Tests relatifs aux fréquences et au khi deux

Notions essentielles

de statistique Livret 2/4

La méthode statistique

Tests relatifs aux fréquences

et au khi-deux ( ) Youcef Elmeddah

Table des matières

AVERTISSEMENT ..................................................................................................... 1

PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET… ............................................................... 1

COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ? ...................................................................... 1

CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL ........................................................................................................... 2

Séquence de travail n° 1 3

INTERPRÉTATION STATISTIQUE ............................................................................ 3

I. ESTIMATION DES PARAMÈTRES D'UNE POPULATION ..................................................................... 4

1. Distributions d'échantillonnage ....................................................................................... 4

2. Estimation ponctuelle d'un paramètre ............................................................................. 5

3. Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance.................................................... 6

4. Cas d'un caractère qualitatif : estimation et intervalle de confiance d'une

fréquence (ou d'une proportion) .......................................................................................... 7

5. Cas d'un caractère quantitatif ......................................................................................... 9

1. Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance .............................................. 9

2. Estimation de la moyenne par intervalle de confiance .............................................. 10

II. PRINCIPE GÉNÉRAL DES TESTS STATISTIQUES .............................................................................. 15

1. Comment formuler un problème en statistique ? .......................................................... 15

2. Comment résoudre un problème en statistique ? .......................................................... 15

1. La méthode statistique ............................................................................................... 15

2. Application................................................................................................................ 16

3. Hypothèses nulle et alternative ...................................................................................... 16

4. Risques d'erreurs ........................................................................................................... 18

5. Antagonisme entre les deux risques d'erreurs et puissance d'un test ............................. 19

6. Les tests d'hypothèse .................................................................................................... 20

1. Tests de conformité .................................................................................................... 20

2. Tests d'homogénéité ou d'égalité ou tests de comparaison ....................................... 20

3. Tests d'ajustement ...................................................................................................... 20

4. Tests d'indépendance ................................................................................................. 20

7. Test bilatéral - Test unilatéral ....................................................................................... 21


TESTS RELATIFS AUX FRÉQUENCES ................................................................. 23

I. COMPARAISON D'UNE FRÉQUENCE OBSERVÉE P0 À UNE FRÉQUENCE

THÉORIQUE P OU TEST DE CONFORMITÉ D'UNE FRÉQUENCE ............................................ 24

1. Position du problème et réalisation du test .................................................................... 24

II

2. Exemples ....................................................................................................................... 25

II. COMPARAISON DE DEUX FRÉQUENCES OBSERVÉES SUR DEUX POPULATIONS

OU TEST D'HOMOGÉNÉITÉ DE DEUX FRÉQUENCES .................................................................. 28

1. Position du problème ..................................................................................................... 28

2. Exemples ....................................................................................................................... 29


TEST DU KHI-DEUX OU C2 .................................................................................. 31

I. POSITION DU PROBLÈME : CAS GÉNÉRAL ......................................................................................... 32

1. Procédure de calcul ....................................................................................................... 32

2. Intérêts du test du c2 ...................................................................................................... 33

II. COMPARAISON D'UNE RÉPARTITION OBSERVÉE À UNE RÉPARTITION

THÉORIQUE : TESTS DE CONFORMITÉ ET TESTS D'AJUSTEMENT ....................................... 34

1. Mise en place du test ..................................................................................................... 34

2. Tests de conformité ....................................................................................................... 35

3. Tests d'ajustement ......................................................................................................... 35

1. Exemple d'ajustement à une loi normale ................................................................... 35

2. Exemple d'ajustement à une loi de Poisson ............................................................... 37

III. COMPARAISON DE RÉPARTITIONS OBSERVÉES ENTRE ELLES : TEST

D'HOMOGÉNÉITÉ ................................................................................................................................... 39

1. Position du problème et présentation des données ........................................................ 39

2. Calcul des valeurs théoriques ........................................................................................ 39

3. Exemple ......................................................................................................................... 40

IV. CAS PARTICULIER : COMPARAISON DE DEUX FRÉQUENCES .................................................. 41

TABLE I .................................................................................................................... 43

TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE ............................................................................. 43

TABLE II ................................................................................................................... 44

TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU TABLE DE L'ÉCART

RÉDUIT ...................................................................................................................................................... 44

TABLE III .................................................................................................................. 45

TABLE DE STUDENT ....................................................................................................................................... 45

TABLE IV ................................................................................................................. 46

TABLE DU C2 .................................................................................................................................................. 46

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 47

_______________________________________________________________________________ 1 ______________________________________________________________________________

Averstissement

AVERTISSEMENT

Ce document se propose de vous fournir l'essentiel des connaissances qui vous permettront de

mieux comprendre les concepts et de connaître les outils de la statistique. C'est un ouvrage

d'initiation dont l'objectif principal est l'acquisition des techniques de base de la statistique

ainsi que l'interprétation des résultats qui en découlent. Pour cela, les fondements

mathématiques des théories exposées ne sont pas développés. Nous avons pensé que ce

document est destiné surtout à des utilisateurs de l'outil statistique et non à des théoriciens.

Afin de répondre aux difficultés que rencontrent les étudiants pour transposer les

connaissances théoriques à l'application pratique, le document réunit l'essentiel des

connaissances avec de nombreux exemples d'application illustrant les parties théoriques.

Les connaissances importantes , qu'il faut absolument garder à l'esprit, sont

signalées en grisé dans le texte.

Les connaissances s’enchaînent dans un ordre logique. Chaque nouvelle notion introduite

suppose que d’autres notions sont connues.

En commençant par découvrir ces nouvelles notions, notamment à l’aide des exemples

proposés, vous pouvez rencontrer des difficultés dues à une mauvaise assimilation de notions

précédentes.

Il faut donc systématiquement revenir en arrière et reprendre le cours mal assimilé. Ces allers

et retours dans le cours sont presque inévitables. Ne soyez donc pas découragés pour autant.

Vous verrez alors que, petit à petit, les nouvelles notions s’éclaircissent et se mémorisent de

mieux en mieux.

PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET…

Dans ce livret, nous exposons d'abord les méthodes statistiques à travers l'estimation des

paramètres d'une population qui ne sont jamais connus en pratique, puis le principe général

des tests statistiques. Nous appliquerons alors ces méthodes aux problèmes relatifs à la

comparaison des fréquences puis au test du 2.

Pour une meilleure assimilation des connaissances exposées, l'étude de ce livret suppose une

bonne connaissance :

• des paramètres de position notamment de la moyenne arithmétique et de ses propriétés ;

• des paramètres de dispersion notamment de la variance et de l'écart type (formules,

propriétés…)

• des probabilités

• des lois de probabilités en particulier, la loi binomiale et la loi normale

Si vous avez des difficultés à remobiliser ces notions supposées acquises, reportez-vous au

premier livret 16 R6.

COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ?

La rédaction d’un exercice d’un test d’évaluation, d’un devoir ou à une épreuve d'examen,

doit être réalisée avec le plus grand soin.

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Averstissement

• Faites d’abord une première lecture rapide de l’énoncé de manière à situer le problème posé

en relation avec votre programme.

- Quelles sont les données (nature de la variable, loi de probabilité, taille de

l’échantillon, paramètres donnés…) ?

- Que vous demande-t-on ?

- Les questions sont-elles liées ?

- Quelle table statistique utiliser ?

• Commencez alors par résoudre l’exercice sur du brouillon, question par question.

• A l'examen, on vous jugera à la démarche adoptée pour résoudre les exercices mais aussi à

la rédaction et à la présentation du travail fourni, que beaucoup d'étudiants négligent en se

contentant par exemple,

- d' « appliquer » des formules sans expliquer les conditions d'applications,

- d'aboutir par le calcul à des décisions « statistiques » mais sans une interprétation rigoureuse

de leurs conclusions.

Si vous rédigez, c’est pour être lu. Soignez vos copies. N’imposez pas à votre correcteur de

vous « déchiffrer ». Il peut se lasser…

Vous risquez alors de perdre des points inutilement.

- Faites attention aux calculs numériques et aux unités. Les ordres de grandeurs doivent être

respectés.

- Chaque résultat final d’une question doit être souligné proprement et suivi d’une petite

conclusion.

CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL

Ce livret se présente sous forme de séquences de travail visant des objectifs pédagogiques

formulés dès le départ. Les évaluations qui vous sont proposées à la fin des séquences visent à

vérifier l'atteinte des objectifs visés par la séquence de travail proposée.

Pour cela, nous vous conseillons : • de travailler aussi régulièrement que possible ;

• d'éloigner de votre vue tout ce qui peut vous distraire : magazines, journaux, radio, télé…

• d'avoir toujours sous la main une calculatrice, du brouillon, un crayon de papier et une

gomme ;

• de vérifier, chaque fois que vous avez un doute, les calculs développés ; • de traiter la totalité des exercices d'application proposés avant de passer à la séquence

suivante ;

• d'établir une fiche de synthèse à la fin de chaque séquence de travail ; elle vous sera très utile

pour la séquence suivante ;

• si vous avez la chance d'avoir un micro et de maîtriser EXCEL, n'hésitez pas à rentrer les

données des exercices proposés et de faire exécuter les calculs par le logiciel ; cela vous

permettra de faire des simulations en changeant les données pour « voir ce qui se passe ».

Tous les enseignants et pédagogues connaissent très bien la difficulté de rédiger un cours

de statistique. Tous savent combien il est délicat de traiter un problème de statistique en

faisant l'impasse sur des concepts qui le sous-tendent. Ceux qui se référeront au présent

document voudront bien l'utiliser avec indulgence et en nous communiquant,

éventuellement, leurs remarques et suggestions. Nous les remercions par avance.

_______________________________________________________________________________ 3 ______________________________________________________________________________

4. Interprétation statistique

Séquence de travail n° 1

8 h

INTERPRÉTATION STATISTIQUE

• Échantillonnage

• Méthode statistique 4

Objectifs pédagogiques :

A la fin de cette séquence, mais étape par étape, vous devriez être capable :

1. de comprendre et d'expliquer les bases théoriques de l'estimation par

intervalle de confiance des fréquences et des moyennes d'une population ;

2. d'estimer une fréquence, une moyenne et une variance d'une population :

- ponctuellement

- par intervalle de confiance

à différents seuils de signification ;

3. de formuler un problème en statistique ;

4. de développer une démarche pour la résolution d'un problème statistique ;

5. de distinguer les différents types de tests statistiques.

_______________________________________________________________________________ 4 ______________________________________________________________________________


_______________________________________________________________________________ 5 ______________________________________________________________________________


I. ESTIMATION DES PARAMÈTRES D'UNE POPULATION

1. Distributions d'échantillonnage

Une population est un ensemble d'individus (animaux, exploitations, parcelles…) auxquels

on s'intéresse ; sa taille est généralement infinie ou alors suffisamment grande pour être

considérée comme telle.

Soit un caractère donné présent dans une population P. Ce caractère peut être défini par sa

fréquence ou sa moyenne et sa variance au sein de cette population.

Il est évident que, vu la taille de la population, en général très grande, on ne peut pas, pour des

raisons purement pratiques et/ou économiques, étudier ce caractère sur la population elle-

même.

• Que fait-on alors ?

On extrait dans ce cas un échantillon de taille n censé représenter aussi fidèlement que

possible cette population.

L'échantillonnage ou le sondage est l'ensemble des opérations qui ont pour objectif de prélever

dans une population les individus devant constituer un échantillon. Cet échantillonnage est, le

plus souvent, dit aléatoire (ou au hasard) et simple :

• aléatoire indique que tous les individus de la population ont la même probabilité, connue et

non nulle, de faire partie de l'échantillon ;

• simple indique que les individus de l'échantillon sont prélevés indépendamment les uns des

autres.

L'échantillonnage a une importance pratique considérable car l'inférence statistique a pour

but de porter un jugement sur l'ensemble des individus de la population étudiée à partir des

observations effectuées sur l'échantillon obtenu à partir de cette population.

Cette manière de procéder pose alors le problème des fluctuations d'échantillonnage du

paramètre étudié (fréquence, moyenne, variance…).

En effet, si on extrait plusieurs échantillons représentatifs de taille n fixée, on n'aura pas

forcément toujours les mêmes valeurs pour le paramètre étudié. Autrement dit, à partir d'un

échantillon, nous n'avons que des paramètres estimés.

Il existe deux méthodes d'échantillonnage :

• la méthode dite exhaustive consistant à extraire plusieurs échantillons de taille n,

indépendamment les uns des autres et sans les remettre dans la population lorsqu'on passe

d'un tirage à l'autre ;

_______________________________________________________________________________ 6 ______________________________________________________________________________


• la méthode dite non exhaustive consistant à extraire plusieurs échantillons de taille n,

indépendamment les uns des autres mais en remettant, à chaque tirage, l'échantillon dans la

population.

C'est cette deuxième méthode que l'on considérera dans tous les tests statistiques.

Pourquoi ?

Tout simplement parce que la taille de l'échantillon étant très faible, comparée à

celle de la population, les calculs et le raisonnement statistiques se simplifient au

maximum dans ce cas.

Soient une population de mesures et un paramètre de cette population noté (moyenne,

variance, fréquence…). Constituons à partir de cette population une série d'échantillons

possibles de même effectif, prélevés dans des conditions identiques ; pour chaque échantillon,

on peut calculer une valeur correspondant au paramètre étudié : d1 , d2 , … … dn ; ces valeurs

peuvent être considérés comme des valeurs observées d'une même variable aléatoire D.

On voudrait par exemple déterminer :

• la moyenne de la variable D : E (D)

• la variance de la variable D : V (D) , ou son écart type qui est l'erreur standard.

• la distribution de la variable D, appelée distribution d'échantillonnage ; c'est la

distribution des différentes valeurs que peut prendre le paramètre D, pour les différents

échantillons d'effectif fixé qu'il est possible d'extraire de la population étudiée.

Dans ces conditions,

• est une constante généralement inconnue et relative à la population ;

• D est une variable relative aux échantillons ;

• E (D) et V(D) sont des constantes relatives à la population et à un type d'échantillon.

2. Estimation ponctuelle d'un paramètre

Toute estimation d'un paramètre est entachée d'erreurs. C'est la raison pour laquelle,

chaque fois que l'on fait une estimation, on doit préciser les conditions de sa validité.

• L'estimateur est dit biaisé lorsqu'il ne reflète pas correctement le paramètre estimé ;

• dans le cas contraire, l'estimateur est dit non biaisé.

Le paramètre de la population étudiée est inconnu. On extrait de la population un

échantillon de n valeurs observées. Il faudra donc, à partir des valeurs observées, obtenir une

estimation du paramètre . On utilise pour cela un estimateur du paramètre , noté

généralement par un ^ au-dessus du paramètre estimé, fonction des valeurs observées, qui sert

à estimer , ou qui permet d'obtenir une estimation de .

La théorie des estimateurs repose sur deux conditions :

_______________________________________________________________________________ 7 ______________________________________________________________________________


• l'estimateur doit être sans biais ou non biaisé ; en général, une variable aléatoire ^

est un

estimateur sans biais d'un paramètre si :

E ( ) =

• la variance de l'estimateur doit être minimum :

V ( ) = min

L'estimation ainsi obtenue est dite ponctuelle. On réalise ainsi des estimations ponctuelles

des paramètres étudiés et on obtient des valeurs estimées des caractéristiques de la variable

dans la population.

Cependant, ces valeurs estimées sur l'échantillon peuvent être faussées par des erreurs

notamment celles dues à un mauvais échantillonnage. Autrement dit, ces valeurs estimées ne

sont que des valeurs approximatives des valeurs réelles de la population.

L'estimation ponctuelle est donc sans intérêt si on ne connaît pas la précision de

l'estimation obtenue.

3. Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance

Pour pallier le problème précité, on procède à des estimations par intervalles de confiance :

il s'agit, en pratique, de déterminer des intervalles de valeurs dans lesquels se situe la vraie

moyenne ou la vraie fréquence de la population mais avec un certain risque d'erreur (de se

tromper). On imagine alors aisément que plus l'intervalle de confiance est grand, moins on a

de chances de se tromper et inversement.

On se fixe donc un coefficient de confiance, ou de sécurité, ou degré de confiance, ou

niveau de confiance, ou seuil de confiance, désigné par 1 - ; est le risque d'erreur.

Les limites de confiance ou de sécurité, c'est-à-dire les bornes de l'intervalle de confiance,

sont telles que :

Prob (D1 < < D2 ) = 1 -

ou

Prob ( > D2 ) ou Prob ( < D1 ) =

Il existe alors une infinité d'intervalles répondant à cette condition. En général, on répartit le

risque en deux parties égales, c'est-à-dire que :

Prob ( > D2 ) = Prob ( < D1 ) =

Exemple. Au seuil de confiance 1 - = 0,99, donc au risque = 0,01, on a obtenu, pour la

moyenne d'une population, l'intervalle de confiance suivant :

_______________________________________________________________________________ 8 ______________________________________________________________________________


1200 < < 1600

On a donc :

Prob (1200 < < 1600) = 0,99

Prob ( > 1600) = Prob ( < 1200) = 0,01

2 = 0,005

Que signifie cette expression ?

Cela ne signifie pas que la vraie valeur de a 99 % de chances de se trouver dans

l'intervalle 1200 - 1600 mais on peut dire que, pour l'ensemble des applications de la

méthode, dans 99 % des cas, la vraie valeur de est dans l'intervalle obtenu ; ou

encore, en affirmant que l'intervalle 1200 - 1600 contient , on peut commettre une

erreur dont la probabilité est égale à 1 %.

4. Cas d'un caractère qualitatif : estimation et intervalle de

confiance d'une fréquence (ou d'une proportion)

Considérons une population donnée où un caractère A est présent avec une fréquence p

inconnue ; l'événement contraire A sera présent alors avec une fréquence q = 1 - p.

On prélève un échantillon aléatoire simple de taille n dans cette population ; la fréquence des

individus possédant le caractère A dans l'échantillon est f (ou p0) ; f est la valeur observée de

la variable F, fréquence du caractère A dans un échantillon de taille n.

La variable F peut s'écrire :

F = Y

n

Y désignant la variable nombre d'individus possédant le caractère A dans un échantillon de

taille n ; Y est une variable binomiale de paramètres n et p et E (Y) = n.p.

Nous avons donc : V ( Y ) = n.p . (1 - p)

autrement dit,

E ( F ) = np

n = p et V ( F ) =

n p (1 - p)

n2 = p ( 1 - p)

n

De plus si n est grand, on peut assimiler une loi binomiale à une loi normale de même

espérance et de même variance ; donc :

F est une v.a qui obéit à une loi normale N (p ; p ( 1 - p)

n ) .

Nous considérons que n est grand si n > 100 et si n p et n (1 - p) > 5.

Dans ces conditions, on démontre que F est un bon estimateur de p et f (ou p0) est donc

l'estimation ponctuelle sans biais de p.

_______________________________________________________________________________ 9 ______________________________________________________________________________


Cela ne veut pas dire que f (ou po ) reflète la vraie valeur de p. L'estimation

ponctuelle ne le précise pas. La précision de cette estimation est donnée par

l'intervalle de confiance de p.

Cela veut dire que si l'on dispose d'un échantillon de taille n, l' estimation ponctuelle sans

biais de p, inconnue, sera la fréquence po observée sur cet échantillon.

La question est alors la suivante : quelle confiance accorde-t-on à l'estimation de p par po ?

La réponse consiste à déterminer un intervalle dans lequel oscillera la vraie valeur de p avec

un risque d'erreur déterminé.

F étant une v.a qui obéit à une loi normale N (p ; pq

n ), la v.a :

U = F - p

pq

n

obéit à une loi normale N (0 ; 1) ; d'où :

Prob ( | U | < ou Prob ( | U | >

Au seuil de confiance 1 - , nous avons donc :

| F - p |

pq

n

< d'où | F - p | < pq

n

d'où l'intervalle de confiance au seuil 1 - ou au risque :

F - pq

n < p < F +

pq

n

avec, pour :

• = 0,05 = 1,96

• = 0,01 = 2,58

étant l'écart réduit dont les valeurs sont données par la table II en annexe en

fonction du risque .

p étant inconnu, sera estimé par f (ou p0) et q par 1 - f (ou 1 - p0 = q0) et l'estimation de p par

intervalle de confiance sera :

______________________________________________________________________________ 10 _____________________________________________________________________________


po - p0 q0

n < p < po +

p0 q0

n

Cet intervalle est dit intervalle de confiance de p au risque ou au coefficient de sécurité

1-

Exemple

On veut étudier une population de bovins, dans laquelle certains individus possèdent le

caractère " pie ". Sur un échantillon de 4000 individus, on dénombre 320 individus à robe

"pie".

Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 99 % du pourcentage d'individus " pie " dans

cette population ?

********

p0 = 320/4000 = 0,08 q0 =1-0,08 = 0,92

= 0,01 = 2,58

p0 - . p0q0

n < p < p0 + .

p0q0

n

0,08 - 2,58 0,08 . 0,92

4000 < p < 0,08 + 2,58

0,08 . 0,92

4000

0,069 < p < 0,091

5. Cas d'un caractère quantitatif

Soit X une variable aléatoire définie sur la population avec :

E (X) = et V(X) = 2

Pour estimer et , on prend un échantillon aléatoire simple de taille n ; les valeurs

observées x1 , x2 , … … xn peuvent être considérées comme les valeurs prises par des v.a X1

, X2 , … … Xn de même loi que X, de même espérance et de même variance 2 ; elles sont,

de plus, indépendantes.

La moyenne observée sur l'échantillon est x ; la variance de l'échantillon est notée s2.

1. Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance

q Pour la moyenne : On montre que l'estimation de peut se faire par x , c'est-à-dire que

x est un estimateur sans biais de .

______________________________________________________________________________ 11 _____________________________________________________________________________


= x

q Pour la variance : Si x est considérée comme estimation non biaisée de , il n'en est pas

de même pour 2. Pour des raisons mathématiques, on montre que l'estimation non biaisée de

2 consiste à multiplier s2 par n/n-1 et donc :

2 = n

n-1 s2

et donc, comme s2 = SCE

n ,

= n s2

n - 1 =

SCE

(n - 1)

En fait l'estimation de 2 par 2 = n

n-1 s2 n'a de l'importance que pour les petits

échantillons.

En effet, lorsque n (ou tout simplement lorsqu'il est suffisamment grand), le

rapport n

n-1 tend vers 1 et donc, pratiquement, 2 = s2.

2. Estimation de la moyenne par intervalle de confiance

Nous avons :

• une population dans laquelle on étudie la v.a X avec :

E (X) =

V (X) = 2

• un échantillon de taille n avec des valeurs observées x1 , x2 , … … xn qui sont les variables

X1 , X2 , … … Xn , indépendantes, de même espérance et de même variance que X.

La moyenne x de l'échantillon est la valeur prise par une variable X .

On montre alors que :

E ( X ) =

V( X ) = 2

n

E ( X ) = indique que si on répète un grand nombre de fois l'échantillonnage dans les

mêmes conditions, la moyenne des moyennes observées sera égale à .

______________________________________________________________________________ 12 _____________________________________________________________________________


Par ailleurs, x ( écart type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne) est d'autant

plus faible que n est grand, c'est-à-dire que la dispersion de X , autour de sa moyenne , est

d'autant plus réduite que la taille de l'échantillon est plus grande.

A quelle loi obéit X ?

On démontre que si la v.a X est normale, ou si l'échantillon est de taille

suffisante (n > 30) quelle que soit la loi de X, la loi de probabilité de

X est une loi normale.

q Cas où la variance de la population 2 est connue : cas rare

X est une v.a qui obéit à une loi normale N(; / n )

donc la v.a :

U = X -

/ n

obéit aussi à une loi normale centrée réduite N ( 0, 1 ).

d'où l'on déduit :

Prob ( | U | < ) = 1 - ou Prob (| U | > ) =

1- étant le seuil de confiance choisi et le risque d'erreur associé.

Donc, au seuil de confiance 1-, nous avons :

U = | X -

/ n < d'où | X - < . / n

• Si X - > 0 , X - < . / n et > X - . / n

• Si X - < 0 , - X < . / n et < X + . / n

d'où l'intervalle de confiance au seuil de confiance 1- ou au risque :

X -

n < < X +

n

et l'estimation de par intervalle de confiance sera obtenue en remplaçant X par la valeur

calculée sur l'échantillon x .

L'intervalle de confiance ainsi obtenu sera d'autant plus petit que :

______________________________________________________________________________ 13 _____________________________________________________________________________


- le risque d'erreur choisi est plus grand ;

- la variance de la population est plus petite ;

- la taille de l'échantillon est plus grande.

*

n =

X = est l'écart type de la distribution d'échantillonnage de X : c'est

l'erreur standard.

* Si la population d'où est extrait l'échantillon est grande mais finie (effectif N), il

faut multiplier l'erreur standard

n par

N-n

N-1 .

Exemple

La production laitière des vaches est considérée comme une v.a. normale dont l'écart type est

connu et égal à 1000 kg. Dans une région particulière donnée, on a mesuré chez une race de

bovins la production laitière de 25 vaches choisies au hasard et indépendamment les unes des

autres; la moyenne observée chez ces animaux est de 4 290 kg lait. Quel est l'intervalle de

confiance de cette moyenne à 95 et 99 % ?

********

• La valeur estimée de la moyenne de la population est = x = 4 290 kg

• Les limites de confiance à 95 % sont :

x ± . / n = 4 290 ± 1,96 1000/ 25 = 4 290 ± 390 kg

ou 3 900 kg < < 4 700 kg

• Les limites de confiance à 99 % sont :

x ± . / n = 4 290 ± 2,58 1000/ 25 = 4 290 ± 520 kg

ou 3 770 kg < < 4 810 kg

Remarquez que l'intervalle de confiance est plus large pour un risque plus petit.

q Cas où la variance de la population 2 est inconnue

• Si est inconnu, on l'estime par mais en supposant que la population-mère est

distribuée normalement, c'est-à-dire que la variable étudiée obéit à une loi normale.

L'estimation , basée sur l'échantillon sera :

= n

n - 1 s =

n s2

n - 1 =

SCE

n - 1

• Dans le cas des petits échantillons, cette estimation modifie la nature de la loi suivie par

X et la variable aléatoire :

______________________________________________________________________________ 14 _____________________________________________________________________________


T = X -

/ n

n'obéit plus à une loi normale comme précédemment mais à une loi de Student à n-1 degrés

de liberté (ddl) (voir table III en annexe)

La courbe représentative de sa fonction densité de probabilité est une courbe en cloche

symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, mais plus aplatie que celle de la loi normale.

La table de t donne, en fonction du nombre de ddl et du risque , la valeur t telle que :

Prob (-t < T < + t ) = 1 -

ou alors :

Prob (T > t) = Prob (T < -t) = 2

ou encore :

Prob (| T |) > t) = ou Prob (| T |) < t) = 1 -

L'intervalle de confiance de la moyenne , à un seuil de confiance donné, devient alors :

X - t

n < < X + t

n

où t représente la variable de Student à n - 1 degrés de liberté (ddl)

Lorsque n est grand (> 30), la distribution de Student tend vers la distribution

normale. En effet, vous remarquerez sur la table III que les valeurs de la dernière

ligne, pour un ddl = ∞, coïncident avec celles de la première ligne de la table II de

l'écart réduit.

Première ligne des valeurs (en grisé) de l'écart réduit (table II)

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 ∞ 2,577 2,327 2,171 2,054 1,960 1,881 1,812 1,751 1,696

Deux dernières lignes des valeurs (en grisé) de la variable de Student t (table III)

ddl

0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

120 0,126 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

∞ 0,126 0,675 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 3,293

______________________________________________________________________________ 15 _____________________________________________________________________________


Exemple

La mesure de la taille de 10 arbres provenant d'une même forêt, a donné les résultats suivants :

x = 4,7 m ; s2 = 1,928 m

1. Quelle est l'estimation ponctuelle non biaisée de la moyenne et de l'écart type de la

population dont ces arbres sont extraits.

2. Donner un intervalle de confiance de la moyenne de la population au risque de 0,05 en

supposant que cette taille obéit à une loi normale.

********

1.

• L'estimation ponctuelle non biaisée de la moyenne est : x = 4,7 m

• L'estimation ponctuelle non biaisée de l'écart type est :

On a : s2 = 1,928 m s = 1,928 = 1,388

= n

n-1 s = 10/10 - 1 . 1,388 1,46 m

2.

Nous sommes dans le cas d'un petit échantillon dont la variable obéit à une loi normale mais

dont est inconnu.

Dans ces conditions :

= x ± t . / n

Pour = 0,05 et ddl = 10 - 1 = 9 , ttable = 2,262

= 4,7 ± 2,262. 1,46/ 10 = 4,7 ± 1,045 m

autrement dit, au risque de 5 % :

3,65 m < < 5,75 m

______________________________________________________________________________ 16 _____________________________________________________________________________


II. PRINCIPE GÉNÉRAL DES TESTS STATISTIQUES

1. Comment formuler un problème en statistique ?

Partons d'un exemple qui vous est familier…

Y a-t-il une relation entre la consommation de tabac et le cancer ?

Il est évident qu'une telle relation ne suppose aucunement une réponse constante (c'est-à-dire

que tout fumeur sera cancéreux et tout non-fumeur ne le sera pas). La seule chose qu'on peut

affirmer est qu'un fumeur a "nettement" plus de risques d'être atteint par un cancer pulmonaire

qu'un non-fumeur. A cause justement de la variabilité.

Ainsi, dans un domaine où la réponse est variable, les problèmes doivent être posés à

l'échelon, non de l'individu, mais du groupe qu'on définira par une propriété moyenne.

La définition du mot cause telle qu'elle est généralement conçue, exige que :

• si la cause existe, l'effet existe ;

• si la cause est absente, l'effet disparaît.

Ce qui suppose que tous les fumeurs seront cancéreux et tous les non-fumeurs non cancéreux.

Avec une telle définition, la causalité n'existera pas en biologie.

Dans une formulation statistique, on dira simplement que l'effet existe plus souvent quand la

cause est présente que lorsqu' elle est absente. C'est donc en termes de probabilités qu'il faut

poser les problèmes.

2. Comment résoudre un problème en statistique ?

1. La méthode statistique

• Dans un premier temps, si on veut comparer deux groupes pour un caractère donné, on

examine si la différence est imputable aux fluctuations du hasard, ou, au contraire

significative : c'est le test de signification.

• Dans un deuxième temps, si la différence est significative, on cherchera à l'interpréter pour

en déterminer la cause (interprétation causale). Celle-ci n'est possible en toute rigueur, que

si les deux groupes sont, à part le caractère étudié, strictement comparables.

Le rôle du statisticien est double : il doit d'abord organiser l'expérience ou l'enquête, ensuite

analyser et interpréter les résultats.

Une recherche vise presque toujours à étudier l'association de 2 facteurs ou plus : c'est ainsi

qu'on cherche si l'existence de la maladie est liée à certains signes (diagnostic), si son

______________________________________________________________________________ 17 _____________________________________________________________________________


apparition est liée à certaines conditions (étiologie), si son développement est lié à certains

indices (pronostic) ou à certains traitements (thérapeutique).

Or l'association de 2 facteurs en biologie ne se présente pas comme une relation rigide : elle

ne peut être vraie qu'en "moyenne", c'est-à-dire en termes de probabilités ; il est donc

nécessaire de la définir de façon particulière.

Cette formulation du problème et la façon de le résoudre constituent la méthode statistique.

2. Application

Dans une région donnée, une certaine race de bovins présente une infection particulière avec

un taux constant et connu qui est p = 20 %. On se demande si l'application d'un traitement

antibiotique sur les animaux va modifier ce taux de 20 % dans un sens ou l'autre.

Pour cela, on fait une expérience d'application de l'antibiotique, sur 100 animaux par exemple.

On obtient alors po d'animaux malades.

Il s'agit de savoir si le traitement a été actif ou pas.

Comment répondre à cette question ?

Premier cas : Si l'antibiotique n'a pas été actif, il y aurait eu théoriquement, sur cet

échantillon de 100 individus, la même proportion d'animaux malades, c'est-à-dire 20 % ou

presque ; mais il est possible d'observer, de temps à autre, des valeurs très différentes pouvant

aller de 0 % à 100 %.

Donc, même si po est très différent de p, il est possible que le traitement soit sans effet.

Deuxième cas : Si l'antibiotique est actif, la proportion d'animaux malades devrait

théoriquement diminuer mais il se pourrait aussi que cette proportion avoisine, une fois par

hasard, les 20 % .

Ainsi, même si on observe 20 % d'animaux malades, il reste possible que le traitement soit

actif. Autrement dit, il est impossible de répondre à la question posée avec certitude.

Or, refuser de répondre équivaudrait à renoncer à tous les problèmes de ce genre, caractérisés

par une variabilité de comportement des sujets, c'est-à-dire à la majorité des problèmes

biologiques.

On sera donc forcé de répondre avec un certain risque d'erreur qui doit être évalué de façon

à ne conclure qu'avec un risque connu et raisonnable.

3. Hypothèses nulle et alternative

Dans un test statistique, on formule souvent deux hypothèses ou affirmations relatives aux

deux populations avec comme objectif de n'en conserver qu'une.

______________________________________________________________________________ 18 _____________________________________________________________________________


• l'hypothèse nulle ou hypothèse à tester consiste à supposer que le traitement est sans effet.

Cette hypothèse est notée Ho.

• l'hypothèse alternative, notée H1, est l'hypothèse opposée ; dans ce cas H1 suppose que le

traitement a un effet.

L'ensemble des valeurs observées pour lesquelles on admet l'hypothèse nulle, constitue la

région d'acceptation de cette hypothèse ; les autres valeurs constituent la région de rejet de

l'hypothèse nulle appelée aussi région critique. Les valeurs limites s'appellent valeurs

critiques.

Cette dernière expression peut prêter à confusion car certains auteurs l'utilisent

pour désigner le niveau de signification.

Dans notre exemple, il s'agit de savoir, par calcul statistique, si on accepte ou on rejette cette

hypothèse nulle.

Si Ho est vraie, po avoisinera 20 %.

Avec un risque d'erreur = 5 % (de se tromper c'est-à-dire que le pourcentage sort d'un

intervalle p+ e, p - e), on peut calculer un intervalle dans lequel oscillera po (cf. § intervalle de

confiance d'une fréquence)

En effet, si = 5 % ,

alors (table de l'écart réduit)

e = . = 1,96 = 1,96 . 0,2.0,8/100 = 0,08

l'intervalle sera donc : [20 - 8 ; 20 + 8] ou 12 % - 28 %

po sera donc dans cet intervalle dans 95 % des cas et sortira de cet intervalle dans 5 % des cas

( = 5 %).

Tant que po est dans cet intervalle, le traitement est déclaré sans effet. (toujours avec 5 % de

chance de se tromper en affirmant cela).

Autrement dit, si po est en dehors de l'intervalle, on dira que l'écart est significatif, c'est-à-dire

que le traitement est actif.

Ainsi, un écart po - p est significatif s'il égale ou dépasse :

1,96 1,96 = 1,96. p.q/n

ou alors si la valeur absolue de l'écart réduit :

= po - p

pq/n dépasse 1,96

______________________________________________________________________________ 19 _____________________________________________________________________________


4. Risques d'erreurs

Une fois l'hypothèse nulle posée, le hasard des situations peut conduire à quatre éventualités :

• accepter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie ;

• rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie ;

• accepter l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse ;

• rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse.

Bien évidemment, le premier et le dernier cas correspondent à une conclusion correcte. Dans

les deux autres cas, on se trompe dans notre conclusion.

L'erreur qui consiste à rejeter une hypothèse alors qu'elle est vraie est appelée risque de

première espèce. Par analogie avec les probabilités conditionnelles, ce risque est noté tel

que, en désignant le rejet par la lettre R et l'acceptation par la lettre A,

= Prob (RHo/Ho)

d'où : 1 - = Prob (AHo/Ho)

lorsqu'on accepte une hypothèse fausse, on commet un autre type d'erreur appelé erreur de

deuxième espèce et est désigné par la lettre .

= Prob (AHo/H)

d'où : 1 - = Prob (RHo/H)

Toute décision « statistique » comporte donc des risques d'erreur. Ne pas condamner un

couplable est une décision injuste : c'est le risque de première espèce ; condamner un innocent

revient à commettre une erreur judicière : c'est le risque de deuxième espèce.

La puissance d'un test [ 1 - est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle alors

qu'elle est fausse. Lorsqu'on utilise un test puissant, on a peu de chances de se

tromper quand on accepte Ho ; au contraire si le test est peu puissant, on prend un

risque important quand on accepte Ho.

Dans notre exemple, si po avoisine 20 %, on dira que le traitement est sans effet c'est-à-dire

qu'il y a 5 chances sur 100 pour que le traitement soit efficace et 95 % de chances qu'il ne le

soit pas.

Ce risque consiste donc à déclarer actif un traitement qui ne l'est justement pas : c'est un

risque de première espèce ou risque .

Si le traitement est efficace alors que le hasard fait tomber po dans l'intervalle 12 - 28 %,

nous commettons une autre erreur en déclarant le produit inactif alors qu'il est actif.

C'est donc le risque de deuxième espèce ou risque . Ce risque peut se calculer mais son

calcul est complexe car il dépend :

• de : plus est grand, plus est petit ;

______________________________________________________________________________ 20 _____________________________________________________________________________


• de la taille de l'échantillon : plus elle est faible, plus est grand ;

• du degré de fausseté de Ho : plus Ho est fausse, plus est petit ;

• de la différence que l'on veut mettre en évidence : plus cette différence est petite, plus est

grand.

En pratique, les valeurs " classiques " du risque sont :

• ≤ 0,05, probabilité pour laquelle on considère conventionnellement que la différence est

significative ;


très significative ;


très hautement significative.

Nous pouvons résumer la notion de risque par le tableau suivant :

Réalité

Décision

Ho est vraie Ho est fausse

Ho est acceptée Pas d'erreur

1 -

Erreur

Risque de deuxième espèce

Ho est rejetée Erreur

Risque de première espèce

Pas d'erreur

1 -

La conclusion n'est correcte que dans les deux cas représentés en grisé sur le tableau.

5. Antagonisme entre les deux risques d'erreurs et puissance

d'un test

Dans notre exemple, pour = 5 % l'intervalle était de 12 - 28 %

Que se passe -t-il si était très petit ?

Exemple. = 1/10000 = 3,89

d'où : 3,89 . 0,2.0,8/100 =16 %

Donc l'intervalle sera :

[20 - 16 % ; 20 + 16] % ou alors [4 % - 36 %]

Conséquence: il n'y a que les différences les plus importantes qui seront remarquées.

Il y a donc antagonisme entre les 2 risques. Plus le risque de première espèce est petit et plus

le risque de deuxième espèce sera grand et vice-versa. Il n'est donc pas possible, pour un test

donné, de réduire simultanément les deux risques d'erreurs.

______________________________________________________________________________ 21 _____________________________________________________________________________


Cet antagonisme est évidemment intuitif. Pour un intervalle choisi de [0 % - 100 %], on ne se

tromperait jamais mais on ne conclurait jamais non plus.

C'est donc en termes de probabilités que les problèmes statistiques doivent être résolus.

Lorsque le risque de deuxième espèce est important, le test est dit peu puissant

statistiquement. Inversement, un test statistique sera d'autant plus puissant que ce

risque est faible.

6. Les tests d'hypothèse

Les tests d'hypothèse sont des tests statistiques dont le but est de vérifier, à partir de données

observées dans un ou plusieurs échantillons, la validité de certaines hypothèses relatives à une

ou plusieurs populations.

Les tests d'hypothèse, basés généralement sur une hypothèse nulle à tester, peuvent être

distingués en :

1. Tests de conformité

Ces tests permettent de comparer une population à un échantillon. La population étant définie

pour un paramètre donné (moyenne, variance, fréquence…), on cherche à vérifier si,

connaissant la caractéristique correspondante d'un échantillon, on peut considérer qu'il est issu

de cette population.

2. Tests d'homogénéité ou d'égalité ou tests de comparaison

Ces tests sont utilisés pour comparer des populations à partir d'un même nombre

d'échantillons. Ces tests peuvent être utiliser pour comparer des moyennes, des fréquences ou

des variances.

3. Tests d'ajustement

Ces tests sont utilisés pour vérifier qu'à tout point de vue, un échantillon observé peut être

regardé comme issu d'une population donnée. Le test du 2 en est l'exemple type.

Dans ce type de test, il s'agit de tester, à un seuil de signification choisi, l'hypothèse selon

laquelle la distribution observée sur un échantillon est conforme à une distribution théorique

donnée.

4. Tests d'indépendance

Ces tests ont pour objectif de contrôler, à partir d'un échantillon, que deux ou plusieurs

caractères de classification sont indépendants. Ce sont, en fait, des cas particuliers de tests

d'ajustement qui consistent à tester, à un certain seuil de signification, l'hypothèse selon

laquelle deux ou plusieurs caractères, généralement qualitatifs, sont indépendants ou non.

______________________________________________________________________________ 22 _____________________________________________________________________________


7. Test bilatéral - Test unilatéral

Pour un seuil donné, un test peut être :

• bilatéral, lorsque la probabilité de se tromper se trouve " partagée " en deux parties égales

des deux côtés de la région d'acceptation de l'hypothèse correspondant à l'intervalle de

confiance. Dans ce cas, on utilisera la table II de l'écart réduit (graphe de droite ci-

dessous).

• unilatéral, dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsqu'on situe cette probabilité d'un seul côté

de la région d'acceptation (à gauche ou à droite). Dans ce cas, on utilisera la table I de la

fonction de répartition (deux graphes de gauche, ci-dessous).

région d'acceptation

0,975

u = - 1, 96


0,95

- 1,96 + 1, 96


u = + 1,96

région de rejet 0,025


Test unilatéral à gauche Test unilatéral à droite Test bilatéral



0,975

Ces deux courbes répondent donc à la même fonction :

(u) = 1

2π e - 1/2u2

La première (fonction de répartition) donnera l'aire sous la courbe, de - ∞ à u, correspondant à

la région de rejet de l'hypothèse nulle, pour un test unilatéral ; la deuxième donnera deux

aires symétriques correspondant aux régions de rejet pour un test bilatéral.

Il existe une analogie entre la notion de région d'acceptation de l'hypothèse nulle et

d'intervalle de confiance. La région d'acceptation est pratiquement confondue avec

l'intervalle de confiance. On admet conventionnellement que les limites de confiance

appartiennent à l'intervalle de confiance alors que les valeurs limites (critiques) sont

exclues de la zone d'acceptation.

[ intervalle de confiance ]

] zone d'acceptation [

C'est ce qui explique que, dans certains tests de comparaison, le problème peut être

résolu soit en déterminant l'intervalle de confiance, soit en précisant les valeurs

critiques.

______________________________________________________________________________ 23 _____________________________________________________________________________


______________________________________________________________________________ 24 _____________________________________________________________________________


Exemple de correspondance entre les deux courbes

• Lorsque = 1,96, la valeur correspondante dans la table de l'écart réduit vaut 0,05 ou 5 %

Ces 5 % sont partagés de part et d'autre de la courbe (2,5 % ou 0,025 de chaque côté, zones

hachurées dans le graphe de droite ci-dessus). La zone d'acceptation dans ce cas vaut 95 %

(surface blanche).

• Lorsque u = -1,96, l'aire de la courbe de la fonction de répartition, c'est-à-dire la zone de

rejet, (graphe de gauche, ci-dessus) ne correspond plus à 5 % mais à 2,5 % c'est-à-dire à

0,025. Autrement dit, la zone d'acceptation vaudra :

1 - 0,025 = 0,975 ou 97,5 %

Ces 0,975, qu'on retrouve dans la table de la fonction de répartition, représentent donc l'aire

sous la courbe, de u = -1,96 à + ∞, correspondant à la région d'acceptation.

Il est fondamental de bien comprendre la relation entre ces deux courbes.

Voici quelques valeurs remarquables de :

risque 0,01 0,05 0,10

Test bilatéral

Test unilatéral à droite

Test unilatéral à gauche

± 2,58

+ 2,33

- 2,33

± 1,96

+ 1,645

- 1,645

± 1,645

+ 1,28

- 1,28

Ce tableau montre que, pour un même risque , les valeurs de sont plus élevées, en valeur

absolue, pour un test bilatéral que pour un test unilatéral.

Cela montre qu'un test unilatéral est toujours plus puissant qu'un test bilatéral.

Pour plus de compléments sur les tests unilatéraux, voir Annexe I du livret 3.

______________________________________________________________________________ 25 _____________________________________________________________________________

5. Tests relatifs aux fréquences


5 h

TESTS RELATIFS AUX FRÉQUENCES

Cas des grands échantillons 5

Objectifs pédagogiques : A la fin de cette séquence vous devriez être capable :

1. de mobiliser les connaissances acquises à la séquence de travail N° 1 afin de

les appliquer à un caractère qualitatif ;

2. de situer les problèmes relatifs à la comparaison des fréquences ;

3. d'expliquer les étapes nécessaires pour effectuer un test d'hypothèses ;

4. de comparer une fréquence observée à une fréquence théorique ;

5. de comparer deux fréquences observées sur deux échantillons de « grande

taille » ;

6. d'interpréter les résultats d'un test de comparaison de deux fréquences.

______________________________________________________________________________ 26 _____________________________________________________________________________


I. COMPARAISON D'UNE FRÉQUENCE OBSERVÉE p0 À UNE

FRÉQUENCE THÉORIQUE p OU TEST DE CONFORMITÉ D'UNE

FRÉQUENCE

1. Position du problème et réalisation du test

Le problème est le suivant : étant donné un échantillon de taille n, où la fréquence d'apparition

d'un certain caractère est po ; est-il représentatif de la population-mère où la fréquence

d'observation de ce caractère est p ?

La distribution d'échantillonnage des fréquences est ici la distribution décrite précédemment,

c'est-à-dire caractérisée par :

• sa moyenne : E(po) = p

• son écart type : (po) = pq

n avec q = 1 - p et qo = 1 - po

L'hypothèse à tester est : Ho : p = po

Pour celà, un échantillon de grande taille est extrait de la population, ce qui permet d'obtenir

une estimation ponctuelle de p : f.

Nous avons déjà signalé que la v.a F peut être considérée comme une v.a qui obéit à une loi

normale de paramètres : N (p ; pq

n ) ;

donc : U = F - p

pq

n

obéit à une loi N( 0 ; 1)

Si Ho est vraie, la variable U devient :

Uo (ou obs) = F - po

poqo

n

et obéit à une loi N( 0 ; 1)

Dans ces conditions, pour comparer une fréquence théorique p à une fréquence observée po,

on émet l'hypothèse nulle :

Ho : p = po

puis on calcule l'écart réduit, c'est-à-dire le rapport :

obs = | p - po|

p q

n

• Siobs< table, on accepte Ho . Risque de deuxième espèce.

______________________________________________________________________________ 27 _____________________________________________________________________________


• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à

, lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification.

Le test n'est valable que si n.p et n.q sont supérieurs à 5

Concrètement, en raisonnant sur l'intervalle de confiance, on peut dire par exemple

que la différence n'est pas significative à 5 % si :

obs ] - 1,96 ; + 1,96 [

et elle est significative si :

obs ] - 1,96 ; + 1,96 [

2. Exemples

Exemple 1

Dans une population animale qui comporte autant de mâles que de femelles, une maladie a

frappé 20 femelles et 10 mâles. Cette maladie frappe-t-elle davantage les femelles ?

********

Il s'agit de savoir si l'hypothèse p = 0,50 ( fréquence théorique) est admissible au vu de la

fréquence observée, po = 20/30 = 0,67

• Ho : il n'existe pas de différence significative entre les fréquences p et po.

= 0,50.0,50

30 = 0,0913 obs =

0,67 - 0,50

0,0913 = 1,86

• Pour = 0,05, table = 1,96

obs table la différence n'est pas significative.

En dépit des résultats constatés, la maladie frappe autant les mâles que les femelles.

Exemple 2

On a examiné 30 000 familles de 5 enfants, soit au total 150 000 enfants, et dénombré 77250

garçons. La proportion de garçons est-elle compatible avec l'hypothèse d'une probabilité égale

de garçons et de filles ?

********

Fréquence théorique de garçons : p = 1/2 = 0,5

Fréquence observée de garçons : po = 77250

150000 = 0,515

Fréquence théorique Fréquence observée

Garçons

Filles

p = 0,5 d'où q = 1 - p = 0,5

p = 0,5 d'où q= 1 - p = 0,5

po = 0,515 d'où qo = 0,485

______________________________________________________________________________ 28 _____________________________________________________________________________


obs = 0,515-0,5

0,5.0,5

150000

= 11,62

La probabilité correspondant à cet écart réduit est quasi nulle.

La différence est donc hautement significative, et on ne saurait admettre l'hypothèse p =

0,50, c'est-à-dire l'hypothèse d'une probabilité égale entre garçons et filles.

On notera que la fréquence observée po = 0,515 est extrêmement voisine de 0,50, mais pour

un échantillon aussi important que celui-ci une différence, même minime, est très

significative.

On ne peut manquer d'être frappé par le contraste avec l'exemple 1 ci-dessus où le

pourcentage 0,80 ne différait pas significativement de 0,50.

Ce contraste confirme bien le manque de puissance des tests fondés sur de petits

échantillons. Il montre aussi combien il est dangereux de conclure à une signification

ou à une absence de signification sans faire le calcul exact.

Exemple 3

Dans une région particulière d'Auvergne, les mammites touchent 20 % du cheptel. Un

chercheur de l'INRA a expérimenté un traitement sur un échantillon de n vaches atteintes de

mammites. Après traitement, il a recensé alors 6 % de vaches malades.

Quelle est la valeur minimale de n qui permette à ce chercheur de conclure à l'efficacité du

traitement :

• au risque de 5 % ?

• au risque de 1 % ?

********

Nous sommes dans un cas de test de conformité entre une fréquence théorique p = 0,20 et une

fréquence observée po = 0,06.

Ho = le traitement n'a pas d'effets

On ne précise pas la valeur de n puisque qu'on nous demande de la chercher mais nous devons

supposer que n ≥ 30.

Par ailleurs, nous devons nécessairement avoir po < p car le traitement est supposé avoir une

action efficace.

Nous ne sommes pas donc en présence d'un test bilatéral mais d'un test unilatéral à gauche.

Cela veut dire que pour :

______________________________________________________________________________ 29 _____________________________________________________________________________


- = 0,05, obs = - 1,645

- = 0,01, obs = - 2,33

Le traitement sera efficace si le rapport :

• 0,20 - 0,06

0,06 x 0,94

n

≤ - 1,645 pour un risque de 5 % ou 0,06 x 0,94

n ≤

0,20

1,645

• 0,20 - 0,06

0,06 x 0,94

n

≤ - 2,33 pour un risque de 1 % ou 0,06 x 0,94

n ≤

0,20

2,33

• Pour = 0,05, n ≥ 120

• Pour = 0,01, n ≥ 240

Il est logique que, pour un risque moindre, le nombre d'animaux soit plus important.

______________________________________________________________________________ 30 _____________________________________________________________________________


II. COMPARAISON DE DEUX FRÉQUENCES OBSERVÉES SUR

DEUX POPULATIONS OU TEST D'HOMOGÉNÉITÉ DE DEUX

FRÉQUENCES

1. Position du problème

Soient f1 et f2 les fréquences d'apparition d'un certain caractère A dans deux échantillons

indépendants E1 et E2 de taille n1 et n2 et extraits de deux populations P1 et P2 .

Les fréquences d'apparition de A dans les populations P1 et P2 sont inconnues et désignées

respectivement par p1 et p2 .

Il s'agit alors de savoir si la différence observée entre f1 et f2 est significative ou seulement

due aux fluctuations d'échantillonnage, c'est-à-dire au hasard.

Désignons par F1 et F2 les variables aléatoires qui prennent les valeurs f1 et f2 sur chaque

échantillon de tailles n1 et n2.

En supposant qu'on puisse approximer les lois binomiales par des lois normales , c'est-à-dire

si:

n1 et n2 ≥ 30 ; n1f1 ≥ 5 ; n1(1 - f1) ≥ 5 ; n2f2 ≥ 5 ; n2(1 - f2) ≥ 5

alors, sous l'hypothèse Ho [ p1 = p2 = p ],

la variable aléatoire :

U = F1 - F2

pq [ 1

n1 +

1

n2 ]

obéit à une loi normale centrée réduite.

Pour comparer deux fréquences f1 et f2 observées sur deux échantillons de taille n1 et n2

respectivement, on émet l'hypothèse nulle :

Ho : p1 = p2 = p

puis on calcule l'écart réduit, c'est-à-dire le rapport :

obs = f1 - f2

pq [ 1

n1 +

1

n2 ]

p , q étant les proportions évaluées sur l'ensemble des 2 échantillons :

p = n1f1 + n2f2

n1 + n2 et q = 1 - p

______________________________________________________________________________ 31 _____________________________________________________________________________


• Siobs< table, on accepte Ho . Risque de deuxième espèce.

• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à

, lu dans la table de l'écart réduit fixe le degré de signification.

2. Exemples

Exemple 1

On teste le taux de germination de 2 lots de grains de blé.

Variété A = sur 300 grains testés, 258 ont germé.

Variété B = sur 600 grains testés, 462 ont germé.

Les 2 lots ont-ils des taux de germination équivalents au risque de 0,01?

*******

: les taux de germination sont équivalents

obs = f1 - f2

pq [ 1

n1 +

1

n2 ]

n1 = 300 ; f1 = 258/300 = 0,86

n2 = 600 ; f2 = 462/600 = 0,77

p = n1f1 + n2f2

n1 + n2 =

720

900 = 0,80 q = 1 - p = 0,20

obs = 0,86 - 0,77

0,8.0,2

300 +

0,8.0,2

600

= 0,09

(0,8.0,2).3

600

= 0,09

0,0008 =

0,09

0,02828 = 3,18

table= 2,58 < obs

La différence est donc très significative. On rejette donc Ho. Les taux de germination sont

différents.

Exemple 2

Dans un centre d'insémination artificielle (IA) bovine, deux inséminateurs ont obtenu les

résultats suivants :

Nombre d'IA premières % de non retour

Inséminateur A 4500 60 %

Inséminateur B 3000 70 %

Que peut-on dire au vu de ces résultats ?

______________________________________________________________________________ 32 _____________________________________________________________________________


********

Le tableau ci-dessous résume l'essentiel de la démarche à effectuer pour comparer ces deux

fréquences observées sur deux échantillons indépendants.

Nombre d'IA premières

réussies

Total % de non retour

Inséminateur A 2700 4500 = n1 0,60 = f1

Inséminateur B 2100 3000 = n2 0,70 = f2

Ho : il n' y a pas de différence significative entre les résultats des deux inséminateurs.

p = n1f1 + n2f2

n1 + n2 = 0,64

q = 1 - p = 1 - 0,64 = 0,36

Écart type de la différence : pq [ 1

n1 +

1

n2 ]

0,01131

f1 - f2 0,1

table, = 0,05 1,960

obs = f1 - f2

pq [ 1

n1 +

1

n2 ]

8,839

Décision statistique: obs >> tbable ; Ho est rejetée même au risque de 0,001.

Il existe donc une différence significative entre les deux inséminateurs.

______________________________________________________________________________ 33 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux


6 h

TEST DU KHI-DEUX OU 2

6

Objectifs pédagogiques :

A la fin de cette séquence, vous devriez être capable :

1. de situer le problème relatif à l'utilisation du test du Khi-deux ou 2 ;

2. d'utiliser la table du 2 ;

3. de comparer une fréquence théorique à une fréquence observée ;

4. d'ajuster une répartition observée à une loi de probabilité théorique ;

5. d'appliquer le test du 2 pour effectuer un test d'homogénéité ;

6. de comparer le test du 2 au test relatif à la comparaison de deux fréquences

observées ;

7. d'interpréter les résultats d'un test du 2.

______________________________________________________________________________ 34 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

I. POSITION DU PROBLÈME : CAS GÉNÉRAL

Le test du 2 de Pearson a pour but de comparer une distribution rangée par classes à une autre

distribution de rangement identique.

Pratiquement, on rencontre 2 cas :

- Comparer une distribution observée à une distribution calculée à partir d'une loi théorique.

- Comparer 2 ou plusieurs distributions observées entre elles.

1. Procédure de calcul

On se limitera à indiquer uniquement la manière d'appliquer le test.

Soient 2 distributions A (observée) et B (théorique) rangées de la même façon suivant les

différentes valeurs (1, 2, 3, ......k) que peut prendre le caractère étudié.

Caractère Répartition A

(observée)

Répartition B

(théorique)

1 n1 n'1

2 n2 n'2

3 n3 n'3

. . .

. . .

k nk n'k

n = N n' = N

L'effectif global est le même dans les 2 répartitions. D'autre part, N étant fixé, on peut choisir

k-1 effectifs, le dernier étant alors déterminé. On dit qu'on a k-1 degrés de liberté (d.d.l).

Problème posé : les répartitions A et B sont-elles conformes ou différentes ?

Intuitivement, on voit que si ni = n'i , on peut conclure que les 2 répartitions A et B sont

identiques.

Si ni ≠ n'i , il faut alors étudier l'importance statistique des différences ni - n'i.

On ne saurait utiliser comme indice, ni la somme (ou la moyenne) des écarts, qui vaut 0

évidemment, ni la somme de leurs valeurs absolues, qui ne se prête pas commodément à des

calculs de probabilité. La somme des carrés des écarts (SCE) évite les inconvénients ci-

dessus. C'est cependant un indice encore imparfait car il donne le même poids à tous les

écarts, qu'ils se rapportent à de petits ou à de grands effectifs calculés.

Des considérations théoriques conduisent à adopter l'indice suivant, dû à Pearson :

obs = (n1 - n'1)2

n'1 +

(n2 - n'2)2

n'2 + ........ +

(nk - n'k)2

n'k

qui peut s'écrire :

obs =

i=1

k (ni - n'i)2

n'i =

(Oi - Ti)2

Ti

______________________________________________________________________________ 35 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

• où O désigne les effectifs observés et T, les effectifs théoriques.

Remarque :

Cette dernière expression peut aussi s'écrire :

obs =

i=1

k (ni )

2

n'i - N

ce qui permet, parfois, des calculs plus commodes.

Plus le 2 est grand, plus les 2 répartitions sont différentes. La limite à partir de laquelle on

peut dire que 2 est trop grand, est donnée par une table ( cf. table IV dont un extrait est

présenté ci-dessous) en fonction du risque d'erreur choisi et du nombre de degrés de liberté

noté parfois , dans ce cas égal à k-1.

Extrait de la table du 2

0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,001

1 0,0002 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83

2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82

3 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,27

4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,47

5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 20,51

Exemple : pour = 3 et = 0,05, 2table = 7,81

Le test du 2 consiste à :

• formuler une hypothèse nulle Ho et déterminer un risque d'erreur ;

• déterminer la valeur du 2 observé ;

• de comparer le 2 observé au 2 donné par la table au seuil de signification choisi ;

• de conclure statistiquement.

Le test du 2 est toujours unilatéral.

2. Intérêts du test du 2

Le test du 2 peut être utilisé dans les cas suivants :

• comme test de conformité, lorsqu'il s'agit de comparer des fréquences observées à des

fréquences théoriques ;

• comme test d'ajustement lorsqu'il s'agit de vérifier si certaines données peuvent être ajustées

à une loi particulière (binomiale, Poisson ou normale) ;

• comme test d'homogénéité (ou d'indépendance) lorsqu'il s'agit d'étudier la liaison entre deux

caractères qualitatifs.

______________________________________________________________________________ 36 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

II. COMPARAISON D'UNE RÉPARTITION OBSERVÉE

À UNE RÉPARTITION THÉORIQUE : TESTS DE

CONFORMITÉ ET TESTS D'AJUSTEMENT

1. Mise en place du test

q On commence par formuler l'hypothèse nulle,

Ho : la distribution observée dans l'échantillon est conforme à la distribution théorique

présumée.

q Soient Oi l'effectif observé de la valeur xi (ou de la classe de centre xi) et Ti l'effectif

théorique correspondant. On calcule le rapport :

2obs =

( Oi - Ti )2

Ti

q On détermine le nombre de degrés de liberté :

• si la distribution théorique est connue,

= k - 1

k, étant le nombre de classes

Ce sera le cas des comparaisons d'une fréquence observée à une fréquence théorique connue.

• si la distribution théorique est déterminée en estimant certains de ses paramètres :

= k - m - 1

k : nombre de classes

m : nombre de paramètres estimés à partir des observations

q On compare le 2observé au 2

table qui sera fonction de et de , le risque d'erreur adopté.

• Si obs < 2table , on accepte Ho ; la différence est non significative au risque

choisi.

• Si obs ≥ 2

table , on rejette Ho.

• Le test du 2 ne peut s'appliquer qu'à condition que chaque classe ait un effectif

supérieur ou égal à 5. Si cette condition n'est pas remplie, il faudra prévoir un

regroupement des classes tout en faisant attention à la valeur de !

• La valeur du 2 se calcule avec des effectifs et non des fréquences. Les valeurs

observées sont toujours des nombres entiers ; les valeurs calculées peuvent être

décimales et ne doivent pas être arrondies.

• La table du 2 est limitée à = 30. Au-dessus de cette valeur, on utilise le fait que

le paramètre 2 2 est distribué approximativement suivant une loi normale, de

moyenne 2 - 1 et d'écart type égal à 1. Cela revient à utiliser la table de l'écart

réduit avec :

U = 2 2 - 2 - 1

U étant alors une variable aléatoire distribuée suivant une loi normale centrée

réduite.

______________________________________________________________________________ 37 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

2. Tests de conformité

Exemple. Le dihybridisme

On a croisé 12 variétés de plantes différant par 2 caractères A et B. La deuxième génération

fait apparaître 4 types de plantes notées AB, Ab, aB et ab avec les proportions théoriques

9/16, 3/16, 3/16 et 1/16 respectivement (Loi de Mendel).

Dans une expérience, un échantillon de 160 plantes a donné :

AB = 100 Ab = 18 aB = 24 ab = 18

Cette répartition est-elle conforme à la loi de Mendel ? Prendre = 0,05.

********

Ho : la distribution observée est conforme à la distribution théorique.

Si l'échantillon est conforme à la loi de Mendel, le 2 calculé doit être inférieur à celui donné

par la table au risque de 5 %.

Donc pour = 5 % et = 4-1 = 3, 2table = 7,815 (table IV)

Calcul du 2obs

AB Ab aB ab Total

Répartition observée 100 18 24 18 160

Répartition calculée 90 30 30 10 160

2 obs. =

(100-90)2

90 + .......

(18-10)2

10 =

102

90 +

(-12)2

30 +

(-6)2

30 +

82

10 =

13,511

Donc 2 obs. > 2

table , on doit rejeter Ho ; la distribution observée n'est pas conforme à la

distribution théorique. Autrement dit, l'échantillon n'est pas conforme à la loi de Mendel.

3. Tests d'ajustement

On appelle ajustement à une loi théorique T, l'opération qui consiste à associer à un ensemble

d'observations O, une loi théorique de probabilité telle que O puisse être considéré comme un

échantillon issu d'une population obéissant à la loi T. Le choix de T repose alors :

- soit sur des raisons purement théoriques ;

- soit sur des résultats expérimentaux : allure de l'histogramme, valeurs des paramètres etc.

Les tests d'ajustement ont donc pour but de vérifier si une population étudiée, à partir d'un

échantillon aléatoire, peut être considérée comme conforme à une population théorique

donnée. Il s'agit alors de savoir si les écarts constatés entre les effectifs observés et les

effectifs théoriques, c'est-à-dire ceux que l'on devrait obtenir si la population étudiée est

conforme à la population théorique, peuvent être, ou non, expliqués par le hasard de

l'échantillonnage.

1. Exemple d'ajustement à une loi normale

______________________________________________________________________________ 38 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

On a pesé 300 œufs et on a obtenu la série suivante (centres de classes), les résultats étant

exprimés en g.

xi (g) 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68

ni 6 13 32 41 60 50 52 26 14 6

1. Calculer la moyenne et l'écart type de cet échantillon.

2. Peut-on considérer que les poids de ces œufs sont répartis selon une distribution normale ?

*********

Si la distribution proposée obéit à une loi normale, la moyenne et l'écart type de cette loi

normale sont convenablement estimés par la moyenne et l'écart type de la distribution.

Le tableau ci-dessous résume l'essentiel des calculs à réaliser ; pour des commodités de calcul

les classes sont légèrement modifiées.

Classes xi ni

O

nixi nixi2 u (u) Probabilité Effectif

théorique, T

(O-T)2

T

] - - 34 ] 32 6 192 6144 6,35 0,01929

34 -2,03 0,0212 0,0212

] 34 - 38 ] 36 13 468 16848 0,0431 12,94 0,00028

38 -1,52 0,0643

] 38 - 42 ] 40 32 1280 51200 0,0919 27,57 0,71182

42 -1,01 0,1562

] 42 - 46 ] 44 41 1804 79376 0,1488 44,64 0,29681

46 -0,51 0,3050

] 46 - 50 ] 48 60 2880 138240 0,1950 58,5 0,03846

50 0,00 0,5000

] 50 - 54 ] 52 50 2600 135200 0,1950 58,5 1,23504

54 0,51 0,6950

] 54 - 58 ] 56 52 2912 163072 0,1488 44,64 1,21348

58 1,01 0,8438

] 58 - 62 ] 60 26 1560 93600 0,0919 27,57 0,08941

62 1,52 0,9357

] 62 - 66 ] 64 14 896 57344 0,0431 12,93 0,08855

66 2,03 0,9788

] 66 - + ] 68 6 408 27744 0,0212 6,36 0,02038

70

Totaux 300 15000 768768 1,00 300 2obs =

3,714

moyenne, x x =

nixi

n = 50 g

population =[ nixi

2

n ] - x 2 = 62,56 g2

2 estimée 2 = n

n - 1 . = 62,77 g2

estimée = 2 = 7,9 g

ddl, = 10 - 2 - 1 = 7

table, = 0,05 14,07

______________________________________________________________________________ 39 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

décision

statistique obs (3,714) < table (14,07) On accepte Ho, l'hypothèse de normalité de la distribution proposée.

Sur le tableau ci-dessus, nous observons que :

x = 50 g ; estimé = 7,9 g

Le nombre de paramètres estimés est donc égal à 2.

• L'étape suivante consiste à calculer pour chaque classe, l'effectif théorique qui lui est

associé.

Par exemple, pour la classe ] 58 - 62 ] - en grisé sur le tableau ci-dessus - si la distribution

proposée était normale,

avec u = X - x

et en remplaçant x et par leurs valeurs respectives, on a :

Prob (58 < X ≤ 62) = Prob (1,01 < u ≤ 1,52)

= Prob (u ≤ 1,52) - Prob (u < 1,01)

= 0,9357 - 0,8438 = 0,0919

L'effectif théorique de cette classe sera donc :

300 x 0,0919 = 27,57

Il en sera de même pour les autres classes.

• À noter que la dernière probabilité - en grisé sur le tableau ci-dessus -, s'obtient tout

simplement par différence entre la probabilité totale (1) et la dernière probabilité " cumulée ":

1 - 0,9788 = 0,0212

• Les effectifs théoriques étant tous supérieurs à 5, nous n'avons pas à procéder à un

regroupement des classes.

• Le 2 observé s'obtient aisément par addition des nombres de la dernière colonne

Au risque de 5 %, on accepte l'hypothèse que la distribution proposée obéit à une loi normale

de moyenne x 50 g et d'écart type estimé = 7,9 g.

2. Exemple d'ajustement à une loi de Poisson

Exemple

Dans une région particulière, le nombre de vêlages pour une période de 80 jours se répartit

comme suit :

nombre de vêlages, xi 0 1 2 3 4 5 6 et plus

nombre de jours, ni 18 23 20 9 4 3 3

1. Estimer la moyenne et la variance de la population à partir de cet échantillon

2. Peut-on admettre au risque de 0,05 que la population obéit à une loi de Poisson ?

______________________________________________________________________________ 40 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

********

• Ho : la distribution observée est conforme à une loi de Poisson.

Le tableau ci-dessous résume l'essentiel des calculs à effectuer.

Totaux

xi 0 1 2 3 4 5 6 et plus 7 = k

ni, O 18 23 20 9 4 3 3 80

nixi 0 23 40 27 16 15 18 139

nixi2 0 23 80 81 64 75 108 431

Prob (x=k) 0,1827 0,3106 0,2640 0,1496 0,0636 0,0216 0,0080 1,00

n théor., T 14,61 24,84 21,12 11,97 5,09 1,73 0,64 80,0

14,61 24,84 21,12 11,97 7,46 5 = k'

( O-T )2

T

0,791 0,130 0,057 0,752 0,869

2

obs

2,599

n 80

moyenne, x 1,737 ≈ 1,7

variance population , 2,369

variance estimée, 2 2,399

écart type estimé, 1,549

risque d'erreur, 0,05

ddl, k' - 1 - 1 5 - 1 - 1 = 3

table, = 3; = 0,05 7,815

décision statistique : 2obs (2,599) < 2

table (7,815). On accepte Ho.

La distribution observée est donc conforme à la loi de Poisson.

• Le calcul de la moyenne et de la variance estimées donne :

x = 1,737 ≈ 1,7 et 2 = 2,399

Rappelons qu'une loi de Poisson est définie par un seul paramètre qui est la moyenne m = n.p

Pour calculer les effectifs théoriques, on applique la loi de Poisson , c'est-à-dire :

Prob ( X = k ) = e-m . mk

k ! = e-1,7 .

1,7k

k !

Noter que la dernière probabilité, en grisé sur le tableau ci-dessus s'obtient de la manière

suivante :

Prob (X ≥ 6) = 1 - Prob (X ≤ 5) = 1 - 0,9920 = 0,0080

______________________________________________________________________________ 41 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

Noter aussi que nous avons regroupé les trois dernières classes pour que l'effectif soit

supérieur à 5.

______________________________________________________________________________ 42 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

III. COMPARAISON DE RÉPARTITIONS OBSERVÉES

ENTRE ELLES : TEST D'HOMOGÉNÉITÉ

1. Position du problème et présentation des données

Il s'agit de comparer entre elles des distributions relatives à plusieurs échantillons afin de

déterminer si les différences observées sont significatives ou seulement dues au hasard de

l'échantillonnage.

Les données observées doivent être groupées dans un tableau à double entrée, appelé tableau

de contingence (voir la première partie) et qui se présente sous l'allure suivante, le caractère

étudié "prend les valeurs" a, b, c, ....d.

Caractère étudié

Répartition

a b c ..... .... d Total

Répartition A n1

Répartition B n2

Répartition C n3

. .

. .

. .

Total n'1 n'2 n'3 n'4 N

Pour un tableau à L lignes et C colonnes, on peut choisir (L-1) (C-1) effectifs.

Cette valeur représente alors le nombre de degrés de liberté pour le test en question.

2. Calcul des valeurs théoriques

Pour les déterminer, on fait l'hypothèse nulle ou l'hypothèse d'homogénéité, c'est-à-dire que

l'on suppose les échantillons homogènes.

Donc, sur N sujets, il y a n'1 pour lesquels le caractère est a.

Combien y a -t-il de sujets pour lesquels le caractère est a, sur n1 ?

On obtient n'1

N . n1 qui représente la valeur calculée pour la première case (caractère a,

répartition A) sur la base de l'hypothèse d'homogénéité.

De la même façon, on peut déterminer les autres valeurs calculées pour les autres cases.

Le test du 2 permettra alors de comparer les valeurs théoriques aux valeurs observées avec un

ddl = (L-1)(C-1).

• Si 2obs. < 2

table Ho peut être acceptée

• Si 2obs. ≥ 2

table Ho est à rejeter

______________________________________________________________________________ 43 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

3. Exemple

Le tableau suivant indique le résultat de l'examen de 120 sujets, classés d'après la couleur de

leurs yeux et la couleur de leurs cheveux.

On demande s'il existe une liaison entre ces 2 caractères.

Couleur des cheveux

Couleur des yeux

Blonds Bruns Noirs Roux Total

Bleus 24 10 4 6 44

Verts 15 16 9 7 47

Marron 7 12 6 4 29

Total 46 38 19 17 120

********

Nous devons tester l'hypothèse nulle :

Ho : la répartition de la couleur des cheveux est indépendante de celle des yeux.

S'il n'existe pas de liaison entre ces caractères, il doit y avoir le même pourcentage de blonds

parmi les individus aux yeux bleus que parmi les individus aux yeux marron ou le même

pourcentage d'individus aux yeux verts parmi les individus bruns que parmi les roux.

• Ho = Population homogène et on en déduit les proportions en regroupant tous les

échantillons.

Le tableau ci-dessous résume l'ensemble des résultats nécessaires aux calculs.

Couleur des cheveux

Couleur des yeux

Blonds Bruns Noirs Roux Totaux

Bleus

n observés , O

24

10

4

6

44

n théoriques , T 16,9 13,9 7,0 6,2 44

(O-T)2/T 3,02 1,11 1,26 0,01 5,40

Verts

n observés , O

15

16

9

7

47

n théoriques , T 18,0 14,9 7,4 6,7 47

(O-T)2/T 0,51 0,08 0,33 0,00 0,93

Marron

n observés , O

7

12

6

4

29

n théoriques , T 11,1 9,2 4,6 4,1 29

(O-T)2/T 1,52 0,86 0,43 0,00 2,82

Total 120 obs

= 9,16

Sur 120 individus 46 sont blonds , c'est-à-dire 38,33 %

38 sont bruns , c'est-à-dire 31,66 %

______________________________________________________________________________ 44 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

Si 38,33 % des individus sont blonds, parmi les 44 individus aux yeux bleus, on aurait du

trouver :

44 . 38,33

100 = 16, 9 "blonds" (au lieu des 24 observés, valeur en grisé sur le tableau ci-dessus)

44 . 31,66

100 = 13,9 "bruns" (au lieu des 10 observés, valeur en grisé sur le tableau ci-dessus)

etc.

• On calcule ensuite l'expression 2obs

= (Oi - Ti)2

Ti et on additionne ces 12 expressions.

2obs =

(24-16,9)2

16,9 +

(10 - 13,9)2

13,9 + ........ +

(4 - 4,1)2

4,1 = 9,16

Les calculs peuvent être simplifiés s' ils sont présentés comme dans le tableau ci-dessus.

• ddl = = (C-1)(L-1) = 3 x 2 = 6

• Pour = 6 et = 5 % , 2table = 12,59

• 2obs < 2

table , on accepte donc Ho.

Il n' existe pas de liaison entre la couleur des yeux et celle des cheveux.

Ce test porte le nom de test d'indépendance.

IV. CAS PARTICULIER : COMPARAISON DE DEUX FRÉQUENCES

Exemple. Le taux de glycémie (taux de glucose dans le sang) a été mesuré chez 82 enfants

prématurés.

Il y a :

- hypoglycémie si la glycémie ≤ 30 cg/l

- hyperglycémie si la glycémie > 30 cg/l

Garçons Filles Effectifs observés

Hypoglycémie

Normoglycémie

18

22

11

31

29

53

Total 40 42 82

Problème posé : la fille est-elle moins sujette que le garçon à présenter une hypoglycémie ?

********

Première méthode : comparaison de deux fréquences observées.

Calcul de = pA - pB

pq

nA +

pq

nB

______________________________________________________________________________ 45 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

Il s'agit de savoir si la différence entre pA = 18/40 et pB = 11/42 est significative ou non.

Ho : pA = pB

pA = 18/40 = 0,45 pB = 11/42 = 0,26

Calcul de p = 18 + 11

40 + 42 =

29

82 = 0,354 q = 0,646

nA = 40 et nB = 42

obs = 0,45 - 0,26

0,354 . 0,646

40 +

0,354 . 0,646

42

= 0,19

0,1054 = 1,80

Pour = 0,05, table = 1,96

obs < table, la différence est non significative à 5 %. Le taux de glycémie est le même chez

les garçons et les filles.

Deuxième méthode. Calcul du 2

Ho : les deux populations sont homogènes.

Garçons Filles Effectifs observés

Hypoglycémie

Normoglycémie

18 (14,15)

22 (25,85)

11 (14,85)

31 (27,15)

29

53

Total 40 42 82

Les effectifs théoriques sont entre parenthèses sur le tableau ci-dessus.

Exemple. 14,15 = 29 x 40

82 (en grisé sur le tableau)

2obs. =

(18-14,15)2

14,5 + ..........+

(31-27,15)2

27,15 = 3,24

Pour = (2-1)(2-1) = 1 et = 5 %

le 2table = 3,84

2obs. < 2

table , la différence est non significative à 5 %

Il y a donc indépendance entre le sexe et l'hypoglycémie. On ne peut pas prétendre, au vu de

cet échantillon, que la fille soit moins sujette que le garçon à l'hypoglycémie.

______________________________________________________________________________ 46 _____________________________________________________________________________

6. Test du khi-deux

Les 2 méthodes conduisent donc au même résultat.

______________________________________________________________________________ 47 _____________________________________________________________________________

Tables statistiques

TABLE I TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE

FONCTION DE RÉPARTITION

(u) =

-

u 1

2 e -1/2 u2

du

Exemple : (0,52) = 0,6985 ; (-1,93) = 1 - (1,93) = 1 - 0,97320 = 0,02680

u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774

1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189

1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408

1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449

1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327

1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062

1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670

2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169

2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574

2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899

2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158

2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361

2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520

2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643

2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736

2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807

2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900

3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929

3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950

3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965

3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976

3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983

3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989

3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992

______________________________________________________________________________ 48 _____________________________________________________________________________

Tables statistiques

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

______________________________________________________________________________ 49 _____________________________________________________________________________

Tables statistiques

TABLE II

TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU

TABLE DE L'ÉCART RÉDUIT

0 + -

/ 2

+ •

/ 2 1 -

N (0,1)

- •

La probabilité s'obtient par addition des nombres inscrits en marge.

Exemple : Pour = 1,96, la probabilité est = 0,00 + 0,05 = 0,05

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 ∞ 2,577 2,327 2,171 2,054 1,960 1,881 1,812 1,751 1,696

0,10 1,645 1,598 1,555 1,514 1,476 1,440 1,405 1,372 1,341 1,311

0,20 1,282 1,254 1,227 1,201 1,175 1,150 1,127 1,103 1,080 1,058

0,30 1,037 1,015 0,995 0,974 0,954 0,935 0,915 0,897 0,878 0,860

0,40 0,842 0,824 0,806 0,789 0,772 0,755 0,739 0,723 0,706 0,690

0,50 0,675 0,659 0,643 0,628 0,613 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539

0,60 0,524 0,510 0,496 0,482 0,468 0,454 0,440 0,426 0,412 0,399

0,70 0,385 0,372 0,358 0,345 0,332 0,319 0,305 0,292 0,279 0,266

0,80 0,253 0,240 0,228 0,215 0,202 0,189 0,176 0,164 0,151 0,138

0,90 0,126 0,113 0,100 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,025 0,013

TABLES POUR LES PETITES VALEURS DE

0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001

3, 290 53 3,890 59 4,417 17 4,891 64 5,326 72 5,730 73 6,109 41

______________________________________________________________________________ 50 _____________________________________________________________________________

Tables statistiques

TABLE III

TABLE DE STUDENT

La table donne la probabilité pour que t égale ou dépasse, en valeur absolue,

une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté (ddl).

Exemple : avec ddl = 10, pour t = 2,228, la probabilité est = 0,05

0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

ddl

1 0,158 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 0,142 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600

3 0,137 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 0,134 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,132 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,131 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,130 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 0,130 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,129 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,129 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,129 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,128 0,695 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,128 0,694 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,128 0,692 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,128 0,691 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,128 0,690 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,128 0,689 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,127 0,688 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,127 0,688 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,127 0,687 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,127 0,686 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,127 0,686 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,127 0,685 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

24 0,127 0,685 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,127 0,684 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,127 0,684 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,127 0,684 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 0,127 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,127 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660

30 0,127 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,126 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

80 0,126 0,678 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416

120 0,126 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

∞ 0,126 0,675 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 3,293

______________________________________________________________________________ 51 _____________________________________________________________________________

Tables statistiques

TABLE IV

TABLE DU 2

La table donne la probabilité pour que 2 égale ou dépasse

une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté .

Exemple : avec = 3, pour 2 = 0,11 la probabilité = 0,99.

0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,001

1 0,0002 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83

2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82

3 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,27

4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,47

5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 20,51

6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 22,46

7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 24,32

8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 26,12

9 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 27,88

10 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 29,59

11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 31,26

12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 32,91

13 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 34,53

14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 36,12

15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 37,70

16 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 39,25

17 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 40,79

18 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 42,31

19 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 43,82

20 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 45,31

21 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 46,80

22 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 48,27

23 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 49,73

24 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 51,18

25 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 52,62

26 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 54,05

27 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 55,48

28 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 56,89

29 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 58,30

30 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 59,70

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Tables statistiques

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