Thermique Numerique.pdf

8/12/2019 Thermique Numerique.pdf

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FACULT POLYTECHNIQUE DE MONS

Service de Thermique et Combustion

THERMIQUE NUMERIQUE

Prof. Paul Lybaert

Prof. Vronique Feldheim

2003 (rev. 09/2004)


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Table des matires

Table des matires iv

Liste des Tableaux v

Table des Figures vi

1 Introduction 11.1 Types de problmes rsoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Principes gnraux des mthodes numriques . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Mise en quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Solution des quations nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Analyse des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Equations de conservation dans un milieu continu 12.1 Drive historique dune intgrale de volume . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Conservation de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Forme gnrale des quations de conservation . . . . . . . . . . . . . 82.6 Conditions initiales et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Mthode aux volumes finis 13.1 Principes gnraux de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Problmes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.2.1 Discrtisation spatiale - Dfinition des noeuds et des lmentsde volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.2.2 Discrtisation des quations - Diffusion stationnaire . . . . . . 3Problmes monodimensionnels (1-D) . . . . . . . . . . . . . . 3

Problmes 2-D et 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.3 Discrtisation des quations - convection-diffusion stationnaire 7

Problmes monodimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Profil linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10"Upwinding" ("Upwind scheme") . . . . . . . . . . . . 11Solution rigoureuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Schma hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Schma en puissance ("Power scheme") . . . . . . . . . 14

ii


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Autres schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Problmes 2-D et 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Schmas localement mono dimensionnels . . . . . . . . 16Diffusion numrique - schmas bi- ou tridimensionnels . 16

Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Mthode A : noeuds placs sur les limites . . . . . . . . 19Mthode B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Problmes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Diffusion non-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Mthode dEuler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Mthode dEuler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Mthode de pondration - mthode de Crank-Nicholson . . . . 25

3.3.2 Convection diffusion non-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . 25Mthode explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Mthode implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Mthode de pondration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.3 Couches limites stationnaires 2-D ou 3-D . . . . . . . . . . . . 29Discrtisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Discrtisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Mthode explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Mthode implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Solution du systme dquations nodales . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 Structure et proprits du systme dquations linarises . . . 333.4.2 Mthodes itratives par points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.3 Solution directe pour les problmes 1-D - Algorithme de Thomas 35Problmes 2-D et 3-D - Mthodes itratives par lignes . . . . . 37

4 Mthode aux lments finis 14.1 Principes gnraux de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.1.1 Discrtisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Discrtisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2 Elments finis et fonctions dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . 44.2.1 Gomtrie des lments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Elments 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Elments 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Elments 3 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2.2 Fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2.3 Elment de rfrence - Transformations . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Discrtisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Discrtisation des quations - conductibilit thermique . . . . . . . . 13

4.4.1 Forme faible - mthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 134.4.2 Problmes stationnaires - Equation nodale . . . . . . . . . . . 154.4.3 Problmes non-stationnaires - Equation nodale . . . . . . . . . 15

iii


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4.5 Assemblage du systme dquations nodales - Calcul des coefficients . 174.6 Discrtisation de lquation dadvection - diffusion . . . . . . . . . . . 19

4.6.1 Forme faible - mthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 194.6.2 Problmes stationnaires - Equation nodale (c= constante) . 194.6.3 Modification de la mthode de Galerkin - "Upwinding" . . . . 21

4.7 Solution du systme dquations nodales . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7.1 Structure et proprits du systme [A][t]=[b] . . . . . . . . . . 244.7.2 Mthodes itratives utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7.3 Mthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Application aux problmes de convection 15.1 Convection force laminaire - quations . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Application de la mthode aux volumes finis . . . . . . . . . . . . . . 3

5.2.1 Discrtisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2.2 Discrtisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2.3 Solution des quations nodales - Linarisation . . . . . . . . . 5

5.2.4 Solution des quations linarises - Algorithme SIMPLE . . . 65.3 Convection naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.4 Convection force turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4.1 Modlisation de la turbulence - Hypothse de Boussinesq . . . 115.4.2 Dtermination des proprits turbulentes . . . . . . . . . . . . 125.4.3 Structure de lcoulement turbulent prs dune paroi - Profils

gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4.4 Solution numrique des transferts convectifs turbulents . . . . 16

6 Le transfert de chaleur par rayonnement 1

6.1 Rappel de quelques dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Emission dun corps athermane . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Propagation dans un milieu diathermane . . . . . . . . . . . . 36.1.3 Absorption par une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.2 Equation de transfert du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2.1 Cas du parfait diathermane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6.3 Couplage du rayonnement avec les autres modes . . . . . . . . . . . . 96.3.1 Flux radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.3.2 Puissance volumique radiative dissipe . . . . . . . . . . . . . 9

6.4 Solution numrique - Mthode des transferts discrets . . . . . . . . . 106.4.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.4.2 Intgration le long dun rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.4 Calcul de la puissance dissipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

iv


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Chapitre 1

Introduction

1.1 Types de problmes rsoudre

Transfert par conductibilit

Ex : Dperditions au travers du fond dun rservoir pos sur le sol

Transfert par convection (+conduction)

Ex : Refroidissement par convection mixte laminaire de composants lectro-

niques - Transfert de chaleur entre un jet turbulent et une paroi - Champ de

temprature et coulement lintrieur dun changeur

Transfert par rayonnement

Ex : Calcul des tempratures des lments dun satellite

Transferts combins conductibilit - convection - rayonnement

Ex : Champ de temprature dans un four de cuisson cramique - Champs detemprature et de concentrations dans une chambre de combustion

Simulation des systmes thermiques

Ex : Simulation des fours intermittents de cuisson cramique - Simulation des

fours de recuit discontinu de bobines de tole

1.2 Principes gnraux des mthodes numriques

Lutilisation dune mthode numrique en vue de la solution dun problme de

transfert de chaleur requiert quatre tapes : la mise en quations du problme

la discrtisation du domaine et des quations

la rsolution des quations discrtises

lanalyse des rsultats


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1.2. PRINCIPES GNRAUX DES MTHODES NUMRIQUES 1.2

1.2.1 Mise en quations

La mise en quations consiste exprimer en termes mathmatiques un problme

pos en termes physiques.

Gnralement, cela ncessite de poser au pralable un certain nombre dhypothses -

ngliger certains modes de transfert ou certains phnomnes, approximer les propri-

ts thermophysiques par des valeurs constantes,... - de faon simplifier les quations

et rduire au maximum la difficult de la rsolution.

Ces hypothses faites, on crit les quations qui rgissent les phnomnes mis en

jeu dans le problme pos. Pour des problmes de transfert de chaleur, il sagit de

lquation de conservation de lnergie, associe ventuellement dautres quations

de conservation (masse, quantit de mouvement, espces chimiques (combustion par

exemple), intensit de rayonnement,...), et/ou des relations cintiques (liant les vi-

tesses de raction la temprature,...). Ces quations sont des quations diffrentielles

et leur solution requiert lexpression de conditions initiales et aux limites du domaine

de rsolution.

On appelle modle lensemble ainsi constitu par la dfinition du domaine de rsolu-

tion, les hypothses simplificatrices, les quations et leurs conditions aux limites et

initiales. Une situation physique dtermine peut tre dcrite par plusieurs modles

qui diffrent en complexit, en prcision et par le type de rsultats quils fournissent.

1.2.2 Discrtisation

La solution des quations du modle - le champ de temprature - est une fonctioncontinue de lespace et ventuellement du temps. Dans les cas qui nous occupent,

cette solution ne peut tre calcule analytiquement. On doit donc en chercher une

approximation.

Dans les mthodes numriques que nous examinerons dans ce cours, cette approxi-

mation est base sur un ensemble fini de valeurs approximatives des tempratures et

des autres variables ventuelles en un certain nombre de points appels noeuds. Les

valeurs associes ces noeuds sont appeles valeurs nodales. Des noeuds devront tre

dfinis dans lespace - cest la discrtisation spatiale ou maillage du domaine - et, le

cas chant, dans le temps - cest la discrtisation temporelle.

Pour calculer les valeurs nodales, il est ncessaire de transformer les quations du mo-

dle. Cest la discrtisation des quations. Celle-ci conduit un systme dquations,

en nombre gal au nombre de noeuds, dont les inconnues sont les valeurs nodales.


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1.3. PLAN DU COURS 1.3

1.2.3 Solution des quations nodales

Les quations nodales obtenues sont des quations algbriques, non-linaires si les

quations du modle sont non-linaires.

Ce systme dquations algbriques peut tre rsolu par les mthodes classiques du cal-

cul numrique. Cependant, la structure des quations nodales obtenues par certaines

mthodes de discrtisation permet lutilisation de mthodes spcialement adaptes

et plus efficaces que les mthodes gnrales. Quelques unes de ces mthodes seront

examines dans le cadre de ce cours.

1.2.4 Analyse des rsultats

Au terme de la rsolution du systme dquations nodales, lutilisateur dispose

dune approximation de la solution cherche. Il lui appartient alors de lanalyser,

cest--dire dvaluer sa cohrence et sa prcision. L interviennent le sens physiqueet lexprience de lingnieur.

Cette analyse peut lamener revenir lune ou lautre tape de la procdure afin

damliorer la qualit des rsultats : revoir la dfinition des noeuds pour amliorer la

prcision, lever une hypothse simplificatrice du modle en vue dobtenir une meilleure

adquation au rel,...

Lutilisation dune mthode numrique est donc finalement une dmarche par approxi-

mations successives qui ncessite une bonne connaissance la fois des phnomnes

physiques mis en oeuvre et des mthodes numriques de simulation de ces phno-

mnes. Cest lobjet de ce cours damliorer cette connaissance.

1.3 Plan du cours

La transmission de la chaleur seffectue selon deux modes fondamentaux : la

conduction thermique, dune part, le rayonnement dautre part. Ces deux modes de

transfert sont rgis par des quations de types diffrents : des quations aux drives

partielles rgissent les phnomnes conductifs et convectifs, des quations intgro-

diffrentielles rendent compte des transferts par rayonnement. Le cours sera ds lors

divis en deux parties, consacres successivement ces deux modes de transfert.

Le chapitre 1 traite de la modlisation des problmes de transfert par conduction-

convection. On y drive lquation de conservation de lnergie dans un milieu continu.

On y rappelle lexpression des quations de conservation de la masse et de la quantit

de mouvement dans un fluide en mouvement.

Les deux chapitres suivants traitent de mthodes de discrtisation de ces quations.


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1.3. PLAN DU COURS 1.4

Nous avons choisi de limiter notre prsentation aux deux mthodes les plus rpan-

dues : la mthode aux volumes finis et la mthode aux lments finis. Les principes

de ces mthodes sont prsents aux chapitres 2 et 3.

Ces principes sont ensuite appliqus la rsolution de problmes de conductibilit

thermique au chapitre 4, le chapitre 5 tant consacr quant lui aux phnomnesconvectifs.

Les problmes de rayonnement sont introduits, au chapitre 6, par un rappel des qua-

tions qui rgissent les transferts radiatifs.

Deux mthodes de rsolution numriques de ces quations ont t choisies : la m-

thode des zones sera explicite au chapitre 7, les mthodes des flux seront examines

au chapitre 8. Ces dernires sont particulirement utilises pour traiter les problmes

de transferts combins conduction - convection - rayonnement.

Le dernier chapitre est consacr la simulation des systmes thermiques. Ceux-ci

mettent gnralement en oeuvre tous les modes de transfert de chaleur, ainsi quedes systmes de rgulation. Leur complexit rend quasi-impossible la simulation d-

taille de leur fonctionnement. Des mthodes simplifies, dveloppes cet effet, sont

prsentes au chapitre 9.


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Chapitre 2

Equations de conservation dans un

milieu continu

Les transferts thermiques par conductibilit ou par convection sont rgis par

lquation de conservation de lnergie. Cette quation est la seule considrer dans le

cas des milieux solides indformables. Par contre, dans les fluides, transfert de chaleur

et coulement sont lis et la simulation des transferts thermiques convectifs ncessite

donc gnralement le calcul du champ de vitesse. Les problmes de convection sont

donc rgis par les quations de conservation de la masse, de la quantit de mouvement

et de lnergie.

2.1 Drive historique dune intgrale de volume

Les quations de conservation expriment les principes de conservation de la masse,

de la quantit de mouvement, de lnergie, ... appliqus un volume du milieu continu.

Un mme principe peut tre exprim sous diffrentes formes, suivant le volume -

infinitsimal ou quelconque - et le rfrentiel - fixe ou en mouvement avec le fluide

- choisis. Nous dvelopperons les diffrentes quations en exprimant les principes

de conservation appliqus un volume quelconque de fluide que lon suit dans son

mouvement (fig. 2.1). Ces expressions utilisent la drive historique dune intgrale de

volume. Celle-ci est lie la drive temporelle locale et la vitesse de lcoulement :

pour un champ f(x, y, z, ), et un systme dformable de volume V limit par lasurfaceS, on a

DD

V()

f dV =

V()

f

dV +

S()

fvndS (2.1.1)


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2.2. CONSERVATION DE LA MASSE 2.2

dS||n

v

V()

V(+ d)

S(+d)S()

f(x, y, z, )

Fig.2.1 Dfinition du volume de fluide suivi dans son mouvement

2.2 Conservation de la masse

Lquation de conservation de la masse est obtenue en exprimant que la masse du

volume V, que lon suit dans son mouvement, ne change pas au cours du temps cd

DmD = 0 (2.2.1)

En utilisant lquation 2.1.1, on obtient

DD

VdV =

V

dV +

SvndS= 0 (2.2.2)

ce qui conduit, en utilisant le thorme dOstrogradsky, V

dV +

V

(v)dV = 0 (2.2.3)

Cette expression est valable quel que soit le volume V. Elle est donc valable pour un

volume infinitsimal. On obtient ainsi la forme locale ou diffrentielle de lquation

de conservation de la masse, appele galement quation de continuit

+ (v) = 0 (2.2.4)

Dans le cas dun fluide incompressible et non-dilatable, est constant et lquation

devientv= 0 (2.2.5)


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2.3. CONSERVATION DE LA QUANTIT DE MOUVEMENT 2.3

2.3 Conservation de la quantit de mouvement

Lquation de conservation de quantit de mouvement est lexpression de la se-

conde loi de Newton applique un volume de fluide en mouvement cd

DD(mv) =

Fext (2.3.1)

Les forces extrieures se dcomposent en forces de volume et en forces de surface.

Applique au volume V, lquation 2.3.1 scrit

DD

V

vdV =

V

FvdV +

S

FsdS (2.3.2)

Les forces de volume sont des forces distance qui sexpriment partir de leur densit

massiqueg par

Fv =g (2.3.3)

Le cas le plus courant correspond aux forces de gravit pour lesquelles la densit

massique est gale lacclration de la pesanteur.

Les forces de surface sont les tensions exerces par le fluide en tout point de la surface

S. Elles se dcomposent en forces de pression et en contraintes visqueuses et sont

donnes parFs = pn+n (2.3.4)

avec le tenseur des contraintes visqueuses donn par

=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

(2.3.5)

ij tant la tension applique dans la direction i sur une surface perpendiculaire la

direction j.

Lquation de conservation 2.3.2 peut donc scrire

D

D VvdV =

V

gdV

SpndS+

S

ndS (2.3.6)

avec

n=

xx xy xz nx

yx yy yz ny

zx zy zz nz

=

x

y

z

=xux+yuy+zuz

(2.3.7)


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2.3. CONSERVATION DE LA QUANTIT DE MOUVEMENT 2.4

les composantes du vecteur contrainte visqueuse tant donnes par

i =

j

ij nj (2.3.8)

En projetant lquation vectorielle 2.3.6 sur laxe Ox, et en appliquant le thorme

dOstrogradsky aux intgrales de surface, on obtient lquation de conservation de la

composante suivant x de la quantit de mouvement

DD

V

vxdV =

V

gxdV

V

p

xdV +

V

xxx

+ xy

y +

xzz

dV (2.3.9)

cest--dire V

(vx)dV +

V

(vvx)dV =

V

gxdV V

p

xdV +

Vxx

x +

xy

y +

xz

z dV

(2.3.10)

ou, sous forme diffrentielle

(vx) + (vvx) =gx p

x+

xxx

+ xy

y +

xzz

(2.3.11)

et des expressions analogues pour les composantes suivant y et z.

Pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes visqueuses ij est li au tenseur

des taux de dformation ij par

ij = 2ij 2

3ij

kkk

(2.3.12)

avec

ij =1

2

vixj

+ vjxi

(2.3.13)

En introduisant ces expressions dans 2.3.8, on obtient finalement

(vx) +

x(vxvx) +

y(vyvx) +

z(vzvx) =

gx px

+

x 2vxx +

y vyx

+ vx

y +

z

vzx

+vx

z

x

2

3

vxx

+ vy

y +

vzz

(2.3.14)

ou encore

(vx) +

x(vxvx) +

y(vyvx) +

z(vzvx) =

gx px

+

x

vxx

+

y

vxy

+

z

vxz

+Svx

(2.3.15)


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2.4. CONSERVATION DE LNERGIE 2.5

avec

Svx=

x

vxx

+

y

vyx

+

z

vzx

x

2

3

vxx

+vy

y +

vzz

(2.3.16)

A cause de lquation de continuit 2.2.5, le terme source 2.3.16 sannule pour unfluide aux proprits physiques (et ) constantes.

Les expressions ci-dessus constituent laforme conservativedes quations de conserva-

tion de quantit de mouvement. Cette appellation est lie au fait que le terme (vvx)reprsente le bilan du flux convectif de quantit de mouvement.

En notant que, compte tenu de lquation de continuit 2.2.4,

(vx) + (vvx) = vx

+vx

+v vx+vx (v) = vx

+v vx (2.3.17)

lquation 2.3.14 peut galement scrire

vx

+v vx= (vx) px

+gx+Svx (2.3.18)

Cette quation est laforme non-conservativede lquation de conservation de la quan-

tit de mouvement.

Les deux formes de lquation de conservation de la quantit de mouvement 2.3.15

et 2.3.18 sont mathmatiquement quivalentes. Du point de vue des mthodes nu-

mriques, elles conduisent cependant aprs discrtisation des quations nodales

diffrentes, et dont les proprits, de convergence notamment, peuvent diffrer sensi-

blement. Cela conduira prfrer parfois une forme par rapport lautre.

2.4 Conservation de lnergie

On obtient lquation de conservation de lnergie en appliquant le premier prin-

cipe de thermodynamique un volume de fluide en mouvement. Ce principe scrit

DD(U+ Ecin) =

W

+

Q

(2.4.1)

La puissance fournie au systme sous forme de travail rsulte des puissances associes

aux forces de volume et aux forces de surface cdW

=

V

gvdV

S

pnvdS+

S

nvdS (2.4.2)

La puissance fournie sous forme de chaleur est la somme de la puissance gnre

lintrieur du volume et du flux de chaleur entrant par la surface cd

Q

=

V

qdV

S

ndS (2.4.3)


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En remplaant dans 2.4.1 et aprs transformation des intgrales de surface en int-

grales de volume, on obtient

D

DV

u+

v2

2

dV =

VgvdV

V(pv)dV

+

V

(v)dV +

V

qdV

V

dV(2.4.4)

avec

(v) = x

(vxxx+vyxy+vzxz) +

y(vxyx+vyyy+vzyz )

+

z(vxzx+vyzy +vzzz )

(2.4.5)

Cette relation est valable quel que soit le volume V, on a donc

u +v2

2

+ v u+ v2

2

=gv (pv) + (v) +q (2.4.6)

forme diffrentielle conservative de lquation de conservation de lnergie totale.

Lquation de conservation de lnergie interne est obtenue en soustrayant de cette

quation lquation de conservation de lnergie cintique. Celle-ci sobtient en mul-

tipliant par la vitesse vi lquation de conservation de la quantit de mouvement, ce

qui donne

v2

2 +

vv2

2 =gv

v

p+vx

xx

x

+xy

y

+ xz

z

+vy

yxx

+yy

y +

yzz

+vz

zxx

+zy

y +

zzz

(2.4.7)En soustrayant 2.4.7 de 2.4.6, on obtient lquation de conservation de lnergie interne

(u) + (vu) =q pv+diss (2.4.8)

Le termediss est toujours positif. Il rend compte de lchauffement du fluide d au

travail irrversible des contraintes visqueuses. Il est donn par

diss= xx vxx

+xy vxy

+xz vxz

+yx vyx

+yy vyy

+yz vyz

+zxvzx

+zyvzy

+zzvzz

(2.4.9)

On prfre gnralement utiliser lquation de bilan denthalpie. Lenthalpie est dfinie

par

h= u +p

(2.4.10)


15/113


En introduisant cette relation dans le bilan dnergie interne 2.4.8, on obtient

(h) + (vh) =q+ p

+ v p+diss (2.4.11)

Le vecteur densit de fluxest li au transfert de chaleur par conductibilit thermique

au sein du milieu. Il est li au champ de temprature par la loi de Fourier, cd

= T (2.4.12)

La forme conservative de lquation de conservation de lnergie scrit donc finalement

(h) + (vh) = (T) +q+ p

+ v p+diss (2.4.13)

Dans les applications industrielles courantes, en prsence de transfert de chaleur, les

trois derniers termes de cette quation sont gnralement trs faibles par rapport aux

autres et peuvent tre ngligs. Ils ne deviennent significatifs que lorsque les vitessessont proches de la vitesse du son.

La forme non-conservative de lquation 2.4.13 est obtenue en soustrayant lquation

de continuit multiplie par lenthalpie ce qui donne

h

+v h= (T) +q+... (2.4.14)

Une quation ne faisant intervenir que la temprature comme variable dpendante

est obtenue en introduisant la variation de lenthalpie avec la temprature cd

dh= cpdT (2.4.15)

ce qui donne

cpT

+cpv T = (T) +q+... (2.4.16)

La forme conservative de lquation exprime en temprature est donc

cp

(T) +cp (vT) = (T) +q+... (2.4.17)

Dans le cas le plus gnral, les proprits physiques et cp dpendent de la tempra-

ture. Si la chaleur spcifique peut tre considre comme constante, la relation liantlenthalpie la temprature devient

h= cpT (2.4.18)

et le bilan dnergie (2.4.17) peut alors scrire

(cpT) + (vcpT) = (T) +q+... (2.4.19)


16/113

2.5. FORME GNRALE DES QUATIONS DE CONSERVATION 2.8

Dans un solide, les chaleurs spcifiques pression constante et volume constant sont

gales. Lquation de Fourier-Kirchhoff rgissant le transfert de chaleur par conduc-

tibilit dans un solide immobile est obtenue en annulant la vitesse dans les quations

de conservation de lnergie, cd

cT

= (T) +q (2.4.20)

2.5 Forme gnrale des quations de conservation

Les quations de conservation de la masse, des trois composantes de la quantit

de mouvement et de lnergie ont une forme commune. Cette forme gnrale dune

quation de conservation sobtient en crivant le bilan de la grandeur conserve sur

un lment de volume du fluide. Ce bilan sexprime par

Acccumulation+F lux net sortant= Generation interne

ce qui devient, mis sous forme mathmatique, pour une grandeur conserve f, intensive

par unit de masse

(f) + Jf=qf (2.5.1)

Le flux Jfest la somme dun flux convectif et dun flux diffusionnel cd

Jf=vf ff (2.5.2)

expression dans laquelle f est le potentiel associ au transport de la grandeur f. Enintroduisant cette expression dans lquation de bilan de f (2.5.1) on obtient

(f) + (vf) = (ff) +qf (2.5.3)

forme conservative de lquation de conservation, appele aussi quation de transport,

de f.

La forme non-conservative est obtenue en multipliant lquation de continuit par f

et en soustrayant le rsultat de lquation 2.5.3, ce qui donne

f

+v f= (ff) +qf (2.5.4)

Les quations 2.5.3 et 2.5.4 sont applicables la conservation de nombreuses gran-

deurs : masse, quantit de mouvement, nergie, espces chimiques, ... . Ces diffrentes

quations sont synthtises dans le tableau 5.1 ci-aprs. Lorsque la grandeur trans-

porte et la grandeur potentiel sont identiques, le coefficient de transport f a des

dimensions indpendantes de la grandeur transporte : il sexprime en kg.m1.s1.


17/113

2.6. CONDITIONS INITIALES ET CONDITIONS AUX LIMITES 2.9

Tab. 2.1 Equations de conservation dans un milieu continu

Principe de conservation f f fMasse 1 - -

Quantit de mouvement vi vi Energie (potentiel : t) h t Energie (potentiel : h) h h

cp

Espce chimique xi xi i

Les diffrentes quations de conservation ayant une forme commune, nous limiterons

ltude des mthodes de discrtisation lquation de bilan dnergie. Les conclusions

de cette tude pourront tre appliques directement la discrtisation des autres

quations.

2.6 Conditions initiales et conditions aux limites

Les quations de conservation sont des quations aux drives partielles, du pre-

mier ordre en la variable temps et du second ordre en les variables despace. Pour que

le problme soit correctement dfini mathmatiquement, ces quations doivent tre

compltes de conditions aux limites et initiales.

Les quations tant du second ordre en variables spatiales, elles ncessitent de ma-

nire gnrale limposition dune condition sur chaque variable dpendante partout

sur la limite du domaine. Ces conditions peuvent porter soit sur la valeur soit sur le

gradient de la variable.

Pour la temprature par exemple, les diffrentes conditions aux limites suivantes

peuvent tre imposes :

condition de Dirichlet :

T =Tl(x, y, z, ) (2.6.1)

condition de Neumann :

T

n =l(x, y, z, ) (2.6.2)

condition de Fourier :

Tn

=Kf(T Tf) (2.6.3)Pour certaines formes particulires des quations - coulements "paraboliques" - il

nest pas ncessaire de fixer des conditions sur toutes les limites du domaine, les

diffrents champs tant indpendants de ce qui se passe l o le fluide sort du systme.


18/113

2.6. CONDITIONS INITIALES ET CONDITIONS AUX LIMITES 2.10

Nous reviendrons sur lcriture des conditions aux limites dans les chapitres consacrs

la simulation des transferts thermiques conductifs et convectifs.

Lorsque le problme est non-stationnaire, les quations tant du premier ordre en

la variable temps, leur solution ncessite de fixer les valeurs initiales des diffrents

champs cherchs. Cette condition initiale sera de la forme, pour la temprature parexemple,

T(x, y, z, = 0) =T0(x, y, z ) (2.6.4)


19/113

Chapitre 3

Mthode aux volumes finis

Dans la mthode aux volumes finis, on utilise les quations de conservation sous

leur forme intgrale. Celles-ci sont discrtises sur un ensemble dlments de volume

qui recouvrent le domaine.

3.1 Principes gnraux de la mthode

La mthode est base sur les principes suivants :

Discrtisation spatiale

noeuds : points o les variables sont dfinies i

lments de volume associs aux noeuds (1 lment par noeud)Vi

Discrtisation des quations

intgrer lquation de conservation sur chaque lment de volumeVien approxi-mant les diffrents termes de lquation partir des valeurs nodales

= appliquer le principe de conservation chaque lment de volume

= crire le bilan de f sur chaque Vi

Il existe diffrentes mthodes selon la forme des lments et les fonctions utilises

pour approximer les diffrents termes du bilan. Dans ce chapitre, on tudiera les

mthodes aux volumes finis sur maillages structurs cartsiens et non structurs.

3.2 Problmes elliptiques

3.2.1 Discrtisation spatiale - Dfinition des noeuds et des l-ments de volume

Deux mthodes peuvent tre utilises pour dfinir les noeuds et les lments de

volume dans un maillage rectangulaire :


20/113

3.2. PROBLMES ELLIPTIQUES 3.2

Fig.3.1 Discrtisation spatiale base sur les noeuds

Mthode A : cette mthode dfinit dabord les noeuds, aux points dintersec-

tion des lignes dun rseau de parallles aux axes de coordonnes. On associe

chaque noeud un lment de volume dont les faces sont situes mi-distance

entre le noeud considr et ses voisins (fig. 3.1). Dans cette mthode, les li-

mites concident avec des lignes du rseau. Des "demi-lments" de volume sont

associs aux noeuds situs sur les limites.

Mthode B : cette seconde mthode part de la dfinition des lments de volume.

Ils sont dfinis par les diffrentes mailles du rseau. Le noeud associ chaque

lment de volume est plac au centre de celui-ci (fig. 3.2). Dans cette mthode,

les limites concident avec des limites dlments. Gnralement, on place des

noeuds sur les limites. A ces noeuds sont associs des lments fictifs de volume

nul.Pour un maillage uniforme, les deux mthodes conduisent des maillages pour lesquels

les noeuds sont au centre des lments et les faces des lments de volume sont situes

mi-distance entre les noeuds voisins.


21/113


Fig.3.2 Discrtisation spatiale base sur les lments

3.2.2 Discrtisation des quations - Diffusion stationnaire

Problmes monodimensionnels (1-D)

Lquation rsoudre scrit :

x

T

x

+q= 0 (3.2.1)

(T) +q= 0 (3.2.2)En ralisant lintgration sur le volume de contrle Vi, on a

Vi

(T)dV +

Vi

qdV = 0 (3.2.3)

Si

( T)ndS+

Vi

qdV = 0 (3.2.4)

F lux entrants+Source= 0 (3.2.5)

Pour un noeud intrieur, cela donne+

T

x

i+ 1

2

Si+ 12

+

T

x

i1

2

Si 12

+

Vi

qdV = 0 (3.2.6)


22/113


Fig.3.3 Problme monodimensionnel

Pour valuer cette expression, on effectue les approximations suivantes :

profils de temprature linaires entre les noeuds

source uniforme sur chaque lment de volume

Cela permet donc dcrire :+

T

x

i+ 1

2

=Ti+1 Tixi+1 xi =Ki+1,i(Ti+1 Ti) (3.2.7)

Tx i12

=T

i1

Ti

xi xi1 =Ki1,i(Ti1 Ti) (3.2.8)Vi

qdV =qiVi = qi(xi+1 xi1)/2 (3.2.9)

Si+ 12

=Si 12

= 1 (3.2.10)

En regroupant tous les termes de lquation, on aj

KijSij (Tj Ti) +qiVi = 0 (3.2.11)

j K

ij Sij(Ti Tj ) = qiVi (3.2.12)Pour un noeud intrieur, on obtient donc une quation algbrique de la forme

jaijTj =bi avec

aij = Kij Sijaii=

jKijSij

bi= qiVi

(3.2.13)


23/113


Fig.3.4 Noeud la limite

Pour un noeud aux limites, on rencontre trois types de conditions aux limites diff-rentes :

Condition de Dirichlet (temprature impose)

T0= Tparoi

Condition de Neumann (flux impos)T

n

0

=lim

(flux sortant !)

Le bilan sur V0 donne+

T

x

0+ 1

2

S0+ 12

+

T

x

0

S0+q0V0= 0 (3.2.14)

cest--dire

T1 T0x1 x0 S0+ 12 limS0+q0V0= 0 (3.2.15)

K01S01(T0 T1) =q0V0 limS0 (3.2.16) Condition de Fourier (contact avec un fluide)

Tn

0

=Kf(T Tf)

K01S01(T0 T1) +KfS0(T0 Tf) =q0V0 (3.2.17)


24/113


Fig.3.5 Dfinition dun volume de contrle - cas 2D

Pour un noeud aux limites, lquation nodale est donc de la forme :j

aij Tj =bi (3.2.18)

avec

aij = Kij Sijaii =

jKij Sij+KfSlim

bi = q0V0 limSlim+KfSlimTf(3.2.19)

Problmes 2-D et 3-D

Lquation rsoudre scrit :

(T) +q= 0 (3.2.20)

En ralisant lintgration sur le volume de contrle Vi, on aVi

(T)dV +

Vi

qdV = 0 (3.2.21)

Si

( T)ndS+

Vi

qdV = 0 (3.2.22)

Pour valuer ces expressions, on effectue les approximations suivantes :


25/113


flux uniformes sur chaque face

profils de temprature linaires entre les noeuds

source uniforme sur chaque lment de volume

Cela permet donc dcrire :+

T

x

ij1

Sij1+

T

y

ij2

Sij2

T

x

ij3

Sij3

T

y

ij4

Sij4+qiVi = 0 (3.2.23)

ce qui donne :j4

j=j1

Kij Sij(Ti Tj) =qiVi (3.2.24)

avec

Kij =ijdij

(3.2.25)

On obtient donc une quation de la forme :

j

aij Tj =bi avec

aij = Kij Sijaii=

jKijSij

bi= qiVi

(3.2.26)

3.2.3 Discrtisation des quations - convection-diffusion sta-tionnaire

Problmes monodimensionnels

x(vh) =

x

T

x

+q (3.2.27)

ou

x(Jh) =q

avec

Jh = vh Tx

Effectuons lintgration sur le volume de contrle ViVi

JhdV =

Vi

qdV (3.2.28)

cest--dire Si

JhndS=

Vi

qdV (3.2.29)

Ji+ 12

Si+ 12 Ji 1

2Si1

2=

Vi

qdV (3.2.30)


26/113


Fig.3.6 Dfinition dun volume de contrle - cas 1D

En supposant q uniforme dans llment de volume, on a

Ji+ 12

Si+ 12 Ji1

2Si 1

2=qiVi (3.2.31)

avec

Ji+ 12

= (u)i+ 12

hi+ 12

T

x

i+ 1

2

(3.2.32)

Ji12 = (u)i 12 hi 12 Tx i 12

(3.2.33)

Lquation de continuit scrit :Vi

(v)dV =

Si

(v)ndS= 0 (3.2.34)

cest--dire

(u)i+ 12

Si+ 12 (u)i1

2Si 1

2= 0 (3.2.35)

En multipliant lquation 3.2.35 par hi et en soustrayant de 3.2.31, on a

(Ji+ 12 (u)i+ 1

2hi)Si+ 1

2 (Ji 1

2 (u)i1

2hi)Si 1

2=qiVi (3.2.36)

On pose

Ji+ 12 (u)i+ 1

2hi= (u)i+ 1

2(hi+ 1

2 hi)

T

x

i+ 1

2

=Ki,i+1(Ti Ti+1)(3.2.37)


27/113


Fig.3.7 Evaluation des flux

et

Ji 12 (u)i1

2hi= (u)i 1

2(hi1

2 hi)

T

x

i1

2

=Ki,i1(Ti1 Ti)(3.2.38)

On a donc

Ki,i+1Si,i+1(Ti

Ti+1) +Ki,i1Si,i1(Ti

Ti1) =qiVi (3.2.39)

cest--dire

j

aij Tj =bi avec

aij = Kij Sijaii=

jKijSij

bi= qiVi

(3.2.40)

Remarques :

Si qi = 0 et si tous les Tj(j=i) sont identiques, on doit avoir Ti = Tj, ce quincessite

aii = j=i

aij

En vertu du second principe de thermodynamique, si Tj augmente, Ti doit

augmenter galement, ce qui ncessite Kij 0, cest--dire aii 0 et aij(j=i) 0

Evaluation des flux - Calcul des Kij


28/113


Ji+ 12 (u)i+ 1

2hi= (u)i+ 1

2(hi+ 1

2 hi)

T

x

i+ 1

2

(uc)i+ 1

2

(Ti+ 12

Ti)

T

x

i+ 12

(3.2.41)

Le problme est maintenant de dterminer Ti+ 12

et

Tx

i+ 1

2

.

Profil linaire Entre i et i+1, on suppose TTiTi+1Ti

=avec = xxixi+1xi

T =Ti+(Ti+1 Ti) (3.2.42) Ti+ 1

2=Ti+i+ 1

2(Ti+1 Ti) (3.2.43)

T

x

i+ 12

=Ti+1 Tixi+1 xi

=Ti+1 Ti

di,i+1

(3.2.44)

Ji+ 12 (u)i+ 1

2hi = Ki,i+1(Ti Ti+1)

= (uc)i+ 12

(Ti+1 Ti) Ti+1 Tidi,i+1

= (Ti Ti+1)

di,i+1 (uc)i+ 1

2

(3.2.45)

On a donc Ki,i+1 = di,i+1

(uc)i+ 12

i+ 12

avec i+ 12

=xi+12

xi

xi+1xi.

Un raisonnement analogue conduit

Ki,i1 =

di,i1 + (uc)i12 i 12 aveci 12 =

xixi 12xixi1

Problme

Le second principe de thermodynamique impose que Kij 0. Si u est positif, il faut Ki,i+1 0 cest--dire

di,i+1 (uc)i+ 1

2i+ 1

2 0

(uc)i+ 12

i+ 12

di,i+1

ou (uc)d

1

i+ 12

Si le maillage est uniforme, = 1/2et on a (uc)d 2 avec (uc)d qui reprsentele nombre de Peclet de la maille.

Si le nombre de Peclet est suprieur 2, les solutions sont non-physiques. Cette

condition impose donc une limitation de la taille des mailles !


29/113


Si u est ngatif, il faut Ki,i1 0, ce qui conduit, aprs dveloppements etpour un maillage uniforme, (uc)d

2

La conclusion gnrale est donc la suivante :

Si le nombre de Peclet de la maille est, en module, suprieur 2, lhypothse dun

profil linaire de temprature entre deux noeuds successifs conduit dessolutions non physiques.

La condition de validit de cette approximation est donc

|P e| =ucd

2 (3.2.46)"Upwinding" ("Upwind scheme") Supposons la diffusion ngligeable par rap-

port la convection. Dans ce cas, on aurait, physiquement,

si(u)i+ 12 >0, ti+ 12 =ti si(u)i+ 1

20

Ti+ 12

=Ti+1si u 0 Ki,i+1=

di,i+1

siu < 0 Ki,i+1= di,i+1

(uc)i+ 12

cest--dire

Ki,i+1=

di,i+1+max[(uc)i+ 1

2, 0]


30/113


Ki,i1=

di,i1+max[(uc)i 1

2, 0]

CesKij sont toujours positifs et lquation nodale ne viole donc plus le second principe

de thermodynamique.

Solution rigoureuse Une solution plus prcise peut tre obtenue en intgrant

lquation de conservation entre le noeud i et le noeud i+1 et en calculant ainsi le pro-

fil de temprature entre les noeuds. En labsence de terme source ( q= 0), lquation

de conservation peut scrire :

x(uh T

x) = 0 (3.2.48)

cest--dire, si u, c et sont constants

ucT

x =

x(

T

x) (3.2.49)

avec les conditions aux limites suivantes

x= 0 T =Ti

x= di,i+1 T =Ti+1(3.2.50)

La solution de lquation est donne par

T TiTi+1 Ti =

exp

ucx

1exp

ucd

1 = exp(P e) 1exp(P e) 1 (3.2.51)Si le nombre de Peclet est diffrent de 0 (u = 0), on obtient un profil non-linaire de

temprature.

La valeur de Ki,i+1 est alors donne par

Ki,i+1(Ti Ti+1) = (uc)i+ 12

(Ti+ 12 Ti)

T

x

i+ 1

2

(3.2.52)

avec(uc)i+ 1

2(Ti+ 1

2 Ti) = (uc)(Ti+1 Ti) exp(P e) 1

exp(P e) 1 (3.2.53)T

x

i+ 1

2

= d

Peexp(P e)

exp(P e) 1(Ti+1 Ti) (3.2.54)

On a donc

Ki,i+1=

di,i+1

P e

exp(P e) 1 (3.2.55)


31/113


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

Pe 0

Pe = 0

Pe 0

+

+

+

+

++

+ + + + + + + + + + + + + + +

+

Fig.3.8 Profil de temprature en fonction du nombre de Peclet

et par un raisonnement analogue

Ki,i1=

di,i1

Pe exp(P e)

exp(P e) 1 (3.2.56)

Si on pose A(P e) = P eexp(P e)1

, on peut donc crire

Ki,i+1=

di,i+1[A(|P e|) +max(P e, 0)] (3.2.57)

Ki,i1 =

di,i1[A(|P e|) +max(P e, 0)] (3.2.58)

Schma hybride A grandes valeurs du nombre de Peclet, le schma "upwind"

surestime le flux diffusionnel. Ce schma hybride ("hybrid scheme") est bas sur les

approximations suivantes :

Si|P e| 2 A(|P e|) = 0


32/113


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

A(|P

e|

)

|Pe|

A(|Pe|) = 11 0.5|Pe|

|Pe|

exp(|Pe|)1

++

++

++

++

+ + + + + + + + ++ + + + + + + + +

+

Fig.3.9 Profil de A en fonction du nombre de Peclet

Le schma hybride revient donc approximer la relation "rigoureuse" donnantA(|P e|)par sa tangente lorigine pour|P e| 2.

Schma en puissance ("Power scheme") Le calcul dune exponentielle tant

coteux en temps de calcul, on peut approximer la solution rigoureuse par lapproxi-

mation numrique suivante

A(|P e|) =max(0, (1 0.1|P e|)5

) (3.2.59)

Autres schmas Tous les schmas prcdents dterminent les flux aux interfaces

entre les lments de volume partir des tempratures des deux noeuds voisins. Il

existe galement des schmas faisant intervenir plus de deux noeuds dans le calcul

des flux. Le plus connu est QUICK ("Quadratic Upstream Interpolation") qui utilise

une approximation quadratique du profil de temprature partir des valeurs de Ti et

des tempratures en deux noeuds lamont de i.

Problmes 2-D et 3-D

Jh = q (3.2.60)avec

Jh= vh T (3.2.61)Intgration sur Vi


33/113


Fig.3.10 Noeud i et son volume de contrle

Vi

JhdV =

Vi

qdV (3.2.62)

cest--dire Si

JhndS=

Vi

qdV (3.2.63)

Approximations :

Jh etv uniformes sur chaque surface Sij

q uniforme dansVi

Jij1Sij1+ Jij2Sij2 Jij3Sij3 Jij4Sij4 =qiVi (3.2.64)avec

Jij1 =uij1hij1

Tx ij1

Jij2 =uij2hij2

Tx

ij2

...

(3.2.65)

Intgration de lquation de continuit

(u)ij1Sij1+ (v)ij2Sij2 (u)ij3Sij3 (u)ij4Sij4 = 0 (3.2.66)


34/113


En multipliant 3.2.66 par hi et en soustrayant de 3.2.64, on a

(Jij1 (u)ij1hi)Sij1+ (Jij2 (v)ij2hi)Sij2(Jij3 (u)ij3hi)Sij3 (Jij4 (v)ij4hi)Sij4 =qiVi

(3.2.67)

Schmas localement mono dimensionnels On a

Jij1 (u)ij1hi = (u)ij1(hij1 hi)

T

x

ij1

= (uc)ij1(Tij1 Ti)

T

x

ij1

(3.2.68)

Si on suppose que la temprature linterface Tij ne dpend que de Tj1 et Ti (profil

localement 1-D), on peut crire

(uc)ij1(Tij1 Ti)

Tx

ij1

=Kij1(Ti Tj1) (3.2.69)

et calculer Kij1 par lune des expressions obtenues pour le problme 1-D, cest--dire

de manire gnrale

Kij1 =ij1dij1

[A(|P eij1|) +max(P eij1 , 0)] (3.2.70)

avec P eij1 = (uc)ij1dij1

ij1.

Pour les autres Kij, on utilise des relations analogues, cest--dire

Kij2 =ij2dij2

[A(|P eij2|) +max(P eij2 , 0)] (3.2.71)

avec P eij2 = (vc)ij2dij2

ij2

Kij3 =ij3dij3

[A(|P eij3|) +max(P eij3 , 0)] (3.2.72)

Kij4 =ij4dij4

[A(|P eij4|) +max(P eij4 , 0)] (3.2.73)

Diffusion numrique - schmas bi- ou tridimensionnels Lutilisation de sch-

mas monodimensionnels entrane des erreurs dues ce que lon appelle "la diffusion

numrique". Ce phnomne peut tre mis en vidence dans le cas simple suivant :

soit un coulement vitesse uniforme, oriente 45par rapport aux axes. On sup-

pose qu lentre la temprature vaut T1 au dessus de la bissectrice des axes, et T2

en-dessous. En labsence de diffusion (= 0) et de source (q= 0), le profil de temp-


35/113


Fig.3.11 Illustration du phnomne de diffusion numrique

rature devrait se propager dans le milieu sans changer de forme.

Lquation nodale est dans ce cas donne par

u= v >0

P e 0 A(|P e|) = 0Kij1 =Kij2 = 0

Kij3 =Kij4 =uc

(3.2.74)

cest--dire

uc(Tj3 Ti) +vc(Tj4 Ti) = 0 (3.2.75)ou

Ti =

Tj3+Tj4

2 (3.2.76)Cette quation conduit un profil de temprature calcul analogue celui quon ob-

tiendrait en prsence de diffusion. Cette diffusion est dorigine purement numrique,

elle est due au fait quen utilisant un schma localement monodimensionnel, la temp-

rature en chaque noeud i dpend de la temprature gauche (j3) et de la temprature

en-dessous du noeud (j4).

En ralit, compte tenu de lorientation de lcoulement, la temprature au noeud i


36/113


Fig.3.12 Noeud i et son volume de contrle

ne dpend que de la temprature lamont dans la direction de lcoulement cd de

la temprature au noeud j3j4. Ce phnomne de diffusion numrique nexiste pas si

lcoulement est parallle aux lignes du maillage (horizontal ou vertical).

La rduction des erreurs dues la diffusion numrique ncessite donc des schmas de

discrtisation qui tiennent compte de la direction de lcoulement. Nous nous limite-

rons ici, titre dexemple, au schma SUDS ("Skew Upstream Differencing Scheme"),

qui est lanalogue 2-D de lupwinding.

Pour la face ij3 par exemple, le flux est donn par

Jij3 = (uc)ij3Tij3

T

x

ij3

(3.2.77)

Lupwinding consiste supposer que la temprature sur la face ij3 est gale la

temprature lamont de lcoulement cest--dire

Tij3 =T (3.2.78)

En supposant que la temprature varie linairement entre j3j4 et j3, on a, si u et v

sont positifsT =Tj3+ (Tj3j4 Tj3)

y yij3yj3j4 yij3

(3.2.79)

avecy yij3x xij3

=v

u

ij3

(3.2.80)

ce qui donne

T =Tj3+ (Tj3j4 Tj3)v

u

ij3

dij32.dij4

(3.2.81)


37/113


Fig.3.13 Illustration du schma SUDS

Si ( vu )ij3dij32.dij4

> 1, le point dintersection tombe en dehors du segment (j3, j3j4). T

est alors obtenue par extrapolation, ce qui est peu prcis. On utilise donc les relations

suivantes, pour u et v>0.

T =Tj3+ (Tj3j4 Tj3)

vu

ij3

dij32.dij4

si

vu

ij3

< 2dij4

dij3

T =Tj3j4 si

vu

ij3

> 2dij4

dij3

(3.2.82)

Pour dautres orientations de la vitesse v, on calcule de manire analogue la valeur

de T par interpolation sur les autres segments. Pour u et v >0, le flux est donc

finalement donn par

Jij3 = (uc)ij3T Ti Tj3

dij3(3.2.83)

Conditions aux limites

Limplmentation des conditions aux limites dpend du type de maillage adopt.

Mthode A : noeuds placs sur les limites Equation du noeud i :

(Ji (u)ihi)Si,lim+ (Jij2 (v)ij2hi)Sij2(Jij3 (u)ij3hi)Sij3 (Jij4 (v)ij4hi)Sij4 =qiVi

(3.2.84)

Problme : comment calculer Ji (u)ihi= ?

Ji (u)ihi = (u)ihi

T

x

i

(u)ihi=

Tx

i

(3.2.85)


38/113


Fig.3.14 Noeud sur la limite et son volume de contrle

1. Entre : ui< 0 etTi fix Ti= Tentree2. Sortie : ui > 0 et

Tx = 0 Ji (u)ihi= 0

3. Symtrie : ui = 0 et T

x = 0 Ji (u)ihi = 04. Paroi : ui= 0

temprature imposeTi= Tparoi

flux impos

Tn

= Tx

=paroi (>0si sortant)

Ji (u)ihi = paroi(3.2.86)

condition de Fourier

Tn = Tx =Kf(T Tf)Ji (u)ihi= Kf(Ti Tf)

(3.2.87)

Mthode B

Jj1 (u)j1hj1 = (u)j1(hj1 hi) Tx j1 (3.2.88)1. Entre : uj1


39/113


Fig.3.15 Volume de contrle la limite et noeud fictif associ

2. Sortie : uj1 >0 et

Tx

j1

= 0

Upwinding :Tj1 =Ti etKij1 = 0

3. Symtrie : uj1 = 0et T

x = 0 Tj1 =Ti

4. Paroi : uj1 = 0

temprature imposeTj1

=Tparoi

Jj1 (u)j1hi =

T

x

j1

=ij1dij1

(Ti Tparoi)

Kij1 =ij1dij1

et Tj1 =Tparoi

(3.2.91)

flux impos Tn

= Tx

=paroi

Jj1 (u)j1hi =

Tx

j1

=paroi =ij1dij1

(Ti Tj1) (3.2.92)

condition de Fourier Tn = Tx =Kf(T Tf)

Jj1 (u)j1hi =

Tx

j1

=Kf(Tj1 Tf) =ij1dij1

(Ti Tj1)

=Kif(Ti Tf)(3.2.93)

avec 1Kif = 1Kf

+ dij1ij1


40/113

3.3. PROBLMES PARABOLIQUES 3.22

3.3 Problmes paraboliques

3.3.1 Diffusion non-stationnaire

cT

= ( T) +q (3.3.1)Intgration

Vi

cT

dV =

Vi

(T)dV +

Vi

qdV (3.3.2)

cest--dire Vi

cT

dV =

Si

(T)ndS+

Vi

qdV (3.3.3)

Approximations

Tuniforme sur chaque face q uniforme dansVi T =Ti uniforme dans Vi pour le calcul de T/

profil de T linaire entre i et j

iciVidTid

+

j4j=j1

Kij Sij(Ti Tj ) =qiVi (3.3.4)

micidTid

+

j

KijSij (Ti Tj ) =qiVi (3.3.5)

On obtient donc un systme dquations diffrentielles ordinaires.

Ce systme peut tre rsolu par nimporte quel algorithme de rsolution de systme

dquations diffrentielles : Runge-Kutta, prdiction - correction, ... Ces algorithmes

consistent transformer le systme en systme dquations algbriques en discrtisant

le temps. On sintressera ici particulirement la mthode dEuler. Celle-ci consiste

approximer la drive temporelle par lexpression suivante :

dTid

= (Ti(+ ) Ti())/

=T+i Ti

(3.3.6)

ce qui donne

miciT+i Ti

+

j

Kij Sij(Ti Tj ) =qiVi avec ci= ci

T+i +T

i

2

(3.3.7)


41/113


Fig.3.16 Problme 1-D

Mthode dEuler explicite

Dans la mthode explicite, on calcule les flux et le terme source au dbut du pas

de temps, cest--dire

miciT+i Ti

+

j

Kij Sij (T

i Tj ) =qi Vi (3.3.8)

ce qui donne, sici est constant, une expression explicite pour les T+

i

T+

i =T

i

1 jKij Sij

mici

+

j

Kij Sij

mici T

j +

qiVi

mici (3.3.9)

Problme

Le second principe de thermodynamique impose que si Ti augmente, T+

i doit aug-

menter, ce qui impose

1

jKij Sij

mici 0 (3.3.10)

cest--dire

micij

KijSij(3.3.11)

Si le pas de temps est suprieur cette valeur, on obtient des solutions non-physiques !

Cette condition est unecondition de stabilit de la mthode, elle impose, pour une

discrtisation spatiale donne, une limitation du pas de temps !

Exemple Problme 1-D, discrtisation spatiale uniforme


42/113


On aKij =

d, Vi= d et Sij = 1.

Pour un noeud intrieur, la condition de stabilit scrit :

cd2 d

cad

c

d2 =F o 1

2 (3.3.12)

Pour un noeud sur une limite, avec une condition aux limites de type Fourier, on a

T+0 =T0

1 K01S01+KfS0

m0c0

+

K01S01m0c0

T1

+KfS0m0c0

Tf + q0V0m0c0

(3.3.13)

avec K01=

d, S01 = S0 = 1 et m0 =

0d2

.

La condition de stabilit scrit :

cd

2

d +Kf (3.3.14)

cest--dire

c.

d2

1 +

Kfd

1

2 (3.3.15)

ou

F o 1(1 +Bi)2

avec Bi=Kfd

(3.3.16)

condition plus svre encore que la condition de stabilit pour un noeud intrieur.

Fo est le nombre de Fourier et Bi est le nombre de Biot.

Mthode dEuler implicite

Dans la mthode implicite, on calcule les flux et le terme source la fin du pas de

temps, cest--dire

miciT+i Ti

+

j

K+ij Sij (T+

i T+j ) =q+i Vi (3.3.17)

ce qui conduit, chaque pas de temps, un systme dquations algbriques de la

forme

j

aij T+

j =bi (3.3.18)

avec

aij = K+ij Sijaii = +

j=i K

+ij Sij+

mici =

j=i aij+

mici

bi =q+i Vi+mici

Ti

(3.3.19)

Si Ti augmente, T+

i augmente galement car mici aii

est toujours positif. La mthode

est doncinconditionnellement stable.


43/113


Mthode de pondration - mthode de Crank-Nicholson

Lquation nodale peut scrire

miciT+i Ti

+ j

ij =qiVi avec ij =Kij Sij(Ti

Tj) (3.3.20)

Entre et + , les ij varient entre ij et

+ij . On peut donc exprimer le flux

moyen sur le pas de temps par

ij = (1 )ij++ij (3.3.21)

tant un facteur de pondration. Lquation nodale scrit donc

miciT+i Ti

+

j(1 )

ij+

+ij

=

(1 )qi +q+i

Vi(3.3.22)

Si = 0, on obtient la mthode explicite

Si = 0, on obtient un systme dquations chaque pas de temps Si = 1, on obtient la mthode dEuler implicite

Si = 0.5, la mthode est la mthode de Crank-Nicholson.

On peut montrer que, si les proprits physiques et le terme source sont constants,

la mthode est stable si 0.5.

3.3.2 Convection diffusion non-stationnaire

(h)

+ Jh= q (3.3.23)

avec Jh= vh TIntgraion sur Vi :

Vi

(h)

dV +

Vi

JhdV =

Vi

qdV (3.3.24)

cest--dire

Vi

(h)dV +

Si

JhndS=

Vi

qdV (3.3.25)

Approximations :

Jh uniforme sur chaque face

q uniforme dansVi

h= hi, = i uniformes dansVi pour le calcul de (h)


44/113


Fig.3.17 Noeud i et volume de contrle

d

d(h)iVi+Jij1Sij1+Jij2Sij2 Jij3Sij3 Jij4Sij4 =qiVi (3.3.26)

En approximant la drive temporelle par la formule dEuler

d

d(ihi)Vi =

+i h+i i hi

Vi (3.3.27)

on obtient

+i h+i i hi

Vi+Jij1Sij1+Jij2Sij2 Jij3Sij3 Jij4Sij4 =qiVi (3.3.28)

De mme la discrtisation de lquation de continuit conduit

+i i

Vi+ (u)ij1Sij1+ (v)ij2Sij2 (u)ij3Sij3 (v)ij4Sij4 = 0 (3.3.29)

Mthode explicite

Dans la mthode explicite, on approxime les flux et le terme source dans 3.3.28 et

3.3.29 par leurs valeurs au dbut du pas de temps.

En multipliant lquation 3.3.29 par hi et en la soustrayant de lquation 3.3.28, on

obtient

+ih+i hi

Vi+ (J

ij1

(u)ij1hi )Sij1+...= qi Vi (3.3.30)


45/113


cest--dire

+i ciT+i Ti

Vi+ (J

ij1

(u)ij1hi )Sij1+...= qi Vi (3.3.31)En approximant les flux par lun des schmas vus pour les problmes stationnaires,

les quations discrtises sont de la forme

+i ciT+i Ti

Vi+

j

Kij Sij(T

i Tj ) =qi Vi (3.3.32)

avec ci= ci(T+i +T

i2 ).

Si les proprits physiques sont constantes, on obtient donc une expression explicite

des tempraturesT+i , donne par

T+i =T

i 1 jK

ij Sij

iciVi + j

Kij Sij

iciViTj +

qi

ici(3.3.33)

avecKij1 =

ij1dij1

[A(|P eij1|) +max(P eij1 , 0)]Kij2 =

ij2dij2

[A(|P eij2|) +max(P eij2, 0)]...

(3.3.34)

Problme

Le second principe de la thermodynamique impose que si Ti ou T

j augmente, T+

i

doit augmenter, ce qui impose

1

jKij Sij

iciVi 0 si Kij 0 (3.3.35)

cest--dire

micijKijSij

(3.3.36)

Cette expression est lacondition de stabilit de la mthode explicite. Elle impose

une limitation du pas de temps, qui dpend du schma de discrtisation des

flux (expression des Kij ).

Exemples : Problmes 1-D - discrtisation spatiale uniforme

Supposons u > 0, uniforme et les flux sont approxims par le schma "upwind".

On a Vi= d,Sij = 1,A(|P e|) = 1,Ki,i+1= d etKi,i1= d +uc.La condition de stabilit scrit

cd2 d +uc

(3.3.37)


46/113


Fig.3.18 Problme 1-D

cest--dire2

c

d2 +

u

d 1 (3.3.38)

ou encore 2F o +Co 1 avec

c

d2

=F o nombre de Fourier du maillage

ud

=Co nombre de Courant(3.3.39)

Dans le cas limite o = 0(convection pure), la condition scrit

Co=u

d 1 (3.3.40)

appele condition de Courant - Friedrich - Levy (condition C.F.L.).

(En ralit, le problme de convection pure non-stationnaire est un problme hyper-

bolique).

La condition C.F.L. peut scrire aussi < xu ce qui signifie que le pas de temps

doit tre infrieur au temps ncessaire au fluide pour parcourir la distance d.

Mthode implicite

Dans la mthode implicite, on approxime les flux et le terme source par leurs

valeurs la fin du pas de temps. En multipliant lquation de continuit par h+i et en

la soustrayant de lquation de conservation de lnergie, on obtient

i ciT+i Ti

Vi+

j

K+ij Sij(T+

i T+j ) =q+i Vi (3.3.41)

ce qui conduit devoir rsoudre un systme dquations algbriques chaque pas de

temps. Cette mthode est inconditionnellement stable.


47/113


Mthode de pondration

De faon analogue ce qui a t fait pour le problme de conductibilit non-

stationnaire, on peut approximer les flux par une moyenne pondre des valeurs au

dbut et la fin du pas de temps. On obtient alors

iciViT+i Ti

+ (1 )

j

Kij Sij(T

i Tj )

+

j

K+ij Sij(T+

i T+j )

= [(1 )qi +q+i ]Vi(3.3.42)

3.3.3 Couches limites stationnaires 2-D ou 3-D

Les problmes de couches limites 2-D ou 3-D sont des problmes de convection-

diffusion stationnaires, dans lesquels la diffusion dans le sens de lcoulement du fluidepeut tre nglige. Pour un problme 2-D, lquation de conservation de lnergie

scrit dans ce cas (coulement parallle x)

x(uh) +

y(vh) =

x

T

x

+

y

T

y

+q (3.3.43)

avec x

Tx

qui peut tre nglig.

Ce problme est analogue un problme de convection-diffusion non-stationnaire dans

lequel le temps serait remplac par la distance parcourue par le fluide depuis lentre

du domaine.

Discrtisation spatiale

Pour rsoudre les problmes de couches limites, on utilise une discrtisation du

domaine diffrente de celle utilise pour les problmes de diffusion ou de diffusion-

convection.

Dans le sens de lcoulement global du fluide, les faces des lments de volume con-

cident avec les noeuds.

Discrtisation des quationsEn intgrant lquation de conservation sur Vi

(uh)+jSj (uh)jSj+ Jj+ 12

Sj+ 12 Jj 1

2Sj1

2=qj Vj (3.3.44)

Lquation de continuit conduit

(u)+jSj (u)jSj+ (v)j+ 12

Sj+ 12 (v)j 1

2Sj1

2= 0 (3.3.45)


48/113


Fig.3.19 Volume de contrle

Mthode explicite On soustrait de lquation de conservation lquation de conti-

nuit, multiplie parhj et on value les flux en

(u)+jcj(T+

j Tj )Sj+ (Jj+ 12

(v)j+ 12

hj)Sj+ 12

(J

j 12 (v)j1

2 h

j)Sj1

2 =q

j Vj

(3.3.46)

ce qui scrit, aprs discrtisation des flux par un des schmas vus prcdemment,

(u)+jcj (T+

j Tj )Sj+Kj,j+1Sj,j+1(Tj Tj+1)+Kj,j1Sj,j1(T

j Tj1) =qi Vi

(3.3.47)

ce qui conduit lexpression explicite suivante pour T+j

T+j =T

j 1 kK

jk Sjk

(u)+

jcj Sj +

k

Kjk Sjk

(u)+

jcjSjTk +

qj Vj

(u)+

jcjSj(3.3.48)

Cette mthode explicite est stable sikK

jk Sjk

(u)+jcj Sj 1 (3.3.49)

Exemple :v = 0, u+ =u, maillage uniforme y etx.


49/113


On a dans ce casKj,j+1= Kj,j1=

y

Sj,j+1= Sj,j1= x

Si= y

(3.3.50)

La condition scrit2x

ucy2 1 (3.3.51)

cest--dire

c

.

x

uy2 1

2 (3.3.52)

ou

x 12

uy2

a

a=

c

(3.3.53)

Mthode implicite On soustrait de lquation de conservation lquation de conti-

nuit, multiplie parh+j et on value les flux en +

(u)jcj (T+

j Tj )Sj+K+j,j+1Sj,j+1(T+j T+j+1)+K+j,j1Sj,j1(T

+j T+j1) =q+i Vi

(3.3.54)

On obtient donc un systme dquations algbriques rsoudre dans chaque section.

La solution de ce systme fournit les tempratures dans la section T+j partir des

tempraturesTj dans la section lamont de lcoulement. Cette mthode implicite

est toujours stable.


50/113

3.4. SOLUTION DU SYSTME DQUATIONS NODALES 3.32

Fig.3.20 Algorithme de rsolution du systme dquations

3.4 Solution du systme dquations nodales

Pour les problmes elliptiques et pour les problmes paraboliques, lorsquon utilise

une mthode implicite ou de Crank-Nicolson, la discrtisation de lquation de conser-

vation conduit un systme dquations algbriques. Par exemple, pour un problme

non-stationnaire discrtis par une mthode implicite, ce systme est de la formej

aij T+

j =bi (3.4.1)

avec

aij = K+ij Sijaii = +

jK

+ij Sij+

mici

bi = q+i Vi+mici

Ti

(3.4.2)

Ce systme est linaire si les K+ij et q+i sont constants cest--dire si les proprits

physiques et le terme source ne dpendent pas des tempratures. Dans le cas contraire,le systme est non-linaire. Il doit alors tre rsolu par approximations successives.

Lalgorithme est alors celui de la figure 3.20 dans laquelle est un facteur de relaxa-

tion.

Si < 1, la nouvelle valeur Ti est obtenue par interpolation entre lancienne

valeurTi et la valeur calcule Ti.

Si >1, la nouvelle approximation Ti est obtenue par extrapolation.


51/113


Si 1, on parle de surrelaxation.

Normalement,


52/113


toutes les autres valeurs sont nulles.

3. La matrice [A] est diagonale dominante. En effet, on a

i, |aii| j=i|aij| (3.4.8)

4. En conductibilit pure, la matrice [A] est symtrique.

Ces caractristiques justifient lutilisation dalgorithmes spcialiss pour la rsolution

du systme dquations.

3.4.2 Mthodes itratives par points

Dans les mthodes itratives "par points", on balaye le domaine point par point

et on applique en chaque noeud i lquation du noeud pour dterminer une nouvelle

approximation de la temprature Ti.La mthode la plus utilise est la mthode de Gauss-Seidel, dans laquelle on utilise

tout instant les dernires valeurs disponibles.

Pour un problme 2-D par exemple, en parcourant le domaine de gauche droite et

de bas en haut, les itrs successifs sont calculs par

Tki = 1

aii

aij1Tk1j1 aij2Tk1j2 aij3Tkj3 aij4Tkj4+bi (3.4.9)quation dans laquelle k indique les valeurs relatives litration k et (k-1) indique

les valeurs relatives litration prcdente.Cette mthode peut tre acclre par application de la surrelaxation. On calcule

Tki = 1

aii

j,k1

aijTk1

j j,k

aij Tk

j +bi

Tk1i (3.4.10)

et on dtermine litr k par

Tki =Tk1

i +Tk

i (3.4.11)

La vitesse de convergence est amliore si 1 2.Pour >2, la mthode diverge.

Cette mthode itrative par points prsente deux inconvnients :

1. La vitesse de convergence est lie la valeur de . Elle est maximale pour une

valeur particulire = opt mais cette valeur optimale du facteur de surre-

laxation dpend du problme rsoudre et ne peut tre dtermine que par

exprimentation numrique.


53/113


Fig. 3.21 Exemple de schma de rsolution : valeurs disponibles en (k-1), +valeurs dj calcules litration k,noeud courant

2. La vitesse de convergence de la mthode se dgrade trs rapidement lorsque le

nombre de noeuds augmente. La raison est que linformation des conditions aux

limites est transmise au sein du domaine de proche en proche, une vitesse de

lordre de un pas despace par itration.

3.4.3 Solution directe pour les problmes 1-D - Algorithme de

Thomas

Pour les problmes monodimensionnels, la matrice [A] des coefficients est tridia-

gonale. Les expressions nodales sont de la forme

ai,i1Ti1+aiiTi+ai,i+1Ti+1= bi (3.4.12)

ou encore

aiTi1+biTi+ciTi+1 = di (3.4.13)

avec i= 1,...,n,a1= 0 et cn= 0.Un tel systme peut tre rsolu de manire trs efficace par une mthode directe,

lalgorithme de Thomas, qui est en fait lalgorithme de Gauss appliqu un systme

tridiagonal.


54/113


Le systme peut scrire :

b1T1+c1T2 = d1 (1)

aiTi1+biTi+ciTi+1= di (2)...(n 1)

anTn1+bnTn= dn (n)

(3.4.14)

Lalgorithme comporte deux tapes :

Elimination (en descendant)

De (1), on tire

T1 =d1 c1T2

b1=d

1 c

1T2 (3.4.15)

avec d

1 = d1

b1etc

1= c1b1

En insrant cette expression dans la deuxime quation, on a

a2(d

1 c

1T2) +b

2T2+c

2T3

= d2

(3.4.16)

cest--dire

T2=d2 a2d1b2 a2c1

c2b2 a2c1

T3 = d

2 c

2T3 (3.4.17)

avec d

2 = d2a2d

1

b2a2c

1

etc

2= c2

b2a2c

1

.

De mme, pour lquation (i), on obtient

Ti = d

i c

iTi+1 (3.4.18)

avec d

i=

diaid

i1

biaic

i1

etc

i= ci

biaic

i1

.

Lquation (n) devient

Tn = d

n c

nTn+1= d

n (3.4.19)

avec c

n= 0 et d

n= dnand

n1

bnanc

n1

.

Substitution (en montant)

En remontant, on obtient successivement

Tn= d

n

Tn1 = d

n1 cn1Tn...

Ti= d

i ciTi+1...

T1= d

1 c1T2

(3.4.20)

Cet algorithme est trs performant du point de vue vitesse dexcution. Il ne ncessite

que le stockage des ai, bi, ci, di soit quatre valeurs par noeud.


55/113


Fig.3.22 Balayage du maillage :+ dernires valeurs calcules litration courantek ,dernires valeurs calcules litration prcdente (k-1)

Problmes 2-D et 3-D - Mthodes itratives par lignes

Pour les problmes 2-D et 3-D, on peut utiliser des mthodes itratives par lignes.

Le principe de ces mthodes est le suivant :

on balaye le domaine ligne par ligne chaque ligne, les nouvelles approximations des variables sont calcules simul-

tanment sur toute la ligne en appliquant lalgorithme de Thomas.

Lquation des noeuds de la ligne courante est donne par

aij4Tk

j4+aiiTk

i +aij2Tk

j2= bi aij1Tk1j1 aij3Tkj3 (3.4.21)

Ces quations constituent un systme dquations matrice tridiagonale dont la so-

lution par lalgorithme de Thomas fournit les nouvelles approximations des tempra-

tures des noeuds de la ligne.

Cette mthode itrative par lignes prsente les caractristiques suivantes : Linformation des conditions aux limites est propage au sein du domaine en

une fois dans la direction de la ligne. Dans les directions perpendiculaires

la direction de la ligne (direction de balayage), linformation est propage de

proche en proche, une vitesse de lordre dun pas despace par itration. La

vitesse de convergence est donc meilleure que celle des mthodes itratives par

points.


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La vitesse de convergence dpend de la direction choisie pour la ligne et du sens

de balayage des lignes :

1. Si les coefficients dune direction sont plus grands que les coefficients des

autres directions, la convergence sera plus rapide si on choisit cette direc-

tion comme direction de la ligne.

2. Le sens de balayage est important galement. Par exemple, dans un pro-

blme de convection, la convergence sera plus rapide si on balaye le domaine

dans le sens de lcoulement.

3. En alternant la direction des lignes chaque itration, on propage rapide-

ment linformation des conditions aux limites lintrieur du domaine, la

convergence sera donc plus rapide quen utilisant toujours la mme direc-

tion pour les lignes.

On peut galement appliquer la surrelaxation aux mthodes itratives par lignes.Le gain en vitesse de convergence est cependant faible.


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Chapitre 4

Mthode aux lments finis

4.1 Principes gnraux de la mthode

4.1.1 Discrtisation spatialeLa mthode est base sur lensemble des points suivants :

Subdiviser le domaine en un ensemble dlments de formes simples (triangles,

quadrilatres, ttrahdres,... droits ou curvilignes). Ces lments recouvrent tout

le domaine sans se recouvrir lun lautre.

Sur chaque lment, on dfinit des noeuds sur les frontires et lintrieur de

llment.

Le champ de temprature est approxim partir des valeurs des tempratures

nodales ti inconnues, laide de fonctions dinterpolation, dfinies localement

lintrieur de chaque lment.

Le champ de temprature approximatif est donc donn lintrieur de llment (e)

par

t(e)(x) =je

tj N(e)

j (x) (4.1.1)

cest dire une combinaison linaire des valeurs nodales. Nj est la fonction de forme

et tj la valeur inconnue de la temprature au noeud j. Pour lensemble du domaine,

on a donc

t(x) =

nj=1 tj Nj(x) (4.1.2)

avec Nj(x)la fonction de forme du noeudj et

Nj(x) =(e)j

N(e)

j (x) (4.1.3)


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4.1. PRINCIPES GNRAUX DE LA MTHODE 4.2

Fig.4.1 Discrtisation spatiale dun domaine quelconque

4.1.2 Discrtisation des quations

On remplace lquation diffrentielle par une formulation intgrale, obtenue par

la mthode des rsidus pondrs. Si lquation diffrentielle de dpart scrit

f(t,t, 2t) = 0 (4.1.4)en introduisant lapproximation (4.1.2) en lieu et place de lvolution exacte det dans

cette quation, celle-ci nest plus respecte et on obtient un rsidu non-nul

R(t) =f(t,t, 2t) = 0 (4.1.5)La mthode des rsidus pondrs consiste rechercher lapproximation t qui annule

la moyenne des rsidus dans le domaine cest--dire telle que

W(x)R(t)dV = 0 (4.1.6)

La fonction approximative t(x)comportant n paramtres inconnus ti, il faut n qua-

tions cest--dire choisir n fonctions de pondration Wi linairement indpendantes,

et annuler nrsidus pondrs cest--dire

Wi(x)R(t)dV = 0 i= 1, . . . , n (4.1.7)


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4.1. PRINCIPES GNRAUX DE LA MTHODE 4.3

ce qui conduit un systme de nquations algbriques en les n tempratures ti.

Il existe de nombreuses mthodes aux lments finis, qui diffrent entre elles en fonc-

tion du choix des Wi. En particulier, citons :

la mthode de Galerkin :Wi(x) = Ni(x)

la mthode aux volumes finis: Wi(x) = 1pourx Vi autour du noeudi etWi(x) = 0 sinon. Cette mthode est la base des mthodes aux volumes finis

sur des maillages non structurs.

Applique lquation de conservation de lnergie crite sous sa forme non conser-

vative,

ct

+uc(t) = (t) +q (4.1.8)

la mthode des rsidus pondrs donne

Wi(ct

)dV +

Wiuc

(t)dV =

Wi

(

t)dV +

WiqdV (4.1.9)

En intgrant par parties le terme diffusionnel,

Wi (t) = (Wit) (Wi)t (4.1.10)

on a

Wi(ct

)dV +

WiuctdV

=

(Wi

t)dV

(Wi)tdV + WiqdV(4.1.11)

En appliquant le thorme dOstrogradsky au troisime terme, on a :

Wi(ct

)dV +

WiuctdV

=

Wi(t

n)dS

(Wi)tdV +

WiqdV

(4.1.12)

Cette expression est appele forme faiblede lquation de conservation de lnergie,

car les drives quelle contient sont dun ordre infrieur de une unit lordre des

drives de lquation diffrentielle de dpart. Cette forme prsente deux avantages :

les fonctions de forme doivent tre simplement drivables une fois dans le do-

maine o elles sont non nulles. Lutilisation de fonctions linaires est donc pos-

sible.

elle introduit naturellement les conditions aux limites de type gradient impos

(par le terme tn

)


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4.2. ELMENTS FINIS ET FONCTIONS DINTERPOLATION 4.4

Fig.4.2 Trois lments une dimension

4.2 Elments finis et fonctions dinterpolation

De nombreux types dlments et de fonctions dinterpolation peuvent tre construits.

Ils diffrent

par la forme

par le nombre et la localisation des noeuds

par lexpression des fonctions de forme dfinies sur llment.

Les deux premiers lments relvent videmment de la gomtrie de llment.

4.2.1 Gomtrie des lmentsLes lments classiques utiliss en pratique sont les suivants :

Elments 1 dimension

On peut utiliser des lments 2, 3 ou 4 noeuds (voir figure 4.2).

Elments 2 dimensions

Dans les lments deux dimensions, on distingue les lments trois et quatre

cts : les lments triangulaires 3 ou 6 noeuds (voir figure 4.3) et les lmentsquadrilatraux 4, 8 ou 9 noeuds (voir figure 4.4).

Elments 3 dimensions

Dune manire similaire ce qui est fait en deux dimensions, on trouvera, pour

rsoudre des problmes tridimensionnels, des lments 3-D ttradriques ou hexa-

driques. Dans le cas des ttradres, on rencontre des lments 4 ou 10 noeuds (voir


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Fig.4.3 Deux lments triangulaires : 3 et 6 noeuds

Fig.4.4 Trois lments quadrilatraux : 4, 8 ou 9 noeuds


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Fig.4.5 Deux lments ttradriques : 4 ou 10 noeuds

figure 4.5) et dans le cas des hexadres, on aura des lments 8, 20 ou 32 noeuds(voir figure 4.6).

4.2.2 Fonctions de forme

La temprature lintrieur de llment est donne par :

t(e)(x) =je

tj N(e)

j (x) (4.2.1)

lesN(e)

j tant les fonctions de formes associes llment(e). Ces fonctions de forme

doivent tre choisies a priori. En pratique, on adopte pour ces fonctions des fonctionspolynomiales, dfinies lintrieur de chaque lment, et dont le degr dpend du

nombre de noeuds qui servent dfinir llment.

On a donc Nj(x) = a+bx+ cy + dx2 +exy + f y2 +. . . (pour un lment deux

dimensions).

Ces fonctions de forme doivent, en outre, avoir les proprits suivantes :

1. Elles sont dfinies localement, cest--dire : Nej (x) = 0 si x e2. On a Nei(xj) =ij : N

(e)i (xi, yi, zi) = 1 et N

(e)i (xj , yj, zj) = 0 pour j=i

3. Elles doivent permettre dapproximer un champ uniforme sur llment. Dansce cas, les ti correspondant aux noeuds de llment sont gaux (=t0) et on a :

t(e)(x) =t0 = t0(

jN(e)

j (x)) ce qui implique

je N(e)

j (x) = 1x (e)4. Les N

(e)j sont linairement indpendantes.

Lexpression des fonctions de forme, en particulier des coefficients a, b, c,... des dif-

frents termes du polynome utilis, peut tre dtermine facilement partir de la

proprit (2).


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Fig.4.6 Trois lments hexadriques : 8, 20 ou 32 noeuds

Fig.4.7 Fonctions de forme pour un lment 1D

Appliquons cela un lment monodimensionnel deux noeuds (lment linaire

- voir figure 4.7). On a dans ce cas :

N1 = 1 xx1x2x1N2 =

xx1x2x1

(4.2.2)

ce qui donne :

t= t1N1+t2N2= t1(1 x

x1

x2 x1 ) +t2(x

x1

x2 x1 ) (4.2.3)cest--dire une fonction linaire entre t1 et t2. Si on utilise la coordonne locale

= xx1x2x1 , on a

N1() = 1 N2() =

(4.2.4)

Considrons ensuite un lment triangulaire plan (voir figure 4.8). Cet lment com-


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Fig.4.8 Elment triangulaire plan

porte trois noeuds, les fonctions de forme comportent donc 3 termes, cest--dire :

N1 = a1+b1x+c1y

N2 = a2+b2x+c2y

N3 = a3+b3x +c3y

(4.2.5)

Le problme consiste dterminer les ai, bi et ci. On a pour N1 : N1(xi, yi) = 1i

cest--dire :a1+b1x1+c1y1= 1

a1+b1x2+c1y2= 0

a1+b1x3+c1y3= 0

(4.2.6)

cest--dire :

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

a1

b1

c1

=

1

0

0

(4.2.7)

ce qui donne, aprs solution du systme,

b1 = (y2 y3)/2c1 = (x3

x2)/2

a1= (x2y3 x3y2)/2(4.2.8)

avec

2 =det

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

= 2. la surface du triangle (4.2.9)

et des expressions analogues pour les deux autres fonctions de forme.


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Fig.4.9 Correspondance lment de rfrence - lment rel

4.2.3 Elment de rfrence - Transformations

On peut galement exprimer les fonctions de forme dans un systme de coordon-

nes locales. Lexpression de ces fonctions de forme est alors indpendante des valeurs

particulires des coordonnes des noeuds.

Ceci revient dfinir, pour chaque type dlment, un lment de rfrence sur lequelsont dfinies les fonctions de forme en coordonnes locales. Lexpression des fonctions

de forme dans le systme daxes (x,y,z) est alors obtenue laide dune transforma-

tion gomtrique. La transformation se met sous la forme :

T(e) :x(e) =x(e)( , , ) (4.2.10)

Pour un lment triangulaire, par exemple, les fonctions de forme de llment de

rfrence sont :

N

(e)1 (, ) = 1

N(e)2 (, ) =

N(e)3 (, ) =

(4.2.11)


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De manire gnrale, la transformationx(e) =x(e)( , , )sera exprime par des rela-

tions de la forme :

x( , , ) =n

j=1 xjN

j( , , )

y( , , ) = n

j=1 yjN

j( , , )

z( , , ) =n

j=1 zjNj( , , )

(4.2.12)

dans lesquelles lesNj sont des fonctions dinterpolation et n le nombre de points pour

lesquels la correspondance (x,y,z) ( , , )est fixe.Une transformation trs importante en pratique est la transformation isopara-

mtrique, dans laquelle les fonctions dinterpolation Nj qui dfinissent la gomtrie

sont prises gales aux fonctions de forme Nj utilises dans lexpression du champ de

temprature approximatif, cest--dire :

Nj( , , ) = N(e)

j ( , , ) (4.2.13)


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Elment de rfrence Fonctions de forme Elment "rel"

Transf. isoparamtrique

N1() = 1 N2() =

N1() = 0.5(1 )N2() = 1 2N3() = 0.5(1 +)

N1(, ) = 1 N2(, ) =

N3(, ) =

N1 = 1 3 3+ 22 + 22 + 4N2 = 4 42 4N3 = + 22N4 = 4

N5 = + 22N6 = 4 4 42


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Elment de rfrence Fonctions de forme Elment "rel"

Transf. isoparamtrique

Ni = 14(1 +i)(1 +i)

coins i= 1, 3, 5, 7

Ni = 14

(2 +i)(2 +i)

cotes i= 2, 4, 6, 8

Ni = 12

2i (

2 i)(1 2)+12

2i(

2 i)(1 2)centre i= 9

Ni = (1 2)(1 2)

N1= 1

N2= N3=

N4=

8/12/2019 Thermique Numerique.p

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