ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE – PARTIE D

TITRE : Du simple au complexe en mécanique des fluides Temps de préparation : 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury : 10 minutes Entretien avec le jury : 10 minutes GUIDE POUR LE CANDIDAT :

Le dossier comporte au total :

Un document principal de 11 pages. Travail suggéré au candidat :

- En vous aidant des dualités présentées dans le texte, synthétiser les différentes simplifications possibles en mécanique des fluides, en fonction des hypothèses faites sur le fluide et la nature des écoulements.

- Illustrer la présentation en choisissant un exemple d’étude à réaliser et en donnant le modèle de fluide et l’approche les plus adaptés à cette étude.

- Donner des exemples de dualités similaires dans d’autres domaines de la physique (mécanique des solides, automatique…).

CONSEILS GENERAUX POUR LA PREPARATION DE L’EPREUVE :

Lisez le dossier en entier dans un temps raisonnable. Réservez du temps pour préparer l’exposé devant le jury.

- Vous pouvez écrire sur le présent dossier, le surligner, le découper … mais tout sera à

remettre au jury en fin d’oral. - En fin de préparation, rassemblez et ordonnez soigneusement TOUS les documents

(transparents, etc) dont vous comptez vous servir pendant l’oral, ainsi que le dossier, les transparents et les brouillons utilisés pendant la préparation. En entrant dans la salle d’oral, vous devez être prêts à débuter votre exposé.

- A la fin de l’oral, vous devez remettre au jury le présent dossier, les transparents et les brouillons utilisés pour cette partie de l’oral, ainsi que TOUS les transparents et autres documents présentés pendant votre prestation.

1

Introduction

La dynamique des fluides est la science qui étudie le mouvement des fluides dont il s’agit

de déterminer les propriétés (pression, vitesse, température, masse volumique, etc.) dans tout

le champ de l’écoulement comme des fonctions de l’espace et du temps. Cette discipline se 5

décline dans de nombreuses applications comme par exemple l’aérodynamique,

l’hydrodynamique ou encore la météorologie.

Les équations fondamentales de la dynamique des fluides expriment la conservation de la

masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Elles constituent un système complexe

d’équations aux dérivées partielles, le modèle de Navier-Stokes, qu’il n’est envisageable de 10

résoudre que numériquement ou dans des cas de figure permettant de les simplifier. En

fonction du fluide à étudier ou du type d’écoulement considéré, il est parfois possible de

négliger certains termes des équations ou de considérer certaines propriétés du fluide

constantes au cours du mouvement, ce qui rend le modèle plus facile à résoudre. Au cours du

développement de cette science, certaines de ces simplifications sont devenues des 15

« classiques » et ont entraîné une sorte de « cloisonnement » de la dynamique des fluides en

différents sous-ensembles qui correspondent à différents types d’hypothèses et qui permettent

différentes approches d’un problème. On peut ainsi dégager un certain nombre de dualités

dont nous allons donner quelques exemples dans ce texte.

20

1. Écoulement compressible ou incompressible

Un écoulement est dit compressible si les variations de pression en son sein sont

suffisamment importantes pour engendrer des modifications non négligeables de la masse

volumique du fluide considéré. Les écoulements de liquides ou ceux concernant des gaz 25

affectés de vitesses très inférieures à la vitesse du son sont dits « incompressibles », et l’on

considère alors la masse volumique du fluide constante, ce qui permet de simplifier les

équations de Navier-Stokes.

Ainsi, pour les liquides, on pourra généralement appliquer le modèle incompressible,

excepté si les conditions sont telles que des changements de phase puissent se produire 30

(cavitation par exemple). Pour les gaz en revanche, il est nécessaire de s’intéresser aux

gammes de vitesses mises en jeu. On considère pour cela un nombre sans dimension bien

connu en aérodynamique : le nombre de Mach, défini comme le rapport entre la vitesse de

2

l’écoulement V et la vitesse du son a : aVM = . Le nombre de Mach permet de distinguer les

régimes subsonique (M<1), supersonique (1<M<5) et hypersonique (M>5). D’autre part, on 35

peut montrer que pour des écoulements dont le nombre de Mach est inférieur à 0.2, le résultat

du calcul de la vitesse fait en considérant le fluide incompressible ne diffère pas de plus de

1% de la valeur trouvée en prenant en compte la compressibilité. C’est la raison pour laquelle

on distingue au sein du régime subsonique la plage des écoulements incompressibles et celle

des écoulements où les effets de compressibilité dus au mouvement ne peuvent plus être 40

négligés.

Par exemple, pour une voiture particulière ordinaire, les vitesses maximales couramment

atteintes sont de l’ordre de 150 km/h (41.7 m/s, soit M=0.12 avec dans les conditions

normales : a=340 m/s pour l’air). On se situe donc dans le cas du régime incompressible.

Par contre, pour un avion civil, le nombre de Mach de croisière se situe autour de M=0.8, 45

imposant ainsi la prise en compte des effets de compressibilité. Ces derniers sont par ailleurs

indispensables si l’on souhaite s’intéresser aux problèmes acoustiques car les ondes sonores

ne peuvent être traitées qu’à partir des équations de Navier-Stokes compressibles. Une

illustration très connue de ces aspects est le fameux « bang sonique » entendu lorsqu’un avion

franchit le « mur du son », i.e. dépasse Mach 1. Ce bruit constitue la signature acoustique des 50

compressions brutales (ondes de choc) subies par l’écoulement autour de l’avion en

mouvement à ces vitesses très importantes.

2. Fluide parfait ou visqueux 55

Au cours du mouvement d’un fluide, les molécules transportent leur masse, leur quantité

de mouvement et leur énergie d’un point à un autre du milieu. Ces processus de transport à

l’échelle moléculaire se traduisent à l’échelle macroscopique par les phénomènes de diffusion

de masse et de quantité de mouvement ainsi que par la conduction thermique. La diffusion de

quantité de mouvement s’effectue par frottement des couches fluide les unes sur les autres et 60

le coefficient de diffusion associé s’appelle la viscosité du fluide (µ=1.85 10-5 kg·m-1·s-1 pour

l’air dans les conditions normales de température et de pression). Cette propriété est

notamment à l’origine d’efforts de frottement lorsque le fluide est en contact avec une paroi

solide. Sa contribution n’est cependant pas systématiquement primordiale pour obtenir une

restitution correcte de la réalité d’un écoulement : sous certaines conditions, la viscosité peut 65

être négligée. On considère alors un fluide à viscosité nulle : le fluide parfait.

3

Les problèmes de type visqueux sont ceux pour lesquels les frottements ont une influence

notable sur la solution. Lorsqu’on souhaite évaluer si l’approche fluide parfait peut être

envisagée pour un problème, on a classiquement recours au nombre de Reynolds : µρVL

=Re , 70

où ρ et µ sont respectivement la masse volumique et la viscosité du fluide, V une échelle de

vitesse caractéristique du problème et L une échelle de longueur similaire. Ce nombre permet

de comparer les effets « d’inertie » liés à la quantité de mouvement du fluide (au numérateur),

et les effets visqueux liés à la viscosité (au dénominateur). Ainsi, à très faible nombre de

Reynolds, on a affaire à des écoulements dits « de Stokes », pour lesquels les effets visqueux 75

sont prépondérants et les forces d’inertie négligeables. Au contraire, à grand nombre de

Reynolds, les effets d’inertie dominent les effets visqueux et il devient donc licite d’adopter le

modèle fluide parfait. Il est parfois nécessaire d’associer les deux modélisations. En effet,

même lorsque le nombre de Reynolds est élevé, lorsque le problème à traiter contient des

parois, il n’est plus possible de négliger la viscosité au voisinage de celles-ci car le fluide 80

s’arrête sur la paroi (condition « d’adhérence » ou de vitesse pariétale nulle) et un mouvement

à vitesse plus faible qu’à « l’infini amont » (V∞) prend naissance dans une zone confinée au

voisinage immédiat des parois : c’est la « couche limite ». Au sein de cette zone, la vitesse

varie donc de zéro à la paroi jusqu’à V∞ sur la frontière supérieure de la couche limite (cf.

figure 1). Il faut par conséquent dans ces cas de figure associer les équations du fluide parfait 85

qui sont valables à l’extérieur de la couche limite, aux équations de Prandtl qui constituent le

modèle adéquat à l’intérieur de la couche limite en incluant en particulier les termes visqueux.

90 Fig. 1 – Notion de couche limite (l’épaisseur de la couche limite est très amplifiée sur le

schéma par rapport à la réalité).

4

Ces considérations sont très importantes, notamment lorsqu’on souhaite calculer les

efforts aérodynamiques sur un objet en mouvement dans l’air. Si l’on n’adopte pas une 95

modélisation correcte du fluide considéré, on peut aboutir à des conclusions erronées.

L’exemple le plus connu est certainement le fameux paradoxe de d’Alembert : si l’on

considère un écoulement autour d’un cylindre comme illustré sur la figure 2, l’approche fluide

parfait conduit à conclure que ce fluide n’exerce aucun effort sur le cylindre, ce qui ne

correspond évidemment pas à la réalité. Cette conclusion provient du fait qu’en négligeant la 100

viscosité, on n’a aucun frottement sur la paroi du cylindre et la répartition de la pression est

symétrique, ce qui conduit aussi à une contribution intégrale nulle pour les efforts de pression.

105

110

Fig. 2 – Allure d’un écoulement de fluide parfait autour d’un cylindre et répartition de

pression associée. 115

Par contre, lorsqu’on prend en compte la viscosité du fluide, on retrouve un effort de

traînée notamment, qui provient à la fois des frottements pariétaux ainsi introduits et d’une

« dissymétrisation » de la répartition de pression comme illustré sur la figure 3. On lève ainsi

le paradoxe de d’Alembert. 120

125

5

130

135

Fig. 3 – Allure d’un écoulement de fluide visqueux autour d’un cylindre et répartition de

pression associée. 140

3. Approche bi- ou tri-dimensionnelle

La réalité physique est tridimensionnelle par nature. On ne peut donc espérer restituer un

écoulement dans toute sa complexité qu’en utilisant un modèle tridimensionnel. Parfois 145

cependant, sous certaines approximations, une étude bidimensionnelle peut s’avérer suffisante

pour dégager les caractéristiques essentielles d’une configuration.

C’est par exemple le cas lorsqu’on souhaite étudier les caractéristiques aérodynamiques

des ailes d’avion. Un profil est une coupe transversale d’aile comme illustré sur la figure 4.

L’envergure de l’aile est généralement suffisamment importante pour que l’on puisse 150

considérer que l’écoulement est identique sur toutes ses coupes transversales, tout au moins

sur la majorité d’entre elles, situées suffisamment loin des bouts d’aile. On peut donc

s’attendre à ce que les qualités aérodynamiques de l’aile (portance et traînée en particulier)

soient en fait dictées en grande partie par la forme de son profil caractéristique. Il est donc très

pertinent de s’intéresser à l’écoulement sur un profil et d’adopter ainsi une approche 155

bidimensionnelle de l’aile afin de dégager ses performances aérodynamiques en première

approximation.

6

Fig. 4 – Illustration de la configuration d’écoulement sur aile d’avion 160

et de la notion de profil associé.

Toutefois, cet exemple permet également d’illustrer que l’approche bidimensionnelle

n’est pas suffisante pour rendre compte de l’ensemble de l’écoulement réel sur l’aile. Celle-ci

n’est en effet pas d’envergure infinie et des effets spécifiques apparaissent notamment en bout 165

d’aile. Ils sont qualifiés « d’effets tridimensionnels » car associés à une limite de la direction

privilégiée de la géométrie qui conférait à l’approche bidimensionnelle décrite précédemment

toute sa pertinence. Ces effets tridimensionnels sont caractérisés par l’apparition de

tourbillons de taille importante en bout d’aile, appelés « tourbillons marginaux » (cf. figure

5). Ces derniers vont augmenter la traînée globale de l’aile en rajoutant un terme à la « traînée 170

2D » déterminée pour le profil. Cette traînée est appelée la « traînée induite ».

175

180

Fig. 5 – Allure des tourbillons marginaux.

7

185

Ces tourbillons trouvent leur origine dans la différence entre les pressions régnant sur les

deux faces de l’aile : si l’on revient en effet rapidement à un profil d’aile en incidence, on peut

constater que les particules fluides qui passent en dessous du profil (côté « intrados ») sont

ralenties, tandis que celles passant en dessus (côté « extrados ») sont accélérées, ce qui

conduit finalement à la présence d’une surpression à l’intrados et d’une dépression à 190

l’extrados par rapport à la pression uniforme régnant à l’infini amont (cf. figure 6).

Fig. 6 – Répartition de pression classique autour d’un profil.

195

Cette différence de pression est d’une part à l’origine de la force de sustentation (la

portance) exercée par le fluide sur le profil et qui permet aux avions de voler ; mais elle est

par ailleurs responsable de mouvements « parasites » en bout d’aile où l’air va avoir tendance

à passer des hautes aux basses pressions afin de les équilibrer (cf. figure 7). Si l’on combine

ce mouvement au déplacement d’ensemble du fluide incident à la vitesse V∞, on obtient le 200

mouvement tourbillonnaire décrit plus haut.

205

Fig. 7 – Mécanisme à l’origine des tourbillons marginaux.

8

4. Écoulement laminaire ou turbulent

Une autre caractéristique importante en dynamique des fluides concerne le régime 210

d’écoulement dans lequel on se place. On est ainsi amené à considérer deux grandes

catégories d’écoulements : les écoulements laminaires et les écoulements turbulents.

Le régime laminaire se caractérise par un glissement des couches fluides les unes sur les

autres. Il présente ainsi une « régularité structurelle » qui se traduit au niveau des variables de

l’écoulement (vitesse, pression, masse volumique, température…) par des variations de faible 215

amplitude et très basses fréquences. Par comparaison, le régime turbulent se distingue par une

agitation du fluide et l’apparition de structures tourbillonnaires. Ces deux régimes

d’écoulement sont illustrés dans la figure 8.

220

225

Fig. 8 – Illustration des régimes laminaire et turbulent. (a) Ecoulement d’eau à surface

libre : régime laminaire à gauche et faiblement turbulent à droite.

(b) Jet d’hélium pleinement turbulent 230

En régime turbulent, les variables de l’écoulement subissent des fluctuations erratiques

tant en amplitude qu’en fréquence, qui sont intrinsèques à ce régime et constituent en quelque

sorte la « signature » locale de l’agitation turbulente.

Ainsi, en régime laminaire, les variables caractéristiques de l’écoulement sont des 235

fonctions déterministes de l’espace et du temps, au sens où la répétition d’un mouvement réel

à partir de conditions initiales et aux limites identiques redonne des valeurs identiques à ces

fonctions, aux seules incertitudes de mesure près. En régime turbulent, il n’en va plus ainsi.

Diverses réalisations d’un « même écoulement » fournissent, pour toute grandeur prise en des

points et des instants homologues, non pas une valeur, mais un ensemble de valeurs : la 240

mesure cesse d’être répétitive et son résultat devient aléatoire. On est donc conduit à adopter

(a) (b)

9

une approche statistique en s’intéressant aux lois de probabilité de cet ensemble de valeurs et

en décomposant le mouvement instantané en une partie moyenne ),,,( zyxtU et une partie

fluctuante ),,,( zyxtu , ce qui s’écrit sur la composante longitudinale de la vitesse par exemple :

),,,(),,,(),,,( zyxtuzyxtUzyxtU += . La turbulence est ainsi le siège d’une superposition 245

d’écoulements d’échelles différentes, ce qui en rend son étude d’autant plus complexe.

La plupart des écoulements industriels sont turbulents et l’on est généralement obligé

d’en tenir compte dans le modèle d’étude si l’on souhaite atteindre un degré d’analyse

suffisamment fin pour optimiser un système particulier. Il est souvent indispensable de

prendre en compte cet aspect : si l’on revient sur les tourbillons marginaux introduits au 250

paragraphe précédent, on peut signaler qu’ils génèrent derrière l’avion un sillage turbulent de

grande intensité qui ne se dissipe qu’après un laps de temps qui dépend de la taille de

l’aéronef et qui peut atteindre plusieurs minutes. Ceci rend donc nécessaire sur les pistes des

aéroports d’espacer suffisamment les décollages et les atterrissages car un avion de taille

modeste qui suivrait de trop près un avion plus imposant pourrait se trouver piégé dans le 255

sillage turbulent de ce dernier et être confronté à de graves problèmes de contrôle.

5. Confrontations théorie/expérience et expérience/simulation numérique

L'étude des caractéristiques d'un écoulement autour d'un corps plongé dans un fluide peut 260

faire l'objet de différentes méthodes. Si l'approche théorique pure existe, elle est rapidement

mise en défaut par la complexité des phénomènes. Les équations décrivant le mouvement

d’un fluide sont en effet non-linéaires et fortement couplées (i.e. les variables de l'écoulement

interviennent dans plusieurs équations simultanément), si bien que les solutions analytiques

exactes des équations n’existent que dans des cas extrêmement simplifiés et peu représentatifs 265

de la réalité. Ainsi, l'expérimentation constitue un moyen plus efficace pour décrire un

écoulement. Elle est pratiquée sur les corps réels (lors d'essais en vol sur avion par exemple),

mais elle intervient aussi dans la phase de conception sur modèles réduits (lors d'essais en

soufflerie ou en tunnel hydrodynamique par exemple).

Par ailleurs, le développement extraordinaire de l’informatique a entraîné pour les 270

sciences de l’ingénieur une révolution dans les méthodes d’étude théorique. Cette révolution,

que l’on peut faire remonter au début des années soixante, a conduit à l’émergence de

nouvelles disciplines, telles que la Mécanique des Fluides Numérique (ou CFD pour

Computational Fluid Dynamics), qui joue un rôle de plus en plus important dans la

10

conception et l’optimisation des engins navals ou aériens. Nous avons vu que les écoulements 275

de fluide peuvent être décrits par un système d’équations aux dérivées partielles (le modèle de

Navier-Stokes) que l’on ne peut résoudre analytiquement que dans des cas très simplifiés. Il

est donc intéressant de chercher à obtenir numériquement des solutions approchées de ces

équations. C’est le rôle de la Mécanique des Fluides Numérique.

L’approche expérimentale permet, moyennant le respect d’un certain nombre de 280

conditions dites « de similitude », de reproduire sur modèles réduits des écoulements

représentatifs de la réalité (il faut notamment que le nombre de Reynolds caractéristique de

l’écoulement sur le modèle réduit soit identique, ou tout au moins le plus proche possible, du

nombre de Reynolds de l’écoulement réel). Cette approche est alors un bon moyen pour

mesurer des paramètres globaux tels que par exemple, dans le domaine de l’aérodynamique, 285

la portance et la traînée d’un corps ainsi que ses coefficients d’échange thermique. Toutefois,

dans certains cas, les mesures expérimentales ne permettent pas d’avoir accès à toutes les

grandeurs nécessaires pour décrire suffisamment dans le détail un écoulement.

Il apparaît alors qu’une alternative à l’expérimentation doit être trouvée. Or, certains

problèmes rencontrés dans la mise en place d’une expérience peuvent facilement être résolus 290

par un traitement numérique de la configuration. Par exemple, si l’on veut reproduire dans

une soufflerie l’écoulement autour d’une voiture en mouvement, il est non seulement

nécessaire de souffler de l’air sur la maquette de la voiture à la vitesse permettant d’obtenir le

nombre de Reynolds équivalent à la situation réelle, mais il faut également que le sol sur

lequel repose le modèle réduit soit en mouvement à la même vitesse que le « vent ». Un tel 295

montage est parfois difficile à réaliser expérimentalement, mais ne pose par contre aucun

problème du point de vue numérique. D’autre part, lorsque l’on résout avec précision les

équations de Navier-Stokes tridimensionnelles et instationnaires, on obtient une base de

données complète sur l’écoulement qui permet d’obtenir la valeur de n’importe quelle

grandeur physique intéressante en tous les points du maillage. 300

Toutefois, l’approche numérique ne constitue en aucun cas une panacée puisque les

avantages que nous venons de mentionner ne deviennent tangibles que si l’on est

effectivement capable d’assurer une résolution suffisamment précise des équations de Navier-

Stokes complètes, chose actuellement irréalisable dans les situations industrielles présentant

un intérêt pratique. Il est alors indispensable de simplifier les équations en introduisant des 305

modèles pour certains phénomènes physiques tels que la turbulence ou la combustion afin de

réduire le coût des calculs. Ces modèles doivent être validés afin de reproduire correctement

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la réalité, ce qui ne peut avoir lieu qu’en réalisant des comparaisons avec l’expérience sur des

cas tests appropriés. 310

Conclusion : Dualité ou complémentarité ?

Un certain nombre de dualités concernant la nature du fluide à considérer ou l’approche à

mettre en place pour étudier un écoulement ont été présentées dans ce texte. On pourrait avoir

tendance à opposer ces différentes manières de considérer le fluide ou d’aborder son étude, 315

mais il faut garder à l’esprit que le choix de la bonne méthode sera celui qui permettra

d’atteindre le degré de précision souhaité au moindre coût du point de vue de la complexité de

l’étude. On peut reprendre ici l’exemple de la détermination de la traînée globale d’un avion.

Celle-ci se décompose en une somme de différentes contributions :

Traînée totale = Traînée de frottement incompressible à portance nulle 320

+ Traînée induite incompressible

+ Traînée de compressibilité (due aux ondes de choc)

+ …

On constate alors qu’en fonction du choix fait sur la nature du fluide (parfait ou visqueux,

compressible ou incompressible) et de l’approche bi ou tridimensionnelle, on sera susceptible 325

de restituer plus ou moins de contributions à la traînée totale.

Finalement, on peut aussi se rendre compte à la lecture du dernier paragraphe du texte que

les approches citées (théorique, expérimentale ou numérique) sont davantage

complémentaires que duales, en particulier dans les phases de mise au point et d’optimisation

d’un système. 330