TMF corrigé TD n°3 Venturi + Transpir. + Couette

7/24/2019 TMF corrig TD n3 Venturi + Transpir. + Couette

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PLE PHYSIQUE

TD TRANSFERTS / MECANIQUE DES FLUIDES

CORRIGE TD n 3

Exercice 1 : Venturi inclin

Lobjectif est de relier une diffrence de !ression "#drost$ti%ue & un dbit et & une orient$tion

'%ui se tr$duit !$r des diffrences d$ltitude() Les lois dont nous dis!osons sont *

+ "#drost$ti%ue d$ns les br$nc"es du U, ce %ui re-ient & relier " & .+.0,

+ conser-$tion de l$ 1$ti2re 'du dbit 1$sse(, %ui !er1et de relier dbit et -itesses en et en 0,

+ conser-$tion $!!ro3i1$ti-e de lner4ie 1c$ni%ue)

D$ns un coule1ent turbulent, les -$leurs 1o#ennes 'de ., de -5( se co1!ortent, en !re1i2re

$!!ro3i1$tion, co11e celles d6un coule1ent !$rf$it) .our cet coule1ent st$tionn$ire !$rf$it, il est

!ossible dutiliser le t"or21e de 7ernoulli *

8

-94:9.;

8

-94:9.

80

00

8

'0(

o< .,-,.0et -0 sont les !ressions et -itesses $u3 lieu3 considrs)

Les !rises de !ression t$nt 1ontes !er!endicul$ire1ent & lcoule1ent, les lois de

l"#drost$ti%ue s$!!li%uent d$ns le tube en U et ses li$isons) Ainsi, en utilis$nt les not$tions de l$

fi4ure 8 *

( )

( ) ( )8=1=00ref

8ref

:+:49:+:49.;!

:+:49.;!

o< !refest l$ !ression sur l$ li4ne indi%ue co11e rfrence des !ressions) En co1bin$nt ces

deu3 e3!ressions on obtient *

( ) ( ) ( ) "4+;4:9.+4:9. 100

Cette rel$tion !eut >tre re!orte d$ns '0( *

"4+

8;-+ 18

80

v

'8(

L$ conser-$tion du dbit entre les sections Aet A0se3!ri1e !$r * %-; A-; A0-0

0


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Do< lcriture de '8(, o< lon introduit le dbit -olu1i%ue *

"4+

)

A

0

+A

0

0)8;% 1

8

80

-

Cette rel$tion, o< ninter-ient $ucune cote, est donc ind!end$nte dune -entuelle inclin$ison

du ?enturi)

L$!!lic$tion nu1ri%ue de cette e3!ression donne le dbit -olu1e *

( ) ( )

( ) ( ),8@,A00

0+0=,B)

,08

0+

,

0

0)8

D;

DD

vq

%-,0 1=s+0 A,08= 18 -0,0 1/s

Et, d$ns l$ section A, Re; 0B 'Re1$r%ue * Re encore !lus le- d$ns l$ section A0() Un

tel Re corres!ond bien & un coule1ent turbulent 'ce %ui nous $ $utoriss & $!!roc"er lcoule1ent

rel !$r lcoule1ent dun fluide !$rf$it()

.our une "uile $-ec ; 0 .$)s, on $ur$it Re; 0B) Do< un coule1ent l$1in$ire) Ce %ui

nous interdir$it l$!!ro3i1$tion ci+dessus)

8


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Re!"r#ue c$!%l!ent"ire :

Si le fluide en coule1ent est un 4$:, le fluide de 1esure t$nt obli4$toire1ent un li%uide, l$

rel$tion d1ontre se si1!lifie c$r GG 1)

D$ns l$ !r$ti%ue, un coule1ent, 1>1e turbulent, nest j$1$is $bsolu1ent !$rf$it, $ussi f$ut+il

t$lonner le tube de ?enturi et le dbit est donn !$r une rel$tion du t#!e *

%- = K h

o< H est obtenu !$r t$lonn$4e)

=


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Exercice & : Re'r$i(i))e!ent %"r * tr"n)%ir"ti$n +

Les !"no12nes %ui nous intressent sont essentielle1ent t"er1i%ues, ce %ui nous

$12ne & utiliser un bil$n dner4ie interne 'ou un bil$n dner4ie tot$le() Nous lcrirons sous

l$ for1e de le%) 0B !) =8 du !ol#0)

I9

dt

d.

Tln

Jln+TK;

dt

dTC

.

8.

'0B(

E3$1inons l$ si4nific$tion de c"$%ue ter1e et re4$rdons leur i1!ort$nce rel$ti-e)

T-)t

T

td

Td+=

Le 4r$dient de te1!r$ture induit !$r l$ diffrence de te1!r$ture

entre les deu3 co%uilles induit un flu3 conductif '0er ter1e du 1e1bre de droite(, %ue

lintuition !eroit !lus f$cile1ent en l$bsence de con-ection entre les co%uilles) Un flu3

dner4ie t"er1i%ue con-ectif est !$r $illeurs $ssoci & l$ir %ui se d!l$ce entre les co%uilles

'1e1bre de 4$uc"e()

Re1$r%ue * d$ns l%u$tion '0B(, dT/dt est l$ dri-e tot$le %ui,

en r4i1e !er1$nent, re!rsente l$ -$ri$tion de T en sui-$nt lcoule1ent)

Le ter1e %ui co1!orte d./dt 1esure l$ -$ri$tion dner4ie du fluide $-ec s$ !ression)

Ici, lcoule1ent d$ir entre les deu3 co%uilles est l$1in$ire, ce %ui indi%ue %uil est lent)

D$ns ces conditions, l$ !ression entre les deu3 co%uilles ne !eut >tre %ue %u$si+unifor1e *

d./dt ) Et lner4ie $ssocie & l$ co1!ression de cet $ir est donc n4li4e$ble) n !ourr$it

justifier cette $!!ro3i1$tion de f$on !lus %u$ntit$ti-e en c$lcul$nt une -$leur $!!roc"e de

d./dt 4rce & l%u$tion de continuit et $u bil$n de %u$ntit de 1ou-e1ent r$di$l 'rsolu en

$cce!t$nt l$!!ro3i1$tion unifor1e()

Le ter1e )1esure leffet ner4ti%ue de l$ dissi!$tion -is%ueuse) Ici, l$ s#1trie

s!"ri%ue indi%ue %uil n# $ !$s de cis$ille1ent entre les filets fluides %ui -ont dune co%uille

& l$utre, et donc !eu de dissi!$tion dner4ie lie & l$ -iscosit * ) )

A-ec ces $!!ro3i1$tions, le bil$n dner4ie interne se rduit donc & *

TKdtdTCJ 8.

En coordonnes s!"ri%ues, il se3!licite en '!ol# !) A+0=( *

dr

dTr

dr

d

r

0K

dr

dT-CJ 8

8r.

%ui !eut encore scrire *

0 Nous $urions !u nous rfrer & le%) 0B) Nous $urions $lors t tents de n4li4er) Une$n$l#se !lus fouille 1ontre toutefois %ue cette $!!ro3i1$tion est toujours 4rossi2re c$r elle i1!li%ueC!; C-


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dr

dTr

dr

dKOD

dr

dTCP

8.r

< Pr; r8-r* dbit 1$ssi%ue d$ir entre les deu3 s!"2res) Re1$r%ue * ici Prse

conser-e $-ec r, $lors %ue l$ densit de flu3 -r-$rie)

Cette %u$tion diffrentielle r4it le !rofil de te1!r$ture, et !er1et donc de -oir

co11ent il est 1odifi en fonction de Pr)

.our obtenir une solution 4nri%ue & l%u$tion !rcdente, on $ intr>t & dfinir des

4r$ndeurs $di1ensionnes * r ; r/R et T ; TT0

TT

) r -$rie entre et 0, T entre et 0)

Cette d1$rc"e $12ne & dfinir un nombre adimensionnel*RKOD

CPN .r

)

Ce no1bre co1!$re li1!ort$nce du flu3 con-ectif 'nu1r$teur( $u3 c$!$cits du

tr$ns!ort diffusif 'dno1in$teur() Il !eut encore scrire *

.rReK

C

R'R(-

RKOD

CPN .r.r ==

o< Re et .r sont res!ecti-e1ent les no1bres de Re#nolds et de .r$ndtl) L%u$tion

!rcdente scrit $lors *

dr

dTN

dr

dTr

dr

d 8 =

Ce %ui conduit & * dr

dTr 8

; N 'T T$(, o< T$ est une const$nte dint4r$tion,

!uis & *

+= T rN

eTbTa o< Tb est une seconde const$nte dint4r$tion)

Conditions $u3 li1ites * T ; T'T ; ( en r ; R 'r ; )et T ; T1'T ; 0( en r ; R'r ; 0()

n obtient *

= N

eTbQQT$ et

=

NN

ee 0

0Tb

)

Do< fin$le1ent *

=

NN

N

r

N

ee

ee

0

Q

QT

)

A-ec ; , et di-erses -$leurs de N on obtient les courbes du 4r$!"e ci+dessous).our fi3er des ordres de 4r$ndeur, les -$leurs de - r'R( %ui corres!ondent & de l$ir 'C! ;

0 )K4+0)H+0, K ; ,8B P)1+0)H+0et ; 0,= K4)1+=( et & R ; ,0 1 # sont indi%ues)

A flu3 con-ectif le- 'N le-(, l$ con-ection i1!ose l$ te1!r$ture de l$ir souffl

sur une 4r$nde !$rtie du !rofil 'T jus%u& r ; ,() Le 4r$dient de te1!r$ture est %u$si

nul d$ns cette r4ion, il n# $ donc %u$si1ent !$s de flu3 conductif) Cel$ conduit & une-$ri$tion r$!ide de l$ te1!r$ture $u -oisin$4e de l$ !$roi $-$l) D$ns cette r4ion,


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N = 1, vr(R) = 0,2 mm/s

N = 10-12, vr(R) = 0,2 10-15 m/s

N = 3, vr(R) = 0,6 mm/s

N = 10, vr(R) = 2 mm/s

r*

T*

li1!ort$nce du 4r$dient !er1et & l$ conduction de 4nrer un flu3 de c"$leur %ui re1onte le

cour$nt d$ir et influe sur le !rofil de te1!r$ture)

.our un flu3 con-ectif !lus f$ible 'N !lus f$ible(, l$ diffusion re1onte !lus en $1ont) A flu3

con-ectif %u$si nul, il st$blit un dbit t"er1i%ue !$r conduction ind!end$nt de r)

,- Le dbit t"er1i%ue reu !$r l$ co%uille intrieure & c$use de l$ conduction scrit *

RrN

dr

dTkRq

=

= 8('D

, o< N est le no1bre $di1ensionnel introduit !rcde11ent)

En re!ren$nt les c$lculs !rcdents, on 1ontre %ue * ;(/'('

(/'

0

NN

NN

ee

eN

q

q

=

)

1esure l$ !ro!ortion d$ns l$%uelle le flu3 conductif subi !$r l$ co%uille intrieure & c$usede l$ !rsence de l$ co%uille e3trieure !lus c"$ude di1inue $-ec linst$ur$tion du flu3

con-ectif 'cf) fi4ure ci+dessous, tr$ce !our ; ,()

B


7/15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


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Exercice 3 : Ec."u''e!ent ("n) un /i)c$)i!0tre (e C$uette

1) Profil de vitesse

Considrations gomtriques :

Loin des surf$ces infrieure et su!rieure,l$1in$ire -r;

st$tionn$ire -:;

4o1trie -; -'r(

'ort"o+r$di$le(

C#lindres -ertic$u3 4r; , 4;

?olu1e l1ent$ire ; couronne c#lindri%ue

; tube entre 8 c#lindres

Approce qualitative :

+ e3istence 1ou-e1ent du fluide rsulte de l$ condition de non+4lisse1ent $u3 !$rois

+ s$ rpartitionrsulte du frotte1ent 'contr$intes t$n4entielles( entres tubes de cour$nt

Rsolution par nullit de la rsultante des couples sur la couronne c!lindrique :

Sur l$ couronne, il f$ut crire %ue l$ so11e des 1o1ents 'ou cou!les( induits !$r les

contr$intes t$n4entielles de cis$ille1ent r'r( et r'r9dr( doit >tre nulle '!$s d$ccu1ul$tionou de !erte de 1o1ent cinti%ue()

Attention* l$ couronne c#lindri%ue 'ou le c#lindre( considre ne subit $ucun 1ou-e1ent de

tr$nsl$tion) L$ rsult$nte des forces %uelle subit est effecti-e1ent nulle '!$r s#1trie, on !eut$ssocier son o!!ose & toute contr$inte ort"o+r$di$le r(, 1$is lcrire n$!!orte $ucuneinfor1$tion sur le 1ou-e1ent de rot$tion %ui nous intresse) .$r contre, on $rri-e $u bon

rsult$t si on crit %ue l$ rsult$nte des forces est nulle sur un -olu1e l1ent$ire 'cf) $nne3e

de ce corri4()

n obtient *

2"r8r'r( + 2"'r9dr(8r'r9dr(;

Soit *

( ) =r#$%r

dr

d

'$(

Remarque : l$ co1!os$nte $n4ul$ire du bil$n loc$l de %u$ntit de 1ou-e1ent 'sous l$ for1e

d-elo!!e 7 de l$nne3e du !ol#co!i !) A+00( en ten$nt co1!te de l$ st$tionn$rit

' / t ; (, de / : ; et de / ; 's#1trie( conduit & l$ 1>1e %u$tion) Cetteseconde $!!roc"e est !lus r$!ide %ue l$ !re1i2re) Elle est !$r contre 1oins intuiti-e5

.our un fluide neVtonien inco1!ressible et en coordonnes c#lindri%ues on !eut e3!liciter

r'r( 'e%) D en !) A+B du !ol#( *

r'r( ; +

r

-

r)r)

'b(

+ r'r9dr( TR

r'r(

THR r 9 dr

rHR

R


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n !eut injecter 'b( d$ns '$(, 1$is on !eut $ussi utiliser directe1ent le3!ression d-elo!!e

de l$ co1!os$nte $n4ul$ire du bil$n de %u$ntit de 1ou-e1ent !our un fluide neVtonien 'e%)

E de l$nne3e du !ol#co!i !) A+00(, en ten$nt toujours co1!te de l$ st$tionn$rit et de l$

s#1trie *

; ( )

r -dr

d

r

0

dr

d

'0(

Re1$r%ue * co1!os$nte r$di$le du bil$n %d1 $12ne *

r

-J

dr

d.8

W=

'0( ( ) 0C-rdr

dr0 =

r

Cr

8

C- 80 +=

en r ; HR -

; C0/8 'HR( 9 C8/'HR( ; C8 ; + 'C0/8 (H8R8

en r ; R -

;R C0/8 R 9 C8/ R ; 0R C0/8 '0 + H8( ; 0

- ;

r

RH+

R

r

H+0

8

8

R

'8(

Re1$r%ue * '8( 1ontre %ue, !our un fluide neVtonien8, le !rofil de -itesse est ind!end$nt de

l$ -$leur de l$ -iscosit)

Cou!le * en r ; R, le c#lindre intrieur e3erce sur le fluide une contr$inte r(R). L$ surf$ce

entr$Xne est 4$le & 8RY o< " est l$ "$uteur des deu3 c#lindres)

CoupleZ .S)r ; r'R() '8R"( ) R

'8( r'r( ; + ( ) 8

8

r)

0/+

8)

R

Couple;r'R()'8R"()&R ; + ( )

88

8

8

))

+0

D R

'=(

Conn$iss$nt l$ 4o1trie ', " et R( et l$ -itesse $n4ul$ire , l$ 1esure du cou!le est bien un1o#en de 1esurer )

Re1$r%ue * ce cou!le est le cou!le 1oteur %ui entr$Xne le c#lindre intrieur) Les contr$intes

rsist$ntes %ue sont les contr$intes -is%ueuses so!!osent e3$cte1ent & ce cou!le 1oteur) L$

!uiss$nce dissi!e !$r les forces -is%ueuses est donc $ussi 4$le &P1c$)

$) Profil de temprature

Approce qualitative

8 .our un fluide non neVtonien, nous n$urions !$s !u crire l%u$tion 'b(

@


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Au re!os, on obser-e si1!le1ent de l$ conduction de c"$leur) D$ns cette 4o1trie

c#lindri%ue, le !rofil de te1!r$ture nest !$s e3$cte1ent lin$ire 'co11e il le ser$it d$ns une

4o1trie !l$ne() Au 1ilieu de lentrefer, lors%ue r ; ''0)/2 . R, l$ te1!r$ture est

'l42re1ent( su!rieure & l$ 1o#enne des te1!r$tures 'TR+R(/8)

L$ rot$tion du c#lindre intrieur 4n2re un frotte1ent -is%ueu3 entre couc"es fluides) Ce!"no12ne irr-ersible d4r$de lner4ie 1c$ni%ue en c"$leur, ce %ui tend & $u41enter l$

te1!r$ture $u sein du fluide) L$ c"$leur !roduite est -$cue !$r conduction-ers les !$rois)

Le r4i1e !er1$nent est $tteint lors%uil # $ %uilibre entre l$ 4nr$tion de c"$leur !$r

dissi!$tion -is%ueuse et l-$cu$tion !$r tr$nsfert conductif) Lobjectif de l$ %uestion sui-$nte

est de c$lculer le !rofil de te1!r$ture d$ns cet t$t st$tionn$ire)

Calcul du profil de temprature

L$ descri!tion !rcdente corres!ond & un bil$n dner4ie) Un bil$n 1c$ni%ue ne !rendr$it

!$s en co1!te le flu3 de c"$leur) Nous utiliserons donc un bil$n dner4ie interne 'cf) !ol#)

e%) 08 ou 0B !) =0+=8 et $nne3e !) A+0()

A lt$t st$tionn$ire

tT =

de !lus T ind!end$nt de et :

visqueusendissipatioconductionpar

pargnrepuissancevacuepuissance

r

k 8r

-

rr

r

Tr

r

+

=

'(

Re1$r%ue * nous $urions !u $ussi $rri-er & ce bil$n !$r nous 1>1e, s$ns e1!lo#er l$ for1e

co1!l2te du !ol#, co11e nous l$-ons f$it lors du TD n[ 0) .$r contre, l$ for1e 4nr$le est

l$ seule utilis$ble !our un !robl21e \ co1!li%u ])

'b( 9 '=( 9 '( ; ( )D88

DD8

+0

RD

r

Tr

r rr

k

+

'(

Le ter1e de droite est l$ !uiss$nce 4nre !$r dissi!$tion -is%ueuse)

n !ose TT

T+T,

R

r

R R

R

==, 7r ; ( )

T+TK

R

RR

88

et N ; ( )

+0

)r88

D

(

7r ; ( )

T+TK

R

RR

88

, no1bre de 7rinK1$nn, co1!$re & lc"elle 1$crosco!i%ue l$

\ tend$nce ] & !roduire un flu3 de c"$leur !$r dissi!$tion et l$ \ tend$nce ] & l-$cuer !our

un T de ( )T+T RR )

D$ns ces conditions, l%u$tion '( !eut scrire *

D

N

D+d

d

d

d

0

=

'B(

0


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Remarque* n $ su!!os %ue TR et T R sont i1!oss !$r l$!!$reil) De !lus, on $ c"oisi

( )T+T RR co11e c"elle de T) Ce c"oi3 ne con-iendr$it !$s si lon $-$it ( )T+T RR ; )

Commentaire :En sciences de lin4nieur, on r$isonne sou-ent sur les \ ordres de 4r$ndeur ] co1!$rs des

contributions & un 1>1e !"no12ne) Cel$ !eut !er1ettre une 1eilleure $!!r"ension

!"#si%ue des !robl21es et sou-ent une si1!lific$tion de l$ 1odlis$tion)

Le r$!!ort des ordres de 4r$ndeurs de deu3 contributions $dditi-es !er1et den $!!rcier

li1!ort$nce rel$ti-e cest t#!i%ue1ent le c$s ici ou deu3 !rocessus t"er1i%ue, lun

dissi!$tif, l$utre, conductif, inter-iennent !our dfinir le !rofil de te1!r$ture)

En r$1en$nt & une -$ri$tion entre et 0 de l$ !lu!$rt des -$ri$bles, l$di1ensionne1ent ci+

dessus !er1et de -oir %ue le r$!!ort de l$ contribution dissi!$ti-e & l$ contribution conducti-e

est de lordre du no1bre $di1ensionnelN) Cest donc l$ -$leur deNet si lon se li1ite $u3

$s!ects !"#si%ues, celle de(r%ui !er1et de co1!$rer les deu3 contributions)

A!!lic$tion nu1ri%ue *

+ !our le$u li%uide * ; 0+= .$)s k ; , P^1+0^H+0 R; 01/s T ; 0 H,7r ; ,8 lc"$uffe1ent d_ & l$ dissi!$tion -is%ueuse ser$ l$r4e1ent n4li4e$ble

cest le c$s de be$ucou! de situ$tions industrielles)

+ Ce!end$nt, !our cert$ins fluides industriels de forte -iscosit et lors%ue K de-ient tr2s

!roc"e de 0, 7r et N !eu-ent $tteindre des -$leurs i1!ort$ntes tr$duis$nt $lors l$

r$lit de lc"$uffe1ent d_ & l$ -iscosit) E3e1!le * S7R, l$sto12re & l$ b$se de l$

f$bric$tion des !neu1$ti%ues * -iscosit d#n$1i%ue & 00[C 0.$)s, soit 0 fois!lus %ue le$u & 8[C ` '$ttention * un tel fluide est loin d>tre neVtonien, 1$is cel$

ne1!>c"e !$s %uil est sujet & une forte dissi!$tion t"er1i%ue %u$nd on le dfor1e()

'B( conduit & * ;808

CLnCN ++

A-ec & ; !our ; H

& ;0 !our ; 0

;nl

nl0+0+

0+0Nnl

nl+0

88

+

Cas du c!lindre etrieur immobile *fluide au repos) :

D$ns ce c$s, il n# $ !$s de cr$tion de c"$leur $u sein du fluide, 1$is uni%ue1ent un tr$nsfert

conductif dune !$roi & l$utre) Le !rofil de te1!r$ture obit $u3 1>1es %u$tions %ue

!rcde11ent $-ec 7r ; ) n !ourr$it c$lculer l$ !uiss$nce tr$nsfre !$r conduction

ri4oureuse1ent) .our si1!lifier les c$lculs, nous ferons l$!!ro3i1$tion a 0 '$ re-ient & dire %ue

tout se !$sse co11e si on $-$it tr$nsfert entre deu3 !l$ns()

n $ $lors *

+0

+R

TT

T+T

R

r

R

R

, do< * Pcond;

( )

( )

"R8

0

T+TK RR

R

00


12/15

Q0

Q8

Q=

Q

r9drr

flu3 conductif

flu3 !ort !$rl$ con-ection

Et lon -rifie bien %ue le no1bre de 7rinK1$n est, & une const$nte 1ulti!lic$ti-e !r2s, 4$l &

P1c$+Pcond)nnexe 1 %$ur l2 l2exercice & * tr"n)%ir"ti$n + : il"n )ur une c$ur$nne

)%.ri#ue et (i)cu))i$n 4 %r$%$) (e) "%%r$xi!"ti$n)

7il$n dner4ie interne sur une couronne s!"ri%ue co1!rise entre r et r 9 drEn r4i1e !er1$nent l$ccu1ul$tion dner4ie interne d$ns une couronne s!"ri%ue

co1!rise entre r et r9dr est nulle) Autre1ent dit lner4ie %ue l$ir en 1ou-e1ent 4$4ne entre

r et r 9 dr en sc"$uff$nt de dT est 4$le & celle %ue le dbit diffusif !erd d$ns le 1>1e

inter-$lle s$ns oublier d-entuels ter1es de source)

Un l1ent de rfle3ion est fourni !$r lcriture du bil$n loc$l dner4ie interne tel %uil

est dis!onible d$ns le cours, soit *

con-ectifetconductifflu3source

K

KKK u)+)+*+).+);t

u

/Q//(5

'for1ule '08( du !ol#co!i ! =0(

ou !lus si1!le1ent d$ns le c$s dune seule force e3trieure le !oids et dun fluide non -is%ueu3 *

convectetcon"#ct!$#%so#rce

#.-.-.&-=t

#/Q/

n confir1e l$ contribution des ter1es conductifs et con-ectifs d$ns l$ !$rtie flu3 du

bil$n) Il f$udr$ ce!end$nt obtenir une -$lu$tion du ter1e de source * + .)-D$ns le !ol#co!i, on trou-er$ une e3!licit$tion de le3!ression !rcdente !our un 4$:

!$rf$it 'e3e1!le 0 ! =8(, soit *

"t

"&.'=

"t

"T(& + o#rer"e(*oT+=.' 2

Si lon $d1et %u$u cours de son tr$ns!ort de le3trieur -ers lintrieur, un l1ent de -olu1e de

4$: ne c"$n4e !r$ti%ue1ent !$s de !ression '%ui-$lent & une !ression unifor1e d$ns le dis!ositif(,

$lors, on obtient *

T2& +.'="t

"T( =

!uis en r4i1e st$tionn$ire s$c"$nt %ueTv+

)t

T=

"t

"T

.'-=Tv.& et co11e * vest unifor1e 'conser-$tion de l$ 1$sse( *

.'-= Tv,Cp) 'E%n 7(

L%u$tion '7( confir1e %uil f$ut !rendre en co1!te les ter1es conductifs et con-ectifs

d$ns le bil$n MAIS %ue cest l$ c$!$cit c$lorifi%ue & !ression cont$nte C!'et non C-( %ui

inter-ient elle se3!ri1e uni%ue1ent en ter1es d4$lit de flu3 'ter1es en )( ce %ui!er1et de l$!!li%uer $is1ent & l$ couronne s!"ri%ue 'r, r9dr(*

( ) ""r

"T+Tv-=vT

s#r!,ces

r&

co#ronne

&

+= d-.)

soit *

sourceflu3$ccu1ul)QQQQ D=80 ++=

08


13/15

drr8

0 ('dT/dr)dr('rDOKQ ++=

r8

8 T('dT/dr)'r(DOKQ =

rr2

3 .T(r).(r).v.(r)4/' =

( ) "rr"rr2

4 .T."rr"r).v(r."r)(r4/' ++ +++=K t$nt l$ conducti-it t"er1i%ue de l6$ir et C!s$ c$!$cit c$lorifi%ue)

Do< *

dr

dTrdK;T(-d'rC

8r

8.

L$ conser-$tion de l$ 1$sse d$ir i1!ose %ue le !roduit r8-rsoit const$nt) Le bil$n !rcdent

!eut donc encore scrire *

dr

dTrd

r

0K;d'T(-C 8

8r.

'0(

Ce %ui !rc2de 1ontre lintr>t des bil$ns sur un -olu1e l1ent$ire tels %uon !eut les

trou-er d$ns les ou-r$4es de rfrence) Et$blir soi 1>1e un bil$n co1!l2te cette $!!roc"e

!our une -ision !lus intuiti-e des !"no12nes)

Re1$r%ue !our les \ $ccros ] * on !eut sinterro4er $ !osteriori sur les diffrentes

$!!ro3i1$tions et leur bien fond d$ns cet e3ercice *

+ !$s dt$t d1e sur le f$it de n4li4er les effets de l$ -iscosit

+ l$!!ro3i1$tion 'd./dt ; ( se1ble l4iti1e $ussi

+ l$!!ro3i1$tion 'd./dt ; ( se1ble be$ucou! !lus discut$ble

Si effecti-e1ent on l$isse to1ber le ter1e en )-, cel$ re-ient & re1!l$cer C!!$r C-d$ns lersult$t ci+dessus, ce %ui est cert$ine1ent f$u3) Nous $llons esti1er l$ contribution de .)- en

int4r$nt .)- d$ns l$ couronne d$ns le c$dre de l"#!ot"2se . unifor1e) Cel$ nous donne *

( )[ ]

+

=++('

0

('

0D('D('

88

drrrP/drrdrrvrrvP rr

or * 0

RTP=

et donc *

( )('(') drrTrT0

/Rd-vP

couronne

+=

& co1!$rer & *( )('(' drrTrT/Cv +

0=


14/15

nnexe & : c$!%l!ent "u c$rri6 (e l2exercice 37 r)ult"nte (e) '$rce) )ur un /$lu!e

l!ent"ire

L$ rsult$nte des forces %ui s$!!li%uent sur un l1ent de -olu1e infinitsi1$l 'do1$ine

"$c"ur( scrit *

5195&95395,; *N2R : 34ai retir 5 6 : pour que le mouvement soit une rotation7 ildoit ! avoir une acclration centrip8te7 la rsultante vectorielle n4est donc pas nulle)< 51, 5&, 53et 5,sont des -ecteurs)

Il n# $ !$s d$cclr$tion t$n4entielle) En !rojet$nt sur u8, on trou-e *+F09F=+F8sin'dW/8(9 Fsin'dW/8(;

< Fi ; 5i

n $*

sin'dW/8( ; dW/8, ce %ui -eut dire $ussi %uon n4li4e l$ courbure et donc %ue F0 et F= sont

bien considrs co11e des -ecteurs)

F0 ; rW'r9dr/8( 'r9dr/8( dW

F= ; rW'r+dr/8( 'r+dr/8( dW

F8 ; F ; rW'r( dr

Do


15/15

r

dr/8

dW

5,

5&

51

ur

u8

53

dr/8

0

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TMF corrigé TD n°3 Venturi + Transpir. + Couette