de 500 g soit 57 g en moins Le reacutesultat de lrsquoessai n˚ 7 doitecirctre augmenteacute drsquoautant 410 + 57 = 467 g (Tableau 815)
On effectue de mecircme la correction de toutes les reacuteponses des essais du plan factorielOn recalcule ensuite les effets et les interactions avec ces reacuteponses corrigeacutees Onobtient de cette faccedilon les coefficients comme srsquoil nrsquoy avait pas eu de deacuterive Letableau 815 indique les reacuteponses corrigeacutees de la deacuterive et le tableau 816 indiqueles effets recalculeacutes avec ces nouvelles valeurs
Tableau 815 ndash Reacuteponses corrigeacutees de la deacuterive (uniteacutes codeacutees)
Essai n˚Reacuteponses corrigeacutees
(g)
6 513
7 467
3 492
2 530
4 584
1 438
5 420
8 566
Tableau 816 ndash Coefficients corrigeacutes de la deacuterive (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
Constante 50125
Vitesse rotation (1) 47
Pression (2) 26
Entrefer (3) minus975
12 075
13 1
23 minus1
123 075
Goupy Livre Page 174 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
85 Avantages et dangers de la randomisation
175
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
845 Conclusion de lrsquoeacutetude
Les trois facteurs eacutetudieacutes sont influents sur le rendement en poudre Le plus importantest la vitesse de rotation qui doit ecirctre drsquoau moins 60 trmin La pression du ressortdoit ecirctre reacutegleacutee le plus fort possible ici agrave 8 Lrsquoentrefer doit ecirctre agrave 020 niveau basdu reacuteglageIl nrsquoy a pas drsquointeraction entre ces facteursDe jour en jour on constate une forte diminution du rendement due agrave une usuredes macircchoiresIl sera donc neacutecessaire de changer la nature des macircchoires pour eacuteviter la diminutionde rendement Il faudra eacutegalement examiner si une vitesse de rotation plus eacuteleveacuteeet une pression plus forte ne pourraient pas ameacuteliorer encore le rendement
85 Avantages et dangers de la randomisation
Nous avons deacutejagrave signaleacute que la randomisation consiste agrave choisir lrsquoordre des essaisde maniegravere aleacuteatoire Le but essentiel est de pouvoir utiliser les tests statistiquesmecircme srsquoil reste de petites erreurs systeacutematiques Mais la transformation des erreurssysteacutematiques en erreurs aleacuteatoires nrsquoest pas toujours une bonne chose En effetlrsquoerreur systeacutematique vient grossir lrsquoerreur aleacuteatoire Il devient alors plus difficile dedeacutetecter les facteurs peu influents Si les erreurs systeacutematiques sont importantes larandomisation peut devenir une technique catastrophique Les erreurs systeacutematiquesdoivent ecirctre eacutelimineacutees avant la randomisationLa proceacutedure correcte est drsquoeacuteliminer drsquoabord les erreurs systeacutematiques les plusimportantes en utilisant le blocking ou les plans anti-deacuterive et de randomiser ensuiteQuels auraient eacuteteacute les reacutesultats du plan avec deacuterive si les expeacuterimentateurs avaientsimplement randomiseacute les essais sans se meacutefier de la deacuterive On suppose que lesessais ont eacuteteacute tireacutes au hasard (ordre 1 5 8 7 4 6 2 3) et qursquoaucun point de reacutepeacutetitionnrsquoa eacuteteacute reacutealiseacuteAgrave lrsquoaide des reacutesultats deacutejagrave trouveacutes on peut recalculer les reacuteponses que lrsquoexpeacuterimen-tateur aurait mesureacutees La matrice drsquoexpeacuteriences serait preacutesenteacutee selon le tableau 817et lrsquoexpeacuterimentateur en aurait deacuteduit les effets qui figurent dans le tableau 818Les effets ainsi calculeacutes sont complegravetement faux ainsi que les interactions Nousnrsquoinsisterons pas sur les conseacutequences que peuvent avoir de telles erreurs de conceptionet drsquoorganisation des essais
Tableau 817 ndash Reacutesultats bruts des mesures drsquoun plan simplement randomiseacute
Essai n˚Vitesse de rotation
(1)Pression
(2)Entrefer
(3)Reacuteponses
1 (1) + ndash + 415
5 (2) ndash + + 358
8 (3) ndash + ndash 474
Goupy Livre Page 175 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
176
85 Avantages et dangers de la randomisation8 bull Ordre des essais
Afin de comparer les diffeacuterentes techniques drsquoorganisation de lrsquoordre des essais leseffets obtenus ont eacuteteacute rassembleacutes dans le tableau 819 et illustreacutes par la figure 815(1) Plan anti-deacuterive Les effets des facteurs principaux sont obtenus viergesde lrsquoinfluence de la deacuterive Mais les interactions sont fausses Lrsquoexpeacuterimentateurse doutait de la deacuterive mais il ne pouvait reacutealiser que huit essais il a choisi lesmeilleures conditions drsquoexpeacuterimentation mais il ne devra pas tirer de conclusionssur les interactions
Essai n˚Vitesse de rotation
(1)Pression
(2)Entrefer
(3)Reacuteponses
7 (4) + ndash ndash 342
4 (5) + + ndash 433
6 (6) ndash ndash ndash 337
2 (7) ndash ndash + 332
3 (8) + + + 259
Niveau ndash 40 4 020
Niveau 0 50 6 025
Niveau + 60 8 030
Tableau 818 ndash Coefficients drsquoun plan simplement randomiseacute (uniteacutes codeacutees)
Effet Valeur
Constante 36875
Vitesse rotation (1) 2525
Pression (2) 825
Entrefer (3) 9
12 5125
13 25
23 22
123 minus13
Tableau 817 ndash Reacutesultats bruts des mesures drsquoun plan simplement randomiseacute (Suite)
Goupy Livre Page 176 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
85 Avantages et dangers de la randomisation
177
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
8 bull Ordre des essais
(2) Correction complegravete de la deacuterive sur toutes reacuteponses Les effets et les inter-actions sont justes mais au prix drsquoun nombre eacuteleveacute drsquoexpeacuteriences (3) Simple randomisation sans tenir compte de la deacuterive Les effets des facteursprincipaux et des interactions sont faux Le manque de clairvoyance de lrsquoexpeacuteri-mentateur peut ecirctre catastrophiqueIl faut retenir de cet exemple qursquoil est neacutecessaire de srsquoaffranchir drsquoabord des erreurssysteacutematiques en utilisant le blocking ou les plans anti-deacuterive puis de randomiserensuite
Tableau 819 ndash Comparaison des trois techniques
Effets Plan anti-deacuteriveReacuteponses corrigeacutees
de la deacuteriveRandomisation
Constante 3705 50125 36875
Vitesse rotation (1) 4825 47 2525
Pression (2) 255 26 825
Entrefer (3) minus625 minus975 9
12 minus5825 075 5125
13 3 1 25
23 minus1575 minus1 22
123 minus29 075 minus13
Figure 815 ndash Diagrammes agrave barres de comparaison des trois meacutethodes
Comparaison des trois meacutethodes
60
40
ndash
ndash
ndash
20
0
20
40
60
1 2 3 12 13 23 123
Nom des effets
Val
eur
des
eff
ets
Anti-deacuterive Reacuteponses corrigeacutees Simple randomisation
Goupy Livre Page 177 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
Goupy Livre Page 178 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
179
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull PLANS POUR SURFACES DE REacutePONSE
Les plans examineacutes preacuteceacutedemment nrsquoavaient que deux niveaux drsquoeacutetude par facteuret les modegraveles matheacutematiques utiliseacutes eacutetaient du premier degreacute (avec ou sans inter-actions) par rapport agrave chaque facteur Ces plans sont les plus employeacutes car ilspermettent le criblage des facteurs et conduisent parfois agrave des modeacutelisationssimples mais suffisantes Pourtant il existe de nombreux cas ougrave il est neacutecessairedrsquoavoir une bonne modeacutelisation des pheacutenomegravenes eacutetudieacutes et ougrave il faut passer agrave desmodegraveles matheacutematiques du second degreacute On fait alors appel aux plans pour surfacesde reacuteponse Ces plans utilisent des modegraveles polynomiaux du second degreacute Nouseacutetudierons les trois plus importants plans de ce type les plans composites les plansde Box-Behnken et les plans de DoehlertLe modegravele matheacutematique postuleacute utiliseacute avec les plans pour surfaces de reacuteponse estun modegravele du second degreacute avec interactions drsquoordre 2
ndash pour deux facteurs
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e
ndash pour trois facteurs
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2+ a13x1x3+ a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e
91 Preacutesentation des plans composites
Les plans composites se precirctent bien au deacuteroulement seacutequentiel drsquoune eacutetude Lapremiegravere partie de lrsquoeacutetude est un plan factoriel complet ou fractionnaire compleacuteteacutepar des points au centre pour veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI (termes dupremier degreacute et termes drsquointeractions) Si les tests de validation sont positifs (lareacuteponse mesureacutee au centre du domaine est statistiquement eacutegale agrave la reacuteponsecalculeacutee au mecircme point) lrsquoeacutetude srsquoachegraveve le plus souvent mais srsquoils sont neacutegatifson entreprend des essais suppleacutementaires pour eacutetablir un modegravele du second degreacuteLes essais suppleacutementaires sont repreacutesenteacutes par des points drsquoexpeacuteriences situeacutes surles axes de coordonneacutees et par de nouveaux points centraux Les points situeacutes surles axes de coordonneacutees sont appeleacutes les points en eacutetoile Les plans compositespreacutesentent donc trois parties (Figure 91)
ndash Le plan factoriel crsquoest un plan factoriel complet ou fractionnaire agrave deux niveauxpar facteurs Les points expeacuterimentaux sont aux sommets du domaine drsquoeacutetude
x12 x2
2
x12 x2
2 x32
Goupy Livre Page 179 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
180
92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
ndash Le plan en eacutetoile les points du plan en eacutetoile sont sur les axes et ils sont engeacuteneacuteral tous situeacutes agrave la mecircme distance du centre du domaine drsquoeacutetude
ndash Les points au centre du domaine drsquoeacutetude On preacutevoit toujours des points expeacute-rimentaux situeacutes au centre du domaine drsquoeacutetude et cela aussi bien pour les plansfactoriels que pour les plans en eacutetoile
Le nombre total n drsquoessais agrave reacutealiser est la somme des essais du plan factoriel (nf )des essais du plan en eacutetoile (nα) et des essais au centre (n0) Le nombre n des essaisdrsquoun plan composite est donneacute par la relation
n = nf + na + n0
Le nombre de niveaux est 5 pour chacun des facteurs et seulement 3 lorsque lrsquoon aun plan composite agrave faces centreacutees
92 Preacutesentation des plans de Box-Behnken
Box et Behnken ont proposeacute en 1960 ces plans qui permettent drsquoeacutetablir directementdes modegraveles du second degreacute Tous les facteurs ont trois niveaux minus1 0 et +1 Cesplans sont faciles agrave mettre en œuvre et possegravedent la proprieacuteteacute de seacutequentialiteacute Onpeut entreprendre lrsquoeacutetude des k premiers facteurs en se reacuteservant la possibiliteacute drsquoenajouter de nouveaux sans perdre les reacutesultats des essais deacutejagrave effectueacutesLe plan de Box-Behnken pour trois facteurs est construit sur un cube Pour quatrefacteurs ce plan est construit sur un hypercube agrave quatre dimensions On place lespoints expeacuterimentaux non pas aux sommets du cube ou de lrsquohypercube mais aumilieu des arecirctes ou au centre des faces (carreacutes) ou au centre des cubes Cettedisposition a pour conseacutequence de reacutepartir tous les points expeacuterimentaux agrave eacutegaledistance du centre du domaine drsquoeacutetude donc sur une sphegravere ou sur une hyper-sphegravere suivant le nombre de dimensions On ajoute des points au centre dudomaine drsquoeacutetude
Figure 91 ndash Plan composite pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points factoriels sont en noirs les points en eacutetoile sont en gris clair les points centraux sont en blanc
+1ndash1
+1
ndash1
Facteur 2
Facteur 1
+ α
+α
minus α
minus α
Goupy Livre Page 180 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
93 Preacutesentation des plans de Doehlert
181
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Le plan de Box-Behnken pour trois facteurs est illustreacute par la figure 92 Le cubepossegravede 12 arecirctes On a lrsquohabitude drsquoajouter des points drsquoexpeacuteriences au centre dudomaine drsquoeacutetude en geacuteneacuteral trois Le plan de Box-Behnken pour 3 facteurs possegravededonc 12 + 3 essais soit 15 essais On pourra remarquer qursquoavec 4 points au centreau lieu de 3 on obtient un plan qui reacutepond au critegravere de presque-orthogonaliteacute
93 Preacutesentation des plans de Doehlert
Les points drsquoexpeacuteriences des plans proposeacutes par David H Doehlert en 1970remplissent de maniegravere uniforme lrsquoespace expeacuterimental Pour deux facteurs lespoints expeacuterimentaux sont situeacutes aux sommets drsquoun hexagone reacutegulier et il y a unpoint au centre (Figure 93) Ayant sept points expeacuterimentaux ce plan permet decalculer au moins sept inconnues donc sept coefficients Comme les points expeacute-rimentaux sont reacuteguliegraverement reacutepartis dans lrsquoespace expeacuterimental il sera faciledrsquoeacutetendre le plan vers nrsquoimporte quelle direction de lrsquoespace en ajoutant des pointsqui seront eux aussi reacuteguliegraverement reacutepartisCes plans permettent eacutegalement lrsquointroduction facile de nouveaux facteurs Lesnouvelles expeacuteriences viendront compleacuteter les premiegraveres et aucune expeacuterience nesera perdue La seule preacutecaution agrave prendre est de maintenir les facteurs non eacutetudieacutesagrave une valeur constante (niveau 0) pendant lrsquoeacutetude des facteurs actifsLe tableau 91 est la traduction sous forme de matrice drsquoexpeacuteriences de la figure 93La disposition des points selon la figure 93 conduit agrave cinq niveaux pour le facteur1 et trois niveaux pour le facteur 2 Avant drsquoattribuer les numeacuteros aux facteurs onveacuterifiera qursquoils sont compatibles avec ces nombres de niveaux
Figure 92 ndash Illustration du plan de Box-Behnken pour trois facteurs Il y a douze points drsquoexpeacuteriences au milieu des arecirctes du cube et trois points au centre
12
3 4
8
10
7
9
6
11
5
12
13 agrave 15
Facteur 1
Facteur 3
Facteur 2_
__
+
+
+
Goupy Livre Page 181 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
182
93 Preacutesentation des plans de Doehlert9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Si lrsquoon eacuteprouve quelques difficulteacutes on peut toujours adopter un autre plan deDoehlert en faisant tourner lrsquohexagone La figure 94 illustre une autre dispositiondu mecircme plan apregraves une rotation de 90˚ Crsquoest maintenant le facteur 1 qui a 3 niveauxet le facteur 2 qui en a 5
Figure 93 ndash Plan de Doehlert pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points sont reacuteguliegraverement disposeacutes sur un hexagone et il y a un point central
Tableau 91 ndash Plan de Doehlert pour deux facteurs
Essai n˚ Facteur 1 Facteur 2
0866 =
1 0 0
2 + 1 0
3 + 05 + 0866
4 minus 05 + 0866
5 minus 1 0
6 minus 05 minus 0866
7 + 05 minus 0866
+ 1
ndash 1
+ 1
- 1
ndash 0866
+ 1
+ 0866
ndash 05 + 051
5
6
4 3
2
7
x2
x1
32
--------
Goupy Livre Page 182 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
93 Preacutesentation des plans de Doehlert
183
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Tous les points du plan de Doehlert sont sur un cercle de rayon uniteacute (en grandeurscentreacutees reacuteduites) Le domaine deacutefini par les plans de Doehlert est un domainespheacuterique un cercle dans un espace agrave deux dimensions une sphegravere dans un espaceagrave trois dimensions une hypersphegravere dans un espace agrave plus de trois dimensionsSi les reacutesultats chercheacutes ne sont pas dans le domaine drsquoeacutetude on peut eacutetendre cedomaine dans la direction ougrave lrsquoon a le plus de chances de trouver la solutionsouhaiteacutee Il suffit drsquoajouter trois points drsquoexpeacuteriences (Tableau 92) et lrsquoonretrouve un nouveau plan de Doehlert (Figure 95) En effet les points n˚ 2 1 78 9 10 et 3 forment un nouvel hexagone On peut eacutetendre le plan drsquoexpeacuteriencesdans les autres directions
Figure 94 ndash Autre disposition possible des points drsquoun plan de Doehlert pour lrsquoeacutetude de deux facteurs Les points sont toujours
reacuteguliegraverement disposeacutes dans lrsquoespace expeacuterimental
Tableau 92 ndash Points drsquoextension du plan de Doehlert pour deux facteurs
Essai n˚ Facteur 1 Facteur 2
8 +15 minus0866
9 +2 0
10 +15 +0866
ndash 1
+ 1+ 1
- 1ndash 0866
+ 1
+ 08661
5
6
4
3
2
7
x1
x2
Goupy Livre Page 183 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
184
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre (exemple de plan composite)
941 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Un contremaicirctre nrsquoest pas content de lrsquoeacutetat de surface des piegraveces meacutetalliques quisont fabriqueacutees dans son atelier Le dernier usinage celui qui donne lrsquoaspect final agravela piegravece est la rectification Crsquoest donc cette technique que le contremaicirctre chercheagrave ameacuteliorer Lrsquoeacutetat de surface des piegraveces est caracteacuteriseacute par la rugositeacute et par lenombre de pics par uniteacute de longueur Le contremaicirctre serait enchanteacute srsquoil pouvaitobtenir des piegraveces de rugositeacute infeacuterieure agrave 0150 et un nombre de pics infeacuterieur agrave50 Srsquoil atteint cet objectif lrsquoeacutetat de surface de ses piegraveces serait consideacutereacute commeparfait et ses clients auraient tout lieu drsquoecirctre satisfaitsPour obtenir lrsquoeacutetat de surface voulu le contremaicirctre a reacutealiseacute des essais en se fiant agraveson bon sens et agrave son expeacuterience Mais toutes ses tentatives ont eacutechoueacute et les reacutesultatssemblent mecircme contradictoires Tantocirct une augmentation de la vitesse de coupeameacuteliore la qualiteacute tantocirct elle la deacuteteacuteriore Ne sachant plus que faire le contre-maicirctre deacutecide de mettre en œuvre les recommandations du stage de plans drsquoexpeacute-riences qursquoil vient de suivreLa piegravece meacutetallique est fermement maintenue sur un support Une meule arracheune fine pellicule de meacutetal agrave la surface de la piegravece Cet outil est un disque abrasifqui tourne agrave grande vitesse et avance lentement en arrachant de petits copeaux demeacutetal (Figure 96) Lrsquoeacutepaisseur de meacutetal arracheacute agrave chaque passe est reacuteglable La
Figure 95 ndash Extension drsquoun plan de Doehlert agrave deux facteurs Trois points suffisent pour retrouver un nouveau plan de Doehlert
+ 1
ndash 1
- 1
ndash 0866
+ 1
+ 0866
ndash 05 + 051
5
6
43
2
7
10
9
8
x2
x1
Goupy Livre Page 184 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
185
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
derniegravere passe est celle qui contribue le plus agrave lrsquoaspect final de la piegravece Il faut alorseacuteviter drsquoexercer de trop fortes contraintes sur la meule et on nrsquoenlegraveve qursquoune tregravesfine couche de matiegravereLes reacuteglages en usage dans lrsquoatelier sont
ndash vitesse drsquoavancement (09 mmin) ndash vitesse tangentielle de coupe rapide (20 ms)
m Reacuteponses et objectifs de lrsquoeacutetude
Les reacuteponses choisies par lrsquoexpeacuterimentateur sont la rugositeacute et le nombre de picspar uniteacute de longueur (Figure 97) Les reacuteponses sont deacutefinies ainsi
ndash Rugositeacute la rugositeacute est mesureacutee par une meacutethode normaliseacutee Il faut obtenirla valeur la plus faible possible Une valeur infeacuterieure agrave 0150 serait une reacuteussiteLrsquoeacutecart-type de cette mesure est de 0002 uniteacute
ndash Pics par uniteacute de longueur on compte le nombre de pics par uniteacute de lon-gueur Ce nombre doit ecirctre le plus petit possible On vise un nombre de picsinfeacuterieur agrave 50 par uniteacute de longueur Lrsquoeacutecart-type de cette mesure est de deux uniteacutes
m Facteurs
Le contremaicirctre retient deux facteurs
ndash Facteur 1 vitesse drsquoavancement de la meule (en mmin)ndash Facteur 2 vitesse tangentielle de coupe (en ms) Cette vitesse est lieacutee agrave la
vitesse de rotation et au diamegravetre de la meule
Figure 96 ndash Scheacutema drsquousinage drsquoune piegravece par rectification La meule avance en tournant et elle aplanit la surface
Figure 97 ndash Grossissement de la surface rectifieacutee Lors de lrsquousinage des pics sont creacuteeacutes par arra-chement de matiegravere agrave la surface de la piegravece Suivant leur nombre et leur hauteur ces pics sont
responsables de la rugositeacute et de lrsquoaspect de la surface usineacutee
Piegravece agrave usiner
AvanceMeule
Rotation
Rugositeacute
Pic
Goupy Livre Page 185 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
186
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
De nombreux autres facteurs sont fixeacutes la forme et la matiegravere de la meule laqualiteacute drsquoabrasion de la meule le meacutetal travailleacute la profondeur de la derniegravere passe(002 mm) etc
m Domaine drsquoeacutetude
Les niveaux haut et bas de chaque facteur sont deacutefinis comme lrsquoindique le tableau 93
m Choix du plan expeacuterimental
Le contremaicirctre commence par un plan factoriel classique mais il soupccedilonne qursquoilsera obligeacute de poursuivre lrsquoeacutetude par un plan pour surfaces de reacuteponse Il preacutevoitdonc deux points de controcircle au centre du domaine drsquoeacutetude
942 Expeacuterimentation (plan factoriel)
Les reacutesultats des essais sont rassembleacutes dans le tableau 94
Tableau 93 ndash Domaine drsquoeacutetude
FacteurNiveaundash121
Niveaundash1
Niveau0
Niveau+1
Niveau+121
Vitesse drsquoavancement (1) 074 09 165 24 256
Vitesse de coupe (2) 1395 15 20 25 2605
Tableau 94 ndash Plan factoriel et reacutesultats
Essai n˚Avance
(1)Coupe
(2)Rugositeacute times 1 000 Pics
1 minus1 minus1 194 778
2 +1 minus1 282 684
3 minus1 +1 120 653
4 +1 +1 91 961
5 0 0 233 638
6 0 0 235 619
Niveau ndash1 09 15
Niveau 0 165 20
Niveau 1 24 25
Goupy Livre Page 186 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
187
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
943 Interpreacutetation des reacutesultats du plan factoriel
Les reacutesultats des calculs figurent dans le tableau 95 Rappelons que les coefficientssont calculeacutes avec les quatre essais du plan et sans les points de controcircle
m Veacuterification du modegravele PDAI
On veacuterifie la validiteacute du modegravele du premier degreacute avec interactions en comparant lareacuteponse calculeacutee au point de controcircle avec la reacuteponse mesureacutee en ce mecircme pointPour la rugositeacute la reacuteponse calculeacutee au centre du domaine est eacutegale agrave la constantedu modegravele et lrsquoon prend une marge de trois eacutecarts-types
acirc0 = 17175 plusmn 3 = 17175 plusmn 3
Il y a donc 9974 chances que la moyenne de la population de la reacuteponse calculeacuteesoit dans lrsquointervalle [16875 17475]La reacuteponse mesureacutee est eacutegale agrave
y0 = = 234 plusmn 3 = 234 plusmn 424
Il y a donc 9974 chances que la moyenne de la population de la reacuteponse mesureacuteesoit dans lrsquointervalle [22976 23824]Les deux intervalles ne se recouvrent pas (Figure 98) On peut conclure avec une tregravesgrande probabiliteacute de ne pas se tromper que les deux valeurs ne sont pas eacutegales
Tableau 95 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Effet Rugositeacute times 1 000 Pics
Constante 17175 769
Avance (1) 1475 535
Coupe (2) minus6625 38
12 minus2925 1005
Figure 98 ndash Comparaisons des reacuteponses mesureacutees et calculeacutees
2
4-------times
233 235+2
------------------------ 2
2-------times
0
005
01
015
02
025
03
035
04
045
160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250
Reacuteponses
Den
siteacute
de
freacuteq
uenc
e
Goupy Livre Page 187 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
188
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
On peut aussi employer la formule de comparaison des moyennes (voir annexe 2)
La diffeacuterence entre les deux reacuteponses est de 3594 eacutecarts-types de la diffeacuterence Laprobabiliteacute correspondante est tellement faible qursquoelle correspond agrave la certitudeque les deux valeurs ne sont pas eacutegalesLa conclusion est que le modegravele PDAI ne convient pas et qursquoil faut passer agrave unmodegravele du second degreacute Pour cela il faut ajouter des points en eacutetoile et des pointsau centre
m Position des points en eacutetoile
Crsquoest un sujet qui a passionneacute de nombreux statisticiens et il existe des livresentiers sur cette question En effet il faut savoir que la preacutecision des coefficientsdu modegravele postuleacute est influenceacutee par la position des points du plan drsquoexpeacuteriencesSelon que les points sont bien ou mal placeacutes on peut obtenir les coefficients avecune bonne ou une mauvaise preacutecision Avec les plans agrave deux niveaux baseacutes sur lesmatrices drsquoHadamard (plans factoriels complets fractionnaires et plans de Plackettet Burman) on est sucircr que les points sont toujours bien placeacutes Avec les plans dusecond degreacute il nrsquoen est plus de mecircme Il faut choisir un critegravere de qualiteacute pour lescoefficients En fonction de ce critegravere on calcule la meilleure position possible despoints drsquoexpeacuteriences On suppose que les points axiaux sont agrave la mecircme distance(en grandeurs centreacutees reacuteduites) du centre du domaine drsquoeacutetude et cette distance estnoteacutee aPar exemple on peut vouloir que lrsquoerreur de preacutediction soit la mecircme pour desdistances eacutegalement eacuteloigneacutees du centre du domaine Dans ce cas on choisit lecritegravere drsquoisovariance par rotation La valeur de a est eacutegale agrave
Si lrsquoon veut que le plan composite satisfasse le critegravere drsquoisovariance par rotation ilfaut placer les points en eacutetoile agrave une distance a eacutegale agrave la racine quatriegraveme dunombre de points du plan factorielOn peut vouloir que les coefficients reacutepondent au critegravere de presque-orthogonaliteacuteil faut alors choisir a tel que
La valeur de a est fonction du nombre de points au centre du nombre de pointsdu plan factoriel et du nombre de points du plan en eacutetoile Le tableau 96 permet dechoisir la valeur de α pour les cas les plus souvent rencontreacutes
tacirc0 y0ndash
σa0
2 σy0
2+------------------------ 17175 ndash 234
1 2
+------------------------------- 6225
1732 ------------- 3594 = = = =
α nf1 4frasl=
αnf ( n0 nf nα+ + nf)ndash
2
4--------------------------------------------------------------
⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞
14---
=
Goupy Livre Page 188 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
189
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
944 Plan compleacutementaire pour le second degreacute
Le contremaicirctre preacutevoit de faire deux nouveaux points au centre Pour que le plancomposite agrave deux facteurs respecte le critegravere de presque-orthogonaliteacute il fautchoisir
α
=
121 puisqursquoil y a 4 points factoriels 4 points en eacutetoile et 4 points aucentre Le plan est exeacutecuteacute et les reacutesultats figurent dans le tableau 97
Tableau 96
ndash Valeur de
α
en fonction du nombre de points factoriels (
n
f
) en eacutetoile (
n
α
) et centraux (
n
0
) pour le critegravere de presque-orthogonaliteacute
Nombre de facteurs
2 3 4 5 5 6 6
Plan
2
2
2
3
2
4
2
5-1
2
5
2
6-1
2
6
n
f
4 8 16 16 32 32 64
n
α
4 6 8 10 10 12 12
n
0
= 1
1 1215 1414 1547 1596 1724 1761
n
0
= 2
1078 1287 1483 1607 1662 1784 1824
n
0
= 3
1147 1353 1547 1664 1724 1841 1885
n
0
= 4
1210 1414 1607 1719 1784 1896 1943
Tableau 97
ndash Plan drsquoexpeacuteriences compleacutementaire et reacutesultats
Essai n˚Avance
1Coupe
2Rugositeacute
times
1 000 Pics
7
minus
121 0 154 523
8 +121 0 195 604
9 0
minus
121 278 870
10 0 +121 122 957
11 0 0 232 615
12 0 0 230 605
Niveau ndash121 074 1395
Niveau 0 165 20
Niveau +121 256 2605
Goupy Livre Page 189 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
190
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
945 Interpreacutetation des reacutesultats du plan composite
Lrsquointerpreacutetation est conduite en reacuteunissant les deux plans le plan factorielinitial et le plan en eacutetoile compleacutementaire Pour cette interpreacutetation les pointsau centre ne sont plus des points de controcircle Ils sont pris en compte dans le calculdes coefficients
m
Modeacutelisation
Le modegravele matheacutematique postuleacute est un modegravele du second degreacute Le mecircme modegraveleest utiliseacute pour les deux reacuteponses
y
= a0 + a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 + e
Les coefficients du tableau 98 permettent drsquoeacutecrire le modegravele de la rugositeacute(R2 = 09993) et celui du nombre de pics (R2 = 09937) en uniteacutes codeacutees
yRugositeacute = 2324 + 157x1 ndash 655x2 ndash 292x1x2 ndash 392 ndash 218
yPics = 621 + 45x1 + 37x2 + 100x1x2 ndash 43 + 196
m Repreacutesentations graphiques des reacutesultats
Les deux modegraveles eacutetablis peuvent servir agrave illustrer les reacutesultats dans le domainedrsquoeacutetude
M Analyse des reacutesidus
On porte la valeur des reacutesidus en fonction des reacuteponses preacutevues (Figure 99) Lespoints semblent reacutepartis au hasard et il nrsquoapparaicirct pas de structures nettes commesur la figure 510 du chapitre 5 Dans ces conditions on considegravere qursquoil nrsquoy a plusdrsquoinformation agrave extraire des donneacutees
Tableau 98 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Coefficients Rugositeacute times 1 000 Pics
a0 (constante) 2324 621
a1 157 45
a2 minus655 37
a12 minus292 10
a11 minus392 minus43
a22 minus218 196
x12 x2
2
x12 x2
2
x12 x2
2
Goupy Livre Page 190 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
191
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
M Surfaces de reacuteponse
Le modegravele de la rugositeacute permet de tracer la surface de reacuteponse correspondante(Figure 910) On constate que lrsquoobjectif drsquoune rugositeacute infeacuterieure agrave 0150 peut ecirctreatteint dans le domaine drsquoeacutetude Il suffit de choisir une vitesse drsquoavance et une vitessede coupe qui ensemble donnent une reacuteponse se situant sous la ligne de niveau 150Le modegravele des pics permet de tracer la surface de reacuteponse (Figure 911) On cons-tate que lrsquoobjectif drsquoun nombre de pics infeacuterieur agrave 50 peut ecirctre atteint en limite dudomaine drsquoeacutetude
Figure 99 ndash Diagramme des reacutesidus pour les modegraveles Rugositeacute et Pics
Nombre de pics
3
25
2
15
ndash
ndash
ndash
ndash
ndash
ndash
1
ndash
ndash
ndash
05
0
05
1
15
2
25
3
50 60 70 80 90 100
Reacuteponses preacutevues
Reacutes
idu
sR
eacutesid
us
Rugositeacute
3
25
2
15
1
ndash
ndash
ndash
05
0
05
1
15
2
25
3
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Reacuteponses preacutevues
Goupy Livre Page 191 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
192
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Agrave lrsquoexamen des deux surfaces de reacuteponse le contremaicirctre srsquoaperccediloit que son objectifpeut ecirctre atteint Il doit choisir un reacuteglage de la vitesse de coupe et de la vitessedrsquoavance qui tienne compte des contraintes portant sur les deux reacuteponses Pouravoir une bonne preacutecision il trace les courbes drsquoisoreacuteponses sur un mecircme graphique(Figure 912)
Figure 910 ndash Surface de reacuteponse de la rugositeacute Cette surface preacutesente un maximum mais cela nrsquoa pas drsquointeacuterecirct ici puisque lrsquoon cherche une rugositeacute infeacuterieure agrave 0150
(Les valeurs de rugositeacute ont eacuteteacute multiplieacutees par 1 000)
Figure 911 ndash Surface de reacuteponse des pics Un nombre de pics infeacuterieur agrave 50 peut ecirctre atteint
ndash15 ndash1 ndash05 0 05 1
Avance (1)ndash15
ndash1
ndash05
0
05
1
Coupe (2)
50100150
200250Rugositeacute
50100150200250 Rugositeacute
50100
100 150
200
250
ndash15
ndash1
ndash05
0
05
1Avance (1)
ndash15
ndash1
ndash05
0
05
1
Coupe (2)
40
60
80
100
120
140Pics
40
60
80
100
120
140 Pics
50
70
70
90
90110
130
Goupy Livre Page 192 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
94 Exemple 12 la rectification du contremaicirctre(exemple de plan composite)
193
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Il constate qursquoil existe une toute petite fenecirctre correspondant (en uniteacutes centreacuteesreacuteduites) agrave
vitesse drsquoavance = minus12vitesse de coupe = 02
m Confirmation des reacutesultats
Comme ce reacuteglage se trouve en extreacutemiteacute de domaine la preacutecision de la preacutevisionnrsquoest pas bonne Il ne peut pas encore donner de directives agrave ses ouvriers Lecontremaicirctre deacutecide de faire des essais de confirmation Il calcule en uniteacutes normalesla vitesse de coupe et la vitesse drsquoavance correspondant aux valeurs centreacutees reacuteduites
vitesse drsquoavance = 075 mminvitesse de coupe = 21 ms
Il fait reacutealiser plusieurs piegraveces selon ces reacuteglages et obtient des surfaces qui luiconviennent parfaitement Il veacuterifie par des mesures de la rugositeacute et du nombrede pics que les preacutevisions des modegraveles sont satisfaites
946 Conclusion de lrsquoeacutetude
Lrsquoeacutetat de surface des piegraveces rectifieacutees peut ecirctre ameacutelioreacute si lrsquoon choisit correctementles conditions drsquousinage Pour une profondeur de passe de 002 mm la vitesse
Figure 912 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses pour la rugositeacute (traits pleins) et pour le nombre de pics (traits pointilleacutes)
ndash12 ndash08 ndash04 0 04 08 12
Avance (1)
ndash12
ndash08
ndash04
0
04
08
12
Vitessede coupe
(2)
14
16
18
20
22
24
26
075 09 105 12 135 15 165 18 195 21 225 24 255
50
100100
150
200
250
50
60
60
70
70
80
80
90100
Goupy Livre Page 193 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
194
95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
drsquoavance de la meule doit ecirctre de 075 mmin et sa vitesse tangentielle doit ecirctre de21 ms Ces reacuteglages sont stricts car ils sont placeacutes sur le flanc des surfaces dereacuteponse et par suite instables Ces reacuteglages ne sont pas robustes et les ouvriersdevront faire tregraves attention et respecter les points de consigne Une augmentationde la vitesse drsquoavance deacuteteacuteriore lrsquoeacutetat de surface Une diminution de la vitessedrsquoavance ameacuteliorerait lrsquoeacutetat de surface mais nrsquoest pas eacuteconomique Une augmentationou une diminution de la vitesse tangentielle de coupe deacuteteacuteriore lrsquoeacutetat de surfaceLe contremaicirctre deacutecide donc de donner de nouvelles directives drsquousinage qui devrontecirctre parfaitement respecteacutees Il appose la note suivante au tableau drsquoaffichage
Rectification les conditions finales drsquousinage devront ecirctre impeacuterativement
vitesse drsquoavance = 075 mmin
vitesse tangentielle de coupe = 21 ms
profondeur de passe = 002 mm
95 Exemple 13 un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken)
951 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Dans un laboratoire industriel un chercheur est chargeacute drsquoeacutetudier lrsquoinfluence deplusieurs facteurs susceptibles de diminuer lrsquoaciditeacute des yoghourts Lrsquoaciditeacute estproduite par les ferments lactiques qui transforment le lactose en acide lactiqueCrsquoest la forte concentration de cet acide qui donne le goucirct particulier desyoghourts bulgares Lrsquoobjectif de lrsquoeacutetude est de diminuer le goucirct acide de ces laitsfermenteacutes Agrave cet effet on preacutepare un lait stabiliseacute agrave partir drsquoun stabilisant naturelqui atteacutenue les variations drsquoaciditeacute du produit final le yoghourt malgreacute la preacutesencedes ferments lactiquesLa premiegravere eacutetape du proceacutedeacute (Figure 913) consiste agrave diluer le lait brut par delrsquoeau opeacuteration neacutecessaire pour pouvoir traiter ensuite le lait brut
Figure 913 ndash Scheacutema de preacuteparation du lait servant agrave fabriquer des yoghourts dont lrsquoaciditeacute est reacuteduite
LAIT BRUT CONCENTRATION
EAU
LACTOSE
+EAU
STABILISANT
LAIT PREcirc T Agrave LrsquoEMPLOI
Goupy Livre Page 194 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)
195
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
La seconde eacutetape du proceacutedeacute est une concentration qui eacutelimine une partie du lactoseet de lrsquoeau Ayant moins de lactose agrave leur disposition les ferments produirontmoins drsquoacide lactique Les deux premiegraveres eacutetapes ont modifieacute le lait qui doit ecirctrestabiliseacute Crsquoest pourquoi le lait subit un nouveau traitement On injecte un stabili-sant Cette injection ne modifie pas le volume du lait traiteacute On obtient en fin deproceacutedeacute un lait stabiliseacute et precirct agrave lrsquoemploi
m Facteurs
Les trois facteurs retenus par lrsquoexpeacuterimentateur sont
ndash Facteur 1 taux de dilution Crsquoest le rapport volume drsquoeau ajouteacuteevolume delait brut
ndash Facteur 2 pH lieacute agrave lrsquoinjection de stabilisant On ajoute la quantiteacute neacutecessaire destabilisant pour obtenir un pH donneacute en fin drsquoinjection Crsquoest le pH qui estcontrocircleacute
ndash Facteur 3 taux de concentration du lait Crsquoest le rapport volume de lait brutvolume de lait stabiliseacute Le volume de lait stabiliseacute est infeacuterieur au volume delait brut Ce rapport est donc plus grand que lrsquouniteacute
m Domaine drsquoeacutetude
Les niveaux haut et bas de chaque facteur sont deacutefinis comme lrsquoindique le tableau 99
m Reacuteponses
La reacuteponse choisie par lrsquoexpeacuterimentateur est lrsquolaquo appauvrissement acide raquo qui mesurela perte en acide lactique Lrsquoappauvrissement acide est drsquoautant meilleur que savaleur est plus eacuteleveacutee On cherchera donc des conditions de preacuteparation du lait quiconduisent agrave une forte valeur de cette reacuteponse Lrsquoobjectif est drsquoobtenir un lait stabiliseacuteayant un appauvrissement acide au moins eacutegal agrave 48
m Choix du plan expeacuterimental
Lrsquoexpeacuterimentateur srsquoattend agrave des variations de la reacuteponse correspondant agrave unmodegravele du second degreacute Apregraves avoir examineacute son problegraveme en deacutetail il retient unplan de Box-Behnken qui permet drsquoeacutetablir le modegravele deacutesireacute et ne neacutecessite qursquounnombre restreint drsquoessais
Tableau 99 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteur Niveau -ndash1 Niveau +1
Dilution (1) 05 2
pH (2) 6 5
Concentration (3) 15 25
Goupy Livre Page 195 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
196
95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
952 Expeacuterimentation
Les reacutesultats des essais sont rassembleacutes dans le tableau 910 Les essais ont eacuteteacutereclasseacutes dans lrsquoordre classique de preacutesentation du plan de Box-Behnken Les chif-fres entre parenthegraveses indiquent lrsquoordre drsquoexeacutecution des essais Par exemple lrsquoessain˚ 1 (5) est lrsquoessai n˚ 1 du plan classique de Box-Behnken et il a eacuteteacute exeacutecuteacute encinquiegraveme
Tableau 910 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences et reacutesultats expeacuterimentaux
Essai n˚Dilution
(1)pH(2)
Concentration(3)
Reacuteponses
1 (5) ndash ndash 0 513
2 (9) + ndash 0 426
3 (7) ndash + 0 422
4 (12) + + 0 504
5 (6) ndash 0 ndash 407
6 (2) ndash 0 + 415
7 (13) + 0 ndash 413
8 (10) + 0 + 408
9 (4) 0 ndash + 352
10 (11) 0 + ndash 353
11 (3) 0 ndash ndash 395
12 (14) 0 + + 398
13 (1) 0 0 0 508
14 (8) 0 0 0 501
15 (15) 0 0 0 494
Niveau ndash1 05 6 15
Niveau 0 125 55 2
Niveau +1 2 5 25
Goupy Livre Page 196 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)
197
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
953 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
m Modeacutelisation
Le modegravele matheacutematique postuleacute est un modegravele du second degreacute
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e
Lrsquointerpreacutetation commence par le calcul des coefficients du modegravele (Tableau 911)
Ces coefficients permettent drsquoeacutetablir le modegravele du second degreacute (R2 = 09968)
y = 501 ndash 007x1 ndash 011x2 + 006x3 + 422x1x2
ndash 032x1x2 + 22x2x3 + 007 ndash 355 ndash 91
Les reacutepeacutetitions au centre permettent de calculer une estimation de lrsquoerreur expeacuteri-mentale (erreur pure) La somme des carreacutes de lrsquoerreur expeacuterimentale est 098 avecdeux degreacutes de liberteacute (Tableau 912) On trouve un eacutecart-type de 07La somme des carreacutes due au manque drsquoajustement est de 03825 avec trois degreacutesde liberteacute Lrsquoerreur drsquoajustement est de 0357 elle est donc plus faible que lrsquoerreurpure On ne pourra pas statistiquement parlant diffeacuterencier ce modegravele drsquoautresmodegraveles matheacutematiques ayant eux aussi une erreur drsquoajustement de lrsquoordre degrandeur de lrsquoerreur expeacuterimentale
Tableau 911 ndash Coefficients du modegravele (uniteacutes codeacutees)
Coefficients Appauvrissement Coefficients Appauvrissement
Constante a0 5010 a12 422
a13 minus032
a1 minus007 a23 220
a2 minus011 a11 007
a3 006 a22 minus355
a33 minus910
Tableau 912 ndash Comparaison du manque drsquoajustement et de lrsquoerreur expeacuterimentale
Origine des variations Somme des carreacutes Degreacutes de liberteacute Carreacutes moyens
Manque drsquoajustement 03825 3 01275
Erreur pure 09800 2 04900
Reacutesidus 13625 5 02725
x12 x2
2 x32
x12 x2
2 x32
Goupy Livre Page 197 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
198
95 Exemple 13 un yoghourt doux(exemple de plan de Box-Behnken)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Analyse des reacutesidus la dispersion des reacutesidus ne preacutesente pas vraiment de tendanceparticuliegravere (Figure 914) Rien de speacutecial nrsquoapparaicirct sur ce graphique et les reacutesidussemblent bien reacutepartis au hasard
Le modegravele que nous avons eacutetabli explique bien les reacutesultats expeacuterimentaux Tous lestests drsquoeacutevaluation le confirment Mais avant drsquoutiliser ce modegravele il faut le valider
m Interpreacutetation des reacutesultats
Lrsquoobjectif est drsquoobtenir un appauvrissement acide supeacuterieur agrave 48 En regardant lemodegravele on voit immeacutediatement que cet objectif peut ecirctre atteint dans le domainedrsquoeacutetude puisqursquoau point central lrsquoappauvrissement est de 50 On recherche la reacutegiondu domaine drsquoeacutetude ougrave cette condition est respecteacuteeDrsquoun point de vue eacuteconomique on a inteacuterecirct agrave choisir la dilution la plus faiblepossible niveau minus1 Crsquoest en effet pour ce niveau que lrsquoon ajoute le moins drsquoeaupour une quantiteacute donneacutee de lait brut Par conseacutequent les frais de fabricationseront moins eacuteleveacutes puisqursquoil y aura moins drsquoeau agrave extraire La dilution choisie estdonc 05Pour trouver le pH et la concentration regardons la figure 915 Les courbesdrsquoisoreacuteponses indiquent qursquoil y a une reacuteponse maximale Les coordonneacutees de cemaximum sont obtenues avec un logiciel de plans drsquoexpeacuteriences
La reacuteponse preacutedite en ce point est 5160Si lrsquoon revient aux grandeurs naturelles les conditions optimales sont les suivantes
ndash Le taux de dilution sera reacutegleacute agrave 05 (niveau minus1) Cela signifie que lrsquoon ajouteraen deacutebut de traitement un volume drsquoeau eacutegal agrave la moitieacute du volume de lait brut
Figure 914 ndash Diagramme des reacutesidus de la reacuteponse laquo Appauvrissement acide raquo
Appauvrissement acide
ndash1
075
ndash05
ndash
ndash
025
0
025
05
075
1
30 35 40 45 50 55
Reacuteponses preacutevues
Reacute
sid
us
x2 = 061ndash
x3 = 005ndash
Goupy Livre Page 198 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
199
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
ndash Le pH sera fixeacute agrave 58 (niveau minus061) On ajoutera la quantiteacute neacutecessaire destabilisant pour obtenir un pH de 58 en fin drsquoinjection
ndash Le taux de concentration du lait sera presque 2 (niveau minus005) Le taux deconcentration du lait est deacutefini par le rapport (volume de lait brutvolume de laitstabiliseacute) Le volume de lait stabiliseacute sera eacutegal agrave la moitieacute du volume de lait brut
954 Conclusion de lrsquoeacutetude
Le lait stabiliseacute aura le meilleur appauvrissement acide possible si ndash on dilue le lait brut aux proportions suivantes un volume drsquoeau pour deux
volumes de lait brut ndash on arrecircte lrsquoinjection de stabilisant agrave pH = 58Dans ces conditions on obtiendra un volume de lait stabiliseacute pour deux volumesde lait brut et lrsquoappauvrissement acide sera au moins de 50
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide (exemple de plan de Doehlert)
961 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Un fabricant drsquoinsecticide souhaite adapter son produit aux deacutesirs de la clientegravele Illui faut eacutequilibrer son produit crsquoest-agrave-dire mettre les justes concentrations desdiffeacuterents ingreacutedients pour obtenir les meilleurs reacutesultats Il eacutetudie les trois produitsde base qui constituent le produit commercial ndash lrsquoinsecticide lui-mecircme crsquoest le produit mortel qui tue les nuisibles
Figure 915 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses dans le plan pHndashconcentration pour une dilution de 05
ndash 1 ndash 05 0 05 1pH (2)
Dilution 05
ndash 1
ndash 05
0
05
1
Co
nce
ntr
atio
n (
3)
3540
4040
4550
Goupy Livre Page 199 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
200
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
ndash le knock down crsquoest une substance qui endort rapidement la vermine ndash le synergiste crsquoest un composeacute qui preacutepare et renforce lrsquoaction de lrsquoinsecticide
Ces trois produits sont dilueacutes dans un composeacute support qui les maintient ensuspension et facilite leur vaporisation au moment de lrsquoemploi Un parfum estajouteacute pour masquer lrsquoodeur peu agreacuteable des produits de base
m Facteurs et domaine drsquoeacutetude
Le responsable retient comme facteurs les concentrations de chacun des produitsde base
ndash Facteur 1 concentration en insecticidendash Facteur 2 concentration en knock downndash Facteur 3 concentration en synergiste
Les niveaux haut et bas de chaque facteur sont deacutefinis comme lrsquoindique le tableau 913
m Reacuteponses
Les reacuteponses choisies par lrsquoexpeacuterimentateur sont le M24 et le KT50
ndash M24 crsquoest le pourcentage de nuisibles morts au bout de 24 heures Lrsquoobjectif estdrsquoobtenir la plus grande valeur possible On vise au moins 95 et lrsquoon chercheraplus si possible
ndash KT50 crsquoest le temps en minutes au bout duquel 50 de la populationteacutemoin est endormie Lrsquoobjectif est drsquoobtenir le plus faible KT50 possible UnKT50 de 5 min ou moins serait excellent Un KT50 compris entre 5 et 10 minserait un bon reacutesultat
m Plans drsquoexpeacuteriences
Les biologistes savent qursquoil faut srsquoattendre agrave des surfaces de reacuteponse du seconddegreacute Un plan de Doehlert pour trois facteurs semble parfaitement convenir
962 Expeacuterimentation
Les trois facteurs laquo insecticide raquo laquo knock down raquo et laquo synergiste raquo sont eacutetudieacutes Lesexpeacuterimentateurs preacutevoient trois points au centre Les reacutesultats des essais sontrassembleacutes dans le tableau 914
Tableau 913 ndash Domaine drsquoeacutetude
Facteur Niveau ndash1 Niveau 0 Niveau +1
Insecticide (1) 001 003 005
Knock down (2) 01 04 07
Synergiste (3) 0 1 2
Goupy Livre Page 200 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
201
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
963 Interpreacutetation des reacutesultats du plan
m Calcul des coefficients
On conduit les calculs pour chacune des deux reacuteponses (Tableau 915 illustreacute parla Figure 916) On constate de tregraves fortes courbures pour les coefficients a11 et a33du M24 et pour le coefficient a33 du KT50
Tableau 914 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et reacutesultats
Essai n˚Insecticide
(1)Knock down
(2)Synergiste
(3)KT50 M24
1 0 0 0 11 75
2 +1 0 0 15 57
3 +05 +0866 0 11 56
4 minus05 +0866 0 6 65
5 minus1 0 0 8 60
6 minus05 minus0866 0 14 66
7 +05 minus0866 0 15 72
8 0 0 0 10 75
9 minus05 +0289 +0816 2 91
10 0 minus0577 +0816 8 99
11 +05 +0289 +0816 10 81
12 minus05 minus0289 minus0816 11 72
13 0 +0577 minus0816 8 81
14 +05 minus0289 minus0816 11 80
15 0 0 0 12 74
Niveau ndash1 001 01 0
Niveau 0 003 04 1
Niveau +1 005 07 2
Goupy Livre Page 201 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
202
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
Tableau 915 ndash Coefficients des modegraveles M24 et KT50 (uniteacutes codeacutees)
Coefficients M24 KT50
Constante a0 747 11
a1 minus14 35
a2 minus48 minus332
a3 77 minus204
a12 minus87 231
a13 minus79 408
a23 minus98 071
a11 minus162 050
a22 minus78 050
a33 20 minus425
Figure 916 ndash Diagrammes agrave barres des coefficients des modegraveles du M24 et du KT50
M 24
KT 50
2
ndash 5
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
0
1
2
3
4
5
0
15
ndash
ndash
ndash
10
ndash5
0
5
10
15
20
1 2 3 12 13 23
23
11 22 33
1 2 3 12 13 11 22 33
Nom des coefficients
Val
eur
des
co
effi
cien
ts
Goupy Livre Page 202 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
203
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
m Modeacutelisation
Drsquoougrave les modegraveles (uniteacutes codeacutees) du M24 (R2 = 09995) et du KT50 (R2 = 0983)
yM24 = 747 ndash 14x1 ndash 48x2 + 77x3 ndash 87x1x2 ndash 79x1x3 ndash 98x2x3
ndash 162 ndash 78 + 20
yKT50 = 11 + 350x1 ndash 332x2 ndash 204x3 + 231x1x2 + 408x1x3 + 071x2x3
+ 050 + 050 ndash 425
On constate que le M24 est maximal pour une teneur en synergiste de +0816crsquoest-agrave-dire pour une concentration de 18 Lrsquoobjectif eacutetant de faire disparaicirctre leplus possible de vermine crsquoest cette concentration qui sera adopteacutee Avantdrsquoutiliser les modegraveles preacuteceacutedents on effectue une analyse des reacutesidus et lrsquoon preacutevoitdes expeacuteriences de controcircle pour veacuterifier la validiteacute des conclusions
Figure 917 ndash Variation des reacuteponses en fonction des facteurs
x12 x2
2 x32
x12 x2
2 x32
ndash ndash ndash1
100
0 1
50
M 2
4
1 0 1 08 08
75
0
ndash ndash ndash1
15
0 1
5
KT
50
1 0 1
Knock downInsecticide Synergiste
08 08
10
0
Goupy Livre Page 203 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
204
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
m Analyse des reacutesidus
Rien drsquoanormal nrsquoapparaicirct sur le graphique des reacutesidus (Figure 918)
m Repreacutesentation graphique des reacutesultats
Dans le modegravele du M24 remplaccedilons x3 par la valeur +0816 On obtient ainsi lemodegravele du M24 pour le plan x3 = +0816
yM24 = 943 ndash 78x1 ndash 128x2 ndash 87x1x2 ndash 162 ndash 78
Ce modegravele permet de tracer la surface de reacuteponse (Figure 919) On constate quelrsquoobjectif peut ecirctre atteint Les preacutevisions obtenues avec le modegravele montrent que lrsquoonpeut deacutepasser une mortaliteacute de 90 La mortaliteacute la plus eacuteleveacutee est atteinte pour
x1 = minus002 ou insecticide agrave 003
x2 = minus08 ou knock down agrave 016
La reacuteponse est alors eacutegale agrave 995 Traccedilons la surface de reacuteponse du KT50 (Figure 920) pour le mecircme niveau de x3soit +0816 (18 de synergiste) Le modegravele est
yKT50 = 66 + 68x1 ndash 27x2 + 23x1x2
Figure 918 ndash Diagramme des reacutesidus pour les modegraveles M24 et KT50
M 24
ndash1
ndash 075
ndash 05
ndash 02 5
0
025
05
075
1
50 60 70 80 90 100
KT 50
ndash 10
ndash 05
00
05
10
0 5 10 15 20
Reacuteponses preacutevues
Reacutes
idu
s
x12 x2
2
Goupy Livre Page 204 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
205
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
On peut tracer sur un mecircme graphique les courbes isoreacuteponses pour le M24 et leKT50 (Figure 921) Le KT50 est leacutegegraverement infeacuterieur agrave 10 minutes lorsque leM24 vaut 995
Figure 919 ndash Surface de reacuteponse du M24 pour une concentration de 18 en synergiste (niveau 0816)
Figure 920 ndash Surface de reacuteponse du KT50 pour une concentration de 18 en synergiste
ndash 1
ndash 05
0
05Insecticide (1)
ndash 1
ndash 05
0
05
Knock down (2)
40
60
80
100M24
40
60
80
100 M24
5060
70
80
90
ndash1
ndash05
0
05Insecticide (1)
ndash1
ndash05
0
05
Knock down (2)
ndash10
ndash5
5
10
15KT50
ndash10
ndash5
5
10
15 KT50-4-2
024
6 8 10 12
Goupy Livre Page 205 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
206
96 Exemple 14 lrsquoinsecticide(exemple de plan de Doehlert)
9 bull Plans pour surfacesde reacuteponse
964 Conclusion de lrsquoeacutetude
Le modegravele du M24 permet de preacuteciser la reacutegion ougrave lrsquoon peut trouver une bonnemortaliteacute La composition du produit commercial agrave ce stade de lrsquoeacutetude est ndash Concentration en insecticide 003 (niveau 0)ndash Concentration en knock down 016 (niveau minus08)ndash Concentration en synergiste 180 (niveau +08)Avec cette composition on peut espeacuterer un KT50 leacutegegraverement infeacuterieur agrave 10 min etun M24 largement supeacuterieur agrave 95 (Figure 921) Les objectifs fixeacutes au deacutepart delrsquoeacutetude peuvent ecirctre atteints Des expeacuteriences de controcircle ont eacuteteacute lanceacutees et ontconfirmeacute les conclusions de lrsquoeacutetude
Figure 921 ndash Courbes drsquoisoreacuteponses du KT50 (hyperboles en traits pointilleacutes) et du M24 (ellipses en traits pleins) dans le plan x3 = 0816
ndash 1 ndash 05 0 05 1
Insecticide (1)
ndash 1
ndash 05
0
05
1
Knock down (2)
01
02
03
04
05
06
07
001 002 003 004 005
0
5 10
50
60
7080
90
Goupy Livre Page 206 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
207
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull PLANS DE MEacuteLANGES
Dans les plans drsquoexpeacuteriences classiques (plans factoriels plans pour surfaces dereacuteponse) les facteurs sont indeacutependants Cela signifie que lrsquoon peut choisir entoute liberteacute le niveau drsquoun facteur quels que soient les niveaux deacutejagrave attribueacutes auxautres facteurs Par exemple si pour un plan 24 on a choisi les niveaux des troispremiers facteurs on pourra encore choisir librement les niveaux du quatriegravemefacteur Cette liberteacute nrsquoexiste pas lorsque lrsquoon eacutetudie des meacutelanges car en geacuteneacuteralon eacutetudie les reacuteponses en fonction des proportions des constituants du meacutelangeDans ce cas les facteurs drsquoeacutetude sont les proportions des constituants du meacutelangeComme la somme de ces proportions est toujours eacutegale agrave 100 le pourcentagedu dernier constituant est imposeacute par la somme des pourcentages des premierscomposeacutes du meacutelange Dans cette situation les facteurs ne sont pas indeacutependantset cela entraicircne des problegravemes particuliersLa meacutethodologie de mise en forme de lrsquoeacutetude et la conduite des essais sont tout agravefait comparables agrave celles des plans drsquoexpeacuteriences classiquesIl faut bien se rendre compte qursquoil y a plan de meacutelanges lorsque la reacuteponse eacutetudieacuteedeacutepend des proportions des constituants du meacutelange et non des quantiteacutes de meacutelangeutiliseacutees Par exemple la recette drsquoun cocktail est une indication de la proportion desdiffeacuterents ingreacutedients La mise au point du cocktail en faisant varier les propor-tions des produits est la reacutealisation drsquoun plan de meacutelanges En revanche laconsommation du cocktail en plus ou moins grande quantiteacute (mais qui doit resterraisonnable car lrsquoabus drsquoalcool nuit gravement agrave la santeacute) ne fait plus partie desplans de meacutelanges Si la reacuteponse deacutepend de la quantiteacute du meacutelange il srsquoagit alorsde plans drsquoexpeacuteriences classiques pour lesquels le choix des niveaux est libreNous commencerons par examiner le problegraveme de la non-indeacutependance desfacteurs qui est agrave la base de la distinction entre les plans de meacutelanges et les plansdrsquoexpeacuteriences classiques La non-indeacutependance des facteurs est exprimeacutee par lacontrainte fondamentale des meacutelanges
101 Contrainte fondamentale des meacutelangesSoit un meacutelange ayant n constituants Le premier constituant repreacutesente un certainpourcentage du meacutelange le second constituant un autre pourcentage du meacutelange etcAinsi chaque constituant participe pour une certaine part au meacutelange total Maislrsquoensemble des constituants du meacutelange forme un tout et la somme de leurs teneursest eacutegale agrave 100 Lorsque lrsquoon a deacutefini les proportions des n minus 1 premiers consti-tuants la proportion du dernier ne peut plus ecirctre choisie elle est deacutejagrave deacutetermineacutee
Goupy Livre Page 207 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
208
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges10 bull Plans de meacutelanges
Si lrsquoon note xi la teneur en constituant i la somme des teneurs de tous les constituantsdu meacutelange satisfait agrave la relation
La teneur de chaque constituant reste comprise entre 0 et 100 Lorsqursquoon augmentela teneur de lrsquoun des constituants la teneur des autres est automatiquement diminueacuteepour que la somme de toutes les teneurs reste eacutegale agrave 100 Si au lieu drsquoutiliser les pourcentages on ramegravene la somme des teneurs des diffeacuterentsconstituants agrave lrsquouniteacute on eacutecrira
Cette relation srsquoappelle la contrainte fondamentale des meacutelanges Crsquoest agrave cause decette contrainte que les meacutelanges doivent ecirctre eacutetudieacutes agrave part car les repreacutesentationsgeacuteomeacutetriques des plans de meacutelanges sont diffeacuterentes des repreacutesentations utiliseacuteespour les plans drsquoexpeacuteriences classiques et les modegraveles matheacutematiques sont euxaussi profondeacutement modifieacutes
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges
1021 Meacutelange agrave deux constituants
Soit x1 la teneur du premier constituant et x2 la teneur du second Adoptons larepreacutesentation carteacutesienne lrsquoaxe Ox1 est orthogonal agrave lrsquoaxe Ox2 Les axes sont gradueacutesen proportions variant de 0 agrave 1 Un meacutelange quelconque contenant xa de A et xb
de B est repreacutesenteacute par un point situeacute agrave lrsquointersection des coordonneacutees xa et xb
(Figure 101) Ce point qui repreacutesente un meacutelange est appeleacute soit point de compositionsoit point de meacutelange soit tout simplement point
Figure 101 ndash Repreacutesentation drsquoun meacutelange dans un systegraveme drsquoaxes carteacutesiens
xi
i 1=
i n=
sum 100 =
xi
i 1=
i n=
sum 1=
Produit A
Meacutelange
Produit B
050025 075 100000
050
025
075
100
x a
xb
Goupy Livre Page 208 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges
209
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
La contrainte des meacutelanges introduit une relation entre xa et xb xa + xb = 1
que lrsquoon peut eacutecrire xb = minusxa + 1
Cette derniegravere relation exprime que les points de coordonneacutees xa et xb sont sur unedroite de pente minus1 coupant lrsquoaxe du produit A au point drsquoabscisse 100 (point Asur la figure 102) et lrsquoaxe du produit B au point drsquoordonneacutee 100 (point B sur lafigure 102) Les compositions xa et xb variant entre 0 et 1 il nrsquoy a que le segment ABqui soit utile Toutes les compositions possibles des meacutelanges des deux produits Aet B sont repreacutesenteacutees par les points de ce segment de droite
On peut donc ne conserver que ce segment de droite et abandonner les axes Ox1et Ox2 Le produit pur A est repreacutesenteacute par lrsquoune des extreacutemiteacutes du segment ABLe produit B est repreacutesenteacute par lrsquoautre extreacutemiteacute Ce segment porte une doublegraduation (Figure 103) celle des teneurs du premier produit et celle des teneursdu second produit La lecture de la composition des meacutelanges sur ce segment demandeun certain apprentissage Elle se lit agrave la fois de droite agrave gauche et de gauche agrave droite
1022 Lecture du diagramme des meacutelanges binaires
Le segment de la figure 103 repreacutesente les meacutelanges des deux constituants A et BLe produit A est agrave droite et le produit B est agrave gauche La graduation infeacuterieure estcelle du produit A Elle varie de 0 agrave gauche agrave 1 agrave droite La graduation supeacuterieureest celle du produit B Elle varie de 0 agrave droite agrave 1 agrave gauche
Figure 103 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave deux constituants sur un segment de droite
Produit B
Produit A
Meacutelange 1
Meacutelange 2
000 050025 075 100
050
025
075
100B
A
Figure 102 ndash Les compositions des meacutelanges agrave deux constituants peuvent ecirctre repreacutesenteacutees par les points du segment de droite AB
Eacutechelle du produit B
Eacutechelle du produit A
000 050025 075 100
000025050075100
AB
Goupy Livre Page 209 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
210
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges10 bull Plans de meacutelanges
Les eacutechelles se lisent lrsquoune dans un sens lrsquoautre dans lrsquoautre sens La somme desteneurs en un point de lrsquoeacutechelle est eacutegale agrave lrsquouniteacute
Un premier meacutelange (meacutelange 1) est illustreacute par un point situeacute agrave 20 de A et80 de B Ce point est pregraves de B et loin de A ce qui est normal puisqursquoil y a plusde B que de A dans le meacutelange (Figure 104) Un second meacutelange (meacutelange 2) estillustreacute par un point situeacute agrave 77 de A et 23 de B Ce point est pregraves de Apuisque crsquoest le constituant le plus important On peut supprimer lrsquoune des deuxeacutechelles puisque la somme des teneurs en un point est toujours eacutegale agrave 1 Connaissantlrsquoune des teneurs une simple soustraction donne la teneur compleacutementaire Crsquoesten geacuteneacuteral ce qui est fait
1023 Lecture du diagramme des meacutelanges ternaires
Un raisonnement semblable agrave celui que nous avons tenu pour deux constituantsmontre que lrsquoon peut repreacutesenter les meacutelanges ternaires agrave lrsquoaide drsquoun triangle eacutequi-lateacuteral Les produits purs sont aux sommets du triangle eacutequilateacuteral Les meacutelangesbinaires sont repreacutesenteacutes par les cocircteacutes du triangle Par exemple le cocircteacute gauche AB dutriangle (Figure 105) repreacutesente les compositions des meacutelanges des seuls produits Aet B et ces meacutelanges ne contiennent pas de produit CChaque cocircteacute du triangle eacutequilateacuteral est gradueacute de 0 agrave 1 On nrsquoa laisseacute que lrsquoeacutechelledrsquoun seul produit sur chaque cocircteacute Lrsquoeacutechelle de lrsquoautre produit se deacuteduit parcompleacutement agrave 1 Le cocircteacute AB est gradueacute pour le produit A 1 est au point A et 0 aupoint B Crsquoest lrsquoeacutechelle du produit A Le cocircteacute BC est gradueacute pour le produit B 1est au point B et 0 est au point C Le cocircteacute CA est gradueacute pour le produit C 1 estau point C et 0 est au point AUn point de la surface inteacuterieure du triangle eacutequilateacuteral repreacutesente un meacutelangeternaire Les compositions de chaque produit se lisent sur les cocircteacutes du triangle Lateneur en produit A se lit sur le cocircteacute AB qui est lrsquoeacutechelle du produit A On projettele point M sur AB parallegravelement agrave BC (cocircteacute opposeacute agrave A) De mecircme la teneur en Bse lit sur lrsquoeacutechelle de B (cocircteacute BC) en projetant le point M sur BC parallegravelement agraveAC (cocircteacute opposeacute agrave B) Enfin la teneur en C se lit sur lrsquoeacutechelle de C (cocircteacute AC) enprojetant le point M sur agrave AC parallegravelement agrave AB (cocircteacute opposeacute agrave C)
Figure 104 ndash Le meacutelange 1 contient 20 de A et 80 de B Le meacutelange 2 contient 77 de A et 23 de B
Eacutechelle du produit B
Eacutechelle du produit A
000 050025 075 100
000025050075100
Meacutelange 1
Meacutelange 2
AB
Goupy Livre Page 210 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
102 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des meacutelanges
211
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
Les teneurs respectives des trois constituants dans le meacutelange sont donneacutees par lesrelations
bM = Ba = teneur en A dans le meacutelange McM = Cb = teneur en B dans le meacutelange MaM = Ac = teneur en C dans le meacutelange M
Les proprieacuteteacutes geacuteomeacutetriques du triangle eacutequilateacuteral assurent le respect de lacontrainte fondamentale des meacutelanges
Ma + Mb + Mc = Ac + Ba + Cb = AB = AC = BC = 1
1024 Meacutelanges agrave quatre constituants
Les quatre produits purs sont aux sommets drsquoun teacutetraegravedre reacutegulier (Figure 106)Les meacutelanges binaires sont repreacutesenteacutes par les cocircteacutes du teacutetraegravedre Les meacutelanges ternairessont repreacutesenteacutes par les faces du teacutetraegravedre qui sont des triangles eacutequilateacuteraux Lesmeacutelanges quaternaires sont repreacutesenteacutes par les points du volume inteacuterieur du teacutetra-egravedre On obtient les compositions drsquoun meacutelange en projetant le point repreacutesentatifdu meacutelange sur les faces et sur les cocircteacutes du teacutetraegravedre
Figure 105 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave trois constituants agrave lrsquoaide drsquoun triangle eacutequilateacuteral
Figure 106 ndash Repreacutesentation des meacutelanges agrave quatre constituants par un teacutetraegravedre reacutegulier
Eacutechelleproduit A
Meacutelange
050 025075100 000
100
075
050
050
025
025075
100000
000A
B C
M
Eacutechelleproduit C
Eacutechelle produit B
ax
xb
cx
b
c
a
Produit A
Produit B
Produit D
Produit C
Meacutelange
Goupy Livre Page 211 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
212
103 Plans de meacutelanges classiques10 bull Plans de meacutelanges
Afin de ne pas commettre drsquoerreur dans la lecture des compositions on fera atten-tion aux conventions qui ont eacuteteacute adopteacutees pour graduer les cocircteacutes du teacutetraegravedreAu-delagrave de quatre facteurs la repreacutesentation geacuteomeacutetrique nrsquoest plus possible Onutilise alors uniquement la repreacutesentation en tableaux
103 Plans de meacutelanges classiquesLes plans de meacutelanges classiques supposent que les produits purs ont la proprieacuteteacutedrsquousage rechercheacutee et qursquoil nrsquoy a aucune contrainte qui pegravese sur euxLrsquousage est de classer les principaux types de plans de meacutelanges suivant lrsquoemplacementdes points repreacutesentatifs des compositions On distingue ndash les plans en reacuteseauxndash les plans de meacutelanges centreacutesndash les plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes
1031 Plans en reacuteseaux
Les plans en reacuteseaux (Simplex lattice designs dans la litteacuterature anglo-saxonne) sontles premiers plans de meacutelanges qui ont eacuteteacute introduits Ils ont eacuteteacute preacutesenteacutes parScheffeacute dans les anneacutees 1958-1965 Les points de composition sont reacuteguliegraverementrepartis dans lrsquoespace drsquoeacutetude Pour les meacutelanges agrave trois constituants le plus simpledes plans de meacutelanges en reacuteseaux ne contient que les trois produits purs Les pointsrepreacutesentatifs de ces produits sont aux sommets du triangle eacutequilateacuteral (Figure 107)Les coordonneacutees de ces points sont 0 et 1
Le plan qui ne fait intervenir que les produits purs peut ecirctre enrichi par les pointsde composition moyenne crsquoest-agrave-dire par les meacutelanges contenant 50 de chacundes produits Ces points de composition moyenne se situent au milieu des cocircteacutesdu triangle Leurs coordonneacutees sont 0 et 12Les points n˚ 4 5 et 6 forment un reacuteseau La longueur uniteacute des cocircteacutes du trianglea eacuteteacute diviseacutee par 2 et les coordonneacutees de ces points sont eacutegales agrave 12 Si lrsquoon deacutesireun reacuteseau de points plus serreacute il faut diviser la longueur des cocircteacutes par trois Le pasde ce nouveau reacuteseau est 13 On peut continuer agrave construire ainsi des reacuteseaux de
Figure 107 ndash Plan de meacutelanges ne comportant que les trois produits purs
A
B C
Goupy Livre Page 212 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
103 Plans de meacutelanges classiques
213
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
plus en plus serreacutes en divisant lrsquouniteacute par m Le pas du reacuteseau est de 1m et lescoordonneacutees des points expeacuterimentaux sont 0 1m 2m 3m jusqursquoagrave mm = 1Pour nommer ces plans on adopte la convention suivante on utilise deux chiffresle premier correspond au nombre de constituants du meacutelange et le second corres-pond au diviseur utiliseacute pour eacutetablir le pas du reacuteseau Ces deux chiffres sontseacutepareacutes par une virgule et mis entre deux accolades Ici le plan de la figure 108 estun plan 3 2 soit 3 constituants et un pas de 12 Le plan de la figure 109 est unplan 3 3 soit 3 constituants et un pas de 13Cette notation permet de calculer tregraves rapidement le nombre de compositions agravepreacuteparer et agrave eacutetudier connaissant le nombre de constituants du meacutelange et le nombrem Pour un plan q m le nombre total de compositions diffeacuterentes est eacutegal agrave
Figure 108 ndash Plan de meacutelanges en reacuteseaux (Simplex lattice designs) comportant les trois produits purs et les meacutelanges moitieacute-moitieacute
Ce plan est noteacute 32
Figure 109 ndash Plan de meacutelanges en reacuteseaux (Simplex lattice designs) comportant les trois produits purs et les meacutelanges 13-23 et 13-13-13
Ce plan est noteacute 3 3
A
B C
4 5
6
Cq m 1ndash+m q m 1ndash+( )
m( ) q 1ndash( )------------------------------=
A
B C
Goupy Livre Page 213 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
214
103 Plans de meacutelanges classiques10 bull Plans de meacutelanges
1032 Plans de meacutelanges centreacutes
Les plans de meacutelanges centreacutes (Simplex-centroid designs dans la litteacuterature anglo-saxonne) se distinguent des plans en reacuteseaux par la preacutesence systeacutematique drsquounpoint central crsquoest-agrave-dire drsquoune composition contenant autant de chacun desconstituants du meacutelange (Figure 1010) Le plan centreacute permettant drsquoeacutetudier troisconstituants comprend
ndash les produits pursndash les meacutelanges moitieacute-moitieacute de deux produits pursndash le meacutelange contenant un tiers de chaque produit pur (point central)
Le nombre N de compositions agrave eacutetudier pour des plans de meacutelanges centreacutes agraveq constituants est donneacute par la formule
N = 2q ndash 1
Par exemple dans le plan de meacutelanges centreacute agrave trois constituants il y a 7 compositionsdiffeacuterentes agrave eacutetudier
N = 23 ndash 1 = 8 ndash 1 = 7
1033 Plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes
Les plans de meacutelanges centreacutes augmenteacutes (Augmented Simplex-centroid designs dans lalitteacuterature anglo-saxonne) sont des plans de meacutelanges centreacutes auxquels on ajouteles centres de graviteacute des simplex unitaires Par exemple le plan de meacutelangescentreacute pour trois composants comprend quatre simplex unitaires (Figure 1011)Le centre de graviteacute de lrsquoun des simplex unitaires est deacutejagrave occupeacute (point noir n˚ 7)Il reste donc agrave ajouter trois points (points blancs n˚ 8 9 et 10) au centre des troisautres simplex unitaires
Figure 1010 ndash Plan de meacutelanges centreacute (Simplex-centroid designs) comportant les trois produits purs les meacutelanges moitieacute-moitieacute
et le meacutelange eacutequiproportionnel des trois produits purs
A
B C
4 5
6
7
Goupy Livre Page 214 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges
215
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges
Le modegravele matheacutematique appliqueacute aux plans de meacutelanges prend en compte lacontrainte fondamentale des meacutelanges Les polynocircmes utiliseacutes preacutesentent desparticulariteacutes que nous allons indiquer
1041 Modegravele du premier degreacute
On suppose que les variations de la reacuteponse sont proportionnelles aux compositionsdu meacutelange On pourrait adopter en premier lieu le mecircme modegravele que celui desplans factoriels classiques dont les facteurs sont indeacutependants Par exemple pourun meacutelange agrave trois constituants on pourrait eacutecrire en un point donneacute
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 101
Mais les compositions xi ne sont pas indeacutependantes Il faut tenir compte de lacontrainte fondamentale des meacutelanges
x1 + x2 + x3 = 1
La relation 101 peut alors srsquoeacutecrire
y = a0(x1 + x2 + x3) + a1x1 + a2x2 + a3x3
ou en regroupant les coefficients
y = (a0 + a1)x1 + (a0 + a2)x2 + (a0 + a3)x3
Ce modegravele ne comporte plus de terme constant Si lrsquoon change de notation et quelrsquoon pose
b1 = a1 + a0 b2 = a2 + a0 b3 = a3 + a0
le modegravele prend alors la forme suivante
y = b1x1 + b2x2 + b3x3 102
Figure 1011 ndash Plan de meacutelanges centreacute augmenteacute (Augmented Simplex-centroid designs) comportant les trois produits purs les meacutelanges moitieacute-moitieacute le meacutelange eacutequiproportionnel
des trois produits et les meacutelanges situeacutes aux centres de graviteacute des simplex unitaires
A
B C
4 5
6
9
8
10
7
Goupy Livre Page 215 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
216
104 Modegraveles matheacutematiques des plans de meacutelanges10 bull Plans de meacutelanges
Il nrsquoy a pas de terme constant Cette disparition est la conseacutequence directe de lacontrainte fondamentale des meacutelanges
1042 Modegravele du second degreacute
Le modegravele matheacutematique du second degreacute comprend les termes du premier degreacuteles termes rectangles et les termes carreacutes Comme preacuteceacutedemment nous allonspartir du modegravele matheacutematique des plans factoriels et nous allons examiner lesconseacutequences de la contrainte fondamentale des meacutelanges Pour un meacutelange agrave deuxconstituants on pourrait eacutecrire sachant qursquoil nrsquoy a pas de constante
y = a1x1 + a2x2 + a12x1x2 + a11 + a22 103
Prenons en compte la contrainte fondamentale des meacutelanges
x1 + x2 = 1
que lrsquoon peut eacutecrire
x1 = 1 ndash x2
Multiplions chaque membre par x1
= x1(1 ndash x2)
= x1 ndash x1x2
On constate que le terme carreacute est converti en un terme du premier degreacute et en unterme rectangle Les termes carreacutes disparaissent donc de la relation initiale Onobtient un modegravele comprenant uniquement des termes du premier degreacute et destermes rectangles soit en adaptant les notations
y = b1x1 + b2x2 + b12x1x2 104
Pour un meacutelange agrave trois constituants on a
y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3
1043 Modegravele du troisiegraveme degreacute
Le modegravele matheacutematique du troisiegraveme degreacute particulier aux plans de meacutelangespeut srsquoobtenir agrave partir drsquoun polynocircme du troisiegraveme degreacute sur lequel on applique lacontrainte fondamentale des meacutelanges Le modegravele appeleacute modegravele cubique completest le suivant
y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3
+ bcent12x1x2(x1 ndash x2) + bcent13x1x3(x1 ndash x3) + bcent23x2x3(x2 ndash x3) + bcent123x1x2x3
Il est plus courant drsquoutiliser le modegravele simplifieacute qui ne comprend que les termes dupremier degreacute les termes rectangles et le produit des trois constituants Le modegravelesimplifieacute appeleacute modegravele cubique restreint correspondant agrave un meacutelange de trois consti-tuants est le suivant
y = b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3 105
x12 x2
2
x12
x12
Goupy Livre Page 216 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
105 Exemple 15 les trois polymegraveres
217
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
105 Exemple 15 les trois polymegraveres
1051 Preacuteparation du plan drsquoexpeacuteriences
m Description de lrsquoeacutetude
Un expeacuterimentateur cherche la relation qui existe entre lrsquoallongement agrave la rupturedes fils fabriqueacutes avec trois polymegraveres (polyeacutethylegravene polystyregravene et polypropylegravene)et la composition de leurs meacutelanges Le modegravele du premier degreacute eacutetant insuffisantpour expliquer les reacutesultats expeacuterimentaux lrsquoexpeacuterimentateur va tester le modegravele dusecond degreacute
m Reacuteponse
La reacuteponse est lrsquoallongement agrave la rupture des fils preacutepareacutes avec les diffeacuterents meacutelangesde polymegraveres
m Facteurs et domaine
Les facteurs sont les proportions de chacun des trois polymegraveres polyeacutethylegravenepolystyregravene et polypropylegraveneLes proportions peuvent varier de 0 agrave 100 car la proprieacuteteacute drsquousage lrsquoallongementagrave la rupture est valable aussi bien pour les produits purs que pour les meacutelangesLe domaine drsquoeacutetude est repreacutesenteacute par tout le triangle eacutequilateacuteral
m Plan
Le plan choisi est un plan de meacutelanges centreacute augmenteacute (Augmented Simplex-centroiddesigns) qui comporte les meacutelanges indiqueacutes dans le tableau 101 Lrsquoexpeacuterimentateurpreacutevoit drsquoutiliser les points n˚ 8 9 et 10 comme points de controcircle (Figure 1012)Ces points ne seront pas utiliseacutes pour eacutetablir le modegravele matheacutematique ils servirontagrave veacuterifier la valeur preacutedictive du modegravele
Figure 1012 ndash Position des points expeacuterimentaux (noirs) et des points de controcircle (gris) du plan utiliseacute pour eacutetudier lrsquoallongement agrave la rupture des meacutelanges de polymegraveres
1
32
4 5
6
7
8
9 10
Polyeacutethylegravene (1)
Polypropylegravene (3)Polystyregravene (2)
Goupy Livre Page 217 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
218
105 Exemple 15 les trois polymegraveres10 bull Plans de meacutelanges
1052 Expeacuterimentation
Les reacutesultats des mesures figurent dans le tableau 101
1053 Interpreacutetation des reacutesultats
m Calcul des coefficients et modeacutelisation
Un plan centreacute augmenteacute pour trois constituants permet de calculer les sept coeffi-cients du modegravele cubique restreint Les trois points de controcircle ne sont pas inteacutegreacutesau calcul de ces coefficients Le tableau 102 donne la valeur des sept coefficients
Tableau 101 ndash Plan drsquoexpeacuteriences et points de controcircle
Meacutelange n˚Polyeacutethylegravene
(1)Polystyregravene
(2)Polypropylegravene
(3)Reacuteponses
1 1 0 0 32
2 0 1 0 25
3 0 0 1 42
4 12 12 0 38
5 12 0 12 39
6 0 12 12 305
7 13 13 13 37
8 23 16 16 37
9 16 23 16 32
10 16 16 23 38
Tableau 102 ndash Coefficients du modegravele cubique restreint (uniteacutes codeacutees)
Coefficient Valeur
b1 32
b2 25
b3 42
b12 38
b13 8
b23 minus12
b123 6
Goupy Livre Page 218 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
105 Exemple 15 les trois polymegraveres
219
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
10 bull Plans de meacutelanges
On obtient ainsi les valeurs numeacuteriques des coefficients du modegravele matheacutematiqueCes coefficients permettent drsquoeacutecrire un modegravele avec lequel on peut calculer les reacuteponsesdans lrsquoensemble du domaine drsquoeacutetude
y = 32x1 + 25x2 + 42x3 + 38x1x2 + 8x1x3 ndash 12x2x3 + 6x1x2x3
m Examen de la validiteacute du modegravele cubique restreint
Lrsquoexpeacuterimentateur a preacutevu trois meacutelanges de controcircle les points n˚ 8 9 et 10(Tableau 103) Calculons avec le modegravele la valeur des reacuteponses preacutevues en ces pointsPuis comparons ces valeurs aux reacuteponses mesureacutees
La comparaison de la reacuteponse mesureacutee et de la reacuteponse calculeacutee montre que lrsquoonpeut consideacuterer ces valeurs comme eacutegales On en conclut que le modegravele cubiquerestreint repreacutesente correctement lrsquoallongement agrave la rupture des fils fabriqueacutes avecdes meacutelanges des trois polymegraveres
m Illustration graphique des reacutesultats
Maintenant que le modegravele est valideacute nous pouvons lrsquoutiliser pour tracer les courbesisoreacuteponses On a ainsi une ideacutee de lrsquoeacutevolution de la grandeur drsquointeacuterecirct en fonctiondes proportions de chacun des constituants (Figure 1013)
Tableau 103 ndash Comparaison des reacuteponses aux points de controcircle
Meacutelange n˚ Reacuteponses mesureacutees Reacuteponses calculeacutees
8 37 3738
9 32 3222
10 38 3822
Figure 1013 ndash Courbes isoreacuteponses (allongement agrave la rupture) traceacutees agrave lrsquoaide du modegravele du second degreacute
0
02
04
0802
04
06
08
1
0020406081
06
10
Polyeacutethylegravene
Polystyregravene Polypropylegravene
40
38
38
36
36
32
28
Goupy Livre Page 219 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
220
105 Exemple 15 les trois polymegraveres10 bull Plans de meacutelanges
1054 Conclusion de lrsquoeacutetude
Lrsquoobjectif de connaissance est atteint On peut calculer lrsquoallongement agrave la rupture desmeacutelanges de polyeacutethylegravene-polystyregravene-polypropylegravene pour toutes les compositionsdu domaine drsquoeacutetude Si lrsquoon vise une forte valeur il faudra choisir des meacutelanges agravefortes teneurs en polypropylegravene et agrave tregraves faible teneur en polystyregravene Si on deacutesireun allongement peu sensible aux variations de composition on se placera au pointstationnaire environ 20 de polypropylegravene 30 de polystyregravene et 50 depolyeacutethylegravene Si on cherche un faible allongement agrave la rupture on choisira desmeacutelanges riches en polystyregravene
Goupy Livre Page 220 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
221
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull NOTION DE PLAN OPTIMAL
Dans les chapitres preacuteceacutedents nous avons eacutetudieacute les plans drsquoexpeacuteriences classiquesLe nombre drsquoessais deacutependait du plan choisi Apregraves quelques plans drsquoexpeacuterienceslrsquoexpeacuterimentateur se demande srsquoil ne pourrait pas choisir le nombre drsquoessais plutocirctque le plan lui-mecircme Et quand il considegravere lrsquoaspect eacuteconomique la questiondevient laquo Quel est le nombre minimal drsquoessais dont jrsquoai besoin pour traiter monproblegraveme raquo Le preacutesent chapitre est une introduction aux plans drsquoexpeacuteriences opti-maux qui apportent une reacuteponse agrave cette question poseacutee Ces plans portent aussi le nomde custom designs dont la traduction pourrait ecirctre plans sur mesure pour bien montrerqursquoils sont conccedilus pour srsquoadapter agrave lrsquoeacutetude et aux exigences de lrsquoexpeacuterimentateur
111 Exemple drsquoHotelling
Pour illustrer les problegravemes souleveacutes par le choix drsquoune strateacutegie expeacuterimentalenous allons prendre lrsquoexemple des peseacutees de Hotelling En effet la premiegraverepersonne qui srsquoest poseacute la question de lrsquooptimisation des peseacutees est Hotelling qui apublieacute en 1944 une eacutetude sur ce sujet (voir bibliographie) On peut ecirctre surprisque ce problegraveme drsquooptimisation nrsquoait eacuteteacute abordeacute qursquoen 1944 degraves lors que lrsquoon pegravesedepuis des milliers drsquoanneacuteesSupposons qursquoun expeacuterimentateur possegravede un treacutebuchet analogue agrave celui repreacutesenteacutesur la figure 111 et qursquoil a deux objets A et B dont il veut deacuteterminer les masses ma et mb
Figure 111 ndash Balance agrave deux plateaux
Goupy Livre Page 221 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
222
111 Exemple drsquoHotelling11 bull Notion de plan optimal
Sur un plateau il met lrsquoobjet A et sur lrsquoautre il ajoute des poids jusqursquoagrave ce quelrsquoaiguille revienne agrave sa position drsquoeacutequilibre initiale (Figure 112) Soit p1 le totaldes poids agrave ce moment Comme lrsquoexpeacuterimentateur sait qursquoil commet une erreur ssur p1 il eacutecrit
ma = p1 + s
Pour le deuxiegraveme objet il opegravere de mecircme et trouve qursquoil faut mettre un poids p2pour retrouver lrsquoeacutequilibre de la balance
mb = p2 + s
Si p1 et p2 valent respectivement 10 g et 25 g et si s vaut 01 g lrsquoexpeacuterimentateurpeut eacutecrire
ma = 10 plusmn 01 gmb = 25 plusmn 01 g
Lrsquoexpeacuterimentateur a fait deux mesures et il a obtenu deux reacutesultats avec une erreurde plusmn σ Crsquoest ainsi que les gens pratiquent dans tous les meacutetiers du monde Pour-tant Hotelling a fait remarquer que pour le mecircme effort on pouvait obtenir unemeilleure preacutecision agrave condition que les deux objets participent agrave chaque peseacutee Ilpropose donc dans une premiegravere expeacuterience de mettre A et B sur un mecircmeplateau crsquoest-agrave-dire de mesurer la somme p1 des masses Puis dans une secondeexpeacuterience de mettre A et B chacun sur un plateau et drsquoobtenir ainsi la diffeacuterencep2 des masses de A et de B Il peut ainsi eacutecrire un systegraveme drsquoeacutequations dont ildeacuteduit les masses ma et mb par un calcul simple
ma + mb = p1
ma ndash mb = p2
drsquoougrave
Figure 112 ndash Repreacutesentation de la peseacutee de lrsquoobjet A
ma12--- p1 p2+( )=
mb12--- p1 p2ndash( )=
Goupy Livre Page 222 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences
223
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull Notion de plan optimal
Si on applique le theacuteoregraveme des variances (voir chapitre 5) on obtient
Lrsquoerreur (lrsquoeacutecart-type) sur les reacutesultats de mesures nrsquoest plus que au lieu des crsquoest-agrave-dire une reacuteduction de 30 de lrsquoerreur de mesure On eacutecrit
ma = 10 plusmn 007 gmb = 25 plusmn 007 g
Avec la meacutethode classique le mecircme reacutesultat aurait eacuteteacute atteint en pesant deux fois Aet en pesant deux fois B soit 4 mesures au lieu de 2 Ici commence agrave poindre lrsquoundes inteacuterecircts de faire intervenir toutes les variables ou tous les facteurs agrave chaqueexpeacuterience pour un mecircme nombre drsquoexpeacuteriences on ameacuteliore la preacutecision
112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriencesReprenons lrsquoexemple drsquoHotelling et traitons-le avec le formalisme des plansdrsquoexpeacuteriences introduit aux chapitres 1 et 2Les facteurs seront les objets A et B et les reacuteponses les poids neacutecessaires pourramener lrsquoeacutequilibre agrave chaque peseacutee On adopte une convention de signe si lrsquoobjetest deacuteposeacute sur le plateau de gauche il est compteacute positivement srsquoil est deacuteposeacute surle plateau de droite il est compteacute neacutegativement (Figure 113)
Avec cette convention la masse de lrsquoobjet A est ndashpa si A est sur le plateau de droiteet +pa si A est sur le plateau de gauche On peut simplifier la notation en introduisantles variables codeacutees minus1 correspond agrave ndashpa +1 agrave +pa et 0 agrave lrsquoabsence de A
+pa _____ 0 _____ minuspa
+1 _____ 0 _____ minus1
Figure 113 ndash Convention de signes adopteacutee pour les peseacutees
V ma( ) 14--- V p1( ) V p2( )+[ ]=
14--- σ2 σ2+[ ]=
12---σ2=
σ 2frasl
Goupy Livre Page 223 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
224
112 Peseacutees et plans drsquoexpeacuteriences11 bull Notion de plan optimal
Les mecircmes conventions sont adopteacutees pour lrsquoobjet B Lrsquoeffet de B sur les plateauxsrsquoexprime par
+pb _____ 0 _____ minuspb
+1 _____ 0 _____ minus1Les deux maniegraveres de peser la meacutethode classique et la meacutethode drsquoHotellingpeuvent alors ecirctre preacutesenteacutees selon une matrice drsquoexpeacuteriences Les calculs serontconduits comme pour un plan drsquoexpeacuteriences et les effets trouveacutes seront les poidsde chacun des objets lrsquoeffet drsquoun objet eacutetant dans ce cas son poids
1121 Meacutethode classique
ndash Essai n˚ 1 A est sur le plateau de gauche B nrsquoest pas sur la balance Reacuteponse 10 g
ndash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A nrsquoest pas sur la balance Reacuteponse 25 g
Comme il nrsquoy a aucune interaction entre A et B la matrice drsquoexpeacuteriences(Tableau 111) est identique agrave la matrice du modegravele La matrice X de la meacutethodeclassique de peseacutee est donc
111
Il ne faut pas srsquoeacutetonner de voir les effets eacutegaux aux reacuteponses la matrice des effetsest une matrice uniteacute elle nrsquoapporte aucune transformation
1122 Meacutethode drsquoHotelling
ndash Essai n˚ 1 A et B sont sur le plateau de gauche Reacuteponse 35 gndash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A sur le plateau de droite Reacuteponse
15 gLa matrice X de la meacutethode drsquoHotelling (Tableau 112) est
Tableau 111 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences meacutethode classique pour peser deux objets
Essai n˚A
Facteur 1B
Facteur 2Masse (g)Reacuteponses
1 +1 0 10
2 0 +1 25
Effet 10 g 25 g
X 1 00 1
=
X 1 11ndash 1
=
Goupy Livre Page 224 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
113 Optimaliteacute
225
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull Notion de plan optimal
La meacutethode drsquoHotelling est caracteacuteriseacutee par cette matrice ougrave ne figure aucun zeacuteroce qui signifie que tous les objets ont participeacute agrave tous les essaisOn retrouve bien sucircr les mecircmes effets (ou les mecircmes poids) qursquoavec la meacutethodeclassique avec cependant et la diffeacuterence est de taille une meilleure preacutecision
113 OptimaliteacuteNous venons de voir que la meacutethode drsquoHotelling donne des reacutesultats plus preacutecisque la meacutethode classique La question qui se pose naturellement est laquo Peut-onfaire mieux Peut-on obtenir avec deux essais des effets plus preacutecis La meacutethodedrsquoHotelling est-elle optimale raquoNous adopterons comme deacutefinition laquo un plan optimal est un plan qui fournit lesestimations des effets avec la meilleure preacutecision possible raquo Les matheacutematiciens ontdeacutemontreacute que ce but eacutetait atteint lorsque le deacuteterminant de la matrice attei-gnait sa valeur maximale Le calcul du deacuteterminant drsquoune matrice est fort longsauf pour les plus petites matrices Crsquoest la raison pour laquelle on fait appel auxlogiciels et aux ordinateurs pour geacuteneacuterer les matrices des plans optimaux Pourillustrer la meacutethode nous utiliserons un exemple tregraves simple
1131 Critegravere du deacuteterminant maximum (D-optimal)
Indiquons drsquoabord drsquoune maniegravere matheacutematique le critegravere drsquooptimaliteacute qui faitintervenir le deacuteterminant drsquoune matrice On notera le deacuteterminant de lamatrice A On dira qursquoun plan drsquoexpeacuteriences est D-optimal si la position des pointsdrsquoexpeacuteriences maximise la valeur du deacuteterminant de la matrice Le Dde D-optimal vient de deacuteterminant et on parle de D-optimaliteacuteLes deacuteterminants ne peuvent ecirctre calculeacutes que pour les matrices carreacutees Maiscomme les matrices sont toujours carreacutees on peut toujours calculer leursdeacuteterminantsAppliquons cette notion de D-optimaliteacute agrave lrsquoexemple des peseacutees avec la meacutethodeclassique et la meacutethode drsquoHotelling ndash pour la meacutethode classique
et
Tableau 112 ndash Matrice drsquoexpeacuteriences meacutethode drsquoHotelling pour peser deux objets
Essai n˚A
Facteur 1B
Facteur 2Masse (g)Reacuteponses
1 +1 +1 35 g
2 ndash1 +1 15 g
Effet 10 g 25 g
XprimeprimeprimeprimeX
A
XprimeX XprimeX
XprimeX
X 1 00 1
= XprimeX 1=
Goupy Livre Page 225 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
226
113 Optimaliteacute
11 bull Notion de plan optimal
ndash pour la meacutethode drsquoHotelling
et
La strateacutegie drsquoHotelling est meilleure que la strateacutegie classique car le deacuteterminantde est plus eacuteleveacute En fait on deacutemontre que lrsquoon ne peut pas trouver unemeilleure strateacutegie que celle drsquoHotelling
1132 Calcul des plans optimaux
La strateacutegie drsquoHotelling peut ecirctre eacutetendue agrave la peseacutee de quatre objets A B C et DComment faut-il organiser les peseacutes pour obtenir la meilleure preacutecision Eacutetudionsles diffeacuterentes strateacutegies possiblesVoyons drsquoabord la meacutethode classique sachant qursquoelle nrsquoest pas optimale On peutrepreacutesenter les quatre peseacutees par la matrice
Le deacuteterminant de la matrice est eacutegal agrave
On peut mettre en œuvre une approche analogue agrave celle qui a eacuteteacute utiliseacutee pourdeux objets On pegravese drsquoabord A et B puis C et D selon les indications suivantes ndash Essai n˚ 1 A et B sont sur le plateau de gauchendash Essai n˚ 2 B est sur le plateau de gauche A sur le plateau de droitendash Essai n˚ 1 C et D sont sur le plateau de gauchendash Essai n˚ 2 D est sur le plateau de gauche C sur le plateau de droiteCette strateacutegie est illustreacutee par la matrice
Le deacuteterminant de la matrice est eacutegal agrave
Cette strateacutegie est nettement meilleure que la meacutethode classique Mais est-ce lameilleure
Pour les plans nrsquoayant que des niveau
x
minus
1 ou +1 la matrice
de rang
n
ayant la plus haute D-optimaliteacute possegravede un deacuteterminant
Ainsi la seconde solution proposeacutee nrsquoest pas une strateacutegie optimale Comme indiqueacutepreacuteceacutedemment les plans optimaux sont calculeacutes par les ordinateurs Lrsquoune des
X 1 11ndash 1
= XprimeX 4=
XprimeX
X
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
=
XprimeXXprimeX 1=
X
1 1 0 01ndash 1 0 0
0 0 1 10 0 1ndash 1
=
XprimeXXprimeX 16=
XprimeXXprimeX nn=
Goupy Livre Page 226 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
113 Optimaliteacute
227
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull Notion de plan optimal
meacutethodes la plus efficace pour calculer un plan optimal est lrsquoalgorithme drsquoeacutechangesdes coordonneacutees Nous allons donner les grandes lignes de cette meacutethode et lrsquoillustrergracircce agrave lrsquoexemple de la peseacutee de quatre objetsLrsquoalgorithme drsquoeacutechanges des coordonneacutees suit la deacutemarche suivante Preacuteparation de lrsquoalgorithme
ndash Creacuteation drsquoune matrice carreacutee X de rang n dont les eacuteleacutements sont choisis auhasard et dont les valeurs sont comprises entre 0 et 1 Crsquoest la matrice aleacuteatoirede deacutepart
ndash Creacuteation drsquoun jeu de substitution dont les valeurs serviront agrave remplacer leseacuteleacutements de deacutepart Ce jeu est constitueacute par les niveaux drsquoeacutetude du plan drsquoexpeacute-riences ici minus1 ou +1 Par exemple pour un plan 22 on prend minus1 et +1 et pourun plan agrave trois niveaux on prend minus1 0 et +1
Ensuite commence le deacuteveloppement iteacuteratif de lrsquoalgorithme
ndash Le chiffre agrave la croiseacutee de la premiegravere ligne et de la premiegravere colonne est remplaceacutesuccessivement par les valeurs du jeu de substitution Le deacuteterminant estcalculeacute pour chacune des valeurs de substitution
ndash Si lrsquoune des valeurs de substitution augmente le deacuteterminant on la laisse enplace en remplacement de la valeur drsquoorigine Si aucune des valeurs de substitutionnrsquoaugmente le deacuteterminant on laisse la valeur aleacuteatoire en place
ndash Le premier eacuteleacutement eacutetant traiteacute on attaque le second il est agrave la croiseacutee de lapremiegravere ligne et de la deuxiegraveme colonne On exeacutecute les opeacuterations 1 et 2 et ontrouve une nouvelle valeur pour le deacuteterminant
ndash On poursuit ainsi pour tous les eacuteleacutements de la matrice Xndash Si lrsquoon atteint la valeur maximale du deacuteterminant soit on srsquoarrecirctendash Si lrsquoon nrsquoa pas atteint la valeur maximale on reacutepegravete les opeacuterations de substi-
tution sur tous les eacuteleacutements de la matrice On poursuit ainsi jusqursquoagrave obtenir lavaleur maximale du deacuteterminant ou jusqursquoagrave ce qursquoon ne puisse plus ameacuteliorersa valeur Cette situation arrive lorsque lrsquoalgorithme ne procegravede plus agrave aucunesubstitution
Reprenons lrsquoexemple de la peseacutee de quatre objets pour illustrer ce processus etcherchons la meilleure matrice de peseacutees ou matrice drsquoexpeacuteriences (Tableau 113)Les eacuteleacutements de la matrice de deacutepart sont des nombres choisis au hasard
Dans ce cas
Puisque les quatre facteurs possegravedent deux niveaux les valeurs candidates pourremplacer les eacuteleacutements de cette matrice de deacutepart sont minus1 et +1
XprimeX
XprimeX
XprimeX nn=
X
0556 0696 0346 07870607 0039 0499 00170267 0975 0770 06380409 0368 0061 0421
=
XprimeX 0001 6=
Goupy Livre Page 227 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
11 bull Notion de plan optimal
228
113 Optimaliteacute
Tabl
eau
113
ndash D
eacutetai
l de
lrsquoalg
orit
hme
drsquoeacutec
hang
es (p
eseacutee
s de
4 o
bjet
s)
Iteacuter
atio
nM
atri
ce X
|Xprime X
| ave
c minus1
|Xprime X
| ave
c +1
Vale
ur d
e su
bsti
tuti
onN
ouve
lle m
atri
ce X
10
027
2 times
10minus5
minus1
20
332
000
8minus1
30
187
041
81
40
024
049
71
hellipet
ain
si d
e su
ite
jusq
ursquoau
x de
ux d
erni
egraveres
lign
es
1532
187
1
1664
256
1
X
055
60
696
034
60
787
060
70
039
049
90
017
026
70
975
077
00
638
040
90
368
006
10
421
=X
ndash
10
696
034
60
787
060
70
039
049
90
017
026
70
975
077
00
638
040
90
368
006
10
421
=
X
ndash
10
696
034
60
787
060
70
039
049
90
017
026
70
975
077
00
638
040
90
368
006
10
421
=X
ndash 1
ndash
10
346
078
70
607
003
90
499
001
70
267
097
50
770
063
80
409
036
80
061
042
1
=
X
ndash
1ndash
10
346
078
70
607
003
90
499
001
70
267
097
50
770
063
80
409
036
80
061
042
1
=X
ndash
1ndash
11
078
70
607
003
90
499
001
70
267
097
50
770
063
80
409
036
80
061
042
1
=
X
ndash
1ndash
11
078
70
607
003
90
499
001
70
267
097
50
770
063
80
409
036
80
061
042
1
=X
ndash
1ndash
11
10
607
003
90
499
001
70
267
097
50
770
063
80
409
036
80
061
042
1
=
X
ndash
1ndash
11
11
ndash
11
ndash
1ndash
11
1ndash
11
10
061
042
1
=X
ndash
1ndash
11
11
ndash
11
ndash
1ndash
11
1ndash
11
11
042
1
=
X
ndash
1ndash
11
11
ndash
11
ndash
1ndash
11
1ndash
11
11
042
1
=X
ndash
1ndash
11
11
ndash
11
ndash
1ndash
11
1ndash
11
11
1
=
Goupy Livre Page 228 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire
229
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull Notion de plan optimal
Le deacuteterminant a atteint la valeur 256 soit 4
4
Nous savons que crsquoest la valeurmaximale Par conseacutequent la matrice drsquoexpeacuteriences optimale est la suivante
On constate que les quatre objets interviennent dans chaque peseacutee et crsquoest ce quenous attendions La valeur de
=
256 indique que lrsquoalgorithme peut ecirctrearrecircteacute Si nous nrsquoavions pas atteint la valeur 256 apregraves lrsquoeacutechange des 16 eacuteleacutements dela matrice nous aurions parcouru agrave nouveau le processus de substitution aveccomme matrice de deacutepart la matrice drsquoarriveacutee du premier cycle La puissance desordinateurs permet drsquoaffiner ce processus on utilise plusieurs matrices de deacutepart(une vingtaine) on parcourt plusieurs fois lrsquoalgorithme et on compare les matricesobtenues On prend la meilleurePour reacutesumer nous avons vu trois strateacutegies pour peser quatre objets Les reacutesultatssont les suivants
ndash Strateacutegie classique
=
1ndash Strateacutegie intermeacutediaire
=
16ndash Strateacutegie optimale
=
256
114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire
On ne traite pas souvent des cas aussi simples que celui des peseacutees En geacuteneacuteral ona un problegraveme qui met en jeu un modegravele une ou plusieurs reacuteponses plusieursfacteurs et leurs interactions Comment les plans optimaux sont-ils calculeacutes quandles modegraveles lineacuteaires sont impliqueacutes Supposons que nous ayons le modegravele lineacuteaire suivant
y
=
a
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
12
x
1
x
2
On deacutemarre avec deux facteurs et une interaction Pour utiliser lrsquoalgorithmedrsquoeacutechanges preacuteceacutedent on commence par construire la matrice du modegravele Crsquoestcette matrice qui est deacutesigneacutee par
X
Cette matrice se distingue de la matrice duplan drsquoexpeacuteriences (repeacutereacutee
F
dans ce chapitre) qui elle ne fait intervenir que lesniveaux des facteurs La matrice
X fait intervenir les niveaux des facteurs leursinteractions et une constanteOn commence par remplir la matrice drsquoexpeacuteriences de nombres ri choisis au hasard
X
1ndash 1ndash 1 11 1ndash 1 1ndash
1ndash 1 1 1ndash
1 1 1 1
=
XprimeX
XprimeXXprimeXXprimeX
F
r1 r2
r3 r4
r5 r6
r7 r8
=
Goupy Livre Page 229 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
230
114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire11 bull Notion de plan optimal
On bacirctit la matrice du modegravele en ajoutant une colonne de 1 pour la constante etune quatriegraveme colonne pour lrsquointeraction
Lrsquoalgorithme drsquoeacutechanges est appliqueacute agrave la matrice F Quand la matrice F est modifieacuteela matrice X est modifieacutee de la mecircme maniegravere Par exemple quand on remplace ler1 de F par +1 (ou minus1) on modifie le r1 de X dans les deuxiegraveme et quatriegravemecolonnes Le deacuteterminant correspondant est calculeacute ce qui permet de savoir srsquoilfaut conserver ou non le niveau testeacuteComme preacuteceacutedemment nous allons donner un exemple (Tableau 114) Soit F lamatrice drsquoexpeacuteriences agrave optimiser
Drsquoougrave la matrice
Drsquoougrave la matrice finale
Si lrsquoon regarde attentivement cette matrice on constate que les deux colonnescentrales forment un plan factoriel complet 22 plan que nous avons rencontreacute auchapitre 2Drsquoune maniegravere geacuteneacuterale lrsquoalgorithme drsquoeacutechanges permet de retrouver les plansclassiques Crsquoest donc un moyen puissant de construire rapidement un plan quisrsquoadapte aux exigences de lrsquoeacutetude en cours mecircme dans les cas simples
X
1 r1 r2 r1r2
1 r3 r4 r3r4
1 r5 r6 r5r6
1 r7 r8 r7r8
=
F
0736 04140239 01240328 07700318 0723
=
X
1 0736 0414 03051 0239 0124 00301 0328 0770 02521 0318 0723 0230
=
X
1 1ndash 1ndash 11 1ndash 1 1ndash
1 1 1ndash 1ndash
1 1 1 1
=
Goupy Livre Page 230 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
231
114 Plans optimaux avec un modegravele lineacuteaire11 bull Notion de plan optimal
Tabl
eau
114
ndash D
eacutetai
l de
lrsquoalg
orit
hme
drsquoeacutec
hang
es (p
lan
de 2
fac
teur
s)
Iteacuter
atio
nF
|Xprime X
| ave
c minus1
|Xprime X
| ave
c +1
Vale
ur d
e su
bsti
tuti
onN
ouve
lle m
atri
ce X
11
6 times
10minus5
55
times 10
minus5minus1
25
6 times
10minus4
66
times 10
minus6minus1
hellipet
ain
si d
e su
ite
jusq
ursquoau
x de
ux d
erni
egraveres
lign
es
70
190
1
80
256
1
F
073
60
414
023
90
124
032
80
770
031
80
723
=X
1ndash
10
414
ndash 0
414
10
239
012
40
030
10
328
077
00
252
10
318
072
30
230
=
F
ndash
10
414
023
90
124
032
80
770
031
80
723
=X
1ndash
1ndash
11
10
239
012
40
030
10
328
077
00
252
10
318
072
30
230
=
F
ndash
1ndash
1ndash
11
1ndash
10
318
072
3
=X
1ndash
1ndash
11
1ndash
11
ndash
11
1ndash
1ndash
11
10
723
072
3
=
F
ndash
1ndash
1ndash
11
1ndash
11
072
3
=X
1ndash
1ndash
11
1ndash
11
ndash
11
1ndash
1ndash
11
11
1
=
Goupy Livre Page 231 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
232
115 Quand utiliser des plans optimaux
11 bull Notion de plan optimal
115 Quand utiliser des plans optimaux
Les proprieacuteteacutes des plans optimaux font qursquoils sont toujours un bon choix qursquoilsrsquoagisse de criblage ou de modeacutelisation Ils permettent agrave lrsquoexpeacuterimentateur drsquoavoirle plan sur mesure qui srsquoadapte parfaitement aux contraintes de lrsquoeacutetude Les plansoptimaux permettent eacutegalement de traiter des situations difficiles et sont parfois laseule solution aux problegravemes poseacutes On les emploie lorsqursquoil faut ndash diminuer le nombre drsquoessais drsquoun plan classique pour srsquoadapter au budget et aux
deacutelais imposeacutes ndash adapter le plan aux objectifs de lrsquoeacutetude et aux moyens de lrsquoexpeacuterimentateur ndash traiter en mecircme temps des facteurs de meacutelanges et des facteurs de proceacutedeacute ndash obtenir une surface de reacuteponse en preacutesence de facteurs discrets ndash tenir compte des contraintes qui pegravesent sur le domaine drsquoeacutetude toutes les
combinaisons de facteurs ne sont pas possibles et le domaine drsquoeacutetude nrsquoest plusun carreacute un cube ou un hypercube
ndash assurer un blocking neacutecessaire agrave la qualiteacute des reacutesultats de lrsquoeacutetude et que lemodegravele ne srsquoy precircte pas
ndash compleacuteter par quelques essais suppleacutementaires une expeacuterimentation malconduite afin drsquoen tirer des conclusions valides (reacuteparation drsquoexpeacuterimentation)
116 Adaptabiliteacute des plans optimaux
Supposons que vous ayez une eacutetude faisant intervenir une reacuteponse et trois facteursVotre budget vous autorise 12 essais Votre choix naturel se porte sur un plan 2
3
de8 essais et il vous reste 4 essais que vous pouvez mettre au centre du domainedrsquoeacutetude pour veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI (modegravele du premier degreacute avecinteractions) et pour avoir une ideacutee de lrsquoerreur expeacuterimentale (Tableau 115)
Tableau 115
ndash Plan classique
Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3
minus
1
minus
1
minus
1
1
minus
1
minus
1
minus
1 1
minus
1
1 1
minus
1
minus
1
minus
1 1
1
minus
1 1
minus
1 1 1
1 1 1
Goupy Livre Page 232 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
116 Adaptabiliteacute des plans optimaux
233
copy D
unod
ndash L
a ph
otoc
opie
non
aut
oris
eacutee e
st u
n deacute
lit
11 bull Notion de plan optimal
Si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse est 1 lrsquoeacutecart-type de chaque coefficient est 0125 Onretrouve ce reacutesultat avec la relation 51 du chapitre 5Si vous nrsquoavez pas besoin de veacuterifier la validiteacute du modegravele PDAI et de posseacuteder uneestimation de lrsquoerreur expeacuterimentale vous pouvez construire un plan optimal de12 essais (Tableau 116)
Si lrsquoeacutecart-type de la reacuteponse est 1 lrsquoeacutecart-type de chaque coefficient est 0094 Onretrouve aussi ce reacutesultat avec la relation 51 du chapitre 5 La variance des coef-ficients chute de 0125 agrave 0094 soit un gain de pregraves de 25 sur les variances et de14 sur les eacutecarts-typesLrsquointeacuterecirct drsquoun tel gain reacuteside dans le fait que les facteurs peu influents sont plusfacilement discrimineacutes de lrsquoerreur expeacuterimentale Cet avantage peut ecirctre tregraves impor-tant en fabrication ougrave une leacutegegravere ameacutelioration du rendement de production peutparfois entraicircner de grandes eacuteconomies
Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Tableau 116
ndash Plan optimal pour 12 essais
Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3
minus
1
minus
1
minus
1
1
minus
1
minus
1
minus
1 1
minus
1
1 1
minus
1
minus
1
minus
1 1
minus1 minus1 1
1 minus1 1
1 minus1 1
minus1 1 1
minus1 1 1
1 1 1
1 1 1
Tableau 115 ndash Plan classique (Suite)
Goupy Livre Page 233 Jeudi 21 septembre 2006 623 18
234
116 Adaptabiliteacute des plans optimaux11 bull Notion de plan optimal
Si vous deacutesirez eacutetablir tout de suite un modegravele du second degreacute il est possible enreacutepartissant convenablement les 12 points drsquoexpeacuteriences drsquoavoir une bonne preacutecisionsur les coefficients et drsquoestimer la courbure de la surface de reacuteponse (Tableau 117)On choisira un modegravele postuleacute du second degreacute
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a11 + a22 + a33 + e
Comme on utilise un modegravele du second degreacute la variance varie drsquoun coefficient agravelrsquoautre (Tableau 118)
Le plan optimal a permis drsquoobtenir une variance faible et drsquoestimer les coefficientsdu second degreacute
Tableau 117 ndash Plan du second degreacute
Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3
1 minus1 minus1
minus1 minus1 1
minus1 1 minus1
0 1 0
1 1 1
minus1 0 1
1 minus1 1
minus1 1 1
1 0 0
1 1 minus1
minus1 minus1 minus1
0 0 minus1
Tableau 118 ndash Variance des coefficients du plan du second degreacute
Coefficient Variance Coefficient Variance
a0 0819 a13 0119
a1 0111 a23 0125
a2 0123 a11 0836
a3 0111 a22 0523
a12 0125 a33 0836
x12 x2
2 x32
Goupy Livre Page 234 Jeudi 21 septembre 2006 623 18