VOLUME3 Asservissements par variables d’état

7/27/2019 VOLUME3 Asservissements par variables dtat

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asservis Systmes

Volume 3

Asservissements par variables dtat

J.-M. Allenbach

A. Rotzetta

Ecole dIngnieurs de Genve

Laboratoire dAutomati ueN 68

Edition 2005


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Rglage d'tat

J.-M. ALLENBACH 040211i

TABLE DES MATIRES

10 RGLAGE PAR LES VARIABLES D'TAT

10.1 ESPACE D'TAT10.1.1 Grandeurs et quations d'tat 110.1.2 Relations fonction de transfert quations d'tat 310.1.3 Commandabilit 5

10.2 RGLAGE D'TAT10.2.1 Principe 710.2.2 Rgulateur intgrateur 910.2.3 Gnralisation 910.2.4 Stabilit 11

10.3 RGULATEURS D'TAT10.3.1 Relations de base 1510.3.2 Rgulateur analogique 1710.3.3 Rgulateur digital 19

10.4 DIMENSIONNEMENT10.4.1 Equations du systme global 2310.4.2 Dtermination des coefficients 2510.4.3 Choix des ples 27

10.5 VRIFICATION DYNAMIQUE10.5.1 Calcul de la rponse indicielle 29

10.6 OBSERVATEURS

10.6.1 Observabilit 3110.6.2 Principe 32


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Rglage d'tat

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Annexes

10.A DIMENSIONNEMENT ANALYTIQUE COMPLET10.A.1 Rglage d'un systme rgler ayant une constante de temps dominante 33

10.A.2 Imposition des ples 3410.A.3 Conclusion 44

10.B DIMENSIONNEMENT NUMRIQUE D'UN ASSERVISSEMENT10.B.1 Droulement du projet 4510.B.2 Procdure d'entre des donnes 4610.B.3 Calcul du rgulateur 4710.B.4 Simulation dynamique 4810.B.5 Logiciel de calcul 4810.B.6 Exemple 4910.B.7 Exemple soumis une perturbation 53

10.C CALCUL MATRICIEL10.C.1 Dfinitions 5910.C.2 Oprations matricielles 6010.C.3 Inversion d'une matrice 6310.C.4 Valeurs propres et vecteurs propres 64

10.D GNRALISATION DU RGULATEUR DTAT10.D.1 Composante drive 6710.D.2 Rgulateur classique 7010.D.3 Dimensionnement 7010.D.4 Exemple 73


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Rglage d'tat

J.-M. ALLENBACH 040211iii

BIBLIOGRAPHIE

[1] H.BHLER: Conception de systmes automatiques, PPUR, Lausanne.

[2] H.BHLER:Electronique de rglage et commande, PPUR, Lausanne.[3] L.MARET:Rgulation automatique, PPUR, Lausanne.[4] H.BHLER: Systmes chantillonns I, PPUR, Lausanne.[5] H.BHLER: Systmes chantillonns II, PPUR, Lausanne.[6] J.NEYRINCK: Thorie des circuits et systmes, PPUR, Lausanne.[7] GILLE,DECAULNE ET PELEGRIN: Thorie et calcul des asservissements linaires,

Dunod, Paris.[8] M.ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne.[9] O.FLLINGER:Regelungstechnik, Hthig.

[10] B.C.KUO:Automatic Control Systems , Prentice-Hall.[11] E.JUCKER:Equations fondamentales des micromoteurs courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds.[12] L.POVY:Identification de processus, Dunod, Paris.[13] L.MARET:Rgulation automatique 2, Eivd, Yverdon.[14] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme retard pur, EIG/LAE, Genve.[15] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme instable, EIG/LAE, Genve.[16] C.T.CHEN:Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ.[17] W.A.WOLOWICH:Automatic Control Systems, Saunders HBJ.[18] B.C.KUO:Digital Control Systems, Saunders HBJ.[19] M.RIVOIRE,J.-L.FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris.[20] R.LONGCHAMP: Commande numrique de systmes dynamiques , PPUR, Lausanne.

[21] F. DE CARFORT,C.FOULARD:Asservissements linaires continus, Dunod, Paris.[22] P.NASLIN:Les rgimes variables dans les systmes linaires et non linaires, Dunod,Paris.

[23] W.OPPELT:Kleines Handbuch technischer Regelvorgnge, Verlag Chemie GMBH.[24] E.GROSCHEL:Regelungstechnik, R. Oldenburg, Mnchen et Wien.[25] F.MILSANT:Asservissements linaires analyse et synthse, Dunod, Paris.[26] H.GASSMANN:Einfhrung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun[27] M.KUNT: Traitement numrique des signaux, PPUR, Lausanne.[28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathmatique, EIG, Genve.[29] DIVERS PROFESSEURS:Electronique, EIG, Genve.


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Rglage d'tat

J.-M. ALLENBACH 040211iv

GLOSSAIRE

Symbole Description Page

A Matrice fondamentale 2

AG Matrice fondamentale du systme global 11AGD Matrice fondamentale du systme global, rgulateur avec

composante drive 68Ai Matrice de calcul intermdiaire 23AiD Matrice de calcul intermdiaire, rgulateur avec composante

drive 71Ao Matrice fondamentale de l'observateur 32As Matrice fondamentale du systme rgler 10Ax Matrice fondamentale selon le modle canonique de rglage 5b Vecteur d'entre 2bi Vecteur de calcul intermdiaire pour signal de commande 23bv Vecteur d'entre de perturbation 1bs Vecteur d'entre de commande sur le systme rgler 10bsv Vecteur d'entre de perturbation sur le systme rgler 10bGv Vecteur d'entre de perturbation sur le systme global 11bGw Vecteur d'entre de commande sur le systme global 11bx Vecteur d'entre selon le modle canonique de rglage 5B Matrice d'entre de commande 3Bv Matrice d'entre de perturbation 3c

T Vecteur ligne de sortie 2cG

T Vecteur ligne de sortie du systme global 11

csT

Vecteur ligne de sortie du systme rgler 10cx

T Vecteur ligne de sortie selon le modle canonique de rglage 5

C Matrice de sortie 3d Matrice d'action directe 2dx Matrice d'action directe selon le modle canonique de rglage 5

D(s) Dnominateur de la fonction de transfert 8D1max Valeur maximale accepte pour le dpassement sur la rponse

indicielle 12e Ecart de rglage 22eo Ecart d'observation 32e

T Vecteur ligne pour le dimensionnement du rgulateur d'tat 25eDT Vecteur ligne pour le dimensionnement du rgulateur d'tat avec

composante drive 72E Matrice pour le dimensionnement du rgulateur d'tat 25ED Matrice pour le dimensionnement du rgulateur d'tat avec

composante drive 72FG Matrice fondamentale discrte du systme global 29G0(s) Fonction de transfert en boucle ouverte 7Gcm(s) Fonction de transfert de l'organe de commande 7Gcf(s) Fonction de transfert du systme global par rapport l'entre de

consigne8

Gpf(s) Fonction de transfert du systme global par rapport l'entre deperturbation 8


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Rglage d'tat

J.-M. ALLENBACH 040211v


Gs(s) Fonction de transfert du systme rgler 7hGv Vecteur discret d'entre de perturbation sur le systme global 29hGw Vecteur discret d'entre de commande sur le systme global 29kc Facteur de correction de l'intgrateur en cas de saturation de la

sortie du rgulateur 20ki Coefficient de contre-raction d'tat sur la grandeur d'tatxi 7kR Coefficient du rgulateur intgrateur 9kv Coefficient d'intervention directe de la perturbation 10kw Coefficient d'intervention directe de la consigne 7kG

T Vecteur ligne de contre-raction d'tat avec intgrateur 23ko Vecteur ligne de contre-raction d'observateur 32ks

T Vecteur ligne de contre-raction d'tat 10K Facteur de transfert 7Kcm Facteur de transfert de l'organe de commande 7pi Ple N i 4pk Ple choisi pour tre compens avec le coefficient de la consigne 26pl Ple choisi pour tre compens avec la constante de drive 71Qc Matrice de commandabilit 5Qci Matrice de commandabilit depuis le signal de commande 24QciD Matrice de commandabilit depuis le signal de commande avec

composante drive 72Qo Matrice d'observabilit 31

R Rsistance 17R Matrice unit complte 4S Matrice totale du systme 4

tr[ ] Trace d'une matrice 11tr Temps de rponse 12trmax Valeur maximale accepte pour le temps de rponse 12T Priode d'chantillonnage 21Td Constante de drivation 67Tp Constante de temps de l'organe de commande 10Ti Constante de temps du bloc i 7Ti Constante d'intgration 9u Grandeur de commande 1ucm Signal de commande 7u Vecteur de commande 3v Grandeur de perturbation 1v Vecteur de perturbation 3w Grandeur de consigne 7

xcm Grandeur d'tat de l'organe de commande 10xD Grandeur d'tat de l'organe de commande, corrige pour

rgulateur avec composante drive 68xi Grandeur d'tat 1xRTi Grandeur d'tat du rgulateur intgrateur 23x Vecteur d'tat 1$x Vecteur d'tat observ 32~x Erreur d'observation 32xG Vecteur d'tat global 11


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Rglage d'tat

J.-M. ALLENBACH 040211vi


xGD Vecteur d'tat global, rgulateur avec composante drive 59xs Vecteur d'tat du systme rgler 10x0 Valeur initiale du vecteur d'tat 11

Xi Grandeur d'tat exprime dans l'espace de Laplace 5

y Grandeur de sortie (rgle) 1$y Grandeur de sortie observe 32

y Vecteur de sortie 3zj Zro N j 4i Coefficients du polynme caractristique donn par l'imposition

des ples11

1T Vecteur des coefficients du polynme caractristique 25 Valeur absolue de la partie relle d'un ple 27min Valeur maximale absolue de la partie relle d'un ple dominant

qui donne le temps de rponse minimal possible 25

systValeur moyenne des ples 11

client Amortissement absolu dfini par le temps de rponse requis 12client Amortissement relatif dfini par le dpassement requis 12


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Rglage d'tat

Jean-Marc Allenbach 101 040205

CHAPITRE 10: RGLAGE PAR LES VARIABLES D'TAT

10.1 ESPACE D'TAT

10.1.1 Grandeurs et quations d'tatOn a vu au chapitre 2 qu'on peut modliser une installation relle par un systmed'quations diffrentielles coefficients constants. Pour introduire la modlisation par

variables d'tat, on part d'un exemple (10.1) de systme (fig. 10.1a) qu'on peut commander

par une entre u et qui subit une perturbation v. On est intress par sa sortiey (fig. 1.1).

x a u b x c x

x d x e x f x

x g x h v j x

y k x

1 1 2

2 2 2 3

3 1 3

3

= +

= +

= +

=

&

& &&

&(10.1)

Pour mettre en vidence les variables d'tat, il faut transformer ces quations

diffrentielles quelconques en un systme d'quations diffrentielles du premier ordre, en

crivant la grandeur drive dans le membre de gauche et une combinaison de grandeurs non

drives dans le membre droit de chaque galit. La deuxime ligne de (10.1) contenant une

drive seconde, on est conduit introduire une nouvelle variablex4 comme drive dex2.

&

&

&

&

xb

xc

bx x x

a

bu v

x x x x x u v

xg

jx x

jx x u

h

jv

x xe

xf

ex

d

ex u v

y x x k x x u v

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3 4

1 2 3 4

10 0 0

0 0 0 1 0 0

01

0 0

01

0 0

0 0 0 0 0

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

(10.2)

On rassemble dans un vecteurx appel vecteur d'tat toutes les grandeurs qui appa-raissent drives une fois dans le membre de gauche. Ces grandeurs sont appeles variables

d'tat. La dimension n du vecteur d'tat correspond l'ordre n du systme (sect. 4.3) dont il

dcrit l'tat prsent. Si la dimension du vecteur d'tat est dtermine par le systme et leniveau de modlisation choisi, le choix de ses composantes dpend des besoins spcifiques,

des habitudes des ingnieurs et de la mesurabilit des grandeurs physiques. Une variable

d'tat peut tre une grandeur physique relle ou une valeur abstraite qui est une combinaison

de grandeurs physiques. La seule exigence est l'indpendance linaire des variables d'tat

choisies. Dans l'exemple prsent, on a n = 4.

x =

x

x

x

x

1

2

3

4

(10.3)

On peut crire le systme d'quation (10.2) sous forme matricielle.


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Rglage d'tat


&x A x b b= + +u vv (10.4)

y u v= + +c x d dT v (10.5)

Les matrices se dduisent de la comparaison des relations (10.4)et (10.5) avec (10.2).

A =

10 0

0 0 0 1

01

0

01

b

c

b

g

j j

e

f

e

d

e

(10.6)

b b=

=

a

b

h

j

0

0

0

0

0

0

v (10.7)

[ ] [ ] [ ]c d dT v= = =0 0 0 0 0k (10.8)

La matrice A est appele matrice fondamentale, car elle contient la description ducomportement dynamique du systme. Les matrices b sont les vecteurs d'entre, la matrice cTle vecteur-ligne de sortie et les matrices d les matrices d'action directe qui sont en gnralnulles dans les systmes physiques, les matrices d sont de dimension pour un systme

dit monovariable. Ces dernires seront omises dans la suite de l'expos, mais dans les

applications numriques, notamment avec MATLAB, elles devront tre spcifies commenulles. On peut dcrire le modle d'tat et le modle de transfert (chap. 4) par schma-bloc.

Fig. 10.1 Systme monovariable linaire: A Diagramme structurel des quations diffrentielles.

B Modle par espace d'tat C Modle par fonction de transfert.

u

Gp(s)v

y

C

Gc(s)

d f

us

v

y

A

a

h

g k

e

c

b

jss s

x1

x1

x2

x2

x3

x3

+

+

+

u B

Bv

A

CT1/s

v

y

xB


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Rglage d'tat


On peut tendre la dfinition des systmes dont on veut rgler plusieurs grandeurs de

sortie l'aide de plusieurs grandeurs de commande: toutes les matrices ont alors plus d'une

ligne et plus d'une colonne.

&x A x B u B v= + + v (10.9)

Y C x= T (10.10)

Fig. 10.2 Systme multivariable linaire: Modle par espace d'tat.

Dans ce cours, on se concentrera pour la suite sur les systmes monovariable.

10.1.2 Relations entre fonction de transfert et quations d'tatPour mettre en vidence la relation, il faut traduire les relations (10.4) et (10.5) dans le

domaine de Laplace.

s s s U s V sX A X b b( ) ( ) ( ) ( )= + + v (10.11)

Y s s( ) ( )= c XT (10.12)

De la relation (10.11), on tire X(s) pour l'injecter ensuite dans (10.12).

X s s U s V s( ) ( ) ( ( ) ( ))= +1 A b b1 v (10.13)

Y s s U s V s( ) ( ) ( ( ) ( ))= +c 1 A b bT v1 (10.14)

Comme on traite de systmes linaires, on peut sparer l'effet de la commande de celuide la perturbation. Pour les seuls besoins de l'expos, on utilise la dfinition l'inversion

matricielle par le dterminant et la matrice des mineurs (10.C35).

G s ss

sc

TT

mi( ) ( )

( )

det( )= =

c 1 A b

c 1 A b

1 A1 (10.15)

G s spT

v( ) ( )= c 1 A b1 (10.16)

Le dterminant de la fonction de transfert (10.15) est un polynme en s dont les

racines sont les valeurs proprespi de la matrice fondamentale A.

u B

Bv

A

CT1/s

v

y

x


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Rglage d'tat


G ss

s pi

nc

Tmi

i

( )( )

( )

=

=

c 1 A b

1

(10.17)

On peut reprendre la fonction de transfert sous la forme d'Evans (4.15) qui met envidence les plespi (dont certains peuvent tre nuls) et les zroszj.

G s k

s z

s p

j

m

i

nc s

j

i

( )

( )

( )

=

=

=

1

1

(10.18)

En comparant les relations (10.17) et (10.18), il apparat qu'il y a identit entre les

ples pi de la fonction de transfert qui modlise un systme et les valeurs propres pi de la

matrice fondamentale qui dcrit ce systme.

On peut aussi calculer sparment ples, zros et facteur d'Evans de la fonction de

transfert au lieu du calcul gnral (10.15) qui implique une inversion matricielle.

Les ples sont obtenus par calcul des valeurs propres de la matrice fondamentale qui

sont les solutions de l'quation (10.19).

det( )s1 A = 0 (10.19)

Pour les zros, le calcul est plus difficile. On pourrait rechercher les racines du

polynme cT

(s1 A)mi b, mais la matrice des mineurs est un calcul fastidieux. On prfrerecourir la construction de deux matrices auxiliaires.

SA b

c dT=

(10.20)

R

0

0

=

1 0 0

0

0

0 0 10

L

O O M

M O O

L

T

(10.21)

Les zros sont les valeurs propres gnralises de la matrice S avec la matrice Rquisont les solutions de l'quation (10.22).

det( )sR S = 0 (10.22)

Si on confie ce calcul MATLAB, on obtient un vecteur de longueurn qui contient les m

zros recherchs et n m lments infinis. Cela voque de manire claire les n branches du

lieu d'Evans ( 5.5.1, (5.30)), dont m aboutissent aux zros en boucle ouverte qui sont aussi

les zros en boucle ferme, les autres aboutissant l'infini.


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Rglage d'tat


Pour le calcul du facteur d'Evans, on pourrait prendre le coefficient du terme d'expo-

sant le plus lev du polynme cT(s1 A)mi b. On prfre le produit matriciel (10.23).

k n msT= c A b1 (10.23)

Dans le cas trs particulier o n = m, le terme d est forcment non nul, et identique aufacteur d'Evans.

ks = d (10.24)

Pour exprimer le modle d'tat partir d'une fonction de transfert connue, il existe une

infinit de solutions: tout dpend du choix du vecteur d'tat. On peut aussi exprimer la

fonction de transfert (10.18) sous forme canonique plutt que sous forme factorise d'Evans

( 4.2.1).

G sc s c s c

s a s a s a

n

n nc

n 1

n 1

( ) =+ + +

+ + + +

11 0

1 1

L

L

(10.25)

De cette forme, on exprime une solution particulire du modle d'tat, parmi l'infinit

possible, selon un vecteur d'tat xx, diffrent de celui qu'on a choisi en (10.3), mais de mmedimension.

&x A x bx x x x= + u (10.26)

y u= +c x dxT

x x (10.27)

Les matrices se construisent facilement.

[ ]

A b

c d

x

n 1

x

xT

n 1 x

=

=

= =

a a a

c c c

L L

L

O O M M

M O O M

L

M

M

L L

1 0

1 0

1 0 0 0

0

0

0 0 1 0

1

0

0

0

(10.28)

Les matrices de cette forme contiennent beaucoup de termes nuls, ce qui simplifie etacclre les calculs numriques. En contrepartie, le vecteurxx prsente l'inconvnient de necontenir que des termes abstraits alors que ceux de x sont des grandeurs physiques. Il faudradonc tablir un relation entre x et xx.

10.1.3 CommandabilitLacommandabilit d'un systme rgler est une condition ncessaire l'tablissement

d'un rgulateur quel qu'il soit. Un systme est commandable depuis l'entre u s'il est possible

d'intervenir sur cette entre pour atteindre un tat final x(t) = 0 partir de conditions initialesx(0) quelconques en un temps tfini. Le modle d'tat permet de dterminer si un systme est

commandable en construisant sa matrice de commandabilitQc. C'est une matrice carre demme dimension que la matrice fondamentale.


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Rglage d'tat


Q b A b A b Q A Qc c cavec= = [ , , ... , ] ( ) ( )n k k1 1 (10.29)

Un systme est commandable si sa matrice de commandabilit est rgulire.

det Qc 0 (10.30)

On peut illustrer cette valuation par un exemple.

Fig. 10.3 Exemple de systme.

On tire de la figure 10.3 un systme d'quations.

Xs

U

Xs

U X

1

2 1

1

1

1

2

=+

=+

+

( )

(10.31)

On rorganise les quations pour faire apparatre les drives.

s X X UX X X U

1 1

2 1 22= +

= +

(10.32)

On en tire les matrices A et b.

A b=

=

1 0

1 2

1

1(10.33)

On calcule la matrice de commandabilit.

[ ]Q b Abc = =

,

1 1

1 1(10.34)

La matrice Qc n'est pas rgulire car deux lignes sont linairement dpendantes, ouplutt parce que son dterminant est nul. Ce systme n'est donc pas commandable.

On peut tendre la dfinition aux systmes multivariable, mais la matrice Qc ne seraalors plus carre. On exigera alors simplement qu'elle soit de rang n.

1

2s +

1

1s +

u x2 = y

x1


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Rglage d'tat


10.2 RGLAGE D'TAT

10.2.1 PrincipePour dcrire le principe de la contre-raction d'tat, on se propose d'tudier un systme

rgler d'ordre 3, compos de trois cellules du premier ordre et command travers un

amplificateur modlis par une cellule du premier ordre, dont la constante de temps est faible

faces celles du systme rgler proprement dit.

Fig. 10.5 Contre-raction d'tat: schma-bloc.

Les grandeurs x1, x2 et x3 sont un choix possible des grandeurs d'tat, le plus

raisonnable ou en tout cas le plus naturel. On construit le signal ucm par une combinaison

linaire des grandeurs d'tat et de la consigne w.

u k w k x k x k xcm w= + +( )1 1 2 2 3 3 (10.35)

On souligne que la sortie u de l'organe de commande n'est pas jointe aux grandeurs en

contre-raction. Cela procde de la mme raison qu'on a vit de compenser la plus petite desconstantes de temps connues dans le cas du rglage classique ( 8.3.1).

On calcule la fonction de transfert en boucle ouverte par produit des quatre blocs: les

trois du systme et celui de l'organe de commande.

G s G s G s

x

u

x

u

K K K K

s T s T s T sT

k

s pi

0

1 1 0

1

41 1 1 1

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )( )

= =

= = =+ + + +

=

=

cm s

cm cm1

cm 1 2 3

p 1 2 30i

(10.36)

On peut aussi rorganiser le schma de rglage ci-dessus pour faire apparatre unrglage cascade avec trois rgulateurs proportionnels de gains k1, k2 et k3.

Fig. 10.6 Contre-raction d'tat: schma-bloc transform.

K

s T

2

21+

K

s T

cm

p1 +

K

s T

3

31+

K

sT

1

11+k3

ucm u x3 x2 x1 =y

w

+

Gcm Gs14 43 14444444244444443

k21/k2k1

kw

1/k1 1/k3+ +

Gf1

ucm1

ucm2 ucm3

K

s T

2

21 +

K

s T

cm

p1 +

K

s T

3

31 +

K

s T

1

11 +kw

k1

k2

k3

ucm u x3 x2 x1 =yw

+

Gcm Gs14243 1444444442444444443

ucm1


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Rglage d'tat


A partir de la figure 10.6, on peut tablir en quatre tapes la fonction de transfert du

systme en boucle ferme. On commence par la boucle intrieure.

G sx

u

K K

s T s T k K Kf3 cm3

cm 3

p 3 cm 3

( )( )( )

= =+ + +

3

31 1(10.37)

On poursuit successivement la dmarche par les deux boucles superposes.

G sx

u

K K K K

D s

D s s T s T sT s T k K K s T s T

k K K K s T k K K K K

f1cm1

cm 1 2 3

f

f p 1 2 3 cm 3 1 2

cm 2 3 1 cm 1 2 3

avec

( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )

= =

= + + + + + + +

+ + +

1

3

2 1

1 1 1 1 1 1

1

(10.38)

Une comparaison des fonctions de transfert en boucle ouverte (10.35) et en boucle

ferme (10.38) met en vidence que le degr des deux dnominateurs est le mme. La contre

raction d'tat ne modifie pas l'ordre du systme, mais la valeur des racines du dnominateur les ples du systme change puisque les deux polynmes sont diffrents.

La fonction de transfert en boucle ferme s'obtient par multiplication du coefficient

d'action de la consigne.

G s k G scf w f1( ) ( )= (10.39)

Le but du rglage d'tat, comme celui du rglage classique, est de garantir que la

consigne soit suivie en rgime tabli. Le gain statique doit donc valoir 1. Cette condition

permet de calculer le coefficient d'action de la consigne en galant 1 la limite pours tendant

vers 0 de la fonction de transfert.

k kk

K

k

K K K K K Kw cm= + + +1

2

1

3

1 2 1 2 3

1(10.40)

10.2.2 Rgulateur-intgrateurOn a pas de peine concevoir que le circuit de rglage ne garantisse pas un cart

statique nul en prsence de perturbation. Avec trois boucle de rglage rgulateur P, on ne

peut pas ignorer l'erreur de statisme de ce type de rgulateur ( 7.3.2). Comme on l'avait fait

avec le rgulateur P, on ajoute une composante proportionnelle l'intgrale de l'cart de

rglage.

Fig. 10.8 Contre-raction d'tat avec rgulateur-intgrateur.

On peut alors modifier la relation (10.39) en ajoutant la composante intgrale.

kw

k

T

R

i

1

s

G sf1( )w y

+

+

+


17/86

Rglage d'tat


Y s k W sk

s TW s Y s G s( ) ( ( ) ( ( ) ( ))) ( )= + w

R

if1 (10.41)

On en dduit la nouvelle fonction de transfert du systme asservi.

iw

RR5

1

i

Rf

f1i

R

i

Rwf1

cf avec

)(

)(

)(1

))((

)(Tk

kz

ps

zsk

sGTs

k

TskksG

sG

i

=

=

+

+=

=

(10.42)

10.2.3 GnralisationPour un systme quelconque d'ordre ns, on peut appliquer le principe de contre-

raction d'tat, quelle que soit sa structure. La seule condition est sa commandabilit. On

dsigne le vecteur d'tat xs du systme rgler et ses diverse matrices par l'indice "s". On

complte encore le rgulateur par une composante qui tient compte de la perturbation, lorsquecelle-ci est mesurable ou observable. Cette composante permet de dj corriger la grandeur de

commande avant que l'effet de la perturbation soit perceptible sur toutes les variables d'tat.

Fig. 10.8Systme rgl par rgulateur d'tat.

De la relation (10.35) et la figure 10.8, on exprime le signal de commande, qui est la

sortie du rgulateur.

u k w k vk

Txcm w v

R

iRTi s

Ts= + k x (10.43)

k k k k sT

1 2 ns= [ ]L (10.44)

sTsRTi xc== wywx& (10.45)

OCM

kv

w

1

s

k

T

R

i

kw

ksT

S

xRTi

xs

v

yuucmucm'

+

+

+

+


18/86

Rglage d'tat


Pour dcrire l'ensemble des composants du systme rgl, on doit encore crire les

quations du systme rgler et celles de l'organe de commande.

&x A x b bs s s s sv= + +u v (10.46)

y = c xsT

s (10.47)

&xT

xK

Tucm

pcm

cm

pcm= +

1(10.48)

u x= cm (10.49)

Le rgulateur d'tat, encadr en trait mixte la figure 10.8, est reprsent par un

symbole unique la figure 10.9. Sa ralisation, par des moyens lectroniques ou

informatiques, est dcrite la section 10.3.

Fig.10.9 Rgulateur d'tat: symbole.

10.2.4 StabilitComme pour le rglage classique, on dsire que le systme rgl soit stable, et que son

comportement dynamique soit conforme aux voeux du client. Au dbut de cette section, on a

constat que l'introduction d'une contre-raction d'tat dplace les ples, ce qui conduit

utiliser les notions de placement des ples dans le plan d'Evans (sect. 6.6).

On reprend la dfinition de stabilit du chapitre 6: Un systme est stable si, en

l'absence d'excitation et abandonn dans des conditions initiales non nulles, il revient son

tat d'quilibre en un temps raisonnable. On applique la dfinition la relation (10.4), crite

pour le systme global, pour lequel les entres sont nulles.

&x A xG G G= (10.50)

On applique la transforme de Laplace pour des conditions initiales x0 non nulles, puison extrait XG(s).

X 1 A x1 A

1 Ax xG G

G mi

Gf

j

i

( ) ( )( )

det( )

( )

( )

s ss

sk

s z

s p

j

m

i

n= =

=

=

=

10 0

1

1

0 (10.51)

La stabilit du systme global est dtermine par les valeurs propres de la matrice AG,qui sont les solutions de son quation caractristique.

det( )s 1 A =G 0 (10.52)

SSC

xs

u

y

v

ucm


19/86

Rglage d'tat


Le polynme caractristique peut s'exprimer de manire dveloppe avec les

coefficients kou de manire factorise avec les valeurs proprespi ou ples.

det( ) ( )( ) ( )s s p s p s p s s sn n1 A = = + + +

G n n 11 21

1 0L L (10.53)

Les relations entre les coefficients et les racines d'un polynme sont exprimes dans lethorme de Vite (10.54).

n 1 n

n 2 n 1 n

n 2 n 2 n 1 n

n

= + + +

= + + +

= + + +

=

( )

( )

( )

p p p

p p p p p p

p p p p p p p p p

p p pn

1 2

1 2 1 3

1 2 3 1 2 4

0 1 21

L

L

L

K

L

(10.54)

La somme des racines du polynme est gale son deuxime coefficient dans l'ordredcroissant des puissances de s. On peut dmontrer que cette somme est gale la trace de la

matrice fondamentale, si celle-ci est rgulire.

pi

n

i G n 1= = =

trA1

(10.55)

On peut dfinir syst la valeur moyenne des ples du systme global ou systme rgl.

= = =

=

syst i Gn 11 1

1

np

n ni

n

trA (10.56)

De la section 6.6, on sait que le temps de rponse du systme rgl est li pmax celui

des ples qui est le plus proche de l'axe imaginaire.

tpr

3

Re( )max(10.57)

Par dfinition de la valeur moyenne, ce plepmax ne peut se situer qu' droite de syst,

en tram sur la figure 10.10, ce qui dfinit un temps de rponse minimal li la matrice

fondamentale.

Re( )maxp syst (10.58)

=

=

tn

r minsyst G

3 3

tr( )A (10.59)

On souhaite s'arranger pour choisir un ple pmax qui soit compatible avec le temps de

rponse souhait. On dmontrera ( 10.4.1) que la trace de la matrice fondamentale est

indpendante du choix du rgulateur. La valeur moyenne des ples est donc entirement

dtermine par le systme rgler d'ordre ns et son organe de commande d'ordre 1. Pour un

systme rgl d'ordre n = ns +2, le concepteur n'aura donc que n 1 degrs de libert dans le

choix des ples qui permettra le calcul du rgulateur: on est li par la relation (10.56) puisquele rgulateur ne peut pas agir sur la somme.


20/86

Rglage d'tat


Fig. 10.10 Marges de stabilit et contour d'Evans

Souvent, le client spcifie le cahier des charges pour le systme global en termes de

temps de rponse maximal trmax et de dpassement maximal D1max. Selon ce qu'on a vu la

section 6.6, cela spcifie le contour d'Evans en gris sur la figure 10.10 l'intrieur duqueltous les ples du systme rgl doivent se trouver

clientr

=3

t max (10.60)

client

1=

arctanln maxD

(10.61)

Le cahier des charges ne pourra tre respect que si les caractristique du systme

rgler sont compatibles avec les exigences du client.

syst client (10.62)

En premire approximation, on peut s'attendre ce que le temps de rponse minimal

soit obtenu avec les ples aligns sur syst, ce qui permet d'obtenir un ple pmax le plus

gauche possible. On rappelle cependant (voir 6.6.4) que l'approximation qui a permis

d'obtenir (10.57) devient abusive lorsqu'on a plus de deux ples de partie relle voisine.

x

x

Re

Im

syst

client

client


21/86

Rglage d'tat


10.3 RGULATEURS D'TAT

10.3.1 Relations de baseOn peut dtailler le rgulateur d'tat qui apparat encadr en trait mixte sur la figure

10.8, en sparant les composantes de xs.

Fig. 10.11 Structure interne d'un rgulateur d'tat.

On tablit les quations de la sortie ucm' et de la grandeur internexRTi.

u k w k vk

Tx k x k xcm w v

R

iRTi ns ns' ( )= + +1 1 L (10.63)

xs

w yRTi = 1

( ) (10.64)

Il se peut que la sortie ucm' prenne transitoirement des valeurs trs leves, ncessitant

l'adjonction d'une limitation de sortie plutt que de compter sur la saturation d'unamplificateur oprationnel ou la limitation propre d'un convertisseur DA. La limitation peut

aussi est impose par les caractristiques du systme rgler ou du moins de son organe de

commande.

u u u u

u u u u u

u u u x

cm cm cm cm

cm cm cm cm cm

cm cm cm cm

'

' '

'

min min

min max

max max

=

=

=

(10.65)

kns

k1

kv

w

1s

kTR

i

kw

xRTi

xs

v

y

ucm'

+

++

+

x1

xns

+

+


22/86

Rglage d'tat


Fig. 10.12 Structure interne d'un rgulateur d'tat avec limitation.

Pour viter que l'intgrateur continue d'intgrer pendant la limitation, on doit prvoir

un dispositif de correction bas sur la diffrence entre la sortie limite ucm et la sortie brute

ucm'.

Fig. 10.13 Structure interne d'un rgulateur d'tat avec limitation et correction de l'intgrateur.

kns

k1

kv

w

1

s

k

T

R

i

kw

xRTi

xs

v

y

ucm'

+

++

+

x1

xns

+

+

ucm

kc

kns

k1

kv

w

1

s

k

T

R

i

kw

xRTi

xs

v

y

ucm'

+

++

+

x1

xns

+

+

ucm

+


23/86

Rglage d'tat


10.3.2 Rgulateurs analogiquesComme les rgulateurs classiques, on les construit l'aide d'amplificateurs

oprationnels, de rsistances et d'une capacit.

Fig. 10.14 Schma de base d'un rgulateur d'tat.

On crit les quations lectriques du rgulateur.

UR

RU

R

RU

R

RU

R

RU

R

RUs

f

wc

f

vv

f

RR

f

11

f

nsns'= L (10.66)

Us R C

UR

RUR

cc

c

rr=

1( ) (10.67)

Chacun des signaux de tension reprsente une grandeur d'tat laquelle elle est lie

par un facteur de proportionnalit Uxn, dfinis par les organes de mesure et de consigne, l'exception de URn.

U w U

U y U

U x U

U x U j n

U u U

j j j

c cn

r rn

R RTi Rn

n s

cm cm cmn

=

=

=

= =

=

1L

(10.68)

En comparant les quations (10.66) (10.68) aux (10.43) (10.45) on exprime lesrelations entre les composants lectroniques et les coefficients calculs.


24/86

Rglage d'tat


kR U

R U

k

R U

R U

k

T

R U

R U

kR U

R Uj n

R CU

U

j

j

j

wf cn

w cmn

v

f vn

v cmn

R

i

f Rn

R cmn

f n

cmns

cRn

cn

=

=

=

= =

=

1

1

L

(10.69)

Comme pour les rgulateurs classiques, il y plus de composants que d'quations,laissant une certaine libert de choix au concepteur; il s'en servira pour essayer de choisir des

rsistances entre 10 K et 100 K, en particulier celles d'entre, afin de limiter les courantssans toutefois servir d'antenne pour les ondes lectromagntiques environnantes.

A cause du phnomne de saturation des amplificateurs oprationnels, il faut veiller

maintenir la sortie de l'intgrateur en-dessous de 10 V, par un choix judicieux de la valeur de

rfrence URn. Aprs un premier choix arbitraire de la rsistance d'entre, on peut calculer la

capacit.

U xRn RTi

10

max(10.70)

CR

U

U=

1

c

cn

Rn

(10.71)

On choisit alors la valeur normalise de capacit immdiatement suprieure, puis on

calcule dfinitivement la rsistance d'entre.

RC

U

Uc

choisi

cn

Rn

=1

(10.72)

On choisit encore arbitrairementRf, ce qui permet de calculer les autres composants

l'aide de (10.69), en particulierRR.

RT

k

R

R C

U

URi

R

f

c

cn

Rn

= (10.73)

La limitation du signal de sortie peut tre assure par des diodes en contre-raction sur

l'ampli de sortie. On contre-ractionne l'entre de l'intgrateur la diffrence judicieusement

pondre entre la sortie limite et celle qui ne l'est pas.


25/86

Rglage d'tat


Fig. 10.15 Rgulateur d'tat analogique avec dispositif "antiwindup".

La tension "antiwindup" dpend du choix du rapport des valeurs des rsistances de

l'amplificateur qui surveille la limitation.

UR

RU Ud

b

acm cm= ( ' ) (10.74)

Les diodes de sortie du dispositif antiwindup servent crer une zone morte qui vite

que la dispersion des valeurs de rsistances la fabrication amne une intervention mme en

absence de limitation. On peut dterminer le facteur de correction kc selon les composants et

la nouvelle forme de la composante intgralexRd'aprs la figure 10.13.

cmnad

cmnbcc

URR

URRk = (10.75)

s

uukywx

)'( cmcmcRTi

= (10.76)

Hors limitation, l'quation (10.76) se ramne (10.64). Si on introduit (10.76) dans

l'quation (10.63) et qu'on pose ucm = ucmlim, on peut exprimerxRTi en limitation.

Rc

ic

sTsvwlimcmc

c

cRTi

avec

))(()1(

kk

TT

vkwkukywTs

Tx

=

++++

= xk

(10.77)


26/86

Rglage d'tat


La composante intgrale atteint donc son rgimexRTi tabli selon une petite constante

de temps Tc.

))(( sTsvwlimcmccRTi xk+++= vkwkukywTx (10.78)

On peut injecter (10.78) dans (10.63) pour connatre la valeur du signal de commandenon limit en rgime tabli.

u uw y

kcm cm

c

' lim= +

(10.79)

Plus on choisit un gain kc lev, plus on garantit que le signal non limit s'carte peu

de la limite, ce qui garantit une raction rapide de la composante intgrale lors du changement

de signe de l'cart de rglage. Par (10.77) on affirme galement que la constante de temps Tc

est petite. On est toutefois limit en gain par le risque d'amplifier le bruit.

10.3.3 Rgulateurs discretsComme ralisation, on choisit souvent un rgulateur programm, qu'on peut en gnral

dimensionner de manire pseudo continue selon les mthodes dcrites la section suivante.

Cette mthode est satisfaisante si les conditions ci-dessous sur la priode d'chantillonnage T

sont respectes faces la pulsation 0 de mode oscillatoire mal amorti du systme rgler et

face pks, celui de ses ples dominants dont l'effet s'estompe le plus vite. Sinon, on a recours

un dimensionnement chantillonn [4, 1].

Tp1

4 ks(10.80)

T1

5 0(10.81) )

La petite constante de temps de l'organe de commande est augmente du temps de

calcul et de la constante de temps de la conversion DA qui vaut la moiti de la priode

d'chantillonnage pour former une petite constante de temps quivalente.

T T TT

pE p c= + + 2(10.82)

On rcrit les quations (10.63) (10.64) pour le temps discret l'instant k.

u k K w k K v k K x k u k cm w v R R cs'[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]= + (10.83)

u k kcs sT

s[ ] [ ]= K x (10.84)x k x k w k y kR R[ ] [ ] [ ] [ ]= + 1 1 1 (10.85)

On transforme (10.85) par Laplace pour dterminer la relation avec le calcul continu

de l'intgrale.

X s e X s W s Y sRsT

R( ) ( ( ) ( ) ( ))= + (10.86)


27/86

Rglage d'tat


X sW s Y s

eeR sT

sT( )( ) ( )

=

1(10.87)

Pour transformer l'quation (10.87) en fonction rationnelle, on remplace l'exponen-

tielle par son approximation de Pad.

X s s Ts T

W s Y sR( ), ( ( ) ( )) 1 0 5 (10.88)

On constate que l'intgrateur chantillonn se comporte en fait comme un rgulateur

PI dont le facteur proportionnel vaut 0,5 et dont la constante d'intgration vaut la priode

d'chantillonnage. On veut donc mettre en vidence la partie intgrale proprement diteXRTi.

X sW s Y s

sRTi( )

( ) ( )

(10.89)

X sX s

T

W s Y sR

RTi( )

( ) ( ) ( )=

2

(10.90)

Pour obtenir l'quation de sortie, on introduit (10.84) dans (10.83) dont on prend la

transforme de Laplace, puis on y introduit encore (10.90) et (10.47).

U s K W s K V s K X s scm w v R R sT

s' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + K X (10.91)

U s KK

W s K V sK

TX s

Kscm w

Rv

RRTi s

T R sT

s' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + 2 2

Kc

X (10.92)

On peut maintenant tablir les relations entre les coefficients continus et

chantillonns en comparant (10.92) (10.63) et (10.89) (10.64).

k KK

k K

k

T

K

T

K

w w

R

v v

R

i

R

sT

sT R

sT

=

=

=

=

2

2k K c

(10.93)

On en tire les expression pour calculer les coefficients chantillonns lorsqu'on a

dimensionn les coefficients continus.

K Tk

T

K kT k

T

k K

T k

T

R

R

i

w wR

i

v v

s

T

s

T R

i s

T

=

= +

=

= +

2

2K k c

(10.94)


28/86

Rglage d'tat


Fig. 10.16 Rgulateur d'tat discret avec limitation et correction de l'intgrateur.

Comme pour le rgulateur continu, on corrige la composante intgrale, ici avec

linverse du coefficient daction directe de la consigne. On peut encore crire l'algorithme de

programmation.

1 lire y, w et v2 ucs = 0 %calcul de la combinaison linaire d'tat3 pour j = 1 ns4 lire xj5 ucs = ucs + kj*xj6 ucm' =kw*w - kv*v + kR*xR - ucs %calcul du signal7 si ucm' > ucmax %limitation8 alors ucm = ucmax9 sinon si ucm' < ucmin10 alors ucm = ucmin11 sinon ucm = ucm'

12 sortir ucm %sortie13 elim = w - y -(ucm'-ucm)/kw %intgrale jour14 xR = xR + elim15 fin

1

Kw

Kns

K1

Kv

1

z

Kw

xR[k]

x s[ ]k

v[k]

ucm'[k]

+

++

+

x1[k]

xns[k]

+

+

ucm[k]

+

w[k]

KR

++

y[k]

ucs[k]

xR[k+1]


29/86

Rglage d'tat


10.4 DIMENSIONNEMENT DES RGULATEURS D'TAT

10.4.1 Equations du systme globalL'tude de stabilit du systme global porte sur un systme d'ordre n = ns + 2. Les ns

variables d'tat du systme rgler sont compltes parxcm une variable d'tat qui dcrit

l'organe de commande et xRTi un autre qui dcrit le rgulateur. On dfinit alors le nouveau

vecteur d'tat xG du systme global auquel on peut appliquer les considrations de stabilit( 10.2.4).

x xG

cm

s

RTi

=

x

x

(10.95)

Fig. 10.17Systme global: installation rgle par rgulateur d'tat.

On peut rcrire les quations (10.43) (10.48) en considrant qu'on n'a pas trois

systmes distincts, mais qu'ils sont interconnects pour crer le systme global. On fait

disparatre la grandeur intermdiaire u par (10.49).

&xT

x xK

Tu w vcm

pcm

Ts RTi

cm

pcm= + + + + +

10 0 00 x (10.96)

&x b A x 0 0 0 bs s cm s s RTi cm sv= + + + + +x x u w v (10.97)

&x x x u w vRTi cm sT

s RTi cm= + + + +0 0 0 1 0c x (10.98)

y x x= + +0 0cm sT

s RTic x (10.99)

u xk

Tx k w k vcm cm s

Ts

R

iRTi w v= + + 0 k x (10.100)

On applique (10.95) pour obtenir une criture plus concise.

xG1 24444444 34444444

OCM

kv

w

1

s

k

T

R

i

kw

ksT

S

xRTi

xs

v

yuucmucm'

+

++

+

GSSC


30/86

Rglage d'tat


&x A x b b bG i G i cm iw iv= + + +u w v (10.101)

y = c xGT

G (10.102)

u k w k vcm GT

G w v= + k x (10.103)

A ce stade, il subsiste explicitement le signal ucm interne au systme rgl, sortie durgulateur. L'indice "i" exprime qu'il s'agit de matrices de calcul intermdiaire qui ne servent

qu' cette tape de l'expos, et dont certaines servent au dimensionnement du rgulateur.

A

0

b A 0

c

b

b 0 b b

i

p

T

s s

sT

i

cm

p

iw iv sv

=

=

=

=

10

0 0

0

0

0

1

0

0

T

K

T

(10.104)

On a dj le vecteur global de sortie et le vecteur global de contre raction d'tat.

[ ]c c

k k

GT

sT

GT

sT R

i

0

0

=

=

0

k

T

(10.105)

Pour qu'un rglage soit possible, le systme rgl doit pouvoir tre amen dans un tatdsir par le signal de commande ucm. Autrement dit, le systme global doit tre

commandable depuis le signal ucm si on ouvre le circuit en ce point. On est donc amen

dfinir la matrice de commandabilit (10.29) avec les matrices Ai et bi.

Q b A b A bci i i i i i=[ , , ..., ]n 1 (10.106)

Si la matrice Qci est rgulire, le systme est commandable et on peut alors calculer lesmatrices globales en injectant (10.103) dans (10.101).

A A b k

k

b A 0

c

b b b 0 b b b b

G i i GT

p

sT

cm

p

R cm

i p

s s

sT

Gw iw i w

w cm

p

Gv iv i v

v cm

p

sv

= =

= + =

= =

1

0 0

1 0

T

K

T

k K

T T

k

k K

T

k

k K

T

(10.107)

&x A x b bG G G Gw Gv= + +w v (10.108)


31/86

Rglage d'tat


10.4.2 Dtermination des coefficientsComme on l'a dit, les conditions dynamiques du systme rgl requises par le cahier

des charges induisent le choix des ples. On indique au paragraphe suivant quelques pistes

pour interprter le cahier des charges en terme de choix des ples. La marge de stabilit

absolue est de toute manire borne par la condition (10.56). En tudiant la matrice AG dans

(10.107), on constate que sa trace est entirement dfinie par le systme rgler et son organede commande, les paramtres du rgulateur prsents n'ont pas d'action sur la trace.

systp

s= 1 1

n T( tr )A (10.109)

A partir des donnes du systme (As, bs, bsv, csT, Tp et Kcm) et du choix des ples

effectu par le concepteur, on applique une mthode numrique de dimensionnement des

coefficients du rgulateur d'tat. Cette mthode est rsume de manire synoptique et illustre

par un exemple l'annexe 10.B.

A partir des ples choisis, on construit le vecteur de dimension n+1 qui contient les

coefficients du polynme caractristique.

[ ] 1 0 1 1T = L n 1 (10.110)

Pour le calcul, il faut construire une matrice E, de dimension , l'aide de lamatrice de commandabilit.

[ ]e QT ci1= 0 0 0 1L (10.111)

E

e

e A

e A

e A

=

T

Ti

Ti

Ti

Mn

n

1

(10.112)

On peut alors calculer les coefficients de contre-raction d'tat et le coefficient

d'intgration contenus dans le vecteur global de contre-raction d'tat.

k EGT

1T= (10.113)

Le rgulateur d'tat est ainsi presque entirement dtermin, seuls les coefficients kw et

kv doivent encore tre dtermins. On peut envisager deux stratgies: la compensation d'un ple du systme global par un zro du rgulateur. l'annulation de la composante intgralexRTi en rgime permanent.Pour la fonction de transfert relative la consigne, le zro se dduit de l'quation (10.42).

G s

G s kk

s T

k

s TG s

sk

k T

k

k k G s

k s z

s pi

ncf

f1 wR

i

R

if1

R

w i

R

w w f1

f R

i

s

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

=

+

+

=

+

+

=

=

11

(10.114)

Par comparaison, on crit cette fonction de transfert en partant de l'quation (10.107)et (10.15). On crit aussi la fonction de transfert pour la perturbation.


32/86

Rglage d'tat


G s ss

scf G

TG Gw

GT

G mi Gw

G

( ) ( )( )

det( )= =

c 1 A b

c 1 A b

1 A1 (10.115)

G s ss

spf G

TG Gv

GT

G mi Gv

G

( ) ( )( )

det( )= =

c 1 A b

c 1 A b

1 A1 (10.116)

L'quation (10.115) rappelle que le dnominateur de la fonction de transfert est aussi

le polynme caractristique. En (10.114), on a mis en vidence le zro zR d kw. Parmi les

ples choisis, on choisit un ple rel compenser, en gnral, celui qui est le plus proche de

l'axe imaginaire. Avec ce choix, le degr de la fonction de transfert Gcfest diminu, ce qui est

favorable au comportement transitoire. Pour le calcul de kv, cette stratgie n'apporte pas de

bons rsultats.

kk

p TwR

k i

= (10.117)

On utilisera encore celle qui consiste annuler la composante intgrale xRTi = 0 enrgime permanent: & , & &x xcm s RTiet= = =0 0 0x . On exprime donc les quations (10.96) (10.100) en rgime permanent.

x K u

x v

y w

u k w k v

cm cm cm

s cm s s sv

sT

s

cm w v sT

s

=

= + +

= =

=

0 b A x b

c x

k x

(10.118)

On combine pour faire disparatre les grandeurs internes pour exprimer le vecteur

d'tat, qu'on insre ensuite dans l'quation qui exprime la consigne w et la grandeur relley.

( ) ( ( ) )A b k x b b bs cm s sT

s cm s w sv cm s v = + K K k w K k v (10.119)

= + w K K k w K k vc A b k b b bsT

s cm s sT

cm s w sv cm s v( ) ( ( ) )1 (10.120)

On obtient le coefficient d'action directe de la perturbation en annulant la consigne.

kK

K Kv

sT

cm s sT

s sv

sT

cm s sT

s s cm

=

c b k A b

c b k A b

( )

( )

1

1(10.121)

Si la perturbation agit sur la grandeur de commande, le vecteur d'entre de

perturbation est alors proportionnel au vecteur d'entre de commande bsv = b0bs; (10.121)devient simple.

kb

Kv0

cm

= (10.122)

On peut calculer le coefficient d'action directe de la consigne en annulant la

perturbation. Ce dimensionnement donne de moins bons rsultats dynamiques que la

compensation du ple rel dominant, on obtient un fort dpassement sur la rponse indicielle.

Si la consigne ne varie pas brusquement, ce dimensionnement amne alors une trs grande

prcision dans le suivi de la consigne.

kK K

w

sT

cm s sT

s s cm

= 1

1c b k A b( )(10.123)


33/86

Rglage d'tat


10.4.3 Choix des plesComme on le sait, le choix des ples est guid par leur inscription l'intrieur du

contour d'Evans dtermin par le cahier des charges dfini par le client. A cause de l'quation

de liaison (10.109), on n'a toutefois que n1 degrs de libert dans ce choix.

Fig. 10.18 Domaine pour le choix des ples.

On a souvent recours un processus itratif pour calculer le rgulateur: premier choix

des ples calcul des coefficients nouveau choix des ples si les valeurs des coefficients

sont trop grandes ou trop petites nouveau calcul nouveau choix des ples si le cahier des

charges n'est pas respect nouveau calcul jusqu' ce qu'on soit satisfait du rsultat. Avecl'exprience, on arrive faire un choix qui aboutit rapidement, en utilisant les notions

intuitives de l'influences des ples et zros ( 6.6.5) pour corriger efficacement le choix

initial. On donne ci-dessous quelques stratgies possibles pour le choix des ples.

On peut disposer les ples sur une verticale passant par la valeur moyenne syst

dfinie par le systme. On choisit au moins un ple rel qui sera compens par le zro du

rgulateur selon (10.117). On choisit une paire de ples qui correspond la marge de stabilit

relative souhaite, par exemple = 45 pour un amortissement optimal avec D1 = 5 %

(Fig. 10.19 a). Les ples restants seront choisis avec une partie imaginaire plus faible. Pour un

dpassement autoris trs faible, on choisira une partie imaginaire plus petite que la partie

relle (Fig. 10.19 b). Si on ne veut aucun dpassement, on ne choisit que des ples rels de

valeur syst.

a

b

c

Fig. 10.19 Choix des ples aligns sur un verticale.

cli

cli

x

x


34/86

Rglage d'tat


Si la fonction de transfert ne compte aucun zro, on peut aussi disposer les ples

rgulirement sur un arc de cercle.

a

b

Fig. 10.20 Choix des ples rpartis sur un demi-cercle.

Cette disposition donne de bons rsultats dynamiques pour la consigne, avec un

dpassement sur rponse indicielle voisin de 10 %.

Si la fonction de transfert du systme rgler compte des zros, on les retrouve dans la

boucle ferme. Il peut tre utile de les utiliser pour compenser des ples du systme global

(fig. 10.21a). On rduit ainsi l'ordre du systme global, ce qui amliore le comportement

dynamique. On rappelle que la compensation exacte n'existe que mathmatiquement, dans la

pratique, on a toujours un ple et un zro trs voisins. Cette compensation ne s'applique don

pas aux zros proche de l'axe imaginaire, ni plus forte raison aux zros partie relle

positive. Dans ce dernier cas, on place des ples de manire symtrique au zros par rapport

l'axe imaginaire (fig. 10.21b).

Si le systme rgler compte des ples purement imaginaires, on choisit souvent les

ples du systme global en conservant la partie imaginaire, mais en choisissant une partie

relle telle que tous les ples soient placs dans le contour d'Evans (fig. 10.21c), tout en

respectant la contrainte (10.109) sur la valeur moyenne des ples.

a

b

c

+

+++

+

+

Fig. 10.21 Zroso compensant des ples x et dplacement des ples "+" du systme rgler.

Parmi toutes les possibilits de choix des ples, on suggre comme premier choix:

trois ples aligns sur cli, un rel et deux complexes conjugus situs aux angles du contourd'Evans (fig. 10.18). Le ple rel est compens par un choix judicieux de kw. On espre,


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Rglage d'tat


compte tenu de (10.109) et (10.55) que les autres ples pourront tre placs suffisamment loin

sur la gauche pour que leur effet puisse tre nglig. C'est vrai si sys


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Rglage d'tat



37/86

Rglage d'tat


10.5 VRIFICATION DYNAMIQUE

10.5.1 Calcul de la rponse indicielleOn peut partir d'un systme dfini par ses quations d'tat continues.

& ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x A x b bc x

G G G Gw Gv

GT

G

t t w t t

y t t

= + +=

(10.124)

Aprs avoir dtermin les coefficients du rgulateur et calcul les matrices du systme

global, il est judicieux de simuler celui-ci pour vrifier si le comportement dynamique est

conforme aux attentes. On pourrait certes calculer les fonctions de transfert de consigne Gcf(s)

et de perturbation Gpf(s), et en tirer les rponses indicielles y(t). Ce calcul, en grande partie

manuel, est fastidieux. On prfre discrtiser le temps avec un pas de calcul Tet appliquer des

mthodes numriques de calcul. Pour les systmes chantillonns, le pas de calcul concide

avec la priode d'chantillonnage (ch. 11). Chaque instant de calcul est repr par un nombre

entier positif k. Beaucoup de logiciels de simulation (tel MATLAB) utilise la procdure decalcul dcrite ci-dessous mme si le systme est donn sous forme de fonction de transfert.

t= k T (10.125)

t/T

2 4 8 10 1260

0.2

0.4

0.6

0.8

1

14

y

Fig. 10.23 Rponses indicielles continue et discrte (numrique).

On doit rcrire les quations (10.124) pour le temps discret, ce qui permet de dfinir le

vecteur d'tat et la sortie l'instant k.

x F x h h

c x

G G G Gw Gv

GT

G

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

k k w k k

y k k

= + +

=

1 1 1(10.126)

Par ordinateur avec un processus itratif, on peut calculer la rponse y[k] pour toute

entre causale w[k] ou v[k]. En particulier, la rponse indicielle est obtenue avec une entre

qui vaut 1 pour tout k. Pour pouvoir effectuer ce calcul, il faut toutefois connatre d'abord les

matrices FG, hGv et hGw. La matrice FGpeut tre dtermine l'aide du pas de calcul et de lamatrice fondamentale continue du systme.

F AG G= eT (10.127)


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Rglage d'tat


Pour le calcul de l'exponentielle, on utilise son dveloppement en srie.

F 1 A A AAG G G GG= = + + + +e TT TT 2

23

3

2 3! !L (10.128)

Le calcul est pratiqu de manire rcurrente: le terme suivant de la srie n'est calcul

que si l'cart entre le dernier et l'avant-dernier calcul dpasse la prcision spcifie au dpart,

pour chacun des lments de la matrice. Un nouveau calcul n'aurait alors qu'une influence

ngligeable. Les deux autres matrices se calculent partir de FG.

h A F 1 b

h A F 1 b

Gw G1

Gw

Gv G1

Gv

=

=

( )

( )

G

G

(10.129)

Ne sachant pas priori si AG est rgulire ou non, on prfre avoir recours une

mthode rcurrente. Mme si la matrice est rgulire, la mthode rcurrente donne desrsultats plus prcis que l'inversion matricielle numrique.

A F 1 A A AG1

G G G G = + + + +( )

! ! !1

2 3 4

22

33

4

TT T T

L (10.130)

Le calcul admet implicitement que les signaux d'entre restent constants entre deux

pas de calcul. Si cette hypothse est excellente pour un saut unit, elle l'est beaucoup par

exemple pour une sinusode dont la priode est infrieure vingt pas de calcul. On veillera

donc adapter le pas de calcul la rapidit de variation des signaux d'entre.

Par (10.126), on vrifie encore que la composante intgrale ne sorte pas de la plage de

variation prvue selon (10.70).

x k w j y jj

k

RTi[ ] ( [ ] [ ])= =

1

(10.131)

La saturation peut aussi survenir avec des rgulateurs digitaux qui calculent avec des

nombres virgule fixe. Si cet ennui se produit, il suffit de rpartir le facteur kR/Ti (en

analogique) ou KR (en discret) entre le coefficient de la combinaison linaire et une

pondration infrieure 1 sur l'intgrateur.


39/86

Rglage d'tat


10.6 OBSERVATEURS

10.6.1 Observabilit

On a particulirement besoin de la notion d'observabilit lorsqu'une des grandeurs

d'tat n'est pas facilement mesurable et qu'il faut la reconstituer partir d'autres mesures (

10.6.2). Un systme est dit observable si on peut dterminer de manire univoque son tat de

dpart xs(t0) en mesurant sa sortie y(t) lorsqu'il est soumis une commande u(t) pendant un

temps fini. Un systme dfini par son modle d'tat A, b, cT est observable si sa matrice

d'observabilit Qo est rgulire.

Q

c

c A

c A

o

T

T

T n 1

=

M(10.132)

On relve une forte ressemblance structurelle de Qo avec la matrice de calcul E

(10.112) utilise pour dimensionner le rgulateur.

On illustre la dfinition par une exemple de systme du deuxime ordre.

Fig. 10. 24 Exemple de systme.

Le systme d'quation dcoule du schma fonctionnel (fig. 10.124).

s X U X

s X U X

Y X X

1 1

2 2

1 2

3

3

=

=

= +

(10.133)

On en tire aisment les matrices dont on a besoin pour calculerQo.

[ ]A cs sT=

=

3 0

0 31 1 (10.134)

On calcule la matrice d'observabilit.

Qc

c Ao

sT

sT

s

=

=

1 1

3 3(10.135)

On constate que la matrice contient deux colonnes identiques, son dterminant est

donc nul et le systme n'est pas observable.

Pour un systme multivariable, il faut que le rang de la matrice Qo soit gal n.

10.6.2 Principe

y1

3s +

1

3s+

u x1

x2


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Rglage d'tat


Un observateur d'tat est un modle mathmatique du processus physique. Il

fonctionne en temps rel. On a d'abord identifi le systme pour tablir ses matrices d'tat. En

appliquant ce modle d'tat le mme signal de commande u que le systme rel, on calcule

un vecteur d'tat observ $xs dont les composantes connaissent la mme volution dynamique

que celles du systme rel. On peut donc utiliser la mesure du vecteur observ pour obtenir

l'information sur le systme lorsque ses grandeurs ne sont pas mesurables.

&$ $x A x b= + u (10.136)

$ $y u= +c x dT (10.137)

Les lments des matrices d'tat ne sont toutefois pas tablies de manire exacte. On

ajoute donc l'observateur une correction par une matrice ko dont l'entre est l'cart

d'observation eo.

e y yo = $ (10.138)

L'quation (10.136) est modifie en consquence.

&$ $x A x b k = + +u eo o (10.139)

Fig. 10.25 Observateur d'tat.

On exige que le comportement dynamique de l'observateur soit plus rapide que celui

du processus rel, de manire ce que l'erreur d'observation ~x soit aussi faible que possible,

mme dans les phnomnes transitoires.

~ $x x x= (10.140)

Il n'est pas ncessaire de disposer explicitement du signal de sortie observ, puisqu'il

est mesurable. On peut donc modifier le diagramme structurel de l'observateur.

Fig. 10.26 Observateur d'tat simplifi.

&$ $x A x b k = + +o ou y (10.141)

A A k co oT= (10.142)

u b

ko

A

cT1/s

y

$y

$x

u b

ko

Ao

1/s

y

$x


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Rglage d'tat Dimensionnement analytique

J.-M. Allenbach 1033 040225

10.A ANNEXE: DIMENSIONNEMENT ANALYTIQUE COMPLET

10.A.1 Rglage d'un systme du premier ordrePour illustrer les rgles dveloppes la section 10.4, on tudie un systme

rgler possdant une constante de temps dominante. Ce cas permet une

comparaison du rglage d'tat et le rglage classique avec rgulateurs standards,trait en section 8.C. De plus, ce cas revt galement un importance certaine dans laperspective du rglage d'tat en cascade (sect. 10.E). Cette tude est largementinspire de celle du professeur H. Bhler, au Laboratoire d'Electronique Industriellede l'EPFL [1].

La figure 10.A1 prsente le schma bloc du systme modlis tudi danscette section. On note que la perturbation v, dans cet exemple, intervient l'entredu systme rgler.

Fig. 10.A1 Systme du premier ordre rgl par rgulateur d'tat.

Dans notre exemple, on a l'ordre du systme ns = 1. La matrice fondamentaleet tous les vecteurs qui dcrivent le systme rgler proprement dit se rduisent des scalaires.

A b b cs s1

1s s

T= = = =1

11

1

1T

K

T

K

T; ; ; (10.A01)

On tablit l'quation caractristique du systme global. L'ordre du systmeglobal est n = ns + 2 = 3. On obtient la matrice fondamentale du systme global eninjectant les valeurs de (10.A01) dans la relation gnrale (10.88).

A G

p

cm

p

R cm

i p

1=

1

10

0 1 0

1

1

1

T

k K

T

k K

T T

K

T T(10.A02)

De la relation (10.42), on tablit le polynme caractristique global.

K

s T

cm

p1 +

kv

w

1

s

k

T

R

i

kwK

s T

1

11 +

xRTi [ ]xs = x1

v

y=x1uucm

+

++

+

+

k1

+


42/86



P( ) det( ) dets s

sT

k K

T

k K

T T

K

T

s

T s

= =

+

+

1 A G

p

cm

p

R cm

i p

1

1

10

0 1

1

1

1

(10.A03)

On calcule en dtail le dterminant:

P( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

s sT

sT

s

K

T

k K

T

k K

T T

s

s

T

s

T

sK

T

k K

T

sk K

T T

sT T

sT T

K

T

k K

Ts

K

T

k K

T T

= ++

=

= + + + + =

= + + + + +

11

0

1 1

1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

3 2 1

1

1 1

1

p1

cm

p

R cm

i p

p 1

cm

p

R cm

i p

p 1 p 1

cm

p

R cm

i p

(10.A04)

10.A.2 Imposition des plesPour un systme global d'ordre n = 3, il faut imposer trois ples. on se

propose d'tudier un certain nombre de choix et leur incidence sur lecomportement dynamique du systme global pour guider les choix ultrieurs, enrespectant la condition de liaison (10.45). On exprime celle-ci pour notre exemple.

p p pT T1 2 31 1

+ + = = +tr[ ] ( )A Gp 1

(10.A05)

On calcule la fonction de transfert Gcf(s) du systme global par rapport laconsigne (10.95), d'o on tire la rponse indicielle qui permet de comparer l'influencedes ples ( 10.4.3). On dispose dj du calcul de AG, mais il faut encore calculer les

vecteurs d'entre bGwet de sortiecsT l'aide de (10.88) et (10.85).

[ ]c

b

sT

Gw

w cm

p

=

=

0 1 0

0

1

k K

T (10.A06)

Les nombreux zros des vecteurs qu'on vient de dterminer nous permettentde ne calculer que deux des lments de la matrice des mineurs (s1AG)mi dfinie en(10.95).


43/86



( )s A A1 A =

G mi

x x x

x

x x x

12 32 (10.A07)

Les deux mineurs |A12| et A32| sont calculs partir de la matrice dfinie en(10.A03) en calculant les sous-dterminants comme on le rappelle en (10.C33).

=

=AK

T

s

K

Ts12

1

11

1

0

0

(10.A08)

=

+

=A

sT

k K

T T

K

T

K

T

k K

T T32

1

0

p

R cm

i p

1

1

1

1

R cm

i p

(10.A09)

On calcule le produit matriciel selon (10.95) et les rsultats intermdiaires(10.A06) (10.A09). Le dterminant n'est rien d'autre que le polynmecaractristique calcul en (10.A04), on peut le remplacer par sa forme factoriseselon (10.43).

G ss

s

kK K

T Ts

k

T k

s p s p s pcf

GGT

G mi Gw

wcm

p

R

i w( )

det( )( )

( )

( )( )( )=

=

+

1

1

1

1 2 31 Ac 1 A b (10.A10)

En rgime tabli (s = 0, par le thorme de la valeur finale), on veut Gcf(0) = 1.

K K

T T

k

Tp p p

cm

p

R

i

1

11 2 3= (10.A11)

Cette condition est toujours vrifie si on compare le polynme dnominateurde (10.A10), dvelopp, sa forme (10.A04).

Selon les directives nonces au paragraphe 10.4.2, on compense un ple p3 par le choix du coefficient d'intervention de consigne kw.

k

T kp

R

i w= 3 (10.A12)

On peut calculer la fonction de transfert qui se simplifie.

G sp p

s p s pcf( )

( )( )=

1 2

1 2 (10.A13)

On constate bien la diminution de l'ordre du systme, ce qui est favorable au

comportement dynamique.


44/86



De la relation (10.A05), on calcule la valeur moyenne des ples.

sysp 1

= +1

3

1 1( )T T

(10.A14)

= + +31 2 3

sys

p p p (10.A15)

Dans un premier temps, on tudie l'influence du choix de p1 et p2, enmaintenantp3 constant, et gal la valeur moyenne des ples.

=sys p3 (10.A16)

Ce ple tant compens, il n'influence pas la dynamique du systme rgl.Toutefois, sa valeur tablit la condition de liaison sur le choix des ples restants.

p p1 2

2+ = sys

(10.A17)

Im

Re

sys

-jsys

jsys

AB

C

C

D

D

E

E

A

Fig. 10.A2 Comparaison de choix des ples p1 et p2, avec p3 = sys.

La figure 10.A2 montre les cinq choix de ples qui ont t retenus:

A

B

C

D

E

p p

p p

p j

p j

p j

1 2

1 2

1

11

0 5 1 5

0 5

1 5

= =

= =

=

=

=

, ,

,

,

,2

,2,2


45/86



Les rponses indicielles ont t calcules numriquement partir de (10.A13)selon l'algorithme dcrit en section 10.5 avec le logiciel MATLAB. Elles sont

prsentes la figure 10.A3, en temps relatifsyst.

0 3.5 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

sys

t

ADE BC

Fig. 10.A3 Comparaison des rponses indicielles dues aux choix des ples selon la figure 10.A2.

Pour des ples rels, choix A et B, le comportement transitoire est lent, doncpeu adquat. pour des ples complexes conjugus, choix C, D et E, le dpassementcrot avec l'augmentation relative de la partie imaginaire (sect. 8.4). Le meilleurtemps de rponse est obtenu avec une partie imaginaire gale la partie relle, D: ils'agit de l'amortissement relatif optimal.

Dans un deuxime temps, on choisit une paire de ples conjugus p1 et p2ayant une partie imaginaire de mme valeur que la relle, soit un amortissementrelatif optimal. En faisant varier le troisime ple p3, la partie relle des deux autresvarient par l'quation de liaison (10.A15).

A nouveau, on compare cinq choix possibles. ce choix est prsent la figure10.A4. Dans chaque cas, le plep3 est compens par le choix adquat du coefficientd'intervention de consigne.

A

B

C

D

E

p j p

p j p

p j p

p j p

p j p

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

0 5 0 5 2

0 75 0 75 1 5

1 25 1 25 0 5

1 5 1 5 0

,2

,2

,2

,2

,2

, ,

, , ,

, , ,

, ,

= =

= =

= =

= =

= =

Pour ce choix des ples, les rponses indicielles sont prsentes la figure10.A5. De nouveau, l'allure est celle d'un systme fondamental du second ordre.

l'amortissement optimal induit un dpassement infrieur 5 % pour tous les cas, seulle temps de rponse varie.


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A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

E

E

E Re

Im

jsys

jsys

-sys

Fig. 10.A4 Comparaison de choix des plesp1,p2 etp3, avecp3 variable.

La rapidit maximale est observe pourp3 = 0 avec le choix E. On peutdmontrer par (10.A12) que dans ce cas, le rgulateur intgrateur est inhib,puisqu'on obtient kR/Ti = 0. Pour les cas E et D, la sensibilit aux variations deparamtres est assez importante, dans le cas E mme en rgime tabli.

0 3.5 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

sys

t

E D C B A

Fig. 10.A5 Comparaison des rponses indicielles dues aux choix des ples selon la figure 10.A4.


47/86



Une tude plusapprofondie portant sur la robustesse montr que le cas Ccorrespond au choix optimal des ples. Les trois ples sont alors aligns sur uneverticale. Les choix E et D sont peu recommands: une compensation imparfaite duplep3 par le zro conduit la prsence d'un ple (et d'un zro) proximit de l'axeimaginaire, ce qui induit un temps de rponse accru, voire galement un plus grand

dpassement d au zro.

On relve galement que la composante intgrale ralentit le rglage.

Dans un troisime temps, on tudie de manire plus approfondie lecomportement du rglage d'tat en cas de choix optimal des ples.

p j p1 3,2 = = sys sys sys (10.A18)

En gnral, Tp


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kT T

K K K K

T T

T T1

12

1 1

12 2

1

4 1 4

9

1

4=

=

+

p sys

cm cm

p

p

( ) (10.A23)

k

T

T T

K K K K

T T

T TRi

p

cmsys

cm

p

p= =

+1

13

1

13

12 22

2

27

( )

(10.A24)

Pour dterminer le coefficient kw d'intervention directe de la consigne, on

applique (10.97); on compense le plep3 = .

kk

T

T T

K K K K

T T

T Tw

R

i

p

cmsys

cm

p

p

= = =+

1

1

2

1

12

1

22

9

( ) (10.A25)

Pour dterminer le coefficient kv

d'intervention directe de la perturbation, onapplique (10.103), puisque la perturbation agit au niveau de l'entre du systme rgler. Par ce dimensionnement, on s'efforce d'annuler la composante intgralexR enrgime tabli.

kKv cm

=1

(10.A26)

En observant le schma-bloc 10.A1, on peut vrifier sans peine que lecoefficient kv avec le dimensionnement (10.A26) compense travers l'organe decommande l'effet de la perturbation sur le systme rgler.

On calcule le dnominateur de la fonction de transfert Gcf pour la consigne eninjectant (10.A18) dans (10.A10).

G s

kK K

T Ts

k

T k

s s scf

wcm

p

R

i w( )

( )

=

+

+ + +

1

1

3 2 2 33 4 2 (10.A27)

On calcule le numrateur de la fonction de transfert pour la consigne eninjectant (10.A23) et (10.A24) dans (10.A27).

G ss

s s s s scf( )

( )=

+

+ + +=

+ +

2

3 4 2

2

2 2

2

3 2 2 3

2

2 2

(10.A28)

La fonction de transfert ne dpend que des ples imposs, plus

particulirement de la valeurqui est la fois leur partie relle et la partie imaginairede deux d'entre eux.


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0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t/ Tp

20

50

10

T1/T

p

Fig. 10.A6 Comparaison des rponses indicielles par rapport la consigne en fonction de T1/Tp.

Pour calculer numriquement la rponse indicielle, on se base sur la fonctionde transfert dtermine en (10.A28), selon la mthode dcrite en section 10.5. Lafigure 10.A6 montre qu'on obtient bien l'amortissement optimal qu'on recherchait. Lescomportements dynamiques ne dpendent que trs peu de T1, par son influence par(10.A14) sur la partie relle des ples choisis.

Par rapport la figure 8.C2, qui concerne le mme systme, mais rgl avecun PI dimensionn selon le critre de Bode optimal, le temps de monte est environ

50 % plus long pour le rglage d'tat. En effet, avec un PI, on utilise le zro durgulateur pour compenser un ple en boucle ouverte du systme rgler; enrglage d'tat, le zro compense un ple en boucle ferme du systme rgl commeon l'a vu en (10.A25), qui toutefois reste influent travers la relation (10.A14). Parcontre, le rglage d'tat est plus rapide par rapport un PI dimensionn selon lecritre pour comportement intgral muni d'un filtre sur la consigne (fig. 8.C6).

On calcule la fonction de transfert Gpf pour la perturbation par (10.116). Ondtermine le vecteur d'entre de perturbation par (10.108).

b G

v cm

p

v

k K

TK

T=

1

10

(10.A29)

Ici encore, les nombreux zros permettent de ne calculer que partiellement lamatrice des mineurs.


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( )s A A1 A =

G mi

x x x

x

x x x

12 22 (10.A30)

Si le sous dterminant |A12| a dj t calcul en (10.A08), il faut encorecalculer l'autre.

As

T

k K

T T

s

s sT

22

1

0

1=

+

= +p

R cm

i pp

( ) (10.A31)

On obtient l'expression de la fonction de transfert en tenant compte du choixdes ples.

G s

k K KT T

s KT

sT

s

s s spf

vcm

p p( )

( )

=

+ +

+ + +

1

1

1

1

3 2 2 3

1

3 4 2 (10.A32)

Elle se simplifie encore en injectant la valeur de kv calcule en (10.A26).

G s

K

Ts

s s spf( ) =

+ + +

1

1

2

3 2 2 33 4 2 (10.A33)

A part le facteur du numrateur, c'est essentiellement le choix des ples quidtermine le comportement dynamique. La rponse indicielle a t calcule numri-quement partir de (10.A33). On peut la voir la figure 10.A7.

On observe une correction trs rapide. Aprs le premier cart de rglage d l'apparition de la perturbation, un dpassement ngatif qui vaut environ la moiti del'cart positif apparat avant que l'effet de perturbation soit compltement annul.On peut observer que l'intgrale de l'cart de rglage est nulle: la surface positive estgale la ngative. C'est une consquence du choix de kv qui vise annulerxR, quiest prcisment l'intgrale de l'cart de rglage.

On peut comparer avec la figure 8.C5, qui concerne le mme systme, maisrgl avec un PI dimensionn selon le critre pour comportement intgral.L'intervention directe de la perturbation parkv permet une erreur maximale avecrgulateur d'tat qui ne vaut qu'environ 40 % de celle observe avec un PI. Le tempspour que l'effet de la perturbation soit annul est peu prs le mme dans les deuxcas, soit environ 15 Tp.

La perturbation ne peut que rarement tre mesure directement. Unobservateur n'est pas toujours facile implanter, ce qui fait que l'intervention directe

ne peut alors pas tre ralise. Pour calculer numriquement la rponse indicielledans ce cas, on a pos kv = 0 dans (10.A32).


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G s

K

Ts

Ts

s s spf

p( )

( )

=

+

+ + +

1

1

3 2 2 3

1

3 4 2 (10.A34)

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

T1/T

p

t/ Tp

10

20

50

Fig. 10.A7 Comparaison des rponses indicielles par rapport une perturbation en fonction de T1/Tp,

avec coefficient de prise en compte de la perturbation: kv = 1/Kcm.

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

t/ Tp

T1/T

p

50

20

10

Fig. 10.A8 Comparaison des rponses indicielles par rapport une perturbation en fonction de T1/Tp,

sans prise en compte de la perturbation: kv = 0.

L'erreur maximale, comme on le voit la figure 10.A8, est alors beaucoup plusgrande. Cela est vident puisqu'il n'y a pas d'intervention prventive pour rduirel'effet de la perturbation. En revanche, on n'observe pas d'erreur ngative. Le

comportement dynamique est trs voisin de celui qu'on a relev avec un PI lafigure 8.C5.


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10.A.3 Conclusion

Suite cette tude, on peut affirmer que le rglage d'tat permet souventd'obtenir de bons rsultats aussi bien par rapport la consigne que par rapport uneperturbation, ce qui n'est pas le cas avec des rgulateurs standard PI ou PID. De

plus, le rglage d'tat permet de dterminer un beaucoup plus grand choix decomportements dynamiques avec le choix des ples et des coefficients d'action de laconsigne et de la perturbation. Mme dans un cas aussi simple que celui qu'on vientd'tudier, le rglage d'tat peut tre un choix judicieux.


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Rglage d'tat Dimensionnement numrique


10.B ANNEXE: DIMENSIONNEMENT NUMRIQUE D'UN ASSERVISSEMENT

10.B.1Droulement du projet

Ralisation pratique( 10.3.2 ou 10.3.3)

Etude delinstallation automatiser

Systme dquationsdiffrentielles (Chap. 2)

Matrices dtat(sect. 10.1)

Systme?commandable ?

(10.1.3)STOP

Etude desspcifications

de fonctionnement

Choix des ples dusystme boucl(10.4.3)

Calcul du rgulateur dtat( 10.4.2)

Calcul des rponsesindicielles ( 10.5.1)

Spcifications

? remplies ?

Modification du choixdes ples (10.4.3)

FIN


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10.B.2 Procdure d'entre des donnes

L'oprateur...

...entre la valeur

...entre les valeurs

(Systme non commandable)



(Le cahier des charges ne peut pas trerespect pour ce systme)

ENTRE

[ ]

A b b

c

s s sv

sT

=

=

=

=

... ... ...

... ... ...

... ... ...

...

...

...

...

...

...

... ... ...

Dimension : ns =

? |det(Qcs)| 1016 ?

Calcul deQcs

FIN

Organe de commandeKcm = Tcm =...

Cahier des chargesD1 = tr=...

Calcul de Ai etbi

Calcul de sys

? ? sys t3

r

CALCUL


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10.B.3 Calcul du rgulateur

L'oprateur...

...choisit les valeurs des ples

(Choix des ples incompatible)

...choisit le ple compenser

Choix des ples :p1 = p2 = pn =

CALCUL

?pi = nsys?

Calcul de 0, 1 ... n

Calcul de Qci

Calcul de eT=[0 ....0 1] Qci

1

Calcul de E

Calcul de ksT k

Tet R

i

Ple compenser : pk=

Calcul de kw

Calcul de kv

VRIFICATION


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10.B.4 Simulation dynamique

L'oprateur...

...accepte ou non les rsultats

10.B.5 Logiciel de calcul

Pour effectuer le dimensionnement, on peut utiliser un programme interactifconu au Laboratoire d'Automatique et crit en MATLAB. Ce programme conduitl'utilisateur tout au long de la procdure ( 10.B.2 10.B.4). Si le Toolbox Regetatest install, on y accde par la commande:

regetat('go')

Le programme est prvu pour permettre une modification des ples si

le premier choix ne donne pas vraiment satisfaction. En gnral, aprs deux ou troispassages, on obtient le comportement souhait.

VRIFICATION

Calcul de

A b bG Gw Gv

Calcul des

rponses indicielles

cf pf

? OK ? CALCUL

Enregistrement des rsultats

FIN

7/27/2019 VOL

Documents

VOLUME3 Asservissements par variables d’état