Traceur de courbes planes

Version 2.9.3

Manuel dutilisation

Patrice Rabiller Lyce Notre Dame Fontenay le ComtePatrick Pradeau Lyce Albert Camus Conakry

Mise jour de novembre 2016

Tlchargement:http://patrice-rabiller.fr/SineQuaNon/menusqn.htm

SommairePrsentation gnrale5Barres doutils et menus6Mise en page8Marges9Centrer verticalement ou horizontalement:9Orientation9Utilisation de la souris pour la mise en page10Cadre autour du dessin et couleur du fond(Fichier / Mise en page)10Choix du repre11Origine des axes11Units de graduation11Cas particulier: graduations trigonomtriques.12Longueur des units de graduation12Nombre maximal de chiffres significatifs pour les graduations12Distance des axes par rapport au bord du dessin12Noms des axes12Choix dune chelle logarithmique13Type de grille et couleur14Axes visibles:14Graduation base sur les petits carreaux:15Graduations compltes:15Couleur des axes:15Police utilise pour les graduations:15Taille des petits carreaux (en mm):15Lpaisseur des axes:15Dfinir une fonction16Syntaxe pour la saisie dune fonction16Rgles de priorit dans les calculs17Liste des fonctions et des oprateurs reconnus17Fonctions puissances non entires18Factorielle dun nombre rel18Composition des fonctions et oprations sur les fonctions18Intervalle de dfinition dune fonction19Choix de la couleur du style et de lpaisseur dune courbe19Tracer la courbe reprsentant la drive dune fonction19Tracer la courbe dune primitive19Dfinir une courbe paramtre20Saisie des quations paramtriques20Dfinir lintervalle de variation du paramtre21Dfinir la couleur, lpaisseur et le style dune courbe paramtre21Courbes dfinies en coordonnes polaires21Dfinir une courbe Point par point22Courbe dfinie point par point avec la pente en chaque point23Courbe dfinie point par point avec interpolation automatique24Dfinir une droite25Saisie de lquation rduite25Choix de la couleur, de lpaisseur et du style de droite26Famille de fonctions dpendant dun paramtre p26Saisie de lexpression dune famille de fonctions26Intervalle et pas de variation du paramtre p26Options dune famille de fonctions27Voir la progression courbe par courbe:27Voir la progression dtaille:27Couleur diffrente pour chaque valeur de p :27Afficher les valeurs de p:27Choix de la couleur, de lpaisseur et du style dune famille de fonctions27Schmas (figures gomtriques planes)28Dfinir un point28Dfinir un segment30Dfinir un vecteur31Dfinir une droite31Dfinir une demi-droite32Dfinir un cercle33Dfinir une ellipse33Dfinir un carr34Polygones prdfinis34Autres polygones35Coniques35Conique dfinie par ses caractristiques gomtriques35Conique dfinie par son quation cartsienne37Courbes de Bzier38Dfinir un angle ou un arc39Colorier une zone39Textes40Ajouter un texte40Modifier ou supprimer un texte40Dplacer un texte40Attributs dun texte41Indices41Angle dinclinaison du texte41Dfinir une expression avec du code LaTeX41Statistiques43Statistiques une variable43Variable non numrique:43Variable numrique valeurs isoles45Variable numrique valeurs regroupes en classes46Droite de Henry49Botes moustaches multiples50Sries statistiques 2 variables51Saisie des donnes:51Nature de la rgression:51Rle de la variable52Format de la courbe et des points53Police de caractres:53Calculs de corrlation:53Cas particulier : droite dajustement de Mayer53Probabilits54Loi binomiale54Loi de Poisson55Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss)57Intervalle de confiance58Fonction de rpartition dune loi normale59Loi exponentielle60Dfinition de la loi exponentielle 60Exemples dutilisation de la loi exponentielle60Arbres de probabilits61Prsentation gnrale61Exemples darbres de probabilits61Saisie de la dfinition dun arbre de probabilits62Format de larbre de probabilits63Cas des arbres asymtriques63Simulations statistiques64Prsentation gnrale64Principales lois statistiques simules65Sries uniformes discrtes66Sries uniformes continues68Sries de Bernoulli69Sries binomiales71Sries gomtriques72Sries de Poisson73Sries statistiques normales (ou gaussiennes)73Suites numriques74Suites de la forme un = f(n)74Suites dfinies par une relation de rcurrence un = f (un1)75Reprsentation graphique dune intgrale76Inquations79Points particuliers sur une courbe81Dfinition dun point particulier81Nom du point: format et position81Lignes de cote dun point81Tangente en un point dune courbe82Normale une courbe en un point82Tracer une double flche tangente82Tableaux de signes et de variations83Dfinir un tableau de variation ou de signes83Exemples de tableaux de signes ou de variations84Rapporteur trigonomtrique86Dessiner un rapporteur trigonomtrique86Rglages du rapporteur86Prfrences87Prfrences pour le repre87Prfrences pour la mise en page88Rglages standard88Autres paramtres89Format des courbes90Affichage91Rglage du zoom91Augmenter ou diminuer les units de 0,5 cm92Zoom sur une zone slectionne92Utilisation du presse papier93Copier la slection93Copier tout93Calculs93Rsoudre une quation 93Table de valeurs 95Approximation dune intgrale par la mthode des rectangles ou des trapzes96Enregistrer et Ouvrir98

Enregistrer Ctrl+S98Enregistrer sous 98Enregistrer limage (export aux formats jpg bmp emf wmf gif png et eps)98

Ouvrir Ctrl+O99Rouvrir 99Ouvrir Exemple 100Droits dutilisation et de copie du logiciel Sine qua non100Corrections de bugs100Amliorations100Sources du logiciel100Annexe101Quelques exemples de figures ralises avec Sine qua non101Fonctions trigonomtriques102Fonctions Arccosinus et Arcsinus103La cyclode, son enveloppe tangentielle et sa dveloppe normale104Astrode et son enveloppe tangentielle104

Parabole dquation .105Une sinusode et sa dveloppe normale105Une picyclode106Famille de paraboles106Famille de sinusodes107Systme dinquations107Statistiques 2 variables : ajustement linaire108Quelques figures gomtriques :108Plan damnagement dune salle de bains ralis avec Sine qua non !109Droite dEuler dans un triangle110Exemples de de formules LaTeX110Cercle trigonomtrique111

Prsentation gnrale

Sine qua non est un petit logiciel destin aux professeurs de mathmatiques et aux lves des lyces. Il permet dobtenir, trs simplement, la courbe reprsentative de nimporte quelle fonction, ainsi que toute courbe paramtre plane. Ces courbes peuvent ensuite tre imprimes ou copies dans un autre document (traitement de texte par exemple). Outre les courbes planes, Sine qua non permet de raliser des figures gomtriques planes quelconques, ainsi que des reprsentations graphiques de sries statistiques une ou deux variables. De plus, il est possible de reprsenter graphiquement les principales lois de probabilit (binomiale, Poisson, Laplace-Gauss, exponentielle), les suites numriques et les intgrales dfinies. Le logiciel permet galement de reprsenter graphiquement les solutions dun systme dinquations linaires. Quelques outils sont galement disponibles : table des valeurs dune fonction, solveur dquations, approximations dune intgrale par diffrentes mthodes

Les principales caractristiques sont les suivantes: La taille du dessin est rglable jusqu un maximum dune page A4. Lorientation du document imprim peut tre paysage ou portrait. Le repre est entirement paramtrable et peut tre occult. Les units sont, par dfaut, bases sur une grille petits carreaux de 5x5 mm (sauf, bien sr, dans le cas dun axe gradu avec une chelle logarithmique) Les units du repre, les dimensions du dessin et des marges peuvent tre dfinies au millimtre prs. Lorigine des axes du repre peut tre quelconque (pas forcment 0). La syntaxe utilise pour la saisie des fonctions est trs proche de celle employe sur les calculatrices graphiques. Lutilisateur peut dfinir, sur un mme dessin, jusqu 10 courbes reprsentant des fonctions, 10 courbes paramtres et 10 courbes polaires. Sur chaque courbe, on peut reprsenter des points particuliers (tangentes, extrema) Chaque courbe est dfinie par son quation (ou ses quations sil sagit dune courbe paramtre), son style (continu, pointill ), sa couleur et son paisseur. Il est possible de dfinir des droites par leurs quations rduites. Les conventions habituelles de dessin sont respectes en ce qui concerne les extrmits des intervalles de dfinition. On peut tracer la courbe de la drive dune fonction quelconque ainsi que la courbe primitive passant par un point donn, dune fonction quelconque. La composition des fonctions est possible. Les constantes et e sont reconnues. Pour raliser des schmas, lutilisateur dispose dune palette complte doutils varis (points, segments, vecteurs, demi droites, polygones, cercles ) Les calculs lis aux sries statistiques (moyenne, cart type, mdiane, quartile ) sont affichs et actualiss au fur et mesure de la saisie des donnes. Les sries statistiques 1 variable peuvent tre reprsentes par des graphiques divers parmi lesquels les botes moustaches. Les nuages de points peuvent tre ajustes par des courbes de rgression linaire, logarithmique, exponentielle, puissance ou polynomiale. Des tirages alatoires peuvent tre raliss pour constituer des chantillons de grande taille. Ces tirages peuvent simuler les lois statistiques classiques (uniforme, normale, binomiale ) et les donnes peuvent tre copies dans un tableur. Les graphiques concernant les lois de probabilit (binomiale, Poisson, normale et exponentielle) peuvent galement afficher des rsultats calculs (du genre p(X = 5) ou p( 4 X 6)). Les suites numriques peuvent tre de 2 types: un = f(n) et un = f(un1). Les reprsentations graphiques forment des escaliers ou des toiles daraigne. Les intgrales sont reprsentes graphiquement par une zone hachure comprise entre une courbe et laxe Ox ou entre 2 courbes selon le type dintgrale. On peut galement visualiser le calcul approch dune intgrale par diverses mthodes. Il est possible de faire du rgionnement de plan (systmes dinquations linaires) Du texte peut tre ajout sur les figures, y compris en mode LaTeX. Le menu "calculs" propose aussi un solveur dquations et la possibilit de construire des tables de valeurs.

La configuration matrielle requise pour utiliser Sine qua non est: Pentium + 32 Mo RAM Windows 95 ou 98 ou XP ou Vista ou W7 ou W8 ou Windows 10 (ou Linux avec Wine) Affichage minimum 800x600 en 256 couleurs Espace disqueutilis : 2 Mo Imprimante couleur de prfrence

Droits dutilisation et de copie du logiciel: voir page 101.

Barres doutils et menus

(Poigne de dplacement)Il y a 4 barres doutils qui regroupent les principales commandes. Elles peuvent tre dplaces en les faisant glisser avec la souris. La barre doutils Fichier, comportant 6 boutons :

Bouton Nouveau dessinBouton OuvrirBouton ImprimerBouton EnregistrerBouton Mise en pageBouton Copier

La barre doutils Textes, comportant 7 boutons: Bouton Ajouter un texte4 boutons pour choisir la couleur, mettre en gras, en italique ou en soulign : Bouton permettant dajouter une expression LaTeX : Bouton pour choisir la police de caractres et la taille.

La barre doutils Affichage qui comporte une liste droulante pour dfinir le zoom, un bouton "on/off" pour le mode anticrnelage, 2 boutons pour augmenter ou diminuer les units de 0,5 cm et une zone de texte qui affiche en permanence les coordonnes de la souris.

La barre doutils Dfinitions qui comporte 23 boutons, dans lordre:

Le bouton Dfinir le repre Le bouton Dfinir une fonction Le bouton Dfinir une reprsentation paramtrique Le bouton Dfinir une courbe polaireLe bouton Dfinir une famille de fonctions Le bouton Dfinir un schma Le bouton Dfinir une droite Le bouton Dfinir une courbe point par point Le bouton Dfinir une srie statistique une variable Le bouton Dfinir une srie statistique deux variables Le bouton Dfinir une loi binomiale Le bouton Dfinir une loi de Poisson Le bouton Dfinir une loi normale Le bouton Dfinir une loi exponentielle Le bouton Faire des simulations statistiques Le bouton Dfinir un arbre de probabilits Le bouton Dfinir un tableau de signes ou de variationLe bouton Dfinir une suite numrique Le bouton Dfinir une intgrale Le bouton Dfinir un systme dinquations linaires Le bouton Dfinir la drive dune fonction donne Le bouton Dfinir une primitive dune fonction donne Le bouton Dfinir un rapporteur trigonomtrique

Les menus sont peu nombreux: Le menu Fichier qui regroupe les fonctions habituelles: Crer un nouveau dessin, Ouvrir un dessin dj cr, Rouvrir un dessin rcemment ouvert, Ouvrir lun des exemples fournis Enregistrer le dessin en cours, Enregistrer sous Enregistrer limage (divers formats), Imprimer, Dfinir la mise en page, Configurer limprimante, Quitter Sine qua non.La plupart de ces fonctions se retrouvent dans la barre doutils Fichier.

Le menu Dfinir qui correspond peu prs la barre doutils Dfinitions: Dfinir le repre, Dfinir jusqu 10 fonctions, Dfinir jusqu 10 reprsentations paramtriques, Dfinir jusqu 10 courbes polaires, Dfinir une courbe point par point, Tracer la courbe de la drive dune fonction donne, Tracer la primitive, passant par un point donn, dune fonction donne, Dfinir une famille de fonctions dpendant dun paramtre, Dfinir jusqu 10 droites Dfinir un schma (figure gomtrique plane), Ajouter une zone de texte, Dfinir une srie statistique simple ou double, Faire des simulations statistiques, Dfinir une loi de probabilit (binomiale, de Poisson, normale ou exponentielle), ou un arbre, Dfinir un tableau de signes ou de variations Dfinir une suite numrique, Dfinir un systme dinquations, Dfinir une intgrale, Dfinir une expression LaTeX, Dfinir un rapporteur trigonomtrique.

Le menu Outils qui comporte 7 commandes: Copier la slection, Copier tout, Augmenter les units de 0,5 cm, Diminuer les units de 0,5 cm, Zoomer sur la zone slectionne, Rgler divers paramtres Dfinir les prfrences.

Le menu Calculs ne comporte que 3 commandes : Rsoudre une quation, Construire une table de valeurs, Calculer une valeur approche dune intgrale.

Le menu ? quant lui, comporte 3 commandes : propos Sommaire de laide qui permet daccder ce document (pour peu quil soit install dans le mme rpertoire que Sine qua non.) Mise jour disponible ? Cette commande permet de comparer votre version actuelle de Sine qua non avec la dernire version mise en ligne sur le site officiel. Un message saffiche, soit pour annoncer Votre version est jour, soit pour dire quil existe une version plus rcente et quil est possible de la tlcharger.

Mise en page

La mise en page peut sobtenir soit laide du bouton mise en page soit laide de la commande Fichier/Mise en page .

Marges (Fichier/Mise en page) :

On ne peut, premire vue, que rgler les marges gauche et en haut du dessin. En ralit, les marges de droite et du bas sont calcules indirectement en fonction de la largeur et de la hauteur du dessin. Il va de soi que, pour une valeur donne de la marge de gauche, et une valeur donne de la largeur du dessin, la marge de droite se calcule en utilisant largeur totale de la feuille diminue des 2 valeurs donnes. Mme chose pour le calcul de la marge du bas. On peut cependant, avec la souris, agir directement sur les 4 marges (voir utilisation de la souris pour la mise en page). Les valeurs par dfaut sont de 1,5 cm, mais elles peuvent tre redfinies avec la commande prfrences

Les marges prennent en compte les particularits de limprimante utilise: elles sont comptes partir du bord physique de la feuille et non pas partir du dbut de la zone imprimable (il existe, sur toutes les imprimantes, une zone plus ou moins troite, sur tout le pourtour de la feuille, appele zone non imprimable qui correspond normalement une partie inaccessible de la feuille de papier pour la tte dimpression). Dans certains cas, en particulier si le papier est dcal par rapport sa position normale dintroduction dans limprimante, il peut exister des petites diffrences entre les marges annonces et la ralit

Centrer verticalement ou horizontalement: (Fichier / Mise en page)

Le centrage du dessin peut sobtenir avec le bouton ou avec la commande Fichier/Mise en page. On peut voir alors les 2 cases cocher:

Si on coche la case Centrer horizontalement, il nest plus possible de modifier la marge gauche. On peut seulement agir sur la largeur du dessin. Les marges de gauche et de droite sont alors calcules en fonction de cette largeur et de la largeur du papier (qui dpend, elle, de lorientation choisie). Si on dcoche cette case, la commande de rglage de la marge gauche redevient accessible.

De mme, si la case centrer verticalement est coche, alors la commande qui permet de rgler la marge du haut nest plus accessible.

Le centrage peut tre actif par dfautlors de la cration dun nouveau dessin : il suffit dutiliser la commande Outils/Prfrences.

Orientation (Fichier / Mise en page)

Lorientation peut tre dfinie avec le bouton ou avec la commande Fichier / Mise en page.

Comme dhabitude, il existe 2 possibilits dorientation de la page imprime: orientation portrait (ou la franaise) orientation paysage (ou litalienne).

Dans le premier cas, la largeur maximale du dessin est infrieure 21 cm et la hauteur maximale est de 29 cm environ (cela dpend de limprimante).

Dans le second cas, (orientation paysage) la largeur maximale passe 29 cm et la hauteur est limite un peu moins de 21 cm.

Il est possible de dfinir une orientation par dfaut pour chaque nouveau dessin cr. Il suffit pour cela de choisir la commande Fichier/Prfrences.

Utilisation de la souris pour la mise en page

La plupart des rglages concernant la mise en page (tous sauf lorientation de limpression) peuvent se faire facilement la souris.

Pour modifier la marge gauche, approcher la souris du bord gauche. Le curseur prend alors une nouvelle forme: On peut alors faire glisser la souris vers la gauche ou vers la droite pour dplacer la marge. Mme chose pour dplacer la marge droite.

Pour modifier la marge du haut ou celle du bas, il faut approcher la souris du bord suprieur ou du bord infrieur du dessin. Le curseur prend alors la forme: Il suffit alors de faire glisser la souris vers le haut ou vers le bas.

La souris peut galement tre utilise pour modifier le repre (dplacement de lorigine et des units sur les axes) .

Cadre autour du dessin et couleur du fond(Fichier / Mise en page)Cette option permet de dcider si le dessin doit tre encadr et de choisir la couleur du cadre parmi les couleurs prdfinies. La couleur du fond est celle du cadre rectangulaire (blanc ici). Pour la modifier, il faut cliquer sur ce cadre et choisir dans la bote de dialogue qui apparat :

Choix du repre

La commande permettant de modifier le repre est Dfinir/Repre. On peut aussi utiliser directement le bouton: . On obtient alors la fentre de dialogue de la page suivante.

Origine des axes (Dfinir / Repre)

Dans la fentre de dialogue Dfinir le repre, obtenue avec le bouton , il est possible de dfinir lorigine sur chacun des 2 axes. dfaut dindication contraire, cette origine est 0, mais il est tout fait possible de faire dmarrer lorigine dun axe 100 par exemple. Ceci est trs utile lorsque la plage de variation des abscisses (ou des ordonnes) est lintervalle [90; 110].

Lorigine dun axe peut tre tout nombre rel (entier ou non, calcul ou non), par exemple: 100 ou 10,5 ou 2pi ou 7/4. On peut remarquer ce sujet que le nombre sintroduit en tapant pi. Pour le sparateur dcimal, on peut utiliser indiffremment le point ou la virgule (mais en France, nous devrions toujours utiliser la virgule).

Units de graduation (Dfinir / Repre ou bouton )

Les units de graduations peuvent tre dfinies indpendamment sur chacun des axes. Par dfaut, elles sont gales 1. Lunit de graduation peut tre un nombre entier ou non, calcul ou non. Ainsi par exemple ce peut tre 10 ou 0,25 ou pi/6 ou mme 1/3 ou e. Si lunit de graduation est une constante calcule, lexpression saisie ne doit pas comporter la variable x ni la variable t (utilise par les reprsentations paramtriques) ni le paramtre p (utilis par les familles de fonctions) et ne doit pas tre ngative! De plus, il est possible de modifier le nombre de chiffres significatifs sur chacun des axes (pratique si lunit de graduation est trs grande).

Cas particulier: graduations trigonomtriques. On peut obtenir des graduations sous la forme de multiples fractionnaires du nombre . Ainsi, par exemple, si lorigine de laxe Ox est 0 et si lunit de graduation est pi/6, on aura laffichage les graduations 0, /6, /3, /2, 2/3, 5/6, , 7/6 etc

Longueur des units de graduation

La longueur des units de graduation est normalement un multiple de 0,5 cm. Cependant, il est possible de rgler cette longueur au millimtre prs sans que ce soit un multiple de 0,5: il faut pour cela dcocher la case graduation base sur les petits carreaux. On peut aussi agir sur la taille des "petits carreaux", rglables de 5x5mm jusqu 20x20 mm.

Il existe un autre moyen, plus simple, de dfinir la longueur des units de graduation: il faut approcher le curseur de la souris prs de la premire graduation sur laxe et la faire glisser vers la droite ou vers la gauche, sil sagit de laxe des abscisses, vers le haut ou vers le bas sil sagit de laxe des ordonnes.

Nombre maximal de chiffres significatifs pour les graduations

dfaut dindication contraire, les graduations sont affiches avec 4 chiffres significatifs. Au-del de 9999, les graduations sont donc affiches dans un format scientifique pas forcment souhait. Ainsi, 10000 sera affich sous la forme 1E4. Lutilisateur peut donc modifier le nombre maximal de chiffres significatifs, tant pour laxe des abscisses que pour celui des ordonnes (entre 3 et 10 chiffres significatifs).

Distance des axes par rapport au bord du dessin

La position des axes du repre est dfinie par rapport au bord suprieur (axe des abscisses) ou au bord gauche (axe des ordonnes). Ces distances sont exprimes en cm.Il est plus simple de dplacer lorigine du repre la souris: il faut approcher la souris de lorigine des 2 axes et faire glisser celle-ci. Ainsi on positionne directement, vue, les 2 axes du repre sans quil soit ncessaire de passer par la commande Dfinir / Repre.

Noms des axes

Les axes sont nomms par dfaut x et y, mais il est possible de leur donner un nom quelconque, par exemple Temps en abscisse, et Distance en ordonne

Choix dune chelle logarithmique

Les axes du repre sont normalement gradus selon une chelle linaire, mais il est possible de dfinir une chelle logarithmique sur chacun des 2 axes. Pour cela, il suffit de cocher la case "chelle logarithmique" et de dfinir la longueur du module :

Avec une chelle logarithmique, les graduations ne sont pas rgulirement espaces et sont toutes strictement positives. Si lorigine de laxe est zro avec son chelle linaire, alors, en basculant sur une chelle logarithmique, lorigine devient 100, cest--dire 1. De mme les graduations linaires 1, 2, 3 deviennent respectivement 101, 102, 103 De la mme faon, les graduations -1, -2, -3 deviennent 0,1; 0,01; 0,001

Voici un exemple o laxe des abscisses a une chelle logarithmique :

On peut dfinir lorigine de laxe comme on veut. Voici un exemple o lorigine est 3 :

Dans ce cas, les graduations secondaires dans lintervalle [3;30] sont les multiples de 3, cest--dire 6, 9, 12, 15 etc partir de 30, le quadrillage correspond 60, 90, 120 etc La distance entre les graduations 0,1 et 1 est la mme que celle entre les graduations 1 et 10. On appelle cette distance le module (4 cm dans les exemples ci-dessus).

Bien entendu, ce choix dchelle logarithmique peut se faire sur lun des 2 axes ou sur les 2 simultanment

Type de grille et couleur

Il existe 8 types de grille pour le repre:

aucune grillepetites croixpointills fins

pointills moyenspetits tiretspetits carreaux

papier millimtrpapier point

Lorsque la grille choisie est petits carreaux, les axes sont plus pais afin de mieux les distinguer du quadrillage (surtout si limprimante est en noir et blanc). Dune manire gnrale, les traits ou les pointills sont beaucoup plus fins sur limprimante que sur lcran: la rsolution de limprimante est trs souvent suprieure 360 ppp (points par pouce) alors qu lcran on atteint difficilement 100 ppp. En revanche, le papier millimtr est souvent de meilleure qualit lcran que sur limprimante

Le choix du type de grille se fait en cliquant sur lun des 8 boutons radio. Il va de soi que le papier millimtr est incompatible avec une chelle logarithmique.

La couleur de la grille peut tre dfinie en cliquant sur le bouton de gauche et celle du fond (arrire-plan) sur celui de droite.

Autres options du repre

Les autres options du repre sont regroupes dans un cadre en bas droite. Quelques options sont disponibles:

Axes visibles:Dans certains cas, il peut tre utile de cacher les axes et les graduations. Pour cela, il faut dcocher la case. Lorsque la case est dcoche, on voit apparatre 2 nouvelles cases cocher qui permettent de maintenir visible lun des 2 axes du repre :

Graduation base sur les petits carreaux:Lorsque cette case est coche, les longueurs des units sont obligatoirement des multiples de 0,5 cm. Pour rendre totalement libre ce choix, il faut dcocher la case.

Graduations compltes: Lorsque cette case nest pas coche, seule la premire graduation sur laxe Ox et la premire graduation sur laxe Oy sont affiches.

Aucune graduation :Dans ce cas, il ny a plus aucune graduation sur les axes. On voit plus que les petits traits qui permettent encore de se reprer.

Graduations transparentes/opaquesUn dessin vaut mieux quun long discours :

Couleur des axes: Il suffit de cliquer sur la couleur dsire.

Police utilise pour les graduations: Le bouton permet de choisir la police, la taille, lattribut (gras, italique ) et la couleur des graduations.

Taille des petits carreaux (en mm):Cette taille est rglable, laide des 2 petites flches, de 5 20 mm

Lpaisseur des axes: Elle ne peut tre dfinie que par la commande Outils/Autres paramtres La fentre qui souvre montre essentiellement des rglages dpaisseurs de diverses lignes :Dfinir une fonction

La commande Dfinir / Fonction f(x) (ou Ctrl+F) fait apparatre la fentre ci-dessous:

La saisie dune fonction se fait comme sur une calculatrice. Ainsi, par exemple, si on veut obtenir la courbe reprsentative de la fonction f dfinie par , il faudra taper successivement 2 sin x (les espaces ne sont pas obligatoires). La fonction sinus peut tre obtenue en tapant les 3 lettres S, I, N ou bien en cliquant sur le bouton . Pour la fonction exponentielle, il vaut mieux utiliser lexpression Exp(x) plutt que e^x (car le nombre e est lui-mme valu comme Exp(1)).La fentre de saisie permet de rentrer jusqu 10 fonctions, nommes f1 f10.Ds quune fonction est dfinie, la case droite est coche par dfaut . On peut cliquer sur cette case pour empcher le trac de la courbe.

Syntaxe pour la saisie dune fonction

La syntaxe de saisie des fonctions a t rendue aussi souple que possible. Elle est trs proche de ce quon peut crire sur une calculatrice. Les principales caractristiques sont les suivantes: On peut crire le texte en majuscule ou en minuscule, indiffremment. La variable est obligatoirement x (ou X), Le logiciel Sine qua non reconnat 20 fonctions mathmatiques usuelles (voir la liste ci-aprs qui correspond aux 20 boutons associs), Le nombre est not pi (ou PI) Le nombre e est reconnu, mais il est prfrable dutiliser exp(1) plutt que e^x car le compilateur traduit e par exp(1). On peut mettre autant despaces que lon veut pour arer lcriture, Les rgles de priorit habituelles sont respectes, mais dans le doute, il vaut mieux ajouter des parenthses (voir ci-aprs), Le sparateur dcimal sobtient avec le point du pav numrique. Si lordinateur est configur pour la France (panneau de configuration / paramtres rgionaux), ce caractre est automatiquement remplac par une virgule.

Rgles de priorit dans les calculs

Ces rgles de priorit sont dans lordre: Les expressions entre parenthses, Les multiplications implicites (sous entendues), sauf si loprateur qui suit est une exponentiation, par exemple:3x+4 est traduit par (3*x)+4 (priorit la multiplication)3x^4 est traduit par 3*(x^4)(priorit lexponentiation) Les fonctions usuelles ou dfinies par lutilisateur, Le signe moins unaire (oppos) Loprateur dexponentiation ^ Les oprateurs de multiplication et de division * et / Les oprateurs daddition et de soustraction + et - Les oprateurs relationnels , =

Liste des fonctions et des oprateurs reconnus

Sine qua non reconnat 9 oprateurs:+addition-soustraction*multiplication/division^exponentiation (lvation une puissance)suprieur =suprieur ou gal

ainsi que 21 fonctions usuelles:

absvaleur absoluearccosarc cosinus (souvent note cos1 sur les calculatrices)arcsinarc sinus (note sin1 sur les calculatrices)arctanarc tangente (note tan1 sur les calculatrices)argchargument cosinus hyperboliqueargshargument sinus hyperboliqueargthargument tangente hyperboliquecarrfonction carr (peut se noter carre)coscosinuschcosinus hyperboliqueexpexponentielle (de base e)fracpartie fractionnaire (frac(x)= x int(x))intpartie entire (int(x) = le plus grand entier infrieur ou gal x)lnlogarithme nprienloglogarithme dcimalracineracine carreshsinus hyperboliquesinsinustantangentethtangente hyperbolique!factorielle dun nombre entier ou non

Fonctions puissances non entires

On peut maintenant dessiner compltement les fonctions comportant un exposant fractionnaire dont le dnominateur est IMPAIR, y compris lorsque x est ngatif (par exemple la racine cubique (x^(1/3)) est dessine sur tout entier, mais aussi x^(2/3)). Naturellement, les puissances fractionnaires dont le dnominateur est pair restent dfinies seulement sur [0, +[, ainsi x^(1/2) ou x^(3/4).

Factorielle dun nombre rel

toutes fins utiles, la fonction factorielle a t tendue aux nombres rels laide de la fonction gamma dEuler. Plus prcisment : x!=(x+1).Par exmple : 1,5!=(2,5)1,329 (plus prcisment : ).Elle est dfinie pour tout nombre rel, sauf pour les entiers ngatifs -1, -2, -3 Cette fonction permet, par exemple, de reprsenter une loi binomiale par une courbe, plutt que par le traditionnel diagramme en btons, en interpolant les coefficients binomiaux : essayer par exemple la fonction f(x)= et remarquer les valeurs entires.

Composition des fonctions et oprations sur les fonctionsLutilisateur dispose de 10 fonctions quil peut dfinir, nommes f1 f10. Une fonction peut en utiliser une autre condition quelle ait t dfinie avant dans lordre numrique. Ainsi, la fonction f5 peut-elle utiliser dans sa dfinition la fonction f1 ou la fonction f3, mais pas la fonction f5 elle-mme, ni les fonctions dont lindice est suprieur 5. Cette restriction permet dviter coup sr toute rfrence circulaire. Moyennant cette prcaution, on peut ajouter, soustraire, multiplier, composer des fonctions. Ainsi les dfinitions suivantes sont correctes:f1(x)=2x-1f2(x)=sin xf3(x)=f1(x)+3f2(x)f4(x)=f1of2(x)(la composition utilise la lettre o minuscule ou majuscule)f5(x)=(f1(x))+ln(f1(x))f6(x)=f4(f2(x))(quivaut f4of2(x)).

Remarque: loprateur de composition des fonctions peut tre la lettre o ou O mais pas le chiffre 0. On peut galement utiliser le symbole (degr). Intervalle de dfinition dune fonction

Il arrive souvent que lon doive restreindre le domaine de dfinition dune fonction un intervalle. La mthode employe pour parvenir ce rsultat sinspire de ce qui se fait sur certaines calculatrices. Ainsi, pour dire que la fonction f sera dfinie sur lintervalle [2, + [, par on crira: f1(x)=(3/(x-1))(x>=2)Si la fonction f est dfinie sur ]1, 5] on crira: f1(x)=(3/(x-1))(x>1)(x0) et la demi-droite. Cet angle peut tre exprim en degrs ou en radians: la valeur de langle peut tre simple ou calcule comme par exemple 5pi/6.

Comme pour les points, les segments, les vecteurs et les droites, les demi-droites sont galement caractrises par une paisseur, un style et une couleur.

Dfinir un cercle(Dfinir / Cercle / bouton: cercle ou Ctrl+C)

Un cercle peut tre dfini: Par son centre et la longueur du rayon, Par son centre et un point du cercle, Par 2 points diamtralement opposs, Par un triangle auquel il est circonscrit, Par un triangle dans lequel il est inscrit, Enfin, par son centre et une droite laquelle il est tangent.

On retrouve ces 6 possibilits dans lcran ci-contre:

Comme dhabitude, le cercle possde dautres attributs: une paisseur un style une couleur.

ce propos, il faut dfinir 2 couleurs pour le cercle, une pour le bord du cercle et une pour lintrieur.

Dfinir une ellipse(Dfinir / Schma / bouton: ellipse ou Ctrl+E)

Il est vrai que les ellipses ont quasiment disparu des programmes des lyces (sauf en BTS) mais, pour tre complet, on peut quand mme obtenir de 2 faons une ellipse dans un schma:

en prcisant le centre et les longueurs des 2 axes de lellipse en prcisant les sommets opposs du rectangle qui doit contenir lellipse.

Dans les 2 cas, les axes sont parallles aux axes du repre.Pour dessiner une ellipse "oblique", il faut utiliser le bouton puis le bouton

Dfinir un carr(Dfinir / Schma / bouton: carr)

Le logiciel Sine qua non permet de dfinir un carr de 4 faons: en prcisant le centre du carr et la longueur de son ct, en prcisant le centre du carr et le rayon du cercle circonscrit au carr, en prcisant 2 sommets opposs du carr, en indiquant quil sagit dun carr direct construit sur un segment donn.

Dans les 2 premiers cas, les cts du carr sont parallles aux axes du repre.Voici lcran de saisie pour dfinir un carr:

Remarque: un carr peut galement tre dfini comme polygone rgulier 4 cts (voir plus loin)

Polygones prdfinisLe bouton polygone prdfini est trs pratique car il permet de dfinir, trs rapidement un polygone parmi 14 possibilits:

Dans tous les cas, il faut prciser les noms des 3 ou des 4 sommets.

Selon la nature du polygone, il faut aussi prciser 1, 2 ou 3 autres lments.

Attention: si les noms des sommets sont des points dj prsents, ils sont tous dtruits (sauf le premier sommet) et remplacs par des nouveaux points.Les sommets ainsi dfinis peuvent tre ensuite dplacs la souris, mais dans ce cas, le polygone ne conserve plus forcment les proprits quil avait au dpart: ainsi par exemple, si on dfinit un triangle isocle et si ensuite on dplace un sommet, il est vident que le triangle ne reste pas forcment isocle

Autres polygonesOn peut enfin dfinir dautres polygones comme le montre la figure suivante :

pour un triangle quilatral, il faut pralablement avoir dfini les 2 premiers sommets. Le troisime sommet est alors construit automatiquement dans le sens trigonomtrique. de mme, pour un paralllogramme, il faut avoir auparavant dfini les 3 premiers sommets. pour un polygone rgulier, il faut dabord dfinir les 2 premiers sommets et le logiciel se charge de construire tout seul les autres sommets, en tournant dans le sens trigonomtrique. enfin, pour un polygone quelconque, il ny a aucune contrainte si ce nest celle davoir dfini auparavant les diffrents sommets.

Remarque : les hachures ne sont pas reproduites sur le traitement de texte OpenOffice

Coniques (Dfinir / Schma / bouton: Conique)

Les coniques, peuvent tre dfinies de deux manires : par leurs caractristiques gomtriques (foyer, directrice et excentricit) par leur quation cartsienne, de la forme +bxy++dx+ey+f=0

Conique dfinie par ses caractristiques gomtriques

Il sagit de prciser un foyer (point), une directrice (droite) et lexcentricit (nombre strictement positif). Le foyer et la directrice, peuvent dj avoir t saisis pralablement dans la liste des objets dfinis dans le schma, ou bien tre saisis directement dans la fentre de dialogue. Lexcentricit e donne la nature de la conique : une ellipse si e une parabole si e=1 une hyperbole si e>1

La fentre de dialogue propose de nombreuses options de traage (centre, foyer(s), directrice(s), axe(s), sommet(s) ou asymptote(s)). Dautres rsultats calculs peuvent galement tre affichs sur le graphique (lexcentricit, les caractristiques mtriques, les quations des droites et les coordonnes des foyers ou des sommets). Si le foyer a t dfini avant la conique, ce point est mobile : tout glissement du point avec la souris va modifier la courbe trace. Mme chose pour la directrice si elle est donne sous la forme (AB).

Voici par exemple, une parabole (excentricit gale 1) dont le foyer est F, la directrice est la droite dquation y=-x :

Sur ce dessin, le texte "Directrice : y=-x" et le nom du foyer F ont t ajouts aprs coup.

Conique dfinie par son quation cartsienne

Il suffit de saisir les 6 coefficients a, b, c, d, e et f de lquation cartsienne. Voici par exemple la conique dfinie par lquation : -+7xy+9x7=0 :

Certaines quations peuvent conduire des coniques dgnres (rduites deux droites, ou mme lensemble vide). Le logiciel calcule automatiquement tous les lments caractristiques et peut les afficher au besoin.

Courbes de Bzier

Dans un schma (Definir/Schma) on peut dfinir une ou plusieurs courbes de Bzier. Ces courbes figurent dans certains programmes de BTS. On peut dfinir 2 types de courbes de Bzier comme on le voit ci-dessous :

Voici le rsultat pour une courbe de Bzier dfinie par 4 points A, B, C, D :

Comme toujours, les points (qui doivent avoir t dfinis avant la courbe de Bzier) peuvent tre dplacs la souris. On peut ainsi voir les dformations de la courbe lorsquon dplace un ou plusieurs points Pour lexemple ci-dessus, dans tous les cas, les droites (AB) et (CD) sont tangentes la courbe.

Dfinir un angle ou un arc

Cette commande permet de dessiner des angles sur un schma.Un angle peut tre dfini de 2 faons (par 3 points, ou par son sommet et un arc de cercle).Lorsquil est dfini par 3 points, lordre des 3 points est important (voir les exemples).

Le style, lpaisseur et la couleur sont rglables.

Colorier une zoneLe bouton permet de remplir une zone ferme avec une couleur donne. Attention, la zone colorie ne sera prise en compte dans un document texte que si le dessin est enregistr au format image et si cette image est insre dans le document texte.

Textes

Il est souvent ncessaire de rajouter du texte bref sur un dessin, par exemple pour crire le titre du dessin, le nom dune courbe, lquation dune asymptote Il existe 2 types de textes dans Sine qua non : les textes ordinaires les expressions mathmatiques dfinies en code LaTeX (voir plus loin).Dans ce paragraphe, nous nous intressons aux textes ordinaires.

Chaque texte est caractris par: son contenu, la police de caractres (taille, couleur, attribut), les coordonnes dancrage du texte, la couleur de larrire plan. langle dinclinaison du texteCest ainsi que, si on dplace lorigine, les textes se dplacent dautant. Si on augmente ou si on diminue la longueur des units de graduation, les textes se dplacent galement car ils conservent leurs coordonnes. On peut crire jusqu 60 textes indpendamment les uns des autres, chaque texte tant limit une ligne de quelques mots. Dans certains cas, on peut utiliser des indices.

Ajouter un texte

(Dfinir / Texte ) Pour ajouter un texte, il suffit de cliquer sur le 2e bouton de la barre doutils textes:

Aussitt le curseur change de forme et les outils de la barre deviennent actifs:

Il suffit alors de cliquer nimporte o sur le dessin pour commencer saisir son texte. Les 4 boutons suivants de la barre doutils textes sont, dans lordre: le bouton pour prciser la couleur de larrire plan, celui pour mettre en gras, celui pour crire en italique, celui pour crire en caractres souligns. Le bouton permet de dfinir une expression en code LaTeX (voir plus loin). Enfin, le bouton permet de choisir la police de caractres, la taille, la couleur. La fin de la saisie se fait soit en appuyant sur la touche entre, soit en cliquant en dehors de la zone de texte.

Modifier ou supprimer un texte

Pour modifier un texte dj saisi, il suffit de cliquer lintrieur du texte et de corriger. Ds que lon clique dans une zone de texte, un cadre apparat autour du texte. On peut alors changer lattribut du texte (gras ou italique ou gras+soulign) ou mme changer la taille et la police en cliquant sur le bouton ad hoc.

Pour terminer les modifications, il faut cliquer en dehors de la zone de texte. Le cadre autour du texte disparat alors.

Pour supprimer un texte, il faut cliquer sur celui-ci et simplement effacer tous les caractres.

Dplacer un texte

Pour dplacer un texte, il faut procder en 4 tapes: cliquer dans la zone de texte, cliquer nouveau dans la zone de texte et faire glisser le texte un autre endroit sans lcher le bouton gauche de la souris, lcher le bouton gauche de la souris, cliquer en dehors de la zone de texte pour faire disparatre le cadre.

Le texte se positionne exactement lendroit ou pointe le curseur. Plus exactement, le bord suprieur gauche du cadre se place lendroit o on lche le bouton gauche de la souris.Pour dplacer avec plus de finesse un texte, on peut aussi, en mode saisie, appuyer conjointement sur la touche Alt et sur lune des flches de dplacement.remarque : le texte est toujours plac au premier plan, devant le quadrillage.

Attributs dun texte

On appelle attribut dun texte tout qualificatif qui caractrise la forme gnrale des caractres employs. Les attributs les plus courants sont: normal: comme ce texte, gras: les caractres sont plus pais italique: les caractres sont penchs vers la droite soulign: les caractres sont souligns.

Ces attributs sont cumulatifs: un texte peut tre la fois gras et italique.

Les autres attributs (taille, couleur, fonte notamment) ne sont accessibles quen utilisant le bouton . Le texte crit sur ce bouton indique la police et la taille utilise actuellement. Il change chaque fois que lon change de police.

Indices

Lorsque le texte comporte 2 caractres, dont le second est un chiffre, comme a1 ou B0, laffichage du second caractre est toujours en indice (une fois la saisie termine). De plus, ce second caractre est toujours "romain", cest dire non italique, quelque soit le style choisi par lutilisateur.De mme, 3 textes particuliers, "Cf", "Cg" et "Ch" sont automatiquement affichs avec le second caractre en indice. Le premier caractre doit obligatoirement tre un C majuscule et peut tre choisi dans une police "ronde" (Cmath script, ou English157 BT, par exemple). Le second caractre sera toujours crit en indice, italique dans la police Times New Roman. On peut bien sr crire en indices ou en exposants, de faon bien plus fine, en utilisant le codage LaTeX

Angle dinclinaison du texte

Pour incliner un texte avec un angle, il suffit de faire prcder le texte du caractre "/" et de la valeur en degrs de langle. Par exemple, pour obtenir ceci : , il faut saisir . La valeur de langle doit tre un nombre entier (positif ou ngatif) saisi entre les caractres "/" et ";".

Dfinir une expression avec du code LaTeX

LaTeX est un traitement de texte labor permettant de crer des documents dont la qualit est irrprochable, notamment pour tous les textes scientifiques. Le logiciel Sine qua non permet, modestement, de profiter de la puissance de ce langage pour ajouter des expressions mathmatiques sur le dessin.

Le langage LaTeX est trs performant certes, mais son apprentissage est un peu long. Cependant, sil sagit de taper une simple formule comme par exemple f(x)=, ce nest pas bien difficile.Pour commencer, il faut choisir la commande Dfinir/Expression LaTeX ou cliquer sur le bouton. Une fentre est alors affiche et il est possible de dfinir une cinquantaine dexpressions LaTeX :

Chaque expression LaTeX est associe un point dancrage sur le dessin. Ce point est donn par ses coordonnes que lon saisit dans les 2 colonnes de droite. La partie droite contient des exemples dexpressions LaTeX.

Dans lexemple ci-dessus, si on veut obtenir lexpression f(x)=, en bleu, dans cette taille assez grande, la position sur le graphique.

Il faut taper ceci :

Lexpression commence par 4$ : taille 4 (la taille standard est 3, plus petite)Ensuite on trouve \blue : lexpression sera bleue.Ensuite on crit : f(x)=\frac{}{}pour indiquer quil sagit dune fraction. Le mot-cl \frac doit tre suivi de 2 expressions entre accolades, la premire pour le numrateur, la seconde pour le dnominateur.Au dnominateur on veut mettre une racine carre. Cest pourquoi on crit \sqrt{x^2+1}, autrement dit .

On trouvera de trs nombreux sites, sur Internet, expliquant comment utiliser LaTeX. Parmi tous ces sites, on peut mentionner celui de lle des Mathmatiques :http://www.ilemaths.net/guide-latex.php

Voici le rsultat obtenu :

Statistiques

Les sries statistiques une ou deux variables peuvent tre saisies et reprsentes graphiquement. Outre les graphiques (histogrammes, camemberts, botes moustaches, nuage de points et courbes de rgression), Sine qua non effectue les calculs habituels comme sur toutes les bonnes calculatrices. Ainsi, on pourra connatre les principaux paramtres (moyennes, variances, carts types, mdianes et autres quartiles, covariance, coefficient de corrlation )

Statistiques une variable

Les sries statistiques une variable portent sur un caractre statistique qui peut tre qualitatif (non numrique) ou quantitatif (numrique). Dans ce dernier cas, les donnes peuvent tre regroupes en classes ou pas.

Lcran de saisie sobtient laide du bouton ou en effectuant la commande Dfinir/Srie statistique simple:

Cet cran comporte 4 volets selon la nature de la variable statistique:

Variable non numrique:Le caractre tudi tant qualitatif, les valeurs (ou modalits) prises par celui-ci sont donc des textes. Dans lexemple ci-dessus, on voit que les modalits sont saisies dans la colonne de gauche et les effectifs dans la colonne centrale. Les pourcentages sont calculs automatiquement au fur et mesure de la saisie.

On peut ajouter un titre au graphique. Celui-ci figurera en haut du dessin:

Si on a choisi lhistogramme, voici le rsultat:

Les couleurs peuvent tre modifies en revenant lcran de saisie et en cliquant, avec le bouton droit de la souris, sur la modalit dont on veut changer la couleur.Variable numrique valeurs isoles

Il faut choisir longlet central en haut de la fentre de saisie:

Lorsquon commence la saisie dans la colonne valeurs, les effectifs sont automatiquement mis 1. Les donnes peuvent tre importes depuis un tableur (clic-droit sur la grille, puis coller).Le logiciel propose nouveau 3 types de graphiques: le diagramme en btons le diagramme en bote (ou bote moustaches ou diagramme de Tukey). le diagramme en bote avec dciles.

Le diagramme en btons donne ceci:

Bien entendu, il appartient lutilisateur de dfinir son repre avec des units convenablement choisies.On peut lire, en abscisse, les diffrents paramtres de position (dciles et quartiles).

Les diagrammes en bote sont trs diffrents:

Sans les dcilesAvec les dciles

Ces 2 modles correspondent aux modles prconiss dans les programmes des lyces.

Variable numrique valeurs regroupes en classes

Dans de nombreux cas, les donnes statistiques sont rparties par intervalles de valeurs (classes). Le plus souvent, ces intervalles ont la mme largeur mais ce nest pas toujours le cas, comme dans lexemple ci-dessous:

Salaires

Effectifs3042391821

La saisie se fait comme sur lcran ci-aprs (on peut galement coller depuis un tableur) :

Lorsquon choisit le style histogramme, la surface des rectangles (et non pas la hauteur) est proportionnelle leffectif (ou au pourcentage). dfaut dindication, 1 carreau reprsente 1% de leffectifBien entendu, laxe des ordonnes ne comporte pas dunits

On peut mme, si on veut, supprimer totalement laxe des ordonnes.

Le mme graphique, mais ralis avec les effectifs et non pas les pourcentages :

La mme srie reprsente par un diagramme en bote (sans les dcilespuis avec):

Enfin, toujours la mme srie sous la forme dun diagramme des frquences cumules croissantesou (et) dcroissantes.

Le mme graphique avec les frquences cumules dcroissantes:

Le graphique montre les positions de quelques paramtres (D1 = 1er dcile, Q1 = 1er quartile, Med = mdiane, Q3 = 3me quartile et D9 = 9me dcile). Il va de soi quil appartient lutilisateur de dfinir convenablement laxe des abscisses afin dobtenir un graphique exploitable. Pour cela, il faut ventuellement utiliser la commande (Dfinir / Repre).Il est mme possible davoir en mme temps le polygone des frquences cumules croissantes et celui des frquences cumules dcroissantes

Droite de Henry

Cette droite permet de voir graphiquement si la srie statistique est Gaussienne, cest--dire si elle peut tre approche raisonnablement par une loi normale. Dans notre exemple, la rpartition des salaires nest pas conforme une distribution gaussienne car les points ne sont pas aligns. Le quadrillage utilis est un quadrillage spcial appel "papier gausso-arithmtique" :

Botes moustaches multiples

Lobjet de cette commande est de permettre de dessiner, sur une mme page, une srie de diagrammes en botes. Ces diagrammes reprsentent chacun une srie statistique. Ils permettent, en les mettant cte cte, de faire des comparaisons visuelles entre les diffrentes sries statistiques.

Plutt que de demander lutilisateur de saisir les sries statistiques exhaustives (a devient vite trs fastidieux), le logiciel ne requiert que les paramtres ncessaires la construction des botes: les minima et maxima, les premier et troisime quartiles et, ventuellement, les premier et neuvime dciles ainsi quune lgende pour chaque bote. Ce logiciel nest pas, au dpart, un outil de calcul, mais un outil de dessin Cest la raison pour laquelle, il ne nous a pas sembl utile de proposer la saisie complte des sries. On peut aussi utiliser des sries statistiques alatoires (voir plus loin).

En cliquant sur longlet Botes moustaches multiples on a accde la page cran ci-contre:

et voici le rsultat obtenu :

Sries statistiques 2 variables

Les statistiques 2 variables permettent ltude conjointe de 2 caractres quantitatifs. La plupart du temps, il sagit de dterminer sil existe une relation entre les 2 caractres. Le logiciel propose de nombreuses possibilits comme on peut le voir ci-dessous:

Saisie des donnes:La saisie des donnes dans le tableau se fait de gauche droite, puis de haut en bas: il faut saisir les couples de points (x,y) un un. On peut aussi les importer depuis un tableur. La colonne effectifs est remplie par dfaut par des 1. Il est possible de saisir galement le titre du graphique: celui-ci viendra safficher dans le dessin, en haut au milieu. Les calculs des paramtres du tableau sont ractualiss au fur et mesure de la saisie.

Nature de la rgression:Le logiciel propose un grand nombre dajustements graphiques: lajustement linaire (plus exactement affine): le nuage de points est ajust par une droite de rgression par la mthode des moindres carrs. Ceci nest possible videmment que si le tableau comporte au moins 2 pointsdiffrents! lajustement logarithmique: le nuage de points est ajust par une courbe dont lquation est de la forme y = A lnx +B. Lquation de la courbe est dtermine par la mthode des moindres carrs sur les couples (ln x, y). L encore, le calcul nest possible que sil y a au moins 2 points et si les valeurs de x sont toutes positives lajustement exponentiel: dans ce cas, le nuage de points est ajust par une courbe dont lquation est de la forme y = A . Bx. Cette quation est dtermine par la mthode des moindres carrs sur les couples (x, ln y). Il va sans dire que ce calcul ne peut se faire que sil y a au moins 2 points et si les valeurs de y sont positives. lajustement par une fonction puissance: la courbe de rgression a une quation de la forme: y=. Les calculs se font encore par la mthode des moindres carrs sur les couples (ln x, ln y). Il faut quil y ait au moins 2 points et que les valeurs de x et de y soient toutes positives. lajustement par la mthode de Mayer : dans ce cas, il faudra prciser comment le nuage de points est spar en 2 parties lajustement par un polynme du second degr: lquation de la courbe de rgression est de la forme y = a x + b x + c. Les coefficients a, b, et c sont calculs par la mthode des moindres carrs. Cela signifie que la parabole est calcule de telle sorte que la somme des carrs des distances entre les points (xi , yi) et leurs projets (paralllement laxe Oy) sur la parabole est minimale. Un tel ajustement nest possible que si le tableau de donnes comporte au moins 3 points diffrents non aligns. Si le tableau comporte exactement 3 points, la parabole passe par les 3 points. Le coefficient de corrlation na plus de sens dans ce cas lajustement par un polynme du 3me degr fonctionne de la mme faon que le prcdent mais il ncessite la prsence dau moins 4 points distincts non aligns et non situs sur une mme parabole lajustement par un polynme du 4me degr est analogue au prcdent et ncessite la prsence dau moins 5 points. Enfin, il est possible de ne pas afficher de courbe de rgression grce au bouton aucune courbe. Ainsi il ny a que le nuage de points.

Rle de la variableIl est trs facile dobtenir une rgression de y en x ou de x en y. Il suffit pour cela de cliquer sur lun des 2 boutonsci-contre:

dfaut dindication, lquation de la courbe de rgression donne y en fonction de x. Un simple clic sur le second bouton et tous les calculs sont refaits instantanment: les rles des 2 variables sont compltement permuts.Normalement, une seule courbe de rgression est affiche la fois mais il est possible de contourner cette difficult. En effet, lquation de la courbe de rgression est enregistre systmatiquement dans la premire des 10 courbes paramtres.

Sil sagit dune quation de y en x ( y = f(x) ), alors on a:

Sil sagit dune quation de x en y (x = f(y) ), alors on a: .Si on change de nature de rgression ou le rle des variables, les nouvelles quations vont venir remplacer les prcdentes. Pour conserver les quations prcdentes il faut donc pralablement les recopier dans les zones de saisie de la seconde courbe paramtre (ne pas oublier galement de modifier les valeurs extrmes du paramtre t qui sont par dfaut et +)

Dans lexemple ci-dessous, on a dispos 2 courbes de rgression pour le mme nuage de points:

La droite de rgression de y en x dquation y37,67857x+190,57 (en vert) La courbe dajustement logarithmique de y en x dquation y132,646ln(x)+184,293 (en bleu)Remarque : dans lexemple ci-dessus, lajustement logarithmique est meilleur que lajustement linaire.

Format de la courbe et des points

droite de la zone de saisie des donnes (xi ,yi), il existe une srie de rglages: Couleur de la courbe et des points paisseur de la courbe Style des points Taille des points Affichage des lignes de cotes de chaque point, du point moyen ou de lquation de la courbe de rgression.

Si on veut obtenir une courbe de rgression en pointills (par exemple), il faut utiliser la commande Dfinir/Courbe paramtre puis modifier le format de la premire courbe

Police de caractres:Le bouton police permet de choisir une police de caractres parmi les polices disponibles. Cette police agit sur laffichage de lquation et (ou) du titre du graphique.

Calculs de corrlation:

En bas de la fentre de saisie des donnes, on peut voir les calculs qui se modifient au fur et mesure de la saisie. La covariance et le coefficient de corrlation linaire sont calculs sur les variables x et y (la permutation des rles des variables nintervient pas ici). Par contre, le calcul du coefficient de corrlation correspond aux donnes corriges en fonction de la nature de la courbe de rgression (dans cet exemple, il sagit du coefficient de corrlation linaire calcul sur les couples (xi, ln yi) ). Ce coefficient na pas de sens pour les rgressions polynomiales de degr suprieur 1.

Cas particulier : droite dajustement de Mayer

Cette mthode consiste sparer le nuage de points en 2 parties. Pour chacun des 2 sous-nuages, on calcule le point moyen. La doite dajustement est alors la droite dfinie par ces 2 points moyens G1 et G2. Bien entendu, il existe plusieurs droites dajustement possibles selon la faon de sparer le nuage en 2. Ici, on suppose que les points sont dfinis dans un certain ordre, et lutilisateur doit dterminer, en cliquant sur les 2 petites flches, le nombre de points du premier nuage.

Probabilits

Sine qua non offre 4 commandes pour les probabilits. Ces 4 commandes correspondent aux 4 lois de probabilit principales qui figurent dans les programmes de BTS et de terminale.

Loi binomiale

La loi binomiale correspond au schma de Bernoulli: lexprience alatoire consiste rpter n fois la mme preuve pour laquelle 2 issues sont possibles (succs avec une probabilit p et chec avec une probabilit 1 p). On suppose videmment que les n preuves sont indpendantes. La variable alatoire associe X correspond au nombre de succs obtenus au cours des n preuves. On note cette loi B(n, p).

Pour dfinir une loi binomiale, il faut utiliser la commande Dfinir/ Loi binomiale ou appuyer sur le bouton .

Prenons par exemple la cas dune exprience alatoire qui consiste rpter 10 fois la mme preuve (quon appelle preuve de Bernoulli car elle na que 2 issues possibles):

Pour chacune des 2 preuves : la probabilit dun succs est 0,3 la probabilit dun chec est donc 0,7 (forcment).On veut dterminer la probabilit davoir entre 2 et 5 succs inclus

Les paramtres n et p de la loi peuvent tre rgls par lutilisateur. Le nombre n doit tre un entier compris entre 1 et 100 (au-del de 100, la loi binomiale peut tre approche de faon trs satisfaisante par une loi normale). Le nombre p doit tre compris strictement entre 0 et 1.

Le tableau de droite fournit les valeurs en temps rel (ds quon modifie n ou p).4 types de calcul sont possibles: p (X = k) p (X k) p (X k) p (a X b). (dans ce dernier cas, lutilisateur doit prciser a et b)Voici alors le dessin obtenudans cet exemple:

Loi de Poisson

La loi de Poisson sutilise lorsque la ralisation dun vnement est trs rare sur un grand nombre dobservations (anomalies de certaines productions, erreurs dimpression, prsence de certains parasites). Elle sutilise galement comme approximation de la loi binomiale B(n, p) lorsque p1030) 0,252492) et on peut visualiser le graphique:

Remarque: il est parfois ncessaire de modifier les units sur les axes.

Intervalle de confiance

On appelle ici intervalle de confiance de niveau p lintervalle [m a; m + a] tel que . Par exemple, lintervalle de confiance de niveau 0,95 correspond une probabilit de 95%.Reprenons lexemple prcdent pour dterminer lintervalle de confiance, centr sur la moyenne de niveau de confiance 0,95:

La reprsentation qui en rsulte est la suivante:

Fonction de rpartition dune loi normale

Autrefois, les candidats aux examens (BTS, DUT) taient munis de tables numriques qui ne donnaient que la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite. Il fallait alors utiliser un changement de variable pour traiter les lois normales quelconques. Dsormais, les tudiants peuvent se servir de leurs calculatrices pour obtenir directement les rsultats dune loi normale quelconque de moyenne m et dcart type . Cette fonction est dfinie par:

.La lecture inverse de la table permet de dterminer t tel que (t) = a o a est donn.

Dans notre exemple prcdent, si on veut dterminer le poids maximum t dun paquet de farine tel que 90% des paquets aient un poids infrieur t on fera ceci:

Le graphique donnera alors la rponse: t = 1039,22 g

Loi exponentielle

Dfinition de la loi exponentielle

La loi exponentielle sutilise principalement pour modliser des phnomnes sans mmoire, ou sans vieillisement ou sans usure.Une variable alatoire X suit une loi exponentielle de paramtre lorsque sa densit de probabilit est la fonction f dfinie sur par f(x)=.Sa fonction de rpartition est donc dfinie sur par F(x)=-.Lesprance mathmatique, appele ici "dure de vie", est donne par E(X)=. Dans le cas dutilisation de la loi exponentielle en radioactivit, le paramtre correspond la constante de dsintgration. La "demi-vie" est dfinie par et correspond au temps ncessaire T pour que la population datomes radioactifs passe 50% de sa population initiale.

Exemples dutilisation de la loi exponentielle

On veut calculer p(X2), puis p(1X3) o X suit une loi exponentielle de paramtre =0,5.La commande Dfinir/Loi Exponentielle , permet dobtenir la fentre suivante : (On peut choisir de colorier ou de hachurer une ou plusieurs zones.Attention : certaines zones peuvent tre masques totalement ou partiellement par une autre zone si plusieurs cases sont coches.) (Il y a 5 manires de dfinir la loi exponentielle .)Lappui sur la touche OK permet dobtenir le graphique suivant :

Le repre est ajust automatiquement en fonction du paramtre . On peut bien sr le modifier manuellement comme dhabitude.

Arbres de probabilits

Prsentation gnrale

Les logiciels mathmatiques capables de dessiner des arbres de probabilits sont trs rares. On peut citer Tree Diagram Generator (logiciel payant) et WxGomtrie (ou Gophar) de Nicolas Pourcelot (logiciel libre et gratuit). Cependant ce dernier demande un petit effort de prise en mains car la description de larbre se fait laide dune squence dinstructions.Confront moi-mme au besoin dobtenir de beaux arbres de probabilits bien quilibrs (mme pour les arbres asymtriques), il devenait ncessaire dajouter cette fonction au logiciel Sine qua non.

Exemples darbres de probabilits

Le logiciel fournit 3 exemples qui permettent de comprendre (sans mme lire ce mode demploi) comment construire de tels arbres.Il faut utiliser la commande Dfinir / Arbre de probabilits ou cliquer sur le bouton .

Si aucun arbre na encore t dfini, le logiciel propose automatiquement un premier exemple simple :

Cet exemple correspond au premier des 3 exemples prdfinis dans le logiciel. Ces 3 exemples sont affichables en utilisant lun des 3 boutons exemples comme on le voit dans la copie dcran ci-aprs.

La grille de gauche contient la description de larbre (une ligne par branche).On retrouve les paramtres habituels permettant de formater larbre (couleur et paisseur des traits, choix de la police de caractres utiliss pour les noms des vnements ou les valeurs des probabilits). Quelques cases cocher ou boutons radio compltent la description.

Saisie de la dfinition dun arbre de probabilits

Il faut remplir la grille raison dune ligne par branche. Chaque ligne est compose de 3 lments : Le code de la branche. Ce code est un nombre entier un seul chiffre sil sagit dune branche partant du pied de larbre (1, 2, 3 ). Il y a donc un maximum de 9 branches par nud (de 1 9). Pour les branches de second niveau, le code est un entier 2 chiffres, par exemple 32. Le premier chiffre, 3 dans notre exemple, indique quil sagit dune branche issue de la branche primaire 3. Le second chiffre (2 ici) indique que cest la seconde branche issue de la branche 3. Ainsi une branche qui serait code 341 serait la 1re branche issue de la branche 34; la branche 34 tant elle-mme la 4e branche issue de la branche 3. Ds quun nouveau code est tap, le logiciel calcule sa position logique dans larbre de description et, le cas chant, la ligne de saisie est dplace. Le nom de lvnement. Ce nom peut tre un mot de plusieurs lettres ou chiffres. Si on veut surmonter le nom dune barre horizontale, il faut commencer par la "lettre" &. Par exemple sobtient en tapant &A. On peut dfinir des noms plusieurs lettres, par exemple Gagn ou . La probabilit de lvnement. Cette probabilit peut tre un nombre dcimal ou un texte quelconque (0,5 ou p ou 1p).Larbre est redessin au fur et mesure de la saisie, dans la fentre aperu.

Format de larbre de probabilits

Le format de larbre propose un certain nombre de rglages : Couleur des traits : il suffit de choisir lune des 16 couleurs prdfinies dans la grille. paisseur des traits : 3 boutons radio Police des noms des vnements : un bouton permet louverture dune bote de dialogue. Police des valeurs des probabilits : idem. Case cocher : elle permet dajouter le symbole habituel dsignant lunivers des possibles au pied de larbre Case cocher : Effacer la grille et les axes du repre. Elle est coche par dfaut. Bouton radio : Adapter la taille la zone de dessin. Larbre va se dessiner en utilisant tout le rectangle de la zone de dessin sa disposition. Il est possible alors, la souris, de rduire ou dagrandir ce rectangle en faisant glisser lun des 4 cts du rectangle (voir ci-contre). Bouton radio : taille de larbre identique laperu. Cette option permet dajouter des texte dans le rectangle de dessin au-dessus ou en-dessous, ou droite de larbre

Cas des arbres asymtriques

Lalgorithme de construction de larbre est bas sur 2 lments : Le nombre de niveaux. Chaque niveau dispose la mme largeur. Le nombre de ramifications terminales. La hauteur du rectangle est rpartie de faon gale pour chaque vnement terminal.Dans lexemple ci-contre, il y a 3 niveaux (la largeur du rectangle est partage en 3 parties gales) et 6 vnements terminaux (la hauteur du rectangle est donc distribue en 6 lignes rgulirement espaces).

Simulations statistiques

Prsentation gnrale

Depuis quelques annes, les programmes de mathmatiques des lyces ont introduit la notion dchantillonnage. Il sagit de concevoir, mettre en uvre et exploiter des simulations de situations concrtes laide dun tableur ou dune calculatrice [] et dexploiter et de faire une analyse critique dun rsultat dchantillonnage. Autant il est facile de concevoir sur une calculatrice la simulation de 50 lancers de d, autant il est impossible dobtenir 50 chantillons de taille 1000 pour cette exprience ! Par ailleurs certaines situations concrtes sont plus difficiles simuler, en particulier pour des sries gaussiennes ou des sries qui suivent un modle gomtrique.

Sine qua non propose de fabriquer lui-mme des sries statistiques alatoires. Les tirages peuvent se faire suivant plusieurs modles probabilistes. Avec ce nouvel outil, il devient facile de voir leffet de la taille dun chantillon sur lcart type et la fluctuation des moyennes. Des graphiques adapts chaque situation peuvent tre obtenus. Le logiciel propose mme de dfinir automatiquement lchelle des axes du repre pour visualiser directement le rsultat.

Pour lancer une simulation statistique, il faut choisir la commande Dfinir/Simulations ou cliquer sur le bouton ad hoc dans la barre doutils (le d rouge).

On obtient lcran suivant :

Dans cette fentre de saisie, il suffit de : choisir le modle probabiliste associ la simulation (7 choix possibles), dfinir la taille et le nombre dchantillons fabriquer, indiquer les paramtres ncessaires et spcifiques de chaque modle (bornes de lintervalle pour un modle uniforme discret ou continu, moyenne et cart type pour des sries gaussiennes ), choisir le type de graphique obtenir (points, histogrammes, diagrammes en botes, pour chacun des chantillons ou pour lensemble des tirages) ajouter ventuellement un titre, la courbe thorique, demander ordonner les sries statistiques, laisser le logiciel choisir automatiquement son chelle

Ds lors que les diffrents rglages sont effectus, on peut lancer la simulation en cliquant sur le bouton . Les tirages sont quasiment instantans si la taille et le nombre dchantillons demands sont raisonnables. Par contre, pour une simulation de 1000 chantillons de taille 1000 suivant un modle de Poisson (par exemple), avec une chelle automatique, mon ordinateur met environ 20 secondes pour faire les tirages et les calculs et ensuite prs de 50 secondes pour afficher les 1000 histogrammes successifs ! Cela peut paratre long, mais il faut bien comprendre que cela reprsente quand mme un million de tirages et pour chacun des 1000 chantillons, il faut calculer la moyenne, lcart type, la mdiane, les quartiles et les dciles extrmes. Dailleurs, pour calculer la mdiane, les quartiles et les dciles, lordinateur est oblig de ranger en ordre croissant les 1000 rsultats ce qui reprsente un travail inimaginable la main Laffichage des histogrammes des chantillons parat moins long, paradoxalement, car on voit bouger lhistogramme au fur et mesure quon passe dun chantillon au suivant (plusieurs dizaines dchantillons par seconde quand mme).

Principales lois statistiques simules

Les tirages alatoires peuvent se faire selon plusieurs modles probabilistes : Loi uniforme discrte. Cest le cas par exemple de lexprience qui consiste lancer un d 6 faces o chacune des 6 faces a la mme probabilit de sortie. Si on rpte un grand nombre de fois cette preuve, alors on aura une distribution statistique des rsultats suivant une loi uniforme discrte : les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sortiront avec une frquence proche de la valeur thorique . Loi uniforme continue. On dit quune variable alatoire suit une loi uniforme continue sur un intervalle lorsque la densit de probabilit est constante sur lintervalle. Par exemple, la fonction Ran ou Ran# des calculatrices dlivre un nombre alatoire dans lintervalle suivant une loi uniforme. La principale diffrence avec la loi prcdente tient au fait que les valeurs obtenues peuvent tre quelconques et pas seulement entires. Loi de Bernoulli. Cest une preuve comportant 2 issues possibles (succs ou chec). Typiquement, lorsquon joue pile ou face, on est dans cette situation. Si la pice est quilibre, alors il y aura, statistiquement, peu prs autant de "pile" que de "face". Les 2 issues nont pas toujours la mme probabilit. Le logiciel Sine qua non utilise les valeurs 0 (chec) et 1 (succs). Loi binomiale. Par exemple on tire successivement 10 cartes dans un jeu de 32 et on veut savoir combien de fois on aura un cur. Pour chaque carte tire, on note sa couleur et on la remet dans le paquet avant de faire le tirage suivant. La variable qui compte le nombre de curs obtenus la fin des 10 tirages suit la loi binomiale B, car pour chaque carte tire, la probabilit dun succs est de 1 chance sur 4 (0,25). Le nombre de curs tirs varie de 0 10. Donc si on demande de faire une simulation donnant 50 chantillons de taille 100 suivant la loi binomiale, lordinateur va faire 5000 fois lexprience conduisant un rsultat compris entre 0 et 10. Loi gomtrique. Elle donne le nombre de rptitions ncessaires dune preuve de Bernoulli pour obtenir le premier succs. Pour reprendre lexemple prcdent (la carte tire est un cur ou non), le nombre de tirages minimum est 1 (on peut tirer un cur ds la premire carte) mais, en thorie, il ny a pas de valeur maximale : si on na vraiment pas de chance, il faudra peut-tre tirer 50 fois une carte avant dobtenir un cur ! Loi de Poisson. Une variable alatoire X suit une loi de Poisson de paramtre lorsque lon a: p(X=k)=. Le nombre k peut aller de 0 linfini, mais concrtement, comme pour une loi gomtrique, les valeurs de k deviennent vite absentes ds que k dpasse un certain seuil. Le paramtre est un nombre rel strictement positif. Il correspond lesprance de la loi de Poisson. Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss). Cest certainement la loi la plus utilise pour modliser des sries statistiques. En particulier elle permet dapprocher la loi binomiale lorsque le nombre de rptitions devient trs grand. Une distribution normale se traduit par une courbe caractristique en forme de cloche. Cette courbe prsente une symtrie par rapport une valeur centrale qui est la moyenne . Lcart type quand lui, permet dobtenir une courbe plus ou moins "aplatie" :

Sries uniformes discrtes

Exemple : on lance au hasard un d 6 faces. Sil y a quiprobabilit de sortie de chacune des 6 faces, alors on peut simuler, par exemple, 5 sries de 50 lancers de d en utilisant la loi uniforme discrte sur lintervalle :

On peut voir ci-dessus les diffrents rglages : modle de simulation : loi uniforme discrte taille des chantillons : 50 nombre dchantillons : 5 minimum : 1; maximum : 6 chelle automatique (pour les axes du repre) graphique : histogrammes des chantillons.

En cliquant sur le bouton "Simulations", la grille des chantillons se remplit de nombres entiers compris entre 1 et 6. Chacune des 5 colonnes contient un chantillon de 50 nombres. Sous cette grille, les calculs des paramtres pour chacun des 5 chantillons sont galement affichs. Enfin, gauche, la grille gnrale affiche les paramtres calculs sur lensemble des 250 lancers.Les donnes (grille contenant les 5 chantillons) peuvent tre exportes vers un tableur en cliquant sur le bouton "Copier les donnes". De mme, on peut exporter les rsultats calculs vers un tableur en cliquant sur le bouton "Copier les calculs".Lorsque la case "Sries ordonnes" est coche, alors les 5 colonnes de donnes ranges en ordre croissant.Lorsquon valide en cliquant sur OK, on obtient le graphique suivant :

En ralit, ce sont les 5 histogrammes qui dfilent toute vitesse. Celui que nous voyons ci-dessus correspond lhistogramme du 5e chantillon. Dans cet exemple, nous voyons que le 4 est surreprsent alors que les effectifs du 1 et du 2 sont faibles. Si on avait coch la case "Ajouter la courbe thorique", on aurait obtenu :

On voit que la moyenne thorique est uniforme et gale 8,33.

Sries uniformes continues

Avec une srie uniforme, toutes les valeurs de lintervalle sont possibles. Voici un exemple avec un seul chantillon de taille 5000 simulant la loi uniforme sur lintervalle :

Dans ce graphique, on a choisi de rpartir les effectifs en 20 classes. Il est donc logique, quen moyenne, il y ait 250 rsultats dans chacun des petits intervalles.

Voici un autre graphique reprsentant 50 chantillons de taille 100, toujours avec une loi uniforme sur lintervalle :

Avec les mmes 50 chantillons de taille 100, voici la fluctuation des moyennes (1 point reprsente la moyenne de lchantillon) :

Sries de Bernoulli

Prenons un exemple : une urne contient 6 boules blanches et 4 boules noires. On prlve une boule au hasard et on note 1 sil sagit dune blanche et 0 sinon. Nous venons de raliser une preuve de Bernoulli (succs-chec) o la probabilit dun succs est de 0,6. Si nous remettons la boule dans lurne et si nous rptons un grand nombre de fois lexprience, on obtient une srie statistique compose de 0 et de 1, avec, normalement, une proportion de 1 gale 60%. On peut simuler ainsi, par exemple, un chantillon de 100 tirages avec remise. Avec Sine qua non, voici comment procder :

Le graphique qui en rsulte est le suivant :

La loi de Bernoulli peut galement tre utilise pour un chantillonnage permettant de donner un intervalle de fluctuation dune proportion avec un taux de confiance de 0,95. Imaginons que, dans une population donne, il y ait 38 % de gens qui parlent anglais. On peut alors simuler une srie dchantillons de mme taille (2000 par exemple) pour connatre lintervalle de fluctuation de la moyenne au taux de 0,95 :

La case cocher "Afficher la fluctuation de la moyenne 95% de confiance" nest utilisable que pour une loi de Bernoulli :

Dans cet exemple, on voit que la proportion de personnes qui parlent anglais se situe dans la fourchette avec un risque de 5 % derreur.

Sries binomiales

Les sries binomiales peuvent simuler un grand nombre de phnomnes dans lesquels on rpte un nombre fix dpreuves de Bernoulli ( 2 issues). Par exemple, on joue pile ou face 10 fois de suite. Combien de fois va-t-on obtenir "pile" ? Il sagit ici de simuler une loi binomiale de paramtres n=10 et p=0,5 (chantillon de taille 2000) :

Sries gomtriques

Une simulation statistique suivant une loi gomtrique permet de dcrire le nombre de tirages ncessaires pour obtenir un succs. Par exemple, combien dessais seront-ils ncessaires pour obtenir un cur lorsquon tire une carte dans un jeu (en supposant quon fasse des tirages successifs avec remise) ?

Voici le graphique prsentant les 13 premiers chantillons sous forme de botes moustaches :

(le nombre de botes moustaches affiches dpend de la taille du dessin et de la distance entre les botes).

Sries de Poisson

Les sries de Poisson permettent de dcrire traditionnellement le temps dattente dans une file dattente un guichet (mais pas seulement). La loi de Poisson est galement souvent utilise pour approcher une loi binomiale B lorsque n>50 et np5. On dmontre qualors la loi de Poisson P() avec =np peut remplacer la loi binomiale dont les calculs sont plus compliqus et ncessitent 2 paramtres au lieu dun seul pour la loi de Poisson.

Voici une distribution statistique de taille 100 dune loi de Poisson de paramtre =6 (on a ajout la courbe thorique) :

Sries statistiques normales (ou gaussiennes)

Comment sont rpartis les 1000 lves dun lyce, si on considre leur taille en cm, sachant que la taille moyenne est de 1,75 m et que lcart type est de 10 cm ? Cest pour rpondre ce genre de question que les distributions gaussiennes sont utilises :

Suites numriques

Sine qua non permet de reprsenter graphiquement 2 types de suites numriques: Les suites de la forme: o f est une fonction quelconque Les suites dfinies laide dune relation de rcurrence de la forme:

Suites de la forme un = f(n)

Prenons par exemple le cas de la suite (un) dfinie par pour n>1:La fonction f doit tre dfinie laide de la variable x et non pas n. Dans cet exemple, il convient dindiquer que le premier terme a pour indice 2.

La reprsentation graphique nest pas toujours trs bonne, en particulier, ici, les termes et dune part, et dautre part, sont confondus:

Suites dfinies par une relation de rcurrence un = f (un1)

De trs nombreuses suites, parmi lesquelles les suites arithmtiques et les suites gomtriques, peuvent tre dfinies laide dune relation de rcurrence. Sine qua non ne gre que les relations de la forme un = f (un1).

Prenons comme exemple: un = pour n 0.

(Dans la copie dcran ci-contre, la valeur du premier terme ntant pas indique, on considre que =0)

Le graphique correspondant donne ceci:

Reprsentation graphique dune intgrale

Sine qua non permet de calculer une intgrale et de la reprsenter graphiquement. Il est galement possible de montrer graphiquement le calcul approch dune intgrale par la mthode des rectangles ou des trapzes en prcisant le nombre dintervalles (voir plus loin).

Ici, avec la commande Dfinir/Intgraleseules les intgrales dont les bornes sont finies peuvent tre calcules et reprsentes. Pour dfinir une intgrale, on peut soit utiliser la commande Dfinir/Intgrale soit cliquer sur le bouton .

On obtient lcran ci-contre:

Deux types dintgrales peuvent tre dfinies: correspondant graphiquement un domaine compris entre la courbe reprsentative de f et laxe Ox. pour un domaine graphique compris entre les courbes reprsentatives des fonctions f et g.

Voici par exemple, la reprsentation graphique de :

Les bornes peuvent tre des constantes simples (comme ci-dessus) ou des expressions calcules, comme par exemple ln 2 ou /4 (crire dans ce cas pi/4).La fonction intgrer (ou les fonctions intgrer) peut tre saisie avec la mme syntaxe que dhabitude. Il est mme possible dutiliser lune des 10 fonctions dfinies par lutilisateur (f1 f10). Lorsquon a choisi le premier type dintgrale, la zone de saisie de la fonction g est inaccessible (comme ci-dessus).

La valeur approche de lintgrale est obtenue laide de la mthode de Simpson. Elle saffiche ds quon quitte la zone de saisie de la fonction. Cette valeur peut ventuellement tre affiche sur le graphique sous forme de texte (ce texte peut tre ensuite dplac volont sur le graphique).Enfin, le domaine graphique correspondant lintgrale peut tre color son got dans un style de hachures choisir parmi 8 possibles:

Pour modifier le style il suffit de cliquer sur lune des 2 flches droite: Attention: Les hachures sont gnralement beaucoup plus denses sur limprimante que sur lcran. De plus, si le bouton anticrnelage est actif , alors les hachures sont trs serres sur lcran, mais normales limpression.

Voici un exemple de reprsentation graphique dune intgralede type :

Pour obtenir ce dessin, on peut dfinir 2 fonctions f1 et f2:

Il va sans dire que lintgrale calcule nest pas laire du domaine hachur, mais laire algbrique, exprime en units daire

Les dfinitions des fonctions crites sur le graphiques ont t ralises avec la commande Dfinir/Expression LaTeX.

Ensuite, il suffit de dfinir lintgrale suivante:

Inquations

Le logiciel Sine qua non permet de reprsenter graphiquement un ou plusieurs systmes dinquations linaires deux inconnues. Ces inquations sont donc de lune des formes suivantes :ax+by+c0ax+by+c0ax+by+x0

La saisie requiert donc, pour chaque inquation, les valeurs des coefficients a, b et c ainsi que la nature de lingalit. Lutilisateur peut dfinir 10 inquations dans un systme et il peut dfinir jusqu 10 systmes simultanment. Cest videmment beaucoup trop dans la plupart des cas. Voici la fentre obtenue lorsquon fait Dfinir/Inquations :

Supposons par exemple que nous voulions rsoudre le systme .Lorsquil y a plusieurs inquations simultanes comme ici, il vaut mieux choisir de hachurer ce qui nest pas solution, autrement dit il vaut mieux cliquer sur le bouton "Zone non hachure" pour indiquer la zone solution.

Dans notre cas particulier les coefficients sont les suivants :abc

100

010

12-20

32-30

car, par exemple, linquation 3x+2y30 doit tre traduite par : 3x+2y300.

Le choix des couleurs et des styles de hachures est ensuite affaire de got. dfaut dindication, les distances entre les hachures sont de 3 mm :

Voici le rsultat :

Points particuliers sur une courbe

Sur toutes les courbes reprsentatives de fonctions et sur toutes les courbes paramtres, il est possible de dfinir jusqu 10 points particuliers. Ces points sont gnralement les intersections avec les axes, les maxima ou les minima, les intersections de 2 courbes, les points dinflexion

Ces points particuliers seront dfinis par leur abscisse (ou la valeur du paramtre t dans le cas des courbes paramtres) et pourront avoir plusieurs caractristiques: un nom (gnralement une simple lettre) pour lequel on peut prciser la police de caractres et la position une couleur des lignes de cote en pointills depuis le point sur la courbe jusquaux axes la tangente la courbe en ce point la normale (perpendiculaire) la courbe en ce point une flche double (en particulier pour les extrema)

Dfinition dun point particulier

Pour dfinir un point particulier sur une courbe, il faut dabord cliquer dans la zone de saisie de la courbe pour prciser de quelle fonction ou de quelle reprsentation paramtrique il sagit.

Il faut ensuite cliquer sur le bouton autres options:

Dans la fentre qui apparat, il faut ensuite commencer par prciser labscisse du point (ou son paramtre dans le cas dune courbe paramtre).

Cette abscisse peut tre une constante calcule comme ci-contre.

Toutes les autres caractristiques sont facultatives: le nom, la police, la position du nom, etc

Nom du point: format et position

Le nom dun point est gnralement une lettre, mais on peut utiliser jusqu 3 caractres quelconques: cela autorise lapostrophe par exemple. Cependant il nest pas possible dutiliser des noms indics. La position du nom est choisir parmi 8 positions possibles. dfaut dindication contraire, le nom est crit au-dessus droite du point. Si on choisit la position centrale, le nom nest pas affich.

Lignes de cote dun point

On appelle lignes de cote dun point sur une courbe, les traits en pointills qui partent du point et qui rejoignent les axes des abscisses et des ordonnes.

Lorsquon dfinit un point particulier sur une courbe reprsentative de fonction, ou sur une courbe paramtre (commande Dfinir / fonction f(x) puis Autres options) ces lignes de cotes sont proposes spontanment. Pour les supprimer, il suffit de dcocher la case tracer les lignes de cote du point.

La couleur des pointills est dfinie en cliquant sur lune des 16 couleurs de la grille.

Tangente en un point dune courbe

Le logiciel Sine qua non permet de tracer (dans la mesure du possible) nimporte quelle tangente une courbe. Par contre, ce nest pas lobjectif de ce logiciel, il ne permet pas den connatre lquation!

Il faut commencer par dfinir le point o on veut obtenir la tangente: pour une courbe de fonction, il faut cliquer sur le bouton puis cliquer dans la zone de saisie de la fonction, puis cliquer sur le bouton autres options , choisir le point, lui prciser son abscisse et enfin cliquer dans la case tracer la tangente en ce point. pour une courbe paramtre, cest la mme chose mais il faut commencer par cliquer sur le bouton .Il nest pas ncessaire de donner un nom au point.

Normale une courbe en un point

On appelle normale une courbe en un point, la droite perpendiculaire la tangente en ce point. Ceci na de sens, bien videmment, que si le repre est orthonorm. Voici par exemple ce que donne la normale dans le cas dun repre non orthonorm:

Dans cet exemple, la courbe dquation a une tangente au point dabscisse 1 dont le coefficient directeur est 2. Par consquent la normale en ce point a pour coefficient directeur 1/2. Mais comme lunit sur Ox vaut 2 cm et seulement 1 cm sur laxe Oy, langle droit entre la tangente et la normale ne parat pas vraiment droit!

Pour obtenir la normale en un point, il faut dfinir le point en cliquant sur le bouton autres options dune courbe, et en prcisant son abscisse, puis cocher la case tracer la normale en ce point:

La couleur de la tangente, des lignes de cote et de la normale est celle qui est choisie dans la grille de couleurs.

Il nest pas obligatoire de donner un nom au point.

Tracer une double flche tangente

Les doubles-flches tangentes une courbe sont souvent utilise pour indiquer les extrema (ou extremums) sur une courbe:

Pour cela, il faut cliquer sur le bouton autres options puis cocher la case Tracer une double flche tangente.

La couleur de la flche et, ventuellement, des lignes de cote est dfinie dans la grille de couleurs:

Les traits, qui paraissent un peu trop pais sur lcran, sont en ralit imprims beaucoup plus finement sur le papier.

Tableaux de signes et de variations(Dfinir / Tableaux de signes et de variations)

Chacun dentre nous sait combien il est fastidieux de crer, sur ordinateur, des tableaux de signes ou des tableaux de variation. Les plus courageux crent leurs propres macros dans leur traitement de texte ou bien, plus simplement, tlchargent des modles tout faits sur Internet. On peut citer en particulier Cmath de Christophe Devalland.

Dsormais, vous disposez dun nouvel outil intgr Sine qua non.

Dfinir un tableau de variation ou de signes

La commande "Dfinir un tableau de variation" se trouve dans le menu "Dfinir", mais peut aussi tre obtenue avec le bouton . On obtient alors lcran suivant : (Exemples de base) (Zone de laperu) (Zone de saisie)Rgles de construction dun tableau de variation, partir de lun des modles proposs : Un tableau est cod par une srie de lignes de texte dans la zone de saisie. Chaque ligne se dcompose en cases dlimites par les symboles "[" et "]". Ne pas effacer ou ajouter manuellement les symboles "["et "]". Pour augmenter ou diminuer le nombre de lignes ou de colonnes, utilisez les boutons prvus cet effet. Chaque case contient galement 2 symboles ":". Cela permet de prvoir 3 zones lintrieur de chaque case, selon que lon veut cadrer le texte gauche, au centre ou droite de la case.Exemple [-\infty : /> : 2]donnera ceci :Ne pas ajouter ou effacer manuellement ces symboles sparateurs ":" Certaines expressions sont crites en LaTe, comme par exemple : -\infty qui donne . \sqrt{25} qui donne \frac{\ln x}{2} qui donne Les flches ascendantes, descendantes et horizontales sont codes /> ; \> ; _>, mais on peut utiliser les boutons en haut de la fentre Un trait vertical entre 2 cases sera cod comme ceci [ : : ] | [ : : ] Pour obtenir une double barre (valeur interdite) ou un zro avec une barre qui le traverse, on peut utiliser soit lun des 2 boutons , soit coder || ou |0. Les zones hachures peuvent se coder //.

Exemples de tableaux de signes ou de variationsLa meilleure manire de comprendre comment construire un tableau de signes ou de variation est encore dexaminer lun des 10 exemples :Ex.CodeAperu

Lorrsquon a saisi la dfinition dun tableau, il faut : cliquer sur le bouton pour obtenir un aperu du tableau, cocher la case pour demander le dessin du tableau, cliquer sur le bouton pour fermer la fentre de dfinition et retourner au dessin.

La couleur des traits et celle des textes peut tre dfinie laide des 2 boutons .

Rapporteur trigonomtrique(Dfinir/Rapporteur trigonomtrique)

Dessiner un rapporteur trigonomtrique

Le but de cette commande est de permettre de dessiner, en haute rsolution, un rappor