Technologie Construction Chap1

Kef --- Licence appliquée en génie mécanique TGM3.. --- Technologie de construction ---A.U 2013/2014

��

��

�� Support d’étude : Appui réglable

1- Problème proposé

Pour certaines pièces, relativement flexibles, la prise de pièce n’est pas généralement suffisante pour

empêcher la flexion de la pièce et éviter les vibrations pendant l’usinage.

• des défauts de forme de la pièce.

• de mauvaises conditions d’usinage (taux de coupe faible)

� Fraise

Pièce à usiner ��

� Table de la machine

2- Solution

Pour améliorer la rigidité de la prise de pièce et réduire l’influence des moments dus aux efforts de coupe,

on utilise un appui réglable placé aussi près que possible de la surface à usiner.

� Fraise

Pièce à usiner ��

Appui réglable (Zone d’étude)1

��

� Table de la machine

��

h��

��

��

�

� � �

� � ��

� � �

��

��

�

�

� � ��

de

��

19 4 Vis CHcM5- 12

18 1 Vis sans tète M5 - 12

17 1 Ecrou de freinage

16 2 Vis CHcM5- 12

15 2 Lardon C35

14 1 Anneau élastique

13 1 Butée de fin de course

12 1 Ressort

11 1 Ecrou de blocage

10 1 Tige filetée C35

9 1 Colonne C60

8 1 Bille

7 1 Poussoir Cu Sn 8 P

6 1 Poigné de manœuvre E 200

5 1 Axe fileté C60

4 1 Couvercle C35

2 1 Guide C35

1 1 Corps En-GJL 200

Rep Nb Désignation Matière Observations

Ech : 1 :1APPUI REGLABLE

Technologie

construction 2013-2014

A4 H

3 – Analyse du fonctionnementCompléter la chaîne cinématique en mettant en évidence tous les mécanismes intermédiaires qui font passer del'entrée à la sortie par transmission et/ou transformation de puissance.

a- Compléter les classes d’équivalences cinématiques:

A = { 1, ..............................................................................................................}

B = { 5, ..............................................................................................................}

C = { 7, ..............................................................................................................}

D = { 8, ..............................................................................................................}

E = { 9, ..............................................................................................................}

b - compléter le graphe des liaisons.

B A

E

C D

c - Compléter le schéma cinématique :

A

4- Analyse des solutions constructives

- Détailler les solutions constructives utilisées pour réaliser chaque fonction technique élémentaire.

- Analyser plus finement les formes des pièces.

a- Solutions constructives

b- Analyse fines des formes

-Pour quelle(s) raison(s) a-t-on prévu des chanfreins (extérieurs) sur le poussoir (7) ?

…………………………………………………………………………………………………………………….

��

Fonctions techniques Processeurs

Assurer le guidage en rotation de l’axe (5) ………………………………………..

Guider en translation le poussoir (7) ………………………………………..

Guider en translation la colonne (9) …………………………………………

Fixer le guide (2) sur le corps (1) …………………………………………

Ramener la colonne (9) à sa position initiale …………………………………………..

Fixer la poignée de manœuvre (6) sur (5) …………………………………………

�

- Pour quelle(s) raison(s) a-t-on prévu un moletage sur la poigné de manœuvre (6) ?

…………………………………………………………………………………………………………………….

- Justifier le choix du matériau du poussoir (7) Cu Sn 8P

……………………………………………………………………………………………………………………..

��

1- Contact entre deux solides :Le tableau ci–contre donne les différentescombinaisons :

Exp : *Contact plan/sphère

*Contact plan/cylindre

*Contact plan/plan

*Contact cylindre/sphère

*Contact cylindre/cylindre

*Contact sphère/sphère

2- Liaison entre deux solides :2.1 – Liaisons élémentaires :Une liaison élémentaire entre deux solides S1 et S2 est obtenue à partir du contact d'une

surface géométrique élémentaire liée à S1 sur une surface géométrique élémentaire liée à S2. Lessurfaces géométriques élémentaires obtenues à partir des principaux procédés d'usinageplan, le cylindre et la sphère.

2.2 – Liaisons composées :Une liaison composée est obtenue par association cohérente de liaisons élémentaires. Exemples :

sont le

Il existe d’autres liaisons très utiles telles que la liaison hélicoïdale Une liaison est dite parfaite si:

- Le contact s'établit théoriquement en un point, sur une ligne ou sur une surface de définition

géométrique simple (plan sphère, cylindre, surface hélicoïdale, ..);

- Les surfaces de contact sont supposées géométriquement parfaites; - la liaison est sans jeu.

La norme NF E04-015 présente les onze liaisons élémentaires dans le tableau ci-après :

2.3 – Degrés de liberté/liaison :Les degrés de liberté d'une liaison entre deux solides S1 et S2 correspondent aux

mouvements relatifs indépendants autorisés au sein de cette liaison entre S1 et S2.

6 mouvements élémentaires possibles d'un solide dans l'espace rapporté à un repère (A, x, y, z )

• 3 translations : Tx, Ty, Tz,

• 3 rotations : Rx, Ry, Rz.

��

Notons m le degré de liberté d'une liaison. Le degré de liaison d'une liaison vaut, dans l'espace, 6 – m

2.4 – Tableau des liaisons :

– Exemple technologique : Articulation sur coussinet.

Le torseur statique sera le complément du torseur cinématique

X= Y

Z

0M

NA

��

– Exemple technologiqueLiaison glissière par queue d’aronde avec rattrapage du jeu.

Le torseur statique sera le complément du torseur cinématique0 L

= Y M

A Z N

• Liaison encastrement ou liaison complète

On appelle liaison complète une liaison entre deux solides qui annule tous les mouvements.

La liaison encastrement est représentée par un triangle noirci entre les deux solides.

– Exemple technologique Assemblage par soudure

Ou assemblage de deux solides par goupille cannelée.

��

2- Modélisation d'un mécanisme, méthode d'analyse :

Un mécanisme étant un ensemble de solides et de liaisons organisé, il est indispensable d'enfaire une analyse et une représentation logique, conforme à sa structure.

Pour cela, on dispose d'outils appropriés : ��Le graphe de structure (ou graphe des liaisons) et le schéma cinématique dans le cas d'une

étude géométrique et/ou cinématique ; ��Le graphe des liaisons et efforts, et le schéma d'architecture dans le cas d'une étude des

efforts dans les liaisons, en statique ou dynamique.

L'analyse d'un mécanisme débute par l'identification des groupes cinématiquement liés et dessurfaces de contact qui les lient (liaisons), ce qui permet de construire son graphe de structure et son schéma cinématique.

On appelle groupe cinématiquement lié (CEC) un ensemble de solides liés par encastrement. Par conséquent, cet ensemble sera également représenté par un seul solide.

On appelle graphe des liaisons, une représentation plane qui permet de décrire l'agencement des liaisons entre les solides constituant le mécanisme.

On appelle schéma cinématique d'un mécanisme, une représentation géométrique simplifiée des pièces et des liaisons qui le constituent et qui fait apparaître clairement sa cinématique.

��

Kef --- Licence appliquée en génie mécanique TGM3.. --- Technologie de construction ---A.U 2013/2014

��

��

��

Pour maitriser le comportement d’un mécanisme (obtenir une précision voulue d’une mise en position d’une pièce

p/p à une autre, éviter une usure prématurée, un coincement ou un montage impossible) il faut connaitre précisément laposition relative de chaque liaison, ainsi que les torseurs d’action mécanique correspondants.

L’objectif de ce cours est d’introduire la théorie des mécanismes, outil préliminaire dans le processus de

conception, qui à pour finalité de maîtriser la mobilité et l’hyperstaticité d’un mécanisme modélisée par des liaisons

théoriques :

- localiser, quand elles existent, les inconnues de liaison (inconnues hyperstatiques) que l’on ne peut pas déterminer

uniquement par application du principe fondamental de la statique (ou de la dynamique) à ce mécanisme.

- De proposer, éventuellement, des modifications pour rendre le mécanisme isostatique (sans inconnue

hyperstatique).

- Savoir à quelles conditions géométriques de position relative des liaisons correspondent les inconnues

hyperstatiques.

��

II. 1 Mécanisme :Un système mécanique ou un mécanisme est un ensemble de pièces positionnées entre-elles par des contacts (en

liaisons) dans le but de réaliser une ou plusieurs fonctions. On peut schématiser un mécanisme dans le cas général de la façon suivante :

Entrées Mécanisme Sorties

Un mécanisme est schématisé par :

•

•

•

Son plan de définition.

Son schéma cinématique ou schéma de structure

Son graphe de liaisons

Pour l’étude de l’hyperstatisme et de la mobilité d’un mécanisme l’utilisation des modèles schématisés (graphe de liaisons et schéma cinématique ou de structure) est suffisante.

Un mécanisme parfait est un ensemble de solides sans masse, ni inertie assemblés à l’aide de liaisons parfaites.

II. 1-1 A chaîne ouverte :

��

Pas de boucle ou cycle

II.

II. 1-2 A chaîne fermée :

I

��

3-

II. 1-2 A chaîne complexe – nombre cyclomatique :Un mécanisme à chaîne complexe est un mécanisme pour lequel le graphe de liaisons présente des

cycles imbriqués (partie de chaines fermées) avec ou sans des parties de chaînes ouvertes.

�� Y0

E

��

DA

C

B

��B A

�� A

�� E

��

C D A��

Dans cet exemple il n’existe pas de chaine ouverte mais il y a ……. cycles mais seulement ….. qui sontindépendantes ;

Le nombre cyclomatique, noté �, est le nombre de boucles indépendantes du graphe des liaisons d’un

mécanisme.

��

Chaine fermée : boucle ou cycle

Dans l’exemple de l’appui réglable on à 6 boucles ( …..en trait continu et ….. en pointillée)

Mais uniquement …… sont indépendantes. On à donc � = …

On à la relation suivante entre ces deux nombres et le nombre cyclomatique � :

� = -n+1Vérifions sur notre exemple :

L’appui réglable possède …… liaisons et …… solides. On a donc = ….. et n= …… ce qui donne

� = -n+1= ……cycles indépendantes.

II. 2 Liaison équivalente :

Soit un mécanisme dont le graphe de liaisons est le suivant :

3��

��1 2

On appelle liaison cinématiquement équivalente entre 2 solides,

la liaison qui se substituerait à l’ensemble des liaisons réalisés entre

ces solides avec ou sans pièce intermédiaire.

��

4 ��

La liaison équivalente est la liaison qui à le même comportement que cette association de liaisons, c'est-à-dire qui

transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement.

��est la liaison équivalente entre les pièces 1 et 2. ��

1 2

dépend de la nature desProblème : déterminer les torseurs statiques et cinématiquesliaisons et de la façon dont elles sont associées.

de cette équivalente, cela

II. 2-1 Liaisons en parallèle :a) Définition :

n liaisons sont disposées en parallèles entre 2 solides

Si chaque liaison ��relie les deux solides concernés.

b) Liaison équivalente :Torseur cinématique :

��

��

��

1 2

� �

Le torseur cinématique de la liaison équivalente doit être compatibleavec tous les torseurs cinématiques des liaisons entre les pièces. Soient :

��Torseur cinématique de la liaison équivalente.

��Torseur cinématique de la liaison ��.

�� Torseur statique :

Le torseur statique de la liaison équivalente s’obtient en appliquant le principe fondamental de la statique. Soient :

��Torseur statique de la liaison équivalente.

��Torseur statique de la liaison ��.

��

�� c) Application : Considérons un arbre (S2) d’axe (o, ) monté dans un bâti (S1) par l’intermédiaire de deux liaisons

(L1) et (L2). La liaison (L1) est une liaison linéaire annulaire d’axe (o, ), de centre o. La liaison (L2) est une liaison pivot

d’axe (o, ).

�� Déterminer Le torseur statique de la liaison équivalente aux 2 liaisons en parallèle (L1) et (L2).

��

II. 2-2 Liaisons en série :a) Définition :n liaisons sont en série entre 2 solides (S0) et (Sn) s’ils sont disposées l’une à la suite de l’autre par l’intermédiaire

des (n-1) solides. (Chaîne ouverte)

b) Liaison équivalente :Torseur cinématique :

��

S0 S1 S2 Sn

Le torseur cinématique de la liaison équivalente représente le mouvement du solide (Sn) par rapport au solide (S0).Soient :

��Torseur cinématique de la liaison équivalente.

��Torseur cinématique de la liaison ��.

� ��

Torseur statique :

Le torseur statique de la liaison équivalente doit être compatible avec tous les torseurs statiques des liaisons entreces deux solides. Soient :

��

�c) Applications :

� ��

S2

c)1) Déterminer la liaison équivalente aux deux liaisons entre (S2) et (S0).

Pour cela on demande de :

•

•

•

Définir le graphe de liaisons

Définir le torseur cinématique et statique de la liaison équivalente

Donner l’intérêt de la réalisation de cette liaison. S1

S0c)2) Axe épaulé : Choix d’un modèle de représentation :

y

Hypothèse 1 : ��

�

Hypothèse 2 : ��

�x

�� Tracer les graphes de liaison, les schémas cinématiques des deux cas, puis déterminer la liaison équivalente.

��

�� III- 1 Définitions - mobilité interne - mobilité utile :

Notations :L : Nombre total de liaisons.

N : Nombre total de solides dans le mécanisme.

nci : Nombre d’inconnues cinématiques de la liaison i = nombre de ddl de la liaison i.

Nc : Nombre total d’inconnues cinématiques

��

En écrivant une fermeture cinématique pour chaque cycle indépendant du graphe de liaisons, on obtient un

système d’équations à 6� équations dans l’espace et 3� équations dans le plan :

��

��

Sur ces 6� équations, seules rc sont indépendantes (rc= nombre d’équations cinématiques indépendantes).

Définitions :On appelle mobilité d’un mécanisme le nombre de mouvements indépendants d’un mécanisme :

m = Nc - rc avec m = mi + mu

* mi : mobilités internes du mécanisme, mouvements possibles de solides ou d’ensemble de solides n’entraînant

pas le mouvement des autres solides du mécanisme.

* mu : mobilités utiles du mécanisme (en général 1 ou 2)=

mécanisme pour le mettre en mouvement.

Exemple : système bielle-manivelle-piston dans l’espace

mouvements à fournir (via un actionneur) au

1

2

3

0

��

L = N =

Nc =

On vérifie bien que :

� =

=On à donc une seule fermeture cinématique à écrire :

��

�� IV. 1 Etude statique :

Pour un mécanisme à N solides, on a N-1solides si l’on ne comptabilise pas le bâti (sur lequel on ne peut pas faire

d’isolement donc sur lequel on ne peut pas appliquer le Principe Fondamental de la Statique PFS)

On peut donc appliquer le Principe Fondamental de la Statique N-1 fois, c'est-à-dire obtenir un système a Es=6(N -1)

équations. Sur ces 6(N -1) équations, seules rs sont indépendantes.

Notations :

rs

Ns =�nsi

: nombre d’équations issues de la statique INDEPENDANTES

: nombre total d’inconnues statiques

: nombre d’inconnues statiques de liaison i.nsi

IV. 2 Hyperstatisme-Isostatisme :

��

* On appelle degré d’hyperstatisme, noté h, d’un système mécanique la quantité h = Ns - rs

* On dit qu’un système est isostatique si h = 0 (autant d’équations indépendantes que d’inconnues) le système a une solution unique.

Chaque inconnue non déterminable par le PFS est un degré d’hyperstaticité (h>0).

�� • Pour déterminer les actions mécaniques transmissibles des liaisons avec les seules équations issues des théorèmes

généraux, il est préférable d’identifier si le modèle du système est isostatique (et donc de savoir si cette détermination

est possible) avant de se lancer dans des calculs parfois longs et fastidieux.

• La mise en évidence des liaisons surabondantes conduisant au degré d’hyperstaticité aboutit à la mise en place de

tolérances géométriques nécessaires à la définition fonctionnelle des pièces.

Si l’objectif de l’ingénieur est de calculer les composantes d’actions mécaniques transmissibles des liaisons, il

s’orientera vers une modélisation « minimale » conduisant à un degré d’hyperstaticité le plus faible possible.

Si son objectif est la mise en place de spécifications fonctionnelles, il s’orientera à l’inverse vers un degré

d’hyperstatisme plus grand.

Un même système pouvant être modélisé de différentes manières, il est donc nécessaire de calculer un

degré d’hyperstaticité pour chacun des modèles du même système.

��

Pour un système mécanique formé de N solides, et L liaisons nous avons � = L-N+1

Nous avons vu dans l’étude statique que le degré d’hyperstaticité est donné par :

h = Ns - rs

(1)

(2)

De même, la mobilité du mécanisme peut se déduire de l’étude statique (nb d’équations supplémentaires)

m = Es - rs = 6(N -1) - rs

m = Nc – rc

m - h = Es - Ns

(3)(4)

(5)

Mais aussi bien dans l’étude cinématiqueDes relations 2 et 3 on déduit

Or � ��

Es=6(N -1) et Ns = � = �� (le nombre d’inconnues cinématiques est le complément à 6 du nombre d’inconnues statiques)

��

Ns = 6 L − ��= 6 L − NcDonc

En remplaçant Ns dans (5) ��

m - h = Es - Ns=6(N -1)- 6 L + Nc

m - h =-6(L-N+1) + Nc

m - h =-6 � + Nc

h = m +6 � − NcD’où la relation entre mobilité et hyperstaticité

On peut aussi écrire cette relation m - h= Es - Ns= Ec – Nc

Le paramètre m-h est parfois appelé indice de mobilité.

Dans le cas d’un mécanisme plan on peut écrire h = m +3 � − Nc

Les nombres d’inconnues cinématiques (Nc) et statiques (Ns) peuvent être nommées respectivement par Ic et Is

��1-2-

3-

Déterminer le degré d’hyperstatisme de la modélisation spatiale du système bielle-manivelle-piston.Déterminer les inconnues hyperstatiques.

Montrer que les trois modélisations proposées (figure suivante) sont isostatiques.

��

��

La figure 1 schématise un étau constitué de trois pièces :

• un mors fixe 1 lié un support 0, auquel est attaché le repère

galiléen R(O, x�, y�, z�) ,

• un mors mobile 2 en liaison glissière (L1) de direction x avec le

mors fixe 1,

• une vis 3 en liaison pivot (L2) d'axe (O, x�) avec le mors mobile 2,

et en liaison hélicoïdale (L3) d'axe (O, x�) avec le mors fixe 1.

Première partie : l'étau ne serre aucune pièce.Figure.1

Questions

1. Tracer le graphe des liaisons et déterminer le degré d'hyperstatisme de l'étau.

2. Dans une construction isostatique de l'étau conservant la liaison pivot et la liaison glissière, quelle est la

forme du torseur d'action mécanique transmissible de la liaison (L3) ? Proposer un schéma cinématique pour sa

réalisation.

Deuxième partie : l'étau serre une pièce.

L'étau serre une pièce 4 ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Les liaisons planes (L4) et (L5) de la

pièce avec les mors sont de normale (figure 2). x��

La liaison (L3) à considérer est celle déterminée à la question précédente.

Questions

1.

2.

Tracer le graphe des liaisons et déterminer le degré d'hyperstatisme du système étau-pièce.On veut que le contact entre la pièce et les mors soit prépondérant, quels jeux peut -on introduire dans la

liaison glissière ?

Remarques

L'objectif de l'étude est de localiser les inconnues -

hyperstatiques du mécanisme, afin d'en modifier la conception, et

non pas de les calculer.

Il est donc inutile de définir les actions mécaniques extérieures

au mécanisme.

- Les relations donnant le degré de mobilité et le degréd'hyperstatisme d'un mécanisme ont été démontrés dans le cours

en supposant les liaisons sans frottement. Il est donc inutile de se

formaliser si la liaison hélicoïdale est réversible pour cette étude.

��1. Le graphe des liaisons se trace ainsi (figure.3)

figure .2

Figure. 3

��

Le degré d'hyperstatisme de l'étau est donné par la relation :

h = m + 6γ – Nc

m : degré de mobilité.

γ : Nombre de cycles indépendants.

Nc: nombre d'inconnues cinématiques introduites par l'ensemble des liaisons.

Dans le cas présent :

m = 1, il y a un seul mouvement indépendant.

γ= 1, le graphe des liaisons a un seul cycle. Nc

= 3, chaque liaison a un degré de liberté. Le

degré d'hyperstatisme de l'étau est : �� 2. Pour déterminer les inconnues hyperstatiques, appliquons le principe fondamental de la statique au mors

mobile 2 puis a la vis 3 (théorème du moment statique au point O).

Au préalable, définissons les torseurs d'action mécanique transmissible des différentes liaisons, au point O,

dans la base du repère R(O, x�, y�, z�) :

� 0 L1 �

= �Y1 M1�

O �Z1 N1 �

�X 2 � �

Y �

0 �X 3 − pX 3� � � �

Y� � �

{τ1→2} { 2→3} {τ } = τ = M M� 2 � � 2 3→1 3 3

� � � � � O �Z

2 N

2 � O �Z3

N3 �

Les équations d'équilibre s'écrivent :– X2 = 0

Y1 – Y2 = 0

Z1 – Z2 =0

L1 =0

M1 -M2 = 0

N1 – N2 = 0

X2 – X3 =0

Y2– Y3 = 0

Z2 – Z3 = 0

– pX3 = 0

M2 – M3 = 0

N2 – N3 = 0

Les 4 inconnues hyperstatiques du système d'équations sont

Y1 ou Y2 ou Y3,

Z1 ou Z2 ou Z3

M1 ou M2 ou M3

N1 ou N2 ou N3

Un moyen de rendre la conception de l'étau isostatique est de donner a la liaison hélicoïdale quatre degrés de

mobilités supplémentaires en correspondance directe avec les inconnues hyperstatiques, de façon à annuler Y3,

Z3, M3, N 3 D'où la forme du torseur d'action mécanique transmissible de la nouvelle liaison (L3) :

�X 3 − pX 3� � �

� �

{τ 3→1} = � 0 0

� 0 0O � �

Remarques- Les inconnues hyperstatiques de résultantes, Yi ou Zj, correspondent à des conditions dimensionnelles de distance

suivant ou , entre les axes des différentes liaisons.

- Les inconnues hyperstatiques de moments, Mi ou Nj,

correspondent à des conditions dimensionnelles angulaires autour de ou , entre les axes des différentes liaisons.

Une solution technologique possible pour obtenir le torseur

d'action mécanique transmissible précédent est d'installer entre la

vis et le mors un écrou "flottant" (ou auto-alignant), dont un

schéma cinématique est donné figure 4. La liaison entre la vis 3

et le mors 1 est obtenue par l'association en série de trois liaisons

: une liaison hélicoïdale d'axe (0,1) et deux liaisons pivot glissant

d'axe (O, y�) et (O, z

�)

Figure. 4

y�

z��

y�

z��

��

Remarque : il est facile de vérifier que cette association de liaisons en série convient en cherchant le torseur

cinématique de la liaison équivalente, par la relation :

{V (1/3)} = {V (1/6)} + {V (6/5)} + {V (5/3)}

��!��"��1- Le graphe des liaisons se trace ainsi (figure. 5).

Figure. 5

Le degré d'hyperstatisme du système étau-pièce est donné par la relation

h = m + 6γ – Nc

- Degré de mobilité. Lorsque l'étau serre la pièce, il n'a plus de mobilité. La mobilité utile est donc nulle. Par

contre, la pièce a 3 degrés de mobilité interne : une composante de rotation autour de et deux composantes de

translation suivant y�

et z�

Par suite : m = 3.

- Nombres de cycles. le graphe des liaisons a 2 cycles, alors : γ = 2.

x��

- Nombre d'inconnues cinématiques. Les liaisons glissière et pivot sont à un degré de liberté. La liaison quiremplace la liaison hélicoïdale est à 5 degrés de liberté. Chaque liaison plane a trois degrés de liberté. Par

conséquent : Nc = 13

Le degré d'hyperstatisme du système étau-pièce est : ��#2- Pour déterminer les inconnues hyperstatiques, appliquons le principe fondamental de la statique au mors mobile2, à la vis 3 et à la pièce 4 (théorème du moment statique au point O).

Au préalable, définissons les torseurs d'action mécanique transmissible des différentes liaisons, au point O, dans la

base du repère R(O, x�, y�, z�) :

� 0 L1 �

= �Y1 M1�

O �Z1 N1 �

�X 2 � �

Y �

0 �X 3 − pX 3� � � �

Y� � �

{τ1→2} { 2→3} {τ } = τ = M M� 2 � � 2 3→1 3 3

� � � � � O �Z

2 N

2 �

�X 4 �

� 0 M 4�

O �Z3

�X 5 �

� 0 M 5 �

N3 �

0 0� � � �

{τ 2→4} = {τ1→4 } = � � � �

O � 0 N4 � O � 0 N5 �

Les équations d'équilibre s'écrivent

– X2 =0

Y1 – Y2 = 0

Z1 – Z2 =0

X2 – X3 –X4 = 0

Y2= 0

Z2 = 0

– pX3 = 0

M2 – M4 = 0

N2 – N4 = 0

L1 =0

M1 -M2 = 0

N1 – N2 = 0

X4 – X5 = 0

M4 – M5 = 0

N4 – N5 = 0

Les 2 inconnues hyperstatiques du système d'équations sont :M1 ou M2 ou M4 ou M5

N1 ou N2 ou N4 ou N5

Pour rendre le système étau-pièce isostatique et rendre le contact dans les liaisons planes entre la pièce avecles mors prépondérant devant le contact dans les autres liaisons, on propose d'introduire du jeu dans la

liaison glissière (L1), de façon que : M1 = 0 et N1= 0.

��

Le torseur d'action mécanique de la liaison (L1) devient :

� 0 L1� � �

{τ1→2} = �Y1 0 � � �

O �Z1

0 �

L'introduction d'un jeu dans les deux directions y�

et (figure 6) a

également pour effet de diminuer la précision du guidage en

translation de la liaison glissière en créant trois mobilités internes

réduites:

translations dans les directions y�

et z��

et rotation autour de la direction x�

.

• $�� %&�'�bielle-manivelle-piston(

z��

1- La relation donnant le degré d'hyperstatisme d'un mécanisme spatial est : h = m + 6γ – Nc

m : degré de mobilité Nc : nombre d'inconnues cinématiques introduit par les liaisons

γ: nombre de cycles indépendants : γ= L - N +1

Il y a N = 4 solides réunis par L = 4 liaisons ; Par conséquent : γ= 1.

Le nombre d'inconnues cinématiques, ou de degré de liberté, de chaque liaison est :

(L1)=1 (L2 ):1 (L3):1 (L4):2

Au total, il y a : Nc = 5 inconnues cinématiques. � Le mécanisme n'a qu'une mobilité utile : m = 1

Par suite, le degré d'hyperstatisme est : ��#2- Afin de localiser les inconnues hyperstatiques, définissons les torseurs d'action mécanique transmissible

de chaque liaison, dans la base ( x�

, y�

, z�

).0 0 0

��

��

��

� ��

� ��

��

��

��

�� O

;

( x�

, y�

, z�

)0 0 0

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��!��!��!!! ��

( x�

, y�

, z�

)A !��

�

!��

!��!��!!! ��!��!��!�! �( x�

, y�

, z�

)O0 0 0 0 0 0

!��

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��

!��

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!��"��!��

"��!��

!��

!��

�� B

��

�� ( x , y , z ) O ( x , y , z )

0 0 0 0 0 0

��

�� !��

B !��

��

!��

!��

��( x�

, y�� , z

�)

0 0 0

#!!�!!!!!!!!�!$�%!!&!!!�!'!%!&!!!!�!(!'!&!!!!!�!!!!��

• Torseur associé à l’action mécanique extérieure sur (1), supposons que ce torseur soit un torseur couple

d’axe (o,!) [couple provenant du moteur pour maintenir (1) à sa position] :��

��!!�

�)��

( x�

, y�

, z�

)O ��0 0 0

• Torseur associé à l’action mécanique extérieure sur le piston (3), supposons que ce torseur soit un glisseur en

B, dont la résultante !�!��est portée par (B,!��) [résultante des forces de pression sur (3)]:!�!��

�!�� B

�� ( x

�, y�

, z�

)��0 0 0

��

Appliquons successivement le principe fondamental de la statique au solide (1), (2) et (3).

- Equilibre de la manivelle 1.

)�� (�� (I)

- Equilibre de la bielle 2.

�� (II)

- Equilibre du piston 3.

�� (III)

(I) , (II) et (III) entrainent Es=6(N-1)=18 équations statiques

��- ��= 0

��- ��= 0

( 1 )

( 2 )

( 3 )

��- ��- �� !��=0

��- ��+ �� !��=0

� �� !� � �� !� �=0

( 4 )

( 5 )

( 6 ) ��– �� = 0

��- ��= 0

��- ��= 0

( 7 )

( 8 )

( 9 )

�� !�=0 ( 1 0 )

( 1 1 )

( 1 2 )

�� "�� !�= 0

��- �� = 0 �� !�� !��"�� = 0

�� =

��- ��=0

�� =0

0 ( 1 3 )

( 1 4 )

( 1 5 )

��= 0

��- ��= 0

� ��= 0

( 1 6 )

( 1 7 )

( 1 8 )

La somme des inconnues statiques des 4 liaisons estNs = Ns1+ Ns2+ Ns3+ Ns4= 19

On à supposé dés le début que les liaisons sont parfaites, donc le rendement est de 100%, on peut écrire que lapuissance d’entrée et de sortie sont égaux :

)(��) �

��

La loi entrée-sortie dégagée par une étude cinématique peut s’écrire par sa nouvelle façon : ��

� ��

�� !�� !�

� ��

�

� ��

Cette équation introduit une relation entre 3 inconnues ��*� ��et ��. La connaissance de 2 permet le

calcul de la 3ème

; le rang du système linéaire est donc :rs=17

Le nombre d’inconnues non principales du système est :

h=Ns- rs=19-17=2

Ces deux inconnues hyperstatiques sont :

��ou ��ou ��ou ��ou ��ou ��

��ou ��ou ��ou ��

Remarque : interprétation géométriqueSi on conserve les liaisons (L1) et (L4), la première inconnue hyperstatique correspond à une liberté en

translation suivant z�

qu'il faut donner aux liaisons (L2) ou (L3) pour que le montage de la chaîne cinématique soitpossible, ou qu'elle fonctionne sans risque de coincement.

y��La seconde inconnue hyperstatique correspond à une liberté en rotation suivant qu'il faut permettre aux liaisons

(L2) ou (L3) pour les mêmes raisons que précédemment.

��

3-

Première modélisation (a) : m = 3 [1 mobilité Utile et 2 mobilité internes : rotation de la bielle 2 sur elle-même et

rotation du piston 3 sur lui-même] et γ = 1 et Nc = 9. ==> h=3+6-9=0

Deuxième modélisation (b) : m = 3 [1 mobilité utile et 2 mobilité internes rotation du piston 3 sur lui-même et

translation de la bielle (2) suivant ( z�)] et γ = 1 et Nc = 9. ==> h=3+6-9=0

Troisième modélisation (c) : m = 1 [mobilité utile] et γ = 1 et Nc = 7. ==> h=1+6-7=0

Les trois modélisations proposées sont isostatiques.

��

Cas des roulementsLe guidage en rotation par roulements s’effectue presque exclusivement par paires et constitue

la solution la plus courante pour réaliser une liaison pivot. Cependant, pour prévoir son dimensionnement,

il est nécessaire de déterminer les actions mécaniques transmissibles pour chacun des deux roulements. Il

faut donc proposer une modélisation tenant compte, d’une part, des choix de montage réalisés et, d’autre

part, de la technologique de chacun des roulements.

Technologiquement, les roulements sont conçus pour

permettre la rotation de leur bague extérieure par rapport

à leur bague intérieure autour de leur axe de révolution.

Mais certains roulements possèdent en plus des

possibilités de rotation autour des deux axes

perpendiculaires à leur axe de révolution. Lorsque c’est le

cas, on dit que le roulement a une possibilité de

«rotulage». Par conséquent en fonction des indications de

comportement fournies par les constructeurs, il est

possible de proposer des modélisations différentes.

��

��

Roulement radial

Cas des engrenagesLe contact entre dentures d’engrenages est généralement complexe et dépend du type d’engrenage ainsi que desconditions de fabrication. Les modèles couramment utilisés pour les engrenages cylindriques sont la liaison

ponctuelle parfaite dans le cas d’engrenages de faibles largeur ou la liaison linéaire rectiligne dans le cas des

engrenages de largeur plus importante. Le problème consiste alors à rechercher la normale au contact des dents

pour déterminer les relations entre les composantes des efforts.

Dans le cas des engrenages cylindriques à denture droite la normale est la « ligne d’action » (appeléeaussi « droite de pression ») inclinée d’un angle � (� est généralement autour de 20°) par rapport à la tangente

aux cercles primitifs.

Ces modèles ne sont pas valables dans le cas du système roue-vis sans fin pour lequel les composantes

tangentielles d’effort de contact ne peuvent être raisonnablement négligées.

��

)*��#��+��,

34

2

27

Document (0)

Le document (0) du dossier technique représente le tambour moteur d’un tapis roulant.L’arbre (1) du moteur électrique transmet son mouvement de rotation au tambour (20) grâce au réducteur à

engrenage constitué par les deux couples 1 - 28 et 27 - 24.

��

TAMBOUR-MOTEUR

22 9 23 8 4 7 3 2 10 23 21

11 1

12

13

1718

18

17 16

14 15

19

13

24

5

20 6 33 30 32 29 28 31 25 26 35

35 1 CLAVETTE

34 6 VIS HC

33 1 ANNEAU ELASTIQUE POUR ARBRE

32 1 ANNEAU ELASTIQUE POUR ALESAGE

31 1 VIS DE PRESSION

30 1 ROULEMENT A BILLES29 1 BAGUE

28 1 ROUE DENTEE

27 1 PIGNON ARBRE

26 1 BAGUE

25 1 ROULEMENT A AIGUILLES

24 1 ROUE DENTEE

23 8 VIS CHc + RONDELLE

22 1 FLASQUE

21 1 FLASQUE

20 1 TAMBOUR

19 1 ANNEAU ELASTIQUE POUR ALESAGE

REP NB DESIGNATION

18 2 JOINT A LEVRES



15 1 AXE SUPPORT

14 1 AXE SUPPORT

13 2 ROULEMENT A BILLES

12 2 CLAVETTE PARALLELE

11 2 VIS DE PRESSION HC

10 1 CARTER DU REDUCTEUR

9 1 CARTER DU REDUCTEUR

8 3 ECROU H

7 3 TIRANT (GOUJON)

6 1 BAGUE ENTRETOISE

5 BOBINAGE DU STATOR

4 1 STATOR

3 1 ROTOR

2 2 ROULEMENT A BILLES

1 1 AXE ROTOR (PIGNON ARBRE)

REP NB DESIGNATION

� � � ��

� ��

� � ��

� ��

� � �

� ��

��

� ��

� �� Collé

� �

��

� � � ��

� � ��

��

� ��

� ��

�

� ��

� � �

1. Compléter le tableau suivant en indiquant les éléments correspondants aux différentes

d’équivalence B, C et D (les sous ensembles fonctionnels).

classes

2. Tracer le graphe des liaisons et compléter le schéma architectural du même mécanisme.

A

ALinéaire rectiligne ��

�

B

D CCL1 L2 L1 ��

�

L2

D

B

� � ��3. Soit R (O, X, Y, Z )

un repère lié à l’axe du rotor (1).

On se propose de déterminer la liaison équivalente aux deux liaisons en parallèle entre SE B (moteur) etSE D (support) et le schéma cinématique équivalent.

�� Déterminer la liaison équivalente (LBD : L1+L2) :

� Par une étude statique

� Par une étude cinématique

�� Déterminer le nombre de chaînes continues fermées (nombre cyclomatique γ).

�� Par une étude cinématique déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe. En

déduire son degré d’hyperstatisme. 4. On se propose de remplacer toutes les guidages en rotation par roulements en guidages par contact

direct ; pour chacune des liaisons pivot considérés, calculer les valeurs limites des jeux radiaux et axiaux.

Quelle est la liaison dont les jeux sont suffisamment importants pour être modélisé par une liaison linéaire

annulaire ? Définir celle-ci ; donner alors le nouveau graphe des liaisons du mécanisme.

A A,B,C Liaison Ec Eb ��

Pivot

Linéaire rectiligne �� +� ��+�

DPivot ��,� �� +� ��+�C

PivotD � ��Linéaire rectiligne ��+� �� +�B

��

Eb Db Da

A-D ��

��-��

��

��-�

B-D �� -� �� -�

C-D �� +� ��

Groupe Repère des éléments cinématiquement liés

A 18 - 19 - 20 - 21 - 22- 23-24 - 34

B 1-……………………………………………….

C 27-……………………………………………

D 5-6-7-8-9-………………………………………

Support d’étude : « Appareil à brosser les patins de télécabines »

��Le dessin d’ensemble (page 2/3) représente, a l’échelle 1:1, le mécanisme de transmission de mouvement en

rotation de l’appareil à brosser les patins de télécabines.

Ces cabines doivent être freinées a l’arrivée en gare et accélérées au départ : ceci est réalisé grâce a des roues à

pneumatiques tournant a des vitesses différentes.

L’efficacité de l’accélération et du freinage dépend du coefficient de frottement entre roues et patins : l’appareil

étudié permet d’améliorer ce coefficient de frottement en éliminant la neige et le givre a l’arrivée en gare.

1/3

��

��

Département Génie Mécanique ��

�

��

�� Technologie de construction ��

�� TGM 3,1-2-3-4 �� 05/11/2012

� �� BEN AISSA Chokri ��

3

��

��

��

Echelle : 1/1Mécanisme de transmission de mouvement en rotation de l’appareil à brosser les patins de télécabines

2/

a

��+��-

�

��+

�

��

1/ Compléter le tableau suivant en indiquant les éléments correspondants aux différentes classes d’équivalence A, Bet C (les sous ensembles fonctionnels) (ne pas citer les roulements). � (2 Pts)

……………………………………………….

2/ Le mécanisme de transmission de mouvement en rotation de l’appareil à brosser les patins de télécabines est

modélisable par le schéma architectural suivant. 2-1/ Compléter ce schéma : � (2 Pts)

Y…

… O3

O1

…

O2

X

Brosse

Les liaisons L1, L2, L3, L4, L5 et L6 sont respectivement situées aux centres O1, O2, O3, O4, O5 et O6.

On paramètre le système dans (o, x�

,),)) : .��.��))�; .�.-��))�� ; .�.��))�; .�.��))� �))�2-2/ Déterminer, par une étude statique la liaison équivalente (L1-3 : L1+L3). � (3 Pts)

2-3/ Déterminer, par une étude cinématique la liaison équivalente (L2-4 : L2+L4). � (3 Pts)

3/ La liaison équivalente à (L5+L2-4) au point o est une liaison pivot d’axe (o, x�

) et l’épaisseur des roues dentées est

négligeable devant leurs diamètres, retracer à main levée le schéma cinématique minimal et en déduire le graphe de

liaisons.

4/ Déterminer le nombre de chaînes continues fermées (nombre cyclomatique γ).

� (2 Pts)

� (1 Pts)

5/ Par une étude cinématique déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe. (On prend rc=5) ;

En déduire son degré d’hyperstatisme. � (4 Pts)

6/ On se propose de remplacer les deux guidages en rotation par roulements en guidages par contact direct ; pourchacune des liaisons pivots considérées, calculer les valeurs limites des jeux radiaux et axiaux.

Quelle est la liaison dont les jeux sont suffisamment importants pour être modélisée par une liaison linéaire

annulaire ? Définir celle-ci ; donner alors le nouveau graphe des liaisons du mécanisme. � (3 Pts)

Liaison Ec Eb DbA

D �� +��-��

B,��C

�� +� ��

��+� ��

��

�� 3/3

��

A-B ��

A-C � ��

O5 O4

O

O6

O

Groupe Repère des éléments cinématiquement liés

A 22-

B 1-……………………………………………….

C 13-……………………………………………

ISET El Kef --- Licence appliquée en génie mécanique TGM3.. --- Technologie de construction ---A.U 2012/2013

��

��

��

��

�

Documents

Technologie Construction Chap1