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TEST SEQUENTIELProbabilité de confiance après
acceptation
- Ludovic d’Estampes ([email protected])- Bernard Garel ([email protected])- Guillaume Saint Pierre ([email protected])
• Laboratoire de Statistique et Probabilités (U.P.S. Toulouse III)• LEN7, ENSEEIHT, 2 rue Camichel, B.P. 71 22, 31071, Toulouse cedex 7. FRANCE
Problème
La société STNA participe à la certification des équipements utilisés pour la navigation aérienne.
Dans ce cadre la division 3R s'intéresse aux équipements ILS. Ces équipements, situés au sol, sont utilisés lors de l'atterrissage. Leur objectif de fiabilité est fonction de la catégorie de
l’équipement.Cet objectif est caractérisé par une valeur de MTBO, appelée MTBO objectif.
Cette valeur est déduite de l'étude par arbre de défaillance du système complet. La démonstration de l'atteinte de cet objectif
est réalisée à l'aide de tests séquentiels tronqués
« Instrument Landing System (I.L.S.) »
Localiser
Glidepath
: rail de guidage obtenu par intersection du plan vertical et de la surface courbe.
Piste d’atterissage
Test séquentiel tronqué (1) :survol des techniques existantes
Ces tests sont très utilisés par les industrielspour des problèmes de qualification (essais thérapeutiques).Ils permettent notamment une importante économie de mesures et de temps.
Les interruptions de fonctionnement sont appelés « OUTAGES »Le temps moyen de fonctionnement entre deux outages est appelé « MTBO » ()
Cadre : Test paramétrique entre deux hypothèses simples
H0 : = 0 contre H1 : = 1 (1<0 )
A chaque nouvelle observation (ou outage) on décide :
On continue de tester (pas de décision)
H0 (appareil accepté)
H1 (appareil refusé)
t’0
r0
temps
Nombre d’outages
on continue de testeron accepte H0
on refuse H0
on refuse H0
on accepte H0
t’0
r0
temps
Nombre d’outages
on continue de testeron accepte H0
on refuse H0
on refuse H0
on accepte H0
1 an
on accepte H0
Test séquentiel tronqué (2)
= risque de refuser un équipement opérationnel (risque de 1ere espèce ou risque du vendeur)= risque d’accepter un équipement défectueux (risque de 2ème espèce ou risque de l’acheteur)
La règle de décision précédente peut s’écrire :
où r représente le nombre d’outages.Les constantes a,b et c dépendent de et
Test séquentiel tronqué Test séquentiel tronqué avec temps minimum de un an
a+bt<r<c+bta+bt<rc+bt<r
: On continue de tester: H0 (appareil accepté): H1 (appareil refusé)
0 7 .3 0 3 8
0
1
2
3
4
5
6
7
1.15
2.19
2.54
3.01
3.92
4.39
5.31
5.78
6.3
temps standardisés
1
2
3
4
5
6
7
nom
bre
d'o
uta
ges
0
=0.1 =0.4 d =2
Cas d’un localiser expérimental
Temps standardisés = [0.0437 0.4200 1.5420 2.1375 2.1415 2.4328 2.4937 4.8038 4.8045 6.3360 7.5130 8.3000 9.1617 9.1630 10.0515 10.1485 12.0430 13.3112 13.3650 14.0205 14.7210];
Les données réelles suivantes permettent de suivre l’évolution d’un appareil en fonctionnement.
Le refus de l’équipement intervient lors du 4ème outage.
Détermination des temps de fin de tests
Représente la probabilité, lorsque est la vraie valeur du paramètre, que i outages surviennent en un temps t, sans que le test ne soit terminé.
Les intersections des lignes d’outages avec les frontières d’acceptation et de rejet permettent d’obtenir la suite des temps standardisés d’acceptation et de rejet.
On détermine alors des zones (ici A, B jusqu'à E) où le nombre d'outages déterminant le rejet est constant. On les appelle zone d'homogénéité.Pour chaque temps standardisé d'acceptation ou de rejet, on calcule les probabilités d'acceptation et de continuation
Approche classique :Bornes de confiance (Intervalles de
confiances)
Soit Y de densité (Y estimateur de par exemple) une observation de Y et le seuil de confiance fixéy
h dépend de !!!
Soit L la variable aléatoire tq :
On a :
= Borne de confiance inférieure à (1- )100%
(1)
Résoudre (1) en permet d’obtenir L
Y
θh
0h
0 L
y
(estimation)
(paramètre)
0
Y
θh
0h
0 L
y
(estimation)
(paramètre)
0
Nouvelle approche : Probabilités de confiance
On peut maintenant se poser la question suivante :Etant donné y une observation et θ0 une valeur fixée du paramètre,est-il possible de calculer une «probabilité» que le vrai paramètre dépasse θ0?
La réponse est oui et le calcul s'effectue à partir de l'équation (1).Il suffit de fixer la valeur de θ et de résoudre l'équation en .La probabilité ainsi trouvée est ce qu'on appelle une probabilité de confiance et nous résumons ceci par la définition suivante:
DEFINITION : Soit θ0 une valeur fixée a priori et (θ0) la solution de (1) en . On appelle probabilité de confiance que θ soit supérieur à θ0 après observation de y la valeur 1- (θ0) ainsi trouvée.
Retour au test séquentiel avec loi exponentielle
TA : VA discrète représentant le temps d’acceptationN(TA) : Nombre d’outages survenus pendant TA
On estime par
L’équation (1) s’écrit :
On montre que :
L’équation (1) s’écrit alors :
(2)
L'équation (2) nous permet d'obtenir les coefficients c(i,tk) en fonction de P((i,tk);θ) que l'on sait calculer lorsque θ est fixé. On est alors en mesure d'écrire l'équation (1) sous la forme suivante :
(3)
Ce qui intéresse les ingénieurs, une fois l'équipement accepté, est de savoir avec quelle probabilité ils peuvent considérer que le temps moyen entre deux outages dépasse une valeur seuil qu'ils considèrent comme minimale pour la sécurité du fonctionnement des ILS.
Notion de probabilité de confiance
0 7 .3 0 3 8
0
1
2
3
4
5
6
7
1.15
2.19
2.54
3.01
3.92
4.39
5.31
5.78
6.3
temps standardisés
1
2
3
4
5
6
7
nom
bre
d'ou
tage
s
0
=0.1 =0.4 d =2
88.81
77.99
72.82
69.73
65.12
57.26
Probabilités de confiance : une application
On résout l’équation (3) en , avec L i la valeur minimale fixée par les ingénieurs(Un programme Matlab a été réalisé pour ce faire)
Probabilités de confiance
Conclusion
Si l’acceptation a lieu avec un seul outage, la probabilité que le vrai MTBO soit effectivement supérieur à la valeur donnée pour le test est de 78%.
Probabilité très élevée alors que le risque (d’accepter un équipement défectueux) est ici fixé a 40%.
