Test d’homogénéité de 2 proportions observées (dans 2 ... · p 1 obs Test d’homogénéité de 2 proportions observées (dans 2 échantillons indépendants) Test d’homogénéité

p1obs

Test d’homogénéité de 2 proportions observées

(dans 2 échantillons indépendants)

Test d’homogénéité

Echantillon 1

taille : n1

Les deux proportions observées sont-elles homogènes?

Les différences observées entre p1obs et p2obs

sont-elles significatives ou bien peuvent-elles s’expliquer

par le hasard des fluctuations d’échantillonnage ?

Pn1 (variable d’échantillonnage)

p2obs

Echantillon 2

taille : n2


de 2 proportions d’échantillons

p1obs




Echantillon 1

taille : n1





P 1 ?

Population d’origine

de l’échantillon 1


P 1= P(VQ1=« A »)

p2obs

Echantillon 2

taille : n2

P 2 ?




Ho : P 1 = P 2


(VQ2 = valeur#1)

P 2= P(VQ1=« A »)

(VQ2 = valeur#2)

p1obs




Echantillon 1

taille : n1





P 1 ?




P 1= P(VQ1=« A »)

p2obs

Echantillon 2

taille : n2

P 2 ?




Ho : P 1 = P 2


Test basé sur la loi normale

Ho : P 1 = P 2 P 1 - P 2 = 0

H1 : P 1 ≠ P 2 P 1 - P 2 ≠ 0 ; test bilatéral

H1 : P 1 > P 2 P 1 - P 2 > 0 ; test unilatéral

H1 : P 1 < P 2 P 1 - P 2 < 0 ; test unilatéral

(Peut être également traité par un khi-2)

(VQ2 = valeur#1)

P 2= P(VQ1=« A »)

(VQ2 = valeur#2)

En fait, on teste ici l’existence d’une éventuelle liaison

entre 2 variables qualitatives (VQ1 et VQ2)

chacune à 2 modalités

p1obs




Echantillon 1

taille : n1





P 1 ?




P 1= P(VQ1=« A »)

p2obs

Echantillon 2

taille : n2

P 2 ?




Ho : P 1 = P 2

de 2 proportions d’échantillons La variance de la différence (Pn1 - Pn2)

va être l’élément déterminant pour la

statistique de test. Test basé sur la loi normale

Ho : P 1 = P 2 P 1 - P 2 = 0

H1 : P 1 ≠ P 2 P 1 - P 2 ≠ 0 ; test bilatéral

H1 : P 1 > P 2 P 1 - P 2 > 0 ; test unilatéral

H1 : P 1 < P 2 P 1 - P 2 < 0 ; test unilatéral

(Peut être également traité par un khi-2)

(VQ2 = valeur#1)

P 2= P(VQ1=« A »)

(VQ2 = valeur#2)

En fait, on teste ici l’existence d’une éventuelle liaison

entre 2 variables qualitatives (VQ1 et VQ2)

chacune à 2 modalités

P1obs

0,45


(les espoirs mis dans un nouveau mode de fabrication)

Echantillon 1

taille : n1 = 52





P 1 ?



P2obs

0,38

Echantillon 2

taille : n2 = 67

P 2 ?



Ho : P 1 = P 2


(VQ2 = fabrication #1 )

On teste ici l’existence d’une

éventuelle liaison entre 2 variables

qualitatives : la nécessité d’une

révision au bout de 6 mois et le

mode de fabrication. Test d’homogénéité

L’état des micropipettes au bout de

6 mois d’utilisation dépend t-il de

leur mode de fabrication?

VQ1 (indépendante) : Nécessité d’une révision au bout de 6 mois d’utilisation

(oui/non)

VQ2 (dépendante) : Mode de fabrication

(fabrication #1 / fabrication #2)

(VQ2 = fabrication #2 )

P 2= proportion de µpipettes

nécessitant une révision

P 1= proportion de µpipettes

nécessitant une révision

prop.test(c(23,26),c(52,67))

Sous R ce test se réalise (plus précisément d’ailleurs) de la façon suivante :

> prop.test(c(23,26),c(52,67))

p-value (valeur-p) : probabilité d’observer sous Ho

un résultat égal ou plus extrême que celui réellement observé

pval = PHo (X ≥ xobs) test unilatéral (DR à droite)

pval = PHo (X ≤ xobs) test unilatéral (DR à gauche)

pval = PHo(X ≥ xobs) + PHo(X ≤ xobs_2) test bilatéral

pval = PHo(X ≤ xobs) + PHo(X ≥ xobs_2) test bilatéral

Utilisée en statistique inférentielle pour conclure sur le résultat d’un test d’hypothèse

Pearson : en la comparant à a, risque seuil (définissant la puissance du test = 1-b)

Ronald Fisher : l’hypothèse nulle ne peut jamais être acceptée; elle peut être seulement

rejetée par le test d’hypothèse, la p-value mesurant à quel point les

données plaident contre l’hypothèse nulle Ho.

pval ≤ 1% très forte présomption contre l’hypothèse nulle

1% < pval ≤ 5% forte présomption contre l’hypothèse nulle

5% < pval ≤ 10% faible présomption contre l’hypothèse nulle

pval > 10% pas de présomption contre l’hypothèse nulle

Chi-deux de conformité d’une distribution observée à une distribution théorique

Chi-deux d’ajustement d’une distribution observée à une loi de probabilité

Savoir interpréter les résultats affichés par le logiciel

Pouvoir représenter graphiquement la situation

Pouvoir conclure par rapport à l’hypothèse testée

Ne pas oublier de faire preuve de bon sens

Le test du chi-deux est le résultat d’une (bonne) approximation

Le résultat du test nous permet de conclure à un dé très vraisemblablement truqué

(pval=1%, probabilité très faible d’obtenir un tel tirage (sous Ho) par le hasard)

La suite de l’aventure : Chi-deux d’indépendance et Chi-deux d’homogénéité

On partira de deux exemples que l’on traitera complètement (l’un en écologie, l’autre en sociologie)

Là encore il faut pouvoir conclure par rapport à l’hypothèse testée


On va calculer une distance à l’indépendance donc bien poser l’hypothèse nulle

On utilise la même loi du chi-deux

On est déjà (sans s’en rendre compte) dans la statistique bivariée

L’intérêt se porte sur la relation entre les deux variables, la recherche de corrélation

(ce qui n'implique pas un lien de causalité).

Savoir interpréter les résultats affichés par le logiciel

Pouvoir représenter graphiquement la situation

Pouvoir conclure par rapport à l’hypothèse testée


Le test du chi-deux est le résultat d’une (bonne) approximation

La suite de l’aventure : notre premier Chi-deux d’indépendance et Chi-deux d’homogénéité

;AF;NF

OUI;23;26

NON;29;41

rm(list=ls(all=TRUE))

tab=read.csv2("pipettes.txt" , sep=";" ,

header=TRUE,na.strings="NA",row.names=1)

chisq.test(tab)

# à comparer avec?

prop.test(c(23,26),c(52,67))

#Votre commentaire….

(pipettes.txt)

Traitement : script R

(Chi2_ind1.txt)

La suite de l’aventure : notre premier Chi-deux d’indépendance et Chi-deux d’homogénéité

;AF;NF

OUI;23;26

NON;29;41

(pipettes.txt)

Traitement R

Les trois tests réalisés (dont un « à la main »), conduisent à la même conclusion : les données des

deux échantillons ne permettent pas, raisonnablement, de rejeter Ho. Pas de relation mise en évidence

entre la nécessité d’une révision au bout de 6 mois d’utilisation et le mode de fabrication.

3 espèces répertoriées dans 4 milieux (R1, R2, R3, R4) différents

VD : Espèce de la plante/fleurs, variable dépendante

VI : Milieux (écologique), variable indépendante

Le développement de l’espèce (SP1,SP2,SP3) dépend-elle du milieu d’observation ?

rm(list=ls(all=TRUE)) tab=read.csv2("dataset1.txt" , sep=";" , header=TRUE, na.strings="NA",row.names=1) tab chisq.test(tab) n=sum(tab) n denom=n*(min(dim(tab)[1],dim(tab)[2])-1) denom vcram=sqrt(chisq.test(tab)$statistic/denom) vcram

;R1;R2;R3;R4

Sp1;69;172;133;27

Sp2;41;84;118;11

Sp3;18;127;157;43

(dataset1.txt)

écarts à l'indépendance hautement significatifs

(révélés par le test du Chi-deux : pval < 10-9).

Indication de l'intensité de la liaison grâce au

calcul du coefficient V de Cramer : liaison de

faible intensité.

une liaison faible hautement significative

bien dissocier la significativité de l’intensité d’une relation entre 2 variables

Propriétés du V de Cramer :

- sa valeur est toujours comprise entre 0 et 1 ;

- plus le V est élevé, plus la dépendance entre les deux variables est forte ;

- plus le V est faible, plus les variables se rapprochent de l’indépendance ;

- V=0 se rencontre dans le cas où les deux variables sont parfaitement indépendantes,

et V=1, dans le cas où les variables sont totalement dépendantes ;

- le V ne dépend ni des effectifs ni des dimensions du tableau, il peut être comparé d’un tableau à l’autre.

Le V de Cramer

>>> mesure du degré de dépendance entre les lignes et les colonnes d’un tableau

Calcul avec le logiciel R (package rgrs)

> cramer.v(table)

Et derrière le Chi-deux d’indépendance ?

Si le test du chi-deux permet d’évaluer la significativité de l’écart à l’indépendance,

il nous faut pour être complet étudier l’intensité de la relation mise en évidence

On s’appuyera sur les deux exemples traités (l’un en écologie, l’autre en sociologie)


On est au delà du chi-deux : Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

On est déjà (sans s’en rendre compte) dans une statistique de pros!!!

On va utiliser une bibliothèque (pakage) de R : factominer

Méthode basée sur une interprétation graphique

Mais d’abord commençons par le V de Cramer

Vous n’allez plus voir les Stats de la même façon…

Documents

Test d’homogénéité de 2 proportions observées (dans 2 ... · p 1 obs Test d’homogénéité de 2 proportions observées (dans 2 échantillons indépendants) Test d’homogénéité