Tous Exercices d'Analyse Pour SM by Ali Tah

Exercices de Mathématiques

Table des matières

1 Limites et continuité 31.1 limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 utilisation de la définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone . . . . . . . . . . . . 81.3.1 theorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 fonction arctan et n

√ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008 1

2Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008

Exercices de Mathématiques CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

1 Limites et continuité

Sommaire1.1 limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 utilisation de la définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone . . . . . . . . . . 81.3.1 theorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 fonction arctan et n

√ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 limite

1.1.1 utilisation de la définition de la limite

Exo 1 (somme) soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x0 .montrer à l’aide de la définition de la limiteque si lim

x→x0

f (x) = ` et limx→x0

g (x) = `′ alors limx→x0

f (x) + g (x) = ` + `′

Exo 2 (produit) montrer le même résultats pour le produit

Exo 3 (inverse) montrer que si limx→x0

f (x) = ` et ` 6= 0 alors

∃α > 0,∀x ∈ ]x0 − α, x0 + α[− {x0} : f (x) 6= 0

et limx→x0

1

f (x)=

1

`

Exo 4 soit f une fonction définie sur un intervalle R+

montrer que si f est croissante et non majoree alors limx→+∞

f (x) = +∞

Exo 5 soit f une fonction définie sur R et périodique de période T .on suppose qu’il existe un réel ` tel quelim

x→+∞f (x) = `

1. montrer que f est constante de constante `

2. application : montrer que les fonctions suivantes n’admet pas de limite en +∞ : sin , cos , f : x →

(−1)E(x) ,g : x → x− E(x) , h (x) =

{1 x ∈ Q0 x /∈ Q


CHAPITRE 1. LIMITES ET CONTINUITÉ

1.1.2 calcul des limites

Exo 6 calculer les limites suivantes

limx→+∞

x2 − 1√x2 + 1

− x limx→−∞

mx +√

x2 − x + 1 limx→0

cos(

1x

)sin (x2)

limx→2

(x2 − 5x + 6) tan(π

4x)

lim

x→π

4

tan x− 1

2 cos x−√

2lim

x→0+

x−√

x√sin x− tan2 x

limx→+∞

E (√

x)

x2 + 1limx→0

xE

(1

x

)lim

x→π

2

x−π2

sin(cos x)

Exo 7 calculer les limites suivanteslim

x→−∞2x +

√4x2 − x + 1 lim

x→ 12

(2x2 − 3x + 1) tan (πx) limx→+∞

cos(x) sin(

1x2

)limx→1

(3

x3 − 1− 2

x2 − 1

)lim

x→0+

√xE(

1x

)lim

x→+∞

E (x)

x

limx→1

>

√x2 − 1 +

√x− 1√

x− 1limx→π

2

tan x sin 2x limx→π

4

sin(x− π

4

)tan 2x

Exo 8 1. on rappel que ∀x ∈]0, π

2

[: sin x < x < tan x

montrer que

∀x ∈]0,

π

2

[: 0 <

1

sin x− 1

x<

1− cos x

sin x

2. déduire la valeur de limx→0

1

sin x− 1

x

1.2 continuité

1.2.1 continuité en un point

Exo 9 soit f la fonction f définie par{

f (x) = 1−cos x√1+x2−1

, x∈ R∗

f(0) = 2etudier la continuité de f en 0

Exo 10 soit a un reél on pose

f (x) =sin (πx)

x− 1, x∈ R− {1}

f(1) = adeter min er la valeur de a pour que f soit

continue en 1

Exo 11 on rappel que ∀x ∈ R :|sin x| ≤ |x|montrer que la fonction sin est continue en 0 et déduire qu’elle est continue en tout point de R

Exo 12 La fonction partie entière E, définie sur R par E(x) = n où n ∈ Z avec n ≤ x < n + 1.

1. tracer la courbe de la fonction E (fonction en escalier)

2. la fonction E est elle continue au point1 ?

Exo 13 soit f la fonction définie par f (x) = x− E (x)

1. tracer la courbe representative de f sur [-3,5[

2. etudier la continuité de f au point 12

et au point 0


1.2. CONTINUITÉ

Exo 14 soit f la fonction définie par{

f (x) = x ; x ∈ Qf (x) = x2 x /∈ Q

1. montrer que ∀x > 1 : f (x) > x en déduire limx→+∞

f (x)

2. montrer que ∀x ∈ [−1, 1] : |f (x)| ≤ |x| en déduire la continuité de f en 0

3. montrer de même que ∀x ∈ [0, 2] : |f (x)− 1| ≤ 3 |x− 1|en déduire la continuité de f en 1

4. soit x0 ∈ R−{0, 1} on se propose de montrer par l’absurde que f n’est pas continue en x0. on suppose doncle contraire

(a) écrire la définition de la continuité en x0

(b) en déduire que∀ε > 0 : |x0| < ε et |1− x0| < ε

(c) conclure

Exo 15 soit f la fonction définie sur [0, π] par f(x) =x− π

2sin (cos x)

x∈ [0, π] −{π

2

}f(π

2

)= 0

étudier la continuité de f enπ

2

1.2.2 continuité sur un intervalle

Exo 16 Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition.

1) f(x) =2x + 1

x2 + 32) f(x) = 3x3 + sin3x 3) f(x) =

√1− x2

1 + x24) f(x) =

|2x + 3|1− tan x

5)

f(x)=

2x− 3

3− x; x ≤ 2

f(x) =4 sin(x − 2)

x2 − 4; x >2

Exo 17 soit f la fonction définie par :f (x) = E (x) + (x− E (x)) 2

étudier la continuité de f

Exo 18 étudier la continuité de la fonction définie par f(x) = cos

(√x2 + 1− 1

x

)x ∈ R∗

f (0) = 1

Exo 19 étudier la continuité de la fonction définie par

f (x) = cos (sin x)− sin (cos x)

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/20085


1.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I

Exo 20 trouver l’image de l’intervalle I par la fonction f dans chacun das cas suivant

1. I = ]0, +∞[ , f (x) =√

x + 1

2. I = [−2, 1[ , f (x) = x3 − 3x + 1

3. I=R , f(x) = x + sin x

Exo 21 soit f une fonction définie sur R telle que ∀ (x, y) ∈ R2 : f (x + y) = f (x) + f (y) montrer que si f estcontinue en 0 alors f est continue sur R

Exo 22 montrer que l’équation cos x = x− 12

admet une unique solution dans l’intervalle ]0, π3[

Exo 23 1.

Exo 24 montrer que l’équation√

x =1

x− 1admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[ et justifier que

α3 − 2α2 + α = 1

Exo 25 soit f une fonction continue sur [0,1] on suppose que f (0) > 0 et f(1) < 1 montrer que l’équationf (x) = x admet au moins une solution dans ]0,1[

Exo 26 soit f une fonction continue sur [0,1] montrer que ∃c ∈]0, 1[: f (c) + f (1− c) = 2c

Exo 27 soit f une fonction continue sur [0,1] telle que f(0) = f (1) montrer que ∃c ∈ [0, 12] : f (c) = f

(c + 1

2

)Exo 28 soit f une fonction continue sur R . on suppose que ∃a ∈ R :f ◦ f (a) = a montrer que l’équationf (x) = x admet au moins une solution dans R

Exo 29 soit f une fonction continue sur [a,b] telle que f(a) < ab et f(b) > b2 montrer que ∃c ∈ [a, b] : f (c) = bc

Exo 30 soit f une fonction continue sur [a,b] telle que f([a, b]) ⊂[a,b] et ∀x ∈ R :f ◦ f (x) = f (x)on pose E = {x ∈ [a, b]/f (x) = x}

1. montrer que E 6= ∅2. montrer que E=f([a, b])

3. déduire que E est un intervalle de R

Exo 31 soit f une fonction continue sur R telle que∀x ∈ R : f(|x|) = |f (x)| montrer que f est une fonction paire

Exo 32 soit f une fonction continue et strictement croissante sur [0,1] telle que f (0) = 0

1. montrer que ∀x ∈ [0, 1];∃!y ∈ [0, 1] : f (y) = 12f (x)

2. on définie donc une fonction implicite g qui associe à chaque x∈ [0, 1] l’unique y ∈ [0, 1]

(a) montrer que ∀x ∈ [0, 1] : g (x) ≤ x

(b) montrer que : g (x) = x ⇔ x = 0

(c) montrer que g est continue et strictement croissante sur [0,1]

Exo 33 montrer que l’équation x3 − 6x + 1 = 0 admet trois solutions distinctes deux à deuxsoit α la plus petite solution montrer −3 < α < −2

Exo 34 soit f une fonction définie et continue sur R telle que ∀x ∈ Q : f (x) = 0.montrer que f est nulle sur R


1.2. CONTINUITÉ

Exo 35 soit f une fonction continue sur un segment [a, b] où 0 < a < b telle que ∀x ∈ [a, b] : f(x) < xmontrer que ∃M ∈ ]0, 1[ ,∀x ∈ [a, b] : f(x) < M.x

Exo 36 soit f une fonction périodique de période T.on suppose que f est continue sur R

1. justifier que f (R) = f ([0, T ])

2. déduire que f est bornée sur R

Exo 37 soit f une fonction continue sur R telle que f (R) ⊂ Z.

1. montrer que f est une fonction constante

2. application :déterminer les fonctions f continues sur R telle que

∀x ∈ R : E(f 2 (x)

)= f (x)

Exo 38 montrer que l’équation cos x = x admet une unique solution α dans]0, π

2

[comparer α et π

4

Exo 39 soit f une fonction continue et définie sur [0, 1] telle que f (0) = 0 , f (1) = 1

montrer qu’il existe c ∈ ]0, 1[ : f (c) =1− tan

(π

4c)

1 + tan(π

4c)

Exo 40 soit f une fonction définie et continue sur un intervalle]a, b[ telle que limx→a+

f (x) = +∞ et limx→b−

f (x) =

−∞

1. .montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution α

2. application : montrer que ∃c ∈ ]0, 1[ :1√c− 1√

1− c= sin c

Exo 41 soit f une fonction continue sur un intervalle I

1. on suppose que f ne s’annule pas sur I montrer que f garde un signe constant sur I

2. montrer que si ∀x ∈ I : |f (x)| = 1 alors

(∀x ∈ I : f (x) = 1) ou (∀x ∈ I : f (x) = −1)

Exo 42 déterminer toute les fonctions continues sur R telle que ∀x ∈ R : |f (x)| = |x|

Exo 43 1. montrer que pour tout n ∈ N∗ : l’équation (En) : xn + x − 1 = 0 admet une unique solutionan ∈ ]0, 1[

2. calculer a1 et a2

3. comparer an et an+1

Exo 44 .

1. montrer que pour tout x ∈ R l’équation (Ex) : y3 +x2y +x3 = 1 admet une unique solution yx ∈ R

on a donc définit une fonction implicite R → Rx → yx

que l’on note f

2. (a) calculer f (0) , f (1) et f (−1)

(b) montrer que ∀x ∈ R : − |x| ≤ f(x) ≤ 1 + |x|



1.3 fonction réciproque d’une fonction continue et stictement mo-notone

1.3.1 theorème fondamental

Exo 45 soit f la fonction définie par f (x) = x +√

x

1. montrer que f realise une bijection de R + dans un intervalle J que l’on déterminera

2. trouver la bijection réciproque de f on la note f−1

3. tracer dans le même repère orthonormé les courbes Cf et Cf−1

Exo 46 soit f la fonction définie par f (x) =x

1 + |x|

1. montrer que f realise une bijection de R dans un intervalle J que l’on déterminera

2. trouver la bijection réciproque de f on la note f−1

3. tracer dans le même repère orthonormé les courbes Cf et Cf−1

Exo 47 Soit la fonction f(x) =x

x +√

1 + x2

1. Verifier que Df=IR et calculer les limites aux bornes

2. Montrer que f est continue sur IR

3. Montrer que f est bijective de IR sur un intervalle J que l’on déterminera

4. Déterminer f−1 la fonction réciproque de f

Exo 48 soit f la fonction définie sur R par f (x) = x− sin x

1. montrer que f réalise une bijection de R vers R

2. montrer que f−1 est une fonction impaire

3. résoudre l’équation f (x) = f−1 (x)

4. .

(a) montrer qu’il existe une unique fonction g définie sur R telle que

∀x ∈ R : g (x)− sin (g (x)) =1√

x2 + 1

(b) montrer que g est une fonction paire et que limx→+∞

g (x) = 0

(c) à l’aide des variations de f donner le tableau de varaition de f

(d) montrer que g est continue sur R

Exo 49 soit f une fonction définie par f (x) = sin x− cos x

1. montrer que f réalise une bijection de[−π

4, π

4

]dans un intervalle J que l’on déterminera

2. déterminer f−1 (0)


1.3. FONCTION RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STICTEMENT MONOTONE

1.3.2 fonction arctan et n√

Exo 50 montrer que.Pour tout x ∈ R :cos (arctan x) =1√

1 + x2et sin (arctan x) =

x√1 + x2

Exo 51 .montrer que.Pour tout x ∈ R :cos (3 arctan x) =1− 3x2

(1 + x2)32

Exo 52 Soit f(x) =√

π- |4Arctanx|Déterminer son domaine et étudier sa parité et sa continuité sur son domaine.

Exo 53 montrer que arctan 3− arctan 2 = arctan1

7

Exo 54 Calculer arctan 1 + arctan 2 + arctan 3.

Exo 55 soit f la fonction définie sur R par f (x) = x + arctan (x)

1. montrer que f réalise une bijection de R dans R2. sans calculer f−1 (x) montrer que f est une fonction impaire

3. montrer que ∀x > 0 : x > f−1 (x)

4. calculer limx→+∞

f−1 (x)

x

Exo 56 soit f la fonction définie sur [0,π4] par f (x) = tan2 (x)− 2 tan (x)

1. montrer que f réalise une bijection de [0,π4] dansdans un intervalle J que l’on déterminera

2. calculer f−1 (x) pour x∈ [0,π4]

Exo 57 1. On donne deux entiers p et q vérifiant : 0 < p < q.Calculer arctanp

q+ arctan

q − p

q + p.

2. à l’aide de la question précédenteCalculer 4 arctan1

53. en déduire la formule de Machin (John Machin, 1680-1751) :

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239

Exo 58 simplifier les expressions suivantes :

1. arctan

(1

2

(x− 1

x

))2. arctan

(√1 + x2 − 1

x

)

3. arctan

(√1− cos x

1 + cos x

)Exo 59 soit f la fonction définie par f (x) = arctan

(√x2 + 1− x

)1. montrer que ∀t > 0 : arctan t + arctan

1

t=

π

2

2. déduire que le point I(0,

π

4

)est un centre de symétrie de Cf



3. calculer les limites au bornes de Df

4. montrer que f est strictement monotone sur R−

5. montrer que f réalise une bijection de R− dans un intervalle J

6. montrer que ∀x ∈ J − {π

4} : f−1 (x) =

1

tan 2xet f−1

(π

4

)= 0

7. déduire une expression simple de f sur R

Exo 60 soit f la fonction définie sur par]0,

π

2

[: f (x) =

1 + cos x

sin x

1. montrer que f réalise une bijection de]0,

π

2

[dans un intervalle J

2. montrer que ∀x ∈ J : f−1 (x) = π − 2 arctan x

Exo 61 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = 3√

x3 + 3x2 + 3x

1. montrer que f réalise une bijection de R+ dans un intervalle J

2. calculer f−1 (x) pour x ∈ J

3. calculer les limites suivantes limx→+∞

f (x)

x, lim

x→+∞f (x)− x , lim

x→0>

f (x)

x

Exo 62 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) =√

x− 3√

x

1. montrer que f est strictement croissante sur [1, +∞[


f (x)

3. montrer que limx→1

f (x)

x− 1= 1

6

Exo 63 calculer les limites suivantes

1. limx→1

arctan(1− 2

√x2)

x− 1

2. limx→1

<

arctan 3√

1− x

x− 1

3. limx→−1

x− 2√

arctan |x| − π4

+ 1

x + 1

4. limx→+∞

3√

x3 + 1− x

5. limx→+∞

x arctan 3√

x− π

2x

6. limx→+∞

x13 − 2x + 1

(x− 1)23

7. limx→0

3√

cos x−√

cos x

sin2 x


1.3. FONCTION RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STICTEMENT MONOTONE

Exo 64 soit f la fonction définie par f (x) =1− 3

√x3 + 1

x; x ≥ −1 et x 6= 0

f(0) = 0

1. montrer que f est continue sur Df

2. calculer les limites limx→+∞

f(x) et limx→+∞

f(x)

x

3. montrer que f réalise une bijection de [−1, 0] dans un intervalle J que l’on déterminera

4. déterminer f−1 (x) pour x ∈ J

Exo 65 résoudre dans R les équations suivantes

1. (E1) arctan (x + 1) + arctan (x− 1) =π

4

2. (E1)π

2− 2 arctan (x) = arctan

(1− x2

2x

)Exo 66 Montrer que pour tout a et b de IR+∗ on a :

(a2 + a43 b

23 )

12 + (b2 + a

23 b

43 )

12 = (a

23 + b

23 )

32

Exo 67 Montrer que pour tout a et b de IR+∗ :3√

a2b ≤ 2a + b

3

Exo 68 soit f la fonction définie par f (x) = x(

x−1x+1

) 34

1. présciser Df et calculer les limites aux bornes

2. Montrer que pour tout x ∈ R+∗ :

x34 − 1 = (x− 1) .

x12 + x

14 + 1

x34 + x

12 + x

14 + 1

3. en déduire l’étude de la branche infinie de f en +∞

Exo 69 soit f la fonction sur R par f (x) =

−1− 3

√−x , x < 0

1 + 3√

x , x > 0f(0) = 0

1. tracer la courbe representative de f

2. etudier la continuité de f

3. montrer qu’il existe une unique fonction continue et croissante sur R telle que ∀x ∈ R : g ◦ f (x) = x


10 Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

Exercices de Mathématiques CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES

2 Suites Numériques

Sommaire2.1 suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Monotonie et convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 convergences et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 limite de la composée d’une suite et d’une fonction . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 suites récurrentes double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Suite définie par récurrence de type un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7.1 cas d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.2 cas d’une fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.3 cas d’une fonction croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7.4 cas d’une fonction décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 suite définie implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9 aproximation d’un réel par une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9.1 méthode d’itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9.2 méthode dichomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9.3 méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10 Dévellopement illimté décimal d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 suites arithmétiques et géométriques

Exercise 1 etude d’une suite Homographique

soit a un réel tel que a ≥ 2 on définie la suite (un) telle que u0 = 0 et un+1 =un − a

2.un − (a + 1)

1. on suppose que a = 2 et on pose vn =1

un − 1montrer que (vn) est une suite arithmétique en

déduire la valeur de un en fonction de n

2. dans cette question on suppose que a > 2 et on pose wn =un − a

2

un − 1montrer que (wn) est une

suite géométrique et calculer un en fonction de n

Exercise 2 on considère les suites numériques (an) ,(bn)et(cn) telles quean+1 = 2an

bn+1 = −an + 2bn

cn+1 = an − bn + 2cn

et a0 = b0 = c0 = 1

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc 11

CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES

on pose un =bn

an

et vn =cn

an

1. exprimer an en fonction de n

2. vérifier que (un) est une suite arithmétique en déduire la valeur de bn en fonction de n

3. vérifier que vn+1− vn = 12− 1

2un calculer vn en fonction de n en déduire la valeur de cn

en fonction de n

Exercise 3 soit θ ∈ ]0, π[

on considère la suite(pn) définie par pn = sin

(θ

2n

).k=n∏k=0

cos

(θ

2k

)1. montrer que (pn) est une suite géométrique

2. déduire que la valeur dek=n∏k=0

cos

(θ

2k

)3. calculer la valeur de

√1

2.

√1

2+

1

2

√1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2.

√√√√√1

2+

1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2.

√√√√√√1

2+

1

2

√√√√√1

2+

1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2.

en prendra θ =π

4

2.2 Monotonie et convergence d’une suite

Exercise 4 soit (un) la suite définie par

{u0 = 8

un+1 = 3√

un +1

n + 1

1. montrer que ∀n ∈ N : un > 1

2. étudier le sens de variation de (un)

3. montrer que (un) est convergente et donner sa limite

Exercise 5 soit (un) la suite définie par{

u0 =√

3un+1 = un + arctan (un)

1. montrer que ∀n ∈ N : un > 1

2. étudier le sens de variation de (un)

3. montrer que ∀n ∈ N : un > nπ

3+√

3. déduire que la suite est non majoré

Exercise 6 soit (un)la suite définie par

u0 ≥ 0

un+1 =un.

√2√

1 + un

1. montrer que ∀n ∈ N : un ≥ 0


2.2. MONOTONIE ET CONVERGENCE D’UNE SUITE

2. déterminer les valeurs de u0 pour la quelle la suite et constante

3. dans la suite on suppose que u0 ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[

(a) montrer les propositions suivantes :

u0 > 1 =⇒ ∀n ∈ N : un > 1 (2.1)

0 < u0 < 1 =⇒ ∀n ∈ N : 0 < un < 1 (2.2)

(b) étudier suivant les valeurs de u0 la monotonie de (un)

4. déduire que pour tout u0 ∈ R+ la suite (un) est convergente

Exercise 7 On considère la suite (un) définie pour tout entier n non nul par :

un =1

n +√

1+

1

n +√

2+ · · ·+ 1

n +√

n.

1.n

n +√

n≤ un ≤

n

n + 1.

2. Etudier la convergence des suites définies par : vn =n

n +√

net wn =

n

n + 1.

3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Exercise 8 soit (un)la suite définie par : un =k=n∑k=1

3k − 2

5k

1. vérifier que (un) est croisante

2. montrer que ∀n ∈ N : un+1 =1

5+

1

5un +

3

20

(1− 1

5n

)3. montrer en utilisant 2 que (un) est majoré

4. déduire que (un) converge et donner sa limite

Exercise 9 soit (un) la suite définie par :{

u0 = 1

un+1 = 1 + 1−2−n

2un

1. montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2

2. montrer que (un )est croissante en déduire qu ’elle set convergente et donner sa limite

Exercise 10 soit (un)n≥1 la suite définie par un =k=n∏k=1

cos( α

2k

)1. montrer que la suite est décroissante et minonré en déduire la convergence de (un)n≥1

2. montrer que ∀n ≥ 1 : un =sin α

α

α2n

sin(

α2n

) en déduire la valeur de la limite de (un)n≥1

Exercise 11 soit a ∈ ]0, 1[ et soit (un)n≥1 la suite définie par un =k=n∏k=0

(1 + a2k

)Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc 13


1. montrer que la suite (un)n≥1 est croissante

2. montrer que ∀n ≥ 1 : un =1− a2n+1

1− aen déduire que (un)n≥1 est majoré

3. déduire la convergence de (un)n≥1 et calculer sa limite

Exercise 12 soit x > 0 on pose un = n√

x

1. étudier suivant la valeur de x la monotonie de la suite (un)

2. déduire que pour tout x la suite (un) est convergente

3. on suppose dans cette question que x ≥ 1 montrer que 0≤ x√

x− 1 ≤ 1n

(x− 1) en déduire quedans ce cas lim

n→+∞un = 1

4. montrer que pour tout x > 0 on a limn→+∞

n√

x = 1

Exercise 13 1. montrer que

∀k ∈ N∗ :1

(n + 1)32

<2

n12

− 2

(n + 1)12

<1

n32

2. pour chaque n∈ N tel que n ≥ 1 on pose Sn =k=n∑k=1

1

k32

(a) montrer que la suite (Sn) est majoré par 3

(b) déduire la convergence de(Sn) vers un réel ` tel que 2 ≤ ` ≤ 3

Exercise 14 soit a ≥ 1 pour chaque n ∈ N tel que n ≥ 1 on pose un (a) = n ( n√

a− 1)

1. montrer que 0≤ n√

a− 1 ≤ 1n

(a− 1)en déduire que la suite (un (a))n est borné

2. étudier la monotonie de (un (a))nen déduire qu’elle est convergente dans la suite on note L (a)sa limite

3. montrer que L (1) = 0 et L (a) ≤ a− 1 et que :

1 < a < b =⇒ L (a) ≤ L (b)

4. montrer que pour tout (a, b) ∈ ]1, +∞[ 2 : L (ab) = L(a) + L(b)

2.3 convergences et comparaison

Exercise 15 soit x ∈ R montrer que limn→+∞

E(10nx)10n = x

Exercise 16 soit x ∈ R montrer que limn→+∞

k=n∑k=1

E(kx)n2 = x

2

Exercise 17 montrer que limn→+∞

n!

nn= 0


2.3. CONVERGENCES ET COMPARAISON

Exercise 18 soit (un)n est une suite de nombre relatifmontrer que si (un)n est une suite convergente alors elle est stationnaire

Exercise 19 On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par un =3n

n!

1. Montrer qu’il existe un entier N à partir duquel un+1 61

2un

2. En déduire que pour tout n > N , 0 6 un 6

(1

2

)n−N

uN . Conclure.

Exercise 20 montrer que limn→+∞

(k=2n+1∑

k=1

1√n2 + k

)= 2

Exercise 21 soit (un)n≥1 la suite définie par un =1

2√

n

k=n

.∑k=1

1√k

1. montrer que ∀n ≥ 1 :1

2√

k + 1≤√

k + 1−√

k ≤ 1

2√

k

2. déduire que (un)n≥1 est convergente et donner sa limite

Exercise 22 soit (un) la suite définie par un =k=n∑k=0

1

Ckn

1. montrer que ∀n ≥ 2 : 2 ≤ un ≤ 2 +2

n+

n− 3

C2n

2. déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite

Exercise 23 On considère la suite u définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 =√

un + 2.

1. Montrer que ∀ n > 0, un > 0 et déterminer ses limites éventuelles.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, |un+1 − 2| 6 1

2|un − 2|.

3. En déduire que, pour tout entier naturel n, |un − 2| 6 1

2n|u0 − 2|. Conclure.

Exercise 24 Soit u la suite définie par un+1 =u2

n

3un + 1et u0 > 0.

1. Montrer que ∀ n > 0, un existe et un > 0. En déduire la monotonie de u.

2. La suite est-elle convergente et calculer sa limite éventuelle ?

3. Montrer que ∀ n > 0, un+1 6un

3puis que ∀n > 0, un 6 (

1

3)nu0.

Retrouver ainsi le résultat de la question précédente.

Exercise 25 pour chaque entier n >1 on pose un = n√

n− 1

1. en utilisant la formule de binôme de newton montrer que n ≥ C2n × (un) 2

2. Déduire que pour chaque entier n >1 :0 < un <

√2

n− 1calculer lim

n→+∞n√

n



Exercise 26 soit (un) la suite définie par u0 =1

4et un+1 =

1−√

1− un

2

1. montrer que ∀n ≥ 0 : un = sin2( π

6.2n

)2. montrer que ∀t ∈

[0,

π

2

]: 2

πt ≤ sin t ≤ t déduire que

n

√1

9.4n≤ n√

un ≤n

√π2

4n

3. calculer la limite limn→+∞

n√

un

Exercise 27 soit f la fonction définie sur R par f(x) =x√

1 + x

1. montrer que ∀x > 0 : x− x2

2< f (x) < x

2. pour chaque entier n>0 on pose un =k=n∑k=1

f

(k

n2

)en utilisant 1 montrer que lim

n→+∞un = 1

2on

rappel quek=n∑k=1

k2 =n (n + 1) (2n + 1)

6

Exercise 28 on considère les suites (un) et (vn) tel que un =k=n∑k=1

arctan

(k

n2

)et vn =

k=n∑k=1

k

n2

1. montrer que limn→+∞

vn =1

2

2. montrer quek=n∑k=1

k3 ≤ n4

3. on admet que ∀t > 0 : t− t3

3< arctan t < t montrer que ∀n ≥ 1 : vn −

1

3

1

n2≤ un ≤ vn

4. déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite

Exercise 29 Soit u la suite définie par u0 > 0 et un+1 = un +1

un

.

1. Montrer que ∀ n > 0, un > 0. Déterminer la monotonie de u et les limites éventuelles de u ?

2. Montrer que ∀ n > 0, u2n+1 − u2

n > 2 En déduire que ∀ n > 0, un >√

2n + u20 et déterminer

la limite de u.

2.4 suites adjacentes

Exercise 30 On considère les suites u et v définies par

∀n ∈ N×, un =n−1∑k=0

2

(4k + 1)(4k + 3)et vn = un +

1

4n− 1.

Montrer que les suites u et v sont adjacentes. En déduire qu’elles convergent vers une même limiteL.


2.4. SUITES ADJACENTES

Exercise 31 On définit deux suites a et b par an =n∑

k=0

1

k!et bn = an +

1

n× n!.

Montrer que ces deux suites sont adjacentes. Conclusion.

Exercise 32 soit (un)n≥1 la suite définie par un =k=n∑k=1

(−1)k

(2k)!et on pose

an = u2n et bn = u2n+1

1. montrer que les deux suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ sont adjacentes2. soit ` leur limite commune à l’aide de la définition de la limite montrer que la suite(un)n≥1

converge vers `

3. montrer que an ≤ ` ≤ bn

Exercise 33 Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On définit deux suites u et v par

u0 = a, v0 = b et ∀n > 0 un+1 =2unvn

un + vn

et vn+1 =un + vn

2.

1. Montrer que ∀n > 0, 0 < un < vn.

2. Montrer que la suite u est croissante et la suite v est décroissante

3. Démontrer que ∀n > 0, vn+1 − un+1 61

2(vn − un)

4. Déduire des questions précédentes que les deux suites convergent vers la même limite l..5. Calcul de la limite de u. On note l = lim

n→+∞un = lim

n→+∞vn.

(a) Déterminer la limite de la suite (unvn).

(b) Montrer que la suite (unvn)n est constante et expliciter la constante.(c) En déduire la limite de u et v.

6. application calculer des valeurs approchés de√

6 par cette méthode avec a=2 et b=3combien de termes faut -il au plus calculer pour obtenir une valeur approchée de

√6 à 10−3

près

Exercise 34 soit (un) une suite positive décroissante de limite 0

Sn = u1 − u2 + ... + (−1)n un =n∑

k=1

(−1)k+1 uk

1. Vérifier que (S2n)n>1 et (S2n−1)n>1 sont adjacentes soit S leur limite commune2. Montrer que |S − Sn| 6 un+1 et que S − Sn est du signe de (−1)n .

3. Déterminer à 10−2 près S dans les cas suivants un=1

n

Exercise 35 soit x ∈[0,

π

2

[pour chaque n ∈ N on pose

Sn (x) =k=n∑k=0

(−1)k

2k + 1(tan x)2k+1



1. vérifier que pour chaque n ∈ N : Sn est une fonction dérivable sur[0,

π

2

[et que

S ′n (x) = 1 + (−1)n (tan x)2n+1

2. déduire que∀x ∈

[0,

π

2

[,∀n ∈ N : S2n+1 (x) < x < S2n (x)

3. on pose an =k=2n+1∑

k=0

(−1)k

2k + 1et bn =

k=2n∑k=0

(−1)k

2k + 1

(a) montrer que les deux suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ sont adjacentes(b) calculer leur limite commune

Exercise 36 montrer que dans chacun des cas les suites (un) et (vn) sont adjacentes

1. pour θ ∈]0,

π

2

[un = 2n+1 sin

(θ

2n

), vn = 2n+1 tan

(θ

2n

)2. un =

(k=n∑k=1

1√k

)− 2

√n + 1 , vn =

(k=n∑k=1

1√k

)− 2

√n

3. un =E (10nx)

10net vn = un +

1

10n

4. un = 2n

a

1

2n − 1

et vn = 2n

1− a−

1

2n

où a > 1

5. un = 3√

u2n.vn et vn =

2un + vn

3avec0 < u0 < v0

6. un =Cn

2n

4n

√n et vn =

Cn2n

4n

√n + 1

7. un =k=n∏k=1

cos(

π2k

)et vn = un × cos

(π2n

)

Exercise 37 (un) et (vn) sont deux suites définies par :{

u0 = 1v0 = 12

et pour tout entier n :

un+1 =

un + 2vn

3

vn+1 =un + 3vn

4

1. Démontrer que la suite (vn − un) est géométrique. Trouver sa limite.2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.3. Démontrer que la suite (tn) définie pour tout n par tn = 3un + 8vn est constante.

Que peut-on en déduire pour les suites (un) et (vn) ?

Exercise 38 soit (xn) et (yn) deux suites définies par

x0 < y0

xn+1 =2

1

xn

+1

yn

yn+1 =xn + yn

2


2.5. LIMITE DE LA COMPOSÉE D’UNE SUITE ET D’UNE FONCTION

1. montrer que ∀n ∈ N : 0 < xn < yn et que 0 < yn+1 − xn+1 <1

2(yn − xn)

2. montrer que les deux suites (xn) et (yn) sont adjacente

3. calculer en fonction de x0ety0 leur limite commune

2.5 limite de la composée d’une suite et d’une fonction

Exercise 39 soit f la fonction définie par{

f (x) = 1, x ∈ Qf (x) = 0, x /∈ Q on se propose de montrer que f est

discontinue en tout point de Rsoit x0 ∈ R

1. pour chaque entier n on pose un =E (10nx)

10net vn = un +

√2

10nmontrer que lim

n→+∞un =

limn→+∞

vn = x0

2. calculer f(un) et f(vn) on pourra remarquer que√

2 /∈ Q3. déduire que si f est continue en x0 alors f (x0) = 0 et f (x0) = 1

4. conclure

Exercise 40 en utilisant le meme procédé vu dans l’exo précédent montrer si f est une fonction conti-nue sur R et nulle surQ alors elle est nulle sur R

2.6 suites récurrentes double

Exercise 41 soit (an) une suite numérique définie par{

a0 = a1 = 1an+2 = an+1 + an

1. montrer que ∀n ∈ N : an ∈ N∗ et étudier la monotonie de(an)

2. montrer que ∀n ∈ N : an+1− an ≥ 1 en déduire que ∀n ∈ N : an ≥ n et calculer limn→+∞

an

3. montrer que ∀n ∈ N : an ∧ an+1 = 1

4. soit ` l’unique solution positive de l’équation x = 1 + 1x

(` = 1+

√5

2

)on pose bn = an+1 − `.an

(a) montrer que (bn) est une suite géométrique

(b) déduire que bn = (−1`

)n+1

5. vérifier que an+1

an− ` = 1

an(−1

`)n+1en déduire que la suite

(an+1

an

)n≥0

est convergente et

calculer sa limite

Exercise 42 soitE l’ensemble des suites numériques (un) définie par un+2 = 3.un+1 − 2un +3

2n+1



1. déterminer le réel λ pour le quel(

λ

2n

)∈ E

2. soit (un) ∈ E on pose vn = un −1

2nmontrer que la suite (vn) vérifie une relation de type

vn+2 = a.vn+1 + bvn

3. montrer que pour tout entier n vn =

4. déduire l’ensemble de E

5. soit (un) ∈ E .déterminer une condition nécessiare et suffisante vérifié par u0 et v0 pour que lasuite (un) converge

Exercise 43 Moyenne arithmético-géométrique de deux réels > 0 a et b, a 6 b ;

1. (a) Montrer que a 6√

ab 6a + b

26 b.

(b) Soient a0 = a, b0 = b, puis pour tout n ∈ N

an+1 =√

anbn et vn+1 =an + bn

2

(c) Montrer que (an) et (bn) ont une limite commune. (C’est par définition la moyennearithmético-géométrique de a et b).

(d) Calculer b2n − a2

n en fonction de bn−1 et an−1 et en déduire que si εn = bn − an,

2εnan + ε2n =

ε2n−1

4puis que εn 6

ε2n−1

8a6

(b− a)2n

(8a)n .

2. Application : calculer la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 2 à 10−8 près.

Exercise 44 suite de schowb :Soient a0 = a, b0 = b avec 0 < a 6 b, puis pour tout n ∈ N

an+1 =1

2(an + bn) et bn+1 =

√an+1bn

1. (a) Montrer que (an) et (bn) sont adjacentes ; soit l sa limite.

(b) On pose qn =an

bn

; vérifier que qn+1 =

√1 + qn

2.

(c) soit αdans [0, π] telque cos α =a

b, montrerque an = bn cos

α

2n, puis que bn =

b0sin α

2n sinα

2n

.

(d) En déduire que l = b0sin α

α=

√b2 − a2

arccosa

b

.


2.7. SUITE DÉFINIE PAR RÉCURRENCE DE TYPE UN+1 = F (UN)

2.7 Suite définie par récurrence de type un+1 = f (un)

Une suite est définie par récurrence lorsqu’on connaît son premier terme et une relationde la forme : un+1 = f(un) pour tout entier naturel n, où f désigne une fonction.

On peut alors représenter les termes de la suite u à l’aide de la représentation graphiquede la fonction f .

exempleReprésentation des premiers termes de la suite u définie par récurrence par :{

u0 = 0, 027un+1 = 1 + 2 3

√un

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite D d’équation y = x et la courbe d’équa-tion y = f(x) où f est le fonction définie sur ]0; +∞[ par : f(x) = 1 + 2 3

√x.

Pour représenter les premiers termes sur l’axe des abscisses, on place :– sur l’axe des abscisses, le point d’abscisse u0 ;– sur la courbe , le point d’abscisse u0 ; son ordonnée est u1 = f(u0) ;– sur la droite D, le point d’ordonnée u1 ; son abscisse est aussi u1.Ayant obtenu sur l’axe des abscisses un point d’abscisse u1, il ne reste qu’à itérer la dé-

marche :lecture et report sur l’axe des abscisses de u2 = f(u1), puis de u3 = f(u2), etc. . .

La lecture graphique donne des valeurs approchées des un, et elle permet d’émettre desconjectures concernant le comportement global et asymptotique de la suite. Elle semble :

– croissante ;– converger vers l’abscisse du point d’intersection de et de D.

2.7.1 cas d’une fonction affine

Exercise 45 soit (un) la suite définie{

un+1 = 2un + 1u0 = 0

1. illustrer graphiquement le comportement de la suite

2. soit vn = un + 1 montrer que la suite(vn) est une suite géométrique

3. retrouver la limite de la suite (un)

2.7.2 cas d’une fonction homographique

soit f la fonction définie par f (x) = ax+bcx+d

telle que ad− bc 6= 0 on considère la suite définiepar un+1 = f (un)

si la suite (un) converge alors sa limite est solution de l’équation f (x) = x

1. si l’équationf (x) = x admet deux solutions α, β

exemple

un+1 =2 + un

un

u0 = 1

– illustrer graphiquement le comportement de la suite , préciser α, β



– soit vn =un − 2

un + 1montrer que la suite(vn) est une suite géométrique

– déduire la limite de la suite (un)

2. si l’équationf (x) = x admet une unique solution α

exemple

un+1 =4un − 1

un + 2u0 = 3

– illustrer graphiquement le comportement de la suite , préciser α

– soit vn =1

un − αmontrer que la suite(vn) est une suite arithmétique

– déduire la limite de la suite (un)

3. si l’équationf (x) = x n’admet pas de solutionque peut on conclure pour la suite (un)

2.7.3 cas d’une fonction croissante

Exercise 46 soit f la la fonction définie sur R+ par f (x) = 3

√1 + 1

2x3

1. donner l’image des intervalles I =[

3√

2, +∞[

et J=[0, 3√

2]

2. etudier le signe de f(x)− x

3. soit (un) la suite définie{

un+1 = f (un)u0 ∈ R+

(a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ R+

(b) déterminer la valeur de u0 pour que la suite soit constante

(c) étudier la monotonie de (un) discuter suivant la valeur de u0

(d) montrer que pour toute valeur de u0 la suivante est cxonvergente

(e) soit (vn) la suite définie par vn = u3n−2 montrer que est une suite géométrique et calculer

la limite de un

Exercise 47 soit (un) la suite définie{

un+1 = 4 3√

un − 1 + 1

u0 = 1 + 2√

2

1. montrer que ∀n ∈ N : 1 < un < 9

2. étudier la monotonie de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente

3. montrer que ∀n ∈ N : 0 < 9− un <2

3(9− un) déduire la limite de (un)

Exercise 48 soit (un) la suite définie

un+1 =9un

6 + u3n

u0 = 1

1. soit f la fonction definie f (x) =9x

6 + x3

(a) donner le sens de variation de f sur R+ et montrer que f([

0, 3√

3])⊂

[0, 3√

3]


2.7. SUITE DÉFINIE PAR RÉCURRENCE DE TYPE UN+1 = F (UN)

(b) résoudre dans R+l’équation f(x) = x

2. à l’aide de f montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤ un ≤ 3√

3

3. justifier que (un) est croissante



un+1 =1

3

(2un +

2

u2n

)u0 = 2

1. montrer que ∀n ∈ N : 3√

2 < un

2. étudier la monotonie de la suite (un)

3. déduire qu’elle est convergente et donner sa limite


un+1 =u3

n + 6un

2 + 3u2n

u0 ∈ R+

1. déterminer u0 pour que la suite (un) soit constante

2. on suppose que u0 ∈]0,√

2[

(a) montrer que ∀n ∈ N : 0 < un <√

2

(b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente etdonner sa limite

3. on suppose que u0 ∈]√

2, +∞[

(a) montrer que ∀n ∈ N :√

2 < un

(b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente etdonner sa limite

4. montrer quelque soit la valeur de u0 la suite est convergente

Exercise 51 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = 2. arctan

(2√

x

1 + x

)1. étudier les variations de f

2. justifier que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2] et montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solutionα ∈ [1, 2]


un+1 = f (un)u0 = 1

(a) montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2

(b) à l’aide du théorème des acroissement finis montrer ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ 1

4. |un − α|

(c) déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite



Exercise 52 On considère la suite u définie par

∀n ∈ N, un+1 =2(un)2 + 2un + 1

2un + 1.

1. On suppose dans cette question que u0 ∈ R+.

(a) Montrer que ∀n ∈ N, un > 0.

(b) Etablir que ∀n ∈ N, un+1 > un +1

2puis que ∀n ∈ N, un > u0 +

n

2.

(c) En déduire la limite de la suite (un)n.

2. On suppose dans cette question que u0 6 −1.

(a) Montrer que ∀n ∈ N, un 6 −1.

(b) Etudier la monotonie de la suite u puis justifier la convergence de la suite u.

(c) Calculer la limite de cette suite.

Exercise 53 On considère la fonction f : R −→ R définie par : f(x) =x3 + 6x + 1

9

et l’on définit la suite (un)n>0 en posant : u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un) =(un)3 + 6un + 1

9.

1. Montrer que l’équation x3− 3x+1 = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle[0,

1

2

].

2. Montrer que l’équation f(x) = x est équivalente à l’équation x3 − 3x + 1 = 0.

En déduire que α est l’unique solution de l’équation f(x) = x dans l’intervalle[0,

1

2

].

3. Montrer que ∀x ∈ [0, α] , x 6 f(x).

4. Montrer, par récurrence, que ∀n ∈ N, 0 6 un 6 α.

5. A l’aide de la question 3, donner la monotonie de la suite u.

6. En déduire que la suite (un)n converge et justifier que sa limite est α.

2.7.4 cas d’une fonction décroissante

Exercise 54 1. soit f la fonction definie f (x) = 3√

6− x

(a) donner le sens de variation de f et donner f ([1, 5]) ⊂ [1, 5]

(b) montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution αdans ]1, 5[

(c) montrer que ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 : |f(x)− f(y)| ≤ 1

3|x− y|

2. soit (un) la suite définie par{

u0 = 1un+1 = f(un)

montrer que

∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ 1

3|un − α|

en déduire que la suite (un )est convergente et donner sa limite


2.8. SUITE DÉFINIE IMPLICITEMENT

3. on pose an = u2n et bn = u2n+1

(a) montrer que ∀n ∈ N : an ≤ bn

(b) montrer que (an)est croissante et (bn) est décroissante(c) montrer que

∀n ∈ N : |bn+1 − an+1| ≤1

9|bn − an+1|

(d) montrer que les deux suites (an) et (bn)sont adjacentes et donner leur limite commune

2.8 suite définie implicitement

Exercise 55 1. montrer que pour tout entier n tel que n ≥ 2 l’équation (En) : xn+1−2x+1 = 0admet une unique solution xn ∈ ]0, 1[

2. on définie donc une suite (xn)n≥2

(a) montrer que (xn)n≥2 est une suite décroissante

(b) montrer que (xn)n≥2 est une suite convergente et que limn→+∞

xn =1

2

Exercise 56 Pour tout entier naturel n, on considère l’équation

(Fn) : xn + 5x− 1 = 0

1. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, l’équation (Fn) admet une et une seule solutionsur R+.On note βn cette solution.

(b) Calculer β0, β1, β2.

(c) Démontrer que ∀n > 0, 0 < βn 61

5.

(d) En déduire que limn→+∞

(βn)n = 0.

(e) En utilisant l’équation satisfaite par βn, en déduire limn→+∞

βn.

(f) On souhaite déterminer la monotonie de la suite (βn)n.Pour cela, on considère la fonction fn : x 7→ xn + 5x− 1.

i. Montrer que ∀x ∈]0, 1[, fn+1(x) < fn(x).

ii. En évaluant cette inégalité en x = βn, déterminer le signe de fn+1(βn).

iii. Que vaut fn+1(βn+1) ? Déduire de cette question et de la précédente que

∀n > 0, fn+1(βn) < fn+1(βn+1)

iv. Quelle est la monotonie de la suite (βn)n ?

Exercise 57 Pour tout entier naturel n ≥ 1, on considère l’équation

(En) : xn + xn−1 + ......... + x− 1 = 0



1. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, l’équation (En) admet une et une seule solutiondans ]0, 1[On note αn cette solution.

2. Calculer α1, α2.

3. montrer que la suite (αn)n≥1 est décroissante en déduire qu’elle est convergente

4. montrer que ∀n > 1, αn (1− (αn)n) = 1− αn

5. En déduire que limn→+∞

αn = 12

2.9 aproximation d’un réel par une suite

2.9.1 méthode d’itération

2.9.2 méthode dichomie

Exercise 58 voir exercice 46 du livre page 85 ( bac93)

2.9.3 méthode de Newton

Partie I

soit g la fonction défine par g (x) = 2x3 + x− 5

1. montrer que g et g′ sont deux fonctions strictement croissantes sur ]1, 2[

2. montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[

3. soit x ∈]α, 2[ montrer que α < x− g (x)

g′ (x)

Partie II

soit (un) la suite numérique définie par

u0 = 1.98

un+1 = un −g (un)

g′ (un)

1. montrer que ∀ ∈ N∗ : α < un < 2

2. etudier la monotonie de (un)


4. en utilisant l’expression de g montrer que un+1 − α =4un + 2α

6 (un)2 + 1(un − α)2

5. vérifier que4un + 2α

6 (un)2 + 1≤ 1 en déduire que 0 < un+1 − α < (un − α)2

6. montrer que 0 < un − α < (u0 − α)2n

7. determiner la valeur de n pour avoir une valeur approchée de α à 10−6


2.10. DÉVELLOPEMENT ILLIMTÉ DÉCIMAL D’UN RÉEL

2.10 Dévellopement illimté décimal d’un réel

Exercise 59 soit x ∈ R on pose pn = E (10nx) et un =E (10nx)

10net vn =

E (10nx)

10n+

1

10n

1. montrer que ∀n ∈ N : un ≤ x < vn

2. montrer que ∀n ∈ N : pn+1 − 10pn ∈ {0, 1, ...., 9}3. monteer que les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes et donner leur limite commune

4. on pose a0 = p0 et pour tout n ∈ N∗ :an = pn − 10pn−1

(a) montrer que ∀n ∈ N∗ : un =k=n∑k=0

ak

10k= a0, a1........an

(b) exemple : donner le deellopement décimal de 0, 444...........


2ième bac SM B. Ibn hazm kharbat :page 40/ 51Année Scolaire 2007/2008

3Novembre 2007 prof :kharbat

Exercices de Mathématiques Année Scolaire 2007/2008 CHAPITRE 3. DÉRIVÉE ET T.A.F

3 Dérivée et T.A.F

3.1 Dérivations de quelques fonctions usuelles

Exo 1 soit f la fonction définie par f (x) = arctan(x 3√|x|)

1. présiser Df et etudier la parité de f

2. déduire la dérivabilité de f en 0 interpréter géométriquement le resultat

3. calculer f ′(x) pour ]0, +∞[

Exo 2 soit f la fonction définie par{f(x) = 3

√x3 − x; x > 1

f(x) = arctan(1− 3

√x2)

; 0 ≤ x ≤ 1

1. vérifier que Df = R+ et montrer que f est continue sur Df

2. étudier la dérivabilité de f en 1 et à droite de 0 puis interpreter géométriquement les resultats

3. calculer f′(x) pour x ∈ ]0, 1[ et ]1, +∞[

Exo 3 soit f la fonction définie par f (x) = 3 3√

x− 5 5√

x

1. calculer la limite de f en +∞2. étudier la dérivablité de f à droite de 0

3. Calculer f′(x) pour x > 0

4. Déduire f est minoré par -2

Exo 4 soit f la fonction définie par f (x) = 4 4

√(x− 1)2 − 3 3

√(x− 1)2

1. préciser Df et montrer que la droite ∆ : x = 1 est un axe de symétrie de Cf

2. calculer la limite de f en +∞3. étudier la dérivablité de f à droite de 1

(a) montrer que ∀x > 1 : f′(x) = 2

6

√(x− 1)2 − 6

√(x− 1)3

6

√(x− 1)5

(b) donner le tableau de variation de f

Exo 5 soit f la fonction définie par

f (x) = 3√

x3 − x2 + x ; x ≥ 1

f (x) =2

πx arctan

1√1− x

; x < 1

1. préciser Df et montrer que f est continue en 1



(a) montrer que ∀t > 0 : arctan t + arctan1

t=

π

2

(b) déduire la valeur de limx→−∞

f(x)

2. calculer de même limx→+∞

f(x)

3. étudier la dérivablité de f en 1

4. calculer f′(x) pour x 6= 1

Exo 6 On considére la fonction :{

f(x) = 3√

x2 − x3 ; x ≤ 0f(x) = x arctan( x

x+1) ; x >0

1. Etudier la contnuité de f en 0 et Calculer les limites : limx→−∞

f(x) et limx→+∞

f(x)

2. Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter le résultat

3. Montrer que la droite D :y=-x+13

est une assymptote à la courbe (Cf ) en -∞.

4. montrer que la droite D : y = π4x− 1

2est une asymptote à Cf au voisinage de+∞

5. Montrer que :∀x < 0 : f ′(x) = x(2−3x)

3 3√

(x2−x3)2et calculer :f ’(x) pour x>0

6. Dresser le tableau de variation de f.

7. Tracer la courbe (Cf ).( on admet qu’elle a un point d’inflexiond’abscisse négative)

8. Soit g la réstriction de f sur R+

(a) Montrer que g est une bijection de IR+dans un intervalle J à déterminer

(b) Calculer limx→0+

g−1(x)x

et tracer (Cg−1).

Exo 7 Soit f une fonction dérivable sur R ; montrer les équivalences :

f est impaire ⇔ f ′ est paire et f(0) = 0

f est paire ⇔ f ′ est impaire

f est périodique ⇔ f ′ est périodique et f est bornée

Exo 8 en utilisant la dérivée montrer les propositions suivantes

1. : ∀x > 0 : arctan x + arctan1

x=

π

2

2. ∀x > 0 : arctan(12

(x− 1

x

)) = 2 arctan x− π

2

3. ∀x ∈ R : arcsin

(x− 1

x + 1

)=

3π

4+ arctan x ; x > −1

-π

4+ arctan x ; x < −1

4. ∀ (a, b) ∈ R+2:

3√

a2b ≤ 2a + b

3



3.2 Théorème des accroissement finis et théorème de Rolle

Exo 9 en utilisant le théorème des accroissement finis montrer que

1. ∀x > 0;∀r ∈]0, 1[∩Q :a

(1 + x)1−a ≤ (x + 1)a − xa ≤ a

x1−a

2. ∀x ≥ 0 :x

1 + x2≤ arctan x ≤ x

3. ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 :∣∣ 3√

6− x− 3√

6− y∣∣ ≤ 1

3|x− y|

4. ∀ (x, y) ∈ R2 : |arctan x− arctan y| ≤ |x− y|

5. ∀x > 1 : arctan (x + 1)− arctan x ≤ 1

1 + x2≤ arctan (x)− arctan(x− 1)

application :on considère les deux suites (an) et (bn) telles que

an =

(k=n∑k=0

1

1 + k2

)− arctan (n + 1)

et

bn =

(k=n∑k=0

1

1 + k2

)− arctan (n)

montrer que les deux suites sont adjacentes

6. ∀a > 1,∀n ∈ N∗ : 0 < n√

a− 1 ≤ a− 1

nen déduire que ∀x > 0 lim

n→+∞n√

x = 1

7. ∀x ∈ R : |sin x| ≤ |x|

Exo 10 1. en utilisant le théorème des accroissement finis montrer que

∀k ∈ N∗ :1

(k + 1)32

<2

k12

− 2

(k + 1)12

<1

k32

2. pour chaque n∈ N tel que n ≥ 1 on pose Sn =k=n∑k=1

1

k32

(a) montrer que la suite (Sn) est majoré par 3(b) déduire la convergence de(Sn) vers un réel ` tel que 2 ≤ ` ≤ 3

Exo 11 montrer les inégalités suivantes

1. ∀x > 0 : x− x3

3< arctan x < x− x3

3+

x5

5en déduire lim

x→0

arctan x− x

x3

2. ∀x ≥ 0 : (arctan x)2 ≥ x2

1 + x2

3. ∀x ≥ 0,∀n ∈ N : (1 + x)n ≥ 1 + nx inégalité de bernoulli

4. ∀x ∈[0,

π

2

[: 2 sin x + tan x ≥ 3x inégalité de Huygens

Exo 12 soit u une fonction dérivable surR telle que ∀x ∈ R :∣∣u′

(x)∣∣ ≤ x4 montrer en utilisant T.A.F

montrer que ∀x ∈ R : |u (x)− u (0)| ≤ |x|5application

montrer que ∀x ∈ R :∣∣arctan x− x + 1

3x3∣∣ ≤ |x|5 en déduire à nouveau lim

x→0

arctan x− x

x3



Exo 13 soit a > 1 pour chaque n ∈ N tel que n ≥ 1 on pose un (a) = n ( n√

a− 1)

1. montrer que 0≤ n√

a− 1 ≤ 1n

(a− 1)en déduire que la suite (un (a))n≥1 est borné

2. montrer que pour tout t>1 (n + 1) (tn − 1) > n (tn+1 − 1) en déduire la monotonie de (un (a))n≥1

3. déduire que (un (a))n≥1 est convergentedans la suite on note L (a) sa limite

4. montrer que L (1) = 0 et L (a) ≤ a− 1 et que :

1 < a < b =⇒ L (a) ≤ L (b)

5. montrer que pour tout (a, b) ∈ ]1, +∞[ 2 : L (ab) = L(a) + L(b)

Exo 14 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = 2. arctan

(2√

x

1 + x

)1. étudier les variations de f

2. justifier que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2] et montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈ [1, 2]


un+1 = f (un)u0 = 1

(a) montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2

(b) à l’aide du théorème des acroissement finis montrer ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ 1

4. |un − α|

(c) déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite

4. soit f la fonction definie f (x) = 3√

6− x

(a) donner le sens de variation de f et donner f ([1, 5]) ⊂ [1, 5]

(b) montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution αdans ]1, 5[

(c) montrer que ∀ (x, y) ∈ [1, 5]2 : |f(x)− f(y)| ≤ 1

3|x− y|


u0 = 1un+1 = f(un)

on pose an = u2n et bn = u2n+1

(a) montrer que ∀n ∈ N : an ≤ bn

(b) montrer que (an)est croissante et (bn) est décroissante

(c) montrer que

∀n ∈ N : |bn+1 − an+1| ≤1

9|bn − an+1|

(d) montrer que les deux suites (an) et (bn)sont adjacentes et donner leur limite commune

Exo 15 soit f une fonction définie sur R telle que ∃k ∈ ]0, 1[∀x ∈ R :∣∣f ′

(x)∣∣ ≤ k

1. montrer que ∀ (x, y) ∈ R2 : |f(x)− f (y)| ≤ k |x− y|2. déduire que si l’équation f (x) = x admet une solution alors cette solution est unique

Exo 16 soit f la fonction définie sur R par{

f(x) = x arctan(1 + 1

x

), x 6= 0

f(0) = 0

1. étudier la continuité et la dérivabilité de f de 0



2. étudier les branches infinies de Cf

3. calculer f ′(x) et f′′(x)pour x 6= 0

4. étudier la concavité de f

5. montrer que l’équation f′(x) = 0 admet une unique solution α ∈

]−1

2, 0[

6. donner le tableau de variation de f

7. Tracer la courbe Cf

8. On considère la suite (un) définie par : u0 > 0 et pour tout n ≥ 0 un =12(1− f(un)).

(a) Montrer que l’équation f(x)=-2x+1 admet une seule solution β >0.

(b) Montrer que : ∀n ∈ IN : |un+1 − β| ≤ π4|un − β|

(c) En déduire que (un) est convergente et donner sa limite.

Exo 17 soit f la fonction définie par f (x) =x + 1√2x2 + 2

1. montrer que ∀x ∈ ]0, 1[ : 0 < f′(x) <

1√2

2. vérifier que 1 est l’unique solution de l’équation f(x) = x


u0 = 0un+1 = f (un)

(a) montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤ un < 1

(b) montrer en utilisant TAF montrer que ∀n ∈ N : |un+1 − 1| ≤ 1√2|un − 1|

(c) déduire que (un) est convergente et donner sa limite

Exo 18 soit f une fonction non constante deux fois dérivable sur telle que f ,f’ et f” sont positives

1. montrer que ∃a ∈ R : f ′(a) > 0

2. déduire que ∀x ∈ R : (x > a =⇒ f ′(x) ≥ f ′(a))

3. en utilisant le théorème des accroissements finis montrer que

∀x ∈ R :x > a =⇒ f(x) ≥ f(a) + (x− a) f ′(a)

4. déduire la limite limx→+∞

f (x)

Exo 19 soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x) = 12(1− x)

53

1. etudier la dérivabilité de f à gauche de 1

2. calculer f′(x) pour x∈ [0, 1] et montrer que f

′(x) ∈ [−5

6, 0]

3. montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈ [0.25, 0.3]


u0 = 0.3un+1 = f (un)

(a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ [0, 1]

(b) montrer que ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤ 5

6|un − α|

(c) déduire que la suite(un) est convergente et donner sa limite



Exo 20 soit x ∈ ]0, +∞[ un réel fixé. pour tout t ∈ ]0, x[on pose U(t) = t − arctan t et V (t) = t3 etW (t) = U(x)V (t)− U(t)V (x)

1. véifier que W (x) = W (0) = 0

2. à l’aide du théorème de Rolle montrer que

∃c ∈ ]x, 0[ :U(x)

V (x)=

U/(c)

V /(c)

3. déduire que limx−→0

x− arctan x

x3= 1

3

Exo 21

Exo 22 soit g la fonction défine par g (x) = 2x3 + x− 5

1. montrer que g et g′ sont deux fonctions strictement croissantes sur ]1, 2[

2. montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]1, 2[

3. soit x ∈]α, 2[ montrer en utilisant leThéorème des accroissement finis que α < x− g (x)

g′ (x)

Partie II

soit (un) la suite numérique définie par

u0 = 1.98

un+1 = un −g (un)

g′ (un)

1. montrer que ∀ ∈ N∗ : α < un < 2

2. etudier la monotonie de (un)


4. en utilisant l’expression de g montrer que un+1 − α =4un + 2α

6 (un)2 + 1(un − α)2

5. vérifier que4un + 2α

6 (un)2 + 1≤ 1 en déduire que 0 < un+1 − α < (un − α)2

6. montrer que 0 < un − α < (u0 − α)2n

7. determiner la valeur de n pour avoir une valeur approchée de α à 10−6

Exo 23 soit g une fonction dérivable sur un intervalle [0, 1] à dérivée continue sur[0, 1] et telle que g/dérivablesur ]0, 1[on considere la fonction Ψ définie sur

[0, 1

2

]telle que

Ψ(x) = g(1

2− x)− 2g(

1

2) + g(

1

2+ x)− Ax2

où en choisissant A tel que Ψ(12) = 0

1. en utilisant le théorème de Rolle appliqué à Ψ sur[0, 1

2

]montrer que

∃α ∈]0,

1

2

[: 2Aα = g/(

1

2+ α)− g/(

1

2− α)

2. déduire en utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à g/ que ∃c ∈]

12− α, 1

2+ α

[:g//(c) = A



3. conclure que ∃c ∈ ]0, 1[ : g(0)− 2g(12) + g(1) = 1

4g//(c)

Exo 24 soit f une fonction dérivable à dérivée seconde continue sur [a,b] telle que f ′(a) = f ′(b) = 0

1. justifier l’existence de c∈]a,b[ tel que f(b)− f(a) = (b− a)f ′(c)

2. en appliquant le TAF à f ’sur[a,c] et sur [c,b] montrer que |f (b)− f (a)| ≤ 1

2(b− a)2 M où M =

maxx∈[a,b]

∣∣f ”(x)∣∣

Exo 25 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit p le nombre de racines de f sur I, et p′ le nombrede racines de f ′ sur I. Quelle inégalité déduite du théorème de Rolle relie p et p′ ?

Exo 26 soit f une fonction deux fois dérivable sur [a, b]on se propose démontrer que

∃c ∈ [a, b] : f (a)− 2f

(a + b

2

)+ f (b) =

1

4(b− a)2 f ” (c)

soit g la fonction définie par

g (x) = f

(a + b

2− x

)− 2f

(a + b

2

)+ f

(a + b

2+ x

)−Kx2

où K est choisit de telle sorte que g

(b− a

2

)= 0

Exo 27 soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [a, b]

1. soit Ψ la fonction défine par Ψ(x) =f(x) + f(a)

2− f

(a + x

2

)− (x− a)2

8A où A est choisie de

telle sorte que Ψ(b) = 0

2. montrer en utilisant le théorème de rolle sur[a, b] que ∃α ∈]a, b[: Ψ′(α) = 0

3. en utilisant le théorème des A F montrer que ∃c ∈]a, α[: f /(α)− f /(a+α2

) = 12(α− a) f // (c)

4. conclure que

∃c ∈]a, b[:f(b) + f(a)

2= f

(a + b

2

)+

(b− a)3

8f ” (c)

5. déduire que si ∀x ∈]a, b[: f ′′ (x) ≤ 0 alorsf(b) + f(a)

2≤ f

(a + b

2

)6. dans cette question on prend f(x) = 7

√x en appliquant les resultas de la question Précedente

montrer7

√7− 7

√7− 7

√7 ≤ 7

√7− 7

√7 +

7√

7

Exo 28 T .A.F.GSoient f et g continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[ . Pour x ∈ [a, b] , on pose

ϕ (x) =

∣∣∣∣ f (x)− f (a) f (b)− f (a)g (x)− g (a) g (b)− g (a)

∣∣∣∣détérminant d’ordre 2

1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que∣∣∣∣ f ′ (c) f (b)− f (a)

g′ (c) g (b)− g (a)

∣∣∣∣ = 0



2. . on suppose de plus que ∀x ∈ ]a, b[ : g′(x) 6= 0 montrer que g (b) 6= g (a)

en déduire qu’il existe c ∈ ]a, b[f (b)− f (a)

g (b)− g (a)=

f ′ (c)

g′ (c)si ces expressions sont définies.

Exo 29 règle de l’HospitalSoient f et g dérivables sur V = ]x0 − α, x0 + α[ , jamais nulles sur V \ {x0} et telles quef (x0) = g (x0) = 0.

Montrer que

limx→x0

f ′ (x)

g′ (x)= l ⇒ lim

x→x0

f (x)

g (x)= l

Appliquation calculer limx→0

x− arctan x

x3

Exo 30 .soit f la fonction définie sur R par

f(x) =

1

arctan x− 1

x, x < 0

f(x) = 3√

x3 + 3x + x , x ≥ 0

1. montrer que ∀x < 0 : x < arctan x < x− 13x3 en déduire que f est continue en 0

2. calculer les limites limx→−∞

f(x) et limx→+∞

f(x)

3. étudier la dérivablité de f à droite de 0 et donner une interprétation géomètrique du resultat

4. soit x ∈ ]−∞, 0[ un réel fixé. pour tout t ∈ ]x, 0[on pose U(t) = t − arctan t et V (t) = t3

etW (t) = U(x)V (t)− U(t)V (x)

4) a) véifier que W (x) = W (0) = 0

4) b) à l’aide du théorème de Rolle montrer que

∃c ∈ ]x, 0[ :U(x)

V (x)=

U/(c)

V /(c)

4) c) déduire que limx−→

<0

x− arctan x

x3= 1

3

4) d) étudier la dérivabilité de f à gauche de 0 et donner une interprétation géométrique duresultat

5. calculer f ′(x) pour x > 0 et pour x < 0

6) a) montrer à l’aide du théorème des accroissement finis que ∀x ∈ ]−∞, 0[ : arctan x < x1+x2

6) b) déduire à laide de l’inégalité des accroissements finis que

∀x ∈ ]−∞, 0[ : (Arc tan x) 2 >x2

1 + x2.


7. étudier les branches infinies de Cf

8. Tracer la courbe Cf




f (x) = x

(x−1x+1

) 34 , x ≥ 1

f (x) = (x2 − x) arctan 1x−1

, x<1



3. étudier la dérivabilité de f en 1

4. Montrer que pour tout t ∈ R+∗ :

t34 − 1 = (t− 1) .

t12 + t

14 + 1

t34 + t

12 + t

14 + 1

déduire que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞

5. montrer que pour tout t ∈ R−∗ : t < arctan (t) <t

1 + t2déduire que la droite D d’équation y = x est une

asymptote à la courbe Cf au voisinage de -∞

6. montrer que pour tout x>1 2f′(x) f (x)3 =

x3 (x− 1)2

(x + 1)4(2x2 + 3x− 2)

7. montrer que pour tout x<1


9. tracer la courbe Cf


f (x) = (x− 1)3√

x2, x ≤ 0

f (x) = x2 arctan 1x

, x>0



3. étudier la dérivabilité de f en 0

4. à l’aide du théorème des A. F montrer que pour tout t ∈ R+∗ : 0 <t− arctan (t)

t< t2 déduire que la

droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de+∞

5. montrer que pour tout x<0 f′(x) =

x (5x− 2)

3(

3√

x4)

6. calculer f′(x) pour x>0

7. montrer que pour tout t>0 :t

1 + t2< arctan (t) < t en déduire que f

′(x) > 0 pour tout x>0

8. calculer f′′(x) pour x<0 en déduire la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse −1

5

9. soit g la restriction de f à R− montrer que g réalise une bijection de R− vers un intervalle J que l’ondéterminera

10. tracer C et Cg−1 ( on admet que C admet un point d’inflexion d’abscisse dans ]1,+∞[)

11. soit (un) la suite défine par{

u0 = −32

un+1 = g−1 (un)

(a) montrer que g−1 ([−2, 0]) ⊂ [−2, 0] en déduire que ∀n ∈ N : un ∈ [−2, 0]

(b) montrer que pour ∀x ∈ R∗− : f (x) < x en déduire que la suite (un) est croissante



(c) déduire qu’elle est convergente et donner sa limite

Exo 33 soit m un paramètre réel on pose fm(x) = m√

1 + x2 + x arctan x

1. vérifier que fmest paire .dans la suite on etudie fm sur R+


fm(x) dans les cas m + π2

> 0 et m + π2

< 0

3. montrer que ∀x > 0 : arctan x + arctan 1x

= π2

en déduire que limx→+∞

fm(x) = −1 dans le cas où

m = −π2

4. montrer que pour chaque m 6= −π2la courbe Cm admet une asymptote oblique que l’on determi-

nera son équation

5. calculer f/m(x) et montrer que f

//m (x) = m

√1+x2+2

(1+x2)32


f/m(x)

7. etudier le signe m√

1 + x2 + 2 discuter les cas suivant m ≤ −2 , m ≥ 0,−2 < m < 0 en déduirele signe f

/m

8. donner le tableau de variation de fm dans les trois cas suivants9. soit E l′ensemble des points d’inflexions de la courbe Cm montrer que E admet pour équation

y = −2 + x arctan x

10. soit F l’ensemble des points M ∈ Cm − (OY ) où la tangente est // à (OX) montrer que M(x, y) ∈F ⇔ y = −1− arctan x

x

11. tracer les courbes , C0, C−π2, E

Exo 34 dans tout le problème (an)n≥0 désigne une suite numériquedéfinie par{

a0 > 0an+1 = an + a3

n

1. montrer que (an)n≥0 est croissante en déduire que ∀n ∈ N : an+1 ≥ an + a30

2. montrer que limn→+∞

an = +∞

3. dans cette question on pose un = (an)1

3n et vn = (1 + an)1

3n

3) a) montrer que ∀n ∈ N : a3n ≤ an+1 ≤ (1 + an+1) ≤ (1 + an)3 (à remarquer que ∀n ∈ N : an ≥ 0 )

3) b) déduire que∀n ∈ N : un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn

3) c) montrer que les deux suites (un) et (vn) convergent3) d) à l’aide de T.A.F appliqué à la fonction x → x3n montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤vn − un ≤ 1

3n

3) e) déduire que les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes (utiliser les questions 2 et 3)

3.3 Dérivée nieme

Exo 35 soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 sin (3x) − 5 cos(3x) déterminer deux réels α et β tels que∀x ∈ R :f ” (x) = αf

′(x) + βf (x)

Exo 36 soit f une fonction définie par f (x) =1

ax + boù a est un réel non nul

montrer quepour tout entier naturel n non nul f est n fois dérivable sur Df et

∀x ∈ Df : f (n) (x) =(−1)n ann!

(ax + b)n+1

Application : calculer la dérivée nieme de la fonction f définie par f (x) =1

x2 − x



Exo 37 soit f telle que f (x) = cos (ωx + ϕ) montrer que f est n fois dérivable sur etf (n) (x) = ωn cos(ωx + ϕ + n

π

2

)Application : calculer la dérivée nieme de la fonction f définie par f (x) = sin2 (x)

Exo 38 montrer que ∀n ∈ N∗,∀x ∈ R : arctan(n) (x) =Pn (x)

(1 + x2)n où Pn est un polynôme de dgré n-1 dont on

donnera le terme de plus haut degré et la parité

Exo 39 Soient f et g deux fonctions n fois derivables sur un intervalle I avec n>1, f(k)étant la derivée d’ordre nde f et on considère que f(0)=f

1. Determiner (fg)(2)et (fg)(3) en fontion des derivées succéssives de f et g.

2. Démontrer par récurrence que

∀n ≥ 2 : (fg)(n) =∑

0≤k≤n

Cknf (k)g(n−k)

(formule de Leibnitz)

3. application On considère la fonction f(x) =√

1 + x2

(a) Montrer que pour tout x de IR on a : (1 + x2)f ′(x) = xf(x)

(b) .Montrer que

∀x ∈ IR,∀n ≥ 1 : (1 + x2)f (n+2)(x) + (2n + 1)xf (n+1)(x) + (n2 − 1)f (n)(x) = 0

(c) Montrer que∀n ≥ 1 : f (2n+1)(0) = 0

Exo 40 Soit f : x 7→ (x− a)n (x− b)n où a et b sont deux réels

1. A l’aide de la formule de Leibniz, déterminer f (n)(x).

2. Calculer d’une autre façon f (n)(x) lorsque a = b.

3. En déduire quen∑

k=0

(Ck

n

)2= Cn

2n.


Exercices de Mathématiques CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP

6 Fonctions log et Exp

Problème 1 Partie A : etude d’une fonction auxilairesoit U la onction définie par U (x) =

x

x + 1− ln |1 + x|

1. Déterminer DU et calculer les limites aux bornes de DU

2. calculer la dérivée de U et donner le tableau de variation

3. montrer que l’équation U (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]−4.6;−4.5[

4. déduire le tableau de signe de U (x)

Partie B : étude d’une fonction numérique

soit f la fonction définie

{f(x) =

ln |1 + x|x

,x 6= 0 , x 6= −1

f(0) = 1

1. Déterminer Df et calculer les limites aux bornes de Df

2. montrer que f est continue en 0

3. on admet que ∀x > −1 :∣∣∣ln(x + 1)− x + x2

2

∣∣∣ ≤ x2 |ln(x + 1)| montrer que f est dérivable en 0 etf ′(0) = −1

2

4. calculer f ′ (x) en fonction de U (x) et donner le tableau de variation de f

5. traçer la courbe représentaion de f on prendra α ≈ −4.55 et f (α) ≈ −0.28

Partie C : Etude d’une Suite numérique

1. à l’aide du théorème des accroissement finis montrer que ∀x > 0 : 1x+1

< ln(x + 1)− ln(x) < 1x

2. déduire ∀n ∈ N∗ :(1 + 1

n

)n< e <

(1 + 1

n

)n+1

3. dans la suite pour tout N∗on pose an =(1 + 1

n

)n et bn =(1 + 1

n

)n+1

(a) montrer que ∀n ∈ N∗ : ln( an) = f( 1n) et ln( bn) = f( −1

n+1)

(b) en utilisant les variations de f montrer que (an) et (bn) sont deux suites adjacentes et déterminerleur limite commune

4. montrer que pour tout n ∈ N∗ le couple (an; bn) est une solution du système{(x; y) ∈ Q∗2

+ x < yxy = yx

Problème 2 1. monter que pour tout réel positif x : x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x

2. soit Pn =n∏

k=1

(1 + k

n2

)à l’aide de la question 1 .donner un encadrement de ln(Pn) en déduire la limite de

la suite (Pn)n≥1

Problème 3 soit f la fonction définie par f (x) =x√

2− ln2 (x)


CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP

1. etudier les variations de f ( Df + limites aux bornes +dérivée +tv)2. résoudre l’équation f(x) = x

3. soit (un) la suite définie par un+1 = f (un) u0 ∈ Df

4. déterminer la valeur de u0 pour la quelle (un) et une sute constante5. on suppose que u0 ∈

]1e, e[

(a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈]

1e, e[

(b) montrer que (un) et une suite décroissante(c) en déduire que (un) est convergente et calculer sa limite

Problème 4 soit f la fonction définie par f (x) = ln (1 + e−x)

1. etudier les variations de f ( limites aux bornes de Df + dérivée + TV)2. montrer que la droite D : y = −x est une asymptote à Cf au voisinage de −∞Préciser la position deD :

y = −x par rapport à Cf .3. Tracer la courbeCf et D ainsi que la droite ∆, tangente à C au point d’abscisse 0.4. montrer que f réalise une bijection de R dans un intervalle J que l’on déterminera et donner f−1

5. résoudre l’équation f (x) = x

6. soit (un) la suite numérique définie par{

u0 = 1un+1 = f (un)

(a) montrer que ∀n ∈ N :un > 0

(b) vérifier que ∀x > 0 :∣∣f ′

(x)∣∣ ≤ 1

2en déduire que

∀n ∈ N :

∣∣∣∣∣un+1 − ln

(1 +

√5

2

)∣∣∣∣∣ ≤ 1

2

∣∣∣∣∣un − ln

(1 +

√5

2

)∣∣∣∣∣(c) déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite

7. Montrer que pour tout réel t positif, t− t2

26 ln(1 + t) 6 t.En déduire que pour tout réel x, e−x− e−2x

26

f(x) 6 e−x

8. pour chaque entier naturel n non nul on pose Pn =k=n∏k=1

(1 +

1

ek

)(a) montrer que la suite (Pn)n≥1 est une suite croissante(b) montrer que pour chaque entier naturel n non nul

k=n∑k=1

1

ek−

k=n

1

2

∑k=1

1

e2k≤ ln (Pn) ≤

k=n∑k=1

1

ek

(c) calculerk=n∑k=1

1

eken déduire que (Pn)n≥1 est une suite majorée

(d) déduire que (Pn)n≥1 converge . On note ` la limite montrer que

2e + 1

2(e2 − 1)6 ln (`) 6

1

e− 1.

à l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de sa limite.


Problème 5 1. en utilisant le théorème des accroissemnet finis montrer que

∀x > 0 :1

x + 1< ln (x + 1)− ln(x) <

1

x

déduire que ∀n ∈ N∗ :(1 + 1

n

)n< e <

(1 + 1

n

)n+1

2. dans la suite on pose pour tout n ∈ N∗ : an =(1 + 1

n

)n et bn =(1 + 1

n

)n+1

3. montrer que ∀x > 0,∀n ∈ N∗ : ln(1 + nx) ≥ nn+1

ln (x) + ln (1 + n)

4. déduire que ∀x > 0,∀n ∈ N∗ : xn ≤(

1+nx1+n

)n+1

5. en posant successivement x = 1 + 1n

et x = nn+1

montrer que (an)≥1 est une suite croissante et (bn)n≥1 estune suite décroissante .

6. déduire que les deux suites sont adjacentes et donner leur limites commune

Problème 6 soit f la fonction définie par{f (x) = (x2 − 1) . ln

∣∣1+x1−x

∣∣ , x ∈ R− {−1, 1}f (1) = f (−1) = 0

1. etudier la parité de f en déduire qu’il suffit d’étudier f sur [0, +∞[


f (x)

3. montrer que f est continue en 14. etudier la dérivabilité en15. en rappel que lim

x→0

ln(1+x)−xx2 = −1

2montrer que la droite D : y = 2x est une asymptoteà Cf au voisinage de

+∞6. pour x > 0 on pose g (x) = ln

∣∣1+x1−x

∣∣− 1x

(a) etudier les variations de g sur ]0, +∞[

(b) montrer que ∃!α ∈ ]0, 1[ : g (α) = 0 en déduire le signe de g(x)pour x > 0

7. montrer que ∀x > 0 : f ′(x) = 2x.g (x) et f ′(0) = −2

8. donner le tableau de variation de f9. tracer la courbe Cf en preond α ≈ 0.65 et f (α) ≈ −0.89

Problème 7 soit f la fonction définie par f(x) = −x + 12ln∣∣x+11−x

∣∣1. déterminer Df et etudier la parité de f ; calculer les limites aux bornes de Df

2. etudier les branches infinies de Cf

3. calculer la dérivé de f et donner le tableau de variation4. montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α ∈

]1.1,

√2[

5. tracer Cf

6. soit(un)n∈N∗ la suite définie par un = n!en

nn+12

(a) montrer que ln( un

un+1) = (2n + 1)f( 1

2n+1)

(b) détérminer le sens de variation de la suite (un)n∈N∗ en déduire que la suite (un)n∈N∗ est convergente

Problème 8 pour chaque m ∈ R∗ on définit la fonction fm par{fm(x) = x ln |x| − (x−m) ln |(x−m| ; x ∈ R− {0, m}

fm(0) = fm(m) = m ln |m|



1. montrer que la courbe C −m =SO (Cm) où SO est la symétrie centrale de centre O

2. motrer que ∆m : x = m2

est un axe de symétrie de Cm

3. dans la suite on suppose que m > 0 et soit Im =[

m2; +∞

[(a) etudier la continuité et la dérivabilité de fm en 0 et en m

(b) calculer la dérivée de fm . et donner son tableau de variation

(c) etudier les branches infinies de fm en +∞

4. tracer les courbes C1 et C4 et C 14

5. montrer que si m > 2; fm ne s’annule pas

6. donner le nombre de zéro de f2

7. montrer que si m ∈ ]0; 2[ : fm s’annule en deux points αm < βm avec

αm + βm = m

8. dans cette partie on suppose que m ∈ ]0; 1[

(a) montrer que m < βm <1

(b) montrer que f1

(βm

m

)= − ln m

Problème 9 soit ϕ la fonction définie par ϕ (x) = x− arctan x

1. étudier les variations de ϕ

2. déduire que ϕ réalise une bijection de R dans R3. calculer ϕ−1 (0) et lim

x−→+∞ϕ−1 (x)

4. dans la suite on se propose d’étudier la fonction implicite f définie par f (x) = ϕ−1(

ln xx

)(a) préciser Df et montrer que lim

x−→+∞f (x) = 0 et lim

x−→0>

f (x) = +∞

(b) montrer que limx−→1

f(x)

x− 1= +∞

(c) montrer que f est dérivable sur Df et que

∀x ∈ R∗+ − {1} : f ′ (x) =

1− ln x

x2.

1

ϕ′ (f (x))

(d) tracer la courbe Cf on prendra ϕ−1

(1

e

)= 1. 27

Problème 10 Partie I soit U la fonction définie sur R+ par U(x) =

{ x

ex − 1si x 6= 0

1 si x = 0

1. montrer que U est continue sur R+ et calculer limx→+∞

U(x)

2. on admet que limx→0+

ex−1−xx2 = 1

2montrer que U est dérivable à droite de 0 et que U

′(0) = −1

2

3. montrer que∀x ∈ R∗+: U

′(x) = (1− x− e−x) ex

(ex−1)2

4. montrer que ∀x ∈ R∗+ : e−x ≥ 1− x et donner le sens de variation de U

5. Résoudre dans R∗+ l’équation U(x) = x


6. On considère la suite (an)n≥0 définie par a0 = 0 et : ∀n ∈ N, an+1 = U(an).

(a) .Montrer : limx→+∞

U ′(x) = 0

(b) on admet que ∀x ∈ [0; +∞[, U ′′(x) ≥ 0 déduire que∀x ∈ [0; +∞[: −1

2≤ U ′(x) ≤ 0

(c) Montrer∀n ∈ N : |an+1 − ln 2| ≤ 1

2|an − ln 2| (on pourra utiliser TAF)

(d) Etablir que la suite (an)n≥0 converge et déterminer sa limite.

Partie II soit f la fonction définie sur R par{

f (x) = ex√

1− e2x

f (x) = ln (U (x)), x ≤ 0, x > 0

soit Cf la courbe representative de f dans un repère orthonormé(O,−→i ,−→j)

tel que∥∥∥−→i ∥∥∥ = 2m

1. vérifier que Df = R et montrer que limx→−∞

f(x) = 0 et limx→+∞

f(x) = −∞

2. montrer que∀x ∈ R∗

+ : f (x) = ln x− ln(1− e−x

)− x

en déduire que limx→+∞

f(x)

x= −1 et lim

x→+∞f(x) + x = +∞ interpreter géométriquement les

resultats

3. justifier la continuité de f sur R4. étudier la dérivabilité de fen 0 on pourra utiliser PARTIE I QUESTION 3

5. montrer que pour tout x ∈ R∗ f ′ (x) = ex (1− 2e2x)√

1− e2x, x < 0

f ′ (x) =U ′ (x)

U (x)x > 0


7. soit g la restriction de f sur I =]−∞,− ln 22

]

(a) montrer que g realise une bijection de I dans un intervalle J que l’on déterminera

(b) donner la bijection réciproque g−1

8. tracer les courbes Cf et Cg−1 on prend − ln 22≈ −0, 35

Problème 11 soit f la fonction définie sur[−1; +∞[ par{

f(x) = (x + 1)eln(x+1)

x ; x 6= −1 et x 6= 0f(−1) = 1 ; f(0) = e

1.

(a) montrer que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f(x) = e(x+1) ln(x+1)

x

(b) déduire que f est continue en 0 et à droite de -1

(a) en utilisant la question 1. a. calculer limx→+∞

f(x)

(b) vérifier que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f(x)− x = x(eln(x+1)

x − 1) + eln(x+1)

x

(c) déduire la nature de la branche infinie de f au voisinage de +∞



2. montrer que limx→−1+

f(x)−f(−1)x+1

= +∞ et donner une interpertation géometrique du resultat obtenue

(a) on admet que :∀x ≥ −12

:∣∣ln(1 + x)− x + 1

2x2∣∣ ≤ 2

3|x3| resultat qui sera démontré en calcul

intergral

(b) déduire que limx→0

ln(x+1)−xx2 = −1

2

(c) étudier la dérivabilité de f en 0 . et interpreter géometriquement le resultat

3.

(a) montrer que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f ′(x) = x+1x2 e

ln(x+1)x (x− ln(x + 1))

(b) justifier que ∀x > −1 : ln(x + 1) ≤ x en déduire le tableau de variation de f

4. Traçer la courbe Cf

Problème 12 Partie A : Etude d’une fonction auxilliairesoit U la foction définie sur R+ par U (x) = 1− x− e−2x

1. etudier les variations de U

2. montrer que l’équation U (x) = 0 admet une unique solution α telle queln 2

2< α < 1

3. donner le tableau de signe de U (x) justifier votre réponse

Partie B : Etude d’une fonction numérique

soit f la fonction définie par

f (x) = x.√

e2x − 1 x > 0

f (x) =

(x− 2− 1

x

).e−

1x x < 0

1. jutifier que Df = R∗

2. .

(a) montrer que ∀x > 0 : f (x) = x.e1x

√1− e

−2x en déduire que lim

x→0>

f (x) = +∞

(b) montrer de même que limx→0

<

f (x) = +∞

3. montrer que limx→+∞

f (x) = +∞ et calculer limx→−∞

f (x)

4. montrer que pour tout x > 0 :

f

′(x) =

e2x U( 1

x)√e

2x−1

x > 0

f′(x) =

(x + 1)2

x2.

(x− 1

x

).e−

1

x x < 0

5. donner le tableau de variation de f (à remarquer que ∀x > 0 :

(x >

1

α⇐⇒ 1

x< α

)6. .

(a) montrer que la droiteD d’équation y = x− 3 est une asymptote oblique de Cf au voisinage de −∞(b) etudier la branche infinie de Cf au voisinage de +∞

7. montrer que f

(1

α

)=

√1

α− α2

8. tracer la courbe Cf on prend1

α' 1. 25 et f

(1

α

)= 0, 4 f (−1) = −2e = −5, 4


Partie C : Etude d’une suite numérique

soit (un)n∈N la suite numérique définie par{

u0 = 4un+1 = f (un)

1. montrer que ∀n ∈ N :2

ln (2)≤ un ≤ 4

2. montrer que∀x > 0 :

(x ≥ 2

ln (2)⇐⇒ f (x) ≤ x

)en déduire que la suite (un)n∈N décroissante

3. montrer que la suite est convergente et donner sa limite

Problème 13 pour chaque paramètre réel m on note fm la fonction définie surR par

fm (x) = 2m.ex − e2x − 2m

on note par (Cm) la courbe representative de fm dans un repère orthonormé(O,−→i ,−→j)

avec∥∥∥−→i ∥∥∥ = 1cm

1. calculer les limites suivantes limx→+∞

fm (x) limx→+∞

fm(x)x

limx→−∞

fm (x)

2. soient m et m′ deux réels tels que m < m′ etudier les positionsdes deux courbes (Cm) et (Cm′)

3. montrer que toutes les courbes (Cm) passent par un point fixe I que l’on déterminera

4. montrer que si m ≤ 0 alors fm est strictement décroissante sur R5. on suppose que m >0

(a) montrer que fm admet un extremum que l’on determinera ses coordonnées

(b) soit Γ l’esemble des points extremums de fm quand m varie dans R∗+

montrer que Γest la courbe representative de la fonction g définie par g (x) = e2x − 2.ex

(c) vérifier que ∀x ∈ R : g(x) = −2− f1(x) en déduire que (Γ) est le symétrique de de (C1) par rapportà la droite (D) : y = −1

6. trouver l’intersection de (C2) et la droite (D)

7. tracer dans le même repère les courbes (C1); (C2); (C3)et la courbe Γ


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