MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DU 20 AOUT 55 - SKIKDA ALGERIE THESE Prsente la facult des Sciences Dpartement dElectrotechnique Pour lObtention du Diplme de Doctorat En Sciences Filire : Electronique Option : communication Par MR : LASHAB Mohamed Thme ETUDEET ANALYSEDESANTENNES A REFLECTEURS PAR LAMETHODEDESMOMENTS Soutenue le : 07/07/ 2009 devant la commission dexamen : Prsident : Mr. YoucefFERDIProf.Univ. Skikda, AlgrieRapporteur:Mme. Fatiha BENABDELAZIZ Prof. Univ. Constantine, Algrie Examinateurs:Mr. Nadir DEROUICHEM.C Univ.Skikda, Algrie Mr. Mohamed BOUCHEMATProf. Univ. Constantine, Algrie Mr. Abdelhafid CHAABI Prof. Univ. Constantine, Algrie Ddicaces A ma trs chre mre, A mon trs cher pre, A mes chers frres et surs, A toute ma famille, A tous ceux qui mon aider de proche ou de loin finir ce travail.

Avant Propos Inscrit luniversit de Skikda, letravail de recherche dcrit dansce Mmoire de thse a t effectu lUniversit de Constantine au Laboratoire des Microsystmes et Instrumentation (LMI), Dpartement dElectronique, dirigpar Mme professeur Fatiha BENABDELAZIZ. Mon travail de recherche a t encadr principalement par Mme professeur Fatiha BENABDELAZIZ,quijedoisexprimermagratitudeetmaconsidrationpour avoir accept dencadrer ce travail.Je remercie beaucoup le professeur Youcef FERDI de lUniversit de Skikda, et le professeurMalekBENSLAMAetleprofesseurNadjimMERABTINEde lUniversitdeConstantinedpartementdElectroniquedemavoirencourag finir ce travail. Un trs grand remerciement au Dr Nadir DEROUICHE de lUniversit de Skikda et les professeurs Mohamed BOUCHEMAT , Abdelhafid CHAABI de lUniversit de Constantine davoir accept dtre membres dujury. MessieursChems-EddineZEBIRIetNabilaAOUABDIA,chercheursauDpartementdElectroniquedelUniversitdeConstantine,onttoujourstdes amis constamment prsents. Les discussions que nous avons partages ont toujours t prcieuses et dun apport surtout intressant. Quils trouvent ici lexpression de ma reconnaissance et de mes encouragements. Je tiens aussi remercier mes amis et compagnons de la route Skikda ConstantinedeleursoutienmoraletconseilssavoirMessieursSalahSELMIetFayal ABDELLICHE. Jeremerciebeaucouplescollguesdetravailquiaimeraientdetousleurscurs quejefinissecetravaildanslesbrefsdlaisZahirAHMIDA,SamirLADACI, Abdelmadjid NOUICER, Kamal KHOUNFAIS, Djamel BOUDJAADAR,Jevoudraisremerciermesparents,mesfrresetmessurspourleursoutienconstantetpourleurssacrificespourmaiderraliserunobjectifquimetientdepuis longtemps cur. SansoublierlestechniciensdulaboratoiredElectroniqueAbdelhafid BENDJAMAA, Kamal BOUCHAALA, Sahim KISSAR. TABLE DES MATIERES Rsum :...2 Introduction gnrale :..3 Chapitre I Antennes Rflecteurs et techniques dAnalyse I- Les antennes rflecteurs paraboliques5 I-1- Principes des antennes rflecteurs......7I-2- Gomtries et configurations...9 I-3- Analyse des antennes rflecteurs paraboliques...11 II- Diffrents types de mthode danalyse classique:..12 II-1- La physique Optique (PO)12 II-2- La thorie gomtrique de la diffraction (TGD)..14 III- Exemples dapplication de la Physique Optique..15 III-1 Cas Unidimensionnel15 III-2 Cas Tridimensionnel.17 IV- Conclusion25 Chapitre II Implmentation de la Mthode des moments I- Introduction .26 I-1- Equations de Maxwell27 I-2- Equations intgrales...28 I-2-1- Equation intgrale du champ lectrique (EFIE).28 Tables des Matires I-2-2- Equation intgrale du champ magntique (MFIE)...29 II- La Mthode des Moments.30 II-1 Formulation30 II-2 Fonction de bases...32 III- Application des antennes unidimensionnelles...32 IV- Application sur des antennes 2D....38 V- Application sur des antennes 3D43 V-1 Antennes symtrie de rvolution...43 V-2 La Mthode des lments de bord (BEM)...44 V-3 Antennes rflecteur parabolique45 V-3-1 Formulation45 V-3-2 diagramme de rayonnement.......49 V-3-3 Interprtation..49 VI- Conclusion51 Chapitre III Application des Ondelettes sur la Mthode des Moments I- Introduction sur lapplication des ondelettes en lectromagntisme..53 II- Proprits mathmatiques..54 II-1- Dfinitions des Ondelettes54 II-2- Transforme dOndelettes.54 II-3- Orthogonalit55 II-4- Dveloppement dune fonction en Ondelette...56 II-5- Diffrents types dondelettes ...56 II-5-1- Ondelette priodique..56 II-5-2- Ondelette en intervalle ..61 III- Application sur la Mthode des Moments62 III-1- Transforme dondelette rapide (FWT) .62 III-2- Application direct des Ondelettes..63 III-2-1- Cas dun cylindre elliptique.63 Tables des Matires III-2-2- Cas dun rflecteur parabolique en 3D...66 IV- Conclusion76 Chapitre IV Modlisation des sources de lantenne rflecteur I- Introduction........78II- Cas dune source en diple....79 III- Cas dune source en cornet pyramidal.79 III-1 Mthode de louverture rayonnante .80 III-2 Mode Matching Technique86 III-3 Rsolution par la Mthode des Moments. 88 III-3.1 Intgrales de surface...88 III-3.2 Formulation de la Mthode des Moments..91 IV- Cas dune source en cornetcorrugu...93 V- Cas d'une antenne rseaux dphaseur..93 VI- Conclusion.......95 Conclusion Gnrale.....96 Rfrences Bibliographie......98 LES ANNEXES Annexe A: Intgrale de Fresnel..111 Annexe B: Ondelette intervalle...114 Annexe C: Polarisation Croise.115 Annexe D: Structures Symtrie de rvolution.118 Annexe E: La Mthode Mode Matching. ..123 Tables des Matires Introduction Gnrale Larcentecroissancedelacommunicationparsatellites,ouvreunnouvelaspect derecherchesurdesantennesrflecteursparaboliquesoprantsurdesfrquences millimtriques (30 300 GHz) et de grandes dimensions (10 20 mtres), ces derniers doivent avoir des performances optimales que ce soit du cot station spatiale ou station terrestre. Lesantennes rflecteurparaboliquesontutilisesdansbeaucoupdapplications, quidemandentungainlevdesfrquencestrsleves.Atraverslesquelques dcadespasseslamodlisationdelantennerflecteurparaboliqueaconnuune volutiondanslebutdamliorerlescaractristiqueslectriquesetlastructure mcanique. Dans ces dernires annesle grand regard des chercheurs converge vers les paramtres de performance tels que : directivit, impdances de la surface du rflecteur, champ rayonn par diffraction, niveau depolarisation croise. Lesmthodesdanalysesdudiagrammederayonnementdesantennestrslarges sontnombreuses.Lesplussimples,maispastoutfaitexactes,sontlesmthodes classiquesditesasymptotiquestelleque :laphysiqueoptique(OP)etlathoriede gomtriedediffraction(GTD).Lesmthodesnumriquessonttrsexactes,maisle choixdelamthodedpenddelanatureduproblme.LaMthodedesmoments (MoM)estgnralementutilisepourdesformessimplesetpourdesquations intgralessurfaciques.Lamthodedeslmentsfinis(FEM)etlamthodedes diffrencesfinies(FDTD),utilisespourdesformesplusoumoinscomplexesetdes intgrales volumiques, donc le temps de calcul et lespace mmoire seront grands. Pour desstructurestrslarges(plusde100foislalongueurdonde)lesmthodes numriques sont lourde et exigent un temps de calcul et un espace mmoire grands, soit enN2pourlamthodedesmoments,etN3pourlesautres[10].Plusieursalgorithmes sontapparuspouracclrerlesmthodesnumriquestelquelecasdeFastmulti-pole Method(FMPM)ouAdaptiveIntegralMethod(AIM)[50].Dautrestravauxutilisent une hybridation Optique physique et la mthode des moments (OP-MoM) [32]. 2 Introduction Gnrale Le but de notre travail est dapporter une amlioration la mthode des moments dupointdevuetempsdecalculetespacemmoireparlintroductiondesondelettes commefonctionsdebasesetfonctionsdetest.Danstoutcemanuscritlesstructures dantennesanalysessontsupposesparfaitementconductrices(PEC).Lesantennes rflecteursparaboliquesetlescornetsontfaitlobjetdecetravail.Lesondelettes utilisesiciontpourbutderendrelamatriceconstituedquationsintgralesen grandepartiecreuse,ilssontdetypeorthogonalessavoirHaar,DaubechiesetBattle Lemariepriodiquedanslintervalle[0,1].Lesantennesprsentantdesformes rectangulairesoudesarrtes,telsque :lesguidesdondes,exigentcertainstypes dondelettespourcorrigerlesproblmesdebordures.Cesdernires,appeles ondelettes intervalle (Intervallic Wavelet) ne sont pas utilises, dans ce manuscrit, on a seulementdonnunaperu.Latechnique(FastWaveletTransformer)quiest caractriseparl'applicationdirectementsurlamatricedesquationsintgralesnest pas applique dans ce manuscrit. Les principaux ouvrages utiliss pour lutilisation des ondelettes en lectromagntisme sont G.W. Pan [56], [68] et T. K. Sarkar [38], [79]. Leplandetravaildecettethseeststructurenquatrechapitres :Lepremier chapitreprsenteraunhistoriquesurlesantennesrflecteursparaboliques,ainsique leurscaractristiquesetpropritstelsque :directivit,dbordement,diagrammede rayonnement.Quelquesmthodesdanalyseclassiquesduchamplointainseront prsentes telles quela physique optique (PO) et la thorie gomtrique de diffraction(TGD). Une tude dtaille de lantenne rflecteur parabolique en 3D, par la mthode de la physique optique, est aussi prsente. Le deuxime chapitre est consacr limplmentation de la mthode des moments dansledomainespatial,encommenantpardfinirlquationintgraleduchamp lectrique (EFIE), lquation intgrale du champ magntique (MFIE) et les fonctions de baseetdetest.Quelquesformesdantennescylindriquesontttudies.Enpremier lesantennesunidimensionnellesolonprendralecasdupatchsanspaisseuret parfaitement conducteur (PEC), puis le cas des antennes deux dimensions on prendra le cas du cylindre circulaire, en dernier les antennes en 3D, tel que le cas de lantenne rflecteurparabolique.Pourcetypedantennesonutiliseraleprincipedquivalences des sources lectriques et magntiques connu par (BEM) Boundary Element Method.

3 Introduction Gnrale Autroisimechapitrenousintroduisonslesondelettesdanslarsolutiondes quationsintgrales.Oncommenceraparunetudemathmatiquedesondelettespuis leurapplicationsurlamthodedesmomentspourtraiterenpremierquelquescas simplesdantennesdeuxdimensions,olecasduncylindreellipsodeat considr,puislantennerflecteurparaboliquecommeantennesymtriede rvolution.Onessaieradefaireunecomparaisonaveclamthodedesmoments classique du point de vue temps et mmoire. DansLequatrimechapitrenoustudieronsquelquessourcesdalimentationsde lantenne rflecteur parabolique, en commenant par les diples, les rseaux linaires dphaseurs,unegrandeattentiontrserveauxcornetsenprsentantleurs diffrentesmthodesdanalysetelleque :lamthodedouverturequivalenteetla mthodedemodematchingetenfinlamthodedesmomentsamliorepar lintroduction des ondelettes.Enfin une conclusion gnrale dans laquelle on discutera les rsultats obtenus et les perspectives oufuturs travaux. 4 Introduction Gnrale Chapitre I Les antennes A Rflecteurs ParaboliquesTechniques dAnalyses I- Les antennes rflecteurs paraboliques : Les antennes gain lev trouvent leurs applications aux communications radio longuesdistances,pourlesgrandesrsolutionsradar,radioastronomie,etc.Les antennes rflecteurs sont probablement les plus utilises comme antennes grand gain. Ilspeuventfacilementatteindreungaindeplusde30dBpourdesfrquencesmicro-ondes.Lesantennesrflecteursonttraitesselondesprincipesconnusdepuis longtemps par la thorie doptique gomtrique (GO), et dune manire plus prcisepar l'optique physique (PO), ou la thorie gomtrique de la diffraction (TGD) [1] [2]. LepremiersystmerflecteurconstruitparHertzBacken1888taitun rflecteur cylindrique aliment par un diple. Ce pendant la modlisation exacte d'un tel systmeatfaitedurantlasecondeguerremondiale,oplusieursapplications terrestres et spatiales ou radar ont apparu [3].Leplussimpledesantennesrflecteursparaboliquesestconstituededeux lments savoir:lasurfacerflectiveetuneantennedalimentation(source),laplus petite quelle soit, celle-ci est localise au point focal. Des constructions plus complexes introduisent un second rflecteur (sub-rflecteur), au point focal, ce dernier est illumin par la source primaire. Ce type de rflecteur est appel dual rflecteur. Dautres types de rflecteursutilissenpratiquesontdeformesdiverses,onpeutciter :lerflecteur cylindrique, conique, et sphrique [4] [5]. Lefaisceaudirectifdonnparlerflecteurpeuttreamliorparlesrseaux dantennesoulesantennesfilaires[6][7].Pourviterlaconceptiondurflecteur parabolique(spcialementutilispourdesstructurestrslarges),certainschercheurs utilisent des circuits intgrs micro ruban, mais qui fonctionnent exactement comme le rflecteur parabolique [8]. 5 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I I-1 Principes des rflecteurs paraboliques : 1-Principe de fonctionnement : Lesantennesrflecteursparaboliquespeuventtreconsidrescommeouverture rayonnantedegrandedimensionrelativementleurslongueursdonde.Ilsdisposent dunesourceplaceaupointfocal,quignreuneondesphriquefigure1.1.Le rflecteur, illumin par la source transforme londe sphrique en une onde plane, qui se transformeunpeuplusloinenondesphrique.Ainsionobtientunrayonnementsous forme de faisceau trs directif, contenant de faibles lobes secondaires. Figure 1.1Principe des antennes rflecteurs paraboliques 2-Avantages: Lesantennesrflecteursparaboliquesprsententl'avantageprincipalquiestlegain trs lev (30 50 dB) [9] [10] [11] [12], ce qui permet des communications longues portes,doleurutilisationdansledomainedestlcommunicationsterrestres.Ils trouventgalementcommeapplicationaussiencommunicationRadaroplus dexigences sont requisestels que le trs fort gain et une bande passante trs large et un faisceau directif ou trs troit. Dautres avantages des antennes rflecteur parabolique, qui se rsument en leur simplicit, lgret et un cot de fabrication, qui reste toujours limitparrapportauxlentillesquiprsententsouventdesgomtriessingulires, induisant une complexit de forme ce qui s'en suit un cot plus lev [13]. Rflecteur parabolique Source6 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I 3-Inconvnients : Les antennes rflecteurs paraboliques ont des inconvnients qui sont dus la forme du faisceau de rayonnementde la source, ainsi que de la gomtrie du rflecteur. On peut les classer comme suit : 3-1 Inconvnients dus la source : -Lnergie gnre par la source nest pas totalement intercepte par le rflecteur, ce qui mne une nergie perdue par dbordementou (Spillover) Figure 1.2. -Lediagrammederayonnementgnrparlasourceneprsentepasun recouvrementrgulier.Ilestmaximalaucentre,donclerflecteurnestpas illuminuniformment.Largionducentreestplusclairequecellesdes bordures, ce qui prsente des pertes, appeles: apodisations [14]. Figure 1.2 Pertes par dbordement (Spillover) 3-2 Inconvnients dus la gomtrie du rflecteur :

Des dfauts de fabrication des rflecteurs conduisent une dfocalisation, qui est la nonconcidence de la source avec le point focal, ceci conduit une diminution du gain,unlargissementdulobeprincipaletuneaugmentationdeslobessecondaires [15],[16]. Source Rflecteur Dbordement 7 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I I-2 Configurations gomtriques : Plusieursconfigurationsfaitessurlesantennesrflecteursparaboliquesontpourbut de minimiser les diffrents types de pertes cites prcdemment et amliorer le gain en augmentantlelobeprincipaletenminimisantleslobessecondaires.Danscequisuit nouscitantquelquesgomtriesquipeuventamliorerlerendementdel'antenneainsi que son faisceau : 1-Rflecteur en offset : Le rflecteur parabolique simple donn par la figure 1, prsente un mauvais diagramme derayonnement,caractrisparuneaugmentationimportantedeslobessecondaireset un lobe principal de faible gain. Ceci est du la zone dombre engendre par la source, [1] [2] [15] [16]. Pour y remdier cela, la source est dcale par rapport au point focal, telqueillustreparlafigure1.3.Cedcalagedelasourceprsenteuneimportance quant l'amlioration du gain et de la directivit de l'antenne.

Figure 1.3Antennes Rflecteurs en offset 2-Structure double rflecteur : Lajoutdunrflecteur auxiliaire(sub-reflector),aurflecteurparaboliqueprincipal enoffsetpermetdamliorercertainesperformances,figure1.4.aetfigure1.4.b.En effetcecipeutcorrigerlesproblmeslisladfocalisation,ainsiquelanon uniformitdudiagrammederayonnement,lorsquilstalesurunelargesurface. Dcalage du point focal 8 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Pour y remdier ce problme on choisi de petites surfaces. En plus la mise en offset amliorelaqualitdudiagrammederayonnement(apertureefficiency).Lesdeux typesdantennes,sontprsentesci-dessoussontdescasdestructuresmultiple rflecteurs :lantenneCassegrainutilisantunrflecteurauxiliairedeforme hyperbolodefigure1.4.a,etlantenneGrgorienfigure1.4.butilisantunrflecteur deformeellipsode.Cesdeuxtypesdantennessontcaractrissparunerduction considrabledelapolarisationcroise(crosspolarization),decefaitlerendement des antennes rflecteurs est nettement suprieur aux antennes classiques [17-21]. a- Offset Cassegrainb- Offset Grgorien Figure 1.4 Structure multi rflecteurs. La polarisation croise est une polarisation indsirable. Elle est gnrede la source ou partirdurflecteurperpendiculairelapolarisationprincipale.Onyreviendrala dessus plus tard pour la dfinir mathmatiquement (voir Annexe A). I-3 Analyse des antennes rflecteurs paraboliques : Afindtudierlerayonnementd'uneantennerflecteurparaboliquedansun milieu homogne, on oriente lespace dun repre orthonorm (Oxyz), tel que O soit le foyer de la parabolode, figure 1.5. Laprojection du point A de la surface du rflecteur sur le plan (xf, o, yf) est reprsente par le point R. On reprsente le point dobservation 9 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Pparsescoordonnessphriques ) , , ( r ,parrapportaurepre(Oxyz).Lerflecteur est suppos idal ou parfaitement conducteur.

Figure 1.5 Rflecteur Parabolique et Systme de Coordonnes Daprs la figure 1.5, la surface parabolique est dcrite par lequation suivante : ) .( . 42zo F F = ,a (1.1) Ftantladistancefocale, estladistancedupointfocalOaupointRetzola projectiond'unpointdelaparabolesurl'axe(zf,o,z),lepointAdelasurfacedu rflecteurestdfiniesurleplan(x,z)par lescoordonnes cartsiennes( fz , ),oupar les coordonnes polaires (f fr , ), la relation reliant le couple de coordonnes polaire est donne par :

)2( cos) cos( 122 fffF Fr=+=(1.2) AutrerelationreliantladistancedupointfocalaupointR,aveclescoordonnes polaires peut tre crite sous la forme : )2tan( 2) cos( 1) sin( 2) sin(ffff fFFr =+= =(1.3) P y R A O f fPoint de Champ lointain ) , , ( ryf x,xf z zf 10 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Figure 1.6 Coupe sectionne du rflecteur dans le plan x,z Lerflecteurparaboliquetantsymtriqueparrapportl'axe(zf,o,z),dune surfacedcoupedansunparabolodedervolutionesttotalementdfinipardeux paramtressimplesquisont :lediamtreDetladistancefocalFfigure1.6.Techniquement lantenne est dfinie par le diamtre D et le rapport F/D. LangledupointfocalauxArtes(enanglaisRim),estliaurapportF/Dpar la relation : ((

=) / ( 41arctan 20D F (1.4) Lechampincidentdelasourcedalimentationpeuttreexprimparrapportaux champs principaux et des ondes planes par lquation suivante [22]: )] sin( ) ( ) cos( ) ([ ) , (f f H f f f E ffr jm f f fC CreE Ef =r(1.5) x, xf zo F a=D/2 A zf Plan douverture nR O Point Focalfrf z 11 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I CEetCHsontdescoefficientsquidfinissentlesondesplaneslectriqueset magntiquesEetH.unetransformationencoordonnescartsiennesnousmne lquation suivante :

)`+ + =) sin( ) cos( )] ( ) ( [ )] ( sin ) ( ) ( cos ) ( [ . ) , (2 22f f f H f Ef f H f f EfF jm f f aC C yC C xreE E r (1.6) Lquation (1.6) est trs connue dans la thorie des rflecteurs paraboliques, elle dcrit les deux plans de londe source [18]. II- Diffrents types de mthodes danalyses classiques : Lesmthodesclassiquessontgnralementdesmthodesprsentantdes solutions asymptotiques pour des problmes canoniques. Ces solutions reposent souvent sur une hypothse de hautes frquences autrement dit la longueur donde est trs petite parrapportauxdimensionsdelastructure.Ilsexistentplusieursmthodesclassiques plusoumoinsrigoureuseslesunesparrapportauxautres,onsecontenteradeciter deux,lesplusconnusetlesplusefficaces,savoirlOptiquePhysique(OP),etla Thorie de la Gomtrie de Diffraction (TGD) [1] [2]. II-1 LOptique Physique : LOptiquePhysiqueestessentiellementuneapproximation,quirelielasurface decourantsurleconducteurauxchampslectromagntiquesincidents.Lechamp rflchiEsdansunergiondlimite,drivantdessourcesdecourantslectriqueet magntiqueJsetJmrespectivement,contenudansunvolumeVbiendfini estdonn par : ( ) [ ] dv G j kjm V s.2 + = J Js Js E (1.7) Ou G est la fonction de Green dfinie par : 12 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I G=er - r-jk r-r 4 (1.8) Lorsque la source est constitue simplement dune densit de courant induite Js sur une surface S parfaitement conductrice alors lquation (1.7) se transforme en une intgrale de surface sur S : ( )[ ]E J Js s s Sjk G dS = +2(1.9) Lquation (1.9) est exacte et valide pour tous les points de lespace extrieur la rgion de la source (la fonction de green possde des singularits pour des points sur la source). LOptiquePhysiqueestuneapproximationquiexprimeladensitde courantJssurla surface considre en fonction du champ incident Hi, par lexpression :

i sH n J = 2(1.10) Onest le vecteur normal la surface S, lquation (1.10) est strictement valable pour dessurfacesparfaitementconductricesetinfinimentlongues.Lecourantsurles borduresn'estpasdfinidefaonexacte.Danslargionduchamplointain,lechamp rflchi le long de la direction r, est donn par : ( ) ( ) ( )dS k rre jks Sjkrsr r J r . r - I E exp ~42 = (1.11) OI~est la dyadique unit dfinie par : ((((

=1 0 00 1 00 0 1~I(1.12) Loptiquephysiquedonnedesrsultatstrsexactspourlecalculdudiagrammede rayonnementenparticulierladterminationdulobeprincipalestetdeslobes 13 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I secondaireslesplusproches.Laphysiqueoptiquenefaitpasinclurelesrayons diffracts,cestpourcetteraisonquelleestamlioreparlathoriephysiquede diffraction (TPD). II-2 La Thorie de la Gomtrie de Diffraction : La thorie de la gomtrie de diffraction (TGD) t introduite en 1950. Elle est miseencontinuitaveclathoriedeloptiquegomtrique.Cestunemthode,base surunehypothsedehautefrquence,autrementdit,destinetudierdesstructures trs larges par rapport leur longueur donde (plus de 25x) [1]. Bien que il existe des mthodesnumriquesquipuissentdonnerdesrsultatstrsexacts,maisilsexigentun temps de calculs immense et un espace mmoire considrable [25] [35] [30]. Cettethoriefaitintroduiredeuxnouveauxtypesderayonssavoirlesrayons diffracts et les rayons rampants figure 1.7, qui viennent sajouter aux rayons incidents, rayons rflchis et transmis de loptique gomtrique classique. Rayons rampants Rayons diffracts Figure 1.7 Diffrents types de rayons Cesdeuxderniersrayonssontcaractrissparlapntrationdanslazone dombre, chose que la gomtrie optique ne tient pas en compte. La Gomtrie Optique estlimiteparlefaitquelechampestindfinidansleszonesd'ombreoudansles gomtriescontenantdesartes.Poursurmontercetobstacle,lamthodedela gomtrie de diffraction a t introduite. Selonlathoriedelagomtriedediffraction(TGD)lechamprflchitotalEtest dcrit par : 14 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Et= Er + Ed (1.13) OEr estlechamprflchiparlaGomtriedel'Optique(GO)etEdestlechamp diffract selon la (TGD), ils sont dfinis comme suit : E REr=~iHejks (1.14) Et, E DEd=~iLejks(1.15) Ou ~Ret ~Dsontrespectivementlescoefficientsdyadiquesderflexionetde diffraction,etHetLsontlescoefficientsdedivergencesgomtriques,stantla distanceentrelasurfacederflexionetlechampunpointdonn,Eiestlechamp incident [1]. III- Exemples dapplication de la Physique Optique Eneffetdans tout cequisuitnousadoptonslaPhysiqueOptique commeunemthode asymptotiquerapideetsimpleaappliqueretquinousserviracommeunmoyende comparaisonavec la mthode des moments ou autres. Cest pour cette raison que lon a choisit ici quelques cas a prsenter. III-1 Cas unidimensionnel Lexemple dantenne utilise ici est celui dun patch rectiligne figure 1.8, excit par une onde transverse magntique (TM). LquationquicaractriselaMthodedelaPhysiqueOptiqueestdonnepar l'expression suivante. Hi n Js = 2(1.16) Js : Densit de courant sur la surface. n: Vecteur unitaire normal la surface. Hi : Champ magntique incident. 15 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Figure 1.8 Patch ConducteurPolaris par une onde TM. Daprs la figure 1.8. Les quations exprimant les champs incidents sont :

)) sin( ) cos( (i y i x jkze Eo u Ei +=(1.17)

)) sin( ) cos( ()) cos( ) sin( (i y i x jky xe i u i uEoHi ++ = (1.18) O estlimpdanceintrinsquedanslevide,lepatchtantconsidrcomme parfaitementconducteur(l'indicederfractiongale-1),lesquationsdeschamps rflchis sont donnes par les expressions suivantes : )) sin( . ) cos( . (. i y i x jkze Eo u Er =(1.19)

)) sin( . ) cos( . ()). cos( . ) sin( . (i y i x jky xe i u i uEoHr = (1.20) En utilisant lquation caractristique de la physique optique donne par (1.16), la densit de courant induite sur la surface du patch devient :

) cos( .0)). cos( ) sin( (2 2i jkxy x yye i u i uEou Hi n Js + = ==(1.21)

) cos(). sin(2 ) (i jkxze iEou x Js=(1.22) Lquation (1.22) reprsente un courant tangentiel selon laxe Z, qui pour valeur :y +a i r 0 x (Ei,Hi)(Er,Hr) 16 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I EoJs2= , avec 2 = iEn considrant Eo = 1, A Js 00530 . 02= =

Avec :377 /0 0= = . DaprslaphysiqueOptiquelecourantsurlepatchunevaleurconstante,dansla littrature[1],[2]et[9]cemmecourant,envaleurmoyenne,estgallavaleur donne par la physique optique, mais il est divergent sur les bordures. III-2 Cas tridimensionnel Lantenneconsidredanscettesectionestcelledunrflecteurparaboliqueillumin paruncourtdiplefigure1.9.Pourdterminerlediagrammederayonnementdu champlectriqueonutiliselquationintgraleduchamplointain[1]donnepar lquation (1.16). Figure 1.9 Antenne Rflecteur alimente par un court diple

dr jkd d rayrejkZo Edvvr = ) , ( ds e J r r Id sr r jks S d d .) ~(r (1.23) O'sr et sr sont respectivement le vecteur source li au repre focale (x', y', z') et vecteur source liaurepredurflecteur(x, y, z), dr tantlevecteurle champlointain comme x y s s rs rd x y rs sd z'z 17 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I indiqu par la figure 1.9, Zo impdance intrinsque etk : constante de propagation dans le vide, sJ est le courant de surface induit sur le rflecteur, I~: est la dyadique unit. Pourvaluerlquation(1.23)ondoitdterminerenpremierladensitdecourant sJ en utilisant lapproximation de la Physique Optique. Cette dernire est base sur trois hypothses savoir : 1-Lerflecteurunrayontrsgrandtelquelastructurepeuttreconsidre comme planaire. 2-Le champ incident est considr comme une onde plane.3-Le rflecteur est considr comme un conducteur parfait. Ensebasantsurleshypothsesprcdemmentdfinies,ladensitdecourantsurla surface du rflecteur sexprime par la relation suivante : i r i SH n H H n Jr r r = + = 2 ) ( (1.24) Lasourceilluminantlantennerflecteurpeuttrereprsenteparlaformegnrale dune source dalimentation (quation 1.5), ici exprime parlquation (1.25). sr jks s s H s s s E s increC C r Es'] ')) ' cos( ) ' ( ( ')) ' sin( ) ' ( [( ) ' (' . + = rr (1.25) Les quantits primessont lies au systme de cordonnes de la source dalimentation selonlafigure1.9.) ' (s HC et) ' (s EC :dfinissentrespectivementlondeplaneEet londe plane H ils sont donns par les quations suivantes :

) ' ( cos ) ' (sqes EC =(1.26) ) ' ( cos ) ' (sqhs HC = (1.27) Lesquantits eq et hq sontchoisiesdetellemanirequelesondesplanesEetHsont biendcrites.Lechampmagntiquepeuttreliauchamplectriqueparlarelation suivante : 18 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I ) ' ( '1) ' (s inc s s incr E rZor Hrrr =(1.28) Le produit vectoriel de lquation (1.28) peut encore s'crire comme suit: E Err E rs s ss inc s00 0 1''' ) ' ( ' = r (1.29) Enreplaant(1.29)dans(1.28)onobtientlechampmagntiqueselon l'expression suivante : [ ]' .') ' sin ) ' ( ( ') ' cos ) ' ( ( ) (' .sr jks s s E s s s H incr ZoeC C r Hs + =rr (1.30) Lechampmagntiques'exprimeencoordonnescartsiennesdanslesystmedela source dalimentation ( ' , ' , ' , 0s s sz y x ) par : ' ). ' sin ' cos ' cos [( ) ' (2 2s s E s s H incx C C r H =rr ' ). ' sin ' cos ' sin ' cos ' cos (s s s E s s s Hy C C + + ' .' ). ' cos ' sin (' .sr jks s s Hr Zoez Cs +(1.31) Pourdterminerlevecteurnormallasurface n ,ondoitconnatrelasurfacedu rflecteur qui est dcrite par lquation suivante : ssFr cos 12+=(1.32) Apresdrivationdecettequationparrapportauxcoordonnespolairesetconversion au systme de coordonnes cartsiennes, nous dduisons lquation de la surface sous la forme: 19 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I s s sr r F S cos 2 = Le vecteur normalnr est obtenu en valuant le gradient de la surface S, ce qui est donn par l'expression suivante : ss s sss sssSrSrrrSS n sin11++= =r

s s s sr n sin ) cos 1 ( + + =r(1.33) Le vecteur normal unitaire est dfinit par : nnnrr= (1.34) En substituant (1.33) dans (1.34) on arrive la relation suivante :

s s s s s s s sz y x n )). 2 / (cos( ). sin ) 2 / (sin( ). cos ) 2 / sin( ( =(1.35) LeProduitvectorielvecteur,normaletchampincident,ncessaireaucalculdela densit de courant (1.24) est :

z y xz y xs s ss incH H Hn n nz y xr H n ) ' ( = rr (1.36) Dune manire plus explicite, le produit vectoriel (1.36) est : = ) ' ( s incr H nrrs x y y x s z x x z s y z z yz H n H n y H n H n x H n H n ) ( ) ( ) ( + + (1.37) En remplaant les composantes cartsiennes par leurs valeurs on obtient : 20 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I ' cos ' sin sin ) 2 / sin( [ ) (s s s s H y z z yC H n H n = ' sin ' cos ' cos ) 2 / cos(s s s s HC sjkrs s s Er ZoeCs' .] ' sin ' cos ) 2 / cos(' + (1.38) Aussi, ' cos ' cos ) 2 / cos( [ ) (2s s s H z x x zC H n H n = ) ' ( sin ) 2 / cos(2s s EC + ' .] ' sin ' cos cos ) 2 / sin('sjkrs s s s Hr ZoeCs +(1.39) Et, ' sin ' cos ' cos cos ) 2 / sin( [ ) (s s s s s H x y y xC H n H n = ' sin ' cos cos ) 2 / sin(s s s s EC ' cos ' cos sin ) 2 / sin(2s s s s HC ' .] ' sin sin ) 2 / sin('2sjkrs s s Er ZoeCs (1.40) sr 'r tant le vecteur source par rapport la position de lalimentation. Il est dfini par : p r rs sr r r = ' Oupr: reprsente la position de lalimentation. Aprs avoir effectu le produit vectoriel (vecteurnormale,champincident),ilnerestequelextractiondescomposantesdela densit de courant par : ) ' ( 2 ) , , (s incr H n z y x Jrr = (1.41) s z s y s xz J y J x J z y x J . . . ) , , ( + + =(1.42) Levecteursource sr etlevecteurchamplointain dr sontexprimsci-dessousen coordonnes cartsiennes 21 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I

s s s s s s s s s s s sz r y r x r r ). cos ( ). sin sin ( ). cos sin ( + + =(1.43)

d d d d d d d d dz y x r ). (cos ). sin (sin ). cos (sin + + = (1.44) Le vecteur champ lointain est exprim dans le systme de coordonnes source par :

s d s d d s d d dz y x r ). (cos ). sin (sin ). cos (sin =(1.45) Leproduit,vecteursourceetvecteurchamplointainainsiquelasurfacediffrentielle ncessaire lquation intgrale (1.23) sont donns ci-dessous. =d d s s s d d s s s d sr r r r sin sin sin sin cos sin cos sin . .

d s sr cos cos .(1.46)

s s s s sd d r ds . sin ) 2 / sec(2=(1.47) Enutilisantlesquations(1.39)et(1.40)onarriveavoiruneformeduvecteur intgrale en coordonnes cartsiennesselon :

= 20 00ds e J Fd sr r jkx x(1.48)

= 20 00ds e J Fd sr r jky y(1.49)

= 20 00ds e J Fd sr r jkz z(1.50) Langle douverture 0 tant dfini par lquation (1.4), sous la forme vectorielle on crit enfin le vecteur intgral :

s z s y s xz F y F x F F + + =(1.51) Finalementlechamplointainestdonnencoordonnescartsiennesci-dessousen utilisant le dtail des quations (1.48) , (1.49) et (1.50). 22 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I [ ]d d ddjkrrefxx F r r FrejkZo Ed )). . .( =(1.52) [ ]d d ddjkrrefyy F r r FrejkZo Ed )). . .( = (1.53) [ ]d d ddjkrrefzz F r r FrejkZo Ed )). . .( =(1.54) Avec, ) cos ( ) sin sin ( ) cos sin . ( . d z p y d d x dF F F F r + + =(1.55) Eninjectantlquation(1.55)danslesquations(1.52),(1.53)et(1.54)ettoutcalcul faitlechamplointainpeuttreaussiexprimparcescomposantespolarisation principale) , (d drefcoE etpolarisationcroise ) , (d drefcrossE ,l'indicecommecest indiqu en [21]. [ ]refx d d d d drefcoE E cos sin ) cos 1 ( ) , ( =[ ]refy d dE ) cos 1 ( sin 12 + [ ]refz d dE cos sin (1.56) Et, [ ]refx d d d drefcrosE E ) cos 1 ( cos 1 ) , (2 =[ ]refy d d dE cos sin ) cos 1 ( [ ]refz d dE cos sin (1.57) Ladfinitiondelaco-polarisationetlapolarisationcroiseappliquerespectivement auxquations(1.56),(1.57)estdonnelannexeCeten[21],icionachoisitla troisime dfinition. Lechamplointainenco-polarisationestreprsentparlafigure1.10casoulangle incident = 0, lafigure 1.11 reprsente le champ lointain en co-polarisation et cross polarisation cas de = 90. On remarque bien que la polarisation croise sannule pour lepremiercas,puiselledevientmaximalepourledeuximecascequiestenaccord avec [25].23 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Figure 1.10 Antenne Rflecteur alimente par un court diple = 0 Figure 1.11 Antenne Rflecteur alimente par un court diple =90 Onremarquequelepremierlobeestbiendfini(commeonleverraauchapitreII), mais les lobes secondaires ne sont pas prsents. Une amlioration peut tre atteinte en augmentant la prcision des doubles intgrales des quations (1.48), (149) et (1.50) mais le temps de calcul serait plus long. Dans ce cas le programme crit en Matlab, traite la doubleintgraleenutilisantlacommande(dblquad)avecuneprcisionallantjusqu' 10-8, et un temps de calcul denviron 10 minutes. 24 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I V- Conclusion : Danscechapitreunhistoriquesurlesantennesrflecteurparaboliqueatprsent ainsi que les avantages et les inconvnients ont t discuts. Une tude comparative des mthodesclassiquesetasymptotiquesutilisespourvaluerlerayonnementdeces typesantennesetautres,telsquelagomtrieOptique(GO)etlathoriquede gomtriedediffraction(GTD).OnachoisitlaPhysiqueOptiquecommemthode asymptotique trs simple utiliser et qui donne des rsultats trs proches de ceux exacts donns par les mthodes numriques ou ceux obtenus par des mesures. Dans le reste de ce manuscrit on se rfre cette mthode. 25 Les antennes rflecteurs ParaboliquesChapitre I Chapitre II Implmentationde la Mthode des Moments I- Introduction : Danslechapitreprcdentlesmthodesclassiquesouasymptotiquesappeles aussiHighfrequency,onttprsentesdune manireplusoumoisdtaille,comme solutiondesproblmesderayonnementenlectromagntique.Toutescesmthodes sontapproximativesouellessontexactesdanscertaineslimites.Pouravoirune solutiontoutfaitexacteetsanscontrainteouexceptiononarecoursauxmthodes numriques,appelesaussifull-waveoulowfrequency.Onpeutciterlamthodedes lmentsfinis(FEM),lamthodedesdiffrencesfiniestemporelle(FDTD)etla mthode des moments (MoM) [23-29]. Lamthodedesmomentsbasesurladiscrtisationdelquationintgraledu champlectrique(EFIE)oulquationintgraleduchampmagntique(MFIE),ces derniressontobtenuespartirdunesolutionvectorielleauxquationsdeMaxwell pourunproblmedevaleursauxfrontires.Lamthodedesmomentsproposeen premier par Harrington en 1968 [30] est idalement utilise pour des antennes surfaces parfaitementconductrices(PEC)etdansunmilieuhomogne.Pourdesmilieuxnon homognesconduisantdesintgralesvolumiques,unehybridation(FEM/MoM)est souhaitable[31].Pourdesstructureslargesetpratiquementconsidrescomme planairestellesquelesantennesrflecteursunehybridation(OP/MoM)peutallger les calculs [32] DanstoutcemanuscritlaMthodedesMomentestutilisedansledomaine spatial,appliqueengnralesurdesantenneshomognesisotropessurfaces parfaitement conductrices (PEC), sur antennes unidimensionnelles, des antennes deux dimensions cylindriques carres ou circulaires et plus particulirement sur des antennes rflecteur parabolique trois dimensions. On voquera aussi les structures symtrie 26 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II dervolutionetlamthodedeslmentsdebord(BEM),basesurlapplicationdu principe dquivalence. I-1 Equations de Maxwell : Pourtudierleproblmelectromagntiqueduneantenneouunestructure pleine,homogneetisotrope,exciteparunchampmagntiqueoulectrique.Ilfaut poser en premier les quations de Maxwell, lies ce problme, dfinis ci-dessous [33]. H j Er r = (2.1) J E j Hr r r+ = (2.2) = Er. (2.3) 0 . = Hr (2.4) On dfinitEr etHr respectivement les champs lectriques et magntiques,Jr la densit de courant etla densit des charges lectriques. Figure 2.1 Structure homogne et isotrope excite par un champ lectrique ou magntique. r r y x z ,Espace Libre 0 0, ni iH E ,r rH E ,27 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II Lemilieutantconsidrhomogneetisotropefigure2.1,lapermittivit etla permabilit peuventtreconsidresconstantesparrapportlactiondela divergence et le rotationnel. I-2 Equations Intgrales : I-2-1 Equation intgrale du champ lectrique (EFIE) Lesconditionsauxlimitessontappliquessurlantenneoulobjetdeforme quelconquefigure2.1,cedernierconsidrcommeparfaitementconducteur(PEC),le champ lectrique tangentiel la surface est nul, ce qui sexprime par lquation suivante [34] : 0 = +r iE Er r (2.5) En utilisant les quations de Maxwell prcdemment dfinies, le champ lectrique peut tre exprim par lquation suivante : = A j Err r.(2.6) OAr : est le vecteur potentiel magntique, et : est le potentiel scalaire lectrique. Ils sontobtenusaprssubstitutiondelquation(2.6)danslesquationsdeMaxwelletlusageduvecteurunitetlexpressiondelajaugedeLorentz[35].Ilssontexprims par les relations :

=SdS r r G r J A ' ). ' , ( ). ' ( . r(2.7)

=SdS r r G r ' ). ' , ( ). ' (1(2.8) OG(r,r')estlafonctiondeGreenspatiale,et ladensitdecharge ;ellessont exprimes par les relations ci-dessous : 28 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II ' . 4) ' , ('r rer r Gr r jk= (2.9) Jj. ..1 =(2.10) O r : est le vecteur du contour de lobjet figure 2.1, et r : est le vecteur dobservation, et 0 0 = k: tant la constante de propagation en espace libre. En substituant (2.7) et (2.8) dans (2.6), on peut crire : ) . . ( + = A j n i E nr r (2.11) Et finalement lquation intgrale du champ lectrique est obtenue sous la forme : = ) (r i Er +SdS r r G r J r r G r J kj' ).] ' , ( ). ' ( ' ) ' , ( ). ' ( [20 (2.12) Lquation(2.12)ainsidfinieestappelequationintgraleduchamplectrique (EFIE).Ladpendancetemporelleen) (t jeatomiseicietelleserasuppose existante dans ce manuscrit. La solution delquation intgrale permet de dterminer la densit du courant avec laquelle le gain et la directivit de lantenne seront calculs. I-2-2 Equation intgrale du champ magntique (MFIE) : Pourunobjetparfaitementconducteur(PEC),lesconditionsauxlimitessurla surfaceduconducteursexprimentparlefaitquelasommedeschampsincidentet rflchitinduisent une densit de courantsJ , ce qui est dfinie par la relation suivante : S r iJ H H n H n = + = ) ( (2.13) De la mme manire, que prcdemment, on peut trouver l'quation Intgrale du champ magntique (MFIE), selon lexpression gnrale donne par : 29 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II = SssdS r r G r J nr Jr Hi n ' ). ' , ( ' ) ' ( 2) () ( (2.14) Lintgrale ici est appele valeur principale o le cas : champs et source ( r = r), a t exclu. Ce type dintgrale est, valeur principale, appel aussi intgrale de Cauchy [35]. II- La mthode des moments : II-1 Formulation : LaMthodedesMoment(MoM)estunetechniquetrsconnuepourrsoudre des quations linaires. Pour lanalyse des antennes, la MoM est utilise pour convertir lquationintgraleduchampenunematricedquationsouunsystmelinaire dquation, sous la forme suivante [23][33]:

) ( f L gr rr= (2.15) Ogr :estlasourceoulexcitationetLr :estunoprateurlinaire,etfr :estla fonction inconnue. Pour crer la matrice dquations la fonction inconnue est crite sous formedunesommedesriedeNfonctionsindpendantes nfr,appelesfonctionsde bases avec des amplitudes inconnuesna tel que :

==Nnn nf a f1r r (2.16) Eninjectantlquation(2.16)dans(2.15)etonsebasantsurlefaitqueLrestun oprateur linaire on a : ==Nnn nf L a g1) (r rr(2.17) Pourdterminerlesamplitudesinconnuesilfautposerunensembledquations intgrales,pondrespardesfonctionstests nw ,quiserontintgresdanslquation (2.17) sous forme dun produit scalaireselon lquation suivante : 30 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II

==Nnn m n mf L w a g w1) ( , ,r rr r r(2.18) Lquation (2.18) peut tre crite sous la forme matricielle suivante : [ ] [ ][ ]n mn ma Z g . =(2.19) Lquation(2.19)estsouventcritedunemaniresimilairelaloidohm,parla matrice dite impdance, qui est dfinie aussi par un produit scalaire comme suit : ) ( ,n m mnf L w Zr rr=(2.20) Est dune manire plus dtaille sous la forme :

((((

=L L L L LLL2 2 1 22 1 1 1( , ( ,) ( , ) ( ,f L w f L wf L w f L wZmn (2.21) Aussilevecteurdesinconnuesetleproduitscalairedelafonctiontestparcelle dexcitation, qui sont dfinies par : [ ]((((

=M21aaan;[ ]((((

=Mg wg wgm,,21 (2.22) Si la matrice impdance nest pas singulire alors la solution est obtenue par lquation suivante : [ ] [ ] [ ]m mn ng Z a .1 = (2.23) 31 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II Lasolutiondpendduchoixdesfonctionsdebasesetdesfonctionstestsquidoivent tre linaires et indpendantes, autrement dit formant une base orthonorme. II-2 Les fonctions de bases -LorsquelesfonctionstestsontdesdeltasDirac:) ( ) (m mx x x w = ,lamthodeest dite : Point matching. -LamthodeGalerkinestbasesurlefaitquelesfonctionstestetlesfonctionsde basessontlesmmes: m mf x w = ) ( ,danscemanuscritonutiliseradesfonctions triangulaires, rectangulaires et des fonctions en delta Dirac. III- Application des Antennes Unidimensionnelles : On prend le cas dun patch unidimensionnel dpaisseur trs mince figure 2.2, excit par une onde TM ou TE selon le cas de polarisation. Figure 2.2 Patch unidimensionnel Leproblmeposdanscecastantunidimensionnel,lesquationsintgralesdes champslectriques(casTM)etmagntiques(casTE)(2.12)et(2.14)scriventrespectivement de la manire suivante :

=2 /2 /) 2 (0). ' . ( ). (4) (aaincZdx x x k H x J x E(2.24) z i -a/2a/2 x Onde Incidente 32 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II ' ). ' ( . ) ' (4 2) () () 2 (12 /2 /dx x x k H x Jkjx Jx HaaincZ + = (2.25) O ) 2 (0H et ) 2 (1H sontles fonctions deHankeldudeuxime typerespectivementzroet premier ordre, dfinies comme suit : ) ' , ( . 4 ) ' () 2 (0r r G j r r k H = (2.26)

) 4 / 3 ( ) 2 (12 =kr jekrH (2.27) Lesquationsintgralesprcdentespeuventtrersoluesenutilisantlamthodedes momentsdfiniscommeindiquparlquation(2.18).Onobtient lesquations suivantes sparment selon le cas TM ou TE: = +=1' ). ' ( ). (4), () 2 (01nnxxn mNnndx x x k H x x x x a ) ( ), ( x E x xincZ m (2.28) = + +=' ). ' ( ). (4 2( ), (1) 2 (1,1dx x x k H x xkj x x annxxnn mmNnn ) ( ), ( x H x xincZ m (2.29) O n m, est le delta Kronecker dfini comme suit : ==n mn mn m01, LepatchtantdcoupenNmorceauxtelquex nn x = ). 1 ( ,avecNax= .Les fonctions tests tant des deltas Dirac et les fonctions de bases) (nx x sont de formes triangulaires dfinies comme suit : 33 Implmentation de la Mthode des MomentsChapitre II ,, 0,) (11= +xmxmmx xx xx xAilleursx x xx x xm mm m11+< 0 et b(3.1) O a : est le facteur de dilatation et b : le paramtre de translation, quelque soit le type dondelette. Elle vrifie, en gnral, toutes la relations (3.1). II-2 Transforme dondelette : Par analogie la transforme de fourrier, la transforme en ondelette dune fonctionf(t) est dfinie par lquation suivante [60] : + = dtab tat f b a Wf ) (1) ( ) , ( (3.2) Londelette) (t devra avoir une bonne localisation et une convergence rapide vers 0, et devratreoscillante.Onexigequelintgrale) (t soitnulleetquilensoitdemme pour les Npremiersmoments, cela se traduit par : 0 ). ( . =+ dx x xn Pour0 < n < N-1 (3.3) Pour n=0, + = = 0 ). ( ) 0 ( dt t (3.4) Onutilisesouventlatransformedondelettepourlacompressiondedonnesou filtrages des signaux [61]. 54 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III II-3 Orthogonalit : Lorthogonalitduneondelette) (x rsidedanslefaitquecettedernirepeut engendrer un ensemble dondelettes) (x vrifiant la condition suivante :

= =0 ). ( ). ( ) ( ), ( dx x x x x (3.5) Olastrisquesignifieleconjugu.Lesondelettes,liesparlaconditionprcdente prsentent une base orthonorme.Elles sont caractrises par les relations suivantes : ) 2 ( 2 ) (2 /n x xj jjn = (3.6) ) 2 ( 2 ) (2 /n x xm mmn = (3.7) O (m,j) : reprsentent la dilatation ou le degr de rsolution, et (n) : lefacteur de translation. Lesjn: constituent les fonctions de base de lespace jV avec j = 0,1, n = 0,1 1 2 j. Les mnconstituent les fonctions de base de lespacejW, de mme j = 0,1,..n=0,1 1 2 j.Lapropritquifaitinclurelessous-espaceslesunsdansles autres : 1 +j jV W , ce qui permet dcrire la relation suivante : j j jW V V =+1(3.8) Lespacevectoriel jV estorthogonallespacevectoriel jW quiengendreunespace vectoriel1 + jV , ainsi on peut constituer une base orthonorme dfinie par :

1 1 0 0..... =k kW W W V V ; 12 ...., 1 , 0=jk(3.9) Lquation(3.9)illustrelAnalyseMultiRsolution(MRA)introduiteenpremierpar Mallat[54].Cetteanalysepermetdanalyserunsignalparplusieursniveauxde rsolution o chacune correspond une partie du signal.

55 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III II-4 Dveloppement dune fonction en ondelette : AinsipourunefonctionfNchantillons,celle-cipeuttreprojetesurlabase orthonormedcritepar(3.9),pouravoirlexpressionsuivantesousformedeproduit scalaire [62] :

1 1 1 1 0 0, ...... , , + + + =N Nv v f v v f v v f f (3.10) Selonlquation(3.9)et(3.10),lcrituredunefonctionf(x)dansunebase orthonorme dOndelette comme prcdemment dfini aboutit [64] :

===+ =jm nn m n mnn nmx c x a x f01 20, ,1 20, 0) ( ) ( . ) (0 (3.11) Un exemple est illustr ici pour j = 2 (Nombre des Moments) une rsolution de 22 = 4, lquation (3.11) peut tre crite sous la forme suivante :

+ + + + =1 , 1 1 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0) ( c c c a x f 3 , 2 3 , 2 2 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 0 , 2 0 , 2 c c c c + + + (3.12) Lenombredesondelettesutilisessont22+1=8,etlenombredlmentsdune matrice [Z] 8 lignes et 8 colonnes sont 8x8 = 64. II-5 Diffrents types dOndelettes : Deux diffrents types dondelettes sont utiliss en lectromagntisme pour rsoudre les problmesdecalculdquationsintgrales,savoirlesOndelettesPriodiquesetles ondelettes en intervalle. II-5-1 Ondelette Priodique Les ondelettes Priodiques sont dfinies dans un intervalle [0,1] et dont londelette mre pourpriode1.Cetypedondeletteestutilislorsquelecontourdelantenneou 56 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III lobjettudierconcideaveclapriodedelondelette,enfaisantunchangementde variable ;ilestgalementutilispourdesformesdantennesneprsentantpasde borduresaigues,gnralementdesformescylindriques [68-79], etcest aussile casde notretudedanstoutcemanuscrit,olesondelettesutilisessontconsidrescomme priodiques.Mathmatiquementcesondelettespriodiquessontcaractrisesparles relations suivantes : = =10, , , ,0 ) ( ) ( , dx x xn m n m n m n m (3.13) ' , ' , ,,n n n m n m = (3.14) Les ondelettes qui peuvent tre utilises commepriodiquessont regroupes en familles, on peut citer quelques types, tels que : Daubechies, Haar, Coifman, Franklin etCoifletsOndelettes.Toutescesfamillesontdespropritscommunesmaiselles diffrent dans dautres. II-5-1-1 Ondelette Haar : La plus simple tudier est lOndelette de Haar, symtrique et orthogonale mais dune mauvaiselocalisationspectrale.Cettefamillecommelamajoritdesfamilles,est dfinie par deux Ondelettes, qui sont londelette mre et fille respectivementet , et qui sont dfinies respectivement comme suit : Londelette Mre :

=Autrementx forx, 01 0 , 1) ( (3.15) Londelette Fille (appele aussi chelle): 57 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III

=Autrementx forx forx, 01 2 / 1 , 12 / 1 0 , 1) ( (3.16) DiffrentstypesdondelettesdeHaarsontprsentesdansledomainetemporel[0,1]par les figures 3.1, 3.2 et3.3. Figure 3.1 : Les ondelettes Haar (1) 0 , 0et 0 , 0 Figure 3.2 : Les ondelettes Haar (1) 0 , 1 et1 , 1 ) (1 , 1x x 0 1 1/2 22 ) (0 , 1x x 22 01/2 1/4 0 ) (0 , 0x x 1 1 ) (0 , 0x -1 x 10 1 58 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III

Figure 3.3 : Les ondelettes Haar (1) 0 , 2 et1 , 2 II-5-1-2 Ondelette Daubechies: Les ondelettes Daubechies sont les plus utilises dans la compression des donnes et le filtragedessignauxcausedeleurbonnereprsentationspectrale,orthogonaleetnon symtrique[65],leursreprsentationsdansledomainetemporelsontdonnesparles figures3.4, 3.5 et 3.6. Figure 3.4 Les ondelettes Daubechies (4) 0 , 0 et 0 , 1 ) (0 , 2x 2 1/4 0 x -2 ) (1 , 2x 2 1/40 x -2 59 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III

Figure 3.5 Les ondelettes Daubechies (4) 1 , 1 et 0 , 2 Figure 3.6 Les ondelettes Daubechies (4) 1 , 2 et 2 , 2 II-5-1-3 Ondelette Battle-Lemar LesondelettesBattle-Lemardetypespline(polynomial),orthogonaletsymtrique, bonnelocalisationspectrale,estreprsentedansledomainetemporelparlesfigures 3.7, 3.8 et 3.9.

Figure 3.7 Ondelette Battle -Lemar -Spline (3) 0 , 0 et 0 , 1 60 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III

Figure 3.8 Ondelette Battle- Lemar Spline (3) 1 , 1 et 0 , 2 Figure 3.9 Ondelette Battle - Lemar -Spline (3) 1 , 2 et2 , 2 II-5-2 Ondelette En Intervalle Leproblme sepose lorsquela formedelantennepossdedesartesoudesbordures aigues,telestlecasdescylindrescarrsoudesguidesdondesrectangulaires.Les ondelettesutilisesprsententdesproblmesdecontinuitsurlesartesetdonc,dans certainscaspourfuirlesproblmesdesingularit,londelettenestpasutilisetoute entire,maisseulementunmorceau.Aussidanscertainscas,londeletteestconstruite danstroisintervalles,casdesondelettesB-splinecubiquesbienprsentesparWang [65,67]. Dans ce manuscrit les Ondelettes en intervalle nont pas t utilis mais un bref aperu de ce type dondelettes est donn lannexe B. 61 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III III- Application sur la Mthode des Moments : LidederrirelapplicationdesondelettessurlaMthodedesMoments,estla diminutiondelatailledelamatricedediscrtisationdelquationintgrale.Une premire approche est faite par lapplication des ondelettes sur la matrice obtenue aprs discrtisationparlatransformerapideenondelette(FWT)[66],unedeuxime approchecest lapplication directe sur les fonctions de base. III-1 Transforme dOndelette Rapide (FWT) : la matrice obtenue par la mthode des moments classique est transforme en Ondelette pourlarendrecreuse,lesfonctionsdebaseetlesfonctionstestssonttriangulairesou delta dirac.Cette mthode utilise en premier par Baharav [61] et amliore par Xiang [75],Shifman [77], Dmitry [78], etrcemment la mthode decompression de matrice introduiteparZunoubi[69],toutengardantunseuiltrspetitpouruneprcision meilleure. Le systme dquation obtenu par la mthode des moments scrit : ] [ ] ].[ [ V I Z =(3.17) Par application des ondelettes. ] [ ] [ ) .( ] [1V W I W W Z WT T=(3.18) OWestunematriceformepardesondelettestranslatesetchelonnesformant videment une base orthonorme,et WT la matrice transpose de W. Lquation (3.18) peut scrire plus sous la forme suivante :

w w wV I Z = .(3.19) Avec, TwW Z W Z ] [ = (3.20) Les inconnus sont trouvs aprs rsolution de lquation suivante : 62 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III ] [ ) (1I W ITw=(3.21) ] [V W Vw=(3.22) Finalement les inconnus sont donns par la relation : w wTV Z W I . ) .( ] [1 =(3.23) Pour des ondelettes orthogonales1 = W WT, ce qui rduit considrablement la taille de lamatrice[Z].LamatriceWestconstruitepartirdescoefficientsdes ondelettes ) , (n ng h ,dfinisparlesfonctionsondelettesrespectivementMreetFilles donnes par les quations suivantes : = =1 20) 2 ( 2 ) (Nnnn x h x = =1 20) 2 ( 2 ) (Nnnn x g x O N est le nombre des Moments. III-2 Application direct des Ondelettes Cette Mthode est illustre par ltude de deux cas, savoir le cas du cylindre elliptique et le rflecteur parabolique aliment par un court diple. III-2-1 Cas dun cylindre elliptique : Onprenantlecasduncylindreelliptique,figure3.4 ;polarisparuneondeTM. Lquationintgraledeuxdimensionsreliececaspeutscriresousla forme suivante [27] [33] : ' ) ' ( ). ' (4) () 2 (0dc r r k H r Jkr EincZ = (3.24) 63 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Figure 3.4 Cylindre Elliptique (PEC) en Polarisation TM. Lquation dcrivant le contour de lellipse est donne par : ==sincosb ya x (3.25) En prenant le cas de4 / = aet = b , et aprs remplacement dans les quations on a :

2 2 2 2) ' sin (sin ) ' cos (cos ' + = b a r r' ) ' cos ( ) ' sin ( '2 2 d b a dc + = ' ' cos 15 142 d + =(3.26) En remplaant lquation (3.26) dans (3.24) il en rsulte lquation suivante :

+ ) ) ' sin (sin 16 ) ' cos (cos4( ). ' ( )4(42 2 ) 2 (020 kH r Jk cos ) 4 / ( 2' ' cos 15 1jke d = + (3.27) Avec, 2 = k . Puis en procdant un changement de variable convenable au domainedes ondelettes, ' 2 ' = et' . 2 ' d d = , et en remplaant dans lquation (3.27),a devient: iy x r ) (r EincZ 64 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III + 2 2 ) 2 (0102)) ' 2 sin( ) 2 (sin( 16 )) ' 2 cos( ) 2 (cos(2( ). ' (4 H J

cos ) 2 / ( 2' '. cos 15 1je d = +(3.28) Lapplicationdelamthodedesmomentssousformedunesommedefonctionsde base en ondelette scrit :

==Nnn ng a J0) ( ) ' ( (3.29) O les) (ng sont les fonctions de base ou les ondelettes qui sexpriment de la manire suivante : 1 ) ( ) (0 , 0 0= = g ,) ( ) (0 , 0 1 = g) ( ) (0 , 1 2 = g , ) ( ) (1 , 1 3 = g) ( ) (0 , 2 4 = g ,) ( ) (1 , 2 5 = g) ( ) (2 , 2 6 = g ) ( ) (7 , 324 = g Untotalde16 2) 1 3 (=+Ondelettes,ellessontutilisespourdiscrtiserlquation intgrale du champ. En multipliant les parties de lquation (3.28) par les fonctions test et en intgrant sur le domaine de londelette, on obtient les lments de la matrice ainsi ci-dessous dcrits :

+ =10102 ) 2 (02,' . . ) 2 ( cos 15 1 ). ' , ( ). ' ( ). (4 d d H g g Zn m n m(3.30) Lafigure3.5reprsente lediagrammederayonnementduncylindreelliptiqueexcit paruneondeTM,lersultatdecomparaisondelamthodedesmomentsetles ondelettes semble en bonne concordance. 65 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Figure 3.5 Diagramme de rayonnement Normalis pour un Cylindre polaris par une onde TM, i = 0. Le champ incident tant dfini comme une onde planepar la relation :

) sin . cos . () (i iy x ik incze r E +=(3.31) Lechamprflchiestdduitparlarelationvueauchapitreprcdent voirquation (2.75), mais ramene au cas de deux dimensions: ' ) ' ( ) ' , ' (. 4) (.=Cincz zr jk sdc r E y x J erjr E(3.32) III-2-2 Cas du rflecteur parabolique en 3D :III-2-2-1 Equation intgrale magntique Danscettetudeonutiliseralquationintgralemagntique(MFIE)quoiquecette dernireestdifficilemanipuleretcontientdessingularits,maisgnralementpour analyserlediagrammederayonnementdunestructureferme(PEC),ilestconseill dutiliser une combinaison des deux quations intgrales lectrique et magntique pourviterleffetdersonanceouoscillatoire[72].Lquationsuivantevueauchapitre prcdent reprsente lquation intgrale du champ magntique en trois dimensions crit sous forme doprateur. 66 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III

= =Sir H n ds r r G r J n r J r J K ) ( ' ). ' , ( ' ) ' ( ) (21)) ( ((3.33) O K est un oprateur, lintgrale de lquation (3.33), est valeur principale, on dfinie la densit du courant crite sous la forme dune expansion de la structure symtrie de rvolution. [ ] .. ). , (). , ( ) , (jte t J t t J t J+ =+ =r(3.34) Lescomposantesdescourantsdonnesparlesquations(2.58)et(2.59),duchapitre prcdentpeuventscrirepardesondelettesenutilisantledveloppementde lquation (3.11) :

= ==+ =jm ntn mtn mtn jntn tmt c t a t J020, , ,1 201 0) , ( ) , ( . ) , ( (3.35) Et, = ==+ =jm nn m n m n jnnmt c t a t J020, , ,1 201 0) , ( ) , ( . ) , ( (3.36) Ou( n mtn m , ,, )et n jtn j , ,, ( )sontrespectivement,lesondeletteschellesetles ondelettesmres.Pourallgerlescalculs,onpeutsecontenterdusecondterme seulement, en crivant les quations suivantes : ) , ( ) , (,01 20, t c t Jtn mjm ntn m tm === (3.37) Et, ) , ( ) , (,01 20, t c t Jn mjm nn mm ===(3.38) Les ondelettes sont utilises comme fonctions de base pour la mthode des moments, dfinieprcdemmentparlesquations(2.15)et(2.19)duchapitreprcdent.En appliquant la technique de Galerkin sur lquation (3.33) on aboutit : 67 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III ) ( , )) ( ( , r H n W r J K Wi =r r(3.39) Lquation(3.39)estcritedanslesystmedecoordonnestangentielles ) , , ( n u ut [66], sous la forme suivante : ds H n W ds ds r r G r J W n ds r J Wsi ts s st t =((

+ ) .( '. ) ' , ( )]. ' ( ) [( ). ( .21r r r r r(3.40) ds H n W ds ds r r G r J W n ds r J Wsis s s =((

+ ) .( '. ) ' , ( )]. ' ( ) [( ). ( .21 r r r r r (3.41) Lesdiffrentstermesintervenantdanslesquations(3.40)et(3.41)sontdtaillsci-dessous en commenant par les termes sous la double intgrale: 0 00 0 1 tttWWt nW n = = r(3.42) Et, t WWt nW n0 00 0 1 = = r(3.43) Rinjectant les quations (3.42) et (3.43) dans le double produit vectoriel par : ) ' '( ) ( ) ( J t J W J n Wtt t+ = r r(3.44) ) ' '( )( ) ( J t J t W J n Wt+ = r r(3.45) On exprime le terme aprs lgalit par :

00 0 1itii itiH t HH Ht nH n + = = (3.46) 68 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Leproduitscalaireintervenantdanslepremiertermedesquations(3.40)et(3.41) sexprime par :

t t t t tJ W J t J t W J W = + = ) ' '.(. r r (3.47)

J W J t J t W J Wt= + = ) ' '.(.r r(3.48) Avec, ) ' , ( ).1.() ' , ( r r GRjk R r r G + = (3.49) OR R R /r= , Et, )2'( sin ' 4 ) ' ( ) ' ( '2 2 2 + + = = z z r r R Enremplaantlesdtailsdesquationsprcdemmentclairciesdanslesquations (3.40) et (3.41) on arrive : ((

+ pT T TG ptqtptqtptqdt dt I J W t J W dt J W0 0 01'. . ' . ). ' ' ( . .21

=TGi tqdt I t t H W02. .. (3.50) Et, ((

+ +pT T TG p qtp q p qdt dt I t J W t t J W dt J W0 0 01'. . ' . ). ' ' ( . .21 =TGit qdt I H W02. . . (3.51) Avec, ' . ) ' , (' .201 d e r r G IjG = (3.52) Et, d e IjG=20221(3.53) 69 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III O lindice) ( signifie le dveloppement en srie de Fourrier de lquation (3.34) et Testlalongueurmaximaleducontourdelantenne(pourunesphre r T . = ,rtantle rayon).Quantauxindices(p,q),ilscorrespondentrespectivementauxcombinaisons ) , (p pn met) , (q qn m . De la mme manire le systme dquation est ramen celui de lquation (2.68) du chapitre prcdent : (((

=((

(((

21,,..HHccZ ZZ Zn mtn mtt tt (3.54) Chaque lment de la matrice (3.54) est donn partir de lquation (3.50) par : dt dt I t J W dt J W ZGtpt ttqtptqtttpq' ' . '. . . .211' = (3.55) Puis sous forme de produit scalaire dondelette. ) , ( ). , (21, , t t t T Zq pttpq = (3.56) O) , ( t t T estledeuximetermesousladoubleintgrale,) , , ( t estun oprateurdechangementdevariable) ' , ( t t vers ) ' , ( , estunevariablerelie londeletteappartenantaudomaine[0,1],etenfin p et q sontdesondelettesde diffrents rangs. Lquation (3.55) peut scrire sous une forme plus explicite introduite par G. Wang [65-67]. ' ) ' ( )] ( . ) , ( ) , (21[1010 d D D d t t t T Zp p qttpq = (3.57) Avec d dt D / ) ( = , de la mme manire les autres lments de la matrice sexpriment par : dt dt I J W ZG pt ttqtpq' ' . '. .1' = (3.58) 70 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III , ( ). , ( , , t t T Zp qtpq =(3.59) Et, dt dt I t t J W ZGtpt tqtpq' ' . '. .1'. = (3.60) , ( ). , ( , ,.t t T Zp qtpq = (3.61) Aussi, dt dt I t J W dt J W ZG pt tq p qtpq' ' . '. . . .211' + = (3.62) ) , ( ). , (21, , t T Zq p pq + = (3.63)

On exprime lexcitation par les ondelettes de la mme manire : ) , ( . ,21 t I H HGtq q =(3.43) ) , ( . ,22 t I H HG q q = (3.44) Unefoislesystmedquation(3.54)estrsoluetlesinconnus] , [, ,n mtn mc c des composantesdeladensitducourantsontdtermins,onutiliseralamme transformationdescoordonnestangentiellesverslescoordonnespolaires,puisla polarisation principale et la polarisation croise sont dtermines de la mme manire. III-2-2-2 Interprtation Diffrents types dondelettes ont t utiliss pour voir leurs effets sur le temps de calcul et sur les taux dparse, le tableau 3.1 prsente trois types dondelettes compars avec la mthodedesmomentsclassiques(pointmatching),partirdecetableauonessaiede justifierlutilisationdesondelettesHaar,carlesautrestypesdondelettespeuvent prsenterunrsultatmeilleurpourunesegmentationleve,maisavecuntempsde calcul lev, alors quon peut avoir un rsultat acceptable avec les ondelettes Haar, pour une segmentation et un temps de calcul minimal. 71 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III HaarDaubechiesBattle-LemMoM Dimension de la Matrice 128x128128x128128x128128x128 Seuil10-310-310-3 Segmentation dondelette [0,1] 641286412864128 Temps De calcul (s) 70.110080.587.382.490160 Taux dparse %78.6478.8665.5782.1261.3779.51 Rduction en temps de calcul % 56.1137.5149.7645.4048.5243.73 Tableau 3.1 Temps de calcul avec diffrents types dondelette LetypedondeletteutilisiciestHaar,quivrifiebienlaproprit dorthogonalit,avecunmomentN=6,etunersolution26=64,lenombre dondelettes est de 26+1=128, donc un systme dquations formant une matrice 128 x 128lments.Cestpartirdecettematricequelonaobtenulediagrammede rayonnement,figure3.6etfigure3.7,pourunangleincident=90,etfigure3.8et figure 3.9 pour un angle incident = 45. Ces figures sont prsentes comparativement aux trois mthodes vues dans ce rapport, on voit bien que la physique optique dtermine lepremierlobe avecunegrandeprcisionspcialementpourunDgalousuprieur 100 . Leseuildparsetantdfinicommelerapportdelapluspetitevaleurdela matricesurlavaleurmaximale,ilestfixicipourlersultatdesgraphes10-3.Le tableau 3.2 prsente une varit de seuils avec diffrents nombres dondelettes. 72 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Figure 3.6 .Antenne rflecteur alimente par un diple, E Onde plane, F/D= 0.6, D=100, qe=qh= 4.9, = 90. Figure 3.7 .Antenne rflecteur alimente par un diple, H Onde plane, F/D= 0.6, D=100, qe=qh= 4.9, = 90. 73 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Figure 3.8 .Antenne rflecteur alimente par un diple, E Onde plane, F/D= 0.6, D=100, qe=qh= 4.9, = 45. Figure 3.9.Antenne rflecteur alimente par un diple, H Onde plane, F/D= 0.6, D=100, qe=qh= 4.9, = 45. 74 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Daprsletableau3.2onremarquequelefaitdaugmenterlenombredOndelettes augmente le taux dparse, par contre un bas seuil diminue le taux dparse. Quoiquune grande prcision puisse tre obtenue pour un bas seuil, un compromis doit tre effectu. Seuil10-2 Nombre dondelettes 3264128512 Taux dparse (%) 79.5085.1189.3791.03 Seuil10-3 Nombredondelettes 3264128512 Taux dparse (%) 63.1475.3378.6480.56 Seuil10-4 Nombredondelettes 3264128512 Taux dparse (%) 58.2268.0271.2073.05 Tableau 3.2 Taux dparse en fonction du nombre dondelettes et le seuil. Lesfigures3.10,3.11et3.12prsententlarchitecturedelamatricedu systme dquation (3.37) avec un nombre dondelettes N = 128 et un seuil qui varie de 10-410-2,danschaquecasoncalculelepourcentagedparseetlenombredesnon zro(NZ).Lesrsultatsprcdemmentprsents,casdurflecteurparaboliqueen3D sont publis par lauteur[80,81] et [82]. 75 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Figure 3.10Matrice du systme dquation avec un nombreDondelettes N = 128 et un seuil = 10-4 Figure 3.11Matrice du systme dquation avec un nombreDondelettes N = 128 et un seuil = 10-3 Figure 3.12 Matrice du systme dquation avec un nombreDondelettes N = 128 et un seuil = 10-2 76 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III IV- Conclusion UnetudesurlapplicationdesOndelettesenlectromagntismeatprsente, spcialementlapplicationdesOndelettessurlaMthodedesMomentspourrsoudre les quations intgrales. Le choix du type dondelette et la faon de lappliquer, agissent considrablement sur la rduction de la taille du systme de la matrice. Une Analyse des antennesrflecteursparaboliquesainsiquelecasducylindriqueelliptique,parles ondelettes,appliquesdirectementcommefonctionsdebases,letypedondeletteest priodiqueetorthogonale,cequiapermisungainenespacemmoireetentempsde calcul.LersultatdelacomparaisonaveclaMthodedesMomentsclassiqueetla Physique Optique est trs acceptable. 77 Application des Ondelettes surla Mthode des MomentsChapitre III Chapitre IV Modlisation dalimentation des antennes Rflecteur parabolique

I- Introduction : Lesantennesrflecteurparabolique,tudiesdansleschapitresprcdents, sontsupposesalimentespardesdiplesinfinimentpetits,lediagrammede rayonnementpourraittreamliorenutilisantunevaritdesourcestellesqueles antennes rseau linaire, les antennes cornets pyramidaux et cornets corrugus. Le but decechapitreestdefaireunetudesurlesprincipalessourcesdalimentationdes antennesrflecteurs,enparticulierslescornets,etlescornetscorrugus,qui contribuentconsidrablementlamliorationdelaformedudiagrammede rayonnement des antennes rflecteurs [83]. Danscechapitre,onprsentequelquesmthodesutilisesdanslalittrature, pourltudedescornets ;encommenantparunemthodeasymptotique,appele mthode douverture quivalente (Aperture Integration), base sur la gomtrie optique (GO)[84],[85]et[86],cettemthodesertaucalculduchamplointaindesantennes prsentantuneformeen3Douprsentantunesymtriedervolution(bodiesof revolution),enabrviation(BOR),telquelesguidesdondes,lescornetsconiquesou pyramidaux et les antennes rflecteurs. On prsente aussi la mthode modale appele (mode matching) [87], [88] et [89] ; cestla premire mthodenumrique utilise pour lecalculduchampinternedesantennesen3D,tellesquelescavitsetlesguides dondes. Enfin,lamthodedanalyseadopteiciestlamthodedesmoments,utilise dans le domaine spatial pour le calcul des courants lectriques et magntiques, puis les diagrammesderayonnement[90],[91]et[92].Lesfonctionsdebaseetlesfonctions tests tant des ondelettes de type Haar. Pour le cas du cornet trait ici, on a nglig les courants magntiques sur louverture rayonnante comme cest fait dans [93-107]. 78 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV II- Cas dune source en diple : Pourdesfrquencesfaibles,onutiliselesdiplespouralimenterlerflecteuretpour desfrquencesleves,onutiliselescornetsparcequecesdernierspeuventoffrirdes sources dillumination optimale [62] ((

+ + =rkr jkr kr jkr rer Ejkrdip . cos )) (1 1( 2. sin )) (1 11 ( ) (2 2 rr Qui peut tre proximit pour (kr>>1) : . sin ) (rer Ejkrdiprr Les diples sont souvent considrs comme source dalimentation des cornets III- Cas dune source en cornet pyramidal: Lantennecornet,estprobablementlaplussimpleetlaplusutilisedesantennes micro-ondes.Sonexistenceetsondbutdutilisationdatedavantlesannes1800. Aveclasecondeguerremondialeellesestbeaucouprpanduepourpermettreles transmissions militaires. De nos jours elle est surtout utilise en combinaisons avec les antennesparabolesradio,enastronomie,dtectionsatellite,etentlcommunication. Enfaitellesertdalimentationpourlesantennesrflecteursetleslentillesdes paraboles,cestaussiunoutilstandardpourlacalibrationetlesmesuresdegaindes autres antennes gains levs. Sa grande utilisation est due sa simplicit en matire de construction, sa sensibilit lexcitation, son large gain [90,91,92]. Lesantennescornetspeuventavoirdiffrentesformes,lesplusutilisessontde formespyramidales,coniques,sectoriseEousectoriseH.Danscechapitreon sintresse aux cornets pyramidales, et on prsenteradans ce qui suit quelque mthodes prsentesdanslalittratures,tellesquelamthodedelouverturequivalenteetla mthode mode matching, puis une tude par la mthode des moments avec introduction des ondelettes. 79 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV III-1 Mthode de louverture quivalente (Aperture Integration) Lamthodedelouverturequivalente,quiestbasesurlathoriedegomtrie optique,(GO)permetdecalculerlechamplointainenavantducornetdunemanire approximative, parce quon ne tient pas compte de leffet de diffraction sur les bordures etlinteractiondesmurs[91],[92].Lagomtrieoptiqueestbasesurleshypothses suivantes : -Le plan de louverture est le plan (xoy). -Le champ lectromagntique a la structure dune onde plane sur louverture. -Les champs lectromagntiques auront une phase constante sur louverture. Pourcalculerlechamplointainoncommencepardfinirlechamplectromagntique surlouverture,enutilisantlagomtrieoptique,puisonintgresurlouvertureparla mthode de FFT (connue par la distribution du champ dans louverture). Dans cette tude, on considre que le cornet est parfaitement conducteur et dpaisseur fine.Lafigure4.1,reprsentelastructureducornetpyramidalorientle longdelaxe des Z, la plus grande ouverture est situe dans le plan (xoy).Les figues 4.1.a et4.1.b, reprsentent respectivement la projection sur laxe (xoz) et(yoz),appele aussi plan H et plan E. Figure 4.1Cornet Pyramidale a b A B x y z 80 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV (a) (b) Figure 4.2 Projection dans le plan H et dans le plan E. Daprs la gomtrie de la figure 4.2, on dfinit les relations suivantes :

A aRa AAR= , B bRb BBR= (4.1) 422 2AR La a+ = ,422 2BR Lb b+ =(4.2) aRA2tan = ,bRB2tan = (4.3)

aaRA82= ,bbRB82= (4.4) PouruncornetpyramidalforcementB AR R = ,maispaspouraR , bR .CarLes quantitsa , b sontlesdviationsmaximalesdeladistanceradialesurlaborduredu cornet,etsont respectivement les angles de dviation dans le plan H et le plan E. En supposant que le guide donde rectangulaire est excit par le mode TE10, la sortie de ce dernier (entre du cornet) les composantes tangentielles du champ sont [83]: La Lb Ra Rb a b A B RA RB a b x z Plan H y z Plan E 81 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV ) cos( ) , (0AxE y x Ey= ,) cos( ) , (0Ax Ey x Hx = (4.5) O est limpdance intrinsque du vide, louverture du champ lectrique lintrieur du cornet est : b aR y jk R x jkye eAxE y x E2 / . 2 / .02 2) cos( ) , ( = (4.6) Louverture du champ lectrique la sortie du cornet ou sur la bordure est :

b b a aR jk R jkye eAxE y x E2 / . 2 / .02 2) cos( ) , ( =(4.7) La transforme de Fourrier, delouverture du champ lectrique communment appele (Aperture function) est donne par :

+=2 /2 /2 /2 /. ). , ( ) , (AABBy jk x jky ydy dx e y x E fy x (4.8) =2 /2 /2 /2 /2 / . 2 / .02 2. ) cos(AABBR y jk y jk R x jk x jkdy e e dx e eAxEb y a x (4.9) LesexpressionsaR x k 2 / .2et bR y k 2 / .2reprsententladiffrencedephaserelativeau point(x,y).Enutilisantlanormalisationdelaconstantedepropagationparles relations : 2 / A kx x= , 2 / B ky y=(4.10) cos sin k kx= , sin sin k ky= (4.11) En remplaant les quations (4.10) et (4.11) dans la relation (4.9) on obtient : 82 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV =2 /2 /) / 2 ( ) 2 / ( ) / 2 (02 2) cos( ) , (AAA x j A x jydx e eAxE fa x

2 /2 /) / 2 ( ) 2 / () / 2 (2 2 BBB y jB y jdy e eb y (4.12) O (b a , ), reprsententla dviation cyclique maximale, ils sont dfinis par les expressions suivantes :

aaRA22= , bbRB22=(4.13) En utilisant les intgrales de Fresnel, dfinies lannexe A et donnes par les relations : =11) 2 / (02 2) , ( d e e Fj j(4.14) d e e Fj j2 2) 2 / (111)2cos( ) , (=(4.15) Avec un changement de variable B y / 2 = , on dfinit la premire intgrale : ) , (2 2011) 2 / (2 2b yj jFBd e eBb y = (4.16) Avec un changement de variable A y / 2 = , on dfinit la deuxime intgrale :

=111) 2 / () , (2)2cos(22 2a xj jFAd e eAa x (4.17) Et finalement, en remplaant les quations (4.16) et (4.17) dans (4.12) on aura : ) , ( ) , (4) , (0 1 0 b y a x yF FABE f = (4.18) Lexpressionduchamp lectriquelointain en fonctiondescoordonnes polairesdonn par [83] est : 83 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV )cos ) (sin ) ( )( , ( ) , ( C C frej Eyjkr+ =(4.19) Pourlecasduneantennerayonnantdanslevide,etnonrelieunplandemasse comme dfini par [83], on donne les relations : 2) cos 1 () ( ) ( += = C C (4.20) Enremplaantlquation(4.20)danslquation(4.19),etenfaisantlasparationen coordonnes polaires, on a : sin ) , ( ) (yjkrf Crej E= (4.21) cos ) , ( ) (yjkrf Crej E=(4.22) Dune manire plus explicite : sin ). , ( ). , (2) cos 1 (40 1 0 b y a xjkrF FABErej E+= (4.23) cos ). , ( ). , (2) cos 1 (40 1 0 b y a xjkrF FABErej E+=(4.24) LegainnormalisdeschampslectriquesdanslesplansHetE,correspondant respectivement = 0 et = 90 est donn par : 2112) , 0 () , (2cos 1) (aa xHFFg +=(4.25)

2002) , 0 () , (2cos 1) (bb yEFFg += (4.26) 84 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Figure 4.3 Diagramme de RayonnementDans le plan E et le plan H B=3.1, A=4.1, a=0.8, b=0.3, L=8.2 Figure 4.4 Diagramme de RayonnementDans le plan E et le plan H B=1.8, A=2.8, a=0.8, b=0.3, L=12.2 Selon les figures 4.3 et 4.4, on remarque que le champ lectrique dans le plan H est plus directif que dans le plan E ; avec des lobes secondaires situs moins de 20 dcibels. 85 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV III.2 Mode Matching technique : LaTechniqueModeMatching,estpeuttrelapremiretechniquenumriquerobuste des annes soixante, dlaisse parce que les ordinateurs lpoque ne possdaient pas la vitesseetlammoiresuffisante.Elleestrepriseverslesannesquatrevingtdix larrivdesmachinesplusperformantes[108][110].Latechniqueestapplique gnralementsurlesguidesdondes,etlescornets,enutilisantunesriedecross section sur le profile, figure 4.5 ; la gomtrie du cornet est approxime par une srie de guides donde en cascade, le champ est dvelopp en une somme de srie de fonctions modalesolesconditionsauxlimitessontutiliseschaquetransitiondejonction,et oentredeuxsectionssuccessives,ladistributionduchamplectromagntiquedans chaquesectionpeuttrereprsenteparlasuperpositiondetouslesmodespossibles ZTE et ZTM , ceci peut tre illustr par les composantesen z du potentiel lectrique et magntique selon [109] . ) , ( ) (,y x e e B e A Fimnz jk imnz jkn mimnizz z+ + = (4.27) ) , ( ) (,y x h e D e C Aimnz jk imnz jkn mimnizz z+ = (4.28) O) , ( y x eimnet) , ( y x himnsontlesfonctionsmodalesorthonormesrespectivement, transverselectriqueettransversemagntiqueetreliesauxmodes(m,n). imnA , imnB , imnC , et imnDsont les coefficients de la solution d'quation d'onde ou les amplitudes des ondesmisesetrflchies,lindice(i)signifielenumrodelasection,ellessont dfinies selon [109] par :

) 1 () cos( ) cos( 2) , () () ( ) (n i iiciyix imnb a ky k x ky x e += (4.29) i iiciyix imnb a ky k x ky x h) () ( ) () sin( ) sin( 2) , ( = (4.30) iixamk=) (,iiybnk=) ( 86 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV

2 ) ( 2 ) () ( ) (iyixick k k + = , 202 2 ) ( 2 ) () ( ) ( k k kizic= = + (4.31) ==0 , 00 , 1nnn O ) ( ) ( ) (, ,iciyixk k k sontlesconstantesdepropagationsreliesaux(iemes)sections,et n le delta Kronecker reli au mode (n). Figure 4.5 Cornet sectionn Leschampslectriquesetmagntiquessontdterminsdanschaquesectionselonles quations(4.29),et(4.30),decefaitondfinitdanschaquesectionunematrice,qui relieleschampsdelasectionprcdentelasectionsuivante ;cestalors,lamatrice dite(GeneralizedScatteringMatrix),enabrviation(GSM),ceciestprsentpar lquation (4.32).

|||

\||||

\|=|||

\|+ + ) 1 () () (22) (12) (21) (11) 1 () (iiiiiiiibaSSSSab(4.32) Lesquantits(a(i))reprsententleschampsentrantsetlesquantits(b(i))reprsentent les champs sortants, ceci est bien illustr par la figure 4.6. Z ieme section (x,y) ai+1 ai bi+1 bi 87 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Figure 4.6 Propagation transition Ledtaildecalculdescomposantestransversalesduchamplectriqueetmagntique pour le cas de deux transitions successives selon la figure 4.6 est donn lannexe E. III.3 Rsolution par la Mthode des Moments III.3.1 Intgral de surface : Ltudefaiteici,estgnralementpourdesstructures(PEC)surfaceouverte,telles que les cornets, les guides donde et les cavits ouvertes (Open-Ended), pour lesquelles onutiliseseulementlquationintgraleduchamplectrique(EFIE),encombinaison aveclquationintgraleduchampmagntique(MFIE)[110],[112].Lamthodedes lmentsdebord(BEM,BoundaryElementsMethod),quiestbasesurleprincipe dquivalence,estapplique(Voirchap.IIparagrapheV.2),enconsidrantque louverturerayonnanteestfermeparunconducteurparfait,aveclaprsencedes courantsmagntiquesetlectriquessurlouverture,etdescourantslectriquesseulement sur les murs intrieurs, figure 4.7. La structure tant suppose immerge dans un plan de masse infini, de ce fait la contribution des courants externes est nglige, en appliquant le principe dquivalence, on est conduit aux quations suivantes :

) ( ) (o or H n r Jrrrr =; n r E r Mo o ) ( ) ( =rrrr(4.33) ) ( ) (s sr H n r Jrrrr =;0 ) ( ) ( = = n r E r Ms srrrr(4.34) O) , ( M Jr rsontrespectivementlescourantssurfaciqueslectriquesetmagntiques, ) , (s or rr rsont respectivement des points sur louverture et sur les murs.A(1) C(1) B(1) D(1) A(2) C(2) B(2) D(2) a1 b1 a2 b2 Z 88 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Figure4.7 Sources quivalentes dans un cornet Lesconditionsauxlimitesdelastructureconsidresersumentparlesquations suivantes : 0 ) , ( ) , (tan tan= + M r E J r Esextsextrrrr ; Sur les murs et sur louverture(4.33) ) , ( ) , ( ) , (inttan tan tanJ r H M r H J r Ho oextoextrrrrrr= +;Sur louverture(4.34) ' ). ' , ( ) ' ( '1) ' ( ) , (20 ((

+ =Srefds r r G r Jkr J j J r E r (4.35) =Srefds r r G r M M r E ' ). ' , ( ) ' ( ) , (r(4.36) Lquation(4.35)dcritenfaitlechamplectriquesetrouvantlintrieurducornet, quiestdlexcitationestlinteractiondesmurs[94], estlafrquence dopration, 0 est la permabilit du vide, J(r) est la densit de courrant sur la surface intrieur du cornet. ) ' ). ' , ( ' ) ' ( ) (21( ) , ( = Srefds r r G r J n r J J r H n (4.37) J J J int E n M =Eint Hint Eext Hext n Z Plan de Masse infinie 89 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV ' ). ' , ( ) ' ( '1) ' ( ) , ( 2 ((

+ = Sreftds r r G r Mkr Mkn M r H n (4.38) ' ). ' , ( ) ' ( )) ( ( ds r r G r X r X KSi =rrrr (4.39) ' ). ' , ( ) ' ( '.1) ' ( )) ( (2ds r r G r Xkr X j r X LSi i ((

+ =rrrrrr (4.40) Rgion interne : ) ( ) ( ) ( ) (1 1 1 1 1r M K r J L r E r Eincrrrrrrrr+ = (4.41) ) (1) ( ) ( ) (1 1 1 1 1r M L r J K r H r Hincrrrrrrrr = (4.42) Rgion externe : ) ( ) ( ) (2 2 2 2 2r M K r J L r Errrrrr+ = (4.43) ) (1) ( ) (2 2 2 2 2r M L r J K r Hrrrrrr =(4.44) Lefaitquelesdeuxlieuxsoientidentiquesetlescourantsinternesetexternessoient gaux en valeur absolue :

2 1L L =; 2 1K K = (4.45) 2 1J Jr r =; 2 1M Mr r = (4.46) Enappliquantlesconditionsauxlimites(4.33)et(4.34),etlessuppositions(4.45)et (4.46) sur les quations prcdemment dcrites (4.41), (4.42), (4.43) et (4.44), on arrive : ) (21) ( ) ( r E r M K r J Lincrrrrr= + (4.47) ) (21) (1) ( r H r M L r J Kincrrr r= (4.48) 90 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Unecombinaisondesquations(4.47)et(4.48)peutaboutirlquationintgrale combineduchamp(CFIE),toutenngligeantlecourantmagntiqueM,sans rellement commettre une grosse erreur [50]. [ ] ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( r H r E r J K r LJinc incrr rrrr + = + (4.49) Avec1 0 III.2.2 Formulation de la Mthode des Moment : Lescourantslectriquesetmagntiquessontcritsencomposantescartsiennes,en fonction des fonctions en ondelettes, comme dj vu au chapitre prcdent. z z y x J y z y x J x z y x J z y x Jz y x ). , , ( ). , , ( ). , , ( ) , , ( + + = (4.50) ) , , ( ) , , (,01 20,z y x c z y x Jxn mjm nxn m xm === (4.51) ) , , ( ) , , (,01 20,z y x c z y x Jyn mjm nyn m ym ===(4.52) ) , , ( ) , , (,01 20,z y x c z y x Jzn mjm nzn m zm===(4.53) Delammemanireondfinitlescomposantesdescourantsmagntiques,en appliquant la technique de Galerkin sur lquation (4.26), on aura :

((((

=((((

((((

zyxzn myn mxn mzz zy zxyz yy yxxz xy xxBBBcccA A AA A AA A A,,,(4.54) 91 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV [ ] + =Sxqxqxpxxpqdxdy J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.55) [ ] + =Syqyqxpxypqdxdy J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.56) [ ] + =Szqzqxpxzpqdxdz J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.57) [ ] + =Sxqxqypyxpqdydx J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.58) [ ] + =Syqyqypyypqdydz J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.59) [ ] + =Szqzqypyzpqdydz J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.60) [ ] + =Sxqxqzpzxpqdzdx J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.61) [ ] + =Syqyqzpzypqdzdy J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.62) [ ] + =Szqzqzpzzpqdzdx J K r J L r W A . ) 1 ( ) ( ). (rrrrr (4.63) Quant aux lments de lexcitation, ils sont comme suit: [ ]dxdy H E r W BSxincxincxpxp. ) 1 ( ). ( + =r rrr (4.64) [ ]dydz H E r W BSyincyincypyp. ) 1 ( ). ( + =r rrr (4.65) [ ]dzdx H E r W BSzinczinczpzp. ) 1 ( ). ( + =r rr (4.66) Figure 4.8 Comparaison du diagramme de rayonnement Ondelette-MoM et Ouverture Equivalente Plan-E92 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Figure 4.9 Comparaison du diagramme de rayonnement Ondelette-MoM et Ouverture Equivalente Plan-H Lesgraphesdesfigures4.8et4.9,prsententunecomparaisonentrelamthodedes moments amliore par les ondelettes, et la mthode de louverture quivalente dans le plan E et dans le plan H, le rsultat de la comparaison est trs acceptable. Cependant, Il estremarquerqueleslobessecondairesdanslecasduplanEsontpluslevsque dans le cas du plan H. Pour le temps dexcution durant lapplication des ondelettes, onpense que la remarque doit tre la mme que pour le chapitre prcdent. IV- Cas dune antenne en cornet corrugu : Lesmurslissesprovoquentdesproblmesquipeuventtreliminspar corrugation.Lorsqueuncornetmurslissesalimenteunrflecteur,leproblmequi surgit est le dphasage des ondes planes perpendiculaires ( savoir plan E et plan H), le plan E prsente des lobes secondaires plus levs que le planH, ladiffraction dans les murscorrugusprovoqueladiminutiondeslobesdansleplanE[97].Lathorie douverturequivalentechouedcrirecephnomne,etparmilesmthodes classiquesqui peuvent traiter ce problme, il ya la thorie de gomtrie de diffraction (GTD) [86], des travaux ont t effectu en utilisant les lments finis (FEM) [110], et 93 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV dautrestravauxeffectuentunehybridationdelamthodedesMomentsetduMode Matching [92,93], [108,109] Figure 4.10 Cornet Pyramidal corrugu La figure 4.10 prsente la forme dun cornet corrugu V- Cas duneantenne rseau dphaseur : Lesrseauxdphaseurssontutilisspouramliorerlaformedudiagrammede rayonnement, augmenterlegain, etrendrelensembledes antennesplusdirectives[8], ilspeuventtrefabriquspartirdecircuitsimprims[64],commeilspeuventtre fabriquspartirdescornets[93],[102],[103],[104][105].Pourunereprsentation mathmatique ils sont considrs comme diple infiniment petit figure 4.11. En prenant le cas de deux lments, le champ lectrique rsultant un point donn est la somme de deux contributions, selon [106] par :

[ ] [ ]((

+ = + =+ 22) 2 / (11) 2 / (2 1cos cos2 1 rereE E Ekr j kr jtotr r r (4.67) Icitant l'excitation en phase de chaque lment, pour 2 1, etr r r 2 1, l'quation prcdente devient : Z 94 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV

((

+ =) cos (21cos 2 . cos4 kd erjEjkrtot (4.68) Figure 4.11 Cas de deux diples infinitsimaux VI- Conclusion : Unetudedesdiffrentstypesdalimentationsdesantennesrflecteursat prsente,unegrandeattentionatrserveauxcornets,aveccitationdesdiffrents typesdemthodesdanalyseetdiffrentstypesdecornets.Unecomparaisonentrela mthodedesmomentsamliorepardesondelettesetlamthodedouverture quivalenteatfaite,lersultatdelacomparaisonesttrsacceptable.Lamthode modematchingaussisimplequelleapparaitnapastappliquedurantla programmation en Matlab, la procdure qui consiste relier les diffrentes matrices des diffrentessectionsnapastraliseenvigueur.Aussidurantlapplicationdela mthodedesmoments,lescourantsmagntiquessurlouverturesontngligs,le rsultat est tout de mme trs satisfaisant. z y 2r12r1r2d 2d 95 Modlisation d'alimentation des antennes Rflecteurs Chapitre IV Conclusion Gnrale La mthode des moments dans le domaine spatial t prsente et implmente sur des antennessurfaceparfaitementconductrice(PEC)unidimensionnelle,deux dimensions et enfin en trois dimensions. Les exemples dtudes sont des patch linaires, descylindrescirculairesouellipsodesetdesrflecteursparaboliquessymtriede rvolution et enfin des cornets. Les mthodes classiques dites asymptotiques ont t prsentes et appliques. La physique optique(OP) t applique sur les antennes rflecteurs paraboliques en 3D etlamthodedouverturequivalente(ApertureIntegration)basesurlagomtrie optique(GO)tappliquesurles cornetspyramidales.Unecomparaisont faite avec la mthode des moments base sur les ondelettes. Le rsultat decette comparaison concordebienauxrsultatsprsentsdanslalittrature.Lebutdecettecomparaison ntaitpasseulementlavalidationdesrsultatsmaisaussilapropositiond'unpossible d'hybridation entre les deux mthodes. Lintroductiondesondelettesavaitpourbutderendrelamatricedesquations intgrales creuse et en grande partie cela dpend du seuil. Le choix du type dondelettes, lenombredondelettesetlasegmentationpeutamliorerletempsetlaprcisiondes calculs.Une comparaisont faiteau chapitre IIIsurtroistypedondelettessavoir Haar, Daubechies et Battle-Lmarie qui a conduit au fait que pour un nombre de 128 ondelettesetunseuilde10-3,lesondelettedeHaar,pourunesegmentationde64 points,apporteunmeilleurrsultat(Tauxdesimplification78.64%ettempsdecalcul 56.11%derductionsurlamthodedesmomentsclassiquevoirtableau3.1)etque pourunesegmentationde128pointslesondelettesDaubechiesavaientunmeilleurs rsultat(Tauxdesimplification82.12%et45.40%derductionentempsdecalcul). Pour une grande prcision o lon a besoin dun nombre important dondelettes le choix de Daubechies est certainement le plus juste. Dans tout ce manuscrit le type dondelette utiliseestHaar,etlapplicationdesondelettesatdirectementappliquecomme fonction de bases et fonctions test. 96 Conclusion Gnrale Ltudeprsentesurlesdiffrentstypesdalimentationsdesantennesrflecteurs paraboliques apourbutprincipalltudedes cornetsetlaprsentationdesdiffrentes mthodesdanalyse.Lamthodedouverturequivalenteutilisepourdonnerle diagrammederayonnementenchamplointaintaitsimpleetapermisdavoirdes rsultatscomparables.Laprsentationdelamthodemodematchingpourlescornets taittrsintressante,sonapplicationdupointdevueralisationdunprogrammeen Matlabntaitpasfacilemettreenmarche,vuquecettemthodeexigeune successiondematricesdtatochacunedoitprendreenconsidrationlesconditions auxlimitesentrelasectionprcdenteetlasectionsuivante.Onsestcontent dappliquer la mthode des moments base sur les ondelettes en ngligeant les courants magntiques sur louverture. Les perspectives ou travaux futurs se rsument dans ce qui suit ; Lutilisationdunehybridationdelamthodedesmoments,basesurles ondelettesaveclaphysiqueoptique,etlesstructurestrslarges,exigentun temps de calcul trs grand mme en utilisant des ondelettes. Lapplication de la physique optique sur les rgions non ombreuses peut allger les calculs. Daprs cequelonavuauchapitreII,lesrsultatsdelaphysiqueoptique,pourraient tre exacts pour des formes planes.Les cornets sont tudis par la mthode des moments et les ondelettes en faisant lasuppositionquelescourantsmagntiquessurlouverturesontnulles,juste pourallgerlescalculs,quitaientvraimentlourds.Onauraitpuutiliserla mthode des moments en combinaison avec celle mode matching, chose que G. V.Eleftheriades[108]afaitseulement,maisenabsencedondelettes :carla modematchingtraitelargioninterneetlamthodedesmomentstraitela rgionexternedelastructure,etdecefaitontiendracompteducourant magntique et on arrivera allger les calculs. Notreobjectifestdetraitergalementlesantennesrflecteursoudescornets portantune couverture en dilectrique comme le chiral ou le metamatrial pour en conclure quels effets cela peut aboutir (celui de filtre ou de retardement des modes). 97 Conclusion Gnrale Rfrences Bibliographiques [1]C.A.Balanis,"AntennaTheory,AnalysisandDesign",JohnWiley&Sons,Inc. New York, 1997.

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