1

Teneur de coupure optimale :

théorie de Taylor et Lane

Septembre 2008

2

Plan

� Définitions

� Facteurs influençant la teneur de coupure

� Théorie de Taylor et Lane� Définition des variables� Teneur de coupure limite� Teneur de coupure d’équilibre� Teneur de coupure optimale

� Coût d’opportunité

� Influence des différents paramètres

� Biais conditionnel

3

Plan (suite)

� Résumé

� Compléments d’information� Coût d’opportunité� Taxation� Fonctions de récupération� « Loi » de Lasky� Durée de vie d’une mine� Mine à ciel ouvert� Programmes pour le TP

4

Définitions

� Teneur de coupure optimale : Teneur de coupure permettant de maximiser le profit net par tonne de matériau minéralisé

� Matériau minéralisé :Volume de roche susceptible de contenir du minerai

� Minerai :Portion économiquement rentable du matériau minéralisé

5

Facteurs influençant la t.c.

� Coûts fixes et variables; si coûts ↑ t.c. ↑� Prix du métal: si ↑ t.c. ↓ (normalement)

� Type d’opération� + ou – sélective

� Dimensions des installations

� Besoins du concentrateur � Doit fonctionner normalement à pleine capacité

� Teneurs les + homogènes possibles pour maximiser la récupération du métal

� Facteur temps� Valeur des $ dans le temps: exploiter zones riches en premier

� Fournir le concentrateur

6

Facteur temps

« Breakeven »

7

Théorie de Taylor et Lane

� Définition des variables

c: teneur de coupure

xc: proportion du matériau minéralisé sélectionné (minerai) (fct de « c »)

gc: teneur moyenne du minerai (fonction de « c »)

y: taux de récupération du concentrateur

=> Note: xc gc y représente la quantité de métal récupéré par tonne minéralisée

8

1 tonne matériau minéralisé

xc tonne minerai

qc=xc gc tonne de métal

gc= teneur du minerai

9

p: prix d’une tonne de métal

k: coût de mise en marché d’une tonne de métal

=>Note: xc gc y (p-k) représente le revenu brut obtenu de la vente du métal

m: frais variables de minage d’une tonne de matériau minéralisé (développement)

h: frais variables de traitement d’une tonne de minerai(forage, sautage, concassage, remontée, concentration)

=> Note: xc h + m représente le total des coûts variables

10

f: frais fixes (administration, ingénierie, frais de capital)

F: coûts d’opportunité: valeur actualisée du gisement x taux d’intérêt spécifié.

M: capacité de minage (matériau minéralisé)

H: capacité de traitement (minerai sélectionné)

K: capacité du marché (métal)

Notes:

- H tonnes de minerai extraites => H/xc t. matériau minéralisé développées

- K tonnes de métal => K/(xcgcy) t. matériau minéralisé développées

- (f+F)/M frais fixes par t. matériau minéralisé, production limitée par la mine

- (f+F)/(H/xc) frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le traitement

- (f+F)/ {K/(xcgcy)} frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le marché

11

Si la mine est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy – xch - m - (f+F)/M

Si le traitement est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy – xch - m - (f+F)xc/H

Si le marché est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy – xch – m - (f+F)xcgc y/K

Note : - seul le terme lié aux frais fixes change- v est fonction de « c » (ou de xc) et maximum unique.- on trouve ce maximum unique en dérivant par rapport à xc

en utilisant le résultat :d(xcgc)/dxc= c

(en abaissant « c » de dc => dxc minerai supplémentaire; d(xcgc) métal supplémentaire. La teneur du matériau supplémentaire est égale à « c » par construction).

- F dans Taylor vaut 0. C’est le seul élément distinguant les 2 théories.

v: profit net généré par t. de matériau minéralisé

12

Les teneurs où sont atteints les maximums de « v » sont appeléesteneurs de coupure limites:

Mine :

Concentrateur :

Marché :

ch

y p k1 =

−( )

ch f F H

y p k2 =

+ +−

( ) /

( )

[ ]c

h

p k f F K y3 =

− − +( ) ( ) /

t.c.« breakeven »

Les frais fixes n’interviennent pas

Note : ces teneurs de coupure sont indépendantes de la distribution des teneurs !

13

Exemple (gisement d’uranium, p. 7 des notes de cours)

y=0.87

p-k=60$/kg

h=3.41$/t

m=1.32$/t

f=11.9M$

F=15.2M$

M=12Mt (matériau minéralisé)

H=3.9Mt (minerai)

K=0.9Kt (métal)

t/kg198.0kg/$60*87.0

Mt9.3/$)M2.15$M9.11(t/$41.3

)kp(y

H/)Ff(hc2 =

++=

−++

=

[ ] [ ]t/kg131.0

87.0*Kt9.0/$)M2.15$M9.11(kg/$60

t/$41.3

yK/)Ff()kp(

hc3 =

+−=

+−−=

t/kg065.kg/$60*87.0

t/$41.3

)kp(y

hc1 ==

−=

14

Note: on a toujours c1<(c2,c3). Une mine rentable montre c3<c2

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3

Mine

Concentrateur

Marché

%

Si l’on opère à c=0.005,quel profit par tonne minéraliséepourra-t-on obtenir?

Que représente une intersection de 2 courbes?

R. La valeur minimale des

3 courbes, soit environ –0.35$/t

=> Les courbes sont obtenues en supposant la capacité atteinte.On ne peut donc se situerau-dessus d’aucune de ces courbes

Solutions impossibles

15

Teneurs de coupure d’équilibre

� Si H = M xc la mine et le concentrateur sont à pleine capacité (équilibre).Les frais fixes par tonne minéralisée sont égaux pour les 2 courbes.⇒ intersection (mine-concentrateur) sur le graphe précédent.

� Si K = M xc gc yla mine et le marché sont à pleine capacité (équilibre).⇒ intersection sur le graphe précédent.

� Si K = H gc yle concentrateur et le marché sont à pleine capacité (équilibre).=> intersection sur le graphe précédent.

Note : i. elles dépendent uniquement de la distribution des teneurs ! ii. Pour M,H et K donnés, il se peut que les teneurs d’équilibre n’existent pas

16

Teneur optimale

2 situations possibles

� Le maximum est atteint àune coupure limite

� Le maximum est atteint àune teneur d’équilibre

Cette situation est celle recherchée!

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3

c12

c23

MineConc.Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1c2

c3

c12

MineConc.Marché

17

Influence des différents paramètres

� Diminuer « m »- Les 3 courbes sont translatées vers le haut. - Le profit $/t augmente.

- Les teneurs de coupure demeurent les mêmes.=> La t.c. optimale est indépendante des coûts de développement !

� Diminuer « h », ou « k » ou augmenter « p »- 3 courbes translatées vers le haut d’une quantité diminuant selon « c ». - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée

� Diminuer « f » ou « F »- translation vers le haut d’une quantité différente pour chaque courbe et diminuant selon « c » (sauf la courbe mine). - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée

18

Influence des différents paramètres (suite)

� Augmenter la capacité de minage « M »- la courbe « mine » translatée vers le haut- profit $/t peut augmenter- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » augmentent

- La t.c. optimale reste inchangée ou augmente

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1c2

c3

c12

MineConc.Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3

c12

MineConc.Marché

M 2MAugmenter M a augmenté la t.c. optimale

19

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1c2

c3

c12

MineConc.Marché

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3

c12

MineConc.Marché

H 1.2 HAugmenter H a diminué la t.c. optimale

� Augmenter la capacité de traitement « H »- la courbe « traitement » est translatée vers le haut

- profit $/t peut augmenter

- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » diminuent

- la teneur limite « traitement » diminue

- La t.c. optimale reste inchangée ou diminue

20

Effet de la distribution des teneurs

� MoyenneSi la moyenne diminue, pour fournir la même quantité de minerai au concentrateur, on devra diminuer la t.c.

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3

c12

c13

c23

MineConc.Marché

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

c1

c2

c3c

12c

13c

23

MineConc.Marché

Moy=1% Moy =0.9%

La t.c. optimale diminue => teneur « breakeven »

21

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5P (c ) lognorm ale m =1% , σ 2=4% 2

Teneur de coupure (% )

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

M ineConc.M arché

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5P(c ) lognorm ale m =1% , σ 2=2% 2

Teneur de coupure (% )P

rofit

/t m

inér

alis

é ($

)

M ineConc .M arché

2σ = 4 2σ = 2

Plus la variance plus le profit

� Variance

Le minerai se retrouve concentrédans un nombre moindre de blocs + riches

22

Remarques importantes

� Coût d’opportunité « F » est difficile à déterminer. Il dépend du type de gisement, du mode d’opération, de la t.c. utilisée. Taylor implicitement pose F=0. C’est probablement la pratique la plus courante

� Au fur et à mesure que l’on exploite le gisement, la distribution des teneurs du matériau restant à être exploité change=> facteur temps

� Connaît pas la distribution des teneurs dans le gisement => teneurs d’équilibre mal définies

� Dans la pratique on opère sur des estimations⇒ Utiliser la distribution des teneurs estimées pour déterminer les

teneurs d’équilibre⇒ Utiliser un estimateur sans biais conditionnel

23

Biais conditionnel (p. 12 des notes)

Estimation

Réel

Sans biaisconditionnel

Avec biaisconditionnel

24

Absence de biais conditionnel

On récupère la teneur prévue

On réalise les profits prévus

=> Dans Lane, on peut utiliser la distribution des valeurs estimées comme si c’était celle des vraies teneurs !

25

Pour un estimateur sans biais conditionnel

Variance (estimateur) < Variance ( teneur réelles)

=> Profit moindre (effet information)

Plus un estimateur sans biais conditionnel est précis,

+ grande est la variance des valeurs estimées

+ grand est le profit réalisé

Pour un estimateur avec biais conditionnel, généralement

Profit réalisé < profit prévu

Profit réalisé < profit réalisé avec un estimateur sans biais

26

Exemple

� Deux estimateurs ont une corrélation de 0.9 avec les vraies valeurs (inconnues). Distribution lognormale

vraies valeurs (Z) => moy=1.5, var=2

� Estimateur 1 est sans biais conditionel:Z1

* => moy=1.5, var=1.6, E[Z|Z1*] = Z1*

� Estimateur 2 a un biais conditionnelZ2

* => moy=1.5, var=4, E[Z|Z2*] = 0.54+0.64Z2*

27

4.20.69Estimateur 2 avecbiais réalisé

6.80.69Estimateur 2 avecbiais prévu

5.40.95Estimateur 1 sansbiais cond.

5.70.89Réel

V optim.t.c.

On n’obtient pas ce qui est prévu !

On prévoit plus que ce qu’il est possible d’obtenir

L’effet information

28

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimées

Val

eurs

vra

ies

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estiméesV

aleu

rs v

raie

s

8863Réalisé

8870Prévu

8910Réalisé

9769Prévu9.6%0%

À basse teneur de coupure

29

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimées

Val

eurs

vra

ies

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estiméesV

aleu

rs v

raie

s

6679Réalisé

6680Prévu0%

6379Réalisé

7954Prévu25%

À haute teneur de coupure

Le biais systématique a aussi des effets

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Sous-estimation de 10%

Valeurs estimées

Val

eurs

vra

ies

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Surestimation de 10 %

Valeurs estimées

Val

eurs

vra

ies

6559Réalisé

6059Prévu

6802Réalisé

7304Prévu

-On ne réalise pas ce qui était prévu;

-Ici, la surestimation a été payante; pas une règle générale

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimées

Val

eurs

vra

ies

6679Réalisé

6680Prévu

31

Effet d’une augmentation du prix du métal sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;moy=1;s2=1;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=2000 $/t

c1

c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=2500 $/t

c1

c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

4

6

8

10

12

14

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=3000 $/t

c1

c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

6

8

10

12

14

16

18

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=3500 $/t

c1c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10

12

14

16

18

20

22

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=4000 $/t

c1 c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

12

14

16

18

20

22

24

26

28

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=4500 $/t

c1 c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=5000 $/t

c1 c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

25

30

35

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=5500 $/t

c1 c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

25

30

35

40

Teneur de coupure

Pro

fit/t

min

éral

isé

($)

Prix=6000 $/t

c1 c2

c3

c12

Mine

Conc.

Marché

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Lim. mine Équilibre Limite concentrateur

Prix du métal

T.c

. opt

imal

e

T.c. optimale en fonction du prix du métal

32

Effet d’une augmentation de la moyenne sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=4000;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;s2=1;

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Lim. mine Équilibre Lim. concent.

Teneur moyenne

T.c

. opt

imal

e

T.c. optimale en fonction de la teneur moyenne

temps

33

Effet du coût d’opportunité (frais fixe) sur la t.c. optimale

Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=3000;k=0;h=10;f=50;M=10;H=3;K=9999;moy=1;s2=1

temps

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

Limite concentrateur Équilibre

Coût opportunité

T.c

. opt

imal

e

T.c. optim. vs coût d'opportunité

34

En résumé

� T. coupure limites: indépendantes des distributions� T. coupures d’équilibre: indépendantes des prix et des coûts� T. coupure optimale: une des t.c. limites ou d’équilibre (celle ayant « v »

max et réalisable=> t.c. optimale varie de façon discrète-continue en fonction de paramètres qui eux varient de façon continue

� Taylor : coût d’opportunité F=0� Le coût d’opportunité (F>0) permet

� Décroissance graduelle dans le temps de la t.c. optimale� Stratégie d’exploiter zones riches en premier � Stratégie + agressive si l’on peut récupérer le minerai délaissé� Stratégies temporaires (e.g. hausser t.c. quand prix augmentent)

� Estimateur sans biais conditionnel requis� Tenir compte des changements dans le temps de la distribution

35

Compléments d’information

36

Coût d’opportunité

� On peut voir F comme la pénalité encourue de ne pas toucher tout de suite toute la valeur du gisement => Le gisement est comme une obligation négociable.

� F comprend 2 parties:� Intérêt non-gagné sur la valeur du gisement

� Fluctuation de la valeur du gisement

� Exemple

Un gisement de Zn vaut 150M$ avec un scénario du prix du zinc de 750$/t Zn. Le taux d’intérêt est de 15%

Le coût d’opportunité est : F=150M$*0.15=22.5M$

� Le prix du Zn tombe à 650$. Cette baisse est anticipée temporaire (1 an) après quoi le prix revient à 750$. Le manque à gagner pour la prochaine année dû à la baisse du prix du Zn est de 14.7M$

37

Coût d’opportunité (suite)

� La valeur présente du gisement est donc 150M$-14.7M$/1.15=137.2M$

L’intérêt sur cette « obligation » rapporterait 137.2M$*0.15=20.8M$

La variation de la valeur de l’obligation durant l’année est 137.2-150= -12.8M$

Le coût d’opportunité est donc:

F=20.8 + (-12.8) = 7.8M$ Comme F est beaucoup moindre que dans le cas précédent (7.8 vs 22.5), la t.c. peut diminuer

Si la baisse des prix est considérée permanente, alors F=20.8M$, la diminution de F sera plus que compensée par la baisse du prix et la t.c. optimale va augmenter

Seul le terme F permet d’incorporer ces stratégies dans la détermination de la t.c. optimale

38

Coût d’opportunité (suite)

Exemple: le concentrateur est limitatif

h=6.5$/t; f=15M$; H=1.3Mt/an; y=0.81;k=0;

Cas 0: le prix du Zn reste stable à 750$; F=22.5M$

c2=(6.5+(15+22.5)/1.3)/(0.81*750)=5.82% Zn

Cas 1: le prix du Zn revient à 750$ après un an : F=7.8M$

c2=(6.5+(15+7.8)/1.3)/(0.81*650)=4.57% Zn

Cas 2: le prix du Zn reste stable à 650$ : F=20.8M$

c2=(6.5+(15+20.8)/1.3)/(0.81*650)=6.46% Zn

Diminution de la t.c. suite àune diminution de prix!

39

Taxation (p. 13)

� 3 types principaux

a) Taxe foncière : frais fixe, augmente la t.c. optimale1

b) Royauté : $/tonne minerai; frais variable, augmente la t.c.1

(très peu utilisé au Canada)

c) Impôt sur les profits et droits miniers : aucun impact sur la t.c.

- 1(sauf si t.c. optimale = t.c. d’équilibre (indépendante des coûts))

40

Fonctions de récupération (p.18)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Courbes tonnage-teneurLoi lognormale, m=1, σ2=4

Teneur de coupure

Ton

nage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ten

eurT(c)

Q(c)

m(c)

41

« Loi » de Lasky (p. 15)

� La teneur du gisement varie linéairement avec la t.c.

m(c) = a - b ln T(c) (T(c) : proportion)=> m(c) = b + c

� Vrai pour la loi exponentielle (alors a=b=m(0))

� Approximativement vrai pour la loi lognormale; dans ce cas une meilleure approximation est :

m(c) = e + f c

(e et f des constantes spécifiques au gisement)

42

Exemple

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 01

1.5

2

2.5

3

3.5Loi lognormales

Log10(T(c))

m(c

)σ2=0.5

σ2=1

σ2=2

σ2=4

σ2=4

σ2=0.5

0 0.5 1 1.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4Relations de Lasky; loi lognormale (m=1)

Coupure

m(c

) σ2=1

σ2=2

σ2=4

43

Durée de vie d’une mine

� Approximation rapide (Taylor)

25.0T 5.6années'd Nombre ≈

0 50 100 150 2005

10

15

20

25

Tonnage (Mt)

Ann

ées

Durée de vie

Ici, T: tonnage de matériau minéralisé

44

2

β -

c

mln

β

1 F T = T(c) o

2

β +

c

mln

β

1 F T m = Q(c) o

Loi lognormale

où :

f : fonction de densité d’une loi N(0,1) =>

F : fonction de répartition (cumulative) d’une loi N(0,1)

c : teneur de coupure

m : moyenne de la population

β : écart-type du logarithme des teneurs (population)

/2y2

e2π

1f(y) −=

Fonctions de

récupération

lognormale

1m

σlnβ

2

22

+=

45

Exemple: Gisement de cuivre, distribution lognormale de moyenne 0.9% et de variance 3%2

Si c=0.8%, Quelle tonnage est disponible et à quelle teneur moyenne?

On calcule:

T(0.8)=T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)-1.244/2) = T0 F(-0.527) = 0.3 T0

Q(0.8)= 0.9%T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)+1.244/2) = 0.9%T0 F(0.717)

= 0.9% 0.763 T0

Teneur= Q/T= 0.9% (0.763/0.3) = 2.29%

244.119.0

3ln

2=

+=β

46

Cas d’une mine à ciel ouvert

2 problèmes: a) Quels blocs doit-on remonter? => optimisation

b) Le bloc remonté doit-il être traité ou jeté? => t.c.

Pour a) on doit fournir la valeur « nette » de chaque bloc.

valeur du bloc : v = max [ v1,v2],

v1= valeur du métal récupérable – coûts traitement –coûts de minage et remontée

v2= - coûts minage et remontée

Pour b), on traite le bloc si:

valeur de métal récupérable > coût de traitement � v = v1

47

X3X

0.421.1

X1X

111

X0.7X

0.50.50.5

X1.3X

-0.50.5-0.4

X1.3X

-0.50.5-0.4

v. métal récupérable

Coût de traitement

Coût de minage+remontée

Valeur nette

jeté

traité

Fosse optimale

mine à ciel ouvert (suite)

Notel l’optimisation se fait par l’algorithme de Lerch-Grossman ou, mieux, par maximisation du flux

48

Programme « lane »

>>help lanesyntaxe: [clim,ceq,coptim,voptim]=lane(m,y,p,k,h,f,F,M,H,K,moy,s2)fonction pour tracer les courbes de profit et déterminer

les teneurs de coupure limites d'équilibre et optimales sous hypothèse lognormaleDescription des paramètres Entrées:

m: coûts de minage exprimés en $/ty: taux de récupération en fractionp: prix payé pour le métal en $/t de métalk: coût pour la fonderie, mise en marché, transport etc. $/t de métalh: coût de traitement (sautage, remontée, concentration) $/t de mineraif: frais fixes annuels M$F: coût d'opportunité (intérêt sur valeur résiduelle) M$M: capacité de minage (développement des accès aux sites minéralisés) Mt (de roche minéralisée)H: capacité de traitement du minerai Mt (de minerai)K: capacité du marché Mt (de métal produit)moy: moyenne de la distribution lognormale s2: variance de la distribution lognormale

49

Programme « lane » (suite)

…moy: moyenne de la distribution lognormale (%)s2: variance de la distribution lognormale (%^2)

Sorties:clim: vecteur 1x3 des t.c. limites [mine, concentrateur, marché]ceq: vecteur 1x3 des t.c. d'équilibre [mine-traitement, mine-marché, traitement-marché]coptim: coupure optimalevoptim: profit/t. minéralisée à la t.c. optimale

50

Programme « reserve »

>> help reserveSyntaxe: [xc,qc,gc]=reserve(moy,s2,c,itype)

fonction qui calcule les reserves pour une loi normale ou lognormale

Description des paramètres

Entrée: moy et s2: moyenne et variance de la distribution (s2 a les unités de moy au carré)

c: coupure (peut être un vecteur)

itype: 0: loi normale; 1 loi lognormaleSortie:

xc: proportion du tonnage au-dessus de la t.c. (fraction)

qc: xc x gc (quantité de métal au dessus de c) ()

gc: teneur du minerai pour la teneur de coupure considérée (mêmes unités que moy)