Avant-propos

Ce livre couvre le programme d’Analyse de deuxième année MP et poursuit ladémarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme pourl’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe que nousavons suivi à la lettre. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’approfondis-sement en deuxième année de certains points abordés en première année : suitesnumériques, fonctions réelles d’une variable réelle, intégration sur un segment. Nousavons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sansambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente trois chapitres utilisablesen première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les « révi-sions estivales » entre la première et la deuxième année.

Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’unevariable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sontcomplétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant unematurité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’inté-gration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégralesainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégali-tés) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviseret d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réalistedes exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, sériesde fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes etnon sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans leschapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privi-légié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclu-sions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source deconfusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée etcorollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent despoints de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espacesvectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, quel’expérience nous a fait constater chez les élèves. Cette partie est partagée en troischapitres :

– les généralités indépendantes de la dimension, d’abord mise en œuvre dans uncontexte familier et bien matrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de©

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fonctions numériques continues sur un segment), puis faisant l’objet d’exercicesd’approfondissements plus abstraits ;

– les espaces vectoriels normés de dimension finie à propos desquels des exercicesplus fins et plus difficiles reposent essentiellement sur les propriétés liées à ladimension finie ;

– la dérivation et l’intégration sur les espaces vectoriels normés de dimension finiesont l’objet d’exercices parfois originaux.

Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appelà un ensemble de connaissances débordant largement le cadre du chapitre. La partieconsacrée à l’assimilation propose une révision puis un inventaire technique avec desexercices de mise en œuvre directe. La synthèse et l’approfondissement font le lienavec la technique et l’ouverture vers des notions plus étendues et plus générales. Cla-rification et points de repères nous ont semblé, là aussi, nécessaires. Enfin, même siles sujets concernant les équations différentielles non linéaires proviennent essentiel-lement des concours les plus « prestigieux », nous avons fait un effort particulier derédaction pour les rendre abordables à tous les élèves et donner une occasion d’en-traînement à l’écrit. Dans le chapitre consacré au calcul différentiel, nous avons toutd’abord rappelé les définitions essentielles, puis nous avons présenté de nombreuxexemples d’application à la recherche d’extrema et à la résolution d’équations auxdérivées partielles, et nous avons terminé ce chapitre par des exercices théoriques etplus difficiles. Le dernier chapitre est consacré aux calculs d’intégrales multiples etcurvilignes, nous avons notamment insisté sur la notion d’intégabilité, puis sur l’im-portance du paramétrage du domaine d’intégration, et enfin, sur les techniques dechangement de variables.

Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entreles principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première annéeet ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avionschoisi de présenter et d’illuster de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une aprèsl’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales etencore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choiside présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser parétapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaquechapitre (sauf les deux premiers) est donc constitué de trois parties :

– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimila-tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complicationinutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et uneseule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois uni-tés » : un exercice, une difficulté, une solution ;

– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage enquestions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confron-tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;

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– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation deconcours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initia-tive, d’intuition et de maîtrise technique.

La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure estparfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellementpasser directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercicesd’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’as-similation.

Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pasmoins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro-gènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première foiset n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié leprogramme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis àdes concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différencessont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séancesde « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux delecture et d’utilisation de l’ouvrage.

Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pasd’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cetteliberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptéeet la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep-table pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Iln’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteuracceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avonsdonc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autantque d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage dela rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dansnos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infi-nité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer lesconcours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :

– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettentd’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;

– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’ap-puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plu-sieurs concours depuis plusieurs années ;

– privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom-breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvragesde première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sousleurs différentes apparences) ;

– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différentset ne pas hésiter à proposer un sujet de PC ou PSI si son intérêt pédagogique lejustifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en MP.©

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– convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années(le théorème des accroissements finis, par exemple, pose beaucoup de problèmesaux élèves qui doivent l’utiliser à l’oral).

Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective,une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pourréférence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, dated’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « clas-sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quoti-dien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, lesélèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’en-seignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’ob-server en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . .ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ilspassent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé-rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exer-cices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif péda-gogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédactiondétaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî-triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul unemajorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si unsujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui noussemblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé cer-tains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donnerun aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours,chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaiten’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité,parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernièrenous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites.

C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC*du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nousadressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribuépar leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nosefforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplificationdes corrigés.

Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventurehumaine dans laquelle nous avons été aidés.Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliserses moyens informatiques et ses ressources documentaires.Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen-taires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujoursreçus avec sourire et efficacité.Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaquesamedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques.

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Aidés aussi par deux collègues de l’Institut Elie Cartan, Julien Chenal et Yannick Pri-vat, qui ont lu une partie du manuscrit.

Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, MichelEguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ontsensiblement amélioré le présent ouvrage.

Que tous soient sincèrement remerciés.

Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux quiont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons queceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adressesuivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.

Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en estsans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leursoutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’abou-tissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est verselles que nos pensées se tournent.

Nancy le 15 avril 2008

El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux,

Marc Rezzouk, David Rupprecht, Laurent Schwald

Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deuxsymboles K.

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