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La La droite droite des des moindres carrésmoindres carrés

Tendance&

Moindres carrés

Virginie QUAGLIA, Lionel TROMBERT, Elie PECORARO, Laurent GONON, Jan STÜVERMANN


INTRODUCTIONINTRODUCTION

La méthode des moindres carrés consiste à déterminer une La méthode des moindres carrés consiste à déterminer une fonction mathématique, si possible simple, susceptible de fonction mathématique, si possible simple, susceptible de résumer valablement la réalité observée.résumer valablement la réalité observée.

OBJECTIFSOBJECTIFS

-- mettre en évidence une évolutionmettre en évidence une évolution-- simplification du phénomène étudiésimplification du phénomène étudié

-- détermination de la tendance généraledétermination de la tendance générale

La La droite droite des des moindres carrésmoindres carrésest aussi appelée droite d'ajustement ouest aussi appelée droite d'ajustement ou "trend"."trend".

Ajuster:

• Ajuster, c ’estchercher à éliminer la part d ’erreurs

- d ’observations- de phénomènes accidentels- …

• Ajuster, c ’estschématiser une évolutiondéterminer une tendance générale

Activité

Produits

y = ax + by = ax + b

La méthode des moindres carrés est un ajustement par une droite, reposant donc sur l’hypothèse selon laquelle l’évolution du phénomène étudié est linéaire.


La validité de l’ajustement peut être testée par le calcul du coefficient de corrélation.

Corrélation: on part du principe qu’il existe une relation entre deux évènements, à toute variation de l’un correspond une variation de l’autre


Coefficient de corrélation

?

?

?

?

?

?

? ∑∑∑=

22* YXXY

c

xxX i−=

yyY i−=

C = Coefficient de corrélation


Prenons un exemple: L’entreprise de sauvetage PAM possède des hélicoptères. Cette petite société a été mandatée par le gouvernement pour assurer la surveillance des plages de MULABI. Sur la base des chiffres des 4 premiers mois de l’année, nous allons déterminer:


1. Choix de l’unité d’œuvre adéquate

2. Détermination de la part des charges fixes et variables


Première variante, unité d’oeuvre "nombre d'interventions"

14270Mars

7160Avril

14290Février

11200Janvier

Nombre d'interventions

Coût total des hélicoptères

20.254900315-4.5-707160Avril

3311'0005800046920Total

1600

3600

900

Y2

11.5

14

14

11

x


40

60

-30

Y

2.5

2.5

-0.5

X

100

150

15

X * Y

6.25

6.25

0.25

X2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier



20.254900315-4.5-707160Avril

3311'0005800046920Total

1600

3600

900

Y2

11.5

14

14

11

x


40

60

-30

Y

2.5

2.5

-0.5

X

100

150

15

X * Y

6.25

6.25

0.25

X2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier

Coût total des hélicoptères ∑∑

∑=22 * YX

XYc

Le coefficient de corrélation

9626639.011000*33

580==c


D'un point de vue graphique cela donne

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12 14 16


Deuxième variante: unité d'œuvre "heures de vol"

40270Mars

18160Avril

44290Février

26200Janvier

Heures de volCoût total des hélicoptères

4900196980-70-1418160Avril

11'000440220000128920Total

64

144

36

X2

32

40

44

26

x

Heures de vol

8

12

-6

X

40

60

-30

Y

320

720

180

X * Y

1600

3600

900

Y2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier



∑∑∑=

22 * YX

XYc

11'000440220000128920Total

196

64

144

36

X2

4900980-70-1418160Avril

32

40

44

26

x

Heures de vol

8

12

-6

X

40

60

-30

Y

320

720

180

X * Y

1600

3600

900

Y2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier


Le coefficient de corrélation

111000*440

2200==c


D'un point de vue graphique cela donne

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50


L'unité d'oeuvre "heures de vol" est retenue, son coefficient de corrélation avec les coûts est de 1.

Nous disposons donc maintenant de toutes les informations nécessaires pour pouvoir, grâce à la droite des moindres carrés, établir notre fonction mathématique y = ax +b. Elle nous permettra de faire ressortir les charges variables a et les charges fixes b.


a : frais variables unitaires

∑∑=

2XXY

a b : frais fixes totaux

xayb −=


Détermination de a:

11'000440220000128920Total

196

64

144

36

X2

4900980-70-1418160Avril

32

40

44

26

x

Heures de vol

8

12

-6

X

40

60

-30

Y

320

720

180

X * Y

1600

3600

900

Y2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier


∑∑= 2X

XYa 00.5

4402200

==>


11'000440220000128920Total

196

64

144

36

X2

4900980-70-1418160Avril

32

40

44

26

x

Heures de vol

8

12

-6

X

40

60

-30

Y

320

720

180

X * Y

1600

3600

900

Y2y

270Mars

230Moyenne

290Février

200Janvier


xayb −=

00.70325230 =∗−=>

Détermination de b:

a = 5


D'un point de vue graphique pour y = 5 x + 70 cela donne

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50

y

Soit que le coût variable unitaire est de Fr. 5 et le coût fixe total de Fr. 70


Nota bene:

La droite de tendance ou des moindres carrés est également utilisée pour l'établissement des budgets, tel que budget des ventes. Puisque cette méthode est basée sur des éléments observés dans le passé, on peut en déterminer la tendance et la projeter dans le futur.

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