Transcendance de l'invariant modulaire en caractéristique finie

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  • Math. Z. 231, 7589 (1999)

    c Springer-Verlag 1999

    Transcendance de linvariant modulaireen caracteristique finieMohammed Ably, Laurent Denis, Francois RecherUniversite de Lille I, F-59655 Villeneuve dAscq, France (e-mail: recher@univ-lille1.fr)

    Received: October 22, 1997; in final form January 21, 1998

    Transcendence of the modular invariant in finite characteristicAbstract. LetJ be the Fourier expansion at infinity of themodular invariantj associated to a Drinfeld module of rank 2 defined on the algebraic closurek of Fq(T ) and t an element of the completion of k. Then at least one of thetwo elements t, J(t) is transcendental over Fq(T ).Mathematics Subject Classification (1991): 11G09, 11J85

    1. Motivations

    En 1996, K. Barre-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert [B-D] ontprouve la conjecture de Mahler-Manin :

    Theore`me: SoitJ le developpement deFourier a` linfini de linvariantmodulaire j, z un nombre complexe tel que 0 < jzj < 1. Alors lunau moins des deux nombres z, J(z) est transcendant.La theorie des formesmodulaires posse`de un analogue en caracteristique

    finie. Les courbes elliptiques sont remplacees par les modules de Drinfeldde rang 2. Rappelons le cadre de cette theorie. Soit Fq[T ] lanneau despolynomes en une indeterminee a` coefficients dans le corps fini a` q elements,k son corps des fractions, k1 le complete de k pour la place a` linfini etC le complete dune cloture algebrique de k1. Rappelons que la fonctionv(x) = deg x avec deg 0 = 1 definie sur k se prolonge en une uniquevaluation sur C qui est alors muni de la valeur absolue jxj = qdeg x.Definition 1 ([Dr] [D-H]). Un module de Drinfeld de rang d sur Fq[T ]est un morphisme Fq-lineaire injectif danneaux de Fq[T ] dans EndC(Ga)

  • 76 M. Ably et al.

    tel que(T ) = TF 0 + a1F + + adF d

    ou` les ai sont dans C, ad 6= 0 et F designe le Frobenius relatif a` q.On appelle e lunique fonction verifiant pour tout z dans C

    e(Tz) = (T )e(z);

    et de derivee 1 a` lorigine. Lensemble des zeros de e est alors un Fq[T ]-module libre de rang d note et on a

    e(z) = z

    2nf0g

    (1 z

    ):

    Reciproquement tout reseau de rang d dans C definit un unique module deDrinfeld de rang d.Definition 2. On dit que f est une isogenie entre deux modules et 0 si fest un homomorphisme non nul de Ga tel que pour tout a 2 Fq[T ]

    (a) f = f (a):Les modules et 0 sont isomorphes sil existe une isogenie inversible entre et 0 (cest-a`-dire une homothetie).

    Exemple : Pour d = 1, tous les modules de Drinfeld sont isomorphes aumodule de Carlitz defini par

    C(T ) = TF 0 + F:

    La fonction exponentielle eC a alors pour noyauFq[T ] ou` est un analoguede 2i.

    Dans la suite d = 2. Si on ecrit

    (T ) = TF 0 + gF + F 2;

    on constate que la quantite

    j = j() =gq+1

    ne depend que de la classe disomorphisme du module de Drinfeld .Sur le demi-plan superieur C k1 le groupe GL2(k1) agit par(

    a bc d

    )(z) =

    az + bcz + d

    :

    Si on note Fq[T ] Fq[T ]z le reseau normalise des periodes associe a`un module de Drinfeld, deux elements z et z0 definissent des modules de

  • Transcendance de linvariant modulaire 77

    Drinfeld isomorphes si et seulement si ils sont conjugues par GL2(Fq[T ])et j fournit une bijection entre GL2(Fq[T ])n(C k1) et C.

    Les formes modulaires sur C k1 se definissent comme dans le casclassique [Ge, 5.7]. Il existe un parame`tre (a` linfini)

    t(z) =1

    eC(z)

    tel que toute forme modulaire f ait un developpement

    f(z) =

    aiti(z)

    quand t(z) est assez petit. Les fonctions g et sont des formes modulairesde poids respectifs q 1 et q2 1. Il existe un reel positif c(q) = q1=(q1)permettant de definir la fonction J par J(t(z)) = j(z) pour tout z tel que0 < jt(z)j < c(q). Pour simplifier, J(t(z)) sera note J(t).

    Le but de ce texte est de montrer le theore`me suivant :

    Theore`me 1. Pour tout t tel que 0 < jtj < c(q), lun au moins des deuxnombres t et J(t) est transcendant sur k.

    La preuve est adaptee de celle de [B-D]. Elle diffe`re essentiellement endeux points. Les estimations deMahler des coefficients deJ sont remplaceespar des estimations sur les formes modulaires g et et les estimes dehauteur de polynomes modulaires [Co] sont remplaces par lanalogue etablipar Taguchi [T] de la variation de la hauteur dun module de Drinfeld sousisogenie.

    Au paragraphe 2 nous etablissons quelques analogues des proprietesarithmetiques liees a` linvariant modulaire. Ces resultats seront utilises auparagraphe 3 pour prouver le theore`me 1.

    2. Lemmes arithmetiques

    Verifions tout dabord lanalogue fonctionnel et necessaire du theore`me 1.

    Lemme 1. Les fonctions t et J(t) sont algebriquement independantes surC.

    Preuve. Soit P un polynome en deux variables tel que

    P (t; J(t)) = P(

    1eC(z)

    ; j(z))

    = 0:

  • 78 M. Ably et al.

    Un element z transcendant etant choisi, les eC(a(z)) sont distincts car :

    eC(a(z)) eC(a0(z)) = 0() z

    az + 1 z

    a0z + 1= b 2 Fq[T ]

    () (baa0 a0 + a)z2 + b(a + a0)z + b = 0 ;ce qui entrane que a = a0. Comme j est invariant sous laction deGL2(Fq[T ]) et celle des matrices

    a =(1 0a 1

    )

    avec a 2 Fq[T ], le polynome en X : P (X; j(z)) a une infinite de zeros etdonc est identiquement nul. De plus j est surjective donc prend une valeurtranscendante arbitraire et P est identiquement nul. ut

    Rappelons quelques proprietes des formes modulaires qui nous serontutiles dans la suite.Lemme 2. La C-alge`bre des formes modulaires de type 0 est lanneau depolynomes engendre par g et [Go]. La sous-alge`bre des formes ayantleurs coefficients dans Fq[T ] est engendree par g et convenablementnormalises. Les premiers termes du developpement en t de g et sontrespectivement 1 et tq1.

    Lanneau Fq[T ][g; ] est contenu dans lanneau des series formelles dutype

    f(t) = aj0

    mjt(q1)j

    ou` a 2 Fq[T ], mj 2 Fq[T ] et degmj j [Ge, Prop. 6.7].Dans le developpement de (resp. g), a = 1 (resp. a = T q T )

    convient.

    Remarque : On deduit des estimations de ce lemme que le rayon deconvergence de J(t) est superieur ou egal a` q1=(q1).

    Les fonctions automorphes de poids 0 sont comme dans le cas classique[L, Chap. 3 Par. 2] des fonctions meromorphes sur C k1 invariantessous laction de GL2(Fq[T ]). Le lemme suivant decrit le corps des fonctionsautomorphes.

    Lemme 3. Le corps des fonctions automorphes de poids 0 est C(j).Preuve. La preuve est similaire a` celle du cas standard, le fait que les formesmodulaires de poids 0 soient constantes resulte de [G-P]. ut

    Les lemmes suivants, bien connus, etablissent les proprietes arithme-tiques qui relient j(z) et j(az) pour a 2 Fq[T ].

  • Transcendance de linvariant modulaire 79

    Commencons par exhiber un syste`me de representants de B souslaction de GL2(Fq[T ]) ou` B designe pour B unitaire lensemble suiv-ant :

    B :={

    =(

    a bc d

    ); a; b; c; d 2 Fq[T ]; (a; b; c; d) = 1; det = B

    }:

    Prouvons tout dabord que toute matrice de B est dans la classe a` gauchedune matrice triangulaire superieure. Soient a; b; c; d les coefficients dunematrice de B . On choisit w et x dans Fq[T ] premiers entre eux tels quewa + xc = 0. Alors le theore`me de Bezout permet de prendre u et v telsque ux vw = 1. La matrice(

    u vw x

    ) (a bc d

    )

    est alors triangulaire superieure.Laction a` gauche de la matrice(

    1 0 1

    )

    et celle de Fq permettent de voir quun syste`me de representants est inclusdans

    B ={(

    a b0 d

    ); a; b; d 2 Fq[T ]; a unitaire;

    (a; b; d) = 1; deg b < deg d; ad = B}

    :

    Il est en fait facile de voir que deux elements distincts deB ne sont pasconjugues par laction de .

    Cherchons maintenant a` estimer (B) = Card B .

    Lemme 4. Posons :

    (e) := Card fx 2 Fq[T] ; x 6= 0; (e; x) = 1; deg x < deg eg :Alors, pour tout B unitaire

    (B) = jBj

    P irreductible, unitaireP jB

    (1 1jP j

    ):

    Nous en deduisons alors le cardinal cherche.

  • 80 M. Ably et al.

    Lemme 5.

    (B) = jBj

    P irreductible, unitaireP jB

    (1 +

    1jP j

    ):

    Donnons une majoration elementaire du cardinal In de lensemble despolynomes irreductibles unitaires de Fq[T ] de degre n :

    Lemme 6.

    In qn

    n+ 2qn=2 log2 n:

    Majorons maintenant (B):Lemme 7. Il existe un reel C > 0 tel que pour tout B 2 Fq[T ] unitaire :

    (B) CjBj log log jBj + C

    Preuve. Commencons par majorer le logarithme du produit :

    log

    P irreductible, unitaire

    P jB

    (1 +

    1jP j

    )

    P irreductible, unitaire

    P jB

    1jP j

    Estimons :

    P irreductible, unitaire

    jP j jBj

    1jP j =

    xlogq jBj

    degP x

    P irreductible, unitaire

    1jP j

    =

    xlogq jBj

    Ixqx

    Le lemme precedent nous donne :

    P irreductible, unitaire

    jP j jBj

    1jP j

    xlogq jBj

    1x+ 2qx=2 log2 x log log jBj+K

  • Transcendance de linvariant modulaire 81

    Donc: P irreductible, unitaire

    P jB

    1jP j

    P irreductible, unitairedegP [log log jBj]

    1jP j +

    P irreductible, unitaire

    P jB, degP [log log jBj]

    1jP j

    log log log jBj + K +degB

    x=[log log jBj]

    #fR 2 Fq[T ] ; degR = x; RjBgqx

    log log log jBj + K +degB

    x=[log log jBj]

    log jBjxqx

    :

    Le dernier terme est borne independamment de B. utPour montrer que j(z=B) est algebrique sur k(j(z)), nous etablirons

    quelques proprietes du polynome modulaire. Pour de la forme

    =(

    a bc d

    );

    avec (a; b; c; d) 2 Fq[T ], on notera

    (z) =az + bcz + d