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TP math-G-101
Introduction
Durée du TP: 3H~20min: rappels 2H20:
Correction des exercices les plus intéressants Correction des exercices demandés
20min: correction du test/préparation au QCM
TP1: Logique, vecteurs et matrices
Rappel: LogiqueConnecteurs logiques
Non: ┐ Ou: v Et: ^ Implique: →
TP1: Logique, vecteurs et matrices
Tables de vérité: Ex: A v B Commencer par remplir toutes les possibilités pour A,B
A: vrai B: vrai A: vrai B: faux A: faux B: vrai A: faux B: faux
Compléter la colonne du milieu, en se demandant si l’affirmation est vraie ou pas
A v B
1 1
1 0
0 1
0 0
TP1: Logique, vecteurs et matrices
Compléter la colonne du milieu, en se demandant si l’affirmation est vraie ou pas
A v B
1 1
1 0
0 1
0 0
1
1
1
0
TP1: Logique, vecteurs et matrices Additions et soustractions de matrices
Multiplications de matrices
hd fb
gc
h f
g
d
c eae
b
a
hbg fbe
chag
h f
g
d
c
dd
cfaee
b
a
TP1: vecteurs, matrices et fonction d’une variable réelle Déterminant d’une matrice
Inverse d’une matrice
2322
131231
13
3332
131221
12
3332
232211
11
333231
23 2221
13 1211
a
a )1(
a
a )1(
a
a )1(
a a a
a a
a
a
aa
a
aa
a
aaa
aa
)()1()()1()()1( 132223123113
333233122112
233233221111 aaaaaaaaaaaaaaa
t
A
A
A
Aa
aa
A
333231
232221
131211
1
333231
23 2221
13 1211
1
A A-
A- A
A A-
)det(
1
a a a
a a
a
TP1: fonctions réelles d’une variable Questions sur les rappels?
A. Un peu de logique
Un lapin blanc est toujours gentil BG
Quand il a bu, il devient parfois agressif, parfois doux comme un agneau B (A v Ag)
Cette infection entraine fièvre, mal de tête, douleurs musculaires et articulaires, fatigue, nausées, vomissements et éruption cutanée IF^M^Mu^A^Fa^NA^V^E
Fonction continue si elle est dérivable DC
A. Un peu de logique
Tables de vérité de: A ^ B
A v B : cf rappel
A ^ B
1 1
1 0
0 1
0 0
0
1
0
0
BA
Intersection à selectionner
A. Un peu de logique
A B
A B
1 1
1 0
0 1
0 0
0
1
1
1
BA
B à sélectionner ainsi que ce qui est en dehors des deux ensembles
A. Un peu de logique
(Av B) C
(A V B) C
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
A. Un peu de logique
A
CB
Sélectionner C et tout ce qui est hors des ensembles
A. Un peu de logique
Av (B C)
A V (B C)
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
A. Un peu de logique
A
CB
Sélectionner tout sauf la partie de B qui n’a d’intersection ni avec A, ni avec C
A. Un peu de logique
Démontrer┐(A ^ B) équivalent à (┐ A) v (┐ B)
Faire les deux tables de vérité
Mêmes tables de vérité
┐ (A ^ B)
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
01
1
1
(┐ A) v (┐ B)
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
0
1
1
1
A. Un peu de logique
Démontrer┐(A B) équivalent à A ^ (┐ B)
Faire les deux tables de vérité
Mêmes tables de vérité
┐ (A B)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
01
0
0
A ^ (┐ B)
1 0 1
1 1 0
0 0 1
0 1 0
0
10
0
A. Un peu de logique
3.Démontrer que l’implication A B) est équivalente à (┐ B) (┐ A) (la contraposée) mais n’est pas équivalente à B A (la réciproque).Faire les tables de vérités
Si même table équivalent.
A. Un peu de logique
(A B)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
(┐ B) (┐ A)
0 1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 0
0 1 1 0
1
0
11
(B A)
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 1 0
B.Vecteurs et matrices
1.Avec les matrices suivantes, effectue les opérations suivantes
A+B =
Ax =
AB=
2
1xx
0 1
1 0B
6 1
2 3
xA
0 1
1 0
6 1
2 3
06 11
12 03
6 2
3 3
x
x
6 1
2 3
2
1
6 x1
2x 3
21
21
x
x
0 1
1 0
6 1
2 3
0.61.1 1.6 .0 1
2.03.1 2.1 0.3
1 6
3 2
B.Vecteurs et matrices
(A-B)(A+B)
A²-B²
06 11
12 03
06 11
1-2 03
6 2
3 3
6 0
1 3
6.60.3 2.63.0
1.63.3 2.13.3
63 21
51 11
0 1
1 0
0 1
1 0
6 1
2 3
6 1
2 3
0.01.1 0.11.0
1.00.1 1.10.0
66. 1.2 1.63.1
2.63.2 1.23.3
1 0
0 1
38 9
18 11
1-38 09
0-18 111
37 9
18 10
B.Vecteurs et matrices
A³
6 1
2 3
6 1
2 3
6 1
2 3
6 1
2 3
38 9
18 11
38.69.2 1.383.9
18.611.2 1.183.11
246 65
130 51
B.Vecteurs et matrices
Dn
En
0 0
1 0....
0 0
1 0
0 0
1 0
0 0
1 0....
0.00.0 0.00.0
1.00.1 0.10.0
0 0
1 0....
0 0
0 0
0 0
0 0
5- 0
0 3....
5 0
0 3
5- 0
0 3
5 0
0 3....
5-.50.0 -5.00.3
5-0.3.0 0.03.3
5 0
0 3....
25 0
0 ²3
n(-5) 0
0 3n
B.Vecteurs et matrices
Déterminant A
6 1
2 3 1.2-3.6 16
B.Vecteurs et matrices
Déterminant E
0 0
1 0 0.1-0.0 0
B.Vecteurs et matrices
Inverse de A
t
3 2
1 6
16
1
3 1
2 6
16
11
6 1
2 3
B.Vecteurs et matrices
Inverse de E Matrice non inversible car déterminant nul
B.Vecteurs et matrices
2. a) A+B
B+D
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 6 1
0 2 3
11 00 00
00 0 6 11
00 12 03
2 0 0
0 6 2
0 3 3
2 1-
5- 0
0 3
1 0 0
0 0 1
0 1 0!impossible
B.Vecteurs et matrices
2)B)AD
DA
2 1-
5- 0
0 3
1 0 0
0 6 1
0 2 3
1.25-0.0.0 1-1.0.00.3
0.25-6.1.0 1-0.6.01.3
0.25-2.3.0 1-0.2.03.3
2 1-
30 3
10- 9
1 0 0
0 6 1
0 2 3
2 1-
5- 0
0 3
!impossible
B.Vecteurs et matrices
ED
C)A²
2 1-
5- 0
0 3
5 5- 0
1 0 3
2.55.50.0 5.1-5.00.3
1.25-0.3.0 1.10.03.3
35 5
2 8
1 0 0
0 6 1
0 2 3
1 0 0
0 6 1
0 2 3
1.10.00.0 1.00.60.2 1.00.10.3
0.16.01.0 0.06.61.2 0.06.11.3
0.12.03.0 0.02.63.2 0.02.13.3
1 0 0
0 83 9
0 81 11
B.Vecteurs et matrices
3.Vérifier que les systèmes d’équations admettent une solution unique
solution unique
infinité de solutions ou aucune solution
242
423
yx
yx
2
4
4 2
2 3
y
x0
4 2
2 3
2
433
yx
yx
2
4
1 1
3 3
y
x0
1 1
3 3
B.Vecteurs et matrices
4.Résoudre le système d’équations et donner une interprétation géométrique
calcul de la matrice inverse
Déterminant = 12-4 = 8
intersection de deux droites sécantes
242
423
yx
yx
2
4
4 2
2 3
y
x
2
4
4 2
2 31
y
x
3 2-
2- 4
8
11A
2
4
8
3
4
1-4
1-
2
1
y
x
2.8
3 .4
4
1-
2.4
1- .4
2
1
y
x
4
1-2
3
y
x
B.Vecteurs et matrices
5.Soient A, B deux matrices carrées 2x2.Prouver que tr(AB) = tr(BA)
tr(AB)=tr(BA)
h g
f e
d c
b a
B
A
hdgb hcga
fdeb fcea
dhcf dgce
bhaf bgae
BA
AB
hdgbfceaBAtr
dhcfbgaeABtr
)(
)(
B.Vecteurs et matrices
Sous quelles conditions a-t-on AB = BA?Regardons AB et BA
Il faut:
hdgb hcga
fdeb fcea
dhcf dgce
bhaf bgae
BA
AB
hdgbdhcf
fdebbhaf
hcgadgce
fcaebgae
fdebbhaf
hcgadgce
fcbg
B.Vecteurs et matrices
Si A est une matrice diagonale, a-t-on toujours AB = BA? NON, contrexemple:
0 0
1 0
3 0
0 2
B
A
0 0
3 0
0 0
2 0
BA
AB
D.Un petit test
1) C Soit la distance=6km 2h pour l’aller et 3h pour le
retour 12km/5h=2,4km/h
2) A6 en 15 j
Pour un ordi 90j pour arriver à 10j, on multiplie le temps par 2/3. On va
donc multiplier le nombre d’ordinateurs par 3/2 Il faut 9 ordinateurs au total, soit 3 en plus
D.Un petit test
3)Dl et k sont parallèles, l’angle entre k et w estdonc le même qu’entre l et w
Le produit des deux coefficients angulaires fait -1 l’angle est de 90°
25
1
45
xyw
xyl
D.Un petit test 4) C
770=2*5*7*11 => w=2, z=11 5)A
4
761676
7.964
)738(276
738
2632
D.Un petit test
6)APour avoir une somme impaire, il faut
additionner un nombre pair à un nombre impair.
Le seul nombre qui est pair et premier est 2.1431=2+1429Leur produit est donc pairLe reste de la division par 2 est donc nul
D.Un petit test
Q7:A2.1.8=16 on conserve le 66.3=18 on conserve le 88.1.3=24 on conserve le 44.8 =32 conserve le 22.5.8=0 c’est un 0
D. Un petit test
Q8C2431-1231+1
