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Module MS3 UE 2 .1 Flexion de poutres droites continues Page

Année universitaire 2007-2008 IUT St Pierre – Département génie civil-

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IUT Génie Civil 1ère année TP de Résistance des Matériaux –MS3

FLEXION DE POUTRES DROITES CONTINUES (CAS ISOSTATIQUE et HYPERSTATIQUE)

Objectifs du TP • Détermination et comparaison de la déformée et de la flèche d'une poutre droite dans le cas

isostatique puis dans le cas hyperstatique. • Influence des liaisons externes. • Etude des contraintes, et de leurs variations le long de la poutre hyperstatique. Remarque : étant donné la longueur et l’importance de la partie théorique, celle-ci devra absolument

être traitée avant de réaliser la partie expérimentale

⌦ Matériels utilisés • Bâti de Flexion • Poutres en acier doux • Jauges de déformations collées sur les poutres • Pont d'extensométrie • Comparateurs

Rappels théoriques a) Généralités Dans le cas de la flexion dans le plan (xGy) , les efforts intérieurs dans n’importe quelle section droite se réduisent à un effort tranchant yV

r (perpendiculaire à la ligne moyenne) et à un moment fléchissant

GzMr

(perpendiculaire à la ligne moyenne, et à yVr

). Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupure fictive (section S) à la distance x de l’origine A. En isolant le tronçon E1 (fig. 1), on obtient l’expression des efforts tranchants yV

r et le

moment fléchissant GzMr

le long de la poutre (fig. 2).

En flexion pure : GzMr

≠ 0r

avec yVr

= 0r

En flexion simple : GzMr

≠ 0r

avec yVr

≠ 0r



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Figure 2 : Efforts intérieurs dans une section droite.

b) Etude des contraintes normales liées à la flexion simple Hypothèses sur les déformations (principe de Navier-Bernouilli): les sections normales à la fibre moyenne restent planes après déformation de la poutre. En flexion simple, les contraintes normales résultent du moment fléchissant. La contrainte normale

dans une poutre en un point P d’une section Σ (fig. 3) est donnée par la relation : yM Gz

xGzI

−=σ

Les efforts tranchants n’ont aucun effet sur leur valeur. Où MGz est le moment fléchissant dans la section Σ y est la distance de l’axe Gz au point P IGz est le moment quadratique de la section Σ par rapport à Gz Fig. 3

fibre moyenne

(Σ)

y

G

M’ M P F

z

xr

zr

yr

E1 E2 xr

yr

zr A G

Figure 1 Ra

F1

Rb

F2

E1

A G

Vr

Vy

GMr MGz

xr

zr

yr

Ra

F1

x

x



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D’après cette formule, la contrainte normale est la même pour tous les points P situés sur le

segment FM parallèle à G zr donc en particulier F et M. Considérons un point M’ très voisin de M à la même côte y ; lorsque la poutre se déforme, la longueur MM’ varie d’une certaine quantité Δ(MM’) ; d’après la loi de Hooke, la contrainte normale en M est :

MM')(MM'E Δ

=xσ

Pour mesurer la contrainte normale au point P, il suffit donc de mesurer la variation de la longueur du segment MM’ grâce aux jauges et au pont d’extensométrie. c) Etude des déformées.

La poutre non chargée est placée dans le système d’axes Axy comme indiqué à la figure 4. Après application des charges, la poutre prend une nouvelle position d’équilibre que l’on appelle déformée. La section droite Σ vient en Σ’ ; le centre G de Σ vient en G’. L’ordonnée de G’ est appelée déformée au point G, on la note v. L’angle dont il faut faire tourner Σ pour l’amener sur Σ’ est la rotation de la section Σ notée θ. L’étude de la déformée d’une poutre droite se ramène à la détermination des fonctions v(x) et θ (x) et au tracé des graphes de ces deux fonctions. Fig. 4 Les formules d'intégration permettent de déterminer la rotation et la déformée à l’abscisse x :

)('')(

)()(''

xvxdxd

IExM

xvGz

Gz

=

=

θ

d) Cas des problèmes hyperstatiques :

Un système ou une poutre est dit hyperstatique chaque fois que les actions de contact exercées par les liaisons ne sont pas calculables à partir des équations du principe fondamental de la statique. Les actions ne pourront être déterminées qu’après écriture d’autres équations obtenues à partir des déformations de la poutre. Plusieurs méthodes sont ici possibles. Dans notre cas, nous utiliserons la méthode par superposition.

v(x)

A

ym

C

θ (x)

x

Σ

Σ’ xm

G

G’

yr

xr

Loi « moment – courbure »



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L’utilisation du théorème de superposition permet de ramener un problème hyperstatique à la somme (addition algébrique ou vectorielle) de deux ou plusieurs problèmes isostatiques, dont la résolution est classique et connue (figure 5).

Figure 5 : Exemple de décomposition d’un cas hyperstatique en cas isostatiques.

En posant : 021 =+= aaa yyy , on obtient l’expression de l’effort en A. L’étude des déformations et des contraintes peut alors se faire car le problème est devenu isostatique.



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A. ETUDE DE POUTRES ISOSTATIQUES

A.1 - partie expérimentale : Mesure des flèches et des contraintes • Les essais sont effectués sur deux types de poutres :

Unités Désignation ------ Poutre 1 Poutre 2

Matériaux ------- Acier Acier Section mm A mesurer A mesurer

Longueur des barres Cm 130 65 Module d'elasticité Pa 2.1 1011 2.1 1011

Tableau 1 : Description des poutres utilisées.

• Dans cet essai, on mesure les déformations relatives d’une poutre (en divers points à l’aide de jauges) et les flèches (à l’aide de deux comparateurs) associées aux mises en charge décrite sur les figures 6 et 7. Les manipulations se feront pour les poutres n°1 et n°2.

MANIPULATION N°1 : Poutre sur deux appuis Dans cet essai, on charge la poutre n°1 d’après la figure 1 :

Figure 6 : Position des comparateurs et chargement de la poutre n° 1 1. Mettre en place la poutre n°1 sur ses deux appuis. 2. Relever sur un schéma coté les positions précises par rapport à l’appui gauche :

• des jauges (position en abscisse x pour la valeur des sollicitations, et position en ordonnée y de la fibre pour déterminer la contrainte). Compléter le tableau 4.

• des deux comparateurs (C en L/3 et D en L/2). Compléter le tableau 3. • des deux charges

3. Mesurer la longueur L entre appuis de la poutre et sa section. Compléter le tableau 2. 4. Effectuer le réglage et la mise à zéro des jauges d’extensométrie et des deux comparateurs. 5. Appliquer les charges de 10 N sur la poutre (localisées sur la figure 6). 6. Mesurer les flèches verticales expérimentales à l'aide des comparateurs en C et D. Compléter le

tableau 3. 7. Relever les allongements relatifs mesurés par les jauges et en déduire les contraintes normales

expérimentales. Compléter le tableau 4.

Charges : 10 N

C D

L/3

A B

L= l05 cm .

L/3



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MANIPULATION N°2 : Poutre encastrée Dans cet essai, on charge la poutre n°2 d’après la figure 7 :

Figure 7 : Position des comparateurs et chargement de la poutre n° 2

1- Mettre en place la poutre n°2 dans son encastrement. 2- Reprendre les étapes 2 à 7 de la manipulation n°1 (compléter les tableaux 2, 3 et 5)

COMPLETER LES TABLEAUX SUIVANTS POUR LES POUTRES n°1 et n°2 : • Dimensions des poutres :

POUTRE Longueur entre appuis (en mm)

Section Largeur en mm épaisseur en mm

N°1

N°2

(Tableau 2) • Relevé des flèches expérimentales (et comparaison avec les flèches théoriques) :

Unités Comparateurs

----- C D

Position en x (par rapport à l'appui de gauche) (en mm)

MANIPULATION N°1 : POUTRE N°1

flèche expérimentale (en mm)

flèche théorique (en mm)



flèche théorique (en mm

(Tableau 3)

35 cm env.

Encastrement

Charge : 10 N

C D

L



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• Relevés expérimentaux et théoriques des allongements relatifs, et des contraintes :

MANIPULATION N°1 : POUTRE N°1 ISOSTATIQUE Position des jauges Allongements relatifs Contraintes normales

en x (par rapport à l’appui gauche) en y ε expérimentales σ expérimentales σ théorique

(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²) J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8

(Tableau 4)

MANIPULATION N°2 : POUTRE N°2 ISOSTATIQUE Position des jauges Allongements relatifs Contraintes normales



(Tableau 5)

A2- Exploitation des résultats et partie théorique

Pour les deux poutres étudiées : 1. Etablir le schéma mécanique de la manipulation (coter le). 2. Déterminer les expressions des sollicitations théoriques (NGx, VGy et MGz) pour le cas de charge

étudié puis tracer les diagrammes théoriques correspondants (indiquer les échelles choisies). 3. Calculer (compléter les tableaux 4 et 5) puis tracer le diagramme de la contrainte normale σ

théorique pour la fibre ou se situent les jauges (préciser l’échelle choisie). 4. Positionner les valeurs des contraintes normales σ expérimentales sur ce diagramme théorique.

Conclusion. 5. Déterminer à l’aide de la loi « moment-courbure », l’expression de la déformée de la poutre pour

le cas de charge étudié puis tracer la courbe correspondante (préciser l’échelle choisie). Calculer les flèches théoriques en C et D (compléter le tableau 3).

6. Positionner les valeurs des flèches expérimentales sur ce diagramme théorique. Conclusion.



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B. ETUDE DE POUTRES HYPERSTATIQUES B.1 - partie expérimentale : Mesure des flèches et des contraintes

MANIPULATION N°3 : Poutre continue sur trois appuis Dans cet essai, on charge la poutre n°1 d’après la figure 8 :

Figure 8 : Position des comparateurs et chargement de la poutre n° 1 sur ses 3 appuis

1. Mettre en place la poutre n°1 sur ses trois appuis. 2. Relever sur un schéma coté les positions précises par rapport à l’appui gauche :

• des jauges (position en abscisse x pour la valeur des sollicitations, et position en ordonnée y de la fibre pour déterminer la contrainte). Compléter le tableau 8.

• des deux comparateurs (C en L/3 et D en 2L/3). Compléter le tableau 7. 3. Mesurer la longueur entre appuis de la poutre et sa section. Compléter le tableau 6. 4. Effectuer le réglage et la mise à zéro des jauges d’extensométrie et des deux comparateurs. 5. Appliquer les charges de 10 N sur la poutre (localisées sur la figure 8). 6. Mesurer les flèches verticales expérimentales à l'aide des comparateurs en C et D. Compléter le

tableau 7. 7. Relever les allongements relatifs mesurés par les jauges et en déduire les contraintes normales

expérimentales. Compléter le tableau 8.

Charges équivalentes

de 10 N

C D

L/3

2 L/3

A B

105 cm

L/2



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MANIPULATION N°4 : Poutre encastrée-appuyée Dans cet essai, on charge la poutre n°2 d’après la figure 9 :

Figure 9 : Position des comparateurs et chargement de la poutre n° 2 encastrée-appuyée 1- Mettre en place la poutre n°2 dans son encastrement et sur son appui en D. 2- Reprendre les étapes 2 à 7 de la manipulation n°3 (compléter les tableaux 6, 7 et 9)

COMPLETER LES TABLEAUX SUIVANTS POUR LES POUTRES n°1 et n°2 : • Dimensions des poutres :

POUTRE Longueur entre appuis (en mm)

Section Largeur en mm épaisseur en mm

N°1

N°2

(Tableau 6)

• Relevé des flèches expérimentales (et comparaison avec les flèches théoriques) :

Unités Comparateurs

----- C D

Position en x (par rapport à l'appui de gauche) (en mm)



flèche théorique (en mm))



flèche théorique (en mm))

(Tableau 7)

35 cm env.

Encastrement

Charge : 10 N

C

L

D



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• Relevés expérimentaux et théoriques des allongements relatifs, et des contraintes :

MANIPULATION N°3 : POUTRE N°1 HYPERSTATIQUE Position des jauges Allongements relatifs Contraintes normales



(Tableau 8)

MANIPULATION N°4 : POUTRE N°2 HYPERSTATIQUE Position des jauges Allongements relatifs Contraintes normales


(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²) J1 J2 J3

B2- Exploitation des résultats et partie théorique

Pour la poutre n°1 sur 3 appuis : 1- Etablir le schéma mécanique de la manipulation (coter le). 2- Donner le degré d’hyperstaticité. 3- A l'aide du logiciel RDM LE MANS, donner le diagramme de la déformée théorique de la poutre

pour le cas de charge étudié puis déterminer les valeurs théoriques des flèches en C et D. Compléter le tableau 7.

4- Positionner les valeurs des flèches expérimentales sur ce diagramme théorique. Conclusion. 5- En appliquant les formules de Clapeyron (voir cours MS3), pour le cas de charge étudié :

• Déterminer l’expression théorique des sollicitations internes dans la poutre • Tracer les diagrammes des sollicitations internes dans la poutre • Déterminer l’expression des réactions de liaisons aux appuis

6- Calculer (compléter le tableau 8) puis tracer le diagramme de la contrainte normale σ théorique pour la fibre ou se situent les jauges (préciser l’échelle choisie).

7- Positionner les valeurs des contraintes normales σ expérimentales sur ce diagramme théorique. Conclusion.



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Pour la poutre n°2 encastrée-appuyée :

1- Etablir le schéma mécanique de la manipulation (coter le). 2- Donner le degré d’hyperstaticité. 3- A l'aide du logiciel RDM LE MANS, donner le diagramme de la déformée théorique de la

poutre pour le cas de charge étudié puis déterminer la valeur théorique de la flèche en C Compléter le tableau 7.

4- Positionner la valeur de la flèche expérimentale sur ce diagramme théorique. Conclusion. 5- Calculer à partir de la mesure expérimentale de la flèche en D (manipulation n°2), la valeur de

la réaction de liaison YD pour le cas de charge étudié dans la manipulation n°4. Indication : La résolution d’un système hyperstatique passe par l’étude d’un système isostatique auquel on impose des conditions de déplacement (voir exemple page 4 figure 5).

6- En déduire le diagramme de la contrainte normale σ pour la fibre ou se situent les jauges (préciser l’échelle choisie). Pius compléter le tableau 9.

7- Conclusion

Conclusion

1- Comparer les résultats (flèche maximale, contraintes maximales….) obtenus pour une poutre isostatique sur deux appuis à ceux obtenus pour la même poutre sur 3 appuis pour le même cas de charge. Conclusion

2- Comparer les résultats (flèche maximale, contraintes maximales….) pour une poutre

isostatique encastrée (en console) à ceux obtenus pour une poutre encastrée et appuyée. Donner les avantages et les inconvénients de l’appui supplémentaire.

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