Traitement de l'image et du signal Partie TIhebergement.u-psud.fr/emi/453/cours2-nonlin_applis-eleves-gs.pdf · stationnarité des distributions de température, tensions mécaniques,

Traitement de l’image et du signalPartie TI

Emanuel Aldea <[email protected]>http://hebergement.u-psud.fr/emi/453

Master Electronique, energie electrique, automatique 1ere annee

Filtrage lineaire (cont’d)

Le Laplacien

◮ operateur differentiel ∆ : Ck → Ck−2 :

∆f = div(grad f ) = ∇ · ∇f = ∇2f

◮ etroitement lie aux phenomenes de diffusion ; ∆f = 0 associee a lastationnarite des distributions de temperature, tensions mecaniques, potentiel,ecoulement

◮ signification : taux de variation moyen de f (x) sur une sphere centree en x

quand la sphere varie

◮ si x ∈ ❘n :

∆f =

n∑

i=1

∂2f

∂x2i

E. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (2/29)


Le Laplacien

◮ dans l’espace image on peut ecrire :

∆I = ∇2I =∂2I

∂x2i+

∂2I

∂y2i

= Ixx + Iyy

◮ le masque qui correspond au calcul de Ixx est (pourquoi ?) :

Lxx = 1 −2 1

◮ en exploitant le masque de Iyy on remonte a :

L =

0 1 0

1 −4 1

0 1 0

◮ autres masques sont valides egalement (voir developpement en serie de Taylor)



Figure – Laplacien 1D continu- passage par 0


Figure – Laplacien 1D discret- passage par 0



Detection des passages par 0 de la reponse

◮ calculer max(IL) et min(IL) dans une fenetre 3×3 centree dans le pixel (i , j)

◮ passage par 0 ⇔ max(IL) > 0 et min(IL) < 0 et max(IL)−min(IL) > seuil


Resultats

Image initiale Sobel Magnitude Ligne horizontale 40


Resultats

Image initiale Reponse Laplacien Ligne horizontale 40


Resultats

Image initiale Reponse Laplacien Detection passages


Resultats

Image initiale Reponse Laplacien Detection passages

Conclusions◮ Invariance en rotation

◮ Une seule convolution

◮ Sensible aux variations/bruit


Sensibilite au bruit

Pas de traitement - ou se trouve le contour ?

L’estimation du gradient/Laplacien est tres sensible au bruit.

Exercice :

Pour quoi ?



Filtrage Gaussien + gradient - ou se trouve le contour ?



Filtrage Gaussien + gradient - en moins d’operations



Filtrage Gaussien + Laplace (LoG) - passage en 0


Resultats

Image initiale Reponse LoG Ligne horizontale 40


Resultats

Image initiale Reponse LoG Detection passages


Conclusion

hσ(x , y) =1

2πσ2 e−

x2+y2

2σ2

∂

∂xhσ(x , y)

∇2hσ(x , y)

◮ Le lissage est essentiel, mais la taille du filtre depend implicitement del’echelle de l’information (details) qu’on veut preserver

◮ Compromis robustesse au bruit vs. localisation precise des contours


Filtrage passe-bas non lineaire

◮ Inconvenient majeur des filtres passe-bas presentes : degradation des contours

◮ Besoin de methodes plus performantes qui preservent les fortes discontinuites

◮ Strategie des filtres non-lineaires : diffusion et donc homogeneisationmaximale loin des contours et diffusion minimale au niveau des contours


Diffusion anisotrope

Diffusion lineaire isotropeL’application du filtre Gaussien deja visite est equivalente au processus de diffusionisotrope suivant :

∂u

∂t= div(d∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)

Rappel notion isotropie : flux −d∇u parallele au gradient ∇u




∂u

∂t= div(d∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)


Exercice :

Quels sont les parametres du filtre Gaussien qui generent u(x , y , t) ?




∂u

∂t= div(d∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)


Exercice :


Probleme : d est un scalaire, la diffusivite




∂u

∂t= div(d∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)


Exercice :


Probleme : d est un scalaire, la diffusiviteIdee : diffusivite proche de 0 au niveau des contours et proche de 1 dans les zonesa homogeneiser



Diffusion lineaire isotrope



Modification diffusion non lineaire isotropeLa modification par rapport a la formule anterieure est :

∂u

∂t= div(D(x , y)∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)

Appelee a tort anisotrope, car le flux est toujours parallele au gradient




∂u


u(x , y , 0) = I (x , y)


Choix de D(x , y) :

D(x , y) =1

1 + |∇u(x,y)|2

λ2

ou λ est le parametre de contraste.




∂u


u(x , y , 0) = I (x , y)


Choix de D(x , y) :

D(x , y) =1

1 + |∇u(x,y)|2

λ2


Exercice :

Trouvez la signification tres importante de λ.




∂u


u(x , y , 0) = I (x , y)


Choix de D(x , y) :

D(x , y) =1

1 + |∇u(x,y)|2

λ2


Un autre choix :

D(x , y) = e−

|∇u(x,y)|

λ2



Diffusion non-lineaire isotrope



Comparaison diffusions lineaire isotrope - non-lineaire isotropeE. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (20/29)


Modification finaleDiffusion parallele aux contours :

∂u

∂t= div(T (x , y)∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)



Modification finaleDiffusion parallele aux contours :

∂u

∂t= div(T (x , y)∇u)

u(x , y , 0) = I (x , y)

T (x , y) - tenseur de diffusion :

◮ deux vecteurs propres perpendiculaires et deux valeurs propres

◮ les vecteurs propres indiquent les direction de diffusion

◮ les valeurs propres indiquent la diffusivite dans les directions respectives

◮ v|| = ∇u/|∇u| et v⊥ = −v||,y/|v||,x , λ1 = D(x , y), λ2 = 1 et

T = (v||v⊥) ·

(

λ1 00 λ2

)

· (v||v⊥)T



Diffusion non-lineaire anisotrope



Comparaison diffusions non-lineaires isotrope - anisotropeE. Aldea (M1-E3A) T. image et signal Chap II : Filtrage (23/29)

Filtrage bilateral

Idee de baseLe filtrage Gaussien peut etre ecrit comme :

IG (p) =∑

q∈S

I (q) · Gσs(|p − q|)

Probleme du au fait que le poids Gσsne depend que de la distance entre p et q.

Solution fonction de penalisation supplementaire qui empeche les pixels de valeurtres differente d’intervenir dans le filtrage :

BF (p) =1

W

∑

q∈S

I (q) · Gσs(|p − q|) · Gσr

(|I (p)− I (q)|)

Gσrpeut etre une Gaussienne egalement.


Filtrage bilateral

Fonctionnement


Filtrage bilateral

Espace des parametres


Detection de droitesParametrisation

◮ comment le faire de maniere simple ?

◮ combien de parametres ?

◮ comment choisir la quantification ?






◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]

◮ pixel (x0, y0) associe a r = x0 cos(θ) + y0 sin(θ)











◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]







◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]







◮ r ∈ [0, rmax ], θ ∈ [0, 2π]



Detection de droitesTransformee de Hough : a retenir

◮ droite parametree par une paire (r , θ)

◮ (r , θ) - espace cumulatif

◮ les points situes sur les contours votent

◮ on peut utiliser le gradient local

Exercice :

Quel est l’accumulateur pour un cercle / une ellipse ?


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