Titre du coursvboyer5.free.fr/cours/asservissement _prof.pdf · 2007. 4. 4. · Lycée La Fayette PSI Cours 3) Modes de fonctionnement Pour se ramener à des systèmes mono variables,

Lycée La Fayette PSI Cours

AsservissementsI . Définition, structure et représentation ....................................................................... 3

1) Notion d’asservissement ...................................................................................... 3 a. Chaîne directe .................................................................................................... 3 b. Asservissements ................................................................................................ 3 c. Le régulateur ...................................................................................................... 5 d. Performances d’un système asservi .................................................................. 5

2) Modélisation, schéma bloc ................................................................................... 6 a. Modélisation des perturbations .......................................................................... 6 b. Schéma bloc ....................................................................................................... 6

3) Modes de fonctionnement .................................................................................... 7 a. Fonctionnement en poursuite (système suiveur, perturbation nulle) ................. 7 b. Fonctionnement en régulation (entrée nulle) ..................................................... 7 c. Fonctionnement réel ........................................................................................... 8

II . Boucle ouverte et boucle fermée .............................................................................. 9 1) Asservissement à retour unitaire .......................................................................... 9 2) Passage de la F.T.B.O. à la F.T.B.F. ................................................................. 10 3) Méthode graphique : l’abaque de Black-Nichols ................................................. 11

III .Stabilité ................................................................................................................... 13 1) Méthode générale (hors programme, pour information) .................................... 13

a. Une piste d’étude ............................................................................................. 13 b. Le contour de Bromwich .................................................................................. 15 c. Détection des zéros de 1+FTBO(p) ................................................................. 15 d. Images de Γ par FTBO (p) et par 1+FTBO(p) .................................................. 16 e. Le critère de NYQUIST .................................................................................... 16

2) Le « critère du revers » ....................................................................................... 16 a. Dans le plan de Nyquist ................................................................................... 17 b. Dans le plan de Black ...................................................................................... 18 c. Sur les diagrammes de Bode ........................................................................... 19

3) Marges de stabilité ............................................................................................. 20 a. Marge de gain .................................................................................................. 20 b. Marge de phase ............................................................................................... 20 c. Valeurs courantes (du "raisonnable") : ............................................................. 22 d. Le contour de Hall ............................................................................................ 22

4) Les causes d’instabilité ........................................................................................ 22 a. Influence du gain en boucle ouverte ................................................................ 22 b. Influence des constantes de temps ................................................................ 24 c. Influence des retards purs ................................................................................ 25 d. Influence des intégrateurs ................................................................................ 26

IV . Précision ............................................................................................................... 27 1) Précision en poursuite ........................................................................................ 27

a. Entrée impulsionnelle (a = 0) ........................................................................... 28 b. Entrée indicielle (a = 1) .................................................................................... 28 c. Entrée en rampe (a = 2) ................................................................................... 28

2) Précision en régulation ....................................................................................... 28 V . Correction ............................................................................................................... 30

1) Généralités – Objectifs ....................................................................................... 30 2) Conflits et compromis ......................................................................................... 30 3) Les principes de la correction ............................................................................. 30 4) Réseaux correcteurs .......................................................................................... 32

Asservissements Page 1 sur 37


a. Réseaux en cascade ........................................................................................ 32 b. Réseaux en réaction ........................................................................................ 32

5) La correction proportionnelle .............................................................................. 32 6) La correction intégrale ........................................................................................ 34 7) La correction dérivée .......................................................................................... 34 8) Le correcteur PID ................................................................................................ 35 9) Les correcteurs réels .......................................................................................... 35

a. Le correcteur PI ................................................................................................ 35 b. Le correcteur PD .............................................................................................. 36



1) Notion d’asservissement

Un système asservi est un objet technique susceptible de prendre en compte les effets qu’il produit sur son environnement, et de modifier automatiquement son comportement en conséquence

a.Chaîne directe

Une machine qui fonctionne en chaîne directe, c'est-à-dire sans contrôler l’effet qu’elle produit,n’est pas un asservissement .

Perturbations

Entrée Sortie

Les performances d’une telle machine sont limitées :

• Les perturbations modifient constamment le résultat obtenu, et ce de manière aléatoire

• Le maintient d’un résultat à peu prés constant nécessite l’intervention permanente d’un opérateur

• La conduite d’une machine rapide ou qui présente une tendance à l’instabilité est en général impossible « à la main »

b.Asservissements

L’objectif est de conduire une machine à l’aide d’un processus automatique, capable de faire mieux qu’un opérateur (plus vite, moins cher)

Pour réaliser un asservissement, il faut :

• Construire un signal de consigne qui représente le résultat que l’on souhaite obtenir

• Disposer d’informations aussi fraîches que possible sur le résultat produit par la machine : on installe pour cela un capteur qui fournit un signal de retour , image de la grandeur caractéristique de sortie

• Elaborer une commande judicieuse qui tienne compte non seulement de la consigne mais aussi du signal de retour: c’est le rôle du regulateur organe « intelligent » qui opère exclusivement sur de l’information.


I. Définition, structure et représentation

chaîne directe


Rappel de la structure d’un système automatisé (PO, PC, Pu)

Chaîne directe :

La machine qui fonctionne en chaîne directe évolue suivant les lois qui lui sont propres. Sa sortie peut librement fluctuer en fonction des perturbations extérieures aléatoires. La présence d’un retour d’information vers l’entrée (bouclage) permet maintenant de modifier automatiquement la commande.Les constituants du bouclage (capteurs, régulateurs) sont eux aussi susceptibles de subir l’influence de perturbations extérieures.

Attention, un système bouclé n’est pas nécessairement asservi. Exemple : Si le bouclage n’est pas réalisé par un capteur (voir moteur CC)

Système asservi :


PCR

égul

ateu

r

Pré-Actionneur

Capteur

PO

Actionneur

Effecteur

Mat

ière

d’o

euvr

ePU

Pré-Actionneur Actionneur

EffecteurCommande Sortie

DistributeurRelais…

VérinMoteur…

PincePoulie, roue…

Perturbations

Sortie

LpR+1

KcfpJ +

1p1

Ke

+ ++-

U

E

I CmCr

Ω Θ

N’est pas un asservissement (pas de capteur)

Pré-Actionneur Actionneur

EffecteurConsigne

Perturbations

Régulateur

CapteurRetour

CHAINE DIRECTE


c.Le régulateur

De nombreuses méthodes de régulation sont utilisées et de nombreux régulateurs performants existent, beaucoup traitent de l’information sous forme numérique. (ce n’est pas le cadre de ce cours car nous ne voyons que les systèmes continus). On les retrouve dans de nombreuses applications comme les régulateurs de vitesse sur les automobiles, les pilotes automatiques d’avion etc…

Dans le cadre de ce cours nous ne verrons qu’une méthode « de base » qui consiste à élaborer la commande à partir de l’écart entre la consigne et la sortie. Ce régulateur élémentaire comporte donc un comparateur et un correcteur.

Le comparateur élabore un signal appelé écart, égal à la différence entre l’image de la consigne et celle de la sortie obtenue par la boucle de retour. Il est donc essentiel que ces signaux soient de même nature (même unitée, même ordre de grandeur). Le signal d’écart renseigne donc à tout moment sur la distance qui sépare le résultat atteint par l’asservissement de l’objectif fixé par la consigne

La détermination du correcteur nécessite d’une part la connaissance des caractéristiques de la chaîne directe et d’autre part que les performances attendues du système asservi aient été définies

d.Performances d’un système asservi

STABILITE , pour une entrée bornée la sortie est bornée, absence de réponse divergente

PRECISION , aptitude à suivre une consigne, insensibilité aux perturbations

RAPIDITE , minimisation du temps nécessaire pour amener la sortie à la valeur voulue.


Chaîne directe

Capteur

+-

Consigne

Retour

I SortieCorrecteur

REGULATEUR

Ecart Commande


2) Modélisation, schéma bloc

Les comportements des différents éléments qui composent l’asservissement sont modélisés et peuvent être décrits par des équations différentielles linéaires que l’ont peut écrire dans le domaine symbolique.Il est donc possible de représenter un système asservi par un schéma bloc.

a.Modélisation des perturbations

On ne prend en compte que les perturbations qui interviennent au niveau de la chaîne directe. On considère que les capteurs et les correcteurs subissent des perturbations qui sont négligeables.

b.Schéma bloc

Dans le domaine symbolique on associe à chaque bloc fonctionnel sa fonction de transfert.

Avec :

• C : Correcteur• G1 : Chaîne directe en amont de l’entrée de perturbation• G2 : Chaîne directe en aval de l’entrée de perturbation• F : Capteur

Remarque : on est en présence d’un modèle qui comporte deux entrées et une sortie dont le comportement ne peut pas être traduit par une fonction de transfert (seuls les systèmes mono variables peuvent être modélisés par une fonction de transfert)


Chaîne directe

Capteur

+-

Consigne

Retour

I SortieCorrecteur

REGULATEUR

Ecart Commande

Peturbations

G1

F

+ ++-

Xc

R

UXp

YC G2

E


3) Modes de fonctionnement

Pour se ramener à des systèmes mono variables, on étudie l’asservissement en supposant que l’une des entrées est nulle.

a.Fonctionnement en poursuite (système suiveur, perturbation nulle)

On suppose que la perturbation est nulle et que l’entrée évolue au cours du temps. L’asservissement a pour objectif d’obliger la sortie à suivre l’entrée en respectant des contraintes de précision, rapidité et stabilité.

Le schéma bloc devient (perturbation nulle)

La fonction de transfert en poursuite est :

21

211 1 GFCG

GCGXcYH

+==

b.Fonctionnement en régulation (entrée nulle)

On suppose que l’entré est nulle et que la perturbation évolue au cours du temps. L’asservissement a pour objectif d’obliger la sortie à garder une valeur constante malgré l’influence des perturbations en respectant des critères de précision, rapidité et stabilité.

Le schéma bloc devient (entrée nulle)


G1

F

+-

Xc

R

U YC G2

E

G1 F

+-

Xp Y

C

G2


La fonction de transfert en régulation est :

21

22 1 GFCG

GXpYH

+==

c.Fonctionnement réel

En vertu du principe de superposition on peut écrire que :

21

22121 1 GFCG

XpGXcGCGXpHXcHY+

+=+=

Remarque : on ne peut pas mettre l’équation précédente sous forme de fonction de transfert puisque l’on a deux entrées.



1) Asservissement à retour unitaire

On peut représenter un asservissement par l’un ou l’autre des schémas suivants :

sans retour unitaire

avec retour unitaire

On appelle :• Fonction de transfert en chaîne directe:

21)( GCGpFTCD =

• Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO):

FGCGpFTBO 21)( =

• Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF) :

Avec retour unitaire

)(1)(

1)(

21

21

pFTBOpFTBO

FGCGFGCG

XcRpFTBF

+=

+==

Sans retour unitaire

)(1)(

1)(

21

21

pFTBOpFTCD

FGCGGCG

XcYpFTBF

+=

+==

Le point de vue à retour unitaire :

est plus réaliste car il est en général impossible d’observer la grandeur de sortie Y directement , une température, une vitesse, une force ou une pression ne sont connues que par les images R qu’en donnent des capteurs ;


II. Boucle ouverte et boucle fermée

G1

F

+-

Xc

R

U YC G2

E

G1 F+-

Xc RU YC G2

E


conduit à une fonction de transfert globale en boucle fermée (FTBF) qui s’exprime très simplement à partir de la seule F.T.B.O. ;

est équivalent au premier point de vue en termes de stabilité du bouclage, puisque les deux F.T.B.F. ont le même dénominateur, et par conséquent les mêmes pôles ;

majore les temps de réponse « vrais » obtenus par l’asservissement au niveau de la grandeur Y (si le capteur n’est pas un processus strictement proportionnel, R est en retard sur Y). On peut donc l’adopter pour étudier les réponses temporelles sans risquer une surestimation des performances du bouclage.

Comme il est toujours possible de choisir ce point de vue, et donc de se ramener à un bouclage à retour unitaire, nous l’adopterons systématiquement dans la suite.

2) Passage de la F.T.B.O. à la F.T.B.F.

Considérons un asservissement à retour unitaire physiquement réalisable dont la fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit sous forme canonique :

)()(

)()()(

1

1

pDpN

pK

ppzp

pKpFTBO

jn

j

im

iαα =

−Π−Π

==

=

Exprimons la F.T.B.F. :

)()()(

)()(1

)()(

)(1)()(

pKNpDppKN

pDpN

pK

pDpN

pK

pFTBOpFTBOpFTBF

+=

+=

+= α

α

α

ou encore :

)...1()...1(...1)(

11

1m

mn

n

mm

pbpbKpapappbpb

KpFTBF+++++++

+++= α

Le degré du numérateur vaut m et celui du dénominateur est égal à n .

Deux cas sont alors à considérer selon que α est nul ou non.

• α = 0 (F.T.B.O. de classe 0)La F.T.B.F. peut être mise sous la forme :

)(')(

1)(

pDpN

KKpFTBF+

=

le gain diminue



• α ≠ 0 (F.T.B.O. avec intégration)La F.T.B.F. se met alors sous la forme :

)('')(

)('')()(

pDpN

pDpN

KKpFTBF ==

Le gain est unitaire, la classe est nulle

Tableau de synthèse

F.T.B.O. : FTBO(p) F.T.B.F. : FTBF(p)Degré du

numérateur égal

Degré dudénominateur égal

Classe Quelconque nulle

Gain KClasse nulle 1+K

K

Classe non nulle 1

3)Méthode graphique : l’abaque de Black-Nichols

On a vu au paragraphe précédent que la fonction de transfert FTBF(p) d’un bouclage à retour unitaire peut se déduire de la F.T.B.O. en appliquent la « formule de Black » :

)(1)()(pFTBO

pFTBOpFTBF+

=

En particulier, les caractéristiques fréquentielles de FTBF(p) pourront être déduites graphiquement de celles de FTBO(p) si on parvient à représenter dans le plan complexe la transformation

zzZz

+=

1

On se place dans le plan de Black ; comme on peut caractériser Z par son module et son argument, on est conduit à représenter séparément les deux fonctions à valeurs réelles :



+ zzz

1arg , z

zz+1

au moyen des courbes de niveau de chacune d’elles.

Utilisation de l’abaque de BLACK-NICHOLS

On trace tour d’abord le lieu de Black de FTBO(p), gradué en pulsation.Les intersections du lieu de FTBO(p) avec les courbes iso-modules et iso-phases indiquent les valeurs respectives du module et de l’argument de H aux pulsations correspondantes.Le lieu de H peut ainsi se déduire de celui de FTBO(p) sans calcul.• Si le lieu de FTBO(p) est tangent à une courbe iso-module, il y a existence d’une

résonance pour H et on en déduit aisément la pulsation de résonance ωr et le facteur de surtension Q (rapport entre l’amplitude de résonance et l’amplitude en régime statique). La connaissance de ces valeurs permet de calculer la pulsation propre ω0 et le coefficient d’amortissement ξ, donc de connaître les propriétés des

réponses temporelles. ( 20 21 ξωω −=r , ξ

ω2

)( 0KjH = )



• Cette représentation permet de porter rapidement un jugement sur la stabilité du système en boucle fermée et de déterminer les types de corrections éventuelles.

exercice : retrouver phase et gain en BF et BO pour une pulsation de 1, rad/sVoir abaque 3D sur powerpoint

Nous avons vu que pour les asservissements régis par des équations différentielles à coefficients constants, la FTBO est une fraction rationnelle notée FTBO(p). La stabilité du système en boucle fermée à retour unitaire dépend des pôles de la FTBF qui sont les zéros de 1+FTBO(p).

Pour savoir si le système en boucle fermée est stable, il suffit donc de savoir si les zéros de 1+ FTBO(p) sont à partie réelle négative. (instable si positives)

On peut donc étudier la stabilité du système en boucle fermée à partir de la FTBO

1) Méthode générale (hors programme, pour information)

a.Une piste d’étudeSoit une fraction rationnelle qui possède m zéros et n pôles :

)()(

)(1

1

jn

j

im

i

ppzp

pR−Π−Π

==

=

Dans le plan complexe, choisissons arbitrairement un contour C fermé sans point double (sans « boucle »), qui ne passe ni par un pôle ni par un zéro de R, mais entoure certains de ces points, et intéressons-nous à l’image Γ de ce contour par la fonction rationnelle R c’est à dire à la courbe parcourue par le nombre complexe R(p) quand p se déplace sur C.

Le module et l’argument de R(p) sont donnés par :

)()(

)(1

1

jn

j

im

i

ppzp

pR−Π−Π

==

=et ∑∑

==−−−=

n

jj

m

ii ppzppR

11)()()(arg(

Si C ne rencontre ni pôle ni zéro, l’image de C par R est une courbe fermée qui ne passe jamais par l’origine.

Le comportement de Γ autour de l’origine du plan complexe dépend de l’évolution de l’argument de R quand p parcourt C. Les pôles et les zéros de R ont ici une influence différente selon qu’ils sont situés à l’extérieur ou à l’intérieur de C.Partons d’un point p du contour et déplaçons-nous avec p sur C dans le sens horaireLorsque le nombre complexe p a parcouru une fois le contour C dans le sens horaire :

les arguments des différences p-p1, p-p2 et p-z2 ont diminué chacun de 2π ;

ceux des quantités p-p3 et p-z1 ont retrouvé leur valeur initiale.


III.Stabilité

z1

z2

p1

p2

p3

p

s0

Arg(p-p1)

Arg(p-p2)

Arg(p-z2)

Arg(p-p3)

Arg(p-z1)

C

Re

Im


Lorsque p effectue un tour complet du contour C dans le sens horaire, l’argument de R diminue globalement d’un nombre de fois 2π égal à la différence entre le nombre de zéros et le nombre de pôles de R situés à l’intérieur de C. Arg(R)=2π*(nombre de pôles - nombre de zéros)Lorsque p parcourt une fois C dans le sens horaire, le point d’affixe R(p) parcourt Γ, image de C par R, et fait autour de l’origine du plan complexe un nombre de tours dans le sens horaire égal à la différence entre le nombre de zéros et le nombre de pôles de R situés à l’intérieur de C.

En prenant par exemple le cercle unitaire pour contour C , on met en évidence les pôles et les zéros de module inférieur à 1 ; le tableau ci-dessous montre les courbes Γ que l’on obtient, dans ce cas, pour diverses fonctions rationnelles R :

( )1 21 2

sRs js

+=+

2 tours en sens positif(2 pôles – 0 zéro)

( )11 2

sRs js

+=+

Γ contient l’origine(1 zéro sur C)

( )1 31 2

sRs js

+=+

1 seul tour sens positif(2 pôles –1 zéro)

( )1 31 2

s sR

s+

=−

1 tour en sens horaire(2 zéros – 1 pôle)

( )11 2

s sR

s+

=−

Γ contient l’origine (1 zéro sur C)

( )1 21 2

s sR

s+

=−

Origine extérieure à Γ(1 pôle – 1 zéro)

( ) 21 2R s js= +

3 tours sens horaire(3 zéros – 0 pôle)

( ) 21 2R s s= +

3 tours sens horaire(3 zéros – 0 pôle)

( ) 21

1 2R

s s=

+

3 tours sens positif(3 pôles – 0 zéro)


C

1


En appliquant ce résultat à R=1+FTBO(p) avec un contour C approprié, on va voir qu’il est possible de détecter les instabilités du bouclage.

b.Le contour de Bromwich

Pour détecter tous les zéros à partie réelle positive d’une fraction rationnelle, il faut prendre un contour C qui les contient tous :

On prend le rayon re du demi-cercle extérieur suffisamment grand pour que tous les pôles et tous les zéros à partie réelle positive soient à l’intérieur ;

Le demi cercle intérieur permet d’éviter l’origine, qui est un pôle quand FTBO(p) est de classe non nulle ; son rayon ri peut néanmoins être rendu aussi petit qu’on voudra.

Les parties rectilignes coïncident avec l’axe imaginaire.

Parcours du contour C Phase 1 Phase 2 Phase 2 Phase 4

Lieuparcouru

demi-axe imaginaire

positif« en montant »

demi cercle de rayon er

sens rétrograde

demi-axe imaginaire

négatif« en montant »

demi cercle de rayon ir

sens positif

Module de sCroissant

i er r→

Constant

er

Décroissant

e ir r→

Constant

ir

Argument de sConstant

2+ π

Décroissant

2 2+ π → − π

Constant

2− π

Croissant

2 2− π → + π

Le contour de Bromwich γ est le contour limite obtenu quand ri tend vers zéro et re vers l’infini. Afin de parcourir le demi-axe imaginaire positif dans le sens habituel (pulsations croissantes), on convient de tourner sur le contour de Bromwich dans le sens horaire.

c.Détection des zéros de 1+FTBO(p)Lorsque p se déplace sur le contour de Bromwich γ, son image par la fonction rationnelle R=1+FTBO(p) parcourt une courbe fermée Γ. Pour un tour complet de p sur γ dans le sens horaire, chaque pôle situé à l’intérieur du contour fait augmenter l’argument de R de 2π et chaque zéro situé à l’intérieur fait diminuer l’argument de R de 2π tandis que les pôles et les zéros situés à l’extérieur n’ont pas d’influence.

La courbe Γ fait par conséquent autour de l’origine et dans le sens horaire un nombre de tours égal à la différence entre le nombre de zéros et le nombre de pôles de R=1+FTBO(p) contenus à l’intérieur de γ.

Autrement dit, le nombre de zéros à partie réelle positive de 1+FTBO(p) est égal au nombre de tours que fait Γ autour de l’origine dans le sens horaire, diminué du nombre de pôles à partie réelle positive de 1+FTBO(p).

Or les fractions rationnelles FTBO(p). et 1+FTBO(p). ont exactement les mêmes pôles :


ri

re

Re

Im

C


)()()(

pDpN

pKpFTBO α= et )(

)()()()(1)(1

pDppKNpDp

pDpN

pKpFTBO α

α

α

+=+=+

On peut donc dire que le nombre de zéros à partie réelle positive de 1+FTBO(p) est égal au nombre de tours que fait Γ autour de l’origine dans le sens horaire, diminué du nombre de pôles à partie réelle positive de FTBO(p)..Lorsque FTBO(p) n’a que des pôles à partie réelle négative (ou éventuellement un pôle à l’origine), on est sûr que 1+FTBO(p) ne possède pas de zéros à partie réelle positive dès que Γ n’entoure pas l’origine.

d.Images de Γ par FTBO (p) et par 1+FTBO(p)On appelle lieu de Nyquist de FTBO(p) l’image Γ0 de γ par FTBO(p) L’image Γ de γ par 1+FTBO(p) se déduit du lieu de Nyquist Γ0 de FTBO(p) par une translation de +1 (vers la droite).

Pour savoir combien Γ fait de tours autour de l’origine, il suffit donc de regarder comment se comporte le lieu de Nyquist Γ0 de FTBO(p) autour du point (−1,0) appelé « point critique » : le nombre de tours effectués autour de ce point critique, dans le sens horaire, par le lieu de Nyquist Γ0 de FTBO(p) est en effet égal à la différence entre le nombre de zéros et le nombre de pôles de 1+ FTBO(p) contenus à l’intérieur du contour de Bromwich.

Attention : Le lieu de Nyquist Γ0 est une courbe fermée. Si le module de R devient infini, il est crucial de savoir comment évolue son argument, et donc comment se place la courbe par rapport à l’origine quand elle se referme. Faute de vérifier cela, on s’expose à de cruelles déconvenues...

e.Le critère de NYQUISTLorsque la F.T.B.O. ne possède aucun pôle à l’intérieur du contour de Bromwich, c’est-à-dire quand le système en boucle ouverte est stable, il sera aussi stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist de la F.T.B.O. n’entoure pas le point critique.Un système qui présente un pôle instable en boucle ouverte pourra être stabilisé par le bouclage si le lieu de Nyquist de sa F.T.B.O. entoure une fois le point critique dans le sens trigonométrique.

2) Le « critère du revers »Dans les cas usuels qui seuls nous intéressent ici, les fonctions de transfert FTBO(p) sont des fractions rationnelles en p à coefficients réels, et le degré du numérateur est inférieur ou égal à celui du dénominateur (systèmes physiquement réalisables).


Γ 0

+1

0 − 1 0

Γ

-1


a.Dans le plan de Nyquist FTBO(p*) = FTBO*(p) (image du conjugué = conjugué de l’image). Lorsque p

parcourt les deux demi-axes imaginaires (positif et négatif), FTBO(p) parcourt deux lieux symétriques par rapport à l’axe réel ; si ces lieux se coupent, leur intersection est sur l’axe réel.

Le processus en boucle ouverte étant physiquement réalisable, on a m n≤ . Par conséquent, quand le module de p devient très grand, celui de FTBO(p) tend vers zéro si m n< ou vers une valeur finie réelle si m n= . L’image du demi-cercle de rayon re du contour de Bromwich tend donc soit vers l’origine soit vers un point réel à distance finie selon que m n< ou que m n= . Quand ∞→p , l’extrémité du lieu de Nyquist de FTBO(p) tend vers un point de l’axe réel à distance finie.

Si on suppose de plus que GBO ne possède pas de pôles à partie réelle positive ou nulle, (sauf éventuellement à l’origine, qui est à l’extérieur du contour de Bromwich), le lieu de Nyquist de FTBO(p) et son symétrique forment une courbe qui, si elle entoure le point critique, ne peut le faire que dans le sens horaire (pas de pôles de FTBO(p) à l’intérieur de γ) il suffit donc de vérifier qu’on laisse le point critique à gauche quand on parcourt le lieu de Nyquist de FTBO(p) dans le sens des pulsations croissantes pour être sûr que le bouclage est stable.

Si la FTBO est stable, alors la FTBF ( bouclage de la FTBO) sera stable si le lieu de Nyquist de la FTBO parcouru dans le sens des pulsations croissantes laisse le point critique sur sa gauche


a-ib

a+ib

φ

-φ

Re

Im

-1FTBF Stable

Nyquist FTBO laisse le point critique sur la gauche



FTBF Stable

FTBF Stable

FTBF Stable

Si FTBO stable

-1-1

-1



b.Dans le plan de BlackLes coordonnées du point critique sont : gain = 0 dB, phase = −π

Quand on parcourt le lieu de Black de la FTBO dans le sens des pulsations croissantes, il faut passer « en dessous » du point critique (on laisse donc le point critique à droite).


gain

0

-180°

FTBF Stable quand FTBO passe en dessous

FTBF Instable quand FTBO passe au dessus

Si FTBO stable


c.Sur les diagrammes de BodeLe point critique n’est pas visible directement ; néanmoins, par analogie avec ce qui se passe dans le plan de Black, il est clair que la système bouclé sera stable si la fonction de transfert en boucle ouverte satisfait les critères suivants : pour la pulsation qui correspond à un gain de 0 dB, la phase est supérieure

à −180° ; pour la pulsation qui conduit à un déphasage de −180°, le gain (dB) est

négatif.


gain

phase

ω

ω

0

-180°

Marge de gain

Marge de phase


3) Marges de stabilitéLes critères de stabilité se présentent jusqu'à présent comme un ensemble de conditions mathématiques que l'automaticien doit appliquer au modèle qu'il a établi. Ils ne tiennent pas compte : Des erreurs de modèles, telles que : constantes de temps et retards purs

négligés (volontairement, ou non) qui provoquent des déphasages supplémentaires.

Des dérives des composants au cours du temps qui se traduisent, au niveau du modèle, par une variation de la fonction de transfert.

Il est concevable qu'un système réel dont le modèle serait « à la limite de la stabilité » au sens des critères, soit ou devienne instable. Pour éviter cette mauvaise surprise, l'automaticien applique les critères avec des marges « raisonnables », définissant ainsi une stabilité « sécurisée ».Ces marges sont de deux types :

a.Marge de gainOn appelle marge de gain le gain qu’il faudrait ajouter à la FTBO pour rendre le système bouclé instable.L’influence du gain de la F.T.B.O. sur la stabilité du système en boucle fermée apparaît de façon très simple sur les diagrammes logarithmiques (Bode et Black) : toute modification du gain se traduit simplement par une translation verticale de la courbe.Dans le plan de Nyquist, une modification du gain se traduit pour le lieu de Nyquist de la F.T.B.O. par une homothétie centrée sur l’origine. On aboutit aux mêmes conclusions que plus haut, mais il faut interpréter la marge de gain comme le logarithme du rapport. On peut aussi raisonner sur les diagrammes de Bode

La marge de gain se définit à la pulsation critique ω0 pour laquelle le déphasage de H0 est de -180°, par le nombre de décibels dont on peut augmenter le gain sans provoquer l’instabilité.

b.Marge de phaseOn appelle marge de phase le déphasage qu’il faudrait ajouter à la FTBO pour rendre le système instable (toutes choses égales par ailleurs).Elle permet de tolérer des déphasages supplémentaires. Elle se définit à la pulsation de coupure ωc à 0 dB par l’angle de phase additionnel qui rendrait le système instable.




Marges de gain et de phase sur les diagrammes de Bode.

ωc

Marge de gain

Marge de phase

ℑ

ℜ-1,0

Marges de gain et de phase sur un lieu de Nyquist.

ωc

MG=-20log(X)

MP (R=1)

X

-180°

0dB


c.Valeurs courantes (du "raisonnable") :

Marge de phase : 45° à 50 ° Marge de gain : 6 à 12 dB

d.Le contour de HallLe contour de Hall est l’isomodule +2,3 dB de l’abaque de Black. Dès lors que le lieu de la FTBO ne pénètre pas à l’intérieur de ce contour, on est assuré que le gain de la FTBF ne sera jamais supérieur à +2,3 dB. Or, on constate expérimentalement que, dans la majorité des cas usuels, les marges de phase et de gain sont alors respectées. L’examen de la position de la FTBO par rapport au contour de Hall constitue une méthode simple et rapide pour conclure sur la stabilité « sécurisée » du processus en boucle fermée.

4)Les causes d’instabilité

a.Influence du gain en boucle ouverte

Au niveau des gains, c’est plutôt une erreur de réglage qui peut aboutir à une instabilité.Sur l’abaque de Black, toute modification du gain se traduit par une translation verticale du lieu de Black de la F.T.B.O. ; une augmentation excessive de ce gain peut faire passer le lieu de Black au dessus du point critique, lorsqu’il possède des points à gauche de la verticale à −180°.


Marges de gain et de phase sur un lieu de Black.

ωc

Marge de gain

Marge de phase

Point critique (0db, -180°)


On notera qu’un processus du premier ordre en boucle ouverte ne peut pas devenir instable en boucle fermée , et qu’un processus du second ordre « classique » ne peut que s’approcher de l’instabilité en boucle fermée sans jamais devenir instable. Pour ces processus, on dira par conséquent que la marge de gain est infinie.En revanche, le lieu de Black d’un double intégrateur en B.O. passant par le point critique, on peut affirmer qu’un tel système restera instable malgré le bouclage.


gain

0

-180°

Diagrame de Black

Quand K augmente

FTBF stableFTBF instable

Premier ordre

Second ordre


b.Influence des constantes de temps

Exemple de l’influence d’une constante de temps - diagramme de BodeOn imagine un processus dont la F.T.B.O. peut être mise sous la forme :

)(1

1)( sGsT

sH+

=

Quelle est l’influence du paramètre T sur la stabilité du système en boucle fermée ? Pour deux valeurs différentes T1 et T2 de T, on peut écrire :

))(()1()1())(( 11 ω+ω+−=ω jGArgjTArgArgjHArg))(()1()1())(( 22 ω+ω+−=ω jGArgjTArgArgjHArg

d’où :)tan()tan())(())(( 1212 ω+ω−ω=ω TArcTArcjHArgjHArg

L’augmentation de la constante de temps provoque un retard supplémentaire susceptible de provoquer l’instabilité en boucle fermée.


Marge de gain

gain

phase

ω

ω

0

-180°

Marge de phase


c.Influence des retards pursOn imagine un processus dont la F.T.B.O. peut être mise sous la forme :

{ } )(exp)( sGsTsH −=Pour s = jω, l’exponentielle a un module unitaire, et un argument égal à −Tω. Comparer à la constante de temps précédente.


La FTBF devient de moins en moins stable puis instable

gain

phase

-180° 0

Quand T augmente


d.Influence des intégrateursLes intégrateurs ont le défaut d’introduire systématiquement une phase de −90°. Ils constituent donc une source d’instabilité. On se souvient qu’ils sont indispensables pour assurer une bonne précision : les objectifs de stabilité et de précision sont antagonistes.


Retranche 20log(ω) au gain

Retranche 90° à la phase

-90°-180°

Phase

Gain

Plus stable mais pas beaucoup d’influence

Moins stable et beaucoup d’influence

0


Considérons le système à retour unitaire suivant :

Pour étudier la précision de ce système, on étudie l’écart E à l’horizon temporel.Pour cela, on utilise le théorème de la valeur finale :

En présence d’une perturbation Xp, l’écart E est de la forme :

La précision d’un tel système dépend de la précision en poursuite (perturbation nulle) et de la précision en régulation (entrée nulle).

1) Précision en poursuiteLa perturbation Xp est nulle.

Posons :

et :

Alors :

Étudions la valeur de cet écart suivant les valeurs de a.


IV. Précision

)(.lim)(lim 0 pEpte pt →∞→ =

( )21 2

11 c pE X G X

C G G= − ×

+ × ×

1 21cXE

C G G=

+ × ×

)()(.

...1...1.

1

121 pD

pNpK

pbpbpapa

pKGGC n

n

mm

αα =++++++=××

ac pX 1=

)()(lim)(.lim)(

1

00

pDpNKp

ppEpea

pp

+==∞

−+

→→α

α

+ ++-

Xc

R

XpYC G1 G2E


a.Entrée impulsionnelle (a = 0)

b.Entrée indicielle (a = 1)

si α = 0 (pas d’intégrateur dans la F.T.B.O.),

si α ≥ 1 (au moins un intégrateur dans la F.T.B.O.),

c.Entrée en rampe (a = 2)

si α = 0 (pas d’intégrateur dans la F.T.B.O.),

.

. si α = 1 (un intégrateur dans la F.T.B.O.), si α ≥ 2 (au moins deux intégrateurs dans la F.T.B.O.),

Et, de manière plus générale :

2) Précision en régulationL’entrée Xc est nulle :

Posons :1

p aXs

= (a = 0 : impulsion ; a = 1 : échelon ; a = 2 : rampe ; …)

Alors :

Ou bien :


Pour pouvoir annuler complètement l’écart avec une consigne de la forme ( ) 1=c aX s

s , la F.T.B.O. du système doit comporter au moins a intégrateurs.

0

)()(lim)(

1

0 =+

=∞+

→

pDpNKp

pe pα

α

)()(lim)( 0

pDpNKp

pe p

+=∞ →

α

α

( ) 11

eK

∞ =+

( ) 0e ∞ =

)()(lim)(

1

0

pDpNKp

pe p

+=∞

−

→α

α

( )e ∞ → ∞( ) 1e

K∞ =

( ) 0e ∞ =

2

1 21pG X

E YC G G

×= − = −

+ × ×

( ) 210 0

1 2

1lim lim1as s

Ge s Es C G G−→ →

∞ = × = − ×+ × ×

( ) 101

2

1 1lim 1ase

s C GG

−→∞ = − ×

+ ×


Lorsque s tend vers zéro, la quantité 2

1G tend soit une valeur finie K2 si G2 ne

comporte pas d’intégrateur, soit vers zéro s’il en comporte un (ou plusieurs).

Alors, pour que y tende vers zéro à l’horizon temporel, il faut que le produit 1

1as C G− × × devienne infini quand s tend vers zéro.

1C G× doit donc être de la forme :

avec …………

On peut alors conclure :

Pour pouvoir effacer les effets d’une perturbation de type X p s=1sa

un système doit

comporter au moins a intégrateurs placés en amont du point d’injection de la perturbation.


( )( )

21 21

1 21 2

11

mm

nn

s s sKC Gs s s sα − α

− α

+ β + β + + β× = ×

+ α + α + + α

K

Ka≥α


1) Généralités – Objectifs

Lorsqu'on veut mettre en œuvre un processus pour réaliser une fonction, la marge de manœuvre sur le processus lui-même est en général assez réduite. La masse et l'encombrement des actionneurs, les caractéristiques des pré-actionneurs sont des paramètres dont les valeurs sont souvent imposées.Malgré tout, on souhaite en général que le système asservi réponde à de nombreuses contraintes :

• Précision• Rapidité• StabilitéLe point où le savoir faire de l'automaticien peut s'exercer, c'est dans l'élaboration du signal de commande du processus à partir de l'écart entre la consigne souhaitée et le résultat obtenu.

2) Conflits et compromisOn peut résumer les contraintes énumérées ci dessus en trois points : Vite, bien, sans affolement. Le problème est qu’ils sont contradictoires.

• Pour diminuer l'écart statique d'un système bouclé, et pour augmenter sa rapidité, une solution consiste à augmenter le gain. en boucle ouverte, mais on sait que toute augmentation du gain. conduit à s'approcher du point critique, souvent même à passer par dessus !

• Pour annuler l'effet d'une perturbation en échelon, on sait qu'il faut disposer d'un intégrateur…. Mais un intégrateur. introduit un déphasage de −90° sur toute la plage des fréquences, ce qui contribue aussi à se rapprocher du point critique.

On parle classiquement de «dilemme Stabilité-Précision». Toute la subtilité du concepteur doit s'exercer pour parvenir à concilier ces impératifs en apparence inconciliables.

3) Les principes de la correctionPour pouvoir corriger le comportement d’un système, on va essayer d’agir à des « endroits » différents suivant la caractéristique du système que l’on souhaite amèliorer :

• La stabilité est une notion dynamique, définie pour des pulsations élevées, proches de la (ou des) pulsation(s) de résonance.

• La précision statique correspond au comportement du système à l'horizon temporel, c'est-à-dire pour des pulsations faibles...


V. Correction


Si on arrive à séparer, au moyen de filtres judicieux, les différentes composantes du signal d'écart, on pourra leur appliquer un traitement adapté au moyen de différents correcteurs qui agiront dans des bandes de fréquences distinctes :1. Correcteurs proportionnels qui interviennent à toutes les fréquences, nécessaires

pour calibrer le signal de commande ;

2. Intégrateurs ou correcteurs à retard de phase qui agissent aux fréquences les plus basses ;

3. Correcteurs dérivés ou à avance de phase qui interviennent aux hautes fréquences, ou du moins autour des fréquences de résonance nuisibles.

Le principe de la correction apparaît clairement :

• augmenter le gain.. pour les faibles pulsations (amélioration de la précision) ;• diminuer le … gain …. aux pulsations élevées (augmentation de la marge de

phase) pour améliorer la stabilité.

Ceci se traduit, sur le diagramme de Nyquist suivant, par le tracé en traits épais.

Les correcteurs utilisés en pratique réunissent au sein d’un même bloc fonctionnel les possibilités de correction proportionnelle, intégrale et dérivée (P.I.D.).


Correction H.F.améliore la stabilité

Correction B.F.améliore la précision


4) Réseaux correcteursLes correcteurs sont en général placés le plus en amont possible afin de disposer des informations les plus récentes sur l'écart. On sait d'autre part que c'est en amont des perturbations que tout se décide...Toutefois, la place d'un correcteur n'est pas systématique.

a.Réseaux en cascade

b.Réseaux en réaction

5) La correction proportionnelle

Considérons la structure suivante :

Suivant les valeurs du gain proportionnel K, la réponse ( )y t devient de plus en plus rapide et précise mais ceci au détriment de la stabilité qui diminue.Observons le comportement du système bouclé en fonction de la variation du gain proportionnel K :

• sur les réponses indicielles et les diagrammes de Bode de la F.T.B.F. ;• sur les analyses harmoniques (Black et Nyquist) de la F.T.B.O..


Correcteur Y(s)X(s)-

+G(s)

F(s)

Correcteur

Y(s)X(s)-

+G

2(s)

F(s)

G1(s) G

3(s)

-

+

K YX−

+G


Lorsque le gain K de la boucle ouverte augmente :• la précision augmente (la

réponse temporelle de la boucle fermée tend vers 1 ; le gain en boucle fermée tend vers …0.dB) ;

• la rapidité augmente. (la réponse temporelle se rapproche de la consigne de plus en plus …vite…… ;;

• la stabilité …diminue….. (apparition d’oscillations dans le temporel et de résonance dans le fréquentiel en boucle fermée).


Tracés effectués pour un processus du 2ème ordre

Réponses temporelles

y

t

1

Diagrammes de Bode de la F.T.B.F.

L’augmentation du gain de la boucle ouverte se traduit par une translation …vers le haut….. sur le diagramme de Black et par une homothétie sur le diagramme de Nyquist de la F.T.B.O.. La courbe se rapproche du point critique, la stabilité diminue…

Black FTBO

Nyquist FTBO


6) La correction intégrale

Un correcteur intégral, dont la fonction de transfert est : ( )C sKTsi

i

= augmente

fortement le gain aux basses fréquences mais :• fait tendre le gain vers −∞ aux hautes fréquences (amplitude nulle) ;• créé un déphasage de −90°.

On aura plutôt tendance à utiliser un correcteur de type : ( )C sTsi

i

= +11

qui, malgré le

déphasage déstabilisant de −90° aux basses fréquences, a :• un déphasage nul aux hautes fréquences ;

• un gain nul à partir de la pulsation ω =1Ti

Les diagrammes de Bode d’un tel correcteur sont donnés ci-dessous.

7) La correction dérivéeUn correcteur dérivé pur est de type : ( )C s T sd d= +1 .Il provoque une avance de phase de 90° aux hautes fréquences et peut donc compenser les retards de phase déstabilisants mais augmente indéfiniment le gain aux hautes fréquences comme on peut le constater sur les diagrammes de Bode ci-

dessous.Ce correcteur n’est pas physiquement réalisable car :• il viole le principe de causalité (degré du numérateur supérieur au degré du

dénominateur) ;• sa réponse temporelle à un échelon serait infinie au moment de la transition.De toutes façons, un dispositif de ce type serait inutilisable car il amplifierait fortement tous les bruits parasites aux hautes fréquences.



On peut éventuellement le remplacer par un correcteur dérivé filtré aux hautes

fréquences dont la fonction de transfert s’écrirait : ( )C sT s

T sdd

d

=+1

8) Le correcteur PIDLes correcteurs PID ont la structure suivante.

9) Les correcteurs réelsLes correcteurs qu'on est susceptible de réaliser réellement ne peuvent avoir un gain infini. D'autre part, le dérivateur pur viole, on vient de le voir, le principe de causalité.On doit donc se contenter d'approximations.La solution consiste à utiliser comme correcteurs des filtres du premier ordre

généralisé dont les fonctions de transfert sont de la forme : ( )H s KT saT s

=+

+1

1

.

Ces correcteurs présentent l’intérêt de n’agir que localement en ce qui concerne le

déphasage (entre ω =1

aT et ω =

1T

).

a.Le correcteur PIDans le cas où a > 1, le correcteur PI a une fonction de transfert Ci égale à :

( )C s KT saT si

i

i=

++

→→

11

composante "dérivée" composante " intégrale"

C’est un filtre à retard de phase que nous avons déjà étudié Le comportement du correcteur seul est connu. Son action dans les basses fréquences apparaît clairement sur les diagrammes de Bode de la F.T.B.O. ci-dessous.


ωω

Proportionnel

Intégral

Dérivé


b.Le correcteur PDDans le cas où a < 1, le correcteur PD a une fonction de transfert Cd égale à :

( )C s KT saT sd

d

d=

++

→→

11

composante "dérivée"composante " filtre HF"

C’est un filtre à avance de phase que nous avons déjà étudié (voir § VI.7.10.)Le comportement du correcteur seul est connu. Son action stabilisatrice apparaît clairement sur les diagrammes de Bode de la F.T.B.O. ci-dessous.


dB

d°

0

0

-90

-180

-270

Amplitude du correcteur

Amplitude initiale

Amplitude corrigée

Phase initiale

Phase corrigée

Phase du correcteur



dB

ω

ω

d°

0

0

-90

-180

-270

Amplitude corrigée

Amplitude initiale

Amplitude du correcteur

Pulsation corrigée

Pulsation initiale

Marge de phase initiale

Marge de phase corrigée

Phase initiale

Phase corrigée

Phase du correcteur

Documents

Titre du coursvboyer5.free.fr/cours/asservissement _prof.pdf · 2007. 4. 4. · Lycée La Fayette PSI Cours 3) Modes de fonctionnement Pour se ramener à des systèmes mono variables,