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THI~ORIE DES SOURCES DE BRUIT RAMENI~,,ES ET EXPRESSION

DU THi~,ORF, ME DE THi~,VENIN CONCERNANT UN R~,SEAU ]~,LECTRONIQUE

ACTIF LIN]~AIRE ET STATIONNAIRE

p a r

Pier re D A V I D

Docteur d 'Eta t : sciences appliqu6es *

RI~SUM~. - - Cette ~lude concerne une classe trds gdndrale de r~seaux dlectroniques acti/s lindaires, sans m~moire, & constantes localisdes en rdgime stationnaire ergodique. Le moddle utilisd est bas~ sur une representation complete du constituant dipolaire dls ; ce dernier est, de ce fail, susceptible de conlenir tousles types de sources y compris celles de fluctuations internes des dl~ments passi/s. Le but de cet article a ~t~ la recherche d'expressions expIicites et g~n~rales en ce qui concerne : a) Ies sources de fluctuation ramen6es dt l'entr~e d'un quadrip6le aclif quelconque ; b) la source de tension el l'impfdance du g~ndrateur de Thdvenin vu par un dip6le

passi/ quelconque du r~seau.

PLAN. - - I : Introduction. I I : R~sultats /ondamentaux concernanl l'analyse des rdseaux. III: Expression g~nd- tale du courant ik ('~) relatif a u k e dipdle passif r~eI. IV : Sources de fluctuations ramen@s sur un dl~ment de r~seau vis-ft-vis d'un dip61e passif. V : Expression g~n~rale du lhdor~me de Thevenin vis-dt-vis d'un dipdle

passil rfel quelconque du r~seau. Conclusion. Bibliographie (6 r6f.).

I. INTRODUCTION

Nous nous s i tuons ici dans le cadre de l ' 6 tude des

f luc tua t ions dans les r6seaux 61ectroniques [1, 2].

N o u s a d m e t t o n s pa r a i l leurs les r6su l ta t s d ' u n e ana-

lyse d6tai l l6e compl6 te c o n c e r n a n t une classe tr6s

g6n6rale de r6seau l in6aire ac t i f sans m6moi r e ,

c o n s t a n t e s loca l i s6es ; ce t t e ana lyse est va l ab l e en

r6gime s t a t i onna i r e e rgod ique e t a fa i r l ' o b j e t d ' u n e

p u b l i c a t i o n dans ce t t e r e v u e [3]. Le mod61e de

c o n s t i t u a n t d ipola i re 616mentaire de r6seau ut i l is6

ici i nc lu t t o u t e 6ven tua l i t6 de c o m p o r t e m e n t ; ce

dip61e g6n6ral c o m p r e n d n o t a m m e n t :

a) un 616ment ~ ca rac t6 re s t r i c t e m e n t pass i f suscep-

t ib le de s 'associer h une source i n d 6 p e n d a n t e de fluc-

t u a t i o n de t ens ion ou de c o u r a n t ;

b) des sources ac t ives de t ens ion ou de c o u r a n t

p o u v a n t d6pendre de t ou t e s les t ens ions e t c o u r a u t s

e x i s t a n t dans le r~seau ; la d6pendance en t re sources

ac t ives e l l es -memes est inclue darts ce module ;

c) des sources d ' e x c i t a t i o n i n d 6 p e n d a n t e s de t ens ion

ou de conran t .

Nous donnons ici une express ion exp l i c i t e darts

l ' e space des f r6quences en ce qui conce rne les sources

de t ens ion ou de c o u r a n t de f l uc tua t i on r amen6es sur

un 616merit de r6seau vis-~-vis d ' u n dip61e passif . Ce

dern ie r v o l t e~l ou t r e un ce r t a in g6nSra teur de Th6-

ven in ; nous le d6finissons e x p l i c i t e m e n t eu f o n c t i o n

de t o u t e s les ca rac t6 r i s t i ques du r6seau e t de rou t e s

les sources i n d 6 p e n d a n t e s d ' e x c i t a t i o n ou de b ru i t .

Nous s i tuerons t o u t d ' a b o r d le mod61e ut i l is6 e t

r appe l l e rons b r i 6 v e m e n t les r6su l ta t s ind i spensab les h

ce t t e ana lyse .

II. RI~.SULTATS FONDAMENTAUX GONCEBNANT L'ANALYSE DES RI~.SEAUX

2.1. Sch6ma 6quivalent g6n6ral du consti- tuant 616mentaire.

Ce seh6ma est une ex t ens ion du mod61e i n i t i a l e m e n t

donn6 p a r A. Sageau [4]. Les 616ments d ipola i res du

r6seau son t num6ro t6s de 1 fi N e t le ke se compose :

a) d ' u n dip61e passif r6el c o m p r e u a n t un 616ment

passif id6al ddfini pa r l ' i m p 6 d a n c e c o m p l e x e

zk(v) e t de d e u x sources pures de f l uc tua t i on : l ' une

ek(~) es t une source de tens ion , l ' a u t r e J'k(~) es t une

source de c o u r a n t ; v e s t ici la v a r i a b l e f r6quence

( v ~ ] - - ~ , + ~ [ ) . Ce dip61e est repr6sen t6 sur la

f igure 1;

b) des sources de t ens ion ac t i ve : ea~(V) e t d ' exc i -

t a t i o n ex t6r ieure eok(V) ;

c) des sources de c o u r a n t ac t i ve : Jak(~) e t d ' exc i -

r a t i o n ex t6r ieure J0k(v).

Le c o n s t i t u a n t 616mentaire g6n6ral es t repr6sen t6

sur la f igure 2.

* I n s t i t u t M a x V o n L a t i e - L a n g e v i n , Gre nob l e .

1/6 A. TI~L~C.~ 287 n os 3-4~ 1973

106 P . D A V I D . -- S O U R C E S D E B R U I T R A M E N ] ~ E S , E X P R E S S I O N D U T H I ~ O R I ~ M E D E T H E V E N I N

+C

]'~ (v)

CE)- l izk(V)

Element passif ideal

z k (v) I

+1'~- - Vzk(o ) I - I +t.,~k(O). I

+ ~ v k (v)

i k (v)

FIG. 1. - - Sch6ma descriptif du k ~ dip61e passif r6el.

§

Jok (V)

iak (v)

i k (v)

El~ment ~ passif r~el

+ ~ v k (v): I + ;~

idk{O)

1-- + b=-eok (v~- I

Vdk (V) ] - -

FIG. 2. - - Sch6ma descriptif du k e dip61e g~n~ral.

Notat ion e t re la t ions a t tachdes ~ la ddl ini t ion du cons t i tuan t d ipo la i re gdndra l de rdseau.

L'~criture de tout veeteur et de route matrice de coeffi- cients implique une num~rota t ion arbitraire a priori de tout cons t i tuant 616mentaire. A u k e dl~ment gdn6ral de r6seau, on affecte alors les param~tres de num6ro k ; ce s o n t :

a) les sources des divers types : ea/c(v), eok(v), ek(v),

jak(V), jo/c(v), "jk(v) b) l ' impddance z/c(v),

c) les tensions yak(v), v/c(v) et Vzk(V) ; elles apparaissent respectivement aux bornes des dip61es : gdn~ral, passif rdel, passif ideal (voir Fig. I e t 2),

d) les courants ia~(v), i/~(v), iz~(v) sont respectivement relatifs aux dip61es : gdndral, passif r~el, passif iddal.

Compte tenu des conventions de signe relatives aux tensions et aux courants et indiqudes sur les figures et 2, on dolt dcrire des lois aux tensions et aux courants en ce qui concerne :

- - chaque dip61e g~n~ral,

- - c h a q u e dip61e passif.

Ces lois ~tant vraies quel que soit k, leur ensemble s 'exprime sons forme de relations vectorielles &addit ion relatives au rdseau dans l 'espace h 2/ dimensions :

(1) Iva( , )> = Iv ( , )> + lea( , )> § leo(v)> , (2) lia(v)> = l i ( ' ) > + [J, ( ' ) > + [Jo( , )> ,

(3) li (v)> = li (v}> + ( v ) > ,

(~} I v (v)> = ]v~(v)> + [ e ( v ) > .

Par ailleurs, z ~tant la matrice diagoaale des imp6dances :

[z] =

la loi relative & l 'ensemble des imp6dances du r6seau s'6crit :

(5) ]vz(~)> : [z][iz(v)> .

Remarque.

Dans les cas p r a t i ques les p lus fr~quertts , u n ~ld- mer i t de r6seau ne c o n t i e n t pas s imultar t(~ment u n e source de t ens ion et de c o u r a n t d 'ur t m~me t y p e ; il est ais6 d ' e x p r i m e r cet te cond i t i on en a n n u l a n t u n

ce r t a in h o m b r e de sources p a r m i les 6 N suscept ib les d ' ex i s t e r darts le module propos~ ; ceci cortduit n o t a m - m e n t h i n t rodu i r e des l ignes de O dans les ma t r i ces de d6f iu i t ion des sources act ives .

Rela t ions de ddfini t ion des source s ac t ives .

Les relations (1) et (2) permet tent d'~liminer les vec- teurs Iva> et l i a> lorsque 1'on 6crit les expressions de d6finition des sources actives [3] ; rappelons l 'expression valable dans l 'espace h 2 N dimensions sous forme condensde :

[ -lea(v)> 7 Vv(v)>7 [ -le~ ] (6) LIJ.(v )>J = [H,N]LIi(v) > / + [HB2N] LlJo(v) >J"

Chacune des matrices carrdes d'ordre 2 2/ peut alors se partager suivant quatre sous-matrices carrdes N • N, dites matrices de type h :

FEb,v1, Eh ,l-] o Ftheeol, Eh ,olq (7) [HIN] = L[hsv], [ h / d / ; [H'*N] = L[hs~o], [h/lo] ] '

ce qui permet d 'exprimer individuel lement les vecteurs le=(v)> et lh(v)>.

2.2. SystSme g~n6ral de relations associ6 au r6seau.

Rappel. L 'ex i s t ence de sys t~mes comple t s et i n d , - p e n d a n t s de lois de Ki rchhoff d ' u n graphe est li6e h la tr~s i m p o r t a n t e n o t i o n topo log ique d ' a r b r e [4, 5] ; d ' u n e man i~re g6n~rale, ces r e l a t ions s ' dc r iven t :

t (s) > = o,

I (9) : o.

Les ma t r i ce s A et B son t r e s p e c t i v e m e n t ( v - - 1) • N e t ( N - - v + 1) • N , v ~ t a n t l e n o m b r e d e n c e u d s du r 4 s e a u ; elles son t di tes : topologiques .

E x p r e s s i o n des m a t r i c e s AN, BN, CN, DN en fonct ion des m a t r i c e s topo log iques A e t B e t de s m a t r i c e s de type h.

Les matrices carries d'ordre 2/ dites de type k ~tant d6finies d'aprbs celles de type h comme suit :

(10) t [key] = [hey] § [IN] ; [kll] = [h/,] -]- [IN] ( [keeo] [heeo] § [IN] ; [kj/o] ---- [h•o] § [IN]

A. TI~L~C., 28, n ~ 3-4, 1973 2/6

P. DAVID. -- SOURCES DE BRUIT RAMEN]~ES, EXPRESSION DU TH~ORI~ME DE THEVENIN 107

il vient :

(~)

[-[B] [kev]~ [AN] = I_[A ] [hsv]A

[ [ ' ] [~eeo]-] [CN] = [ [ A ] [h~o]_]

E t a n t donn6 la r e l a t ion

[ [ B ] [hei]~ ; [BN] : L[A] [kli]A'

; [D2v] = L[A] [kZo]j.

de d6f in i t ion (6), les express ions mat r ic ie l les (11), c o m p t e t e n u de (7) e t (10) et des r e l a t ions (8) et (9) d6f in i s san t les ma t r i ces de t y p e A e t B, on a b o u t i t ~ la r e l a t i on mat r ic ie l le g6n6rale [3] :

(12) { [ A ~ I (z) + [BN]}] i (v )> = - - [ANlFuej(V)>

- - [ C N ] [eo(~)> - - [DN]IJo(~)> �9

Le v e e t e u r [Uei(V)> d6fini p a r l ' e n s e m b l e de tou tes les f luc tua t ions in t e rnes s ' exp r ime e o m m e sui t :

(13) lu,~(~)> : [e(~)> - (~)~ (~)>

2 .3 . E x i s t e n c e et un i c i t6 de la s o l u t i o n du s y s t S m e .

D6finissons le r6seau passif G O associ6 au r6seau act i f g6n6ral 6tudi6 G en e f fec tuan t :

- - le cour t -c i r cu i t des sources ac t ives de t ens ion ,

- - la coupure des sources ac t ives de cou ran t .

L ' ex i s t ence et l ' un ic i t6 de la so lu t ion du sys-

t6me [12] son t alors garan t ies p a r celles du sys t6me d6c r ivau t le r6seau passif G o 6tudi6 p a r ai l leurs [6]. Nous avons d6mont r6 ce r6su l t a t dans no t r e ar t ic le

d6jh p a r u [31.

I I I . E X P R E S S I O N G ~ . N ] ~ R A L E D U C O U B A N T ik(v) R E L A T I F A U k e

D I P O L E P A S S I F B]~EL

N o t a t i o n .

Les pe colonnes des ma t r i ces A N , CN, DN se ron t r e s p e c t i v e m e n t not~es :

l ap> , [Ca > , I ~ > .

De mani6 re g6n6rale, nous appe l le rons :

le d 6 t e r m i n a n t de la ma t r i ce o b t e n u e h p a r t i r de :

[ d ~ ] - - [AN] (Z) § [ B N ] ,

lorsque l ' on remplace la k e co lonne de eet te derni6re

pa r Iv1>, les au t res colonnes 6 t au t laiss6es i nchan - g6es. Posons :

~lejp('~ ) : ep('r - - Zp Jp('V)

et ~ N = d 6 t e r m i n a n t de [ ~ ] .

E x p r e s s i o n d e s t e r m e s du s e c o n d m e m b r e d e la r e l a t i o n (12 ) .

D'une mani6re g6ndrale, consid6rons une matrice ~ dont la pe colonne sera notde l a p > ; raisons agir [~] sur un vecteur quelconque Iv > dont la qe composante est vq, p et q pouvant varier de I h N, il vient :

2V

(1~) (~)l ~> : Z ~k l~> �9

L'application de la relation (1~) aux trois termes :

[AN][Uej('~)> , [cN]leo(~)> , [n~v]]jo(v)>,

conduit h dcrire la relation (12) sous la forme :

(15) N

[~(,][i(v) > = - - Z [Uejp(v)[ap> + eop(V) lcp> +jop(V)Idv>].

En outre, les propridt6s de lin6arit6 d 'un ddterminant par rapport aux 616ments d 'une colonne permet ten t d'dcrire :

t N N (t6) ~D/~ [ p~_?p[ ~ p > ] ]f~ :p~=lO~p~tN'[li)p>l]r

Compte tenu de cette derni6re relation et de l 'appli- cation de la r6gle de Kramers au syst6me (12) dcrit sous la forme (15), on abouti t sans peine h l 'expression (17)

(17) is(v) = i'k(u) + i0k(v)

c o m p t e t e n u des r e l a t i ons

N ^

p= l

et

N (19) -~Nio~(~)= Z{eov(~) ~,[[c~>[k] +

p= l

La re la t ion [17], compte t e n u des express ions [18] et [19], exp r ime dans l ' espace des f r6quences u n p r in - cipe de superpos i t ion tr6s g6n6ral ; la c o m p o s a n t e de

c o u r a n t ]'k(v) est la c o n t r i b u t i o n h ik(v) des sources

de f l uc tua t i on i n t e r n e s ; la composan t e i0s(v ) est la c o n t r i b u t i o n h is(v) des sources i n d 6 p e n d a n t e s d ' exc i t a t i on .

ik(v) a p p a r a i t donc d ' u n e man i~re tr6s g6n6rale com m e u n e s o m m a t i o n ; chaque t e rm e de ce t te der- ni6re est alors le c o u r a n t cr66 clans le k e dipSle passif r6el p a r u n e seule source prise i so l6ment ; elle p e u t etre soit de f luc tua t ion , soi t i n d 6 p e n d a n t e d ' exc i t a t i on .

IV. S O U B G E S D E F L U C T U A T I O N S B A M E N ] ~ E S S U B U N ]~L]~MENT

D E I ~ S E A U V I S - A - V I S D ' U N D I P O L E P A S S I F

T o u t le t r a i t e m e n t 6 t an t en fa i t une ana lyse spec- t ra le dans l 'espace des f r6quences , les sources r ame-

3/6 h. T~LfZC., 28, n ~ 3-4, 1973

108 P . D A V I D . -- S O U R C E S D E B R U I T R A M E N I ~ E S ~ E X P R E S S I O N D U T H ~ O R I ~ M E D E T H E V E N I N

n6es se ron t expr im6es dans ce dernier . D ' u n e m an i6 r e g6n6rale, on s ' in t6ressera a u x sources : de t en s ion

^ 5 er, Iik(v ) e t de c o u r a n t r,llk(V ) r amen6es sur le l e 616ment de r6seau vis-h-vis du k e dip61e passif.

4.1. Existence des sources ramen6es et prin- cipe du calcul.

P o u r r6sondre ee p rob l~me, nous al lons m e t t r e en 6vidence u n e propr i6 t6 s imple d ' i n v a r i a n e e du s ignal

e o u r a n t "ik(v) d o n t l ' exp res s ion est donn6e p a r [18] ; eet te propr i6 t6 est v6rifi6e dans la t r a n s f o r m a t i o n qui eonsis te :

a) fi a n n u l e r les edv) et j~(v) pour t o u t i V- de k et I et v a r i a n t de 1 fi N ;

b) fi s u b s t i t u e r r e s p e c t i v e m e n t :

el(v) + er, ll/C(v) h el(v) , ' jl(V)q- jr,/i/c(v) h j /(v).

Cet te p roe6dure p e r m e t d ' o b t e n i r u n e express ion g6n6rale des sources r amen6es sur le I e 616ment ; eomme nous a l lons le m o n t r e r , ees derni6res demeu- r e n t i n d 6 p e n d a n t e s de l ' i m p 6 d a n e e zz(v) de eet 616-

m e n t . Nous ehereherons done h expr imer l~ (V)en

fone t ion de z t , j'~(v) et e~(v).

N o t a t i o n

Nous appe l le rons

]e d 6 t e r m i n a n t de la m a t r i e e o b t e n u e h p a r t i r de [dIL] lorsque l ' o n remplaee r e s p e c t i v e m e n t dans cet te der- niSre les colonnes de n u m 6 r o k et l pa r Ivz> et ~>,

i

les au t res colonnes de [dt(~] 6 t a n t laiss6es inchang6es .

Calcul des s o u r c e s r a m e n d e s .

Au second membre de la relation (18), le terme ~ )~ [ ] av>[k ] d6pend de z~ par l ' intermddiaire de sa l e

colonne d'expression :

zlla~ > + l h > .

Le ddveloppement de ce ddterminant par rapport fi sa l e colonne revient ~ particulariser la relation g6n6rale (16) et il vient :

! t!

(20) ~)N[lav>lk] = ~z ~)N[lavl>k,I ~Z>Ig] +

q)~[l~> In, lh> Itl]. Le report de cette expression au second membre de la

relation (18) conduit fi un rdsultat eontenant no tamment la sommation :

/V ^ #

z~ Z u~v ~ [ l a v > Ik, M>I t] p=l

dent le terme p = l e s t nul ; ce dernier est en effet propor- t ionnel ~ un d6terminant contenant deux colonnes identiques.

En faisant apparaitre le terme ue~(v) duns l 'expression

de ff)~v~k(v), on abouti t sans peine ~ la relation (21).

La re l a t ion (21) m o n t r e l ' ex i s t ence des sources r amen6es ; elles s e n t expr im6es pa r les re la t ions (22) et (23).

(2~) ~ { ~ t l ~ k, Ib~ > I~} -~ l~(V) :

u~j~(v) ~9/I.~>1 k] {~)%Ila,>lk, lb,> I Z]}-I. compte t e n u des express ions

p~tk e t l) A

Z UeCv(v) ~/ lav>lk, lb~>l~J (22) er, Zlk(V)= l-<~-<~[i.,>lk, lb~>l~ ] et

p~z~(k ct l)

z ue:~(v) ~%[i.~>lk, l . ,>l t] (23) J,, z lk(v) = l < v < N

~[I ~>lk, l~>l ~] La t r a n s f o r m a t i o n a insi effectu6e a u n sens dans

le seul cas off

n o n i d e n t i q u e m e n t nu l ; elle est alors sch6matis6e sur la figure 3 ; les dip61es passifs de n u m 6 r o I e t k j o u e n t

Jlt (o)

l - - r a m "~"

[ ,.E,omeot I pa~if id6al z / (v)

I dipble d'attaque

o o

QuadripSle

id6al fictif

0 0

ik(V)

+. l) ~ - - - ~

;2 passif ideal

Zk (u)

I i

dipSle de charge

FIG. 3. - - Equivalence due h l'existence de sources ramen6es.

(V}

A. T~LL,'c., 28, n o8 3-4, 1973 4/6

P. D A V I D . -- S O U R C E S D E B R U I T R A M E N I s E X P R E S S I O N D U THI~iOR~ME D E T I - I E V E N I N 109

respect ivement les rSles de dipSle d ' a t t aque et de dipSle de charge d ' un certain quadr ipf le ; ce dernier (25) est suppos6 id6al et d6nu6 de sources de bruit . Les sources fictives et

Jlt(v) = J l ( V ) q - J r , Ilk(v) et ezt(v) = ez(v) + er,ll/C(v) off

c r 6 e n t a lo r s le m 6 m e c o u r a n t de f l u c t u a t i o n i ~ ( v ) d a n s

le k e dipSle passif r6el que l 'ensemble des sources (26)

r6elles de f luctuat ion issues des 616ments N ~ 1, 2, ..., N et # k ; notons ici que le k e dipSle passif est rest6 r6el, puisque ses sources de brui t n ' o n t pus 6t6 ramen~es.

V. E X P B E S S I O N GI~.NI~.RALE D U THI~.OR~.ME DE THI~.VENIN V I S - A - V I S D ' U N DIP( )LE P A S S I F I ~ E L Q U E L C O N Q U E D U BI~.SEAU

Nous allons chercher h identifier le r6seau h tin dipSle de Th~venin de source de tens ion eTa(V) et d ' imp6dance in terne ZT~(V) a t t a q u a n t Fun des 616ments passifs r6els, soit le k~ (voir figure 4) ; cette identifi-

on t rouve une relat ion de la forme ~24) si l 'on 6crit :

eTk(v)---- eTk(V) -? eTko(V) ,

eTko(V) =

p :/: k ^

E uejv(,) ~v[I.p>lkl ezk (v ) = I-<.V<N

N

E (eop(,) ~v[[cp> Ikl+jop(,) ~vl[dv> Ikl) P = I

La source de tension eTk(V) du g6n6rateur de Th6venin est ainsi la somme :

a) d 'une source de bru i t eTk(V) h laquelle contri- bue n t les sources de f luctuat ion des 616merits de num6ro 1, 2, ..., N, v e k,

b) d 'une source eTk0(v) h laquelle con t r ibuen t tous los g6n6rateurs d 'exci ta t ion du r6seau.

En toute rigueur, ceci a u n sens sons la condit ion :

ff)~ [la/~ > ] k ] non ident iquement nul.

. ~ imp~ance ZTk (u)

I t ! + I ~ e T k ( U ~ --

]'k(~)

L ~_~ EI6ment passif ideal

z k (u) I

- '~k(u ~ +

l ik(v)

FIG. 4. - - G6n~rateur de Th6venin attaquant le k e dip61e passif.

cation est possible si l 'on peut 6crire une relation de la forme :

(24) (ZTk + zk) ik(V) Zk Jk(v) - - (eT/~(v) + ek(v)).

Pour ce faire, nous allons util iser l 'expression g6n6- rale de ik(v) donn6e par (17), compte tenu de (18) et (19); dans cette expression, nous allons isoler le terme ~ejk(v) et 6crire ~ N en ut i ] isant ses propri6t6s de lin6arit6 par rappor t aux composantes des vecteurs

l a/c> et Ibm> :

= , a , I b k > l k ] . ~ ~ [ I ~>lk]+ ~ [ Apr~s division de l 'expression 2)Nik(v) par le t e rmc:

~)~v [I-~>lkl,

C O N C L U S I O N

Cette 6tude concernai t une tr~s large classe de r6seaux lin6aires actifs sans m6moire, h constantes localisSes et en r6gime s ta t ionnaire ergodique ; elle nous a permis d ' about i r h des expressions tr~s g6n6- rules valables darts l 'espace des fr6quences en ce qui concerne deux types de caract6ristiques :

a) les sources de f luctuat ion ramen6es sur un dip61e passif du r6seau vis-h-vis d 'uu second j o u a n t le r61e

de charge,

b) les parambtres : source de tension et imp6dance in terne du g6n6rateur de Th6venin vu par u n dip61e

passif quelconque du r6seau.

Comme nous l ' avons montr6, il existe deux sources de f luctuat ion ramen6es : l 'une de tension et l ' au t re de courant ; elles sont s t r ic tement ind6pendantes de l ' imp6dance du dip61e auquel elles sont li6es et jouent par cons6quent le rSle de sources pu re s ; elles sont un iquemen t fonctions des caract6ristiques des consti- t uan t s 616mentaires du r6seau situ6s h l ' int6rieur du quadrip61e auquel elles s'associent.

Manuscri t recu le 23 avril 1970.

BIBLIOGRAPHIE

[t] BECXING (A. Ca. Th.) et al. Noise factor of four terminal networks (Facteur de bruit de r6seaux h quatre pbles terminaux). Philips Res. Rept. (oct. 1955), 10, p. 349.

5/6 A. TI~L~C., 28, n o" 3-4, 1973

110 P. DAVID. -- SOURCES DE B R U I T RAMENI~ES~ E X P R E S S I O N DU THI~ORI~ME DE T H E V E N I N

[2] SEIDEL ( H . ) . Noise properties of four-pole networks with application to parametric devices (Propri~tds de bruit de rSseaux ~t quatre pSles avec application aux rdseaux paramdtriques). I.R.E. Trans., CT (1961), 8, p. 398.

[3] DAVID (P.). Analyse spectrale d'un syst~me physique reprdsentable par un r~seau dlectronique actif lin6aire et stationnaire. Ann. Tdl~communic., Fr. (t973), 28, n ~ 1-2, pp. 55-70.

[r S~,GEAU (A.). Th~orie gdndrale des r~seaux en r~gime lindaire. Dunod, Paris (1966), 380 p.

[5] SESItU (S.), REED (M. B.). Linear graphs and electrical networks (Graphes lindaires et rdseaux dlectriques). Addison-Wesley, Reading Mass. (t961).

[6] BRYANT (P. R.). The explicit form of Bashkow's A matrix (Forme explicite de la matrice A de Bashkow). I.R.E. Trans., CT (1962), 9, p. 303.

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