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Thermodynamique et modèles thermiques. Guy Gauthier Été 2010. Notions d’énergie. Énergie totale. Niveau macroscopique. Énergie cinétique. Énergie potentielle. Niveau microscopique. Énergie interne. L’énergie totale. L’énergie totale d’un système est définie comme étant la somme de: - PowerPoint PPT Presentation
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Thermodynamique et modèles thermiques
Guy GauthierÉté 2010
2
Niveau microscopique
Notions d’énergie
Énergie totale
Énergie cinétique
Énergie potentielle
Niveau macroscopique
Énergie interne
3
L’énergie totale
L’énergie totale d’un système est définie comme étant la somme de: L’énergie interne; L’énergie cinétique; L’énergie potentielle.
TE U KE PE
4
Énergie cinétique
L’énergie cinétique est associée au mouvement.
Elle s’exprime par l’équation suivante:
KE mv 12
2
5
Énergie potentielle
L’énergie potentielle est associée à de l’énergie stockée et qui peut être utilisée.
Elle s’exprime par l’équation suivante:
PE mgh
6
Niveau microscopique
L’énergie interne
Énergie interne
Agitation thermique
Énergie de liaison
Énergie nucléaire
Température
Chimie
7
Ainsi…
Mécanique des fluides: Énergie au niveau macroscopique;
Réactions chimiques: Énergie au niveau microscopique;
Transfert de chaleur: Agitation thermique.
8
Énergie par unité de masse
Dans certains modèles il peut être plus facile de représenter l’énergie par unité de masse. Ainsi:
Énergie totale:
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
TE U KE PE 21
2KE v
PE gh
9
Hypothèse simplificatrice
Pour la majorité des procédés chimiques, les termes d’énergie cinétique et d’énergie potentielle sont négligés. Leur contribution est de 2 ordres de
grandeur inférieure à l’énergie interne.
10
Vers la définition de l’enthalpie
Transformation isobare (P=cte): Échange de chaleur et travail Qp; Force de pression Wf,p.
Premier principe: Variation d’énergie interne:
,B A p f pU U U Q W
11
A pression constante
Travail des forces de pression:
Ainsi:
p B B A AQ U pV U pV
,f p B AW p V p V V
Enthalpie
12
Enthalpie
Dans le cas des fluides, on utilise l’enthalpie pour représenter l’énergie.
Elle se définit par:
Par abus de langage: Chaleur enthalpie.
H U pV
13
Enthalpie
Par mole:
Par unité de masse:
ˆ ˆ ˆH U pV
H U pVpU
14
EXEMPLEComment utiliser ces informations en modélisation
15
Exemple
Soit un réservoir isolé thermiquement pour éviter les pertes. Ce réservoir est traversé par un liquide qui sera chauffé par un élément chauffant.
Ce liquide sera mélangé pour assurer que la température soit uniforme dans le réservoir.
16
Bilan matière
Masse dans le réservoir = masse entrante – masse sortante :
Si changement de densité négligeable et changement de volume nul :
d Vdt
F Fi i o
F F Fi o
17
Bilan énergétique
Accumulation d’énergie :dTEdt
F TE F TE Q Wi i i o T
Énergie totale
- Liquide entrant
Énergie totale
- Liquide sortant
Énergie injectée
par l’élément
chauffantTra
vail fait s
ur le
système
18
Bilan énergétique
Accumulation d’énergie :
L’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont négligées:
dTEdt
F TE F TE Q Wi i i o T
dUdt
F U F U Q Wi i i o T Énergie interne
19
Le travail fait sur le système
Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:
W W F p F pT S i i o
20
Le travail fait sur le système
Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:
Donc :
W W F p F pT S i i o
dUdt
F Up
F Up
Q Wi i ii
io S
Enthalpie
21
Enthalpie totale
Équation de l’enthalpie totale :
Donc, en isolant l’énergie interne et en dérivant :
H U pV
dUdt
dHdt
dpVd t
F H F H Q Wi i i o S
22
Simplification
Or :
Si le volume est constant et que la variation de la pression moyenne peut être négligée, alors :
dpVdt
pdVd t
Vdpd t
dpVdt
0
23
Simplification (suite)
Ce qui mène à :dHdt
F H F H Q Wi i i o S
24
Simplification (suite)
Comme la densité est supposée constante et les débits sont les mêmes (car volume constant), alors :
dHdt
F H H Q Wi S
25
Enthalpie totale revisitée
Le terme d’enthalpie totale est :
S’il n’y a pas de changement de phase :
H VH
H T c dT c T TpT
T
p( )*
* Température de référence
26
Retour sur le bilan énergétique
Le terme d’enthalpie totale est :
Puisque la densité et le volume sont constants :
d Vc T T
dtFc T T T T Q W
pp i S
** *
Vcd T T
dtF c T T Q Wp p i S
*
27
Retour sur le bilan énergétique (suite)
Puis :
Négligeant l’effet du mélangeur :
dTdt
FV
T TQVc
WVci
p
S
p
dTdt
FV
T TQVci
p
1
28
En régime permanent
Température de sortie en régime permanent :
On bâtira le modèle sur l’écart entre le système et son régime permanent.
Note: Ti est assumé constant.
0 FV
T TQVci ssss
p2
29
Modèle basé sur les variations
Combinant et la température de sortie en régime permanent est:
En posant :
dTdt
FV
T TQ QVcss
ss
p
x T Tu Q Q
ss
ss
1
y T Tss
1 2
30
Passage aux équations d’état
Alors: xFVx
Vcu
p1 1
1
1y x
31
Transformation de Laplace
Cela donne :
Système de 1er ordre (normal car il n’y avait qu’un seul état).
1( ) ( )
( )pVcY s G s
U s s F V
32
Et, si Ti n’était pas constant (perturbation)
On aurait alors eu en régime permanent:
Ce qui aurait mené à :
0 FV
T TQVciss ssss
p
dTdt
FV
T TQ QVc
FV
T Ti issss
pss
33
Modèle amélioré
Posant:
Les équations du modèle deviennent :
x T T d T Tu Q Q
ss iss
ss
1
xFVx
Vcu
FVd
p1 1
1
1y x
34
Transformation de Laplace
Cela donne :
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
( ) ( )p
Y s G s U s G s D sVc F VU s D s
s F V s F V
35
Exemple numérique
Si F = 10 pi3/min, V = 20 pi3, ρ = 62.5 lbs/pi3, cp = 1 BTU/lb/°F, alors on fait face à ce système :
. . .x x u dy x1 1
1
0 5 0 0008 0 5
36
Simulation
Résultats:
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (minutes)
Éca
rt de
tem
péra
ture
(°F)
Réponse du système
Échelon sur u(t) de 1000 BTU
Échelon sur d(t) de +5 °F
37
ON REVERRA CES ÉQUATIONS THERMIQUES BIENTÔT !!!
Qu’en sera-t-il des réactions chimiques endothermiques ou exothermiques ?