Yves Jannot 1TRANSFERTS THERMIQUES 2003Yves JANNOT Table des matires Yves Jannot 1NOMENCLATURE.............................................................................................................................................. 4 1. GENERALITES SUR LES TRANSFERTS DE CHALEUR........................................................................ 5 1.1INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 5 1.2DEFINITIONS ................................................................................................................................................ 5 1.2.1Champ de temprature.................................................................................................................... 5 1.2.2Gradient de temprature ................................................................................................................. 5 1.2.3Flux de chaleur ............................................................................................................................... 5 1.3FORMULATION DUN PROBLEME DE TRANSFERT DE CHALEUR ..................................................................... 6 1.3.1Bilan dnergie................................................................................................................................ 6 1.3.2Expression des flux dnergie.......................................................................................................... 6 2TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION............................................................................... 9 2.1LEQUATION DE LA CHALEUR ...................................................................................................................... 9 2.2CONDUCTION EN REGIME PERMANENT....................................................................................................... 10 2.2.1Transfert unidirectionnel............................................................................................................... 10 2.2.2Transfert multidirectionnel ........................................................................................................... 15 2.3CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE EN REGIME VARIABLE SANS CHANGEMENT DETAT ............................ 18 2.3.1Milieu temprature uniforme...................................................................................................... 18 2.3.2Milieu semi-infini .......................................................................................................................... 19 2.3.3Transfert unidirectionnel dans des milieux limits : plaque, cylindre, sphre.............................. 27 2.3.4Systmes complexes : mthode des quadriples............................................................................ 38 2.4CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE EN REGIME VARIABLE AVEC CHANGEMENT DETAT............................ 43 2.4.1Temprature constante impose en surface .................................................................................. 43 2.4.2Fusion par contact avec un milieu semi-infini chaud.................................................................... 45 2.5CONDUCTION MULTIDIRECTIONNELLE EN REGIME VARIABLE .................................................................... 45 2.5.1Produit de solutions unidirectionnelles......................................................................................... 45 2.6LES AILETTES............................................................................................................................................. 46 2.6.1Lquation de la barre................................................................................................................... 46 2.6.2Flux extrait par une ailette............................................................................................................ 47 2.6.3Efficacit dune ailette .................................................................................................................. 50 2.6.4Choix des ailettes .......................................................................................................................... 51 3TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT......................................................................... 53 3.1GENERALITES. DEFINITIONS ...................................................................................................................... 53 3.1.1Nature du rayonnement ................................................................................................................. 53 3.1.2Dfinitions..................................................................................................................................... 54 3.2LOIS DU RAYONNEMENT ............................................................................................................................ 57 3.2.1Loi de Lambert .............................................................................................................................. 57 3.2.2Lois physiques ............................................................................................................................... 57 3.3RAYONNEMENT RECIPROQUE DE PLUSIEURS SURFACES ............................................................................. 60 3.3.1Radiosit et flux net perdu............................................................................................................. 60 3.3.2Facteur de forme gomtrique ...................................................................................................... 60 3.3.3Calcul des flux............................................................................................................................... 61 3.3.4Analogie lectrique ....................................................................................................................... 63 3.4EMISSIONET ABSORPTION DES GAZ........................................................................................................... 65 3.4.1Spectre dmission des gaz............................................................................................................ 65 3.4.2Facteur total dmission................................................................................................................ 65 3.4.3Echange thermique entre un gaz et une paroi............................................................................... 65 4TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION.............................................................................. 69 4.1RAPPELS SUR LANALYSE DIMENSIONNELLE.............................................................................................. 69 Transferts et changeurs de chaleur 24.1.1Dimensions fondamentales............................................................................................................ 69 4.1.2Principe de la mthode.................................................................................................................. 69 4.1.3Exemple dapplication................................................................................................................... 70 4.1.4Avantages de lutilisation des grandeurs rduites ........................................................................ 72 4.2CONVECTION SANS CHANGEMENT DETAT................................................................................................. 72 4.2.1Gnralits. Dfinitions ................................................................................................................ 72 4.2.2Expression du flux de chaleur ....................................................................................................... 73 4.2.3Calcul du flux de chaleur en convection force ............................................................................ 75 4.2.4Calcul du flux de chaleur en convection naturelle........................................................................ 76 4.3CONVECTION AVEC CHANGEMENT DETAT ................................................................................................ 77 4.3.1Condensation................................................................................................................................. 77 4.3.2Ebullition....................................................................................................................................... 81 5LES ECHANGEURS DE CHALEUR....................................................................................................... 85 5.1LES ECHANGEURS TUBULAIRES SIMPLES.................................................................................................... 85 5.1.1Gnralits. Dfinitions ................................................................................................................ 85 5.1.2Expression du flux chang........................................................................................................... 85 5.1.3Efficacit dun changeur ............................................................................................................. 90 5.1.4Nombre dunits de transfert......................................................................................................... 92 5.1.5Calcul dun changeur.................................................................................................................. 93 5.2LES ECHANGEURS A FAISCEAUX COMPLEXES............................................................................................. 94 5.2.1Gnralits .................................................................................................................................... 94 5.2.2Echangeur 1-2............................................................................................................................... 94 5.2.3Echangeur 2-4............................................................................................................................... 94 5.2.4Echangeur courants croiss ....................................................................................................... 95 5.2.5Echangeur plaques..................................................................................................................... 96 5.2.6Echangeurs frigorifiques............................................................................................................... 97 6METROLOGIE THERMIQUE.............................................................................................................. 101 6.1METHODE DU PLAN CHAUD POUR LA MESURE DE L'EFFUSIVITE THERMIQUE............................................ 101 6.1.1Principe de la mesure.................................................................................................................. 101 6.1.2Modlisation du plan chaud........................................................................................................ 101 6.1.3Estimation des paramtres .......................................................................................................... 102 6.1.4Ralisation pratique de la mesure............................................................................................... 104 6.2METHODE DU FIL CHAUD POUR LA MESURE DE LA CONDUCTIVITE THERMIQUE ....................................... 104 6.2.1Principe de la mesure.................................................................................................................. 104 6.2.2Modlisation du fil chaud............................................................................................................ 105 6.2.3Estimation des paramtres .......................................................................................................... 106 6.2.4Ralisation pratique de la mesure............................................................................................... 108 BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................................................ 110 ANNEXES ......................................................................................................................................................... 112 A.1.1 : PROPRIETES PHYSIQUES DE CERTAINS CORPS ........................................................................................... 113 A.1.1 : PROPRIETES PHYSIQUES DE LAIR ET DE LEAU ........................................................................................ 114 A.2.1 : VALEUR DU COEFFICIENT DE FORME DE CONDUCTION ............................................................................. 115 A.2.2 : PRINCIPALES TRANSFORMATIONS INTEGRALES : LAPLACE, FOURIER, HANKEL....................................... 116 A.2.3 : TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE ................................................................................................ 118 A.2.4 : CHOIX DES TRANSFORMATIONS INTEGRALES POUR DIFFERENTES CONFIGURATIONS................................ 120 A.2.5 : EQUATIONS ET FONCTIONS DE BESSEL..................................................................................................... 122 A.2.6. : VALEUR DE LA FONCTION ERF................................................................................................................. 124 A.2.7 : MILIEU SEMI-INFINI AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE............................................................... 124 A.2.8 : PLAQUE AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE................................................................................. 125 Table des matires Yves Jannot 3A.2.9 : CYLINDRE INFINI AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE................................................................... 126 A.2.10 : SPHERE AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE................................................................................ 127 A.2.11 : MATRICES QUADRIPOLAIRES POUR DIFFERENTES CONFIGURATIONS ...................................................... 128 A.2.10 : EFFICACITE DES AILETTES...................................................................................................................... 130 A.3.1 : EMISSIVITE DE CERTAINS CORPS .............................................................................................................. 131 A.3.2 : FRACTION DENERGIE F0-T RAYONNEE PAR UN CORPS NOIR ENTRE 0 ET ............................................. 132 A.3.3 : FACTEURS DE FORME GEOMETRIQUE DE RAYONNEMENT ......................................................................... 133 A.3.4 : EMISSIVITE DU CO2 ET DE LA VAPEUR DEAU .......................................................................................... 137 A.3.5 : EPAISSEURS DE GAZ EQUIVALENTES VIS-A-VIS DU RAYONNEMENT.......................................................... 139 A.4.1 : CORRELATIONS POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS DE TRANSFERT EN CONVECTION FORCEE................ 140 A.4.2 : CORRELATIONS POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS DE TRANSFERT EN CONVECTION NATURELLE......... 142 A.5.1 : ABAQUES NUT = F() POUR LES ECHANGEURS........................................................................................ 143 A.6.1 :PLAN CHAUD : EXEMPLES DE THERMOGRAMMES EXPERIMENTAUX......................................................... 144 A.6.2 :CODE MATLAB POUR LEXPLOITATION DUNE MESURE PLAN CHAUD ............................................. 145 A.6.3 :FIL CHAUD : EXEMPLES DE THERMOGRAMMES EXPERIMENTAUX............................................................. 147 A.6.4 :CODE MATLAB POUR LEXPLOITATION DUNE MESURE FIL CHAUD ................................................ 148 7EXERCICES ............................................................................................................................................. 150 TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION ........................................................................................................ 150 TRANSFERT DE CHALEUR PAR RAYONNEMENT..................................................................................................... 152 TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION......................................................................................................... 153 LES ECHANGEURS DE CHALEUR ........................................................................................................................... 155 Transferts et changeurs de chaleur 4NOMENCLATURE aDiffusivit thermique cCapacit calorifique DDiamtre eEpaisseur EEffusivit thermique fFacteur de forme de rayonnement gAcclration de la pesanteur hCoefficient de transfert de chaleur par convection HChaleur latente de changement de phase JRadiosit LLongueur, Luminance mDbit massique MEmittance NUTNombre dunits de transfertQQuantit de chaleur qcDbit calorifique r, RRayon RcRsistance de contact RtRsistance thermique SSurface tTemps TTemprature uVitesse VVolume x, y, zVariables despace Lettres grecques Coefficient dabsorption du rayonnement Coefficient de dilatation cubique Emissivit Densit de flux de chaleur Transforme de Laplace du flux de chaleur Flux de chaleur Conductivit thermique, longueur donde Viscosit dynamique Viscosit cinmatique Rendement ou efficacit Angle solide Coefficient de rflexion du rayonnement Constante de Stephan-Boltzmann Coefficient de transmission du rayonnement Transforme de Laplace de la temprature . Gnralits sur les transferts de chaleur Yves Jannot 51. GENERALITES SUR LES TRANSFERTS DE CHALEUR 1.1Introduction Lathermodynamiquepermetdeprvoirlaquantittotalednergiequunsystmedoitchangeravec lextrieur pour passer dun tat dquilibre un autre. Lathermique(outhermocintique)seproposededcrirequantitativement(danslespaceetdansletemps) lvolution des grandeurs caractristiques du systme, en particulier la temprature, entre ltat dquilibre initial et ltat dquilibre final. 1.2Dfinitions 1.2.1Champ de temprature Lestransfertsdnergiesontdterminspartirdelvolutiondanslespaceetdansletempsdela temprature :T=f(x,y,z,t).Lavaleurinstantanedelatempratureentoutpointdelespaceestunscalaire appel champ de temprature. Nous distinguerons deux cas : -Champ de temprature indpendant du temps : le rgime est dit permanent ou stationnaire. -Evolution du champ de temprature avec le temps : le rgime est dit variable ou instationnaire. 1.2.2Gradient de temprature Silonrunittouslespointsdelespacequiontlammetemprature,onobtientunesurfaceditesurface isotherme.Lavariationdetempratureparunitdelongueurestmaximalelelongdelanormalelasurface isotherme. Cette variation est caractrise par le gradient de temprature :

Avec :n vecteur unitaire de la normale nTdrive de la temprature le long de la normale. 1.2.3Flux de chaleur Lachaleurscoulesouslinfluencedungradientdetempratureparconductiondeshautesverslesbasses tempratures. La quantit de chaleur transmise par unit de temps et par unit daire de la surface isotherme est appele densit de flux de chaleur : o S est laire de la surface (m2). On appelle flux de chaleur la quantit de chaleur transmise sur la surface S par unit de temps :

dtdQ= (W)(1.3) dtdQS1= (W m-2)(1.2) ( )nTn T grad=(1.1) Isotherme T0 ( ) T grad Transferts et changeurs de chaleur 61.3Formulation dun problme de transfert de chaleur 1.3.1Bilan dnergie Il faut tout dabord dfinir un systme (S) par ses limites dans lespace et il faut ensuite tablir linventaire des diffrents flux de chaleur qui influent sur ltat du systme et qui peuvent tre : On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour tablir le bilan dnergie du systme (S) : 1.3.2Expression des flux dnergie Ilfautmaintenanttablirlesexpressionsdesdiffrentsfluxdnergie.Enreportantcesexpressionsdansle bilandnergie,nousobtiendronslquationdiffrentielledontlarsolutionpermettradeconnatrelvolution de la temprature en chaque point du systme. 1.3.2.1Conduction Cest le transfert de chaleur au sein dun milieu opaque, sans dplacement de matire, sous linfluence dune diffrence de temprature. La propagation de la chaleur par conduction lintrieur dun corps seffectue selon deux mcanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molcules et une transmission par les lectrons libres. LathoriedelaconductionreposesurlhypothsedeFourier :ladensitdefluxestproportionnelleau gradient de temprature : ou sous forme algbrique : avec :Flux de chaleur transmis par conduction (W) Conductivit thermique du milieu (W m-1 C-1) xVariable despace dans la direction du flux(m) SAire de la section de passage du flux de chaleur (m2) (S) st g es st flux de chaleur stock gflux de chaleur gnr eflux de chaleur entrant sflux de chaleur sortant dans lesystme (S) st s g e + = + (W) (1.4) ( ) T grad = (1.5) xTS = (W)(1.6) x ST1 T2 T1 > T2 xTS = Gnralits sur les transferts de chaleur Yves Jannot 7On trouvera dans le tableau ci-aprs les valeurs de la conductivit thermique de certains matriaux parmi les plus courants. Un tableau plus complet est donn en annexe A.1.1. Matriau(W m-1 C-1)Matriau(W m-1 C-1) Argent419Pltre0,48 Cuivre386Amiante0,16 Aluminium204Coton0,059 Acier doux45Lige0,044-0,049 Acier inox14,9Laine de roche0,038-0,041 Glace1,88Laine de verre0,035-0,051 Bton1,4Polystyrne expans0,036-0,047 Bois(feuillu-rsineux)0,12-0,23Polyurthane (mousse)0,030-0,045 Brique terre cuite1,1Polystyrne extrud0,027 Verre0,78Air0,026 1.3.2.2Convection Cestletransfertdechaleur entre unsolideetun fluide,lnergietant transmisepar dplacementdufluide. Ce mcanisme de transfert est rgi par la loi de Newton : Avec :Flux de chaleur transmis par convection (W) hCoefficient de transfert de chaleur par convection(W m-2 C-1) TpTemprature de surface du solide(C) TTemprature du fluide loin de la surface du solide(C) SAire de la surface de contact solide/fluide(m2) Remarque : La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide, desatemprature,desavitesseetdescaractristiquesgomtriquesdelasurfacedecontact solide/fluide. 1.3.2.3Rayonnement Cest un transfert dnergie lectromagntique entre deux surfaces (mme dans le vide). Dans les problmes de conduction,onprendencomptelerayonnemententreunsolideetlemilieuenvironnantetdanscecasnous avons la relation : Avec :Flux de chaleur transmis par rayonnement(W) Constante de Stephan(5,67.10-8 W m-2 K-4) pFacteur dmission de la surface TpTemprature de la surface (K) T Temprature du milieu environnant la surface(K) SAire de la surface(m2) ( ) = T T S hp(W)(1.7)( )4 4p pT T S = (W)(1.8) S Fluide T Tp S Milieu environnant T Tp Transferts et changeurs de chaleur 81.3.2.4Stockage dnergie Le stockage dnergie dans un corps correspond une augmentation de son nergie interne au cours du temps do ( pression constante) : Avec :st Flux de chaleur stock(W) Masse volumique(kg m-3) VVolume (m3) cChaleur massique(J kg-1 C-1) TTemprature (C) tTemps(s) , V et c sont supposs constants, le produit V c est appel la capacitance thermique du corps. 1.3.2.5Gnration dnergie Elle intervient lorsquune autre forme dnergie (chimique, lectrique, mcanique, nuclaire) est convertie en nergie thermique. Nous pouvons lcrire sous la forme : Avec :gFlux dnergie thermique gnre(W) q Densit volumique dnergie gnre(W m-3) VVolume (m3) (W) (1.9) V qg= (W)(1.10)tTc Vst= Transfert de chaleur par conduction Yves Jannot 92TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION 2.1Lquation de la chaleur Danssaformemonodimensionnelle,elledcritletransfertdechaleurunidirectionnelautraversdunmur plan : Considrons un systme dpaisseur dx dans la direction x et de section daire S normalement la direction Ox. Le bilan dnergie sur ce systme scrit : st dx x gx + = + + Avec : xxxTS |.|

\| = dx S qg= dx xdx xxTS ++|.|

\| = tTdx S cst= En reportant dans le bilan dnergie et en divisant par dx nous obtenons : tTS c S qdxxTS xTS x dx x= +|.|

\| |.|

\|+soit : tTS c S qxTS x = + |.|

\| et dans le cas tridimensionnel,nous obtenons lquation de la chaleur dans le cas le plus gnral : Cette quation peut se simplifier dans un certain nombre de cas : a)Si le milieu est isotrope : x = y = z b)Sil ny a pas de gnration dnergie lintrieur du systme :0 q = c)Si le milieu est homogne, nest fonction que de T. Les hypothses a) + b) +c)permettent dcrire : tTc zTyTdTdzTyTxT222222222=(((

|.|

\|+||.|

\|+ |.|

\|+||.|

\|++xT (2.1)tTc qzTz yTy xTxz y x= + |.|

\|+||.|

\|+ |.|

\|L x eg st x x+dx Le0x + dxTransferts et changeurs de chaleur 10d) Si de plus est constant (cart modr de temprature), nous obtenons lquation de Poisson : Le rapportc a =est appel la diffusivit thermique. e) En rgime permanent, nous obtenons lquation de Laplace : Par ailleurs, les hypothses a), c) et d) permettent dcrire : -Equation de la chaleur en coordonnes cylindriques : Dans le cas dun problme symtrie cylindrique o la temprature ne dpend que de r et de t, lquation (2.4) peut scrire sous forme simplifie : tTa1qrTrr r1= +||.|

\| -Equation de la chaleur en coordonnes sphriques : 2.2Conduction en rgime permanent 2.2.1Transfert unidirectionnel 2.2.1.1Mur simple Onseplaceradanslecasolcoulementestunidirectionneletquilnyapasdegnrationnidestockage dnergie. On considre un mur dpaisseur e, de conductivit thermique , et de grandes dimensions transversales dont les faces extrmes sont des tempratures T1 et T2 : tTT a2= (2.2) 0 T2= (2.3) tTa1qzTTr1rTr1rT22222 22= ++++( )tTa1qT sin r1T sin sin r1rT rr1222 2 2 22= + +|.|

\|+ (2.5) (2.4) 0 x e T1 T2 x x+dx Section transversale S x + dx Transfert de chaleur par conduction Yves Jannot 11( )eT T 2 1 = Eneffectuantunbilanthermiquesurlesystme(S)constituparlatranchedemurcompriseentreles abscissesx et x + dx il vient : dx x xdxdTS dxdTS dx x x+|.|

\| = |.|

\| + = doAdxdT= et T(x) = A x+ B Avec les conditions aux limites :T (x = 0)= T1 etT (x = e)= T2 do : Leprofildetempratureestdonclinaire.Ladensitdefluxdechaleurtraversantlemursendduitparla relation : dxdT = , do : La relation (2.7) peut galement se mettre sous la forme : ( )S eT T2 1 = , cette relation est analogue la loi dOhm en lectricit qui dfinit lintensit du courant comme le rapport de la diffrence de potentiel lectrique sur la rsistance lectrique. La temprature apparait ainsi comme un potentiel thermique et le terme S eapparait comme la rsistance thermique dun mur plan dpaisseur e, de conductivit thermique et de surface latrale S, on a donc le schma quivalent suivant : 2.2.1.2Mur multicouches Cest le cas des murs rels constitus de plusieurs couches de matriaux diffrents et o le ne connat que les tempratures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latrale S : ( )2 1 1T TexT T =(C)(2.6) (W m-2)(2.7) T2 T1 S eR =Tf2 Fluide 1 Fluide 2 T1 T3A eA eB eC T4 convection coefficient h1 convection coefficient h2 T2B A CT3Tf1 Transferts et changeurs de chaleur 12 En rgime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traverse du mur et scrit : ( )( ) ( ) ( )( )f2 4 2C' 3 CB3 2 BA2 1 A1 f1 1T T S heT T S eT T S eT T S T T S h ==== = do : Nous avons considr que les contacts entre les couches de diffrentes natures taient parfaits et quil nexistait pasdediscontinuitdetempratureauxinterfaces.Enralit,compte-tenudelarugositdessurfaces,une micro-couche dair existe entre les creux des surfaces en regard et cr une rsistance thermique R (lair est un isolant ) appele rsistance thermique de contact. La formule prcdente scrit alors : Le schma lectrique quivalent est le suivant : Remarques : -Une rsistance thermique ne peut tre dfinie quentre deux surfaces isothermes. -Cette rsistance thermique de contact est nglige si le mur comporte une paroi isolante ou si les parois sont jointes par soudure. 2.2.1.3Mur composite Cest le cas le plus couramment rencontr dans la ralit o les parois ne sont pas isotropes. Considrons titre dexemple un mur de largeur L constitu dagglomrs creux : Ensupposantletransfertunidirectionneletentenantcomptedesaxesdesymtrie,onpeutseramenerau calcul du flux travers llment isol sur la droite de la figure et calculer la rsistance thermique R quivalente (W m-2)(2.9) e1 e2e3 1 2 3 Milieu 2 Milieu 1 Convectionh1 Convectionh2Mur en agglomr creux Tf2 Tf1 S h11S h12RAB RBC SeAA SeBB S eCCS h1S eS eS eS h1T T2 CCBBAA1f2 f1+ + + += (W m-2)(2.8) S h1S eRS eRS eS h1T T2 CCBCBBABAA1f2 f1+ + + + + += Transfert de chaleur par conduction Yves Jannot 13dune portion de mur de largeur L et de hauteur = 1 + 2 + 3 en utilisant les lois dassociation des rsistances en srie et en parallle par la relation : 7 65 3 32 1R RR1R1R11R R R + ++ ++ + = avec : L h1R ;L eR ;L eR ;L eR ;L eR ;L eR ;L h1R271363 2252 1241 22311211l l l l l l l= = = = = = = selon le schma lectrique quivalent suivant : 2.2.1.4Cylindre creux long (tube) On considre un cylindre creux de conductivit thermique , de rayon intrieur r1, de rayon extrieur r2,de longueurL,lestempraturesdesfacesinternesetexternestantrespectivementT1etT2.Onsupposequele gradient longitudinal de temprature est ngligeable devant le gradient radial. Effectuonslebilanthermiquedusystmeconstituparlapartiedecylindrecompriseentrelesrayonsret r + dr : dr r r + = avec rrdrdTL r 2 |.|

\| = et( )dr rdrrdrdTL dr r 2++|.|

\|+ = soit ( )dr r rdrdTL dr r 2drdTL r 2+|.|

\|+ = |.|

\| doCdrdTr = Avec les conditions aux limites : T(r1) = T1 etT(r2) = T2

Do : Et par application de la relationdrdTr 2 = , on obtient : ( )||.|

\||.|

\|+||.|

\|=122112rrlnrrln Trrln Tr T(C)(2.10) (W)(2.11) ( )||.|

\|= 122 1rrlnT T L 2R1R2 R5 R4 R3 R6R7 dr r +rr r+dr Transferts et changeurs de chaleur 14 Cette relation peut aussi tre mise sous la forme : L 2rrlnR avecRT T1212122 1||.|

\|== et tre reprsente par le schma lectrique quivalent suivant : 2.2.1.5Cylindre creux multicouches Cest le cas pratique dun tube recouvert dune ou plusieurs couches de matriaux diffrents et o le ne connat que les tempratures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les faces interne et externe du cylindre ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes : En rgime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traverse des diffrentes couches et scrit : ( )( ) ( )( )f2 3 3 2233 2 B122 1 A1 f1 1 1T T L r 2 hrrlnT T L 2rrlnT T L 2T T L r 2 h =||.|

\|=||.|

\|= = do : ce qui peut tre reprsent par le schma lectrique quivalent suivant : L r 2 h1L 2rrlnL 2rrlnL r 2 h1T T3 2 B23A121 1f2 f1+||.|

\|+||.|

\|+= (W m-1) (2.12) T2 T1 L 2rrlnR1212||.|

\|= Tf2 Tf1 L r 2 h11 1 L 2rrlnA12||.|

\|L 2rrlnB23||.|

\|L r 2 h12 2 r1r2 r3Tf1 T3 Tf2 Fluide 1 Fluide 2 B A T2 h1 h2 T1 Transfert de chaleur par conduction Yves Jannot 152.2.2Transfert multidirectionnel Danslecasolapropagationdelachaleurneseffectuepasselonunedirectionunique,deuxmthodesde rsolution peuvent tre appliques : 2.2.2.1Mthode du coefficient de forme Dans les systmes bi- ou tridimensionnels o ninterviennent que deux tempratures limites T1 et T2, on montre que le flux de chaleur peut se mettre sous la forme : Avec :Conductivit thermique du milieu sparant les surfaces S1 et S2(W m-1 C-1) T1Temprature de la surface S1(C) T2Temprature de la surface S2(C) FCoefficient de forme(m) LecoefficientdeformeFnedpendquedelaforme,desdimensionsetdelapositionrelativedesdeux surfaces S1 et S2. Les valeurs de F pour les configurations les plus courantes sont prsentes en annexe A.2.1. Cas particulier : Enceinte tridimensionnelle ( four, chambre froide, pice climatise...) Mthode : on dcoupe lenceinte en diffrents lments et on calcule le flux traversant chacun deux : Si les dimensions longitudinales sont grandes devant lpaisseur e des parois (suppose constante) nous avons les relations : Fparoi i = Si/Di Fbord i = 0,54 Di Fcoin i= 0,15 Li Avec : Si : Aire de la paroi i Di :Longueur de la paroi ou du bord i Li :Epaisseur des parois Le flux de chaleur traversant lenceinte scrit alors : = = = + + = 81 ii coin i i121 ibord i61 ii paroi iT F T F T Fi i i Avec ::Conductivit thermique (quivalente si paroi multicouche) ) de la paroii(W m-1 C-1) :Diffrence de temprature entre les faces intrieure et extrieure de la paroi i(C) (W)(2.13) ( )2 1T T F = Transferts et changeurs de chaleur 162.2.2.2Mthodes numriques Expression de lquation de Laplace en diffrences finies Danslecasolamthodeducoefficientdeformenepeutpassappliquer(surfacesnonisothermespar exemple), il faut rsoudre lquation de Laplace numriquement. On utilise une mthode aux diffrences finies en discrtisant le domaine considr (espace ou plan). Nous traiterons dans ce qui suit le cas bidimensionnel, le cas tridimensionnel sen dduit en rajoutant simplement une dimension despace. Considrons un milieu plan sur lequel on a appliqu un maillage de pas x et y tel que reprsent sur la figure ci-aprs : Les drives partielles de la temprature T peuvent sexprimer selon les formules suivantes : ( ) ( )xj , i T j , 1 i Tj ,21ixT + |.|

\|+ ;( ) ( )xj , 1 i T j , i Tj ,21ixT |.|

\| ( ) ( )yj , i T 1 j , i T21j , ixT + |.|

\|+ ;( ) ( )y1 j , i T j , i T21j , ixT |.|

\| ( )( ) ( ) ( )( )2 22xj , i T 2 j , 1 i T j , 1 i Txj ,21ixTj ,21ixTj , ixT + +=|.|

\| |.|

\|+ ( )( ) ( ) ( )( )2 22yj , i T 2 1 j , i T 1 j , i Ty21j , iyT21j , iyTj , iyT + +=|.|

\| |.|

\|+ Lquation de Laplace en bidimensionnel :0yTxT2222=+ scrit alors : ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )0yj , i T 2 1 j , i T 1 j , i Txj , i T 2 j , 1 i T j , 1 i T2 2= + ++ + + Et si lon choisit x = y , on obtient : Expression des conditions aux limites en diffrences finies Les conditions aux limites imposant sur un bord une temprature de surface sexpriment simplement en fixant la valeur de la temprature T(i,j) la valeur impose pour tout couple (i,j) reprsentant un point de ce bord. Les conditions aux limites avec transfert convectif ou flux impos sexpriment de la manire suivante : ( )( ) ( ) ( ) ( )41 j , i T 1 j , i T j , 1 i T j , 1 i Tj , i T+ + + + + =i,j+1 i,j i,j-1 i-1,ji+1,j xx y y (2.14)Transfert de chaleur par conduction Yves Jannot 17Bord rectiligne Unbilanthermiqueappliqulasurfacegrise(rectangledectsx/2etx)conduitaursultatsuivant compte-tenu des formules tablies prcdemment : Flux linique impos (en W.m-1) : ( )( ) ( ) ( ) + ++=2 41 j , i T 1 j , i T2j , 1 i Tj , i TCoefficient de convection impos : ( )( )( ) ( )Bi 2T Bi21 j , i T 1 j , i Tj , 1 i Tj , i T++ + ++ = o =x hBi est le nombre de Biot Coin extrieur Unbilanthermiqueappliqulasurfacegriseconduitaursultat suivant compte-tenu des formules tablies prcdemment : Flux linique impos (en W.m-1):( )( ) ( ) + =2 41 j , i T j , 1 i Tj , i TCoefficient de convection impos : ( )( ) ( )Bi 1T Bi21 j , i T j , 1 i Tj , i T++ + = Coin intrieur Un bilan thermique appliqu la surface grise conduit au rsultat suivant compte-tenu des formules tablies prcdemment : Flux linique impos (en W.m-1): ( )( ) ( ) ( ) + ++=2 41 j , i T 1 j , i T2j , 1 i Tj , i TCoefficient de convection impos : ( )( ) ( )( ) ( )Bi 3T Bi21 j , i T j , 1 i T1 j , i T j , 1 i Tj , i T++ + ++ + + = Mthode de rsolution numrique Soit rsoudre lquation de Laplace sur un domaine plan (D) limit par un contour (C).On ralise un maillage du systme avec un pas x en gnral identique dans les deux directions du plan. On affecte chaque point du domaine (D) une valeur initiale de la temprature : -Egale la temprature impose sur les points du contour o la condition limite impose une temprature. i-1,j x i,j+1 i,j-1 x x 1 3 2 i,j x x i,ji+1,j i,j+1 i-1,j i,j-1 i,j-1 x x i-1,j i,j x3 2 1ou TpT x h3 2 1 = + + |.|

\| = + + Transferts et changeurs de chaleur 18-Arbitraire ailleurs mais la plus raliste possible. LarsolutionseffectueparlamthodeitrativedeGauss-Siedel.Oneffectuedesitrationssuccessives consistantremplacerlavaleurdelatempratureenchaquenuddumaillageparlavaleurcalculepar lquation aux diffrences finies qui lui est associe. Une itration consiste effectuer un balayage complet de tous les noeuds, ligne aprs ligne et de gauche droite pour chaque ligne par exemple. Les valeurs recalcules sontimmdiatementprisesencomptepourlecalculdelavaleurdelatempratureTauxpointsdordre suprieurs (points situs droite et en-dessous dans le mode de balayage propos). Critre de convergence : On peut par exemple arrter le calcul ds quela variation la plus grande de T(i,j) au cours dune itration reste infrieure une valeur donne. Remarques : -On napplique aucun calcul sur les points du contour o la temprature est impose. -La valeur de la temprature sera range dans un tableau T(i,j), on pourra utiliser un autre tableau L(i,j) dont les valeurs indiqueront si le point de coordonnes (ix, jy) appartient au domaine (D) et le type dquation aux diffrences finies qui sy applique. -On peut acclrer la convergence en appliquant un coefficient de surrelaxation R (1 < R t0 ) au fil chauffant et on relve lvolution de la temprature T0(t) de ce fil. Pendant le temps o la perturbation na pas atteint les autres faces c'est--dire o lhypothse du milieu semi-infini est valide, on peut considrer que le transfert au centre de lchantillon autour du fil est radial. La modlisation de ce transfert de chaleur permet de calculer lvolution de la temprature au centre de lchantillon.On applique une mthode destimation de paramtres pour calculer les valeurs de : -La conductivit thermique ,-La capacitance thermique (mc)s de lensemble sonde + rsistance chauffante,-La rsistance de contact Rc linterface sonde/chantillon, Mtrologie thermique Yves Jannot 105 qui minimisent lcart entre les courbes T0(t) thoriques et exprimentales. Figure 6.3 : Schma du montage de la mthode du fil chaud. 6.2.2Modlisation du fil chaud Le voisinage du fil chauffant peut tre schmatis de la manire suivante : Lamodlisationdusystmelaideduformalismedesquadriples(cf.2.3.4etannexeA.2.9)permet dcrire : ( )( )( )( )( )( )apq avecr q Kr q Kr q L 21 0Rc 1r q Ir q I2r qp L r cp L r c1r q Ir q Ir q L 211p0 00 100 10 0 0 20200 10 0000=(((

((

(((((

=((((

o : 0Transforme de Laplace de la diffrence T0(t) T0(t=0) Transforme de Laplace de la diffrence T (t) T0(t=0) RcRsistance de contact linterface rsistance chauffante / chantillon cCapacit calorifique du thermocouple+rsistance Conductivit thermique de lchantillon aDiffusivit thermique de lchantillon pVariable de Laplace r0 Rayon du fil chauffant LLongueur du fil chauffant 0Puissance dissipe dans la rsistance chauffante I0, I1, K0, K1Fonctions de Bessel do : ( )( )( )( )0 10 0 0020 0 20 0 10 000 0r q Ir q I2r qD ; p L r c C ;p L r c1r q Ir q Ir q L 21B ; 1 A avec = = = = (6.4) Echantillon Fil chauffant Thermocouple T0(t) Fil chauffant : rayonr0, temprature T0(t) Rsistance de contact Rc Echantillon = cylindre creux rayon intrieur r0, rayon extrieur infini Temprature T(t) ( )( ) Z / D Rc C CZ / B Rc A Ap0 0 00 0 0 00+ ++ + = Transferts et changeurs de chaleur 106( )( )0 00 10r q Kr q Kr q L 2Z1 = Les paramtres inconnus dterminer exprimentalement sont :-La conductivit thermique de lchantillon, -La rsistance thermique de contact Rc entre la sonde et lchantillon, -La capacitance thermique (mc)s de la sonde. 6.2.3Estimation des paramtres Choix de lintervalle de temps pour lestimation Le premier problme consiste connatre le temps t de chauffage pendant lequel lhypothse du milieu semi-infiniestvalide.OncalculepourcelalvolutiondelatempratureTe(t)surunrayongallpaisseurde lchantillon(r=e)laidedesparamtresestimssuruntempstarbitraire.SilatempratureTe(t)calcule diffre de la temprature initiale Te(0) de plus de 0,1C on reprend le calcul destimation des paramtres sur un temps plus court. Le calcul de la temprature Te(t) seffectue en dcrivant le problme laide du formalisme des quadriples : ( )( )((

((

((

((

=((((

eeD CB A1 0Rc 1D BC Ap0 00 000 o : ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | | e q I r q K r q I e q K r q Dr q I e q K e q I r q K e r p c L 2 Cr q I e q K e q I r q KL 21Br q K e q I r q I e q K e q A0 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1+ = ==+ =avecapq = Etant donn que lon cherche simplement estimer le temps pendant lequel le milieu reste semi-infini, on peut secontenterdelefairedanslecassimple(etleplusdfavorable)ola rsistancedecontactetlacapacitance thermique de lensemble sonde + rsistance chauffante sont nulles et o le rayon de la sonde r0 est trs faible. La relation prcdente scrit alors : ( )( )((

((

=((((

eeD CB Ap00 avec ( )( )Zppee= pendantletempsolemilieuestsemi-infini,cetteformuleestdoncvalabletoutle temps que la temprature e n'a pas vari. Elle peut donc tre utilise pour dterminer (en utilisant la mthode de Stehfest) l'instant partir duquel e va commencer varier mais ne permettra pas de dterminer l'volution de Te aprs cet instant. On aboutit finalement : Avec les valeurs suivantes : (6.5)( )pZDCp 0e|.|

\|+=Mtrologie thermique Yves Jannot 107

( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |( )( )0 00 100 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0r q Kr q Kr q L 2Z1e q I r q K r q I e q K r q Dr q I e q K e q I r q K e r p c L 2 C =+ = = e est calculable en appliquantla mthode de Stehfest la formule (6.5). Exemple : Dtermination de la conductivit thermique dun carbure laide dun fil chaud de longueur 5 cm dlivrant un flux gal 3,03 W. Les figure 6.4 et 6.5 reprsententle graphe de la temprature exprimentale T0 obtenue avec unchantillondpaisseur2,5cm,celle-citantenregistretoutesles0,05s.Onafaitfigurersurcemme graphe : -LatempratureTedelafacenon-chauffecalculeparlaformule(2)enprenantcommevaleurde leffusivit thermiqueE = 5000 SI.-La temprature T0ccalcule par un modle simplifi aux temps longs aprs estimation de la conductivit thermique par rgression linaire de la courbe T0(t) =f[ln(t)] entre les temps t1 et t2(dtail ci-aprs). Lafigure6.4corresponduneestimationentre20et80sconduisantunevaleur=10,1W.m-1.C-1.La figure 6.5 correspond une estimation entre 2 et 20s conduisant une valeur = 19,7 W.m-1.C-1. Le graphe de latempratureTe(t)calculeainsiquelaforme delacourbeexprimentaleT0(t)quisubitunemodificationde pente t = 20s nous montre que la premire estimation de (entre 20 et 80s) nest pas valide car elle est ralise sur des temps o lhypothse du milieu semi-infini nest plus valable (la perturbation a atteint lautre face). La valeurde obtenueparrgressionlinaireentre2et20sestquantelleobtenuedansdesconditions satisfaisantes :zonedelinaritdelacourbeT0(t)=f[ln(t)]ettempraturedelafacenonchauffeconstante. Lincertitudesurcetteestimationprovientprincipalementdelincertitudesurlatemprature :lestimationest ralisesurunelvationdetempraturedelordrede1Calorsquelincertitudesurlatempratureestde lordrede0,2C.Cecimontreleslimitesdelamthodedufilchaudpourlestimationdesconductivits thermiques leves. Estimation simplifie aux temps longsLa temprature du fil scrit dans lespace de Laplace :( )( ) Z / D Rc C CZ / B Rc A Ap0 0 00 0 0 00+ ++ + = ( )( )( )( )( )( )0 00 100 10 0 0020 0200 10 000 0r q Kr q Kr q L 2Z1r q Ir q I2r qD ; p L r c C ;p L r c1r q Ir q Ir q L 21B ; 1 A avec == = = = 10-1100101024681012Carburet(s)Temprature (C)10-110010105101520Carburet(s)Temprature (C)T0 T0 TeTe T0c T0c Figure 6.4 : Thermogramme fil chaud pour un carbure, estimation entre 20 et 80s. Figure 6.5 : Thermogramme fil chaud pour un carbure, estimation entre 2 et 20s. estim = 10,1 W.m-1.C-1 estim = 19,7 W.m-1.C-1 Transferts et changeurs de chaleur 108Silonconsidreunfilfin(r0petit)etsilonseplaceauxtempslongs(p0),nouspouvonsutiliserles dveloppements limits des fonctions de Bessel au voisinage de 0 : K0(x) - ln(x);K1(x) 1/x;I0(x) 1 ;I1(x) x/2 Qui conduisent ( )0020 0 0 0r q lnL 2Z1; 1 D ; p L r c C ; 0 B ; 1 A = = = = =On en dduit :( )( )( )|||||.|

\|+ ||.|

\| ||||||.|

\|+ ||.|

\| ++ ++ = c00c00c0cc 00RL 4arlnL 4p lnpRL 2apr lnpR Zp 1 Z R p c mR Zp LutilisationdestablesdelatransformedeLaplaceinverse(cf.annexeA.2.3)permetdecalculerla temprature T0(t) aux temps longs : ( ) ( ) ( )L 2arlnL 4Rc t lnL 40 T t T000000 0 ||.|

\| + o = 0,57721 est la constante dEuler. soit finalement: LetracdeT0(t)T0(t=0)enfonctiondeln(t)estdoncunedroitedepente L 40 dontladtermination permet de calculer la conductivit thermique . Linertie de la sonde et la rsistance de contact ninfluent pas sur la temprature aux temps longs. Pour appliquer cette mthode destimation, il faut sassurer que lhypothse du milieusemi-infinirestevalablesurlintervalledestimationchoisi.Lesbruitsdemesuresurlesvaleursdes tempratures aux diffrents temps de mesure tant constants et non corrls, on utilise la mthode des moindres carrs linaires pour estimer la pente. 6.2.4Ralisation pratique de la mesure Cette mthode de mesure de la conductivit thermique peut tre applique aussi bien pour les solides que pour les liquides (voire les gaz). Dans le cas des solides indformables, le fil chauffant est insr entre deux feuilles plastiques trs minces. Un thermocouple plat est insr dans une feuille plastique au centre du fil chauffant. Dans lecasdessolidespulvrulents(grains,poudres),lefilchauffantestplacaveclethermocoupledansun cylindredetrspetitdiamtre.Cecylindreestinsrdanslematriaucaractriseravantdedmarrerle chauffage et lacquisition de la temprature. Ces montages permettent dobtenir un profil linaire pour la courbe( ) | | t ln f T0=et dvaluer ensuite avec une bonneprcisionlavaleurdelaconductivitthermique.Laprincipalesourcedincertitudeestlavaleurdela densit linique de flux de chaleur L0, la mesure de la puissance lectrique est prcise, mais il faut utiliser une longueur de chauffe suffisante pour diminuer lincertitude sur S. La mise en uvre de la mthode ncessite en outre une alimentation stabilise et un dispositif denregistrement delatensiondlivreauxbornesduthermocouple.Unenregistrementdunedurede120secondesaprsle dbutduchauffageestengnralsuffisantpourdterminerlaconductivitthermique avecunebonne (6.6) ( ) ( ) ( )|||||.|

\| + ||.|

\| + L 4 L 2arlnRc t lnL 40 T t T0000 0Mtrologie thermique Yves Jannot 109prcision(cf.exemplesdethermogrammesexprimentauxenannexeA.6.3. Ilestimportantcommecelaat montrci-dessusdebienchoisirlintervalledestimationsurlequellesconditionssuivantesdoiventtre respectes : linarit de la courbe T0(t) = f[ln(t)] et temprature de la face non chauffe constante. OntrouveraenannexeA.6.4uncodedecalculcritenlangageMATLABpermettantdexploiterles thermogrammes obtenus par la mthode du fil chaud. Transferts et changeurs de chaleur 110 BIBLIOGRAPHIE 1.Bouvenot A., Transferts de chaleur , Masson. 2.Carslaw H.S., Jaeger J.C., Conduction of heat in solids , Second Edition, Oxford University Press, 1959. 3.Chevrier J.-C., Transfert de chaleur par conduction ,Ecole des Mines, Nancy, 1979. 4.Chevrier J.-C., Transfert de chaleur par rayonnement ,Ecole des Mines, Nancy, 1979. 5.Gosse J. , Guide technique de thermique , Dunod, 1981. 6.Gunther J. , Informatique numrique , Ecole des Mines , Nancy, 1982. 7.Hladik J., Mtrologie des proprits thermophysiques des matriaux , Masson, 1990. 8.Holman J.P., Heat transfer , seventh edition, Mac Graw Hill, 1990. 9.Huet O, Celaire R., Bioclimatisme en zone tropicale , GRET, 1986. 10. Maillet D., Andr A., Batsale J.-C., Degiovanni A., Moyne C., Thermal quadrupoles , John Wiley & Sons Ltd, 2000. 11. zisik M. N., Heat conduction ,John Wiley & Sons, Inc., 1993. 12. Philipon A., Echanges thermiques , Ecole dIngnieurs de lEquipement Rural, Ouagadougou, 1988. 13. Pitts D. R., Sissom L. E., Theory and problems of heat transfer , Schaums Outline Series, 1977. 14. Rohsenow W. M., Hartnett J. P., Ganic E. N., Handbook of heat transfer fundamentals , Mac Graw Hill, 1985. 15. Sacudura J.-F., Initiation aux transferts thermiques , Technique et documentation, Lavoisier, 1989. 16. Siegel R., Howell J. R., Thermal radiation heat transfer , 1992. 17. Spiegel M. R., Transformes de Laplace, cours et problmes , Schaum, 1990. 18. Sparrow E.M., Cess R.D., Radiation heat transfer , Mac Graw Hill, 1978. 19. Taine J., Petit J.-P., Transferts thermiques, cours et donnes de base , Dunod, 1995. 20. Whitaker S., Fundamental principles of heat transfer , Robert E. Krieger Publishing Company Inc., 1983. 21. Wong H.Y., Heat transfer for engineers , Longman, 1977. Bibliographie Yves Jannot 111Transferts et changeurs de chaleur 112 ANNEXES A.1.1 : PROPRIETES PHYSIQUES DE CERTAINS CORPS ........................................................................................... 113 A.1.1 : PROPRIETES PHYSIQUES DE LAIR ET DE LEAU ........................................................................................ 114 A.2.1 : VALEUR DU COEFFICIENT DE FORME DE CONDUCTION ............................................................................. 115 A.2.2 : PRINCIPALES TRANSFORMATIONS INTEGRALES : LAPLACE, FOURIER, HANKEL....................................... 116 A.2.3 : TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE ................................................................................................ 118 A.2.4 : CHOIX DES TRANSFORMATIONS INTEGRALES POUR DIFFERENTES CONFIGURATIONS................................ 120 A.2.5 : EQUATIONS ET FONCTIONS DE BESSEL..................................................................................................... 122 A.2.6 : VALEURS DE LA FONCTION ERF................................................................................................................. 124 A.2.7 : MILIEU SEMI-INFINI AVEC TEMPERATURE IMPOSEE................................................................................... 124 A.2.8 : TEMPERATURE DUNE PLAQUE AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE.............................................. 125 A.2.9 : TEMPERATURE DUN CYLINDRE INFINI AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE.................................. 126 A.2.10 : TEMPERATURE DUNE SPHERE AVEC COEFFICIENT DE TRANSFERT IMPOSE............................................. 127 A.2.11 : MATRICES QUADRIPOLAIRES POUR DIFFERENTES CONFIGURATIONS ...................................................... 128 A.2.12 : EFFICACITE DES AILETTES...................................................................................................................... 130 A.3.1 : EMISSIVITE DE CERTAINS CORPS .............................................................................................................. 131 A.3.2 : FRACTION DENERGIE F0-T RAYONNEE PAR UN CORPS NOIR ENTRE 0 ET............................................. 132 A.3.3 : FACTEURS DE FORME GEOMETRIQUE DE RAYONNEMENT ......................................................................... 133 A.3.4 : EMISSIVITE DU CO2 ET DE LA VAPEUR DEAU .......................................................................................... 137 A.3.5 : EPAISSEURS DE GAZ EQUIVALENTES VIS-A-VIS DU RAYONNEMENT.......................................................... 139 A.4.1 : CORRELATIONS POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS DE TRANSFERT EN CONVECTION FORCEE................ 140 A.4.2 : CORRELATIONS POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS DE TRANSFERT EN CONVECTION NATURELLE......... 142 A.5.1 : ABAQUES NUT = F() POUR LES ECHANGEURS........................................................................................ 143 A.6.1 :PLAN CHAUD : EXEMPLES DE THERMOGRAMMES EXPERIMENTAUX......................................................... 144 A.6.2 :CODE MATLAB POUR LEXPLOITATION DUNE MESURE PLAN CHAUD ............................................. 145 A.6.3 :FIL CHAUD : EXEMPLES DE THERMOGRAMMES EXPERIMENTAUX............................................................. 147 A.6.4 :CODE MATLAB POUR LEXPLOITATION DUNE MESURE FIL CHAUD ................................................ 148 Annexes Yves Jannot 113A.1.1 : Proprits physiques de certains corps Nature cp Nature cp C kg m-3J kg-1C-1W m-1C-1C kg m-3J kg-1C-1W m-1C-120 7833 465 54 Ardoise 20 2400 879 2,2200 48 Basalte 20 2850 881 1,6600 35 Bton caverneux 20 1900 879 1,4Acier inox15%Cr, 10%Ni 20 7864 460 20 Bton plein 20 2300 878 1,7520 7816 460 16,3 Bitume (cartonn) 20 1050 1305 0,23600 22 Bois feuillus lgers 20 525 3143 0,15Acier inox25%Cr, 20%Ni 20 7864 460 13 Bois feuillus mi-lourds 20 675 3156 0,23Alumine 20 29 Bois feuillus trs lgers 20 375 3147 0,1220 2707 896 204 Bois rsineux lgers 20 375 3147 0,12400 249 Bois rsineux mi-lourds 20 500 3160 0,15Argent 20 10525 234 407 Bois rsineux trs lgers 20 375 3147 0,12Bronze75%Cu, 25%Sn 20 8666 343 26 Brique terre cuite 20 1800 878 1,15Carbone 20 147 Calcaire dur 20 2450 882 2,4Carbure de silicium 20 13 Calcaire tendre 20 1650 879 1Chrome 20 2118 7160 449 Carrelage 20 2400 875 2,4Constantan60% Cu, 40%Ni 20 8922 410 22,7 Contre-plaqu okoum 20 400 3000 0,1220 8954 383,1 386 Contre-plaqu pin 20 500 3000 0,15400 363 Granite 20 2600 881 3Duralumin 20 2787 883 164 Gravier (vrac) 20 1800 889 0,7Etain 20 7304 226 64 Grs 20 2500 880 2,6Fer 20 7870 452 73 Lave 20 2350 881 1,1Fonte 20 7849 460 59 Marbre 20 2700 881 2,920 8522 385 111 Parquet 20 700 3143 0,2400 147 Pltre 20 0,48Magnsie 38 270 0,067 Schiste 20 2400 879 2,2Or 20 1336 19300 129Platine 20 72 Balsa 20 85 0,054Plomb 20 11373 130 35 Copeaux bois 23 0,059Sodium liquide 100 81,5 Coton 20 80 1300 0,06Titane 20 16 Kapok 30 0,035Tungstne 20 19350 134 163 20 20 880 0,047Zinc 20 7144 384 112 20 55 880 0,038Zircone 20 4 20 135 880 0,04120 8 875 0,051Amiante 20 0,16 20 10 880 0,045Asphalte 20 2115 920 0,062 20 15 880 0,041Caoutchouc (naturel) 20 1150 0,28 20 40 880 0,035Caoutchouc (vulcanis) 20 1100 2010 0,13 Lige expans 20 120 2100 0,044Carton 20 86 2030 0,048 Moquette 20 200 1300 0,06Cuir 20 998 0,159 20 32 1300 0,03Glace 0 920 2040 1,88 20 50 1360 0,035Papier 20 0,48 20 85 1300 0,045Plexiglass 20 1190 1465 0,19 20 30 1300 0,031Sable 20 1515 800 0,2-1,0 20 40 1300 0,041Sciure 20 20 12 1300 0,047Terre mouille 20 1900 2000 2 20 14 1300 0,043Terre sche 20 1500 1900 1 20 18 1300 0,041Verre 20 2700 840 0,78 20 28 1300 0,037AluminiumLaiton 70%Cu, 30%ZnMatriaux diversAcier inox18%Cr, 8%NiMtaux, alliages et cramiques Matriaux de constructionAcier au carbonePolystyrne expansLaine de rocheLaine de verrePolyurthane (mousse rigide)PVC (mousse rigide)Matriaux isolantsCuivre Transferts et changeurs de chaleur 114A.1.1 : Proprits physiques de lair et de leau Proprits de l'eau saturationProprits de l'air 1 atm cp104. 107. Prcp105. 105. Pr (C)(kg/m3)(J/kg.C)(W/m.C)(Pa.s)(m2/s) (C)(kg/m3) (J/kg.C) (W/m.C)(Pa.s)(m2/s)0100242180,55217,901,3113,06 01,29210060,02421,721,860,72 20100141820,59710,101,437,02201,20410060,02571,812,120,71 4099541780,6286,551,514,34401,12710070,02721,902,400,70 6098541840,6514,711,553,02601,05910080,02871,992,690,70 8097441960,6683,551,642,22800,99910100,03022,093,000,70 10096042160,6802,821,681,741000,94610120,03182,183,320,69 12094542500,6852,331,711,451200,89810140,03332,273,660,69 14092842830,6841,991,721,241400,85410160,03452,343,980,69 16091043420,6801,731,731,101600,81510190,03592,424,320,69 18088944170,6751,541,721,001800,77910220,03722,504,670,69 20086745050,6651,391,710,942000,74610250,03862,575,050,68 22084246100,6521,261,680,892200,70010280,03992,645,430,68 24081647560,6351,171,640,882400,68810320,04122,725,800,68 26078649490,6111,081,580,872600,66210360,04252,796,200,68 28075352080,5801,021,480,912800,63810400,04372,866,590,68 30071457280,5400,961,321,023000,61610450,04502,936,990,68 Corrlations entre 0 et 100 C( : temprature en C , T temprature en K) Pour lair ( ) 273353+ = kg m-3 cp = 1008J kg-1 C-1 = 7,57.10-5 + 0,0242 W m-1 C-1r2 = 0,9999 = 10-5 (0,0046 + 1,7176)Pa sr2 = 0,9997 = 10-5 (0,0146 + 1,8343)m2 s-1r2 = 0,9986 Pr = -2,54.10-4 + 0,7147r2 = 0,9767 T1 K-1 Pour leau = -0,00380 2 0,0505 + 1002,6 kg m-3r2 = 0,9982 cp = 4180 J kg-1 C-1 = -9,87.10-6 2 + 2,238.10-3 + 0,5536W m-1 C-1r2 = 0,9987 = 10-4 (0,00200 2 0,3389 + 17,199)Pa sr2 = 0,9815 = 10-7 (-0,00360 + 1,340) m2 s-1r2 = 0,9734Pr = 1,577.10-3 2 0,261 + 12,501r2 = 0,9796 ( )9 2p210 0,0363 0,477 0,0105 c g + = C-1 m-3 r2 = 0,9992 ( ) | | ( ) T log 3.868T279520,3182 T p log10 at s 10 = mmHg-50C < > 200C Lv = 2495 -2,346 kJ.kg-1 0C < < 100C Annexes Yves Jannot 115A.2.1 : Valeur du coefficient de forme de conduction SystmeSchmaCoefficient de forme Domaine dapplicationCylindre isotherme de rayon r enterr dans un milieu semi-infini surface isotherme |.|

\|rDcoshL 21 L>>r Sphre isotherme de rayon r enterre dans un milieu infini 4 r Sphre isotherme enterre dans un milieu semi-infini surface isotherme D 2r1r 4 Conduction entre 2 cylindres isothermes enterr dans un milieu infini ||.|

\| 2 1222121r r 2r r DcoshL 2 L>>r L>>D Cylindre horizontal au centre dans une plaque infinie |.|

\| rD 4lnL 2 Cylindre isotherme de rayon r plac dans un milieu semi-infini |.|

\|rL 2lnL 2 L>>2r Paralllpipde rectangle isotherme enterr dans un milieu semi-infini surface isotherme 078 . 0 59 . 0cbab1 log L 685 . 1 |.|

\|((

|.|

\|+Cylindre au centre dun paralllpipde de section carre |.|

\|rh54 . 0 lnL 2 L>>W Plaque rectangulaire mince enterre dans milieu semi-infini surface isotherme 4r 8r D = 0 D>>2r Sphre creuse i oi or rr r 4 D L rrr D D D r D r r Lh b c aL D 2r r0 r1 D r1 r2 Transferts et changeurs de chaleur 116 A.2.2 : Principales transformations intgrales : Laplace, Fourier, Hankel Transforme de Laplace Dfinition ( ) | | ( ) ( ) ( ) dt t T t p exp p t T L0 = = et ( ) | | ( ) t T p L-1= (Transforme inverse) Proprits Linarit ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | | t T L a t T L a t T a t T a L2 1 2 1+ = +, idem pour L-1 Translation( ) ( ) | | ( ) a p t T t a exp L = ( ) | | ( ) ( ) t T t a exp a p L-1= ( ) ( ) | | ( )a t si 0a t si a - t T p p a - exp L-1 = Changement dchelle( ) | | |.|

\|=apa1t a T L ( ) | | |.|

\|=atTa1p a L1 - Drivation( ) | | ( ) ( ) 0 T p p t T' L =( )( ) | | ( ) ( ) t T t 1 p Ln n n -1 =( ) | | ( ) ( ) ( ) 0 T' 0 pT p p t T" L2 = Intgration ( )pp du T(u) Lt0=((

( )tt Fdu (u) Lp1 -=(((

Multiplication par tn( ) | | ( )( )( ) p 1 t T t Ln n n =( ) | | ( ) ( ) ( ) t 0 T t T' p p L-1 = Division par t ( )( )=((

pdu u tt TL( )( )du u Tpp Lt01=((

Fonctions priodiques( ) | |( ) ( )P) p exp( 1dt t T t p expt T LP0 = (Priode P) Transforme de Fourier complexe Dfinition ( ) | | ( )( )( )= =+ dx x T e21x T Fx i2 / 1 ( ) ( ) | |( )( ) = =+ d e21F x Tx i2 / 11 Proprits ( )( ) =(((

=((

222xTFixTF Annexes Yves Jannot 117A.2.2Principales transformations intgrales : Laplace, Fourier, Hankel Transforme de Fourier en sinus et cosinus Dfinitions SinusCosinus ( ) | | ( ) ( ) | | |.|

\|= = +02 / 1s sdx x sin x T2x T F ( ) | | ( ) ( ) | | |.|

\|= = +02 / 1c cdx x cos x T2x T F( ) ( ) | | ( ) ( ) |.|

\|= = +02 / 1s1sd x sin2F x T ( ) ( ) | | ( ) ( ) |.|

\|= = +02 / 1c1cd x cos2F x T Proprits ( )( ) ( ) 0 T2xTFxTF2 / 1s222sc s|.|

\| + =(((

=((

( ) ( )( )0 x2 / 1c222c2 / 1s cxT 2xTF0 T2xTF=((

|.|

\| =(((

|.|

\| =((

Transforme finie de Fourier en sinus et cosinus Dfinitions Si la temprature T(x) nest dfinie que sur lintervalle [0,L], on peut utiliser une transformation finie de Fourier en sinus ou en cosinus : ( ) | | ( ) ( )((

= =L0s sdxLx nsin x T n x T Fou( ) | | ( ) ( )((

= =L0c cdxLx ncos x T n x T F( ) ( ) | | ( ) |.|

\| = ==1 ns s1sLx nsin nL2n F x T ou ( ) ( ) | | ( ) ( ) |.|

\| + = ==0 nc c c1cLx ncos nL20L1n F x T Proprits ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) nLnL T 1 0 TLnnxTFs22 2ns22s = =(((

( ) ( ) ( ) nLnxTxT1 nxTFc22 20 x L xnc22c |.|

\| |.|

\| = =(((

= = Transforme de Hankel dordre v Dfinition Pour v > -1/2 : ( ) | | ( ) ( ) ( ) dr r T r J r r T H0v v v = =( ) ( ) | | ( ) ( ) = =d r J H x T0v v v1v Proprit ( ) =(((

|.|

\|v222vrT vrTrr r1H; lordre 0 :( ) | | ( ) ( ) r Jrdr r J r T T r T H1 00i i 0= = = Transferts et changeurs de chaleur 118A.2.3 : Transformation de Laplace inverse Mthode analytiqueLa transforme de Laplace (p) de la fonction T(t) est donne par :( ) | | ( ) ( ) ( ) dt t T t p exp p t T L0 = = IlnexistepasdeformuleanalytiquegnralepermettantdecalculerT(t)connaissant(p).Onconnait cependantlexpressionexactedeT(t)pourcertainesfonctionsparticulires(p),onentrouveradesexemples pagesuivante(cf.Spiegelpourdestablespluscompltes).Lutilisationdecestablesassocieauxproprits particuliresdelatransformationdeLaplaceinverserappelesenannexeA.2.2peutpermettredersoudreun certain nombre de cas. On essaiera toujours de dcomposer une fonction complexe en somme, produit, srie de fonctions simples plus facilement inversibles. Mthodes numriques Pour les cas de figure pour lesquels on ne peut pas trouverune solution analytique, on peut employer lune des deux mthodes numriques suivantes : Mthode de Stehfest La transforme inverse de la fonction (p) peut se calculer par : |.|

\|==tln(2) j Vtln(2)T(t)iN1 jj N = 20 (double prcision) : V1 = -5,511463844797178.10-6 V2 = 1,523864638447972.10-1 V3 = -1,174654761904762.102

V4 = 1,734244933862434.104 V5 = -9,228069289021164.105V6 =2,37740877871031810.7

V7 = -3,494211661953704.108 V8 = 3,241369852231879.109 V9 = -2,027694830723779.1010

V10 = 8,946482982379724.1010 V11 =-2,870209211471027.1011 V12 = 6,829920102815115.1011 V13 =-1,219082330054374.1012 V14 = 1,637573800842013.1012 V15 = -1,647177486836117.1012 V16= 1,221924554444226.1012 V17 = -6,488065588175326.1011 V18 = 2,333166532137059.1011

V19 = -5,091380070546738.1010 V20 = 5,091380070546738.109 N = 10 (simple prcision): V1 = 1/12 V2 = -385/12V3 = 1279 V4 = -46871/3V5 = 505465/6 V6 =-473915/2 V7 = 1127735/3V8 = -1020215/3V9 = 328125/2 V10 = -65625/2 Mthode de Fourier ( )( ) ( )( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( )((

+ + + ==1 kk k k kmaxt sin j c Im t cos j c Re2c tt c expt TAvec maxkt k =La somme infinie est dans la pratique calcule pour un nombre de fini N de termes , on prendra en gnral N >100.Cettemthodencessitedechoisirdeuxparamtres :cettmax.Ondoitsassureraposteriorique exp(-2 c tmax) T(2 tmax) 0. Choix dune mthode et vrification des rsultatsLamthodedeStehfestestplussimplemettreenoeuvrecarellenencessitepasdechoisircertains paramtres.LamthodedeFourierpeutconduireunmeilleurrsultatdanslecasdinversiondecertaines fonctions comme les fonctions priodiques par exemple (cf. Maillet).Ltude du comportement de la fonction(p) aux temps longs (t soit p0) et aux temps courts (t0 soit p)peutconduiredesformulesapprochesde(p)dontonpeutalorstrouverlatransformedeLaplace inverse analytiquement. La comparaison de ces solutions analytiques avec les rsultats de linversion numriquedonne une indication sur la justesse de linversion numrique. Annexes Yves Jannot 119A.2.3 : Transformation de Laplace inverse apq = ( ) ( ) { } t T L p= T(t) ( ) ( ) { } t T L p= T(t) p1 1 ( )pp ln( ) 57721 , 0 ; t ln = 1(t) Dirac p1 t1 p1+ te p p1 t2 2 2 p+( ) t sin2 2 p( ) t sh 2 2 pp+( ) t cos2 2 pp( ) t ch ( ) p b pb+ ( ) ( ) t b erfc t b exp 12... 3 , 2 , 1 np1n=( )! 1 nt1 n ( ) ( ) { } t T L p= T(t) x qe ||.|

\|t 4xexpt 2x23 qex q ||.|

\|||.|

\|t 4xexpt 221 pex q ||.|

\|t 2xerfcpqex q ||.|

\|||.|

\||.|

\|t 2xerfc x -t 4x- expt2221 2x qpe ||.|

\||.|

\|||.|

\|||.|

\|+t 4x- exptx -t 2xerfc2xt2212 h qex q+( )||.|

\|+ + ||.|

\||.|

\|t ht 2xerfc h t hx exp h4x- expt2221 ( ) h q qex q+( )||.|

\|+ + t ht 2xerfc h t hx exp 2 ( ) h q pex q+( )||.|

\|+ + ||.|

\|t ht 2xerfc h t hx exph1t 2xerfch12 ( ) h q q pex q+( )||.|

\|+ + +||.|

\| +||.|

\||.|

\|t ht 2xerfc h t hx exph1t 2xerfchx h 14x- expth222 2221 ( )2x qh qe+( ) ( )||.|

\|+ + + + +||.|

\|||.|

\| t ht 2xerfc h t x h exp t h 2 x h 1 t 2x -expt h 22 22 3 Transferts et changeurs de chaleur 120A.2.4 : Choix des transformations intgrales pour diffrentes configurations Annexes Yves Jannot 121A.2.4 : Choix des transformations intgrales pour diffrentes configurations Transferts et changeurs de chaleur 122A.2.5 : Equations et fonctions de Bessel Equations particulires de Bessel et leurs solutions 0 y mxy'y"2= + + ( ) ( ) mx Y k x m J k y0 2 0 1+ =( ) 0 y n x y' x y" x2 2 2= + + ( ) ( ) entier) (n x Y k x J k yn 2 n 1+ =0 y mxy'y"2= + ( ) ( ) x m K k x m I k y0 2 0 1+ =( ) 0 y n x y' x y" x2 2 2= + + ( ) ( ) x K k x I k yn 2 n 1+ = JnFonction de Bessel de 1re espce non modifie dordre n InFonction de Bessel de 1re espce modifie dordre n YnFonction de Bessel de 2me espce non modifie dordre n KnFonction de Bessel de 2me espce modifie dordre n. (cf. zisik pour la dfinition des fonctions de Bessel). Principales proprits des fonctions de Bessel Rcurrence ( ) ( ) ( ) u Jun 2u J u Jn 1 n 1 n+ = +( ) ( ) ( ) u Yun 2u Y u Yn 1 n 1 n+ = + ( ) ( ) ( ) u Iun 2u I u In 1 n 1 n = +( ) ( ) ( ) u Kun 2u K u Kn 1 n 1 n = + Drive ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u Junu J u Junu J u Jn 1 n n 1 n'n+ = =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u Yunu Y u Junu Y u Yn 1 n n 1 n'n+ = =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u Iunu I u Iunu I u In 1 n n 1 n'n+ = =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u Kunu -K u Kunu -K u Kn 1 n n 1 n'n+ = =+ Limites des fonctions de Bessel dordre 0 et 1 Siu 0 : J0(u) 1J1(u) 0Y0(u) -Y1(u) - I0(u) 1I1(u) 0K0(u) +K1(u) + Siu J0(u) 0J1(u) 0Y0(u) 0Y1(u) 0 I0(u) +I1(u) +K0(u) 0K1(u) 0 Comportement asymptotique des fonctions de Bessel dordre 0 et 1 Siu 0 : J0(u) 1J1(u) u/2Y0(u) (2/) ln(u)Y1(u) 2/u I0(u) 1I1(u) u/2K0(u) -ln(u)K1(u) 1/x Siu J0(u) |.|

\| 4u cosu2 J1(u) |.|

\| 4 2uu cosu2Y0(u) |.|

\| 4 2uu sinu2 Y1(u) |.|

\| 4u sinu2I0(u), I1(u)( ) u expu2K0(u), K1(u)( ) u expu 2 Annexes Yves Jannot 123A.2.5 : Fonctions et quations de Bessel xI0(x)I1(x)K0(x)K1(x)xI0(x)I1(x)K0(x)K1(x) 01,00000,00003,04,8813,9530,0350,041 0,11,00250,05012,4279,8493,15,2944,3260,0310,036 0,21,010,10051,7534,7753,25,7474,7340,0280,031 0,31,02260,15171,3733,0573,36,2435,1810,0250,028 0,41,04040,2041,1152,1853,46,7855,670,0220,025 0,51,06350,25790,9241,6563,57,3786,2060,0190,022 0,61,0920,31370,7781,3023,68,0286,7930,0170,020 0,71,12630,37190,6601,0513,78,7397,4360,0160,017 0,81,16650,43290,5650,8623,89,5178,140,0140,016 0,91,2130,49710,4870,7163,910,3698,9130,0130,014 1,01,26610,56520,4210,6024,011,39,76 1,11,32620,63750,3660,5094,112,3210,69 1,21,39370,71470,3190,4354,213,4411,71 1,31,46930,79730,2780,3724,314,6712,82 1,41,55340,88610,2430,3204,416,0114,05 1,51,64670,98170,2140,2784,517,4815,39 1,61,751,08480,1880,2404,619,0916,86 1,71,8641,19630,1650,2094,720,8618,48 1,81,98961,31720,1460,1824,822,7920,25 1,92,12771,44820,1290,1604,924,9122,2 2,02,281,5910,1130,1405,027,2424,34 2,12,4461,7460,1010,1235,129,7926,68 2,22,6291,9140,0900,1085,232,5829,25 2,32,832,0980,0790,0945,335,6532,08 2,43,0492,2980,0710,0835,439,0135,18 2,53,292,5170,0630,0745,542,738,59 2,63,5532,7550,0550,0665,646,7442,33 2,73,8423,0160,0490,0585,751,1746,44 2,84,1573,3010,0440,0505,856,0450,95 2,94,5033,6130,0390,0465,961,3855,9 Transferts et changeurs de chaleur 124A.2.6. : Valeur de la fonction erf x erf x erfc x ierf x x erf x erfc x ierf x0 0,000000 1,000000 0,564190 1,1 0,880205 0,11980 1,7600,05 0,056372 0,943628 0,518421 1,2 0,910314 0,08969 2,2740,1 0,112463 0,887537 0,481106 1,3 0,934008 0,06599 2,9720,15 0,167996 0,832004 0,452227 1,4 0,952285 0,04772 3,9390,2 0,222703 0,777297 0,431755 1,5 0,966105 0,03390 5,3020,25 0,276326 0,723674 0,419658 1,6 0,976378 0,02362 7,2600,3 0,328627 0,671373 0,415910 1,7 0,983790 0,01621 10,1240,35 0,379382 0,620618 0,420498 1,8 0,989091 0,01091 14,3860,4 0,428392 0,571608 0,433440 1,9 0,992790 0,00721 20,8420,45 0,475482 0,524518 0,454795 2 0,995322 0,00468 30,7940,5 0,520500 0,479500 0,484684 2,1 0,997021 0,00298 46,4090,55 0,563323 0,436677 0,523311 2,2 0,998137 0,00186 71,3490,6 0,603856 0,396144 0,570983 2,3 0,998857 0,00114 111,9010,65 0,642029 0,357971 0,628143 2,4 0,999311 0,00069 179,0430,7 0,677801 0,322199 0,695397 2,5 0,999593 0,00041 292,2570,75 0,711156 0,288844 0,773551 2,6 0,999764 0,00024 486,6930,8 0,742101 0,257899 0,863656 2,7 0,999866 0,00013 826,8600,85 0,770668 0,229332 0,967059 2,8 0,999925 0,00008 1433,1580,9 0,796908 0,203092 1,085464 2,9 0,999959 0,00004 2534,2050,95 0,820891 0,179109 1,221003 3 0,999978 0,00002 4571,6771 0,842701 0,157299 1,376328 A.2.7 : Milieu semi-infini avec coefficient de transfert impos t xFo1=3 . 02 . 05 . 01034 . 021 T TT t) T(x,i 0.05x hBi = = 1 . 0Annexes Yves Jannot 125A.2.8 : Plaque avec coefficient de transfert impos Temprature adimensionnelle 0 au centre de la plaque dpaisseur 2L Temprature adimensionnelle la distance x du centre = T TT Ti00 20rt aL h= T TT T0Transferts et changeurs de chaleur 126A.2.9 : Cylindre infini avec coefficient de transfert impos Temprature adimensionnelle0 sur laxe du cylindre de rayon r0 Temprature adimensionnelle la distance r de laxe = T TT Ti00 20rt a0r h0r h= T TT T0 1rr0 =Annexes Yves Jannot 127A.2.10 : Sphre avec coefficient de transfert impos Temprature adimensionnelle 0 au centre de la sphre de rayon r0 0 . 1rr0 =Temprature adimensionnelle la distance r du centre = T TT Ti00 20rt a0r h0r h = T TT T0Transferts et changeurs de chaleur 128A.2.11 : Matrices quadripolaires pour diffrentes configurations

apq =; I0, I1, K0, K1 : Fonctions de Bessel cf. annexe A.2.5. Quadriple associ un transfert unidirectionnel dans un milieu sans gnration d'nergie Milieu d'paisseur finie Mur plan d'paisseur e Cylindre creux de rayons r1 et r2Sphre creuse de rayons r1 et r2Ach(qe) ( ) ( ) ( ) ( ) | |1 0 2 1 2 1 1 0 2r q K r q I r q K r q I r q + ( )( )1 12r qp shp chrrB ( )S qe q sh ( ) ( ) ( ) ( ) | |2 0 1 0 1 0 2 0r q K r q I r q K r q IL 21 ( )2 1r r q 4p sh C ( ) e q sh S q ( ) ( )( ) ( )(((

2 1 1 11 1 2 12 1r q K r q Ir q K r q Ir q r q L 2( )( )(((((((

||.|

\| +||.|

\| p shr q1r qp chrr1r 421212 Dch(qe) ( ) ( ) ( ) ( ) | |2 0 1 1 1 1 2 0 1r q K r q I r q K r q I r q + ( )( )2 21r qp shp chrr+ Milieu semi-infini La transforme de Laplacedu flux de chaleur s'crit : Z= avec : Mur semi-infiniCylindre semi-infini de rayon intrieur r1Sphre semi-infinie de rayon intrieur r1 Z p E S1 ( )( )1 1 11 0r q K r qr q KL 21 ( )1 1r q 1 r 41+ O :c E = est l'effusivit thermique. T1 T2 1 2 e r1 r2 1 2 1 2 ((

((

=((

2211D CB AAnnexes Yves Jannot 129A.2.12 : Matrices quadripolaires pour diffrentes configurations Quadriple associ une rsistance de constriction (variation brusque de la section de passage du flux de chaleur)

Transfert d'un flux (r) la surface d'un cylindre de rayon R et d'paisseur e, avec(r)=0 si r>r0 R et e infinis Rc0r 0 = R et e finis ((

((

((

=((

eeD CB A1 0Rc 1 T(r) = T0pour r < r0 (r) = 0pour r < r0Te (r) = Te0e(r) = e0

Rc |.|

\| + 0 0r q41 r 41 |.|

\|+ 0 02r q381 r 38 ( ) e th Fn1 nn = ( )=1 nnne thF Avec :

Quadriple associ un transfert unidirectionnel dans un milieu avec gnration d'nergie Temprature considre = temprature moyenne de l'lment chauffant Plaque d'paisseur eCylindre plein de rayon rSphre pleine de rayon r A111 B ( )p e S c1e q th e qeS1 ( )( )p L r c1r q Ir q IL 21210 ( ) | |p r c 431 r q ch r q r 413 C p e S c p L r c2 p r c34 3 D ( ) e q the q ( )( ) r q Ir q I2r q10 ( )( ) | | 1 r q coth r q 3r q2 ( )( )( )( ) 1 e th alors 1ReSiapet 0 R J de solution avecr J r Sr J 4Fn2n n n 1 n0 n20 n2n200 n21n= >+ = = = ( )( )( ) e q sh R q Ce q shR q1Be q ch D A22 = == = et : e r0 R e Te(r) (r) T(r) 2 R 2 r0 eTe(r) T(r)(cf. Maillet p. 211-233)Transferts et changeurs de chaleur 130A.2.12 : Efficacit des ailettes Hypothse : Flux nul lextrmit de lailette, vrifi sie h