MÉMORIAL DES

SCIENCES PHYSIQUES

PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS 148007-56 Quai des Grands-Augustins, 55.

MÉMORIAL DES

SCIENCES PHYSIQUES PUBLIÉ SOUS LE PATRONAGE DE

L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE PARIS DES ACADÉMIES DE BELGRADE, BRUXELLES, BUCAREST, COÏMBRE, CRACOVIE, KIEW,

MADRID, PRAGUE, ROME, STOCKHOLM (FONDATION MITTAG-LEFFLER), AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS.

DIRECTEURS : H. VILLAT

Membre de l'Institut G. RIBAUD

Membre de l'Institut

FASCICULE LXII

Les filtres de fréquences PAR M. Paul P O I N C E L O T

Docteur ès sciences, Ingénieur en chef des Télécommunications

I GAUTHIER-VILLARS, ÉDÎTÊÚR-IMPRIMEUR-LIBRAIRE

Quai des Grands-Augustins, 55 1956

© 1956 by Gauthier-Villars. Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation

réservés pour tous pays.

LES

FILTRES DE FRÉQUENCES Par M. Paul POINCELOT,

Docteur ès sciences, Ingénieur en chef des Télécommunications.

INTRODUCTION.

L'objet de cet Ouvrage est d'exposer la théorie des filtres électriques classiques, comportant des condensateurs et des bobines de self-inductance, dans l'esprit suivant :

En premier lieu, rattacher cette théorie à celle du quadripôle passif.

En second lieu, montrer comment on réalise un filtre classique. En troisième lieu, indiquer que cette théorie s'applique à toutes

sortes de filtres autres que les filtres électriques. En quatrième lieu, signaler des méthodes différentes et qui ont

reçu des applications spéciales telle que celles de Cauer. L'auteur montre enfin comment l'étude du régime permanent

conduit à celle des régimes transitoires.

En ce qui concerne le premier point, nous rappelons brièvement la théorie du quadripôle linéaire, pour établir cette proposition fondamentale, à savoir qu'un quadripôle dépend de trois paramètres

au plus, d'où la possibilité de le représenter, à une fréquence déterminée, par un réseau en T ou en II. Partant de cette équivalence, nous démontrons un certain nombre de théorèmes qui se rapportent aux structures itératives et permettent de définir les notions utiles d'impédances itératives, d'impédances-images, les fonctions de transfert correspondantes, l'évaluation approximative de l'affaiblissement dans les bandes passantes en fonction des coefficients de surtension, etc.

Nous montrons comment il convient d'associer les cellules afin de réduire le nombre des éléments, capacités et self-inductances, et de réaliser une adaptation convenable à l'impédance de sortie, pour obtenir une courbe de réponse satisfaisante. Nous indiquons plusieurs réalisations effectives qui ont été faites en partant de ces considérations.

On trouvera, dans ce volume, un aperçu sur la méthode de Cauer, sur les filtres piézoélectriques, etc. et sur les régimes transitoires.

Nous n'avons pas développé ces sujets. Nous signalons que l'étude des filtres mécaniques, acoustiques, piézoélectriques, à cavités pour hyperfréquences, etc. nécessite la connaissance de techniques particulières, tout en étant susceptible d'être conduite à partir de la théorie des filtres électriques.

Nous mentionnons simplement la méthode de Cauer, différente de celle des filtres en échelle qui fait le sujet du présent volume, et qui a pour principe de grouper tous les éléments dans la même cellule en reproduisant une courbe de réponse fixée à l'avance, tandis que dans maintes applications des filtres, on s'impose essentiellement des tolérances sur l'affaiblissement dans les bandes passantes et atténuées. A notre avis, la méthode de Cauer nécessite une étude particulière et ses applications sont spéciales.

Nous n'avons pas insisté sur la technique proprement dite, pour la raison qu'elle évolue d'année en année, étant donné les progrès constants en matière de subtances diélectriques et magnétiques, en sorte qu'un Ouvrage conçu dans cet esprit risquerait d'être rapidement périmé. D'ailleurs, la lecture d'un livre ne saurait se substituer à la pratique du Laboratoire; elle doit au contraire lui venir en aide et la préciser. Cependant nous pensons que les applications citées dans le présent volume pourront toujours être consultées avec fruit.

CHAPITRE I.

1. Généralités. — On appelle quadripôle une combinaison de circuits ou structure, munie de quatre bornes, deux pour l'entrée et deux pour la sortie. Un tel système ne transmet pas uniformément toutes les fréquences ; on le dénomme filtre ou correcteur. Les filtres présentent des bandes de transmission et d'affaiblissement particu- lièrement nettes et telles qu'on puisse négliger l'affaiblissement des bandes passantes. Un correcteur, au contraire, a en général une caractéristique moins variée.

Connaissant la tension à l'entrée d'un tel dispositif, nous chercherons à déterminer sa valeur à la sortie dans les cas suivants :

1° en régime sinusoïdal permanent; 2° en régime périodique permanent; 3° en régime quelconque.

Le régime sinusoïdal permanent se présente de façon courante, et souvent on s'efforce de le réaliser. Il représente les oscillations d'un circuit non amorti; il est inutile d'insister sur les analogies que présente son étude avec celle de nombreux phénomènes en Méca- nique, en Acoustique, en Optique, etc. Le régime périodique permanent a une grande importance pour des raisons analogues et son étude peut se déduire de celle du régime sinusoïdal par le théorème de Fourier.

Enfin, si l'on envisage, non plus une fonction périodique, mais une fonction quelconque, on peut la considérer comme une fonction périodique de période infinie. Le fondamental et les harmoniques de la série trigonométrique déviennent alors infiniment voisins et possèdent une amplitude infiniment petite. Du point de vue mathé- matique, la série est remplacée par une intégrale. Du point de vue physique, la série des harmoniques distincts est remplacée par un spectre continu. On voit ainsi que l'étude du régime sinusoïdal permanent est intéressante, en elle-même d'abord, et ensuite parce qu'on peut en déduire tous les autres cas.

Nous supposons essentiellement que les réseaux auxquels nous faisons allusion sont linéaires, c'est-à-dire qu'ils satisfont à la propriété suivante : si la tension d'entrée est sinusoïdale, la tension de sortie l'est également, possède la même fréquence et est propor- tionnelle à la tension d'entrée. Il est nécessaire pour qu'il en soit ainsi que les valeurs des résistances, des self-inductances et des capacités ne dépendent pas de l'intensité du courant, qu'il n'y ait pas de phénomènes d'hystérésis ni de saturation, en un mot que les équations auxquelles conduit l'étude du dispositif soient linéaires par rapport au courant et à ses dérivées par rapport au temps.

Considérons un quadripôle en régime sinusoïdal permanent. Soient Ui et U2 les tensions d'entrée et de sortie en notation

complexe. Le rapport ^ est caractérisé d'ordinaire par une quantité 0 telle que

6 est un nombre complexe que l'on peut écrire 0 = α + jϕ

α est appelé l'affaiblissement, ϕ le déphasage, 0 l'exposant de transfert. Nous avons

Sous cette forme, on l'exprime en népers. On l'exprime aussi sous la forme

Le Néper et le décibel, de môme que le Savart en acoustique sont de simples nombres, et non des grandeurs. En général, a et ϕ sont fonctions de la fréquence ; on dit alors qu'il y a distorsion de fréquence et de phase.

Lorsqu'un système est linéaire, il satisfait au principe de super- position, c'est-à-dire que si à des tensions d'entrée u1, u;, , ... correspondent des tensions de sorties u2, , ... à la tension d'entrée , ... correspondra la tension de sortie

, , • • ■

On peut donc, tout au moins de façon théorique, faire l'étude du régime de sortie de la manière suivante :

1° Décomposition de la tension d'entrée en série ou en intégrale de Fourier.

2° Calcul du régime permanent pour chacune des fréquences envisagées ci-dessus.

3° Somme des solutions partielles.

Dans le cas général, les opérations 1° et 2° sont toujours possibles. La troisième opération fait intervenir soit la somme d'une série, soit le calcul d'une intégrale définie, qui peut s'effectuer par des procédés d'approximation.

2. Étude du quadripôle passif. — Equivalence avec une cellule en T, à une fréquence déterminée. — Nous allons démontrer une importante proposition qui simplifie considérablement l'étude du quadripôle : à une fréquence déterminée, on peut remplacer un quadripôle passif par une cellule en T, représentée sur la figure i,

Fig. i.

Le lecteur pourra se dispenser de suivre cette démonstration à la première lecture. Pour la compréhension du reste de l'Ouvrage, il suffira d'en admettre le résultat.

On démontre en électrostatique (1) que, étant donné n conduc- teurs, dont les potentiels sont Vi, V2, ..., •, Vn et les charges ql, q2, .... qn, il existe entre ces grandeurs la relation

(1)

(1) Voir les traités de Physique classiques.

soit

on en déduit que les potentiels peuvent s'exprimer en fonction des charges par les relations

VI = a11 q1 + ... + a1nqn, ...............................

ou

on arrive à ce résultat en résolvant le système ( i ) par rapport aux potentiels et en considérant les déterminants formés avec les Cij.

Comme l'énergie électrostatique du système de conducteurs est

on peut poser

ou i = 1, 2, .. n; j = 1, 2, n.

Telle est l'expression de l'énergie électrostatique du système de conducteurs.

De même, l'énergie électromagnétique peut se mettre sous la forme

en raison du fait que les champs magnétiques sont proportionnels aux intensités ^ comme les champs électriques sont proportionnels aux charges qi.

Enfin, l'énergie dépensée sous forme de chaleur Joule est encore une fonction quadratique des intensités pour laquelle on peut poser

Nous appliquerons les équations de Lagrange au système, sous la forme

où T sera l'énergie magnétique. La force Fi sera la somme de la force électrostatique - d e la force de viscosité correspondant

au dégagement de chaleur Joule et de la force électromotrice appliquée ei.

Comme , il vient

Considérons un système que l'on peut décomposer en n mailles, telles que le courant soit le même en tout point de chacune d'elles. Les deux mailles extrêmes sont supposées ouvertes. Supposons de plus que le système est en régime sinusoïdal permanent.

L'équation de Lagrange de rang k devient

ou

Les lettres majuscules Ek et Ij désignent des valeurs efficaces. De cette propriété des Z, on déduit le théorème de réciprocité :

soit E la f. e. m. insérée dans une maille et 1 le courant dans une autre maille.

Le rapport complexe , appelé impédance de transfert, reste le même si l'on échange E et I.

Posons alors

nous aurons

H est appelé la forme quadratique du réseau.

Considérons maintenant un quadripôle dont les tensions à l'entrée et à la sortie sont Vi et V2, les courants correspondants ii et i2. Le quadripôle étant supposé passif, les f. é. m. dans les autres mailles sont nulles et l'on peut poser

Vi = Z 11 i1 + Z12 i2 + ... + Z1n in, — V2 — Z21 i1 + Z22 i2 + . . . + Z2n in,

O = Z31 i1 + Z32 i2 + ... + Z3n in, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O = Zn1 i1 + Zn2 i2 + ... + Znn in.

Je dis qu'en résolvant les n - 2 dernières équations par rapport à i3, • - - , in, en fonction de i 1 et i2, et en portant les valeurs obtenues dans les deux premières, on obtient le système

V1 = a11 i1 + a12 i2,

V2 = a21 i1 + a22 i2, où a12 = a21.

Soit H la forme quadratique du réseau. Nous avons

Posons

H (i1, i2, .. , in) = H [i1, i2, i3 (i1, i2), . . . , in (i1, i2)] = K (i1, i2) et en dérivant

les n variables il, i2, ..., in étant indépendantes par hypothèse, c'est-à-dire

K étant une fonction quadratique homogène des ii et i2, le théorème est démontré.

Assimilation d'un quadripôle à une cellule en T ou en II (fig. 1). — Le T satisfait aux relations

Vi = (Z1 + Z3) i1 — Z3i2, — V2 = — Z3 i1 + (Z2 + Z3 )i2 et le quadripôle

Vj = aii -+- bi2, — V. = bii -t- ci2.

Les deux systèmes sont équivalents si l'on a Z1 = a + b, Z2 — b + c, Z3 = — b

et le quadripôle peut être remplacé par le T. On verrait de même l'équivalence avec une cellule en II.

Cette équivalence n'a lieu, en général, qu'à une fréquence déter- minée, car Z1 Z2, Z3 et a, b, c, sont fonctions de la fréquence (1).

3. Théorème de Thévenin. — La représentation d'un quadripôle par un T, à une fréquence donnée, nous permet de démontrer faci- lement le théorème de Thévenin, fréquemment utilisé dans la technique des filtres et circuits de transmission.

Fig. 2.

Voici l'énoncé du théorème (fig. 2) : Soit un quadripôle fermé à l'entrée sur une source de f. é. m. E

et d'impédance ZT, à la sortie sur une impédance ZR, Le courant dans cette impédance est donné par la relation

En désignant par E' la tension de sortie en circuit ouvert, et par Z l'impédance que l'on mesurerait à la sortie, en supprimant ZR et en remplaçant la source par une impédance ZT.

Fig. 3.

(T) Nous avons suivi, dans ses grandes lignes, la démonstration de J. B. POMEY, Cours d'Électricité théorique, Gauthier-Villars, 1928, t. II, p. 90.

GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR-IMPRIME UR-LIBRAIRE 55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, PARIS (6e)

Envoi dans toute l'Union Postale contre mandat-poste ou valeur sur Paris. Frais de port en sus (Chèques postaux : 29 323.) R. C. Seine 54 B 10.161.

MÉMORIAL DES SCIENCES PHYSIQUES (Suite)

Fasc. 31. J. Villey. — Le Rendement des Moteurs thermiques. 32. H. Pariselle. — Polarimétrie et Chimie 33. J. Villey. — Propriétés générales des Fluides moteurs. 34. A. Buhl. — Analogies corpusculaires et ondulatoires. 35. G. Moreau. — Déformations élastiques et plastiques des réseaux cristallins. 36. Jean-J. Trillat. — Moments électriques, adsorption et lubrification 37. A. Guillet. — Les bases de la Stroboscopie 38. A. Guillet et M. Aubert. — Propriétés électrostatiques des systèmes sphériques. 39. E. Darmois et M. Cohu. — La photométrie industrielle 40. G. Ribaud. —La convection forcée de la chaleur en régime d'écoulement laminaire. 41. Vergue et Villey. — Équilibre thermodynamique des fluides homogènes. 42. J. Timmermans et L. D'effet. — Le polymorphisme des composés organiques. 43. M. Aubert. — L'analyse des mélanges de carbures par les méthodes optiques. 44. H. Vergne et J. Villey. — Les variations de l'équilibre thermodynamique 45. E. Darmois et M. Cohu. — Lampes à incandescence et lampes à décharge. 46. G. Ribaud et E. Brun. — La Convection forcée de la chaleur en régime d'écou-

lement turbulent. 47. M. Parodi. — Applications des polynomes électrosphériques à l'étude des sys-

tèmes oscillants à un grand nombre de degrés de liberté. 48. E. Darmois. — La solvatation des ions. 49. J. Becquerel. — Propriétés magnétiques générales de divers composés des élé-

ments du groupe du fer. 50. G. Ribaud et E. Brun. — La convection forcée de la chaleur. Fluide s'écoulant

normalement à un cylindre. 51. G. Ribaud et E. Brun. — La convection de la chaleur aux grandes vitesses. 52. T. Kahan. — Physique des guides d'ondes électromagnétiques. 53. F.-M. Devienne. — Condensation et adsorption des molécules sur une surface

en atmosphère raréfiée. 54. P. Rouard. — Propriétés optiques des lames minces solides 55. P. Rouard. — Applications optiques des lames minces solides. 56. F.-M. Devienne. — Conduction thermique dans les gaz raréfiés. Coefficient

d'accommodation. 57. A. Blanc-Lapierre et M. Perrot. — Conductibilité électrique des lames métal-

liques minces. 58. A. Colombani. — Propriétés magnétiques des lames métalliques minces. 59. Y. Doucet. — Les aspects modernes de la cryométrie 60. T. Kahan. — Les Cavités électromagnétiques et leurs applications en radio-

physique. 61. E. Aubel. — Quelques questions actuelles concernant les enzymes. 62. P. Poincelot. — Les filtres de fréquences.

Fascicules en préparation :

K. Popoff. — Les bases mathématiques de la théorie des processus thermodynami- ques irréversibles.

A. Colombani. — Action du champ magnétique sur les propriétés physiques des lames minces métalliques.

148007-56 Paris. — Imprimerie Gauthier-Villars, 55, quai des Grands-Augustms. Dépôt légal imprimeur, 1956, no 1 117. — Dépôt légal éditeur, 1956, no 669

Poids : 0

Participant d’une démarche de transmission de fictions ou de savoirs rendus difficiles d’accès par le temps, cette édition numérique redonne vie à une œuvre existant jusqu’alors uniquement

sur un support imprimé, conformément à la loi n° 2012-287 du 1er mars 2012 relative à l’exploitation des Livres Indisponibles du XXe siècle.

Cette édition numérique a été réalisée à partir d’un support physique parfois ancien conservé au sein des collections de la Bibliothèque nationale de France, notamment au titre du dépôt légal.

Elle peut donc reproduire, au-delà du texte lui-même, des éléments propres à l’exemplaire qui a servi à la numérisation.

Cette édition numérique a été fabriquée par la société FeniXX au format PDF.

La couverture reproduit celle du livre original conservé au sein des collections de la Bibliothèque nationale de France, notamment au titre du dépôt légal.

*

La société FeniXX diffuse cette édition numérique en accord avec l’éditeur du livre original, qui dispose d’une licence exclusive confiée par la Sofia ‒ Société Française des Intérêts des Auteurs de l’Écrit ‒

dans le cadre de la loi n° 2012-287 du 1er mars 2012.