DESARROLLO DE UN PROGRAMA DE SIMULACIÓN PARA PROBLEMAS DE

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN EN MEDIOS POROSOS,

UTILIZANDO EL MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN

PHILIPPE THIRIEZ OCHOA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

BOGOTÁ

2014

DESARROLLO DE UN PROGRAMA DE SIMULACIÓN PARA PROBLEMAS DE

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN EN MEDIOS POROSOS,

UTILIZANDO EL MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN

Trabajo de grado presentado por:

PHILIPPE THIRIEZ OCHOA

A

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Dirigido por:

Ingeniero. Andrés Gonzalez Mancera

En cumplimiento de los requisitos para optar al título de Ingeniero Mecánico

BOGOTÁ, Junio de 2014

© [2014, Philippe Thiriez Ochoa]

Todos los derechos reservados

i

Contenido

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 1

OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 2

1. LAS ECUACIONES MACROSCÓPICAS................................................................................................ 3

2. EL MÉTODO DE LATICCE BOLTZMANN ............................................................................................ 4

3. LA ECUACIÓN DE LATICCE BOLTZMANN PARA EL CAMPO DE VELOCIDAD .................................... 6

4. LA ECUACIÓN DE LATICCE BOLTZMANN PARA EL CAMPO DE TEMPERATURA ............................... 7

5. CONDICIONES DE FRONTERA .......................................................................................................... 8

6. CONVERSIÓN DE UNIDADES ............................................................................................................ 9

7. EL ALGORITMO .............................................................................................................................. 10

8. RESULTADOS ................................................................................................................................. 14

9. CONCLUSIONES ............................................................................................................................. 21

1

INTRODUCCIÓN

El problema de flujos con convección en medios porosos se encuentra con frecuencia en áreas de la Ciencia e Ingeniería, como por ejemplo, la Geología, Hidrología, Ingenierías Mecánica, Química, Civil y de Petróleos. En la Ingeniería Mecánica se puede aplicar específicamente en la producción de coque y el perfeccionamiento de sistemas de intercambio de calor. Desde hace varias décadas atrás se han estado realizando estudios teóricos y experimentales sobre el tema, en (Nield & Bejan, 2006) se encuentra un repaso general sobre dichos casos. Además de lo anterior, varios métodos computacionales han sido empleados para estudiar el flujo y transferencia de calor en medios porosos. Las primeras simulaciones numéricas realizadas fueron basadas en procedimientos de discretización como técnicas de diferencias finitas, volumen finito y métodos de elementos finitos. El método de Lattice Boltzmann (LBM de ahora en adelante) es un esquema que ha sido recientemente propuesto para la simulación de flujos y física en los fluidos. A diferencia de otros modelos que se basan en la discretización de ecuaciones macroscópicas el LBM es un método que se basa en las ecuaciones cinéticas a escala micro. En este proyecto y de acuerdo con los estudios realizados por (Guo & Zhao, 2005) se propone dividir el problema en dos partes, en la primera parte se utilizará una ecuación generalizada de Lattice Boltzmann para resolver el campo de velocidad y se utilizará una ecuación de Lattice Boltzmann simplificada para resolver el campo de velocidad, de ésta manera se superan las implicaciones de utilizar los modelos semi-empíricos de Darcy y Brinkman. Cabe mencionar que este método surgió de la teoría de gases del físico Austriaco Ludwig Boltzmann, en resumen esta se basaba en la idea de que el comportamiento de un gas podía ser caracterizado completamente por las interacciones entre sus partículas, debido a que un gas está compuesto por un gran número de las mismas un enfoque estadístico y computacional es necesario para ello.

2

OBJETIVOS

General: Desarrollar un programa de simulación de transferencia de calor por

convección en medios porosos utilizando el método de Lattice Boltzmann.

Específicos:

• Realizar una investigación bibliográfica profunda.

• Aplicar el sistema de conversión de unidades.

• Desarrollar el programa de simulación.

� Colisión.

� Condiciones de fronteras.

� Variables macroscópicas.

• Simular y obtener resultados.

• Analizar resultados.

3

1. LAS ECUACIONES MACROSCÓPICAS

Asumiendo que el límite de Boussinesq se cumple y que existe un equilibrio térmico entre el medio sólido y el fluido, se pueden ver a continuación las ecuaciones macroscópicas que gobiernan el flujo y la transferencia de calor en medios porosos:

∇ ∙ � = � (1a)

���� + � ∙ ∇� ��

� = − ���

∇��� + ��∇�� + � (1b)

� ���� + � ∙ ∇� = ∇ ∙ ��∇�� (1c)

Donde � es el vector de velocidad, ϵ el parámetro de porosidad, � es la densidad del fluido,

� la presión, �� la viscosidad cinemática efectiva, � es el vector de fuerza total, éste representa la fuerza debido a la presencia de un medio poroso y otros campos de fuerza que afectan la velocidad del fluido, � es la razón entre las capacidades caloríficas del fluido y el sólido, � es la temperatura del fluido y �� es la difusividad térmica efectiva del fluido. La ecuación (1a) es la ecuación de conservación de masa, la ecuación (1b) es la ecuación de conservación de momento y la ecuación (1c) es la ecuación de conservación de energía.

El vector � esta dado por la siguiente ecuación:

� = − !" � − #$

√" |�|� + �' (2)

Donde K es el parámetro de Permeabilidad, el cual depende del número de Darcy, () una función geométrica que depende de � y está dada por la ecuación 3.

( = �.+,√�,- . (3)

' es equivalente a la fuerza de flotación, la cual es calculada por la aproximación de Boussinesq, dada por la ecuación (4).

' = −/0� − �-� + 1 (4)

Donde / es la aceleración debido a la gravedad, 0 el coeficiente de expansión volumétrica del fluido, � y �- la temperatura del fluido y de referencia respectivamente y 1 representa la aceleración debido a campos de fuerza externos.

Se puede notar que a medida que � se hace 1, las ecuaciones (1) se reducen al caso de flujo en medio simple. El segundo término de la mano derecha en la ecuación (1b) es el término de Brinkman el cual es necesario para tomar en cuenta la presencia de una frontera sólida. El primer y segundo término de la ecuación (2) representan las fuerzas de arrastre lineal y

4

cuadrático debido al medio poroso respectivamente. Debido a la naturaleza cuadrática del arrastre, éste será despreciable para flujos de baja velocidad.

A excepción de la porosidad � y la razón de capacidad calorífica �, el flujo será gobernado a través de una serie de números adimensionales, el número de Darcy, el radio de viscosidades Je, el número de Prandtl y el número de Rayleigh, definidos a continuación.

23 = "45 67 = !8

! 9: = !; <3 = =>∆�

!; (5)

Donde L es una longitud característica del problema.

2. EL MÉTODO DE LATICCE BOLTZMANN

La idea básica del LBM es la de modelar un flujo a través de una discretización de las ecuaciones de Boltzmann, llamadas ecuaciones de Lattice Boltzmann (LBE). El objetivo de esta ecuación es el de describir la evolución de las funciones de distribución de densidad. El espacio de simulación se discretiza dividiéndolo en una malla compuesta por nodos, a cada nodo se le asigna un número finito de velocidades, las cuales serán distribuidas de manera uniforme alrededor del espacio del nodo, un ejemplo de un sistema de dos dimensiones y 9 velocidades (D2Q9) discretas se muestra en la Gráfica 1.

Gráfica 1. Ejemplo de un sistema D2Q9. (Sukop & Thorne,Jr, 2007) Del número de dimensiones y parámetros discretos depende la complejidad de la física que se quiera simular, de acuerdo con la Tabla 1, para poder realizar la simulación deseada en un espacio de dos dimensiones es necesario al menos diecisiete velocidades discretas. Por lo que un modelo D2Q9 no será suficiente, para poder sobrepasar tal situación es necesario

5

dividir el problema en dos partes, una que resuelva el campo de velocidad del fluido y otra que resuelva el campo de temperatura, de esta manera se tienen dieciocho velocidades discretas y por lo tanto es posible realizar la simulación. El LBM tiene varias ventajas frente a métodos de CFD más convencionales, por ejemplo este ofrece la capacidad de utilizar computación en paralelo con una eficiencia mínima del 70%, dependiendo del número de núcleos en paralelo que se tengan como se muestra en la siguiente gráfica. Además posee la posibilidad de implementación utilizando hardware de alta complejidad como una GPU, aumentando de esta manera la capacidad de procesamiento y por ende el tiempo que tarde una simulación en arrojar resultados. También el LBM no necesita post-procesamiento de malla por lo que el tiempo de simulación es más bajo, permitiendo así la implementación de la computación en paralelo.

Gráfica 2. Aumento de velocidad de un programa de LBM utilizando computación en

paralelo.

6

3. LA ECUACIÓN DE LATICCE BOLTZMANN PARA EL CAMPO DE VELOCIDAD

La LBE para el campo de velocidad en medios porosos fue recientemente propuesta en (Guo & Shao, 2002) y a diferencia con la ecuación para medio simple, ésta debe tener en cuenta la presencia de medios porosos, la cual afecta debido a la fuerza de arrastre al campo de velocidad como se puede ver en la ecuación (6).

Tabla 1. Número de velocidades discretas necesarias para simulación de complejidad

variable. (Latt, Youtube.com, 2014).

@AB + CDE� , G + E�� − @AB, G� = − �H I@AB, G� − @A�J�B, G�K + E�(A (6)

Donde @AB, G� es la función de distribución de densidad para una partícula con velocidad CD en la posición B y tiempo G, E� es el tiempo incremental y L es el parámetro adimensional

de tiempo de relajación, el cual está relacionado con la viscosidad cinemática y @A�J� es la función de distribución de equilibrio para un sistema de n-dimensiones y q-velocidades discretas, la cual está definida por la ecuación (7).

@A�J� = MA� N1 + CP∙�QR5 + ��:TCPCPUQR5VW

� QRX Y (7)

Donde MA es el peso de la función de distribución y Z[ la velocidad del sonido. Tanto MA como Z[ dependen del modelo de Lattice que se utilice, para un modelo D2Q9 las velocidades discretas están dadas de la siguiente manera: C- = 0,0�, CA = ]AZ^_ A , _ab A�, con ]A = 1, A = a − 1�c/2 para a = 1 − 4 y ]A =√2, A = a − 5�c/2 + c/4 para a = 5 − 8. En este caso Z = Ei E�⁄ siendo Ei la unidad de Lattice. Los pesos están dados por M- = 4 9⁄ , MA = 1 9⁄ para a = 1 − 4, MA = 1 36⁄ para a = 5 − 8, además Z[ = Z √3⁄ . El último término del lado derecho de la ecuación 6 E�(A, tiene en cuenta la fuerza total debido a la presencia de un medio poroso y otros campos externos como el término de Boussinesq. De acuerdo con (Guo & Shao, Lattice Boltzmann model for incompresible fluid flow through porous media, 2002) (A debe ser manejado con cuidado para poder así obtener la hidrodinámica apropiada.

7

(A = MA� �1 − ��H� NCP∙�

QR5 + ��:TCPCPUQR5VW QRX Y (8)

La densidad y velocidad del fluido están dadas por la ecuación (9) y (10).

� = ∑ @AA (9)

� = oQpqrQp5qQs|o| (10)

Donde o es una velocidad auxiliar definida como

�o = ∑ CA@A + tu� ��'A (11)

Los dos parámetros Z- y Z� están dados por

Z- = �� �1 + � tu!

�" � Z� = � tu#v�√" (12)

Es necesario mencionar que de acuerdo con (Guo & Zhao, 2005) a partir de la ecuación 6 y a través del procedimiento de Chapman-Enskog se puede llegar a las ecuaciones macroscópicas que gobiernan el flujo (1a) y (1b). Para concluir con esta sección, se tiene la siguiente ecuación, la cual es necesaria para hallar el tiempo de relajación L.

�� = Z[�L − 0.5�E� (13)

4. LA ECUACIÓN DE LATICCE BOLTZMANN PARA EL CAMPO DE TEMPERATURA

En el modelo original del LBM para transferencia de calor por convección en un medio simple, la evolución del campo de temperatura era modelado por otra LBE la cual podía ser derivada directamente de la ecuación de Boltzmann para la función de distribución de densidad. Sin embargo para el caso en el que se tiene un medio poroso es necesario modificar esta ecuación para tener en cuenta su efecto. Entonces, en (Guo & Zhao, 2005) se propuso la siguiente ecuación.

�AB + CAE�, G + E�� − �AB, G� = − �H′ I�AB, G� − �A�J�B, G�K (14)

Donde �A es la función de distribución de la temperatura, L ′ es el tiempo de relajación para la LBE de temperatura, el cual está relacionado con la difusividad térmica del fluido, �A�J� está dado por la ecuación (15).

�A�J� = MA� �1 + CP∙�QR5 � (15)

8

Los pesos MA, las velocidades CA y el parámetro Z[ son los mismos que los descritos en la sección IV. La temperatura del fluido está dada por la siguiente ecuación.

�� = ∑ �AA (16)

Para determinar L ′ se utiliza la siguiente ecuación.

�� = �Z[�L ′ − 0.5�E� (17)

En (Guo & Zhao, 2005) se encuentra una corta demostración de cómo a partir la ecuación (14) por medio del procedimiento de Chapman-Enskog se obtiene la ecuación (1c). Por lo que con las ecuaciones (6) y (14) se obtienen las ecuaciones macroscópicas que gobiernan el flujo y transferencia de calor en un medio poroso.

5. CONDICIONES DE FRONTERA

Para aplicaciones prácticas las condiciones de frontera se dan normalmente en términos de variables macroscópicas como la densidad y la velocidad. En LBM estas condiciones de frontera se expresan a través de funciones de distribución, cómo determinar éstas funciones a partir de las variables macroscópicas es la clave para determinar la interacción entre las fronteras y el fluido. Si las condiciones no se calculan de manera correcta esto puede afectar gravemente la exactitud y la estabilidad del programa de simulación. En (Guo, Zheng, & Shi, 2002) se propuso un esquema de extrapolación para simular las condiciones de frontera el cual está basado generalmente en el artículo de (Chen, Martinez, & Mei, 1996). Primero asumimos que Bw es el nodo de Lattice en la frontera, y que B es el nodo más cercano a Bw en la dirección de CA, por lo que B = Bw + CAE�. Entonces para la condición de frontera de velocidad, donde ésta es conocida pero no la densidad � se tiene la siguiente ecuación.

@ABw� − @AU�J�Bw� = @ATB W − @A�J�Bw� (18)

Donde la función de distribución en equilibrio para la frontera está definida por la ecuación a continuación:

@AU�J�Bw� = MA�B � N1 + CP∙�Bx�QR5 + �Bx��Bx�:TCPCPUQR5VW

� QRX Y (19)

Para las condiciones de frontera de la temperatura se tienen dos casos, por lo que serán necesarias dos ecuaciones que definan las condiciones de frontera, una para la cual se conoce la temperatura en la frontera (isotérmica) y otra para cuando se conoce el gradiente de temperatura (transferencia de calor constante). En general para las condiciones de frontera de temperatura se tiene la siguiente ecuación:

�ABw� − �AU�J�Bw� = �ATB W − �A�J�B � (20)

9

Lo que varía entre las dos clases de frontera mencionadas anteriormente es la función de equilibrio en la frontera �AU�J�Bw�, para el caso isotérmico esta es igual a la ecuación (15). Para la frontera con transferencia de calor constante se tiene que.

�AU�J�Bw� = MAI�TB W − TB − BwW ∙ ∇�Bw�K N� + CP∙�Bx�QR5 Y (21)

6. CONVERSIÓN DE UNIDADES

Las simulaciones de Lattice Boltzmann deben representar problemas físicos en un sistema existente, por lo que durante la implementación de este surge la inevitable pregunta ¿Cómo escojo las unidades de los parámetros de la simulación? Dos restricciones determinan que unidades escogemos, primero la simulación debe ser equivalente al sistema real y segundo, los parámetros deben de ser finamente sintonizados para llegar a la precisión deseada. Para lograr lo anterior, los parámetros físicos deben ser discretizados. En este documento se sigue el enfoque propuesto por (Latt, 2014), el cual se desarrolla en dos fases.

Primero, el sistema físico se convierte en un sistema adimensional, el cual es independiente de las escalas físicas originales, pero también independiente de los parámetros de simulación. El segundo paso consiste en transformar el sistema adimensional en una simulación discretizada. La correspondencia entre estos tres sistemas es hecha a través de números con independencia de escala o adimensionales. Por ejemplo, la solución de la ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible depende solamente de un parámetro adimensional, el número de Reynolds. Por lo tanto los tres sistemas, físico, adimensional y simulación tienen el mismo número de Reynolds. La transición de un sistema físico a uno adimensional se hace a través de la elección de una longitud y tiempo característico, la transición de un sistema adimensional a una simulación se hace a través de la elección de un paso de espacio discreto y un paso de tiempo discreto.

ya_G7z3 (í_aZ^ 9� <7, |, �}~~~~~~~~~~~~~� ya_G7z3 3�az7b_a^b3� 2� <7, Ei, E�}~~~~~~~~~~~~~~~~� yaz��3Zaób |���

A continuación se presenta la definición de las variables que se utilizaran en la conversión de sistemas:

|: |^b�aG�� Z3:3ZG7:í_GaZ3 G-: �a7z�^ Z3:3ZG7:í_GaZ^ �: �7z�7:3G�:3 Z3:3ZG7:í_GaZ3 �-: �:3�7�3� Z3:3ZG7:í_GaZ3 9: 9:7_aób Z3:3ZG7:í_GaZ3 �-: 27b_a�3� Z3:3ZG7:í_GaZ3.

y��íb�aZ7_: �: �3:a3��7 @í_aZ3 �: �3:a3��7 3�az7b_a^b3� ��: �3:a3��7 |3GGaZ7 �^�G�z3bb. G- = � 4

=p>� �� = � ∙ �� + ��� �- = 4�p5>� 9 = �- 45

�5 (22)

���� = �

�p���� ∇�= �

4 ∇� �� = 4�p �� (23)

10

Al reemplazar (22) y (23) en las ecuaciones (1b) y (1c) y teniendo en cuenta a los números adimensionales de la ecuación (5), se obtienen las ecuaciones de conservación de momento y conservación de energía adimensionales.

������

+ ��∇�� �� = −∇����� + ���

�� ∇���� − ��� ���

�� ��� − �√�� ����( − ��� (1bd)

������

� + �� ∙ ∇��� = � ��� �� ∇� ∙ ∇���� (1cd)

Luego de realizar equivalencias entre 1b��, 1Z�� y 1b, 1c respectivamente se puede llegar a la siguiente conclusión.

��w = tut�5 ���

�� ��w = ��t�5 ��w = tu

t�5 � ��� �� ��w = tu5

t� ��xU�p∆��x

(24)

Donde ��w es la viscosidad cinemática, ��w la permeabilidad, ��w la difusividad térmica y ��w el término de flotación para Lattice Boltzmann. De esta manera se puede expresar el flujo a través de los números adimensionales y los parámetros básicos de la simulación.

7. EL ALGORITMO

El primer paso que se debe llevar a cabo en la simulación es determinar los parámetros básicos de la simulación, E� y Ei los cuales son 1/�úz7:^ aG7:3Za^b7_ y 1/búz7:^ b^�^_ respectivamente. Luego se determinan los números adimensionales que controlaran el flujo, a partir de estos números y los parámetros básicos se determinan �, �, � y � los cuáles serán necesarios para determinar los tiempos de relajación y el término de fuerza total. Lo siguiente es crear las variables de Lattice CA y MA con éstas será posible el cálculo de las funciones de distribución en equilibrio para velocidad y temperatura. A partir de aquí se inicializa el problema y se crean las condiciones iniciales necesarias para esto (velocidad, densidad y temperatura). De éstas variables iniciales se calculan las funciones de distribución iniciales, a partir de las ecuaciones (7) y (15), posteriormente inicia el ciclo principal de iteración del algoritmo. Este ciclo está dividido principalmente en cuatro partes, primero el cálculo de variables macroscópicas utilizando las ecuaciones (16), (9), (10), (11) y (12). Segundo está el paso de colisión, el cual está basado en las ecuaciones (6) y (14) y está dado por las siguientes ecuaciones.

@AqB, G� = @AB, G� − �H I@AB, G� − @A�J�B, G�K + E�(A (25)

�AqB, G� = �AB, G� − �H′ I�AB, G� − �A�J�B, G�K (26)

Tercero, está el paso de colisión para las condiciones de frontera, tomando las ecuaciones (18) y (20), se despeja @AB, G� y �AB, G� respectivamente y luego se reemplazan en (6) y (14), lo cual da la ecuación de colisión para las condiciones de frontera.

11

@AqBw, G� = @AU�J�B, G� + �1 − �H� I@ATB , GW − @A�J�TB , GWK + E�(A (27)

�Aq��, G� = �AU�J�B, G� + �1 − �H′� I�ATB , GW − �A�J�TB , GWK (28)

Donde Bw se refiere a un nodo de frontera y B al nodo de fluido más cercano a Bw en la

dirección de CA.

Gráfica 3. Representación gráfica del esquema de extrapolación para fronteras curvas.

Las fronteras que se aplican en este proyecto son rectas por lo que el uso del parámetro ∆ propuesto en (Guo, Zheng, & Shi, 2002) no es necesario.

Cuarto está el paso de propagación, en el cual las funciones calculadas en los dos pasos anteriores migran a su vecino más cercano en la dirección asignada por CA, éste paso se describe con las siguientes ecuaciones.

@AB + CDE� , G + E�� = @AqB, G� (29)

�AB + CAE�, G + E�� = �AqB, G� (30)

A continuación se presenta un diagrama conceptual del algoritmo diseñado para este proyecto:

12

Gráfica 4. Diagrama conceptual del algoritmo.

El parámetro �i se tomó de los estudios en (Guo & Zhao, 2005) como un parámetro de

prueba por lo que todas las matrices de parámetros físicos tenían una dimensión de (�i, �i)

a excepción de la velocidad que es una variable vectorial, por lo que fue necesario

13

almacenar la información en una matriz de (�i, �i, 2). Algo similar se realizó para las

funciones de distribución, al tener nueve funciones de distribución por cada nodo era

necesario que tuvieran la forma de (�i, �i, 9). Para poder evaluar las funciones de

distribución y las variables macroscópicas se utilizó un bucle para recorrer las matrices, en

el caso de la densidad y la temperatura sólo era necesario un recorrido doble, más adelante

para las matrices de tres dimensiones como las funciones de distribución fue aplicado un

recorrido triple, éstos recorridos son los que más tiempo computacional consumen.

Para imponer las condiciones iniciales se inicializaron las matrices de las variables

macroscópicas en cero, después se utilizó un bucle de recorrido para asignar el valor

correspondiente a cada coordenada de la matriz, es necesario tener en cuenta que en el

idioma de programación utilizado en este proyecto el cual es llamado Python, la asignación

de coordenadas es diferente a la convencional. En Python el primer valor en una

coordenada es de dirección, y en lugar del clásico (x, y) las coordenadas son en el formato

(y, x), también es curioso que al aumentar el valor de � la posición de la coordenada se

desplace hacia abajo en lugar de arriba como se asume comúnmente en un plano

coordenado, por lo que una matriz en Python tiene su origen en la esquina superior

izquierda.

En el paso de propagación y en de post-colisión para las condiciones de frontera, donde se

necesita tener una referencia para el nodo vecino más cercano en la dirección de CA se

utilizó un modificador de las coordenadas, sumando o restando el valor unitario de CA a la

coordenada del recorrido.

Para la visualización se utilizó el módulo Matplotlib incluido en Ipython, para visualizar las

líneas de corriente se empleó una función contenida por Matplotlib llamada Streamplot,

ésta función, gráfica las líneas de corriente tomando como entradas el número de datos en

x y �, las componentes en x y � de la variable a graficar y la densidad de líneas que se

desea estén en el gráfico. Para la temperatura se optó por un gráfico de líneas de contorno,

con esto es posible visualizar las líneas isotérmicas en el campo de temperatura. Para lo

anterior, se utilizó la función contour, la cual necesita como entradas el número de datos en

x y �, la cual es la variable a graficar, el color de las líneas, éstas deben representar su

14

magnitud en un mapa da color y determinar si el origen debe estar en la parte superior o

inferior del gráfico.

En el desarrollo del código se encontró un problema, una función retornaba el valor de

0.5 − 0.5 ≠ 0, en cambio retornaba una potencia de 10-17, lo cual generaba errores muy

importantes de magnitud. Luego de una investigación sobre el tema, se determinó que el

problema era un error de punto flotante, este se da cuando un número por lo general que es

fraccionario no puede ser expresado de manera exacta por un sistema numérico binario, por

lo tanto la computadora realiza una aproximación y un error es generado y propagado. Éste

error se reflejaba principalmente en las variables macroscópicas, por lo que para

solucionarlo fue necesario el recorte de estas variables macroscópicas.

8. RESULTADOS

El problema planteado para solucionar en esta simulación es la de una cavidad rectangular llena con medio poroso, una pared caliente a la izquierda, una pared fría a la derecha y dos paredes adiabáticas arriba y abajo, en la gráfica 5 se muestra un esquema del mismo.

15

Gráfica 5. Esquema del problema a solucionar en este proyecto. (Nield & Bejan, 2006)

En (Guo & Zhao, 2005) se resuelve este mismo problema, por lo que se tomaron los parámetros de entrada y resultados de estos estudios como marco de referencia para este proyecto. Se fijaron los siguientes parámetros, se utilizó una malla de 64x64 con Ra = 105, Pr = 1, Da = 10-2 y � = 0.4. Los tiempos de relajación se tomaron como L = 0.833 y L¡ =0.833. A partir de estos parámetros se puede determinar el E� mediante las ecuaciones 13 o 17. Los parámetros Je y � se asumen siempre como la unidad.

En las gráficas 6 y 7 (izquierda) se pueden ver las líneas de corriente e isotérmicas de la cavidad resultado de este proyecto y las gráficas producidas por los estudios de Guo (derecha).

16

Gráfica 6. Líneas de corriente para una cavidad cuadrada creada como resultado del proyecto (izquierda). Líneas de corriente resultado de (Guo & Zhao, 2005) (derecha).

Gráfica 7. Líneas isotérmicas para una cavidad cuadrada, creada como resultado del proyecto (izquierda). Líneas isotérmicas resultado de (Guo & Zhao, 2005) (derecha).

Aunque similares, la gráfica 6 muestra una clara discrepancia entre los resultados de este proyecto y los presentados por Guo. En la gráfica 7 se ve la razón de éste, pues las líneas isotérmicas de ambas gráficas son muy diferentes. Lo anterior se debe a que el mecanismo de convección no se activa. En la gráfica 7 (izquierda) se aprecia las líneas isotérmicas de un problema de transferencia de calor por conducción, lo cual afecta en cierto grado a la gráfica de líneas de corriente. Lo que diferencia a las gráficas de línea de corriente entre sí es la inclinación del vértice de recirculación interno, el cual según los resultados obtenidos en (Guo & Zhao, 2005) varía con el número de Rayleigh, el cual al aumentar, desarrolla una mayor inclinación. El número de Rayleigh se asocia a la razón entre la transferencia de calor por conducción y convección, entre más grande sea el número, mayor es la

17

transferencia por convección. El problema de éste programa es que no logra desarrollar la convección, por tal motivo se diferencian los resultados. Los factores capaces de afectar la convección en este programa son la velocidad, la difusividad térmica y la temperatura. Se decidió entonces incrementar estos valores a magnitudes extremas para observar cómo lo anterior afecta a los resultados del programa. Se inició con la temperatura, debido al bajo orden de la velocidad (10-8) fue necesario aumentar la temperatura a un orden de magnitud similar. Se encontró que si la temperatura sobrepasaba un límite, las condiciones de frontera dejan de imponerse de manera efectiva, si se continúa la estabilidad del algoritmo se degenera. Las siguientes son las gráficas con una temperatura caliente de 106.

Gráfica 8. Líneas de corriente para problema de temperatura de 106.

18

Gráfica 9. Campo de temperatura para problema de temperatura de 106.

Se puede ver que la gráfica 9 ya no corresponde al campo de temperatura de un problema de conducción sino al de un problema de convección. A pesar de esto no es la gráfica de temperatura que se esperaba obtener. Ahora pasamos al caso de la velocidad, se aumenta la magnitud de la velocidad a valores extremos para observar si esto tiene algún efecto sobre los resultados; al interferir en los valores de velocidad de manera brusca se obtuvo una inestabilidad en el programa y éste no pudo simular el flujo. Lo cual puede significar que la magnitud de la velocidad está bien para simular.

En el caso de la difusividad térmica del fluido es necesario modificar los parámetros de los cuales esta dependa, como E� ,Ei, Ra, Pr. Alterar los tres primeros parámetros mencionados anteriormente tiene como consecuencia el cambio en la viscosidad cinemática además de la difusividad, por lo tanto el que debe ser modificado es Pr, la razón entre la difusividad y la viscosidad. En las gráficas 10 y 11 se muestran los resultados.

19

Gráfica 10. Líneas de corriente para � = 10�.

Gráfica 11. Líneas isotérmicas para � = 10�.

El efecto más notorio de la modificación del anterior parámetro es la velocidad con la que se desarrolla el flujo. En este caso se nota que las líneas isotérmicas están mucho más cerca en el centro que en la gráfica 7. En la gráfica 10 se nota como el vórtice interno de

20

recirculación es cada vez más circular y como la convección sigue sin activarse de manera esperada. Además si � se aumenta aún más se genera un efecto armónico en la fase transitoria del flujo dentro del campo de temperatura.

Gráfica 12. Líneas isotérmicas para � = 1000�.

Éstas curvas se desplazan del centro hacia afuera en lo que parece un movimiento armónico, para finalmente llegar al equilibrio.

Así como � tiene un efecto sobre la rapidez del desarrollo del flujo ν debe tener un efecto similar, entonces se prosigue a determinar cuál es este efecto. Después de realizar las simulaciones se determinó que el efecto de ν se observa primordialmente en las líneas de corriente mas no tiene un efecto visible en el campo de temperatura, este último se comporta como el de la gráfica 7.Se modificaron las variables que más están relacionadas con la convección, en un esfuerzo para descubrir si el error estaba en la selección de estos parámetros pero a pesar de ello no se obtuvieron los resultados deseados, el error está en otra sección del programa.

21

9. CONCLUSIONES

El método de Lattice Boltzmann posee varias ventajas significativas sobre otros métodos, como la implementación de computación en paralelo (Gráfica 2), el uso de software complejo y la no necesidad de realizar un proceso de post-procesamiento a la malla para obtener los resultados. Todas estas ventajas aceleran la velocidad de procesamiento y por lo tanto hace de este método uno muy práctico, dando razón del por qué es uno de los temas en el campo de CFD en el que más artículos se publican al año, dando fe del potencial de este tipo de esquemas.

A pesar de las ventajas computacionales que el LBM posee este es un tema relativamente nuevo y por tal razón aún existen grandes avances con respecto a la exactitud y estabilidad del algoritmo, las cuales pueden ser afectadas directamente por la elección de unidades para los parámetros de entrada y el tipo de condiciones de frontera que se van a aplicar a este algoritmo, ambas deben ser cuidadosamente elegidas para que el programa entregue los resultados deseados. Debido a la gran variedad de artículos existentes acerca de los tipos de condiciones de frontera, tomar una decisión al respecto puede ser algo complejo, pero en tal caso se decidió utilizar el esquema de extrapolación propuesto en (Guo, Zheng, & Shi, 2002) porque se asegura una exactitud de segundo orden en la interacción entre la frontera y el fluido. En cuanto a la selección de los parámetros de entrada, se siguió el procedimiento de conversión de unidades, de un sistema físico a uno computacional, a través de la adimensionalización de la ecuación 1.

Modificar los valores de los parámetros de entrada, en un intento de caracterizar el desarrollo del flujo no arrojo resultados positivos, a pesar de que los parámetros más importantes se tomaron de (Guo & Zhao, 2005). Los parámetros que se intentaron modificar fueron los obtenidos a través de la conversión de unidades, lo cual sugiere que puede existir un error en este procedimiento o en el ciclo de tiempo principal del programa. Los parámetros que se modificaron fueron la temperatura y la difusividad térmica, por su relación con el mecanismo de convección. Con el aumento de la temperatura o la difusividad térmica crece la transferencia de calor por convección, y en las gráficas 9 y 12 se observa que las líneas isotérmicas ya no corresponden a un sistema de transferencia de calor por conducción únicamente sino un sistema mixto.

Las condiciones de frontera son una sección muy importante del programa de simulación. Puede que suene algo trivial puesto que las condiciones de frontera en problemas de transferencia de calor clásicos son impuestas de manera sencilla. Sin dichas condiciones de frontera el programa no tendría un marco de referencia, los resultados no tendrían sentido

22

físico y no podrían ser analizados. El hecho de que las condiciones de frontera se cumplan de manera satisfactoria es en sí un avance en este tipo de problemas.

Bibliografía

� Chen, S., Martinez, D., & Mei, R. (1996). On boundary conditions in lattice Boltzmann methods. Physics of fluids, 2527-2536.

� Guo, Z., & Shao, T. S. (2002). Lattice Boltzmann model for incompresible fluid flow through porous media. Physical Review E, Vol 66.

� Guo, Z., & Zhao, T. S. (2005). A LATTICE BOLTZMANN MODEL FOR CONVECTION HEAT TRANSFER IN POROUS MEDIA. Numerical Heat Transfer, 157-177.

� Guo, Z., Zheng, C., & Shi, B. (2002). An extrapolation method for boundary conditions in lattice Boltzmann method. Physiscs of fluids, 2007-2010.

� Latt, J. (28 de Mayo de 2014). Obtenido de Youtube.com: https://www.youtube.com/watch?v=I82uCa7SHSQ

� Latt, J. (25 de Febrero de 2014). lbmethod.org. Obtenido de lbmethod.org: http://wiki.palabos.org/_media/howtos:lbunits.pdf

� Nield, D. A., & Bejan, A. (2006). Convection in porous media. New York: Springer.

� Sukop, M. C., & Thorne,Jr, D. T. (2007). Lattice Boltzmann Modeling. Berlin: Springer.