Toward Robust Preliminary

Design

1 Laboratoire G-SCOP, UMR 5272, Grenoble

2 Laboratoire LGEP, Paris

3 Design Processing Technologies SA, 38410 Saint Martin d’URIAGE

Journées SEEDS,Optimisation, Avril 2010

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Contexte: pré-dimensionnement

FaisabilitéPré-

dimensionnementAnalyse

Maquettage/prototype

Production

Modèle

analytique

Paramètres de

conceptionSolutions

Cahier des charges

Contraintes + Objectifs

Exemple de processus de conception

Phase de quantification de solution

Besoin client : cahier des charges

• Incertitudes sur modèles de dimensionnement

– Incertitudes propres à la modélisation (« épistémiques »)

– Moteur :

• Incertitudes sur paramètres de dimensionnement

« incertitudes stochastiques »

– La géométrie, Propriétés des matériaux, Vieillissement…

• Imprécisions liées à la résolution numérique des modèles :

– méthodes de résolution, convergence, discrétisation, maillage, ...

H.-G. Beyer and B. Sendhoff (2007) Robust Optimization : A comprehensive Survey. Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering, Vol. 196, No. 33-34, pp. 3190-3218.

B. Huang and X. Du (2006)Rrobust design method using variable transformation and Gauss–Hermite

integration. International Journal For Numerical Methods In Engineering, 66:1841–1858 3/12

Robuste

Capacité d’un

condensateur C=f(t)

Différences entre

nominale et réelle

Influence

température

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Comment aborder le design

robuste?• Six Sigma TM(Production)

– Maîtriser la variabilité des facteurs.clefs

– 6σ < 3,4 Défauts Par Million d’Opportunités (DPMO)

• Plans d’expériences (Production, Conception)

– Sélectionner et ordonner les essais

– Identifier les effets des paramètres sur les performances

• Propagation d’incertitude (Tolérancement)

– Analyser les variations des performances lorsque

paramètres varient

• Design For Six Sigma TM (Conception)

– Analyse statistique de la conception

– Même principe que 6σ

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Approche Analyse Robuste

Expert

Modélisation

Analyse

Robuste

Optimisation

classique

Solution

optimale

Modèle analytique

Multi-physique

Economique

Variabilité des

paramètres

e sOpt

Expert

Maths appliquées ese

ese

sss

sss

Variabilités des

performances

Utilisateur

Dimensionnement

Cahier des charges

Contraintes +

Objectifs

« Rebus »

Performance

Performance

améliorée

P.N. Koch et al. (2004)

Design for six sigma through robust

optimization, Structural and Multidisciplinary

Optimization, Vol.26 235-248

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Outils mathématiques pour analyse

– Simulations de Monte-Carlo sur modèle exact

• Mise en œuvre aisée

• Applicable à tous types de problèmes / domaines

• Nombreuses évaluation du modèle (104 à 106 simulations)

• Bonne caractérisation des « performances »

• Problème des temps de calculs….

– Objectif : réduire le temps de calcul

• En réduisant le nombre de simulations

• En facilitant une évaluation rapide du modèle

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Outils mathématiques pour l’analyse

– Méthode de Monte-Carlo diminuée

• Echantillonnage préférentiel (importance sampling)

– Certaines valeurs ont plus d’impact que d’autres

– Choisir distribution qui encourage les valeurs importantes

– Correction du biais : simulation pondérées

• Monte Carlo « Latin Hypercube sampling »

– N k -> N

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Outils mathématiques pour l’analyse

– Méthode de Taguchi

• Objectif: mesurer au moindre coût de l’impact des paramètres

mis en cause dans l’élaboration du produit

– Analyse de sensibilité

– Surface de réponse (RSM response surface model)

• Remplacer un modèle couteux par un modèle simple peu

couteux

Outils mathématiques pour l’analyse

– Simulations de Monte Carlo sur modèle approché

• Polynômes de Chaos

– Utilisable lors de boîte noire

– Suite de polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre,

Hermite,…)

– Constantes déterministes à évaluer en executant le modèle

origine limité a quelques point d’entree

» Choix des point crucial

• Développement de Taylor (ordre variable)

– Possession du modèle analytique

– Ordre 2 déjà performant (30 versus 10000)9/12

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Outils mathématiques pour

optimisation robuste

Optimisation Robuste rapide

Reformulation du modèle

Lien entre dispersions des entrées et des sorties

– Estimation des moments (µ, σ, …):

• Univariate dimension reduction method.

• E{h(x1,x2)}=E{h(µ1,x2)+h(x1,µ2)-h(µ1,µ2)} généralisée à l’ordre N

• Performance moment integration

• Transformation de Rosenblatt

• -> N intégrales à une dimension au lieu d’une integrale à N dimensionPb Poids gauss dans integrale

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Outils mathématiques pour

optimisation robuste

Optimisation Robuste rapide

Reformulation du modèle

Lien entre dispersions des entrées et des sorties

– Autres bonnes candidates à priori:

• Développement de Taylor,

• Polynôme de chaos

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Expert

Modélisation

Experts

Informatique

Maths appliquées

Utilisateur

Dimensionnement

Cahier des charges

Contraintes +

Objectifs

Solution optimale

robuste

Expert

Maths appliquées

Optimisation

Robuste

Analyse

Reformulation

Automatique

Modèle de

Conception

Robuste

Modèle analytique

Multi-physique

Economique

Variabilité des

paramètres

Opte

se

ese

sss

sss

Approche Dimensionnement

Robuste

Illustration Analyse

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Source de chaleur ponctuelle

Dissipateur à ailettes en deux parties

Ventilateur (courbe Debit/Pression)

Non linéaire, Sous contraintes, Problème hybride (continu/discret):

Géométrie et Matériau

Dissipateur

• Nombre total de paramètres: 82

• DDL 23

14/6

15/6

Taylor ordre 2 et modèle correspondent parfaitement

Temps gagné en calcul variable

MC:500

Max: 19

16/6

MC:1000

Max: 21

17/6

MC:10 000

Max: ~14

18/6

MC:100 000

Quelques resultats

Tir Reel Taylor Analytique

500 µ 33,24 33,24 33,24

σ 0,02954 0,02954 0,02938 0.54%

1 000 µ 33,24 -

σ 0,03041 0,03041 3,51%

10 000 µ 33,24 -

σ 0,02956 0,61%

100 000 µ 33,24 -

σ 0,02938 0%

1 000 000 µ 33,24 -

σ

19/6

Variations <0, 1%

Quelques résultats

Tir Reel Taylor Analytique Erreur

500 µ 33,24 33,24 33,24

σ 0,3601 0,3601 0,3659 -1,59%

1 000 µ 33,24 -

σ 0,3731 0,3731 1,97%

10 000 µ 33,24 -

σ 0,3687 0,77%

100 000 µ 33,24 -

σ 0,3653 -0,16%

1 000 000 µ 33,24 -

σ 0,3659 0%

20/6

Variations jusqu’à 10%

Conclusion

• Etude de méthodes candidates analyse robuste /

optimisation robuste

– Sélection de méthode(s) adaptée(s) aux modèles

analytiques

• Développement d’un méthode de type Taylor

– Test en vraie grandeur

– Autorise « facilement » une reformulation

• Objectif:

– Intégration dans un environnement d’optimisation

– Introduction de type optimisation déterministe globales

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