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TP03 : Commande numérique par retour d’état.

1- Objectif :

L’objectif de ce TP est de présenter les principes et propriétés de commande par retour d'état et la synthèse d’observateurs pour les systèmes linéaires échantillonnés.

2- Introduction : La méthode employée est une méthode de placement de pôles c'est-à-dire que l'on doit déterminer une commande telle que les pôles du système en boucle fermée soient convenablement placés dans le plan complexe et satisfassent des spécifications d’amortissement, de rapidité... Les pôles de la fonction de transfert étant les valeurs propres de la matrice d’état, le but est donc de réaliser un asservissement modifiant convenablement la matrice d’évolution du système.

3- Représentation d’état d’un système échantillonné : En générale, un système linéaire échantillonné (en temps discret) mono variable décrit par la représentation d’état est donné sous la forme suivante :

)k(Cx)k(y

)k(Bu)k(Ax)1k(x

Avec )k(x est le vecteur d’état, )k(u est le vecteur d’entrée (ou de commande) et )k(y

représente le vecteur de sortie (ou d’observation). La première équation s’appelle l’équation de commande ; la seconde, équation de sortie ou d’observation.

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Figure 1 : Représentation schématique d’une modélisation d’état.

4- La forme compagne de commande et d’observabilité : La fonction de transfert associée à la représentation d’état (2) s’écrit :

a- La forme compagne de commande : Sous la forme compagne pour la commande, les matrices Ac, Bc et Cc ont des formes très particulières :

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La matrice de passage cM se définit comme suit. Si x est le vecteur d’état dans la base

initiale et x~ le vecteur d’état dans la base compagne de commande, alors xM c~ et cM se

décompose colonne par colonne :

Les colonnes de cM sont calculées par récurrence :

b- La forme compagne d’observation :

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La matrice de passage OM se définit comme suit. Si x est le vecteur d’état dans la base

initiale et x~ le vecteur d’état dans la base compagne d’observation, alors xxM o~ et

oM se décompose ligne par ligne :

Les lignes de oM sont calculées par récurrence :

5- Travail demandé :

Partie I :

On considère le système représenté par la figure 2, et décrit, pour une période d’échantillonnage T=1s, par les équations d’état à temps discret :

kk

kkk

xy

uxx

11

1

1

5.05.1

15.11

Figure 2 : procédé échantillonné.

1. Modélisation et Analyse du système : a. Etudier la commandabilité et l’observabilité de ce système. b. Etudier la stabilité ainsi que le comportement en régime transitoire de ce

système. c. Caractériser le comportement en régime transitoire du procédé continu. Quel

est son coefficient d’amortissement et sa pulsation propre non amortie n ?

d. Calculer les matrices de passage, notées cM et oM permettant

respectivement de passer de la base initiale aux bases compagnes de commande et d’observation.

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2. Commande par retour d’état : On suppose que l’état kx de ce système est accessible et que l’on applique, selon le

schéma de la figure 2, une loi de commande par retour d’état.

ckckk yILxu

Figure 2 : commande par retour d’état.

Où cky représente la consigne, cI est un gain de pré-commande et 21 llL le gain de

retour d’état.

a. Calculer une loi de retour d’état 1L permettant de placer les modes du

système à l’origine.

b. Calculer une loi de retour d’état 2L permettant de placer les pôles du

système, pour avoir les caractéristiques suivantes : 425.0 et srdn /1

par analogie avec un système continu.

3. Pré-commande : Pour chaque retour d’état 1L et 2L , calculer la valeur du gain 1cI et 2cI de pré-commande

qui permettent au système d’avoir un gain statique unitaire.

4. Calcul d’un observateur On suppose que seule la sortie du système est accessible. On souhaite donc élaborer un observateur dynamique, selon le schéma figure 3.

Figure 3 : ensemble procédé +observateur

a. Calculer un gain d’observateur 1H tel que les pôles de l’observateur sont à

l’origine.

b. Calculer un gain d’observateur 2H tel que son comportement dynamique est

décrit par l’amortissement 425.0 et la pulsation srdn /1 par analogie

avec un système continu.

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A l’aide de Simulink, visualiser en même temps sur un oscilloscope : - La réponse indicielle en boucle fermée (avec la commande de retour d’état L2).

- Les états de systèmes en utilisant l’observateur H2.

Partie II : On considère l’ensemble système + observateur + retour d’état :

Figure 4 : Observateur+retour d’état

Soient cky le signal de consigne, kd le signal de perturbation, ku la commande appliquée au

système, ky la sortie de mesure, kx l’état du système, kx̂ l’état de l’observateur (état

estimé) et ke le vecteur d’erreur d’estimation. De plus, on pose :

k

k

kx

x

ˆ

a. Montrer que le système global vérifie les équations suivantes :

b. Faire un choix de cI , L et H parmi les valeurs précédentes calculée.

Définir dans l’environnement Matlab les matrices décrivant le système complet. Simuler dans Simulink le comportement de cet ensemble pour différentes initialisation du procédé et de l’observateur et pour différents signaux de perturbation.

- choix du vecteur de conditions initiales [1 2 0 0] qui signifie que l’état initial est choisi tel

que

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10x est l’état de l’observateur est choisi nul.

Les simulations sont faites avec un échelon de consigne de valeur 2 déclenché à l’instant

10t et un bruit blanc de perturbation dont la puissance est réglée à 0.001.