TRAIT D'LECTRICITDE L'COLE POLYTECHNIQUE FDRALE DE LAUSANNE

PUBLI SOUS LA DIRECTION DE JACQUES NEIRYNCK

VOLUME IX

LECTROMCANIQUENouvelle dition, revue et augmente

par Marcel Jufer

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES

thomas gerbig

Cet ouvrage fait partie d'une srie de vingt-deux volumesdont les titres sont les suivants:

I INTRODUCTION A L'LECTROTECHNIQUEII MATRIAUX DE L'LECTROTECHNIQUE

III LECTROMAGNTISMEIV THORIE DES RSEAUX DE KIRCHHOFF

V ANALYSE ET SYNTHSE DES SYSTMES LOGIQUESVI THORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

VII DISPOSITIFS A SEMICONDUCTEURV I I I LECTRONIQUE

IX LECTROMCANIQUEX MACHINES LECTRIQUES

X I MACHINES SQUENTIELLESX I I NERGIE LECTRIQUEX I I I HYPERFRQUENCES

X I V CALCULATRICESX V LECTRONIQUE DE PUISSANCE

X V I LECTRONIQUE DE RGLAGE ET DE COMMANDEX V I I SYSTMES DE MESURE

X V I I I SYSTMES DE TLCOMMUNICATIONSX I X FILTRES LECTRIQUES

XX TRAITEMENT NUMRIQUE DES SIGNAUXX X I LECTROACOUSTIQUE

X X I I HAUTE TENSION

Le Trait d'Electricit est une publication desPresses polytechniques et universitaires romandes, fondation scientifique

dont le but est principalement la diffusion des travaux del'Ecole polytechnique fdrale de Lausanne.

Le catalogue de ces publications peut tre obtenu auxPresses polytechniques et universitaires romandes, CH-1015 Lausanne.

Troisime dition, revue et augmenteISBN 2-88074-285-4

1995, 1998, 2004 rimpression, Presses polytechniqueset universitaires romandes

CH-1015 Lausanne

INTRODUCTION

Place du volume IX dans le Trait d'ElectricitL'lectromcanique traite de l'ensemble des problmes associs la conversion

lectrique-mcanique ou mcanique-lectrique. Depuis la ralisation des premiersgnrateurs lectriques (aux environs de 1830), la notion d'lectromcanique a tprincipalement synonyme de machines lectriques, donc de conversion d'nergie. De-puis vingt ans environ, une branche de l'lectromcanique a subi un dveloppementimportant provoqu par l'utilisation massive de systmes lectroniques de traitementde l'information. Il s'agit des dispositifs devant assurer simultanment une conversionlectromcanique d'nergie et d'information. Ces dispositifs sont dsigns par l'appel-lation de transducteurs lectromcaniques. En rgime moteur (conversion lectro-mcanique), on parle d'actionneurs; en rgime inverse (conversion mcanique-lectrique),il s'agit d'une varit de capteurs.

Le prsent volume poursuit les trois buts suivants. La prsentation des principales mthodes d'analyse relatives aux systmes lec-

tromcaniques. Il s'agit aussi bien de bases pour l'tude des transducteurs quepour celle des machines lectriques. Ceci est trait dans les cinq premierschapitres.

La description des principaux transducteurs lectromcaniques, de leurs par-ticularits, de leur conception et de leur commande. Cette matire est abordedans les chapitres 6 11.

La description et l'analyse des caractristiques des principales machineslectriques, incluant certains lments de leur alimentation et de leurcommande. C'est l'objet des chapitres 12 15.

La matire de ce volume IX s'appuie principalement sur les notions gnrales del'lectrotechnique (vol. I), sur certaines proprits des matriaux (vol. II), sur l'lectro-magntisme en rgime quasi statique (vol. III) et sur les proprits des rseaux deKirchhoff (vol . IV). Il est galement fait appel certaines notions d'lectronique (vol.VII et VIII) et d'lectronique industrielle (vol. XV).

En se rfrant l'introduction du volume 1 du prsent trait, il est possible desituer cet ouvrage sur le plan mthodologique. Un dispositif lectromcanique peuttre dcrit par des modles relevant du niveau 1 (voir figure) ou modle de Maxwell.Il peut l'tre galement par des modles du niveau 2 ou modles de Kirchhoff (circuitslectriques et circuits magntiques), beaucoup plus efficaces mais contenant moinsd'information. La dmarche d'un ingnieur travaillant dans ce domaine consiste prin-cipalement passer d'un niveau l'autre, aussi bien dans une phase d'analyse que dans

LECTROMCANIQUE

Niveau 3Machineslectriques

Niveau 2

Niveau 1Modlemacroscopique

Niveau 0 Physique de l'tat solide

une phase de choix des dimensions ou de conception. C'est principalement l'objet descinq premiers chapitres. A un niveau suprieur, un tel dispositif peut tre rduit unschma fonctionnel entre les grandeurs d'entre (tension, courant) et les grandeurs desortie (couple, vitesse, position). Il s'agit alors de transducteurs ou de machines lectriques.

Organisation gnrale du volume IXCe volume comprend principalement trois parties. La premire est constitue

par les chapitres 1 5. Ceux-ci dcrivent les mthodes et les modles spcifiques l'lectromcanique. La seconde comprend les chapitres 6 11, qui dcrivent lesprincipaux transducteurs lectromcaniques et leurs proprits. La troisime traite desaspects gnraux et des spcificits des principales machines lectriques, principalementdans le domaine des puissances faibles moyennes (1W quelques kW).

Le chapitre 1 prsente la mthodologie permettant de passer du modle deMaxwell au modle de Kirchhoff. Il s'agit de l'tude des circuits lectriques et magn-tiques, de leur calcul et de leur reprsentation. De plus, on trouvera l'analyse de quel-ques non-linarits de ces circuits tels qu'effet pelliculaire (fonction de la frquence),saturation et hystrsis. Le chapitre 2 aborde la conversion lectromcanique par lebiais de deux mthodes principales. Il s'agit d'une part de la technique de la drive del'nergie, qui convient particulirement bien un calcul dans un modle de Kirchhoff,et du tenseur de Maxwell qui ne peut s'appliquer qu'au modle de Maxwell. Le chapi-tre 3 aborde la modlisation d'un composant frquemment utilis dans les transduc-teurs lectromcaniques. Il s'agit des aimants permanents. Dans une premire tape,un bilan nergtique et un modle quivalent de Kirchhoff sont tablis. Ensuite, lescritres de choix des matriaux et des dimensions sont dcrits.

Le chapitre 4 joue un rle particulier en tablissant le parallle entre des trans-ducteurs de petite taille et des machines lectriques de grande taille. Il permet auxspcialistes d'un domaine de se familiariser rapidement avec l'autre. D'autre part, ilpermet galement de prciser certains critres de choix des dimensions. Finalement,il dfinit le rle des aimants permanents.

Le chapitre 5 prsente les mthodes d'analyse des comportements lectrique etmcanique en rgime transitoire. Les diffrentes non-linarits - saturation, effet dumouvement - sont prises en considration.

Pour chacun de ces cinq premiers chapitres, un exemple complet est trait.L'accent est port sur le rle et l'influence des hypothses.

I N T R O D U C T I O N Vil

Le chapitre 6 a un rle de charnire entre la premire et la seconde partie. Ilprsente une classification des diffrents convertisseurs lectromcaniques, base surleurs proprits magntiques.

Les chapitres 7, 8, 9 et 10 dcrivent les proprits et les particularits des prin-cipaux transducteurs. Il s'agit respectivement des systmes rluctants, lectrodynami-ques, lectromagntiques et rluctants polariss. Pour chaque systme, un exemplecaractristique est prsent.

Le chapitre 11 traite d'un transducteur frquemment utilis et trs volu: lemoteur pas pas. Celui-ci est appliqu au domaine des priphriques du traitementde l'information, mais galement de nombreuses applications telles que l'horlo-gerie, les machines-outils, la robotique, etc. Ce chapitre traite galement des inter-actions entre le moteur, sa charge, son alimentation et sa commande. Les cas poly- etmonophass sont prsents. Ce chapitre joue galement un rle de transition entretransducteurs et moteurs classiques.

Le chapitre 12 traite du bobinage et des circuits lectriques des machines poly-phases. La cration d'un champ magntique tournant, les grandeurs caractristiquesdes bobinages et les conditions de cration d'un couple sont analyss. Dans la rgle,seul le fondamental des grandeurs lectriques et magntiques est considr.

Les chapitres 13 15 traitent des trois principales machines lectriques:les machines synchrone, courant continu et asynchrone. Pour chacune d'elles lastructure, le principe, les quations caractristiques, les performances externes et lesprincipales applications sont dcrites, principalement en fonctionnement moteur.

Le moteur synchrone fait l'objet du chapitre 13. Partant des quations courant et tension imposs, les fonctionnements en circuit ouvert et en rgime auto-commut sont tudis, dbouchant respectivement sur la machine synchrone classique frquence impose et sur le moteur courant continu sans collecteur.

Le moteur courant continu est trait au chapitre 14. Les divers modesd'excitation, incluant le cas aimants permanents, sont traits. L'extension au cas dumoteur collecteur ou moteur universel est galement abord.

Le moteur asynchrone fait l'objet du chapitre 15. Il est analys dans soncomportement frquence constante ainsi qu' frquence variable.

ConventionsLe Trait d'Electricit est compos de volumes (vol.) reprs par un chiffre ro-

main (vol. V). Chaque volume est partag en chapitres (chap.) reprs par un nombrearabe (chap. 2). Chaque chapitre est divis en sections (sect.) repres par deux nom-bres arabes spars par un point (sect. 2.3). Chaque section est divise en paragraphes() reprs par trois nombres arabes spars par deux points ( 2.3.11). Les rfrencesinternes stipulent le volume, le chapitre, la section ou le paragraphe du Trait auquelon renvoie. Dans le cas de la rfrence une partie du mme volume, on omet le nu-mro de celui-ci.

Les rfrences bibliographiques sont numrotes continment par volume et re-pres par un seul nombre arabe entre crochets; les pages concernes sont ventuelle-ment prcises entre parenthses : [33] (pp. 12-15).

Vhi LECTROMCANIQUE

Un terme apparat en italique maigre la premire fois qu'il est dfini dans letexte. Un passage important est mis en vidence lorsqu'il est compos en italique gras.

Les quations hors texte sont numrotes continment par chapitre et represpar deux nombres arabes placs entre parenthses et spars par un point (3.14). Lesfigures et tableaux sont numrots continment par chapitre et reprs par deux nom-bres arabes prcds de Fig. (Fig. 4.12) ou Tableau (Tableau 4.13).

Nouvelle ditionLa prsente dition de ce volume IX se distingue des prcdentes (1979 et 1985)

par les rductions et adjonctions principales suivantes: contraction des anciens chapitres 11, Moteurs pas pas, et 12, Moteurs pas

pas monophass en un nouveau chapitre 11, Moteurs pas pas sensiblementrduit;

adjonction de quatre nouveaux chapitres: 12, Champ tournant et bobinage,13, Moteurs synchrones, 14, Moteurs courant continu et 15, Moteursasynchrones.

L'objectif de cette importante adjonction est double : former un ensemble cohrent pour tout ingnieur intress par les aspects

mthodologiques et par les applications de l'ensemble du domaine lectro-mcanique, principalement centr sur les puissances faibles moyennes(quelques kW);

tayer l'enseignement de base du domaine.En revanche, tous les aspects spcifiques aux machines de grande puissance,

leur interaction avec le rseau de distribution et leur comportement dynamiquedtaill n'est pas abord. Ceci est fait dans le volume X du prsent trait.

TABLE DES MATIRES

I N T R O D U C T I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

CHAPITRE 1 CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES1.1 Hypothses gnrales et domaines d'application . . . . . . . 11.2 Circuits lectriques : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Circuits magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Effet pelliculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Constitution des circuits magntiques . . . . . . . . . . . . . . 26

CHAPITRE 2 CONVERSION LECTROMCANIQUE2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Systme lectromcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Forme intermdiaire d'nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Expression de la conservation d'nergie . . . . . . . . . . . . . 342.5 Expression de l'nergie magntique. . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Conergie magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7 Formes locales de l'nergie et de la conergie . . . . . . . . . 382.8 Forces gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9 Tenseur de M a x w e l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10 Systme lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.11 Domaines d'application et limites des systmes

lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

CHAPITRE 3 AIMANTS PERMANENTS3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Modle m a c r o s c o p i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Bilan nergtique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Flux de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Caractristiques statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6 Caractristiques dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7 Aimant permanent soumis une excitation

d m a g n t i s a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.8 Magntisation des aimants permanents. . . . . . . . . . . . . . 83

CHAPITRE 4 LOIS DE SIMILITUDE4.1 Buts et dfinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Pertes relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Caractristiques des systmes r l u c t a n t s . . . . . . . . . . . . . 92

LECTROMCANIQUE

4.4 Caractristiques des systmes polariss . . . . . . . . . . . . 964.5 Constantes de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7 Circuits lectriques massifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

CHAPITRE 5 COMPORTEMENT DYNAMIQUE5.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2 Equations dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Mthodes de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5 Systme saturable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.6 Variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

CHAPITRE 6 CLASSIFICATION6.1 But d'une classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Actionneurs et capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3 Classification selon le rle de l ' a i m a n t . . . . . . . . . . . . . 1246.4 Introduction la description des principaux

transducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

CHAPITRE 7 SYSTMES RLUCTANTS7.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Electro-aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Circuit magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4 Caractristiques dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.6 Exemple de d i m e n s i o n n e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

CHAPITRE 8 SYSTMES LECTRODYNAMIQUES8.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2 Haut-parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.3 Equations g n r a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.4 Autres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

CHAPITRE 9 SYSTMES LECTROMAGNTIQUES9.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.2 Dtermination des permances . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CHAPITRE 10 SYSTMES RLUCTANTS POLARISS10.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.2 Structures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.3 Exemple : moteur o s c i l l a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

TABLE DES MATIRES

MOTEURS PAS A PASCHAPITRE 11

CHAPITRE 12

CHAPITRE 13

CHAPITRE 14

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.1511.16

unipolaire et bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.17

et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.18

11.19

CHAMP TOURNANT ET BOBINAGE12.112.212.312.412.5

magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.6

MOTEURS SYNCHRONES13.113.213.313.413.513.613.713.813.9

MOTEURS COURANT CONTINU14.114.2

Dfinition et caractres gnraux . . . . . . . . . . . . . .Types de moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Domaines de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . .Alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Amliorations basse f r q u e n c e . . . . . . . . . . . . . . .Amlioration des performances au dmarrage . . . . . .Acclration et dclration . . . . . . . . . . . . . . . . .Amlioration de la frquence limite absolue . . . . . . .Stabilit d y n a m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Amliorations par auto-asservissement en courant . . .Exemple n u m r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Modlisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Moteurs linaires pas pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Applications des moteurs pas p a s . . . . . . . . . . . . .Moteurs pas pas monophass: principe . . . . . . . . .Moteur pas pas monophas: variantes

Moteurs pas pas monophass: exemples

Moteurs pas pas monophass: comportementd y n a m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction: rle du champ tournant. . . . . . . . . . .Gnration d'un champ tournant . . . . . . . . . . . . . .Polarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Grandeurs lectriques associes un b o b i n a g e . . . . . .Condition d'obtention d'un couple lectro-

Dmarche analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gnralits: structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Equations caractristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Alimentation en c o u r a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Alimentation en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Moteur synchrone auto-commut: caractristiques. . .Ralisation de l'auto-commutation . . . . . . . . . . . . .Gnrateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Moteurs synchrones r l u c t a n t s . . . . . . . . . . . . . . . .Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gnralits: s t r u c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Principe de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 191

. . 194

. . 204

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. . 321322

. . 323

. . 325

Xii LECTROMCANIQUE

14.3 Equations de tension induite et couple:cas aimants permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

14.4 Modes d'excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32914.5 Moteur excitation spare: caractristiques . . . . . . . . 33014.6 Caractristique excitation parallle . . . . . . . . . . . . . . 33514.7 Moteur excitation srie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33714.8 Bilan nergtique au dmarrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.9 Variantes de s t r u c t u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34014.10 Moteur collecteur ou universel. . . . . . . . . . . . . . . . . 342

CHAPITRE 15 MOTEURS ASYNCHRONES15.1 Gnralits: structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34315.2 Equations c a r a c t r i s t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34415.3 Schma quivalent transform: caractristiques

principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34915.4 Analyse du couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35015.5 Analyse du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35315.6 Marche vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35615.7 Marche rotor bloqu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35815.8 Rotor cage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35815.9 Limites des moteurs cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36015.10 Moteur asynchrone rotor bobin . . . . . . . . . . . . . . . 36315.11 Alimentation frquence variable. . . . . . . . . . . . . . . . 365

B I B L I O G R A P H I E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

INDEX ANALYTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

GLOSSAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

CHAPITRE 1

CIRCUITS LECTRIQUESET MAGNTIQUES

1.1 HYPOTHESES GENERALES ET DOMAINES D'APPLICATION

1.1.1 Hypothse : domaine macroscopiqueL'tude des systmes lectromcaniques fait appel principalement l'analyse des

circuits lectriques et magntiques et celle de la conversion lectromcanique. D'em-ble, ces aspects seront traits dans un domaine macroscopique que l'on peut caract-riser par l'ensemble des quations de Maxwell (sect. III.1.2). En consquence, il est faitabstraction de la structure atomique et molculaire des matriaux. Seuls les effets decette structure sont pris en considration.

1.1.2 Rappel : quations de MaxwellLes quations de Maxwell dfinissent les proprits macroscopiques locales asso-

cies aux grandeurs lectriques et magntiques vectorielles. Il s'agit du champ lectriqueE, du champ magntique H, du dplacement lectrique D et de l'induction magntiqueB. Ces quations prennent la forme suivante dans un rfrentiel associ au milieu tudi :

9Drot H = J + (1.1)

a?35

rot E = - (1.2)?

dvB = 0 (1.3)divD = p, (1.4)

Elles sont compltes par des relations spcifiques aux matriaux ;

B = H o t i , H (1.5)D = e o e , E (1.6)E = p J (1.7)

1.1.3 Hypothse : domaine quasi statiqueDans le cadre de l'tude des phnomnes associs la conversion lectromcanique, lesrelations de Maxwell peuvent tre simplifies. Les frquences enjeu sont relativementfaibles. Elles ne dpassent pratiquement jamais quelques dizaines de kHz. Dans ces con-ditions, la drive du vecteur dplacement lectrique S D / S t , de l'quation (1.1), est

2 LECTROMCANIQUE

ngligeable eu gard la densit de courant J . Cette quation devient alors :

rot H = J (1.8)

De plus, les quations (1.4) et (1.6) ne prsentent plus d'intrt. Dans ces con-ditions, on parlera de rgime quasi statique des quations de Maxwell (chap. III.4).

1.1.4 Dveloppement : forme intgraleLes relations (1.2) et (1.8) peuvent tre transformes par le thorme de Stokes,

appliqu une surface S dlimite par un contour C. La relation (1.8) devient ainsi :

f ^ H - d s = f ^ J - dA (1.9)

La relation (1.2) s'crit de mme :

/ C 9 Bf E ds = - dA (1.10)c 's 9t

Le thorme de la divergence, appliqu la relation (1.3) permet d'crire :

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 3

La relation (1.2) peut se transformer comme suit :

rot E = - ~ rot A (1.17)9?

SAE = - (1.18)

9tPar substitution dans l'quation (1.16), on obtient :

Ai 9AAA = - (1.19)

p 9tPar drivation, on obtient de mme :

li /yAH = - (1.20)

p 3tH 9E

E = - (1.21)p 9t

Les quations (1.19) (1.21) caractrisent la rpartition lectromagntique vec-torielle dans un milieu conducteur permabilit constante. Il s'agit d'quations dePoisson ( III.4.5.1). Dans un milieu non conducteur (rsistivit infinie), ces relationsdeviennent :

AA = Aff = E = 0 (1.22)

II s'agit d'quations de Laplace (sect. III.4.3).

1.1.7 Dfinitions : composants d'un systme lectromcaniqueUn systme lectromcanique se compose obligatoirement d'un circuit lectrique

et d'un circuit magntique (chap. 2). Ces deux circuits sont toujours imbriqus (fig. 1.1).Par dfinition, un circuit lectrique est le sige d'un courant. Un circuit magnti-

que est parcouru par un flux d'induction magntique.Il existe une certaine analogie entre ces deux notions. Elle sera explicite au para-

graphe 1.3.15.

Fig. 1.1

4 LECTROMCANIQUE

1.1.8 Dmarche analytiqueL'tude de tout systme lectromcanique peut se rattacher deux modles si-

tus des niveaux diffrents :

le modle de Maxwell, caractris par des quations locales. Il permet princi-palement l'analyse de la distribution des lignes d'induction associes uncircuit magntique. Le recours ce modle est parfois ncessaire pour dter-miner la distribution de la densit de courant dans des milieux conducteurs;

le modle de Kirchhoff, caractris par la notion de circuit et les quations quilui sont associes. Le recours un tel modle lorsqu'il est possible simplifiel'analyse et en accrot l'efficacit.

La dmarche analytique spcifique l'lectromcanique consiste passer du mo-dle de Maxwell au modle de Kirchhoff. De plus, sur un plan plus pratique, l'aspecttechnologique joue galement un rle important.

1.2 CIRCUITS ELECTRIQUES : RAPPELS

1.2.1 Lois locales spcifiquesDe la premire quation de Maxwell (1.8), on peut tirer :

divJ = div r o t H = 0 (1.23)

Par le thorme de la divergence, la densit de courant est conservative de flux :

f J - d A = 0 (1.24)

Dans un milieu de permabilit constante, la distribution de la densit de courantpeut se dduire de l'quation (1.21) :

H 9JA/ = -

p St(1.25)

1.2.2 Loi de la tension induiteLa loi de la tension induite ( 1.2.4.17) caractrise la relation entre tension et

courant associs un circuit lectrique (fig. 1.2). Elle se dduit de la relation (1.10).d ( N )

(1.26)u = R i +dt

Fig. 1.2

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES

Le flux d'induction magntique est dfini comme suit :

= / B dAJs Vs (1.27)

Le contour de la surface A est dfini, dans le cas particulier, par le circuit lec-trique lui-mme, donc par le conducteur qui lui est associ.

1.2.3 Dfinition : flux totalis Dans le cas d'un circuit magntique associ un circuit lectrique (fig. 1.3), deux

notions distinctes de flux d'induction magntique peuvent tre mises en vidence : le flux traversant le circuit magntique ou une spire concentrique celui-ci :

$ = f B - dA (1.28) ^m

La section Sm est celle du circuit magntique; le flux traversant le circuit lectrique, form de N spires :

I/ = f B dA (1.29).'Se

La surface Se est celle dfinie par le circuit lectrique (fig. 1.4). Elle estdlimite par le conducteur correspondant.

4'

Pig. 1.3

Le flux totalis est le flux d'induction magntique associ un circuit lectriqueet dlimit par celui-ci.

Pour un circuit lectrique form de N spires concentriques au circuit magntique,le flux totalis est li au flux d'induction magntique par la relation suivante :

(1.30)^ = N

L'quation de la tension induite (1.26) s'crit alors :d'1'

u = R i + (1.31)dt

6 LECTROMCANIQUE

Fig. 1.4

1.3 CIRCUITS MAGNTIQUES

1.3.1 Dfinition : tube d'induction magntiqueLe thorme de la divergence appliqu la relation (1.3) conduit la relation

suivante :

(f B dA = 0 (1.32)J SCette quation exprime la proprit de conservation de flux du vecteur induction ma-gntique.

Un tube d'induction magntique est dfini par l'ensemble des lignes d'inductionqui s'appuient sur un contour ferm C (fg. 1.5). Par la proprit de conservation deflux, un tel tube est ferm sur lui-mme. Il est caractris par la proprit suivante :

f B dA = 4> = constante (1.33)

La surface S^ est une section quelconque du tube.

1.3.2 Dfinitions : potentiel magntique scalaireL'quation (1.9) peut tre applique un tube d'induction ferm sur lui-mme.

L'intgrale rsultante est le potentiel magntique scalaire correspondant.

J > H - d s = f J - d A = Q A (1.34)

Le potentiel magntique ou solnation est donc le courant rsultant crant lechamp magntique.

L'intgrale partielle entre deux sections extrieures d'un tube d'induction cor-respond une diffrence de potentiel magntique AB :

BAB = / H - ds (1.35)

Fig. 1.5

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 7

De faon tout fait gnrale, elle dpend du parcours d'intgration.Dans le cas de la figure 1.3, correspondant un bobinage de N spires concentri-

ques au circuit magntique, le potentiel magntique prend la forme suivante :

= f J dA = N J J dA ^ N i (1.36).' S J SQ

La section iSc est celle d'un conducteur.

1.3.3 Dfinition : rluctance magntiqueLa relation (1.9), applique un tube. d'induction partiel, peut tre dveloppe

comme suit, par (1.5) :B Br ( B

H ds = ds (1.37) J A'

A

Les vecteurs ds, dA et A (fig. 1.6) sont parallles. On peut donc crire :B B Br B r B A r $ ds\ ds = l ds = i (1.38)

J ^ J ^ A J IJI AA A A

Fig. 1.6

Par le caractre conservatif du flux, on a la relation :Br d s

AB = ^ / (1-39)J V.AA

On pose :Br dsR^ = A/Vsou H-1 (1.40)

' IJL AA

La grandeur R^, dfinie par la relation (1.40), est la rluctance magntique associe autube d'induction.

1.3.4 Proprit de la rluctance magntiquePar les relations (1.39) et (1.40), on peut crire

AB =^m (1.41)

8 LECTROMCANIQUE

Cette quation tablit une relation de proportionnalit entre le flux d'induction et ladiffrence de potentiel magntique scalaire associe la rluctance du tube correspon-dant. Il y a une analogie, qui sera exploite au paragraphe 1.3.15, entre cette relationet la loi d'Ohm.

1.3.5 Dfinition : permance magntiqueLa permance magntique est l'inverse de la rluctance magntique. Elle est ca-

ractrise par le symbole A :

A = 1/^m Vs/AouH (1.42)4> = A (1.43)

1.3.6 Proprits de la rluctance et de la permanceDeux rluctances partielles sont en srie lorsqu'elles sont traverses par le mme

flux. Par (1.41), on peut crire (fig. 1.7) :

i = R^f> (1.44)

2 = Rm2 ^ (1.45)

3 = i + 2 = ( n,i +R^) = -Rmeq $ (1.46)

Fig. 1.7

La rluctance quivalente plusieurs rluctances en srie est la somme des rluctancespartielles :

/ meq = I^mt (1.47)k

Deux permances sont en parallle (fig. 1.8) lorsqu'elles sont associes au mmepotentiel magntique, d'o :

i = A i (1.48)$2 = A, (1.49) = ( A , + A : , ) (1.50)

La permance quivalente plusieurs permances en parallle est la somme des per-mances partielles :

Aeq = I A ^ (1.51)k

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 9

Fig. 1.8

Par (1.42), on peut galement crire, pour des permances places en srie :

Aeq = Y1^ (L52)k

De mme, pour des rluctances mises en parallle :1

Rmeq = ~ (1.53)Z. 1 l^mkk

1.3.7 Forme intgrale de la permanceSi une permance est forme de tubes d'induction lmentaires de section cons-

tante dA et de longueur / placs en parallle, l'inductance rsultante est la somme desinductances partielles. Par (1.40), il vient :

11 dAdA =

/

A - f ^JS l

(1.54)

(1.55)

Les relations (1.40) ou (1.55) seront utilises selon qu'un tube d'induction peut tredcompos en lments placs respectivement en srie ou en parallle.

1.3.8 Dfinition : inductance propreSoit un circuit lectrique associ un circuit magntique (fg. 1.3). Par (1.30),

(1.36) et (1.43), on peut crire :

$ = A@ = ANi (1.56)^ = A^A; (1.57)

Par dfmition, l' inductance propre est le quotient du flux totalis traversant uncircuit lectrique par le courant correspondant.

L = ^H = N2 A H (1.58)^ = Li (1.59)

10 LECTROMCANIQUE

1.3.9 Dfinitions : inductance mutuelleSoient deux circuits lectriques 1 et 2 caractriss par une partie commune du

flux gnr par leurs courants. On parle dans un tel cas de couplage magntique desbobinages correspondants. Soit $21 le flux traversant le bobinage 2 cr par le bobi-nage 1 (fig. 1.9). Par (1.43), on peut poser :

$21 = 2i i = 2i Ni ii^21 = N-i '21 = NI N 21 il

(1.60)(1.61)

Fig. 1.9

Par symtrie avec le cas de l'inductance propre ( 1.3.8), l' inductance mutuelleL entre le circuit 1 et le circuit 2 est dfinie par le quotient du flux totalis com-mun ^21 gnr par le circuit 1, par le courant 'i :

L21 =^21 Ai = N i N ^ A ^ i (1.62)Par l'unicit des lignes de champ magntique, l'inductance mutuelle est rcipro-

que :2l = Ai2

LI\ = L^

(1.63)(1.64)

La permance commune A 12 = 2i est dite permance mutuelle.De faon gnrale, le flux totalis associ un circuit lectrique j coupl magntique-ment avec k circuits s'crit :

k k^ = N, ^ Ap A/.p ip = ^ L,p ip

p=\ p=\(1.65)

Conventionnellement, la permance A^y (ou Ay) est la permance mutuelle du circuitsur lui-mme. Il s'agit donc de la permance propre.

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 11

1.3.10 Relations gnralises : tension induiteCompte tenu des relations (1.31) et (1.65), l'quation de la tension induite dans

un circuit j coupl avec k circuits lectriques devient :

u, = R,i, +df,ldt

ydt p=k I dL

u,= R,i,+ ^ L j p i pt p=. 1

d/p

d/ lp+Lip^u, = Rj i, + ][

p = i

IP

(1.66)

(1.67)

(1.68)

II s'agit de la forme la plus gnrale de l'quation de la tension induite.

1.3.11 Dfinitions : flux de champ principal et flux de fuiteDeux circuits lectriques coupls magntiquement dfinissent trois tubes d'induc-

tion (fig. 1.10): le tube d'induction commun aux deux circuits. Le flux qui le traverse est le

flux de champ principal ou flux commun. Il est caractris par l'indice h; les deux tubes d'induction appartenant un seul des circuits. Les flux associs

sont les flux de fuite respectifs des deux circuits. Ils sont caractriss par l'in-dice CT.

Fig. 1.10

On a les relations :

1 = $h +o2

A chacun de ces flux, on peut associer une permance.

(1.69)(1.70)

12 LECTROMCANIQUE

Par extension, la notion de flux de fuite prend parfois un aspect qualitatif, en re-lation avec la fonction magntique principale. Dans le cas d'un transducteur lectro-mcanique rluctant, par exemple (sect. 7.2), on appelle flux de champ principal celuiqui traverse le circuit magntique mobile. Le flux qui n'est pas coupl avec ce circuitest alors dit flux de fuite. La mme distinction est galement faite en ce qui concerneles aimants permanents (chap. 3).

1.3.12 Dveloppement : circuits couplsDeux circuits lectriques coupls magntiquement sont caractriss par les

quations suivantes, rsultant de (1.65) :

^i = Lu ii +Li -2 = (LM +Z-oi)ii +^12 i (1-71)avec :

Lu = NiN^ Ah (1.72)

Lhi = N\ An (1.73)

Lai = N\ A^ (1.74)

^i = i [Ah ( i it +N, i,) + Ao, M 'i ] (1-75)

De mme pour le circuit 2 :

^2 = [Ah (N, i, + N, i-2 ) + A^ N^ ;2 ] (1.76)

Cette distinction entre flux commun et flux de fuite permet de faire apparatre destermes communs dans les quations des flux totaliss. Ceci est particulirement pra-tique pour l'tude des machines lectriques classiques. Il est en effet possible de dfi-nir des modles quivalents simplifis (vol. X).

1.3.13 Dfinitions : coefficient de couplage et coefficient de dispersionDans le cas d'un systme caractris par un flux de fuite nul, on peut poser :

Aoi = ^i = 0 (1.77)Ln = N} Ah (1.78)Lu = M N, Ah (1.79)

L^ = ^ j A h (1.80)

On peut en dduire la relation suivante :

Z,i2 = ^1, Z-22 (1.81)

Dans le cas gnral, on peut poser :

Zi2 < ^n L^ (1.82)

Le coefficient de couplage est le quotient de l'inductance mutuelle par l'inductance

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 13

correspondant un couplage parfait :

Li2k = , < 1

^11^22

Le coefficient de dispersion est dfini par la relation suivante :

2^Hy ds = j^ J ^ dA = / = H y { z = h ) a (1.129)

H y ( z = h ) = / a (1.130)

II en rsulte les deux relations suivantes :

B - A = 0 (1.131)1- [ B e x p ( - f S h ) - Aexpph] = I / a (1.132)

-(3 /A = = (1.133)

2 a sinhfliOn a ainsi :

26 LECTROMCANIQUE

La partie relle de cette expression correspond aux pertes Joule dans la barre. Aprs d-veloppement, ce terme prend la forme suivante :

p l ^ cosh sinh , + sin , cos ^P j = 1 f , ^^

a h cosh - cos ^(1.140)

La grandeur , appele hauteur virtuelle du conducteur, est donne par l'expressionsuivante (1.100) :

^ = ah (1.141)

De faon analogue au milieu conducteur de la figure 1.22, on peut dfinir un coef-ficient de majoration de la rsistance k^ par la relation (1.122). Les pertes Joule pourun courant continu gal / ont pour expression :

PJ- = / (1.142)a h

D'o l'expression de k^ aprs dveloppement :sinh 2 S + sin 2

kp = -- (1.143)cosh 2 ^ - cos 2 ^

La figure 1.28 montre l'volution de ce coefficient en fonction de la hauteur vir-tuelle .

k R '

1.5 CONSTITUTION DES CIRCUITS MAGNTIQUES

1.5.1 Rle des matriaux ferromagntiquesPar les relations (1.40) et (1.41), le flux d'induction magntique (consquence)

est li au potentiel magntique (cause) et au matriau magntique (support) :

ds0 =

P A(1.144)

Pour un flux impos, la diffrence de potentiel magntique entre deux points est

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 27

d'autant plus faible que la permabilit du circuit est leve. Les matriaux ferromagn-tiques (sect. 11.3.9) tels que le fer, le nickel, le cobalt et leurs alliages, prsentent despermabilits relatives de 100 12000 pour de faibles inductions, alors que tous les au-tres matriaux ont une permabilit relative proche de l'unit.

On a donc intrt recourir ces matriaux ferromagntiques pour la ralisationdes circuits magntiques, donc comme supports des flux. Il s'agira en gnral d'alliagesde fer, pour des raisons conomiques.

1.5.2 Rappel : non-linaritLes matriaux magntiques prsentent deux types de non linarits de la caract-

ristique magntique liant l'induction B au champ magntique H (fg. 1.29) : la saturation; l'hystrsis.Outre les difficults de calcul inhrentes de telles non linarits, ces deux ph-

nomnes limitent les possibilits d'emploi de ces matriaux.

'/ ' d'LitiliSiitiun

Fig. 1.29

1.5.3 Choix techniques et conomiquesLors du choix des dimensions d'un circuit magntique, il s'agit de fixer un niveau

d'induction ralisant un compromis entre les contraintes techniques et les aspects co-nomiques. Sur le plan technique, il parat souhaitable de travailler un niveau d'induc-tion infrieur la limite de saturation situe la partie extrme du domaine linaire dela courbe d'induction. Sur le plan conomique, un niveau d'induction plus lev entraneune rduction du volume du fer. En contrepartie, un accroissement de potentiel magn-tique est ncessaire pour compenser les chutes de potentiel supplmentaires. Un optimumapparat donc entre les contraintes techniques (rendement) et les contraintes conomi-ques (volume).

Pratiquement, les niveaux d'induction couramment imposs dans les circuits ma-gntiques sont les suivants :

environ 1 T pour de longs trajets dans le fer; environ 1,2 T pour des zones telles que les ples; environ 1,6 T pour les zones les plus satures et de longueur faible telles que

les dents.

28 LECTROMCANIQUE

1.5.4 Flux alternatifUn flux alternatif circulant dans un milieu ferromagntique y gnre des pertes

qui se traduisent par un chauffement. Ces pertes sont imputables deux causes : le phnomne d'hystrsis; les courants induits dits courants de Foucault.

1.5.5 Pertes par hystrsisLorsque l'induction oscille alternativement entre deux valeurs maximales (5),

la caractristique magntique dans le plan B-H parcourt un cycle ferm (fg. 1.30).L'nergie par unit de volume dissipe lors de chaque cycle a pour expression

(2.47) :

w/h = H dB J/m3 (1.145)

Cette nergie spcifique correspond la surface du cycle d'hystrsis.

Fig. 1.30

Pour une frquence d'alimentation f , les pertes par unit de masse ont pour valeur

P ' h = W h f / P W/kg (1.146)

Dans cette expression, p est la masse spcifique du matriau. De plus, on constate ex-primentalement que ces pertes sont approximativement proportionnelles au carr del'induction de crte :

W/kg (1.147)

Le coefficient C^ est caractristique des pertes par hystrsis pour un matriaudonn. Il s'exprime en J/^kg).

1.5.6 Pertes par courants de FoucaultLes matriaux ferromagntiques sont gnralement conducteurs. Cette proprit

peut tre caractrise par la rsistivit p.

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES 29

Les relations (1.2) et (1.7) permettent d'crire :- 1 9B

rot./ = (1.148)p 9l

Cette quation tablit une relation entre un phnomne d'induction variable dans letemps et une densit de courant de circulation dans un milieu conducteur. La figure1.31 illustre la distribution respective des lignes d'induction et des lignes du vecteurdensit de courant induites.

Fig. 1.31

II rsulte de cet effet des pertes Joule dont l'expression est la suivante :

P (1.149)

1.5.7 Rduction des pertes par courants de FoucaultUne diminution des pertes par courants de Foucault peut tre obtenue, pour une

induction et une frquence donnes, par une augmentation de la rsistivit p (1.148) oude la rsistance du circuit associ au courant induit.

Deux moyens permettent de raliser cette rduction des pertes : l'augmentation de la rsistivit par un alliage de fer et de silicium (jusqu' 4,8%

de Si); l'augmentation de la rsistance du circuit lectrique par un fractionnement du

circuit magntique. En recourant un empilage de tles disposes paralllementaux lignes d'induction (fg. 1.32), on cre un accroissement important de larsistance offerte aux lignes de courant.

Ces tles doivent tre isoles entre elles. Elles ont gnralement une paisseur de0,25 mm 1 mm, mais plus frquemment de 0,5 mm. L'isolation est assure par unvernis ou par un dpt de silice.

\ B J

Fig. 1.32

30 LECTROMCANIQUE

Cette alternance de tles, d'isolant et de jeux entrane une rduction de la sectionutile de passage du flux d'induction. On la caractrise par le coefficient de foisonnementk{ qui exprime le quotient des sections nette et brute :

kt =A{/A^ = 0,9 - 0,94 (1.150)

La section A { est la section nette de fer, alors que la section A m est la section brute ducircuit magntique.

1.5.8 Expression des pertes par courants de FoucaultEn premire approximation, les pertes par courants de Foucault sont proportion-

nelles au carr de l'induction de crte, au carr de l'paisseur des tles et au carr de lafrquence. On obtient ainsi l'expression empirique suivante :

Pw w C w f 2 B 2 e 2 W/kg (1.151)

Le coefficient Cw est spcifique du matriau. La grandeur e est l'paisseur destles.

1.5.9 Expression des pertes totales dans le ferPar les relations (1.147) et (1.151), on peut exprimer les pertes spcifiques to-

tales dans le fer :

P'h+w = (Ch + Cw e2 f ) f B 2 W/kg (1.152)

En pratique, pour une qualit et une paisseur de tle donnes, l'expression ap-proche suivante, regroupant les deux effets, est utilise :

/ f ^ i B \2PF- " M^o) H " w (l153)Dans cette expression, le coefficient Cp est le chiffre de pertes. Il est gnrale-

ment compris entre 0,7 et 2,3 W/kg pour des tles de 0,5 mm, une frquence de 50 Hzet une induction de 1 T. L'exposant k est compris entre 1 et 2, en gnral de 1,5 1,6.La grandeur m est la masse.

CHAPITRE 2

CONVERSION LECTROMCANIQUE

2.1 INTRODUCTION

2.1.1 Rle de l'nergie lectriqueL'nergie lectrique est une forme secondaire d'nergie, qui ne prsente que peu

d'utilisations directes. En revanche, elle est une forme intermdiaire trs intressante parsa facilit de transport, sa souplesse et ses possibilits de conversion. Parmi toutes lespossibilits de transformation, la forme lectromcanique joue un rle particulirementimportant (fig. 2.1). D'une part, plus de 99% de la production d'nergie lectrique rsulted'une conversion mcanique-lectrique. D'autre part, la conversion lectromcaniquejoue un rle important dans des domaines aussi varis que la traction ferroviaire ou ur-baine, les machines-outils, les appareils lectromnagers, etc. Ce sont principalement lesqualits de rendement de conversion, de souplesse et l'absence de pollution qui en fontun produit technique trs rpandu.

Fusion

-Turbine gaz. vapeur -

I Electrolyse - Eclairage -

- Photo - -synthse

HtetJoule

_ Moteur| lectrique ][ l ec t r ique ] Joule

Nuclaire Chimique [Mcanique [Elec t r ique Thermique Lumineuse

1 1 1 1 '_GnrateurJ ^Thermo-

lectrique couples-Piles, bat ter ies

- Combustion -

- Compression, f ro t tements

-React ions ch imiques -

Fig. 2.1

32 LECTROMCANIQUE

2.1.2 Proprits gnrales de la conversion lectromcaniqueLa conversion lectromcanique prsente des caractres communs la plupart de

ses applications. Parmi celles-ci, on peut relever : le rendement nergtique gnralement lev; la rversibilit. Le mme systme permet aussi bien une conversion lectro-

mcanique qu'une transformation en sens inverse; l'absence de nuisances; la fiabilit et la dure de vie ; la gamme tendue des puissances allant de quelques pW plus d'un GW; la possibilit d'assurer, en plus d'une conversion d'nergie, une conversion d'in-

formation (chap. 6).Certaines contraintes limitent cependant l'emploi de ce mode de conversion. On

peut citer :

la dpendance d'un rseau d'alimentation. Il n'est que rarement possible detransporter la source d'nergie lectrique (gnrateur, batterie d'accumulateurs,etc.) de faon indpendante, pour des systmes de puissance importante;

la puissance par unit de volume ou de masse est moins leve que pour certainssystmes hydro-pneumatiques, mcaniques ou thermiques (sect. 2.11);

les systmes lectriques prsentent un danger d'lectrocution pour l'homme.

2.1.3 Caractres de la conversion lectromcaniqueL'tude de la conversion lectromcanique est base sur le principe de conserva-

tion de l'nergie. Celui-ci fait appel une forme intermdiaire d'nergie. Il s'agit del'nergie lectromagntique ou de sa forme homologue, la conergie magntique (sect.2.3). Une force lectromcanique rsulte de trois formes possibles d'interaction :

l'interaction entre deux courants; l'interaction entre un courant et un circuit ferromagntique; l'interaction entre un aimant permanent et un courant ou un circuit ferroma-

gntique.Les diverses grandeurs associes aux systmes lectromcaniques peuvent tre

exprimes dans deux modles diffrents : le tenseur de Maxwell (sect. 2.9) au niveau local; la drive de l'nergie au niveau des circuits lectriques.Par analogie, la conversion lectromcanique de nature lectrostatique sera ga-

lement aborde.

2.2 SYSTME LECTROMCANIQUE

2.2.1 Dfinition du systmeUn systme lectromcanique est caractris par k circuits lectriques reprs par

l'indice/ (/ = 1 k). On peut associer ceux-ci autant de courants (ij), de tensions (/)et de flux totaliss ('F,). Ces diverses grandeurs sont lies entre elles par la relation (1.66).

CONVERSION LECTROMCANIQUE 33

Un tel systme - un moteur, un relais, un dispositif de mesure - est gomtrique-ment dformable. Il possde n degrs de libert, caractriss par n coordonnes gnra-lises Xm. Il peut s'agir d'un angle ou d'une abscisse. Ces coordonnes sont repres parl'indice m (w = 1 an).

2.2.2 Dpendance des flux totaliss et des courantsLe flux totalis est li aux courants par la relation (1.65) :

fc fc^i = 1 L,p ip = N, Np A,p /p (2.1)

p=i p=i

f ti dAA/p = (2.2)

Jg l

Les grandeurs / et A peuvent tre des constantes du systme ou des fonctions desparamtres x^ II en rsulte la dpendance paramtrique suivante du flux totalis :

, = ^.O-i ...ik,xi . . .x) (2.3)

Rciproquement, on peut crire pour les courants :

;-, = (,-(1'i...^k,Xi ...x) (2.4)

2.2.3 Postulat relatif aux forces gnralises lies au systmeLe systme dcrit est le sige de forces gnralises d'origine lectromagntique

F^. Celles-ci peuvent tre des forces (F^ dans la direction x^) ou des couples (M^,relatif l'angle a^).

Par analogie avec les proprits des flux totaliss, on postulera que les forcesd'origine lectromagntique sont des fonctions des courants et des coordonnes :

Fm = Fm ('1 i k , X \ X n ) (2.5)

Par (2.3), on peut galement poser :

Fm = Fm (^i.-.l^i ...Xn) (2.6)

2.3 FORME INTERMEDIAIRE D'ENERGIE

2.3.1 Conversion lectromcaniqueDans une transformation d'nergie lectrique en nergie mcanique, il apparat

galement une conversion d'nergie lectrique en nergie thermique par effet Joule.Cette dernire prsente un caractre irrversible. Le bilan nergtique faisant intervenirles formes lectrique, mcanique et thermique n'est gnralement pas quilibr, en par-ticulier lors d'un rgime transitoire. On tablit plus loin (sect. 2.4 et 2.5) l'existenced'une quatrime forme d'nergie associe la conversion lectromcanique. Il s'agit deYnergie magntique. La figure 2.2 illustre le principe d'une conversion lectromcani-que, alors que la figure 2.3 prsente le principe de la conversion inverse.

34 LECTROMCANIQUE

dH/d

>t>

tWn d H n

>

d4n

Fig. 2.2 Fig. 2.3

2.3.2 Justification intuitiveOn peut pressentir l'existence de cette forme intermdiaire d'nergie. En effet,

de nombreuses machines lectriques sont composes d'une partie fixe appele stator etd'une partie tournante appele rotor. Il n'existe ni liaison mcanique directe l'ex-ception des paliers ni liaison lectrique entre ces deux lments. Ils sont spars lec-triquement par un espace d'air, appel entrefer. Pour assurer une interaction lectrom-canique entre le stator et le rotor, une forme intermdiaire d'nergie est indispensable.Elle se situera essentiellement dans l'entrefer.

2.4 EXPRESSION DE LA CONSERVATION D'ENERGIE

2.4.1 Bilan nergtiqueCompte tenu de l'existence de l'nergie magntique, le bilan nergtique associ

la conversion lectromcanique peut tre explicit. Sous forme d'accroissements, ils'crit :

d^ei = dK^ec+dWth+dH^gCes divers termes peuvent tre dfinis et explicits comme suit :

la variation d'nergie lectrique d Wy\ avec :k

d^ei = ^ u, i, dt1=1

* la variation d'nergie mcanique d W^ec avec :

(2.7)

(2.8)

d^mec = I Fm dx^m=l

(2.9)

CONVERSION K L K C T R O M I ' C A N I O U E 35

la variation d'nergie thermique dW^ avec :k

d^th = I Rj i f t (2.10)/ = i

la variation d'nergie magntique dW^g.

2.4.2 DveloppementPar la loi de la tension induite (1.66), l'expression (2.8) devient :

k

d^,, = Y (R, i] dt + ^y'/) (2-11)/ - i

En substituant (2.9), (2.10) et (2.11) dans (2.7), il vient :k n

^ dM//. i, = ], /.-, d^ + dW^ (2.12)/=! m = l

L'nergie magntique peut alors s'crire :k n

d H m a g = I d^ ' / - I / m d ^ (2.13)/ = 1 m = 1

La relation (2.4) permet d'exprimer le courant ij en fonction des variables ^y et ;

36 LECTROMCANIQUE

2.5 EXPRESSION DE L'NERGIE MAGNTIQUE

2.5.1 Systme au reposPour un systme au repos (x^ constantes), les accroissements des coordonnes

dxn, deviennent nuls. L'accroissement d'nergie magntique s'crit alors, par (2.13) :k

dH^nag = I '/ d^ (2.19)/=!

On obtient ainsi l'expression de l'nergie magntique :k *!

"mag = I f '/ df/ (2.20)

/=! 0

Par (2.1), F accroissement de flux totalis a pour expression :k

dM/y = ^_ ( d L , p i p + L,pdip) (2.21)p=i

Pour un systme au repos, l'inductance mutuelle L j p ne peut varier que par la saturationou l'hystrsis lie aux divers circuits magntiques.

2.5.2 Hypothse et dveloppement : systme linairePour un systme non saturable, caractris par des permabilits constantes, les

expressions prcdentes se simplifient comme suit, toujours pour un systme au repos :

dL,p = 0 (2.22)k

^,=1 Lip ^p (2-23)P=I

En substituant dans l'quation (2.19), on obtient :fc k

dH^g = 1 1 ' , L , p d i p (2.24)/=i p=i

Par le caractre rciproque de l'inductance mutuelle (1.64), on a :k k i / k k \

- - i,L,,di, = -d 1 I L,,i,i,\ (2.25)k k i / k k \

d^mag = 1 1 ' p L p j i j = -d I ^ L , p i , i p \p= / = ! 2 \/=i p=i /p=i f = i 2 \ /= i p=i

1 k k^mag = - I I L,p i, ip (2.26)

1 "^mag = - I ^ '/ (2.27)

/ = ]

Selon qu'un systme lectromagntique est saturable ou non, l'nergie magntiqueprend la forme de l'expression (2.20) ou (2.27). Ces deux relations permettent de dfinircette nergie et d'en justifier l'existence pressentie au paragraphe 2.3.1.

CONVERSION LECTROMCANIQUE 37

2.6 CONERGIE MAGNTIQUE

2.6.1 Dfinition : systme au reposPar symtrie de relation avec la notion d'nergie magntique, on peut dfinir la

conergie magntique, qui n'a pas de sens physique, mais qui prsente des propritsintressantes. On pose, pour un systme au repos :

k

dH^ag = ^ ^,di,/=1

D'o, pour la conergie :

' yHmag =1 ^ d//

/=! 0

(2.28)

(2.29)

2.6.2 Milieu linaireDans un milieu permabilit constante, l'expression (2.29) peut tre intgre :

k k 'Iw^ = 1 1 L,p f

38 LECTROMCANIQUE

Fig. 2.4

d

CONVERSION LECTROMCANIQUE 39

2.7.2 Forme locale de l'nergie magntiqueSoit un systme lectromagntique associ un circuit lectrique. On a, par (2.19),

l'expression d'accroissement d'nergie magntique associe un circuit lectrique :

d^mag = ; d^ = Ni d = 6 d (2.42)

Par les relations (1.33) et (1.34), on peut exprimer le potentiel magntique et leflux d'induction en fonction de grandeurs vectorielles :

= J H ds (2.43)

= f dB dA (2.44)

L'expression (2.42) devient alors :

dH^g = ^H dB d A - d s = ^ H - d B dV (2.45)

La figure 2.5 prcise l'orientation respective des divers vecteurs.

Fig. 2.5

2.7.3 Dfinition : nergie magntique spcifiqueLa relation (2.45) permet de dfinir Y nergie magntique spcifique, ou nergie

magntique par unit de volume, ainsi que son accroissement :

dwmag = H dB (2.46)B

n^g = J H dB (2.47)o

2.7.4 Milieu permabilit constantePour un milieu permabilit constante, les relations se simplifient comme suit ,

dB = tidH (2.48)

dw^=nHdH (2.49)

v r m a ^ 2 =\-B^|^=\-BH (2.50)"magz, Zt Zi

2.7.5 Conergie magntique spcifiqueLes divers dveloppements effectus pour aboutir l'nergie magntique spci-

fique peuvent tre transposs au cas de la conergie. On obtient ainsi les expressionssuivantes :

40 LECTROMCANIQUE

d^mag = ^BdHdV (2.51)

d

CONVERSION LECTROMCANIQUE

1 * k (\I

^ = 1 1 1 ^2 /=i p=i d^

Pour un systme tournant, le couple correspondant s'crit1 k k Al

^ 1 1 (^2 /^i p=\ d,

41

(2.61)

(2.62)

2.8.4 VarianteL'inductance mutuelle peut tre dcompose en ses termes constituants, soit :

L , p = N , N p \ , p (2.63)

1 * k dA,,,Fn, - - I I L N, i, Np i, (2.64)

2 /= i p = i d^

1 k k d A -^ - - I I p- Q! P (2.65)

2 / = i p = i dx^

2.8.5 CommentaireLes relations (2.61) et (2.65) montrent qu'il apparat une force gnralise d'ori-

gine lectromagntique ds qu'un systme est le sige de courants et qu'une dformation(relle ou virtuelle) produit une variation de la permance de l'un des circuits magntiques.

2.8.6 Dfinition : systme rluctantLorsqu'un systme ne comporte qu'un seul circuit lectrique ou un ensemble de

circuits non coupls, on est conduit l'expression :1 * dL, 2

Fm = - I '/ (2.66)2 /=i dx^,

Un tel convertisseur lectromcanique est alors qualifi de systme riuctant ou rluc-tance variable. De nombreux systmes tels qu'lectro-aimants, relais, pousseurs, etc.sont de ce type (chap. 7).

2.9 TENSEUR DE MAXWELL

2.9.1 IntroductionLes relations (2.61) et (2.65) permettent de dterminer les forces gnralises

agissant sur un systme lectromagntique, en partant des permances ou inductancesdes divers circuits lectriques.

Elles prsentent cependant un inconvnient pour des structures gomtriquescomplexes. En effet, la ncessit de driver les permances des divers circuits rend cetteopration trs peu prcise lors d'un calcul numrique. Par ailleurs, ces relations ne sontpas utilisables sans autre pour des milieux saturables.

Le tenseur de Maxwell permet de dtourner ces difficults.

42 LECTROMCANIQUE

2.9.2 Forme locale de l'quation de LaplaceL'quation de Laplace (sect. III.2.1) dcoule des quations de Maxwell. Elle

donne l'expression de la force s'exerant sur un conducteur idal plac dans un champd'induction magntique (fig. 2.6) :

dF = idi X B (2.67)

Cette quation peut tre exprime sous forme locale. Soit / la force par unit de volume

/ = dF/dV (2.68)/ d/ X B dl

f = = J X BAdi dl

Les vecteurs d/ et J tant parallles, on peut poser :

f = J X B

(2.69)

(2.70)

Fig. 2.6

2.9.3 DveloppementEn partant de la relation (2.70), on peut effectuer les changements d'criture

suivants :

f = J X f J i H = t J i J X . H (2.71)/ = il rot H X f f (2.72)

En recourant la notation faisant appel au symbole nabla V ( III. 1.2.1), on peut crire

(2.73)f = n (VX/7) X H

f = JU (H -V) H-- (H -H) (2.74)

L'quivalence entre ces deux dernires relations est dmontre dans la rfrence [6].Pour la coordonne x, la relation (2.74) devient :

0/4 i a/, = n K + Hy +H,L-- ( H ^ + H y + H , ) (-2.75)

L 9x 9y 9z 2 9x J

Afin de condenser l'criture, le changement de notation suivant est propos :

(2.76)fi = x ; X = y ; X3 = Z/l = f x ; /2 = fy ; /3 = /, (2.77)

Dans ces conditions, la relation (2.75) peut s'tendre aux trois coordonnes et devient :

CONVERSION LECTROMCANIQUE. 43

/ 3 W^ 1 9 2\/, = J I /^ m - - H1} (2.78)

\ n=l Xn 2 3^ /

Dans cette dernire expression, la grandeur H2 est donne par la relation :

H2 = Ht +H +Hj (2.79)

On dfinit le coefficient ^,, tel que :

! 1 si m = n6mn = ^ . L (2.80)0 si m T- nOn peut alors crire :

X" f 9 / 1 2'! 9//,, 1fm = A- I K - - 8^ //2 - //, ^ (2.81)

n=l L 9^n \ 2 / 9x J

2.9.4 Hypothse : milieu non saturablePour un milieu non saturable, le dernier terme de l'quation (2.81) peut s'crire

U ^_ H^ 9Hn- = ^ H^ 3 ( f l H n ) = H^ div B = 0 (2.82)n=l Xn n=\ 9x^

L'expression de la composante de force spcifique se simplifie alors comme suit :

fm = /' i -a- //" ^m - - m^2 (2.83) = 1 [ 9Xn \ 2 / J

2.9.5 Dfinition : tenseur de MaxwellLe tenseur de Maxwell est dfini par le biais de ses composantes T^,, . Celles-ci

sont caractrises comme suit :

T^n =H^H^--^S^H^ N/m2 (2.84)

En remplaant dans (2.83), on obtient :

fm = f 9^ = div 7^ (2.85)n=l O^Cn

Le vecteur T^ est constitu de 3 composantes du tenseur de Maxwell :

Tm = r^i + JTm-i + kr^y, (2.86)Le tenseur de Maxwell peut alors prendre la forme suivante :

/ T A /. .. r , 3 \ / , \

T = ( F, = 21 T2 T23 / (2.87)

7-3 / \ 1-31 7-32 T33 / \k

44 LECTROMCANIQUE

2.9.6 Analogie avec le tenseur des contraintesEn rsistance des matriaux, on dfinit un tenseur des contraintes. Une analogie

existe entre celui-ci et le tenseur de Maxwell. Dans les deux cas, les composantes ontpour dimension des pressions (N/m2). Les termes mm son^- comparables aux contraintesnormales. Les termes Tynn (m ") nt assimilables aux contraintes de cisaillement [30].Ainsi qu'il en est fait mention au paragraphe 2.9.9, la diffrence rside dans le fait quele tenseur de Maxwell est dfini en surface d'un volume, alors que le tenseur des con-traintes est dfini en tout point d'un volume.

2.9.7 Dtermination des forces par le tenseur de MaxwellLes forces s'exerant sur un volume sont dtermines par les relations suivantes,

rsultant de l'expression (2.85) :

F m = \y /" d v = \v div T^ d v (2-88)

Par le thorme de la divergence, on obtient :

Fm = s Tr" dA (2-89)

Les forces lectromagntiques s'exerant sur un volume peuvent tre dtermines partir des composantes du tenseur de Maxwell. Ces dernires font intervenir le champmagntique et la permabilit en surface ( l'extrieur du volume) du milieu considr.Le fait de recourir une intgrale de surface est un avantage dans le cas d'un calcul num-rique. Nanmoins, certaines prcautions sont prendre quant aux hypothses relatives la distribution du champ magntique. Celles-ci seront dcrites au paragraphe 2.9.13.

2.9.8 Mobile plac dans un milieu saturablePour un systme lectromcanique comprenant une partie mobile place dans un

milieu saturable - cas trs rare de certains liquides comprenant de la limaille de fer ensuspension l'expression du tenseur de Maxwell est modifie comme suit, en rempla-cement de la relation (2.84) [25]:

Hr^n = H // H^ - &^ J B dH (2.90)

oLa relation (2.89) reste valable.

2.9.9 Rle des hypothses et limites d'utilisationPour mettre en vidence certaines prcautions prendre dans l'utilisation de la

technique du tenseur de Maxwell, on recourra l'exemple d'un lment rluctancevariable deux degrs de libert. Le systme est dfini par la figure 2.7. Il permetd'exercer simultanment une force d'attraction verticale et une force de centrage lat-rale. Un tel systme est envisag pour la sustentation magntique et le guidage decertains trains trs grande vitesse (fg. 2.8).

L'tude des forces s'exerant sur un tel systme implique la connaissance de ladistribution des lignes de champ dans l'entrefer. Devant la difficult de la dtermina-tion exacte de celles-ci, on recourt frquemment des hypothses simplificatrices.

CONVERSION ELECTROMECANIQUE 45

/ ~ ~ 7 / / ? / 7

//

Fig. 2.7

2.9.10 HypothsesPour le cas particulier de la figure 2.7, les hypothses suivantes seront admises : les lignes de champ n'apparaissent que dans la zone d'entrefer minimum et

sont diriges selon x; la permabilit du fer est infinie.

2.9.11 Dtermination des forces par la drive de l'nergiePar la relation (1.55), la permance d'entrefer s'crit, compte tenu des hypothses

Po b ( a - e )(2.91)A =

2 5Par la relation (2.65), on en dduit les forces dans les directions x et y :

I d A 2 l ^ o b ( a - e ) 2F, = - ( W 0 2 = - - - ( N i ) 2 (2.92)

1 dA 2Fx = ^ ^ ( N i )L d

1 ^b(a-e)^^

1 dA ,

^d^0^ ( N i ) 24 5

(2.93)

v/77///'^///////V//^/7///y///^///^/7/////'Fig. 2.8

46 LECTROMCANIQUE

2.9.12 Dtermination des forces par le tenseur de MaxwellCompte tenu du caractre unidirectionnel des lignes de champ, le tenseur de

Maxwell ne prsente que trois composantes, par les relations (2.84) et (2.86) :

Hy = H, = 0 (2.94)

Tx = iTxx =i^oH (2.95)

T y = ] T y y = - ] ^ H o H (2.96)

Tz =^zz =-k^n,lf (2.97)

Par la relation (1.9), le champ magntique H^ peut tre dtermin :

H, = NJ- (2.98)2 6

La composante de la force selon la direction x, qui s'exerce sur la partie infrieure,devient par (2.89) :

F^^^HA (2.99)

A = 2b(a-e) (2.100)

1 b ( a - e ) 2^ = -Ato 2 (^0 (2-101)

4 5

De mme, la force dans la direction^ s'crit :

Fy =il^^A (2.102)

Dans les zones o le champ magntique n'est pas nul, les vecteurs/ et d.A sontperpendiculaires. En consquence, leur produit scalaire est nul. On obtient ainsi pourla force correspondante :

Fy = 0 (2.103)

2.9.13 DiscussionPar les deux mthodes de calcul, les forces dans la direction x sont identiques, au

signe prs. Cette diffrence est due l'orientation du vecteur surface. En revanche, si laforce latrale dtermine par la drive de l'nergie a une valeur bien prcise, elle estnulle par le tenseur de Maxwell. La cause en est la validit trs limite de l'hypothseconcernant la distribution des lignes de champ. Par ailleurs, la mthode de la drive del'nergie fait intervenir l'nergie totale du systme, alors que le tenseur de Maxwell neprend en considration que la distribution du champ au niveau d'une surface.

L'utilisation du tenseur de Maxwell implique donc une connaissance prcise,compatible avec les quations de Maxwell, de la distribution des lignes de champ.

CONVERSION ELECTROMECANIQUE 47

2.9.14 DveloppementSoit un lment de surface dA sur lequel un champ magntique H aboutit. Ce

champ forme un angle a avec la normale l'lment de surface (fig. 2.9). Le champ ma-gntique peut tre dcompos en deux termes, .//n normal la surface et Ht tangentiel.

H = H^ + Ht (2.104)

La direction normale concide avec l'axe 2 d'un systme de coordonnes cartsien.Par (2.84) et (2.89), il vient:

d/-, = n [ H ^ - } ( H +//J2 +H2)]dA (2.105)

= \ V. W - H - Hy ) dA (2.106)d/^ = l i H ^ H ^ A (2.107)

dFy = l i H y H ^ d A (2.108)

II en rsulte une formulation beaucoup plus pratique que celle des relations (2.84),(2.87) et (2.89):

dFn ^-^nW-H^dA (2.109)

dF, dF^+ dFy2 (2.110)H // H f dA

L'angle a est caractris par la relation :

tan a = H f / H ^ (2.111)

L'angle j entre la normale la surface et la force dF rsultante (fig. 2.10) estdfini par la relation :

tan JS =

F f / d

2//n

//n2-

Fn

Ht^ l H t1 - ( H f I H n/ / /n) 2 2 tan a1 - tan a(2.112)

= tan 2 a (2.113)

Fig. 2.9 Fig. 2.10

2.9.15 PropritLa force s'exerant sur un lment de surface sparant deux milieux forme, avec

la normale cette surface, un angle double de celui que forme le champ magntique aveccette mme normale.

48 LECTROMCANIQUE

2.10 SYSTME LECTROSTATIQUE

2.10.1 Dfinition du systmeUn systme lectrostatique de conversion d'nergie lectromcanique est form

d'un ensemble de sources de tension alimentant un ensemble de circuits lectriquescapacitifs dformables. Un exemple simple peut tre donn par un condensateur plandont une des plaques est mobile (fg. 2.11).

Fig.2.11

De faon gnrale, les systmes lectromcaniques de caractre lectrostatiqueprsentent moins d'intrt que les systmes lectromagntiques, par suite d'une puis-sance spcifique trs faible (sect. 2.11). En consquence, seules les principales relationsspcifiques ce mode de conversion seront donnes.

2.10.2 Dpendance des charges et des tensionsLes charges lectriques et les tensions associes un ensemble de circuits capaci-

tifs sont lies par la relation suivante (sect. 1.2.2) :k

Q, = ^ C,pUp (2.114)p=i

La grandeur C/p est la capacit gnralise ou mutuelle entre le circuit/ et le circuit p.On peut donc crire :

Qj = /("l . . . U k , X i . . . X n ) (2.115)

Uj =Mj(i . . . Q k , X t . . . X n ) (2.116)

On peut donc postuler que les forces d'origine lectrostatique Fes s0^ galementdes fonctions des mmes variables :

es = ^es("l U k , X i . . . X n ) (2.117)

F^= F^(Qi...Qk,Xi . . . X n ) (2.118)

2.10.3 Energie lectrostatiqueDe faon analogue au cas de la conversion lectromagntique, on suppose l'exis-

tence d'une forme intermdiaire d'nergie,l' nergie lectrostatique. Celle-ci se situe dansl'espace situ entre les plaques d'un condensateur. Elle prend la forme paramtrique

CONVERSION ELECTROMECANIQUE 49

suivante :

^es = ^es("l " fc ,^ l - < )

^es = W^(Qt . . . Q k , X ^ . . . X n )

(2.119)(2.120)

2.10.4 Bilan nergtiqueLe principe de conservation de l'nergie permet d'crire :

d^ei = d^ec + dH/es + dH^ (2.121)

Ces divers termes peuvent tre dfinis et explicits comme suit : la variation d'nergie lectrique dW^ avec :

kd^ei = I y / ' / d r (2.122)

/=!

la variation d'nergie mcanique dW^ec avec :

d^ec = i F ^ d x ^ (2.123)m = 1

la variation d'nergie thermique avec :k u2

d^th = 1 d / (2.124)/=i ^

la variation d'nergie lectrostatique dW^s-Le circuit lectrique associ une source de tension peut tre dcompos en une

rsistance en parallle avec celle-ci et en un ensemble de capacits gnralises. On ob-tient ainsi :

k 1 \

dH/ei = I p-d/+ u,dQ,\ (2.125)/=! ' R, l

Le bilan de la relation (2.121) devient ainsi :k n

^_ u, d, = dH/es + I Fn, dx^ (2.126)/= 1 m = 1

Par la relation (2.120), on peut exprimer l'nergie lectrostatique, en termesd'accroissement :

k 9]p(/ " 9^/d^es = I esdQ,+ ^dx^ (2.127)

j=l SQ, m=l Sx^

En introduisant cette expression dans la relation (2.126), on obtient :

SWJ9Q, = u, (2.128)

a^es/S^m = -Fm (2.129)

Ces deux relations permettent de dfinir tensions et forces partir de l'nergielectrostatique et de confirmer l'existence de cette dernire.

50 LECTROMCANIQUE

2.10.5 Systme au reposPour un systme au repos (dx^ = 0), on peut crire :

k

d^es = I " / d Q , (2.130)/ = ik Q!

^es = I J "/ dQ, (2.131)/=! 0

Pour un systme linaire permittivits constantes on peut poser par (2.114)k k

d^es = I "/ I C,p d"p (2-132)1=1 p=\j k k

Hs = - 1 I C/p "/ "P (2.133)2 ,=\p=\

2.10.6 Conergie lectrostatiqueToujours par analogie avec un systme lectromagntique, on peut dfinir la co-

nergie lectrostatique comme suit :k

d^es = I Q j u , (2.134)

k "/Wes =1 J Q, au, (2.135)

=1 0

e's = I "y Q, - ^es (2.136)/=!

Pour un systme linaire, on obtient :< k J k k

W,, = - ^ u, Q, = - ^ ^_ C,p u, Up = Wes (2.137)2 /=! 2 /=! p=l

On peut galement dgager les deux proprits suivantes :

Wes/9"/ = Q, (2.138)

a^es/^m = Fm (2.139)

Cette dernire relation est d'un emploi plus pratique que la relation (2.129).

2.10.7 Forces gnralisesPar(2.135)et(2.139), on a :

k 1 SQ,^ = 1 1 d"// = i o x^

(2.140)

CONVERSION LECTROMCANIQUE 51

Par (2.114), U vient:k k y' 9C,p

^=11 J p^ d"/ (2.141)/=1P=l 0 Xm

Cette expression permet de dterminer pratiquement une force (ou un couple)d'origine lectrostatique. Dans le cas d'un systme linaire, on obtient :

1 k k 9C-^ = - I I p "/ "p (2.142)

2 / = i p=i Qx^,

2.10.8 Forme locale de l'nergie lectrostatiquePar un processus semblable celui utilis pour l'nergie lectromagntique, on

peut exprimer l'nergie lectrostatique spcifique (par unit de volume) sous formelocale. On peut crire ( 1.2.2.9) :

u , = ^ E - d s (2.143)

Sous sa forme gnrale, l'quation (1.4) peut s'crire :

divZ) = dQ/dV (2.144)

Par le thorme de la divergence, il vient :

f ,- dQ^D- dA = L d V = Q (2.145)-" " dV

dQ = y d D - dA (2.146)

L'quation (2.130) devient alors :

d^es = ^E- dDdV (2.147)

Sous forme spcifique (par unit de volume), il vient :

dwes = E dD = E dD (2.148)D

w,, = J" EdD (2.149)o

De mme, on obtient pour la conergie lectrostatique :

dwes = D d E (2.150)E

w^ = f D d E (2.151)o

Pour un systme permittivits constantes, on obtient :

^es =Wes =l-e E2 =^D|e =\ED (2.152)

52 LECTROMCANIQUE

2.10.9 Tenseur lectrostatiquePar analogie au cas d'un systme lectromagntique, il est possible de dfinir un

tenseur lectrostatique. Le dveloppement relatif sa dtermination est semblable celui dcrit au paragraphe 2.9.3. On obtient alors pour les divers termes de ce tenseur,par analogie avec (2.84), pour un cas linaire :

'^emn ~ 1 n "m ~ "T" mn 1

Par (2.86) :

Tem = l ^em 1 Jr l^sinl '*' "^mS

La force dans la direction m s'obtient par la relation (2.89) :

= ^Fe^ .dA

(2.153)

(2.154)

(2.155)

2.11 DOMAINES D'APPLICATION ET LIMITESDES SYSTMES LECTROMAGNTIQUES

2.11.1 Elments de comparaisonPour mieux dfinir les limites et les domaines d'application des convertisseurs lec-

tromagntiques, on procdera une comparaison entre trois systmes de gnrationd'nergie mcanique, soit les systmes :

hydropneumatiques (fig. 2.12); lectrostatiques (fig. 2.13); lectromagntiques (fg. 2.14).

On peut dfinir pour chacun des cas un convertisseur lmentaire permettant de gnrerune force de translation.

p Fig. 2.12 Fig. 2.13

Fig. 2.14

CONVERSION LECTROMCANIQUE 53

2.11.2 Grandeur caractristique : nergie spcifiquePour chacun des systmes dfinis, les performances peuvent tre caractrises par

l'nergie par unit de volume dans la partie active du convertisseur.

w = W/V^ J/nr 'ouN/m2 (2.156)

La grandeur Fg reprsente le volume actif du systme. Il s'agit du domaine danslequel on trouve respectivement les nergies potentielle de pression, lectrostatique oulectromagntique.

2.11.3 Expression de l'nergie spcifiquePour un systme hydropneumatique, l'nergie spcifique est la pression interne

du systme :

H/p = p (2.157)

Pour un condensateur dans l'air, on a par (2.152) :

W e s = ^ - e o 2 (2.158)

Pour un systme lectromagntique dans l'air, on a par (2.50) :

Wmag = ^ B 2 / ^ (2.159)

Pour chacun de ces cas, une valeur limite est impose par les caractristiques desmatriaux utiliss, que ce soit au niveau de l'espace dformable ou de la structure dusystme.

Pour la pression p , on peut admettre une valeur limite de l'ordre de 400 bar,compatible avec les matriaux utiliss :

Wp = 4 107 J/m3 (2.160)

Pour un systme lectrostatique, c'est le champ lectrique disruptif de l'airqui caractrise l'nergie maximale. On peut admettre une valeur 2?air de 3 10 6 V/m,soit :

Wes= 4 - 10' J/m3 (2.161)

Pour un systme lectromagntique, c'est le niveau de saturation du fer du cir-cuit magntique qui impose une induction de l'ordre de 1 T, d'o :

H'mag = 4 105 J/m3 (2.162)

2.11.4 Comparaison et discussionEn comparant les valeurs limites prcdentes, on obtient les rapports

suivants :

Wp = 102 W^ag = 106 Wes (2.163)

H'mag = lO'Wes (2.164)

54 LECTROMCANIQUE

Ces rsultats mettent en vidence le peu d'intrt de la solution lectrostatiquerelativement aux deux autres solutions. Hormis la conversion d'nergie lectrique trs haute tension pour des essais ou des emplois spciaux (reproduction, peinture),cette forme de conversion n'est pratiquement pas utilise.

Les performances nergtiques des systmes lectromagntiques paraissent fai-bles en comparaison de celles des systmes hydropneumatiques (2.163). Il ne s'agiten fait que d'un seul lment de comparaison ou de choix. On peut relever, en contre-partie, les avantages suivants en faveur des systmes lectromagntiques :

la souplesse beaucoup plus grande de l'nergie lectrique qui peut tre facile-ment transporte, transforme et rgle;

les frquences nettement plus leves pouvant tre atteintes par des conver-tisseurs lectromcaniques. Il s'agit alors de comparer des puissances par unitde volume et non plus des nergies spcifiques. Des ordres de grandeurs com-parables peuvent alors tre obtenus;

des mouvements de rotation ou de translation continus peuvent tre ralissfacilement en conversion lectromcanique, mais seulement avec des courseslimites en variante hydropneumatique;

la production d'une pression hydropneumatique ncessite un convertisseurlectromcanique ou un moteur combustion interne entranant un compres-seur. Ceci est un handicap frquent;

une induction limite de IT est pratiquement ralise localement dans la ma-jorit des systmes lectromagntiques. En revanche, une pression de 400 barest une valeur limite exceptionnellement atteinte en pratique.

En consquence, les avantages numrs ci-dessus entranent frquemment uneprfrence pour un convertisseur lectromagntique. Ce sont les applications pour les-quelles une force leve sous un volume faible est une exigence dterminante, qui fontappel aux systmes hydropneumatiques.

CHAPITRE 3

AIMANTS PERMANENTS

3.1 INTRODUCTION

3.1.1 Rappel : proprits spcifiques des aimants permanentsUn aimant permanent est constitu d'un matriau de type ferromagntique. Outre

cette qualit caractrise par l'apparition de zones formes de moments magntiques demme direction, il apparat un phnomne de rmanence trs marqu. Cette propritassure la qualit permanente de la magntisation dans une direction privilgie.

Les caractristiques principales de l'aimant permanent sont : l'induction leve champ magntique rsultant nul, le champ coercitif important induction nulle.En d'autres termes, un aimant permanent est constitu d'un matriau ferroma-

gntique large cycle d'hystrsis. Si tous les alliages de fer, de cobalt et de nickel detype ferromagntique prsentent un cycle d'hystrsis, les matriaux large cycle sontbeaucoup plus rares (sect. 11.3.8). Outre cette qualit, un aimant permanent doit trestable (insensibilit aux chocs et aux cycles thermiques) et prsenter de bonnes carac-tristiques mcaniques.

3.1.2 Caractristiques microscopiquesLa physique des matriaux permet de lier les phnomnes spcifiques aux aimants

permanents et les phnomnes corpusculaires et atomiques (sect. 11.3.7).La notion de diple magntique est associe au spin de l'lectron. Celle de ferro-

magntisme est lie la cration de domaines magntiques d'un seul tenant, dans les-quels les moments magntiques atomiques sont aligns paralllement les uns aux autres.Il s'agit des domaines de Weiss. Ces domaines sont spars entre eux par des zones detransition, dites parois de Bloch. C'est le comportement de celles-ci qui dfinit la notionde rmanence.

Les rgions de frontire jouent un rle important eu gard au phnomne dedmagntisation.

Certains modles sont bass sur la connaissance de l'un ou l'autre de ces phno-mnes microscopiques. Les notions de polarisation magntique et de moment magn-tique '[4,8] relvent de cette dmarche.

3.1.3 Caractristiques macroscopiquesAu contraire d'une dmarche base sur le phnomne microscopique, ce chapitre

traite d'un modle macroscopique de l'aimant permanent. Il est bas exclusivement sur

56 LECTROMCANIQUE

les caractristiques de l'induction et du champ magntiques associs au milieu. En con-squence, les relations de Maxwell restent valables. Elles sont associes aux connaissan-ces exprimentales de la caractristique de magntisation de l'aimant. Comme pourtout circuit magntique, le but premier est de permettre le passage d'un modle local(quations de Maxwell) un modle intgral (circuit magntique). A un dernier stade,il s'agira d'associer un circuit magntique quivalent l'aimant permanent.

En consquence, on peut dfinir trois niveaux de connaissances de l'aimant per-manent :

le niveau microscopique, propre la physique des matriaux; le niveau local, caractris par le plan B-H et associ aux quations de Maxwell; le niveau intgral correspondant aux circuits magntiques ou lectriques.La dmarche qui suit est associe aux deux derniers points cits.

3.2 MODLE MACROSCOPIQUE

3.2.1 Ncessit d'un modleBien que l'aimant permanent soit constitu de domaines formant un ensemble

htrogne, il est important de pouvoir le reprsenter globalement par une caractris-tique quivalente. Par ailleurs, il est souhaitable qu'un tel modle puisse tre exprim deux niveaux diffrents.

Dans le modle de Maxwell, il doit permettre la description locale de l'espacemagntique correspondant.

Dans le modle de Kirchhoff, il doit permettre le remplacement de l'aimant pardes lments localiss constituant un schma quivalent.

3.2.2 Dfinitions : caractristique magntiqueUn aimant permanent est dfini par sa caractristique magntique moyenne et

sa gomtrie.

Fig. 3.1

AIMANTS PERMANENTS 57

La caractristique magntique est reprsente dans un plan5-// (fig. 3.1). Parsuite du phnomne d'hystrsis, le cycle magntique est caractris par deux valeurslimites :

l'induction rmanente 2?r (H = 0), le champ coercitifH^ (.B = 0); ce dernier est en fait ngatif.On constate exprimentalement que le cycle le plus grand, seul intressant, n'est

obtenu qu'aprs magntisation complte du matriau. Celui-ci est atteint lorsque lapermabilit diffrentielle est pratiquement gale celle du vide. Dans le quadrant oB est positif et H ngatif, la caractristique sera dite principale ou de dsexcitation.

3.2.3 Dfinition : droite de retourPartant d'un point de la caractristique principale, on constate qu'on quitte celle-

ci ds que l'induction augmente. La courbe correspondante peut tre approche defaon suffisante (pour des tudes lectromcaniques) par une droite (2). Celle-ci estdfinie entre la caractristique de dsexcitation (1) et l'axe des ordonnes (fig. 3.2).Cette droite est approximativement parallle la tangente de la caractristique dedsexcitation au point (0; Br). Cette droite est galement parcourue lors d'une diminu-tion de l'induction, jusqu' ce que le point de fonctionnement rejoigne la courbeprincipale. Une droite de retour est dfinie par le point le plus bas atteint sur la carac-tristique de dsexcitation (5min).

Fig. 3.2 Fig. 3.3

On constate donc que l'volution du comportement d'un aimant permanent d-pend de deux premires conditions :

le point le plus bas atteint sur la caractristique principale, le signe de la variation de l'induction.Il s'agit encore de dterminer le point de fonctionnement de l'aimant compte

tenu du contexte magntique dans lequel il est plac.En ralit, la droite de retour prsente galement un phnomne d'hystrsis

(fig. 3.3). Pour de hautes frquences, ce phnomne doit tre pris en considration.

58 LECTROMCANIQUE

3.2.4 Hypothses gnralesPour la suite de l'tude, plusieurs hypothses gnrales seront adoptes. Elles

ont essentiellement pour but l'tablissement d'un modle magntique au niveau descircuits :

tous les points gomtriques d'un aimant prsentent les mmes caractristiquesB-H pour un tat de fonctionnement quelconque; cette hypothse restrictivepeut tre tourne par la suite en remplaant un aimant par plusieurs aimantsplacs en parallle ;

l'ensemble du circuit magntique externe l'aimant peut tre caractris parune permance quivalente Ae.

3.2.5 Dveloppement : caractristique externeSoient un aimant et son circuit magntique externe, caractris par une zone

quivalente de longueur le, de section Ae et de permabilit e (fig. 3.4). L'aimant pr-sente une longueur /a et une section Aa- La permabilit du fer est suppose infinie.

Fig. 3.4

Par la relation de Maxwell liant champ magntique et densit de courant sousforme intgrale (1.9), on peut crire :

Hl^+H^l^ = 0

H^ = - H l J l e

Par conservation du flux (1.3), on peut poser :

B As = BeAe = f l e f / e A ^

Par (3.2) et (3.3), on obtient :B A e / a

= - ^e H A^ /e

De faon plus gnrale, on peut crire :

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

B

H

_/a_ F HedA,

A a J s ^ A,(3.5)

AIMANTS PERMANENTS 59

II s'agit du lieu des points de fonctionnement correspondant au circuit externede permance Ae, exprim dans le plan B-H de l'aimant. C'est une droite passant parle centre du systme de coordonnes, dnomme caractristique externe ou droite decharge.

3.2.6 Domaine de fonctionnementL'intersection de la caractristique externe et de la caractristique de l'aimant

((1) ou (2), fig. 3.5) dfinit le point de fonctionnement rsultant.

En pratique, un transducteur lectromcanique offrira l'aimant une permanceexterne variant entre deux limites, Aemin et Aemax- Le point 5min (fig. 3.5) sera dfinipar l'intersection de la caractristique de dsexcitation et de la droite de charge. La droitede retour (2) passe par ce point. Le point de fonctionnement se dplacera alors entre lepoint d'induction B^vn et le point d'intersection de la droite de retour et de la caract-ristique externe pour Aemax, d'induction B^sa-

3.2.7 RemarqueCertains aimants, de type ferrite, platine-cobalt ou samarium-cobalt (fg. 3.6)

prsentent une caractristique principale linaire. Elle est alors confondue avec l'en-semble des droites de retour.

La figure 3.6 donne un certain nombre de courbes caractristiques des princi-paux aimants.

3.3 BILAN NERGTIQUE

3.3.1 Equations de la droite de retourDans les conditions de fonctionnement dfinies au paragraphe 3.2.6, la droite de

retour est caractrise par une abscisse l'origine - Ho et une ordonne l'origine By.

60 LECTROMCANIQUE

Fig. 3.6

Sa pente est d . Son quation devient :

B = Bo + jUd H

fid = BolHy = dB/dH

(3.6)

(3.7)

3.3.2 Point de fonctionnementLe point de fonctionnement est dfini par l'intersection des droites d'quation

(3.5) et (3.6). Ses coordonnes sont :

B = 5o Af- (3.8)Ae + U d A ^ I /a

^ d ^ a / / aH = - H, (3.9)Ae + /^d^a 1 la

3.3.3 Dfinition : permance interne de l'aimantOn dfinit la permance interne de l'aimant comme suit :

A, = p.ii Aa//a

De faon plus gnrale :

^d -, .A dA,^5. /a

Une justification de cette dnomination sera donne au paragraphe 3.3.9.Les coordonnes du point de fonctionnement deviennent ainsi :

B = Bo Ae/(Ae + A,)

AiH = - Ho --

A,

Ae +A, Ald Ae + A,

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

AIMANTS PERMANENTS 61

Par la suite, on condensera l'criture en posant

Aei = Ae +Ai (3.14)

3.3.4 Variation d'nergie de l'aimantPar (2.45), la variation d'nergie magntique de l'aimant vaut :

dWa = L H dB d7, (3.15)- a

Le volume Va est celui de l'aimant.Le point de fonctionnement ne dpendant que de la permance externe, on peut

crire par (3.12) et (3.14) :

dAedB = BQ A, \ (3.16)

Aei

d^a = H d B l ^ A ^ (3.17)

Par substitution de (3.13) et (3.16) dans (3.17), on obtient :

5o2 A2 A , dAed^a = - --^- (3.18)

AeiOn peut dfinir un flux de rfrence o tel que :

$o =BoA^ (3.19)

dW/a = - o2 3 dAe (3.20)Aei

II s'agit de la variation totale d'nergie magntique interne de l'aimant.

3.3.5 Variation d'nergie externe de l'aimantPar le principe de conservation de l'nergie, le bilan global peut s'crire comme

suit, dans le cas d'une variation de permance externe :

dH/a + d^e = 0 (3.21)

avec dWe la variation totale d'nergie externe. A,

d^e = - dH/a =

62 LECTROMCANIQUE

3.3.7 Dfinitions : nergies interne et de source de l'aimantSoit dWi la variation d'nergie magntique interne de l'aimant; par (3.13),

(3.16) et (3.24), il vient:

dW, =

AIMANTS PERMANENTS 63

Par(3.27), on a :

(3.38)

3.3.9 Schma magntique quivalentLe schma magntique quivalent de la figure 3.7 conduit aux mmes rsultats

que les relations (3.26), (3.27) et (3.36) en posant :

a = Ho /a = fio /a/i"d = ^O/A; (3.39)

On vrifie l'quivalence de la manire suivante :

$ = A, Ae a/Aei = Ae '0/Aei (3.40)

Par (2.42), on a pour l'accroissement d'nergie d^@a de Ia source de potentiel :

dW@a = - a d < > (3.41)

A i ^ o .. (3.42)d =A,

dA,2 - ' e

2 dAe(3.43)dW@a = - = d^,

A,

Fig. 3.7

Par (2.27), on peut dterminer les variations d'nergie magntique associes auxpermances A; et A e :

dWAi = i-d($Ai) = ^-d^/A,) = d$/A,

d^Ai =$o2-^e3dAe = WiA,

d^Ae = l-d^/Ae) = $d$/Ae- l -^dAe/AJ

1 2 A e - A j

64 LECTROMCANIQUE

1 2 ^edH^ec = - 0 f

2 Aei

(3.50)

Le schma quivalent propos la figure 3.7 reprsente bien l'ensemble du com-portement magntique d'un aimant et de son circuit externe. Il permet de dterminerla variation de l'nergie mcanique.

3.3.10 CommentairesEn se rfrant au schma quivalent et aux quations (3.26), (3.27), (3.36) et

(3.37), on peut constater que l'aimant permanent peut fournir de l'nergie mcaniquelors d'un accroissement de la permance externe. Inversement, on accrot l'nergietotale de l'aimant lorsqu'on diminue la permance externe; on do