Thierry Wybrecht m-à-j. d’une présentation de juillet 2005t.wybrecht.free.fr/IMG/pdf/secdeg2.pdf · Quelques exercices d’introduction Vocabulaire transformation de ax2 +bx c

Le second degré – Fonctions polynômes

Thierry Wybrecht

m-à-j. d’une présentation de juillet 2005

Thierry Wybrecht () Le second degré – Fonctions polynômesm-à-j. d’une présentation de juillet 2005 1

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1 le second degréQuelques exercices d’introductionVocabulairetransformation de ax2+bx +c (a 6= 0)Racines, factorisation et signe de ax2+bx +c (a 6= 0)Somme et produit des racinesÉtude de la fonction trinôme du second degré

2 PolynômesQuelques exercices d’introductionGénéralités sur les fonctions polynômes

Définitions

Opérations sur les polynômes

Factorisation d’un polynôme dont on connaît une racine : factorisation par x −asur un exemple, une idée de la démonstration

Théorème fondamental

Applications

Degré et racinesDifférentes méthodes de factorisation

La méthode des coefficients indéterminés

La division des polynômes suivant les puissances décroissantes

3 Fonctions rationnellesActivités

La famille des fonctions polynômes

Définition

Des techniques à connaîtreThierry Wybrecht () Le second degré – Fonctions polynômes

m-à-j. d’une présentation de juillet 2005 2/ 69

le second degré



Définitions




Applications




3 Fonctions rationnellesActivitésThierry Wybrecht () Le second degré – Fonctions polynômes


le second degré


Définition

Des techniques à connaître

Exercices

4 Corrigé des exercices


/ 69

le second degré

Connaissances mises en jeu :

les nombres réels,

opérations sur ces nombres, règles de calculs, développements et factorisation,

les théorèmes connus de résolution d’équations.


/ 69

le second degré Quelques exercices d’introduction

Un rectangle a une aire de 12 m2 et un périmètre de 14 m. Quelles sont sesdimensions ?


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La résolution de certaines équations simples ne pose pas de problèmes pour lesélèves doués que vous êtes ! Par exemple, résoudre une équation comme 5x +3= 0ne vous fait pas peur. On dit que cette équation est « du premier degré ».Pourquoi ?On va s’intéresser maintenant à des équations plus compliquéesExercice 1 :

Trouver une équation ayant pour solution -5.

Trouver une équation ayant pour solutions 2 et 3 (aide). Présenter cetteéquation sous la forme A= 0, où A est une expression développée utilisantl’inconnue x .

Trouver une équation de degré 3 ayant pour seules solutions -1 et 2.

Trouver une équation du second degré, dont les coefficients sont des entiers,

ayant pour solutions 1 et53.


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Exercice 2 :

1 Montrer que les équations x2+12x −3= 0, 2x2+x −6= 0 et

(2x −3)(x +2)= 0 ont les mêmes solutions. Donner ces solutions.2 Peut-on donner rapidement les solutions de l’équation x2+x −1= 0 ?3 Même question mais avec l’équation x2−3x +2= 0. (aide)4 Toujours la même question, avec 2x2+x −1= 0. (même aide que la question

précédente)


/ 69


Existe-t-il une méthode générale permettant de trouver (s’il y en a) les solutionsd’une équation du second degré ? C’est ce que nous allons chercher, à l’aide desdeux exercices qui suivent.


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Exercice 3 : On considère l’équation x2−4x +2= 0.Essayons de reconnaître dans les deux termes du membre de gauche où figurel’inconnue, le début du développement de (x + . . .)2 ou de (x − . . .)2 :

x2−4x = (x − )2−

car (x −2)2 = x2− .Remplaçons alors les deux premiers termes de notre équation par ce résultat :

x2−4x +2= (x − )2− +2

= (x − )2−

L’équation devient donc :

Terminons sa résolution :


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Considérons le deuxième exemple suivant : 2x2+x −1= 0 et adaptons un peu laméthode précédente : commençons par mettre le coefficient de x2 en facteur dansle 1ermembre :

2x2+x −1= 2[ ]

et traitons le 2efacteur entre crochets comme dans l’exemple précédent :

x2+ est le début de(

x +)2

.

2x2+x −1= 2[ ]

= 2

[

(

x +)2

− −

]

= 2

[

(

x +)2

−

]

Nous pouvons alors terminer la résolution de 2x2+x −1= 0.


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Exercice 4 : Les deux exemples précédents pourraient laisser penser qu’uneéquation du second degré a toujours des solutions.Étudier le cas de x2+x +1.

x2+x +1=(

x +)2

− +1

=

donc x2+x +1= 0 équivaut à

Conclusion ?

Pouvez-vous trouver une équation plus simple n’ayant pas de solution réelle ?


/ 69


Dans cette leçon, nous allons donner des formules générales permettant derésoudre n’importe quelle équation du second degré, et d’étudier le signe den’importe quelle expression de la forme ax2+bx +c (a 6= 0), en utilisant ladémarche de cette activité dans ce cas général.


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Historique :

Des équations du premier et du second degré (où les coefficients sont des nombresdonnés) sont déjà résolues avec une méthode générale par les Babyloniens vers1700 av. J.C et peut être même plus tôt.Pour les équations du 3ème degré, il faut attendre Scipio del Ferro (1465-1526)vers 1515 (les papiers de ce dernier sont cependant perdus), puis Tartaglia etCardan ;et pour celles du 4ème degré, Ludovico Ferrari (Bologne 1522-1565, en 1540) quiétait un élève de Cardan. Écrire(source : site internet dont l’adresse esthttp ://www.math93.com/equation.htm)


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le second degré Vocabulaire

Définition

On dit qu’une fonction f de Rvers Rest une fonction trinôme du second degré

s’il existe trois réels a, b et c (a 6= 0) tels que :pour tout réel x , f (x)= ax2+bx +c .

Remarque : on dit aussi plus simplement trinôme au lieu de fonction trinôme, etpar abus de langage, le trinôme ax2+bx +c .Exemples : les fonctions suivantes sont-elles des fonctions trinômes ?a. f1 : x 7−→−3x2+2 ;b. f2 : x 7−→ (x −1)(x −2) ;

c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition

On appelle racine du trinôme ax2+bx +c (a 6= 0) toute solution de l’équationax2+bx +c = 0.


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Définition




c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition



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Définition




c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition



/ 69


Définition




c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition



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Définition




c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition



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Définition




c. f3 : x 7−→1

x2−5x ;

d. f4 : x 7−→ (x3+1)− (x −1)3 ;

e. f5 : x 7−→12x2−3x +2 ;

f. f6 : x 7−→ 5x −6x2.

Définition



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le second degré transformation de ax2+bx +c (a 6= 0)

Soient a, b et c trois nombres réels tels que a 6= 0.

Pour tout réel x , on a : ax2+bx +c = a

(

x2+b

ax +

c

a

)

.


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(

x2+b

ax +

c

a

)

.

Par ailleurs, en développant, on peut écrire :(

x +b

2a

)2

= x2+b

ax +

b2

4a2,


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(

x2+b

ax +

c

a

)

.


x +b

2a

)2

= x2+b

ax +

b2

4a2,

d’où : x2+b

ax =

(

x +b

2a

)2

−b2

4a2.


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(

x2+b

ax +

c

a

)

.


x +b

2a

)2

= x2+b

ax +

b2

4a2,

d’où : x2+b

ax =

(

x +b

2a

)2

−b2

4a2. Remplaçons alors la somme des deux premiers

termes de la première égalité :

ax2+bx +c = a

(

(

x +b

2a

)2

−b2

4a2+

c

a

)

= a

(

(

x +b

2a

)2

−b2−4ac

4a2

)


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Définition

l’expression a

(

(

x +b

2a

)2

−b2−4ac

4a2

)

est appelée forme canonique du trinôme

ax2+bx +c .


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Définition

l’expression a

(

(

x +b

2a

)2

−b2−4ac

4a2

)


ax2+bx +c .

Définition

Le réel b2−4ac est noté ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme ax2+bx +c .


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Définition

l’expression a

(

(

x +b

2a

)2

−b2−4ac

4a2

)


ax2+bx +c .

Définition

Le réel b2−4ac est noté ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme ax2+bx +c .

Nous pouvons donc écrire : pour tout réel x ,

ax2+bx +c = a

[

(

x +b

2a

)2

−∆

4a2

]

.


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le second degré Racines, factorisation et signe de ax2+bx +c (a 6=0)

L’égalité établie amène à envisager trois cas : ∆> 0, ∆< 0 et ∆= 0.


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si ∆> 0,

on peut écrire ∆=(p∆

)2, et alors

ax2+bx +c = a

[

(

x +b

2a

)2

−∆

4a2

]

= a

[

(

x +b

2a

)2

−

(p∆

2a

)2]

= a

(

x −−b−

p∆

2a

)(

x −−b+

p∆

2a

)

On en déduit dans ce ces que :

le trinôme ax2+bx +c a deux racines, distinctes, x1 et x2, données par lesformules :

x1 =−b−

p∆

2aet x2 =

−b+p∆

2a,

le trinôme peut être factorisé sous la forme a(x −x1)(x −x2),

le signe du trinôme est déterminé par le signe de a et la position de x parrapport aux deux racines ; ceci peut être détaillé dans un tableau de signes,en supposant que x1 < x2 :Thierry Wybrecht () Le second degré – Fonctions polynômes



x −∞ x1 x2 +∞

x −x1 − 0 + +

x −x2 − − 0 +

ax2+bx +c signe de a 0 signe de (−a)0 signe de a


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Si ∆= 0

, alors ax2+bx +c = a

(

x +b

2a

)2

:

dans ce deuxième cas,

ax2+bx +c = 0⇐⇒ x =−b

2a: le trinôme a une seule racine, appelée racine

double (on dit aussi parfois « deux racines confondues »), x0 =−b

2a,

la forme factorisée du trinôme est a(x −x0)2,

le trinôme est du signe de a pour tout réel x .


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si ∆< 0

, alors −∆

4a2> 0, d’autre part

(

x +b

2a

)2

Ê 0, donc pour tout réel x ,[

(

x +b

2a

)2

−∆

4a2

]

> 0.

Par conséquent :

le trinôme n’a pas de racine,

le trinôme est strictement du signe de a pour tout x ,

on ne peut pas factoriser le trinôme dans R(sous forme de produit de facteursdu 1erdegré) (sinon, le trinôme aurait des racines, ce qui entre encontradiction avec le premier point).


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On peut retenir le théorème :

Théorème

Soient a, b et c trois réels (a 6= 0). On considère le trinôme ax2+bx +c et sondiscriminant ∆ (∆= b2−4ac).On a :

discriminant racines factorisation signe

∆> 0 2 racines distinctes

x1 =−b−

p∆

2aet

x2 =−b+

p∆

2a

a(x−x1)(x −x2) du signe de a à l’exté-

rieur des racines

∆= 0 une racine double

x0 =−b

2a

a(x−x0)2 strictement du signe de

a pour tout réel x diffé-

rent de x0.

∆< 0 pas de racine pas de factorisation

dans R1

strictement du signe de

a pour tout réel x

sous forme de produit de facteurs du premier degré


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Exercices d’application :

I. Résoudre 3x2−4x −4= 0.

II. Étudier le signe de (−2x)(−5x2+3x −2).

III. Résoudre −2x2+x É 0.

IV. Résoudre x2−4x +2= 0.

V. Soit f la fonction définie par : f (x)=2x2−5x +3

x2−5x +4.

1) Déterminer son ensemble de définition.2) Simplifier f (x). En utilisant l’expression simplifiée de f (x), étudier le signe de

f (x).

VI. Résoudre x2 Ê 3.

VII. Résoudre(

x +23

)2

+1= 0.

VIII. Résoudre −x4+6x2+7= 0.

IX. Étudier le signe de −x4+6x2+7.


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X. Résoudre m2+76m−

12< 0.

XI. Résoudre x2+3xp

2+4= 0.

XII. Résoudre (1−2x)(3x −5)= 4x2−9.

XIII. Résoudre −p

2X 2+2p

2−4X = 0.

XIV. Résoudre (x2−9)−3(x +3)= 4.

XV. Déterminer les éventuels points d’intersection de la droite d’équationy = 3x −1 et de la courbe représentant la fonction définie parf (x)= 2x2−x +1.


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le second degré Somme et produit des racines

sorti des programmes de 2001 – peut malgré tout servir (racines évidentes, relationentre racines, déterminer des nombres dont on connaît la somme et le produit)sinon :Dans le cas où ∆> 0, si on développe la forme factorisée, on obtienta(x −x1)(x −x2)= ax2−a(x1+x2)x +ax1x2, donc en identifiant avec ax2+bx +c ,il vient :

b =−a(x1+x2) et c = ax1x2, et x1+x2 =−b

aet x1x2 =

c

a, d’où le théorème :

Théorème

Dans le cas où le trinôme ax2+bx +c a deux racines x1 et x2, ces racines vérifientles relations :

x1+x2 =−b

aet x1x2 =

c

a.


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Exercices complémentaires – Équations rationnelles

XVI.2x −1x +5

=2−x

x −3

XVII.x2+2x −1

x +1= 2x −1

XVIII.3x

x +2−

x +1x −2

=−115

XIX.1

x +2−

22x −5

=94

XX.3x2+10x +8

x +2= 2x +5

XXI.1x+

1x +15

=156


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Inéquations rationnelles

Exemple : on considère l’inéquation (I1) :−2x

x +1Ê

4x +3x −2

.

1 −1 et 2 peuvent-ils être solutions ? Pourquoi ?

2 Cette inéquation est-elle équivalente à l’inéquation(I2) : (−2x)(x −2)Ê (4x +3)(x +1) ? Pourquoi ? (pensez à la façon dont (I2) aété obtenue à partir de (I1), et rappelez un théorème important).

3 Montrez qu’en fait, (I1) est équivalente à (I3) :−6x2−3x −3(x +1)(x −2)

Ê 0

(commencez par écrire A(x)ÊB(x) sous la forme A(x)−B(x)Ê 0).

4 Étudiez le signe de−6x2−3x −3(x +1)(x −2)

, puis terminez la résolution de (I ).


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x +1Ê

4x +3x −2

.

1 −1 et 2 peuvent-ils être solutions ? Pourquoi ?On résout l’inéquation dans R\ {−1;2}.



Ê 0





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x +1Ê

4x +3x −2

.




Ê 0





/ 69




x +1Ê

4x +3x −2

.




Ê 0





/ 69




x +1Ê

4x +3x −2

.




Ê 0





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Exercices complémentaires : inéquations rationnelles

Résoudre les inéquations suivantes :

XXII.x +23x −1

Ê x −1

XXIII.x +31−x

Ê−5

XXIV. −9Éx2

x +2É 1

XXV.1

x −2<

4

x2−4+1


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Équations irrationnelles

Exemple : on considère l’équation (E ) : x −1=p

x +1.1 Quel est l’ensemble de définition de (E ) ?2 Expliquez pourquoi les réels de l’intervalle ]−1;1[ ne peuvent pas être solution

de (E ).3 Montrer que dans l’intervalle [1;+∞[, (E )est équivalente à

(E ′) : (x −1)2 = x +1.4 Résolvez (E ′), puis déduisez-en les solutions de (E ).


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de (E ).3 Montrer que dans l’intervalle [1;+∞[, (E )est équivalente à



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de (E ). On cherche donc les solutions de (E ) dans l’intervalle [1;+∞[.3 Montrer que dans l’intervalle [1;+∞[, (E )est équivalente à



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Exercices complémentaires : équations irrationnelles

Résoudre les inéquations suivantes :

XXVI. 2x +4=p

x2−1

XXVII.p

x2−1= x −0,5

XXVIII.p

x +12=√

x2+2x −8

XXIX.p

3x +3=√

x2+x −8


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le second degré Étude de la fonction trinôme du second degré

Reprise d’études faites (à priori) en classe de seconde.Décomposition utilisant la forme canonique :soit f la fonction trinôme du second degré définie par f (x)= ax2+bx+c (a 6= 0) etP sa courbe représentative dans un repère (O; #»

ı , #» ) du plan. On décompose la

fonction f sachant que pour tout réel x , f (x)= a

(

(

x +b

2a

)2

−b2−4ac

4a2

)

:


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x 7−→ x +b

2a7−→

(

x +b

2a

)2

7−→(

x +b

2a

)2

−∆

4a27−→ a

(

(

x +b

2a

)2

−∆

4a2

)

Dans cette décomposition,

la première fonction x 7−→ x +b

2aest croissante sur R(fonction affine

X 7→AX +B avec A= 1> 0) ;

la deuxième fonction est la fonction carré X 7−→X 2 dont on rappelle lesvariations : elle est strictement décroissante sur ]−∞;0] et strictementcroissante sur [0;+∞[ ;

la troisième fonction X 7−→X −∆

4a2est croissante sur R(fonction affine

X 7→AX +B avec A= 1> 0) ;

la quatrième fonction X 7−→ aX est une fonction affine (et même linéaire) quiest strictement croissante si a> 0 et strictement décroissante si a< 0 ;

par conséquent le sens de variation de f dépend de la position de x par rapport à

−b

2aet du signe de a, et les résultats sont rassemblés dans le


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Théorème

Soit f la fonction trinôme du second degré définie par f (x)= ax2+bx +c (a 6= 0)et P sa courbe représentative dans un repère (O; #»

ı , #» ) du plan.

Si a> 0, la fonction f : x 7−→ ax2+bx +c est strictement croissante sur[

−b

2a;+∞

[

et strictement décroissante sur]

−∞;−b

2a

]

; elle admet un

minimum en −b

2a, qui vaut −

∆

4a.

Si a< 0, la fonction f : x 7−→ ax2+bx +c est strictement décroissante sur[

−b

2a;+∞

[

et strictement croissante sur]

−∞;−b

2a

]

; elle admet un

maximum en −b

2a, qui vaut −

∆

4a.

La courbe P est une parabole de sommet le point de coordonnées(

−b

2a;−

∆

4a

)

.


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Les six cas de paraboles

1

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4-1-2

1

2

3

4

5

6

-1

-2

1 2 3-1-2-3

a> 0 et ∆> 0 a> 0 et ∆= 0


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1

2

3

4

5

6

7

-11 2 3 4-1-2

1

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4-1-2

a> 0 et ∆< 0 a< 0 et ∆> 0


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1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4-1-2 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4-1-2

a< 0 et ∆= 0 a< 0 et ∆< 0


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Exercices d’application :

Exercice 5 : Soit f définie par f (x)=−3x2−2x +7.Etablir son tableau de variations.

Exercice 6 : C est la courbe représentative de la fonction x 7−→p

x dans unrepère orthonormé (O; #»

ı , #» ).

Soit A(2,0) et M le point de C d’abscisse x (x Ê 0).Exprimer en fonction de x la distance AM , puis AM2, et déterminer le point de C

le plus proche de A.


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Polynômes



Définitions




Applications






Polynômes


Définition


Exercices



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Polynômes Quelques exercices d’introduction

Exercice 7 :

a. Soit f (x)= ax3+bx2+cx +d .On suppose que pour tout réel x , f (x)= 0.Montrer qu’alors a= b = c = d = 0.

b. On suppose que a, b, c et d sont quatre réels tels que, pour tout x ,ax3+bx2+cx +d = 5x3−3x2+x −7.Montrer qu’alors a= 5, b =−3, c = 1 et d =−7.


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Polynômes Quelques exercices d’introduction

Exercice 8 : On sait que pour tout réel x et pour tout réel a :x2−a2 = (x −a)(x +a) et x3−a3 = (x −a)(x2+ax +a2).

1. Factoriser x4−a4 (en remarquant que x4 = (x2)2). le présenter sous la forme

d’un produit de 2 facteurs, l’un étant x −a.

2. Développer (x −a)(x4+ax3+a2x2+a3x +a4). Remarque sur ces premièresquestions ?

3. Cas général : on veut factoriser xn −an (n étant un entier naturel supérieur ouégal à 1).

a. On pose f (x)= xn−1+axn−2+a2xn−3+·· · +an−2x +an−1.Que signifient les pointillés ?

b. Calculer alors xf (x) et af (x)en utilisant des pointillés, et en disposant les deuxégalités l’une en dessous de l’autre, en décalant les termes de la deuxième d’unrang vers la droite :xf (x)=af (x)=

Que peut-on dire de deux termes écrits l’un en dessous de l’autre ?c. Déduire des égalités ci dessus la factorisation de x

n −an sous forme d’un produit

de deux facteurs dont l’un est du premier degré en x .


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Polynômes Généralités sur les fonctions polynômes

Définition

Une fonction polynôme est une fonction f , définie sur R, pour laquelle il existeun entier naturel n et n+1 réels a0, a1, . . .an tels que, pour tout réel x , on a :

f (x)= anxn +an−1xn−1+·· ·+a1x +a0.

Remarque : On dira souvent « le polynôme anxn+an−1xn−1+·· ·+a1x +a0 »au

lieu de la fonction polynôme.La fonction constante x 7→ 0 s’appelle fonction polynôme nulle.

Définition

On appelle racine (ou zéro) d’un polynôme P tout réel x0 tel que P(x0)= 0.


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exemple :p

2 est une racine du polynôme P défini par P(x)= x2−2, mais ce n’estpas la seule ; −

p2 en est une autre (et ce sont les seules).

Propriété

Soit f : x 7−→ anxn +an−1xn−1+·· ·+a1x +a0 une fonction polynôme.

Si a0 = a1 = ·· · = an = 0, alors f est la fonction polynôme nul.

on a la propriété réciproque (établie dans des cas particuliers en exercices etadmise dans le cas général) :

Théorème

Soit f : x 7−→ anxn +an−1xn−1+·· ·+a1x +a0 une fonction polynôme.

Si pour tout réel x , f (x)= 0, alors a0 = a1 = ·· · = an = 0.


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Définition

Soit f : x 7−→ anxn +an−1xn−1+·· ·+a1x +a0 une fonction polynôme avec an 6= 0.

L’entier naturel n s’appelle le degré du polynôme ;

les réels a0, a1, . . .an sont les coefficients du polynôme ;

Soit i un entier compris entre 1 et n ; aixi s’appelle terme de degré i ; a0

est le terme constant ; anxn s’appelle aussi terme de plus haut degré.

Remarque : le polynôme nul n’a pas de degré.

Théorème Égalité de deux polynômes

Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même degré etmêmes coefficients.


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Théorème

La somme de deux polynômes est un polynôme, dont le degré est inférieur ouégal au plus grand degré de deux polynômes ;

le produit de deux polynômes est un polynôme, dont le degré est égal à lasomme des degrés des deux polynômes.

Remarque : la différence de deux polynômes est aussi un polynôme ; par contre, lequotient de deux polynômes n’est pas, en général, un polynôme. Contre exemple :

la fonction définie par f (x)=x3

x +1n’est pas une fonction polynôme (elle n’est pas

définie sur R).Challenge : trouver deux fonctions polynômes dont le quotient est une fonctionpolynôme (éviter les cas triviaux, comme celui où le diviseur est un polynôme dedegré 0).


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PolynômesFactorisation d’un polynôme dont on connaît une racine :

factorisation par x −a

Définition

On dit qu’un polynôme P est factorisable par un polynôme Q, s’il existe unpolynôme R tel que pour tout réel x ,

P(x)=Q(x)R(x).

Cas particulier :On dit que le polynôme P est factorisable par x −a s’il existe un polynôme R telque pour tout réel x , P(x)= (x −a)R(x).

Conséquence immédiate : si le polynôme P est factorisable par x −a, alors a estune racine de P (P(a)= (a−a)R(a)= 0×R(a)= 0).La propriété réciproque est-elle vraie ?


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Soit f la fonction polynôme définie par f (x)= 3x3−5x2+8x −6.1 Vérifier que 1 est racine de f .2 Écrire l’une en dessous de l’autre les deux égalités qui définissent le calcul de

f (x) et celui de f (1) :f (x)=f (1)=

3 Utiliser ce qui précède pour établir l’égalité (soustraire membre à membre cesdeux égalités) :

f (x)− f (1)= 3(x3−13)−5(x2−12)+8(x −1).

4 Utiliser le 2eexercice préparatoire pour factoriser chaque terme du deuxièmemembre de l’égalité ci-dessus par x −1.

5 Conclure en remarquant que f (1)= 0.

Exemple fondamental : le polynôme xn −an est factorisable par x −a (voir2eexercice préparatoire).


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Théorème

Pour tout polynôme P et tout nombre réel a, le polynôme P(x)−P(a) estfactorisable par x −a.

Ceci signifie que pour tout polynôme P et pour tout réel a, il existe un polynômeR tel que P(x)−P(a)= (x −a)R(x) pour tout réel x , ce qui équivaut encore àP(x)= (x −a)R(x)+P(a) pour tout réel x .Conséquence :

Théorème

Un polynôme P est factorisable par x −a si, et seulement si a est une racine de P .


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Pour factoriser un polynômeSoit P la fonction polynôme définie par P(x)= x4−4x2−x +2.Calculer P(2).En déduire une factorisation de P(x).Calculer P(1).Résoudre l’équation P(x)= 0.


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Polynômes Degré et racines

Soit P un polynôme non nul ayant k racines distinctes x1, x2, . . ., xk .Faire l’étude.Conclusion :

Théorème

Soit P un polynôme non nul ayant k racines distinctes x1, x2, . . ., xk . Alors ilexiste un polynôme R (non nul) tel que, pour tout réel x ,

P(x)= (x −x1)(x −x2) . . .(x −xk )R(x).

Conséquences :

a) si n est le degré du polynôme, on a n= k +deg(R) donc nÊ k .

b) si P est un polynôme de degré n avec n racines distinctes x1, x2, . . ., xn, alorspour tout réel x , P(x)= a(x −x1)(x −x2) . . . (x −xn), où a est un réel non nul.


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Polynômes Différentes méthodes de factorisation

Exemple : Vérifier que 2 est racine du polynôme x3+2x −12.


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Exemple : Vérifier que 2 est racine du polynôme x3+2x −12.On cherche un polynôme R(x) tel que x3+2x−12= (x−2)R(x). Quel est le degréde R(x) ?


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Exemple : Vérifier que 2 est racine du polynôme x3+2x −12.On cherche un polynôme R(x) tel que x3+2x−12= (x−2)R(x). Quel est le degréde R(x) ?On peut donc écrire R(x)= ax2+bx +c avec a, b c réels (a 6= 0). Développer(x −2)(ax2+bx +c).


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Exemple : Vérifier que 2 est racine du polynôme x3+2x −12.On cherche un polynôme R(x) tel que x3+2x−12= (x−2)R(x). Quel est le degréde R(x) ?On peut donc écrire R(x)= ax2+bx +c avec a, b c réels (a 6= 0). Développer(x −2)(ax2+bx +c). (x −2)(ax2+bx +c)= ax3+ (b−2a)x2+ (c −2b)x −2c .


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Exemple : Vérifier que 2 est racine du polynôme x3+2x −12.On cherche un polynôme R(x) tel que x3+2x−12= (x−2)R(x). Quel est le degréde R(x) ?On peut donc écrire R(x)= ax2+bx +c avec a, b c réels (a 6= 0). Développer(x −2)(ax2+bx +c). (x −2)(ax2+bx +c)= ax3+ (b−2a)x2+ (c −2b)x −2c .

Par identification des coefficients, on a :

a= 1b−2a= 0c −2b= 2−2c =−12

qui donne

a= 1b = 2c = 6

, d’où

x3+2x −12= (x −2)(x2+2x +6).


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Exemple Vérifier que −2 est racine de x4−x2+3x −6. On pose alors une grandedivision :X 4 − X 2 + 3X − 6 X +2


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X 4 + 2X 3 X 3


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X 4 + 2X 3 X 3

− 2X 3 − X 2 + 3X − 6


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2

+ 3X 2 + 3X − 6


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2 +3X

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2

+ 3X 2 + 3X − 6

+ 3X 2 + 6X


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2 +3X

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2

+ 3X 2 + 3X − 6

+ 3X 2 + 6X

− 3X − 6


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2 +3X −3

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2

+ 3X 2 + 3X − 6

+ 3X 2 + 6X

− 3X − 6

− 3X − 6


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X 4 + 2X 3 X 3 −2X 2 +3X −3

− − X 2 + 3X − 6

− 2X 3 − 4X 2

+ 3X 2 + 3X − 6

+ 3X 2 + 6X

− 3X − 6

− 3X − 6

0


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Fonctions rationnelles



Définitions




Applications






Fonctions rationnelles


Définition


Exercices



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Fonctions rationnelles Activités

La somme, le produit de deux fonctions polynômes est toujours une fonctionpolynôme ; de plus, on a

Théorème

Soient P et Q deux polynômes non nuls. Alors P +Q et PQ sont des fonctionspolynômes, et :

deg(PQ)= deg(P)+deg(Q)

deg(P +Q)Émax(deg(P);deg(Q))

Par contre, le quotient de deux fonctions polynômes n’est pas, en général, unefonction polynôme.


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Théorème






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Théorème






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Théorème






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Définition

On appelle fonction rationnelle toute fonction de la forme x 7−→P(x)

Q(x), où P et

Q sont deux fonctions polynômes.


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Réduction au même dénominateurSavoir établir une autre écriture


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Fonctions rationnelles Exercices

Exercice 1 : Dans chaque cas, préciser si la fonction f est un polynôme, et sioui, donner son degré :a) f1 : x 7−→ 2x3−4 ;b) f2 : x 7−→

px4 ;

c) f3 : x 7−→p

x6 ;

d) f4 : x 7−→x2−9x −3

;

e) f5 : x 7−→x4−4

x2+2;

f) f6 : y 7−→ (2y +1)(3−y)− (y2+y +1)+y3 ;

g) f7 : r 7−→ 2r +1+2

2r −1;

h) f8 : x 7−→ x2−1+1

x2+1.

Exercice 2 : Dans chaque cas, développer, ordonner et réduire l’expression desfonctions polynômes :a) f1(x)= (2x +3)3 ;b) f2(x)= (x −3)(2x −1)2 ;c) f3(x)= (x +3)3+2(x −1)2.

Exercice 3 : P et Q sont deux polynômes. Dans chaque cas, développer, réduireet ordonner suivant les puissances décroissantes les polynômes 2P+5Q, P ×Q, etThierry Wybrecht () Le second degré – Fonctions polynômes



Exercice 4 : Le réel x0 est-il une racine du polynôme f ?

a) f (x)= 2x3+5x2−4x −3 et x0 = 1 ;

b) f (x)= 3x3+2x2−x et x0 = 0 ;

c) f (x)= 2x3−x2+5x +3+p

3 et x0 =p

3 ;

d) f (x)= x2+5x −8−5p

2 et x0 =p

2+1.

Exercice 5 : De plus en plus fort !

a) Donner un polynôme de degré 3 ayant pour racines 1, 2 et 3.

b) Donner tous les polynômes de degré 3 ayant pour racines 1, 2 et 3.

c) Donner tous les polynômes de degré 4 ayant pour racines 1, 2 et 3.

d) Donner tous les polynômes de degré 4 ayant pour seules racines 1, 2 et 3.

Exercice 6 : Soit le polynôme P défini par P(x)= x3+5x2−8x −12.

a) Vérifier que 2 est une racine de P(x).

b) Factoriser P(x).

c) Résoudre l’équation P(x)= 0.

d) Résoudre l’inéquation P(x)< 0.


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Exercice 7 : Soit le polynôme P défini parP(x)= x3− (2+

p2)x2+ (2

p2−2)x +2

p2.

a) Vérifier quep

2 est une racine de P(x).

b) Factoriser P(x).

c) Résoudre l’équation P(x)= 0.

Exercice 8 : Soit f la fonction rationnelle définie par f (x)=2x2+5x −3

−x2+2x +15.

a) Déterminer son ensemble de définition.

b) Factoriser le numérateur et le dénominateur.

c) Simplifier l’expression de f (x).


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Exercice 9 : équations avec inconnue au dénominateur, se ramenant au 2nd

degré :résoudre :

a)3x +2x +1

=x

x −2;

b)1

x −3+

1x +2

=34

;

c) ;d) ;e) ;

Exercice 10 : Recherche : équation symétrique du quatrième degré.On considère l’équation :

(E ) : x4−4x3+2x2−4x +1= 0.

a) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E ).b) Démontrer que si x0 est une solution de (E ), alors son inverse 1

x0est aussi une

solution de (E ).c) Montrer que l’équation (E ) est équivalente à l’équation

x2−4x +2−4x+

1

x2= 0.

(

1)2


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Corrigé des exercices



Définitions




Applications








Définition


Exercices



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I. ∆= 64> 0, deux solutions, x1 =−46=−

23

et x2 = 2 (on aurait pu remarquer

une racine évidente, 2)

II. Signe de −5x2+3x −2 : ∆=−31< 0 donc le trinôme n’a pas de racines, et ilest du signe de a pour tout x : −5x2+3x −2< 0.Tableau de signes :

x −∞ 0 +∞

−2x − − 0 + +

−5x2 +3x −2 − − − −

produit + + 0 − −

III. Le trinôme a pour racines évidentes 0 et12

; il est du signe de a à l’extérieur

des racines donc S =]

−∞;0]

∪[

12;+∞

[

.


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IV. ∆= 8> 0, l’équation a deux solutions : x1 = 2+p

2 et x2 = 2−p

2.V.

1) On résout x2−5x +4= 0 ; 1 est racine évidente ; l’autre racine est 4 donc

Df =R \ {1;4}.2) Factorisons le numérateur et le dénominateur de f :

2x2−5x +3 a une racine évidente : 1, l’autre racine est3

2, donc

2x2−5x +3= 2(x −1)(x − 3

2)= (x −1)(2x −3),

x2−5x +4= (x −1)(x −4) d’après la question 1

donc pour tout réel x différent de 1 et de 4, f (x)=(x −1)(2x −3)

(x −1)(x −4)=

2x −3

x −4.

VI. x2 Ê 3⇐⇒ x2−3Ê 0. Les racines de x2−3 sontp

3 et −p

3 ; le théorème surle signe du trinôme permet de conclure : S =

]

−∞;−p

3]

∪[p

3;+∞[

.

VII.(

x +23

)2

+1Ê 1> 0 donc pas de solution (S =∅).

VIII. On pose X = x2, l’équation devient −X 2+6X +7= 0 qui est du second degré.∆= 64> 0, donc −X 2+6X +7= 0 possède deux solutions : X1 = 7 et X2 =−1.L’équation de départ équivaut donc à x2 = 7 (deux solutions : x1 =

p7 et

x2 =−p

7)ou x2 =−1 (pas de solution).

S ={

−p

7;p

7}

.


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IX. On factorise le trinôme −X 2+6X +7 :−X 2+6X +7=−(X −7)(X − (−1))=−(X −7)(X +1). En remplaçant X parx2 : −x4+6x2+7=−(x2−7)(x2+1).Pour tout x , −(x2+1)< 0 ; x2−7 est « du signe de a à l’extérieur desracines », d’où le tableau de signes :

x −∞ −p

7p

7 +∞

−(x2+1) − − −

x2−7 + 0 − 0 +

−x4+6x2 +7 − 0 + 0 −


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X. m2+76m−

12< 0⇐⇒ 6m2+7m−3< 0 (en multipliant par 6).

∆= 49+72= 121 donc le trinôme a deux racines : m1 =−1812

=−32

et

m2 =412

=13. Il est du signe de −a entre les racines, donc S =

]

−32;13

[

.

XI. ∆= 18−16= 2> 0 donc deux solutions : x1 =−3

p2−

p2

2=−2

p2 et

x2 =−3

p2+

p2

2=−

p2.

XII. On développe : (1−2x)(3x −5)= 4x2−9⇐⇒ 0= 10x2−13x −4.

∆= 169+160= 329> 0 donc deux solutions : x1 =13−

p329

20et

x2 =13+

p329

20.

XIII. ∆= 16+16= 32> 0 donc deux solutions : X1 =4−4

p2

−2p

2= 2−

p2 et

X2 =4+4

p2

−2p

2=−2−

p2


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XIV. On développe :(

x2−9)

−3(x +3)= 4⇐⇒ x2−3x −22= 0. ∆= 9+88= 97> 0

donc deux solutions différentes : x1 =3−

p97

2et x2 =

3+p

972

.

XV. On résout l’équation 2x2−x+1= 3x−1⇐⇒ 2x2−4x+2= 0⇐⇒ 2(x−1)2 = 0.La courbe et la droite ont un unique point commun : le point d’abscisse 1.Pour trouver l’ordonnée, il suffit de remplacer x par 1 dans l’une ou l’autredes équations (on trouve 2). Donc un point d’intersection : A(1;2).

XVI. D =R\ {−5;3} ; en mulptipliant par le produit des dénominateurs, on obtient(2x −1)(x −3)= (2−x)(x +5)⇐⇒ 3x2−4x −7= 0.

−1 est racine évidente, l’autre est73.

XVII. D =R\ {−1}. En multipliant les deux membres par (x +1) 6= 0 :x2+2x −1= (2x −1)(x +1)⇐⇒ 0= x2−xSsix(x −1)= 0, donc deux solutions,0 et 1.

XVIII. D =R\ {−2;2}. En multipliant à gauche et à droite par 5(x −2)(x +2) :15x(x −2)−5(x +1)(x +2)=−11(x −2)(x +2)⇐⇒ 10x2−45x −10=−11x2+44⇐⇒ 21x2−45x −54= 0⇐⇒ 7x2−15x −18= 0.

∆= 729> 0 donc deux solutions, x1 =15−27

14=−

67

et x2 =15+27

14= 3.


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aide des exercices axercices d’introduction

coup de pouce : pensez à la règle du produit nul.coup de pouce : il y a une solution évidente. Que pensez vous alors pouvoir faireavec l’expression x2−3x +2 ?


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Documents

Thierry Wybrecht m-à-j. d’une présentation de juillet 2005t.wybrecht.free.fr/IMG/pdf/secdeg2.pdf · Quelques exercices d’introduction Vocabulaire transformation de ax2 +bx c