N° d'ordre 98 ISAL 0094 Année 1998

THESEprésentée

DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATION DOCTORALE : Thermique et EnergétiqueECOLE DOCTORALE : Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique (MEGA)

PAR

JEROME BELLETTRE(Ingénieur INSA)

TRANSFERTS DE MASSE ET DE CHALEUR DANS LA COUCHE LIMITEPARIETALE ET A L'INTERIEUR D'UNE PAROI POREUSE PLANE

SOUMISE A DE L'EFFUSION OU DE LA TRANSPIRATION

Soutenue le 1 er décembre 1998 devant la commission d'examen :

M. PROVANSAL Professeur - Université d'Aix-Marseille III PrésidentM. DAGUENET Professeur - Université de Perpignan RapporteurM. FAVRE-MARINET Professeur - INP de Grenoble RapporteurJ.P. BERTOGLIO Directeur de Recherche au CNRS - LMFAF. DAUMAS-BATAILLE Maître de Conférences - INSA de LyonA. LALLEMAND Professeur - INSA de LyonB. YOUNIS Docteur - City University, Londres

Thèse préparée au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL

- 5 -

A Emmanuelle pour son soutien et son affectionAu petit Hugo qui vient de naître

- 6 -

AVANT PROPOS

Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein de l'Equipe Energétique etThermique du Centre de Thermique de Lyon (CETHIL / EET).

Je tiens tout d'abord à exprimer ma profonde gratitude à mon directeur de thèse,Monsieur le Professeur André Lallemand. Malgré ses très nombreuses responsabilités, il n'ajamais hésité à rester disponible, au cours des ces trois dernières années, pour orienter montravail et me conseiller très utilement. Je suis très sensible à la confiance qu'il m'a témoigné àplusieurs reprises.

Je remercie tout particulièrement également Madame Françoise Daumas-Bataille. Lesliens de confiance réciproque que nous avons noués, son savoir faire dans de nombreuxdomaines ainsi que sa grande disponibilité sont pour beaucoup dans le travail que je présenteaujourd'hui.

Que les rapporteurs de ce travail, Messieurs Michel Daguenet, Professeur àl'Université de Perpignan et Michel Favre-Marinet, Professeur à l'INP de Grenoble soientvivement remerciés pour avoir accepté d'examiner mon manuscrit. Je les remercie pourl'intérêt qu'ils ont porté à ce travail, pour l'utilité des remarques qu'ils ont faites ainsi que pourleur participation à mon Jury.

J'exprime aussi ma profonde gratitude à Messieurs Jean-Pierre Bertoglio, Directeur deRecherche au CNRS et Michel Provansal, Professeur à l'Université d'Aix-Marseille III pouravoir accepté de faire partie de ce Jury. Leurs travaux dans le domaine de la mécanique desfluides font foi et leur présence à mon Jury m'honore. Mes remerciements s'adressentégalement à Monsieur Bassam Younis, Docteur à la City University, qui s'est intéressé depuislongtemps à mon travail et qui n'a pas hésité à venir de Londres pour être membre de monJury.

Par ailleurs, je suis très reconnaissant envers tous les enseignants-chercheurs etpersonnels techniques de l'Equipe Energétique et Thermique qui m'ont régulièrement ouoccasionnellement apporté leur aide au cours des trois années passées en leur compagnie. Unepartie importante de mes recherches est de nature expérimentale et les compétencestechniques de Jean-Claude Rodet m'ont été d'un grand secours tout comme le savoir faire deJoël Girard, technicien qui a réalisé un grand nombre d'adaptations sur la soufflerie mise à madisposition. De plus, je remercie Fabrice Guignard pour sa gestion très efficace des moyensinformatiques que j'ai utilisés.

Enfin, je tiens à signaler que le prêt de trois appareillages a été fondamental pourmener à bien les expérimentations. Un anémomètre Laser-Doppler a été prêté durant uneannée universitaire par le Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'INSA. Une camérainfrarouge et un chromatographe ont été mis à ma disposition respectivement par l'équipe TIMdu CETHIL et le LAEPSI.

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RESUME

Ce travail concerne l'étude numérique et expérimentale des écoulements et destransferts thermiques au voisinage et dans une paroi poreuse soumise à un écoulement internede fluide. Les simulations numériques de l'écoulement pariétal sont effectuées en utilisant unmodèle classique de turbulence (modèle RNG k-ε). Une modélisation discrète de l'effusion àtravers la paroi poreuse est développée afin de prédire les interactions entre l'écoulementpariétal et le fluide injecté. Les résultats numériques sont en accord avec les résultatsexpérimentaux obtenus dans une soufflerie thermique. Le couplage entre les transferts auvoisinage et à l’intérieur de la paroi poreuse est étudié en fonction du taux d'injection, de latempérature de l'écoulement potentiel et de la surface d'échange interne du milieu poreux. Unmodèle nodal des transferts thermiques internes à la paroi, couplé au modèle des coucheslimites soumises à de l'effusion, permet de calculer les températures de parois. Parcomparaison entre les résultats de la modélisation et ceux de l'expérience, les coefficientsd'échanges internes aux milieux poreux sont calculés. Enfin, en vue d'optimiser la protectionthermique des parois, la transpiration d'un liquide est étudiée. Les résultats expérimentaux,obtenus avec la transpiration d’éthanol, alors que l’écoulement pariétal est gazeux, mettent enévidence une excellente performance du système de protection. Le débit de réfrigérant évaporéest calculé à partir de mesures de concentration dans la couche limite pariétale puis est utilisépour l'étude numérique des transferts de masse en couche limites.

Mots clefs : couche limite turbulente, milieu poreux, injection, protection thermique,transpiration.

ABSTRACT

The flows and the heat transfer near and inside a porous wall subjected to an internalflow are numerically and experimentally studied. Numerical simulations of the main flow areperformed using a classical model of turbulence (RNG k-ε model). A discrete modeling ofblowing through a porous plate is developed in order to predict interactions between the mainflow and the injected fluid. Numerical results are in good agreement with experimental dataobtained with a subsonic wind tunnel. The coupling between the heat transfer near and insideporous plates is studied for different injection rates, main flow temperatures and internalexchange surfaces of porous media. Surfaces temperatures are calculated using a nodal modelof internal heat transfer, linked to the model of boundary layer submitted to injection. Bycomparing numerical and experimental temperatures of walls, the heat transfer coefficientsinside porous media are calculated. In order to improve the thermal protection of walls, thetranspiration with a liquid is studied. Experimental results, obtained with ethanol injectionwhereas the main flow is gaseous, show an important enhancement of the protection process.The coolant evaporation rate is calculated using measurement of mass fraction in the boundarylayer and is used for the numerical study of mass transfer in the boundary layer.

Key words : turbulent boundary layer, porous medium, blowing, thermal protection,transpiration cooling.

- 8 -

SOMMAIRE

Nomenclature 11

Introduction générale 14

Chapitre 1 : Ecoulements pariétaux turbulents 19

1.1. Etude théorique 20

1.1.1. Equations de bilan 23

1.1.2. Couches limites 25

1.1.3. Fermeture du système d'équations de bilan 29

1.2. Etude expérimentale des couches limites turbulentes 35

1.2.1. Présentation de la soufflerie et de la veine d'essais 36

1.2.2. Instrumentation 38

1.2.3. Etude de l’écoulement 39

1.3. Simulations numériques des couches limites turbulentes 42

1.3.1. Modélisation de la couche limite turbulente 42

1.3.2. Choix du modèle de turbulence 48

Conclusion 55

Chapitre 2 : Transferts en couches limites turbulentes

avec effusion de gaz 56

2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion 57

2.1.1. Historique 57

2.1.2. Détermination des coefficients de frottement et d'échange thermique 59

2.1.3. Lois de parois en présence d'injection pariétale 64

2.2. Modélisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz

et validation par l'expérience 67

2.2.1. Effusion sans gradient de température 71

2.2.2. Effusion avec gradients de température 75

2.2.3. Influence de la porosité 76

2.2.4. Influence du taux d'injection 83

Conclusion 83

- 9 -

Chapitre 3 : Couplage écoulement pariétal - plaque poreuse 84

3.1. Transferts dans les milieux poreux 86

3.1.1. Transferts de masse 86

3.1.2. Transferts de chaleur 88

3.2. Mesures de températures de plaques poreuses 91

3.2.1. Présentation des matériaux poreux 92

3.2.2. Moyens expérimentaux mis en oeuvre 94

3.2.3. Résultats expérimentaux 95

3.3. Etude numérique des échanges de chaleur 102

3.3.1. Méthode de calcul des échanges internes 103

3.3.2. Conditions aux limites 105

3.3.3. Méthode numérique 106

3.3.4. Méthodologie 106

3.3.5. Résultats 106

Conclusion 115

Chapitre 4 : Protection thermique des parois poreuses par

transpiration d'un liquide 117

4.1. Etude bibliographique 118

4.1.1. Etude analytique de la transpiration 120

4.1.2. Aspects expérimentaux 124

4.2. Refroidissement par transpiration d'eau 126

4.2.1. Prédiction de la protection thermique des milieux poreux par

effusion de vapeur d'eau 126

4.2.2. Etude expérimentale de la transpiration d'eau 131

4.2.3. Mouillabilité 134

4.3. Refroidissement par transpiration d'éthanol 135

4.3.1. Etude expérimentale 135

4.3.2. Etude théorique de la transpiration d'éthanol 142

Conclusion 150

Conclusion générale 152

- 10 -

Références bibliographiques 154

Annexes 162

I Rendement thermique d'une turbine à gaz 163II Anémomètre Laser Doppler 166III Caméra Infrarouge 167IV Couches limites dynamiques pour Te = 45 et 100 °C 168V Estimation de la précision de la mesure du taux d’injection 169VI Chromatographe 171VII Etalonnage du chromatographe 172

11

NOMENCLATURE

A surface d'injection (m2)B paramètre thermique d'injection (B = F / St)Bf paramètre dynamique d'injection (Bf = 2F / Cf)b coefficient de pertes de charge (modèle de superposition) (1/m)C fraction massique (valeur moyenne)Cij conductance thermique entre les noeuds i et j (W/K)Cµ constante du modèle k-εCε1 constante des modèles k-ε et RNG k-εCε2 constante des modèles k-ε et RNG k-ε

Cf coefficient de frottement (C

Uf w

e e2 12

= τρ

)

c' fluctuation de fraction massiquecp capacité thermique massique (J/kg.K)D coefficient de diffusion (m2/s)d dimension caractéristique (m)dh diamètre hydraulique (m)E constante de frottement (E = 9,0 pour une paroi lisse)e épaisseur (m)

F taux d'injection (Fv

Uw f

e e= ρ

ρ 1)

Fij facteur de forme entre les noeuds i et jf fréquence (Hz)gi accélération de la pesanteur dans la direction i (m/s2)H enthalpie massique (valeur moyenne) (J/kg)h coefficient d'échange convectif (W/m2K)h' fluctuation d'enthalpie (J/kg)I intensité de turbulenceJ radiosité (W/m2)K perméabilité (m2)k énergie cinétique turbulente (m2/s2)l longueur de mélange (m)m masse (kg)�m débit massique surfacique (kg/m2 s)

Nu nombre de Nusselt (Nuhd

=λ

)

P pression (Pa)p dimension d'un pore dans la représentation numérique (m)p' fluctuation de pression (Pa)q densité de flux incident de chaleur (W/m2)

Pe nombre de Péclet (PeU dx= ρΓΦ

)

Pr nombre de Prandtl (Pr =µ

λcp )

Re nombre de Reynolds (Re = ρµUd )

12

S abscisse de l'interface liquide-vapeur (m)

St nombre de Stanton (Sth

c Up e=

( )ρ 1)

s surface d'échange interne (m2/m3)T température (K)t temps (s)U vitesse (valeur moyenne) (m/s)

Uτ vitesse de frottement (U wτ

τρ

= ) (m/s)

U+ vitesse longitudinale adimensionnelle (UU

U+ = 1

τ)

u' fluctuation de vitesse (m/s)V vitesse (m/s)vf vitesse de filtration (moyennée sur toute la surface du milieu poreux) (m/s)x coordonnée spatiale (m)

y+ ordonnée adimensionnelle (yU x+ = ρ

µτ 2 )

Symboles grecsα0 constante du modèle RNG k-εαk inverse du nombre de Prandtl turbulent pour kαε inverse du nombre de Prandtl turbulent pour ε

∆ épaisseur d'enthalpie (∆ = ∫−−

∞ ρρ

U

U

T T

T Tdx

e e

e

w e

1

10 2 ) (m)

∆T écart de température (K)∆x distance entre deux centres de volumes de contrôle (m)δ épaisseur de couche limite dynamique (m)

δd épaisseur de déplacement (δ ρρd

e e

U

Udx= −

∞∫ 1 1

10 2 ) (m)

δΤ épaisseur de couche limite thermique (m)δij symbole de Kroneckerε taux de dissipation d'énergie cinétique turbulente (m2/s3)φ grandeur intensive génériqueΦ flux de chaleur (W)ϕ porositéΓφ coefficient isotropique de diffusion (kg/m.s)

η efficacité (η = −−

T T

T Te

w e)

κ constante de von Karman (κ = 0,40)λ conductivité thermique (W/m.K)µ viscosité dynamique (kg/m.s)ν viscosité cinématique (m2/s)

13

θ épaisseur de quantité de mouvement (θ ρρ

= ∫ −

∞ U

U

U

Udx

e e e

1

10

1

121 ) (m)

ρ masse volumique (kg/m3)σ constante de Stefan Boltzmann (σ = 5,67 10-8 W/m2K4) (W/m2K4)

σh nombre de Prandtl turbulent (σν

λhp t

t

c= )

σk nombre de Prandtl turbulent pour kσε nombre de Prandtl turbulent pour ετ contrainte de cisaillement (Pa)

Indices0 sans effusion1 direction longitudinale2 direction verticalea aircond conductiveconv convectivecrit critiquee écoulement potentieleff effectiveeq équivalenteth éthanolévap évaporationf fluidei interface liquide-vapeuri, j directions i, jinj injectéint internemol moléculairep au centre du volume de contrôle le plus proche de la paroiref de référencer réservoirs solidesat saturationt turbulenttransp transportv vapeurvis dans la sous-couche visqueusew sur la paroi

14

INTRODUCTION GENERALE

Les écoulements pariétaux avec injection de fluide (figure 1) ont fait l'objet de

nombreux travaux théoriques et expérimentaux. Les résultats de ces études ont permis

d'importantes améliorations de systèmes industriels notamment dans les domaines

aéronautiques et aérospatiaux. Le principal domaine d'application est la protection thermique

des parois soumises à de fortes contraintes thermiques. Un exemple de retombée directe

concerne les moteurs à flux continus (turbines à gaz, turboréacteurs, moteurs de lanceurs...) où

l'optimisation des performances nécessite une température des gaz en écoulement de plus en

plus élevée. Pour illustrer ce propos, l'exemple du rendement thermique d'une turbine à gaz,

en fonction de la température des gaz en sortie de chambre de combustion, est donné en

annexe I.

Fig. 1. Ecoulement pariétal avec injection de fluide.

Ces dernières années ont vu le développement de la protection thermique des aubes de

turbines des moteurs d'avions. En effet, malgré les importants progrès réalisés dans le

domaine de la métallurgie, la température admissible par les matériaux constituant les aubes

ne dépasse pas 1100 °C alors que les températures des gaz en entrée de turbine dépassent

1500 °C dans les moteurs récents (Petot 1997). Les constructeurs de moteurs ont alors

développé des systèmes de refroidissement par convection interne et refroidissement "par

film" pour garantir l'intégrité des matériaux (figure 2). Cependant, ce type de protection

nécessite une prise d'air en amont de la chambre de combustion (donc "gaspillé" d'un point de

vue énergétique) de 8 à 10 % du débit total dans un réacteur d'avion actuel (Greffoz 1997).

Une autre importante application de l'injection de masse dans un écoulement pariétal

chaud est la protection thermique par ablation c'est à dire la sublimation d'un revêtement

protecteur. Dans les propulseurs à propergol solide, tels ceux d'Ariane V, H2 (Japon), la

Navette Spatiale et Titan IV (USA), les gaz issus de la combustion sont portés à environ

Ecoulement principal

Ecoulement secondaire

3500 K (Lengellé et al. 1997). Les surfaces de la structure du propulseur, qui ne sont pas

recouvertes de propergol, sont alors exposées à ces produits de combustion et les concepteurs

ont recours à la pose de matériaux de protection qui se subliment sous l’effet de l’écoulement.

Sur les sondes spatiales, la protection thermique vis à vis des agressions extérieures peut

également être assurée par ablation. Une étude de Green et Davy (1981), sur un prototype de

sonde “Galileo”, a montré la nécessité de poser 126 kg de matériau protecteur (pour un poids

de la sonde de 3 10 kg) pour résister aux contraintes induites par l’entrée dans l’atmosphère de

Jupiter.

2200

2000

_

1800

1600

-1400

200

000

Température entnieturfrhe T(K)

forcée et films

Aube à cavités

Aube non refroidie

Moteurs en sewice

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Fig. 2 Evolution des technologies de refroidissement (Petot 1997).

Une autre possibilité de protection thermique des parois est l’effusion. Il s’agit de

llmJection d’un fluide frais à travers une matrice poreuse. Ce procédé, s’il peut engendrer des

contraintes dues à une moindre tenue mécanique et aux risques d’encrassement des milieux

poreux, semble prometteur quant aux performances thermiques. En effet, l’injection de fluide

frais combine le refroidissement par convection interne à la paroi poreuse et la réduction du

flux thermique convectif incident du fait de l’épaississement des couches limites pariétales

(figure 3). De plus, l’emploi de matériaux poreux peut permettre de réduire la masse

embarquée par allégement des parois. Une application de ce procédé est la protection

thermique des chambres de combustion ou des tuyères de moteurs à flux continus mais peut

également être envisagée dans d’autres domaines : séchage et aérodynamique. Dans ce dernier

15

16

domaine, une part importante des efforts de recherche est employée à la réduction des traînées

autours de profils d'ailes et une injection de masse peut contribuer à réduire les forces de

frottement qui les engendrent.

Il semble, selon Grootenhuis (1959), que la première expérimentation de l'effusion

date de 1930. Elle concerne la protection d'une paroi poreuse en céramique soumise à un flux

de chaleur dégagé par la combustion d'un mélange de pétrole et d'oxygène. Le réfrigérant

utilisé est de l'oxygène et l'expérience, qui a duré 11 secondes, semble avoir prouvé la

faisabilité du refroidissement par effusion. Un premier brevet incluant ce mode de

refroidissement date de 1938. Cependant, c'est avec l'accélération des recherches en

aéronautique, après la seconde guerre mondiale, que les travaux portant sur la protection

thermique par effusion se sont développés. Ils concernent essentiellement les transferts de

chaleur au sein de matériaux poreux chauffés (Grootenhuis 1951) et les transferts en couches

limites soumises à de l'injection (Mickley et al. 1954). Cette séparation en deux aspects de

l'étude de l'effusion semble s'être longtemps prolongée avec, d'une part, des travaux sur les

matrices poreuses (Koh et al. 1973, Kar 1980, Yamamoto 1990) et, d'autre part, des études sur

les couches limites (Moffat et Kays 1968, Simpson 1970, Baker et Launder 1974a, Silva

Freire et al. 1995).

Fig. 3 Schéma de principe de l'effusion.

transferts de : masse, quantité de mouvement et chaleur

CONDUCTION + CONVECTION

ECOULEMENT TURBULENT CHAUD

CONVECTION +RAYONNEMENT

ENTREE DU FLUIDE FRAIS

SORTIE DU FLUIDE FRAIS

CONVECTION +RAYONNEMENT

PAROI

POREUSE

COUCHE LIMITE

PAROI

IMPERMEABLE

17

Au sein de l'Equipe Energétique et Thermique du Centre de Thermique de Lyon ont

débuté, au début des années 1990, des études portant sur l'expérimentation et la modélisation

de ce procédé. Andoh (1992) s'est principalement attaché à décrire les transferts de masse et

de chaleur au sein des milieux poreux. Il a ensuite couplé son modèle avec une modélisation

simplifiée des couches limites laminaires. Campolina França (1996), a étudié l'effet de

l'injection de masse sur la couche limite pariétale laminaire puis turbulente mais, dans son

étude, le fluide frais provient d'un milieu poreux considéré comme un milieu unique

équivalent donc sans transfert de chaleur interne.

Le présent travail, de nature numérique et expérimentale, traite de l'effusion dans le

cadre du régime turbulent de l'écoulement pariétal. Il a pour objectif d'aboutir à une

modélisation complète des écoulements et des transferts thermiques couplés, tant dans la

couche limite pariétale qu'à l'intérieur de parois poreuses, dans le cas d'une géométrie plane

et d'un écoulement bidimensionnel. L’utilisation d’une soufflerie subsonique à température

moyenne (300 °C) permet une approche expérimentale du problème et une confrontation des

résultats de la modélisation avec l'expérience.

Du fait de la diversité des phénomènes physiques étudiés, ce mémoire est présenté de

façon thématique.

Dans le premier chapitre, les différentes possibilités de modélisation de la turbulence

sont présentées. Les moyens expérimentaux et numériques que nous avons retenus sont

ensuite détaillés. Enfin, les résultats expérimentaux obtenus avec la soufflerie thermique, dans

le cas où il n'y a pas d'effusion, sont comparés aux résultats numériques.

Le second chapitre traite d'une nouvelle approche pour modéliser les couches limites

turbulentes dynamique et thermique soumises à l'effusion d'un gaz frais. La confrontation des

résultats numériques avec nos propres expériences et ceux issus de la bibliographie est ensuite

effectuée.

La troisième partie porte sur le couplage entre les transferts au voisinage et à l’intérieur

de matériaux poreux. Expérimentalement, des températures de la phase solide d'une plaque

poreuse sont mesurées dans diverses configurations. A l'aide, d'une part, d'un modèle des

transferts thermiques internes à la paroi et, d'autre part, du modèle de transferts en couches

limites (avec addition du rayonnement incident sur la plaque), les températures de parois sont

calculées et, par comparaisons avec les mesures, les coefficients d'échanges internes sont

quantifiés.

18

Enfin, dans le dernier chapitre, une optimisation du système de protection thermique

est proposée. Pour cela, les recherches portent sur la transpiration d'un liquide. Le phénomène

de mouillabilité est, tout d'abord, analysé. L'étude expérimentale met en évidence une

amélioration de la protection. La quantité de chaleur absorbée par évaporation est ensuite

déterminée à partir des mesures de concentrations de vapeur de réfrigérant dans la couche

limite pariétale. Ce calcul de chaleur absorbée par changement de phase est ensuite confronté

à des calculs théoriques de flux incidents et à des résultats de simulations numériques des

transferts en couches limites turbulentes.

Chapitre 1

ECOULEMENTS PARIETAUXTURBULENTS

20

Dans ce travail, le procédé de l'effusion est étudié en présence de l’écoulement pariétal

turbulent d’un fluide chaud. Il convient donc de s’intéresser aux questions relatives à la

turbulence. Les écoulements turbulents ont fait l'objet de nombreuses recherches tant au

niveau expérimental que théorique. Aussi, existe-t-il sur ce sujet une littérature abondante

permettant une bonne compréhension des phénomènes rencontrés. Par ailleurs, ce premier

chapitre, préalable à l'étude concrète du procédé de protection par effusion, sera l'occasion de

présenter de façon détaillée les moyens expérimentaux et numériques que nous avons retenus

pour l'étude complète de notre problème. Au sein de ce premier chapitre, trois thèmes sont

abordés.

La partie théorique, tout d'abord, traite de la turbulence. Afin de pouvoir simuler

l'écoulement pariétal, nous nous intéressons aux équations de bilan régissant le mouvement

moyen du fluide et aux conséquences de la turbulence sur la résolution de ces équations. La

difficulté de calculer directement les fluctuations de vitesse nécessite le recours à des

hypothèses simplificatrices entraînant une perte d'information. Les notions de fermeture du

système d'équations de bilan sont détaillées mais la non-universalité des modèles de

turbulence conduit à confronter ceux-ci à une étude expérimentale menée en parallèle.

Dans le cadre de cette étude expérimentale, la veine d'essais d'une soufflerie thermique

subsonique est présentée ainsi que l'instrumentation nécessaire à la mesure des profils de

vitesses et de température dans les couches limites turbulentes. Des résultats expérimentaux,

en amont de la zone de soufflage, permettent de connaître et de qualifier précisément

l'écoulement d'air dans la veine.

Enfin, la comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux obtenus

numériquement avec des modèles de turbulence est présentée. Cette confrontation est utile

pour choisir le modèle et le maillage le plus adapté à notre problème concret. Ce choix servira

de base de départ pour l'introduction de l'effusion dans notre modélisation de l'écoulement.

1.1. Etude théoriqueLe nombre de Reynolds, représentant le rapport entre les forces d'inertie et les forces

de frottement qui s’exercent sur un fluide, permet de caractériser le régime d’écoulement.

Pour des nombres de Reynolds faibles un écoulement est laminaire : les lignes de courant sont

parallèles entre elles et la viscosité est une propriété prépondérante. A tout instant, les champs

de vitesse, u, et de température, T, peuvent être calculés par la résolution des équations de

bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie. Ces relations de bilan sont obtenues en

21

appliquant le principe de la conservation de la masse, la relation fondamentale de la

dynamique et le premier principe de la thermodynamique à une parcelle de fluide. Pour

l'écoulement conservatif d'un fluide newtonien régi par la loi des gaz parfaits, ces équations

s'écrivent :

( )∂ρ∂

∂∂

ρt x

uj

j+ = 0 (1.1)

( ) ( )∂∂

ρ ∂∂

ρ ∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

µ ∂∂

δ ρt

ux

u uP

x x

u

x

u

x

u

xgi

ji j

i j

i

j

j

i

l

lij i+ = − + +

−

+2

3 (1.2)

( ) ( )∂∂

ρ ∂∂

ρ ∂∂

λ ∂∂

∂∂

∂∂

φt

hx

u hx

T

x

P

tu

P

xjj

j jj

j+ =

+ + + (1.3)

où φ est la fonction de dissipation visqueuse : φ∂∂

µ ∂∂

∂∂

µ ∂∂

δ= +

−

u

x

u

x

u

x

u

xj

i

i

j

j

i

l

lij

2

3 et

où l'enthalpie massique, h, est reliée à la température par la relation (1.4).

h c dTpTref

T= ∫ (1.4)

La température de référence est souvent choisie égale à 0 °C. Dans les relations (1.1) à

(1.4), apparaissent la masse volumique, ρ, la viscosité dynamique, µ, la conductivité

thermique, λ et la capacité thermique massique, cp.

Pour de plus grands nombres de Reynolds et à partir d'un certain seuil, des instabilités

apparaissent et l'écoulement semble désordonné : l'écoulement est alors qualifié de turbulent.

Les fluctuations spatiales et temporelles des différentes grandeurs sont d'autant plus

irrégulières que la vitesse est élevée. La turbulence est difficilement prévisible car une faible

variation des conditions aux limites de l'écoulement peut provoquer des modifications

importantes du champ des diverses grandeurs. Elle peut être caractérisée par quelques

propriétés : c'est un phénomène tridimensionnel, irrégulier dans l'espace et le temps,

rotationnel, diffusant fortement toute quantité transportée, et dissipant de façon importante

l'énergie cinétique en chaleur.

Les trois bilans, présentés ci-dessus, sont applicables au régime turbulent, du moins

tant que les plus petites échelles d'espace et de temps de l'écoulement sont grandes devant les

échelles d'agitation moléculaire. Cependant, la petitesse des échelles des fluctuations devant

les dimensions de l'écoulement rend illusoire leur traitement direct dans la grande majorité des

22

cas. Des études théoriques ont, toutefois, permis d'expliciter les mécanismes qui régissent la

turbulence.

Au sein d'un écoulement turbulent, coexistent plusieurs structures de tailles et de

fréquences différentes. Les grandes structures peuvent être assimilées à de gros tourbillons et

sont porteuses d'énergie cinétique. Leurs dimensions peuvent atteindre l'ordre de grandeur du

domaine occupé par l'écoulement. La viscosité moléculaire n'y joue aucun rôle. Leur énergie

cinétique est généralement produite par les gradients de vitesse de l'écoulement moyen. Ces

grandes structures, soumises au phénomène d'étirement tourbillonnaire, donnent naissance à

des structures plus petites tout en leur transférant une partie de leur énergie (Cousteix 1989).

Ce processus se répète et, au-dessous d'une certaine échelle de longueur, la viscosité

moléculaire joue un rôle important : l'énergie cinétique turbulente, transférée des grandes

structures vers les petites, est dissipée sous forme de chaleur. Ce processus de transfert est

appelé "cascade d'énergie", idée dont le développement est principalement dû à Kolmogorov

(1941).

Considérons une structure en rotation, de vitesse et de taille caractéristiques v et r. Le

temps de retournement, T = v/r, donne un ordre de grandeur du temps mis par une parcelle de

fluide piégée dans le tourbillon pour en faire un tour complet. La "cascade d'énergie" suppose

un équilibre : pendant le temps T, le tourbillon perd une partie de son énergie qui est

transférée à une structure plus petite mais en reçoit simultanément des structures plus grosses.

On peut mesurer la perte d'énergie d'une structure par un taux de dissipation d'énergie

cinétique ε proportionnel à v2/T soit v3/r. L'hypothèse de Kolmogorov stipule que ce taux est

indépendant de la taille de la structure. ε représente donc également le flux d'énergie à travers

la "cascade". Formulée dans l'espace de Fourier, où chaque dimension r d'une structure est

reliée à un nombre d'onde k = 2π / r, la loi de Kolmogorov montre que l'énergie cinétique du

signal turbulent au nombre d'onde k, est proportionnelle à k-5/3 dans la zone inertielle. Cette loi

a fait l'objet de vérifications expérimentales et s'applique dans de nombreuses situations. Par

ailleurs, la dimension caractéristique au-dessous de laquelle les tourbillons seront dissipés et

ne pourront plus produire de plus petites structures est appelée échelle de Kolmogorov. Elle

est de l'ordre du millimètre pour la couche limite de l'atmosphère terrestre et de l'ordre du

dixième de millimètre dans une turbulence de grille dans l'air (Lesieur 1994). Outre la

connaissance fondamentale de la turbulence qu'elles apportent, ces études théoriques sont un

élément essentiel pour l'amélioration des modélisations d'écoulements.

23

Devant la grande complexité de la turbulence, on a souvent recours au traitement des

problèmes par des méthodes statistiques. Ce recours au traitement statistique est justifié par la

difficulté d'accès aux nombreuses causes des instabilités. Ainsi, selon la "décomposition de

Reynolds", chaque grandeur g est décomposée en une valeur moyenne G et une fluctuation g'

autour de cette valeur moyenne (relation (1.5)). Pour un écoulement permanent en moyenne,

la valeur G est égale à la moyenne temporelle prise sur une seule expérience mais sur un

temps très long devant les échelles de temps de la turbulence.

g G g= + ' (1.5)

A l'aide de moyennes temporelles sur les équations de bilan et en appliquant les règles

dites "règles de Reynolds" où la moyenne de deux grandeurs f et g vérifie :

g f g F G ag aG Fg F Gg

x

G

x' , , , ,= + = + = = =0

∂∂

∂∂

(a étant une constante), il est possible

d'obtenir les équations régissant le mouvement moyen.

A noter qu'il existe d'autres types de décompositions comme la moyenne pondérée par

la masse (Favre et al. 1976) (relation (1.6)) particulièrement adaptée aux écoulements

compressibles.

Gg= ρ

ρ (1.6)

Cependant, la moyenne de Favre engendre des développements d'équations

relativement complexes et pour les écoulements faiblement compressibles, on pourra souvent

supposer que seule la valeur moyenne de la masse volumique varie et négliger les fluctuations

(Schiestel 1993). Pour le traitement numérique de notre problème, cette hypothèse est adoptée

ce qui revient à recourir à la décomposition de Reynolds.

1.1.1. Equations de bilan

Les équations de bilan moyennées sont obtenues après décomposition des vitesses et de

l'enthalpie. Pour la gamme de vitesse que l'on étudie, la pression peut être considérée comme non-

fluctuante dans les équations de bilan de la quantité de mouvement et de l'énergie. La présente étude

concerne un écoulement conservatif et permanent en moyenne d'un fluide newtonien régi par la loi

des gaz parfaits. Les propriétés du fluide sont strictement permanentes et varient avec la

température moyenne.

24

L'écoulement est régi par les équations de bilan de masse, de quantité de mouvement et

d'énergie (1.7), (1.8) et (1.9). La masse volumique suit la loi des gaz parfaits, la viscosité

dynamique et la conductivité thermique sont déterminées par interpolations de données

tabulées.

∂

∂

ρUj

xj=0 (1.7)

∂∂

ρ ρ ∂∂

ρ

∂∂

µ∂∂

∂

∂µ

∂∂

δ

x jUi U j ui u j

P

xigi

x j

Uix j

U j

xi

Ulxl

ij

+

= − + +

+

−

' '

2

3

(1.8)

( )∂∂

ρ ρ∂

∂λ

∂∂

∂∂x j

U j H u j hx j

T

x jU j

P

x j+ =

+' ' (1.9)

Dans le bilan (1.9), la dissipation visqueuse est négligée et la valeur moyenne de

l'enthalpie, H, est reliée à la température par la relation (1.4) où la capacité thermique

massique est également fonction de la température ; la température de référence choisie est de

0 °C.

Les équations moyennées font apparaître des termes de corrélations doubles des

fluctuations. Ils proviennent de la non-linéarité des équations de bilans. Ces termes, appelés

tensions de Reynolds, traduisent l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen

et rendent les systèmes d'équations ouverts (plus d'inconnues que de relations). C'est la

conséquence de la prise de moyenne des équations instantanées qui introduit une perte

d'information. Se pose alors le problème de la fermeture du système, c'est-à-dire du lien entre

les corrélations doubles et le champ moyen.

Dans les bilans (1.8) et (1.9), on peut intégrer des contributions de la turbulence dans

les termes de diffusion (équation (1.10) et (1.11)). On parle alors de diffusion turbulente. Ces

contributions de la turbulence s'ajoutent aux effets moléculaires, eux mêmes dépendants des

propriétés thermophysiques du fluide en écoulement.

τ µ∂∂

∂

∂µ

∂∂

δ ρijUix j

U jxi

Ulxl

ij ui uj

effet moléculaire effet turbulent

= +

− −2

3' '

(1.10)

25

qT

x juj h

moléculaire turbulent

= − +λ ∂∂

ρ ' ' (1.11)

Les modèles de turbulence servent à calculer ces contributions turbulentes. Selon la

région de l'écoulement, les termes turbulents peuvent être prépondérants ou négligeables

devant les termes moléculaires. Dans un écoulement de type couche limite, par exemple, ce

rapport entre la diffusion moléculaire et la diffusion turbulente varie avec la distance à la

paroi.

1.1.2. Couches limites

Considérons un écoulement fluide à vitesse U1e et à température Te sur une plaque à

température Tp (figure 1.1). Au voisinage de la paroi, les valeurs de la vitesse et de la

température sont différentes de celles de l'écoulement potentiel et varient en fonction de la

distance à la paroi, x2. Cette zone de gradients de vitesse et de température est appelée couche

limite. Elle résulte d'échanges de quantité de mouvement et de chaleur entre le fluide et la

paroi. Son épaisseur est généralement petite par rapport à l'ensemble de l'écoulement. On

distingue deux types de couche limite : la couche limite dynamique et la couche limite

thermique.

Fig. 1.1 Couches limites dynamique et thermique.

Couche limite dynamique

Une des principales caractéristiques d'un fluide est sa viscosité. Cette dernière varie

avec la température mais n'est jamais nulle. En conséquence, la vitesse du fluide à la paroi est

U1e, Te

U1

Tp

T-Tp

x2

x1

δ

δΤ

0,99 Ue1

0,99 (Te-Tp)

26

nulle et on observe des forces de frottement qui freinent l'écoulement au voisinage de celle-ci.

L'épaisseur de couche limite, δ, est définie par la distance à la paroi x2 pour laquelle U1 (x2) =

0,99 U1e.

Couche limite thermique

Lorsque le fluide, à température Te, s'écoule sur la paroi à température Tp, des

échanges thermiques s'établissent. Les particules du fluide s'échauffent ou se refroidissent au

contact de la plaque. Ces particules échangent de la chaleur de proche en proche avec leurs

voisines et un gradient thermique se forme. Par convention, l'épaisseur de la couche limite

(x2 = δΤ) correspond à la frontière où Tfluide (x2) = 0, 99 (Te - Tp) + Tp.

Couches limites et turbulence - lois de paroi

Comme dans les écoulements en général, on distingue dans les couches limites un

régime laminaire et un régime turbulent. Une couche limite laminaire, se développant sur une

paroi plane, devient turbulente à partir d'une certaine longueur correspondant à un nombre de

Reynolds critique (RecritexU=

ν) de l'ordre 3 105 à 5 105 pour une surface lisse (Padet 1990).

Les observations concernant les couches limites dynamiques turbulentes permettent de

distinguer deux zones au sein de celles-ci : tout d'abord une région interne dépendant

fortement des conditions à la paroi et elle-même divisible en deux (sous-couche visqueuse et

zone logarithmique) puis une région externe. L'introduction de variables adimensionnelles

facilite la distinction entre ces différentes régions. Pour cela, on définit, à l'aide de la vitesse

de frottement (relation (1.12)), une distance à la paroi et une vitesse adimensionnelle

(relations (1.13) et (1.14)).

U wτ

τρ

= (1.12)

où τw est la contrainte de cisaillement à la paroi.

yx U+ = 2 τ

ν (1.13)

où x2 est la distance à la paroi.

27

UU

U+ = 1

τ (1.14)

où U1 est la vitesse longitudinale de l'écoulement.

La sous-couche visqueuse est une zone très proche de la paroi et très mince où les

effets des forces de viscosité sont prépondérants devant les effets des forces d'inertie. On fait

l'hypothèse que, dans cette zone, le profil de vitesse suit la relation (1.15).

U y+ += (1.15)

La zone logarithmique, séparée de la sous-couche visqueuse par une zone tampon,

constitue la partie extérieure de la couche interne. Comme son nom l'indique, la vitesse varie

proportionnellement à log y+. Dans cette zone, les effets turbulents sont devenus

prépondérants par rapport aux effets moléculaires et le profil de vitesse est bien décrit par la

loi de paroi (équation 1.16).

U Ey+ += 1

κln( ) (1.16)

où E est une constante empirique égale à 9,0 pour une paroi lisse, selon Launder et

Spalding (1974) et κ est la constante de von Karman (κ = 0,4).

A noter que l'équation implicite (1.17) couvre l’ensemble de la région interne de la

couche limite turbulente (White 1991). Mais cette relation est peu utilisée car délicate

d'emploi.

y UE

e UU UU+ + +

+ += + − − − −

+11

2 6

2 3κ κ κ κ( ) ( )

(1.17)

Enfin la région externe est décrite par d'autres lois semi-empiriques dites lois de sillage

(équation (1.18) où il n'existe pas d'universalité dans la valeur de la constante B).

U U

U

xBe1 1 21− = − +

τ κ δln (1.18)

Sur la figure 1.2, le profil semi-logarithmique de vitesse illustre les différentes zones

décrites ci-dessus. Même s'il n'existe pas de valeurs exactes de y+ pour délimiter les

différentes zones, on peut citer des ordres de grandeurs pour les frontières : la sous-couche

laminaire s’étend entre y’ = 0 et y+ = 3 à 5, la zone logarithmique débute pour y+ = 30 à 60 et

la région externe commence à y+ = 300 à 500.

U+

zone logarithmique

Fig 1.2 Subdivision de la couche limite turbulente.

D’un point de vue thermique, des lois de profils de température peuvent être établies

dans la couche limite à partir d’analogies entre transferts de chaleur et transferts de quantité de

mouvement. Par exemple, Launder et Spalding (1974) proposent la loi (1.19) pour la région

logarithmique.

h(AT/ x2) 1 oh--

4- - ln(EY+)+;(~)5’4 si;;;4)(g’2(g - 1)ICy+ Pr

(1.19)

avec AT = T - TP, A constante de Van Driest (A = 26), et oh = 0,85.

Du fait de l’existence dans une couche limite turbulente d’une zone où les effets

visqueux sont prédominants, deux types de modèles peuvent être utilisés pour la simulation

numérique. On dispose ainsi de modèles dits “à haut nombre de Reynolds” qui ne calculent

pas l’écoulement jusqu’à la paroi mais qui peuvent être couplés avec des lois semi-

logarithmiques, ou bien, de modèles dits “à bas nombre de Reynolds”, plus complexes, qui

prennent en compte les effets visqueux à proximité de la paroi.

28

29

1.1.3. Fermeture du système d'équations de bilan

Pour calculer les tensions de Reynolds, deux possibilités sont envisageables. D’une

part, les corrélations doubles peuvent être calculées à partir des valeurs moyennes de

l'écoulement en faisant appel au concept de viscosité turbulente. Cette première approche est

chronologiquement la plus ancienne. D’autre part, on peut obtenir des équations de transport

des tensions de Reynolds mais, dans ces nouvelles équations, interviennent des termes de

corrélations triples qu'il faut à nouveau modéliser.

Modèles de viscosité turbulente

Le concept de viscosité turbulente permet d'exprimer les contraintes de Reynolds en

fonction des gradients de vitesse moyenne de l'écoulement. Cela revient à conférer aux

contraintes turbulentes, grandeurs ayant une origine convective non linéaire, un caractère

diffusif de type gradient donc de nature linéaire. L'idée de viscosité turbulente lève le

problème de fermeture mais au prix d'entorses à la physique réelle car cette idée ne peut se

démontrer (Lesieur 1994). Ce concept se traduit par l'hypothèse de Boussinesq qui, pour un

fluide dont la masse volumique varie, s'écrit selon la relation suivante (Lesieur 1990) :

u i u j tUix j

U j

xit

Ulxl

ij k ij' ' = − +

+ +ν

∂∂

∂

∂ν

∂∂

δ δ2

3

2

3 (1.20)

où k désigne l'énergie cinétique turbulente : ku i= '2

2.

De même, pour l'équation de l'énergie, est introduit le concept de diffusivité

turbulente, liée à la viscosité turbulente par l'intermédiaire du nombre de Prandtl turbulent, σh.

La valeur de ce nombre sans dimension est en général donnée par l'expérience. L'équation

(1.21) traduit cette analogie entre transferts de quantité de mouvement et transferts de chaleur.

u j h t

h

cpT

x j' ' = − ν

σ

∂

∂ (1.21)

Pour mener à bien la résolution des équations de bilan, il convient d’évaluer la

viscosité turbulente. La théorie de la longueur de mélange est la plus ancienne. Elle relie

(équation (1.22)) la viscosité turbulente au gradient de vitesse moyenne par introduction d'une

échelle de longueur, l, appelée longueur de mélange.

30

ν ∂∂t lU

x= ² 1

2 (1.22)

De nombreux auteurs ont établi des relations empiriques pour le calcul de l. Dans le

cas d’un écoulement en couche limite, il a été proposé une longueur l proportionnelle à x2

dans la région interne et une longueur constante dans la région externe (Schiestel 1993). En

opérant de la sorte, on ne fait que "déplacer le problème" puisque la longueur de mélange reste

à déterminer à partir d'hypothèses phénoménologiques de l'écoulement. Cette modélisation

n'est donc recommandable que dans le cas d'écoulements simples et bien connus.

Une approche similaire consiste à admettre que la viscosité turbulente est reliée à

l'énergie cinétique turbulente comme le suggère, par exemple, l'hypothèse de Prandtl-

Kolmogorov (équation 1.23).

νt lk= 1 2/ (1.23)

Cette modélisation, appelée "modèle k-l", requiert la résolution d'une nouvelle

équation de bilan, qui porte sur l'énergie cinétique turbulente. Cette nouvelle équation

intervient également dans les modèles de type k-ε auxquels nous allons nous intéresser de

façon plus détaillée.

Modélisation k-ε

L'approche consiste à représenter les propriétés de la turbulence à l'aide d'échelles de

vitesse et de longueur caractéristiques des fluctuations. L'échelle de vitesse est obtenue par

l'intermédiaire de l'énergie cinétique turbulente k (u’ ≈ k ). L'échelle de longueur est, quant à

elle, plus délicate à définir et l'on a recours à une nouvelle équation de transport portant sur le

taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente ε. Ce taux de dissipation est relié, par

l'intermédiaire de l'hypothèse de l'unicité de l'échelle des temps, à l'échelle de longueur l :

ε ≈ k

l

3 2/. Dans l'hypothèse de Boussinesq (relation 1.20), on peut considérer que le terme

SU

x

U

xijj

i

i

j= +

1

2

∂∂

∂∂

représente l'inverse de l'échelle des temps (soit k

l

1 2/). D'autre part, on

admet que le terme de fluctuation double représente le carré de l'échelle de vitesse (soit k). On

31

peut alors déduire une relation liant la viscosité turbulente à l'énergie cinétique turbulente et à

son taux de dissipation :

νεµt Ck= ²

(1.24)

où Cµ est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement.

Cette nouvelle définition de la viscosité turbulente présente un degré de généralité plus

élevé que les modélisations présentées ci-dessus mais requiert la résolution de deux nouvelles

équations de transport (équations (1.26) et (1.27)).

L'équation régissant le transport de l'énergie cinétique turbulente, k, est obtenue en

moyennant le produit scalaire de l'équation de quantité de mouvement fluctuante par le

vecteur vitesse fluctuante (l'équation de quantité de mouvement fluctuante étant obtenue par

soustraction entre l'équation instantanée et l'équation moyennée). Dans cette nouvelle

équation, apparaît un terme de corrélations doubles u ki' que l'on peut modéliser par

généralisation de l'hypothèse de Boussinesq et introduction d'un "nombre de Prandtl

turbulent" pour k, σk, qui sera évalué empiriquement. Il apparaît également un terme que l'on

assimile au taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente (relation 1.25).

ε ν ∂∂

∂∂

= u

x

u

xi

j

i

j

' ' (1.25)

En traitant directement l'équation (1.25) puis en modélisant les termes de diffusion

turbulente u i' 'ε (à l'aide d'un "nombre de Prandtl turbulent" pour ε, σε) ainsi que les termes de

"destruction du taux de dissipation", on obtient l'équation de transport pour ε. Le système

d'équation de bilan est alors fermé. Ainsi, pour un écoulement permanent en moyenne, dont

les propriétés varient avec la température moyenne, le système à résoudre est :

∂

∂

ρUjxj

=0 (1.7)

( )∂∂

ρ ∂∂

ρ

∂∂

ρ ν ν∂∂

∂

∂ρ ν ν

∂∂

δ ρ δ

x jUi U j

P

xigi

x jt

Uix j

U j

xit

Ulxl

ij k ij

= − + +

+ +

− + −

( ) ( )

2

3

2

3

(1.8 bis)

32

( )∂∂

ρ ∂∂

ρ ν νσ

∂∂

∂∂x j

U j Hx j

t

h

H

x jU j

P

x j= +

+(

Pr) (1.9 bis)

( )∂ ρ

∂∂

∂ρ ν

νσ

∂∂

ρν∂∂

∂

∂∂∂

ρεU jk

x j x j

t

k

k

x jt

Uix j

U jxi

Uix j

Transport Diffusion oduction Dissipation

= +

+ +

−( )

Pr

(1.26)

( )∂ ρ ε

∂∂

∂ρ ν ν

σε

∂ε∂ ε

ε ρν ∂∂

∂∂

∂∂ ε ρ εUj

x j x j

tx j

Ck t

Uix j

Ujxi

Uix j

Ck

Transport Diffusion oduction Dissipation

= +

+ +

−( )

Pr

1 22

(1.27)

L'inconvénient de ce type de modèle est l'introduction de constantes empiriques,

déterminées en réalisant des expériences particulières. Les constantes les plus couramment

utilisées sont celles de Jones et Launder (1972), auteurs qui sont à l'origine de ce type de

modèle : σh = 0,7 ; Cµ = 0,09 ; σε = 1,3 ; σk = 1,0 ; Cε1 = 1,44 et Cε2 = 1,92. Ce modèle

permet d'étudier de façon satisfaisante un certain nombre d'écoulements mais n'est applicable

qu'assez loin des parois. C'est pourquoi, il est souvent associé à une loi de paroi qui permet de

ne pas mener la résolution des équations de bilan jusqu'à cette paroi.

Plus récemment, des fonctions d'amortissement ont été introduites dans l'équation de

transport du taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente et dans la relation liant la

viscosité turbulente à k et ε (équation (1.24)). Ces fonctions d'amortissement permettent le

calcul du champ de vitesse jusqu'à la paroi, on parle alors de modèle k-ε "à bas nombre de

Reynolds". Cependant, ces corrections ne sont pas universelles et sont obtenues, là encore, à

partir de configurations bien spécifiques. A titre d'exemple, citons Patel et al. (1985) qui

présentent et comparent les performances de sept modèles k-ε "à bas nombre de Reynolds"

dans quatre configurations différentes. Citons également Cho et Golstein (1994) qui

comparent leur propre modèle à trois autres.

Modèle RNG k-ε

Un nouveau modèle, fondé sur les méthodes utilisant le groupe de renormalisation est

apparu ces dernières années. Appelé modèle RNG k-ε (Yakhot et Orszag 1986), il utilise une

théorie différente des techniques statistiques classiques. La taille des échelles turbulentes est

33

prise en compte pour déterminer la part de l'énergie qui sera transportée et celle qui sera

dissipée. Les petites échelles de turbulence qui dissipent toute leur énergie sont modélisées

alors que les grandes échelles de turbulence sont étudiées précisément. Cette modélisation

aboutit à des équations de transport de k et ε (relations (1.28) et (1.29)) très proches de celles

du modèle k-ε standard. La principale différence vient des constantes qui ne sont plus

déterminées expérimentalement mais calculées théoriquement. Zhou et al. (1997) décrivent

l'évolution des modèles RNG k-ε. Les relations présentées ci-dessous sont celles d'une version

récente développée par Yakhot et Orszag.

( )∂ ρ

∂∂

∂ρα ν ∂

∂ρν

∂∂

∂

∂∂∂

ρεU jk

x j x jk eff

k

x jt

Uix j

U jxi

Uix j

=

+ +

− (1.28)

( )∂ ρ ε

∂∂

∂ραεν ∂ε

∂ εε ρν

∂∂

∂

∂∂∂ ε ρ εU j

x j x jeff x j

Ck t

Uix j

U jxi

Uix j

Ck

R=

+ +

− −1 2

2 (1.29)

avec Cµ = 0,0845 ; Cε1 = 1,42 et Cε2 = 1,68. αk et αε sont les inverses des nombres de

Prandtl turbulent pour k et ε.

De même que pour le modèle k-ε, le modèle RNG peut être soit associé à une loi de

paroi soit utiliser des corrections du type "bas nombre de Reynolds". Pour des calculs à "haut

nombre de Reynolds" αk = αε = 1,39. Dans le cas de calculs à "bas nombres de Reynolds", une

variation de αk et αε est pris en compte selon la relation implicite suivante :

αα

αα

νν

−−

× ++

=1 3929

1 3929

2 3929

2 39290

0 6321

0

0 3679,

,

,

,

, ,

eff (1.30)

où α0 vaut 1.

La viscosité effective, νeff, est donnée par la relation (1.31). Elle combine les viscosités

moléculaire et turbulente.

ν νν ε

ν νν

µeff

tC k= +

= +

1 1

2 2

(1.31)

34

Enfin, RC

k=

−

+

ρ η η

ηεµ

3

3

21 4 38

1 0 012

( , )

, avec η = S k / ε où S est la norme du tenseur Sij ,

SU

x

U

xijj

i

i

j= +

1

2

∂∂

∂∂

.

Modèle aux tensions de Reynolds (RSM)

L'une des principales limites des modèles de la famille k-ε est l'introduction d'une

viscosité turbulente isotropique. Cela implique que les fluctuations de vitesse sont

identiquement affectées par les gradients du champ moyen dans chaque direction. L'isotropie

de la viscosité turbulente peut entraîner des résultats erronés dans le cas d'écoulements

complexes. Pour ces raisons, les modélisations au second ordre se sont développées : les

tensions de Reynolds sont considérées comme des grandeurs transportées susceptibles d'avoir

une histoire individuelle.

Ainsi, il est possible d'écrire des équations de transports pour les corrélations doubles

sous la forme de la relation (1.32) pour la corrélation u ui j' ' avec k comme indice de

sommation. Cependant, apparaissent des corrélations d'ordre trois qu'il faut à nouveau

modéliser.

( ) ( ) ( )' ' ' '

' ' ' '

( ) ( ) ( )

' ' '(

' ') ' ' '

' ' '( ' ' )

1 2 3

4 5 6

2

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ν ∂∂

∂∂ ρ

∂∂

∂∂

∂∂

ν∂

∂ ρδ δ

u u

tU

u u

xu u

U

xu u

U

x

u

x

u

x

p u

x

u

x xu u u

u u

x

pu u

i i jj k

k

i

k

i

k

i

j

j

i k

ijk i ik j

jk

j

ki k

k

i

i j kj

k

+ = − +

− + + − − + +

(1.32)

On définit, de gauche à droite dans la relation (1.32), les termes d'inertie (1), de

transport (2), de production (3), de dissipation (4), de corrélation pression-déformation (5) et

de diffusion (6). La fermeture du système d'équations nécessite l'emploi d'une modélisation de

ces différents termes. Une modélisation très usitée est celle de Launder et al. (1975). Elle

permet entre autres de calculer les corrélations triples en fonction du gradient des corrélations

doubles : − =u u u ck

u uu u

xi j k s k li j

l' ' ' ' '

' '

ε∂

∂ où cs est une constante et k

u i= '2

2. Le taux de

35

dissipation de l'énergie cinétique turbulente est calculé, par ailleurs, par une nouvelle équation

de transport.

De même que pour les modélisations de type k-ε, le modèle aux tensions de Reynolds

peut être, soit associé à une loi de paroi, soit utilisé "à bas nombre de Reynolds" (So et Yoo

1987 et Shima 1993, par exemple). Selon le type de modélisation retenu, les conditions aux

limites pour l'équation de transport des corrélations doubles devront être adaptées pour fixer,

soit des termes de production à la paroi pour un modèle "à bas nombre de Reynolds", soit une

valeur limite des tensions de Reynolds dans le cas de l'emploi d'une loi de paroi.

Ce type de modèle présente une amélioration quant à la qualité de la fermeture des

équations de bilan. Cependant, la modélisation de tous les termes de l'équation exacte du

transport des tensions de Reynolds fait encore l'objet de nombreuses recherches (Younis et al.

(1996), par exemple). De plus, sa mise en oeuvre numérique reste délicate.

De façon plus générale, les modèles statistiques sont tous confrontés au problème de

non-universalité de ce type de fermeture. C'est pourquoi un choix de modèle de turbulence ne

peut se faire a priori mais par confrontation avec des résultats théoriques ou expérimentaux.

Plus récemment, sont apparues des techniques plus précises (simulations des grandes échelles,

simulation numérique directe) traitant directement, totalement ou en partie, les équations de

bilan. Ces techniques prometteuses sont coûteuses en temps et moyens de calculs. Elles sont

de plus en plus utilisées comme "expérimentation numérique" pour valider des modèles

statistiques de turbulence. De même, des modèles statistiques plus élaborés comme les

modèles de fermeture en deux points et deux temps (Direct Interaction Approximation) ou

deux points et un temps (Eddy Damped Quasi-Normal Markovian model) sont développés

mais leur complexité en fait des modèles inadaptés à notre étude. Aussi, avons nous choisi de

recourir à des modélisations de type k-ε, en parallèle à une étude expérimentale des

écoulements pariétaux turbulents.

1.2. Etude expérimentale des couches limites turbulentesAfin de mener à bien l'étude expérimentale de la protection de matériaux poreux par

effusion, une soufflerie thermique subsonique a été conçue et construite en 1995. Il ne s'agit

pas ici de détailler très précisément ni son dimensionnement ni la qualification de

l’écoulement. Cet aspect a été développé par ailleurs (Campolina França (1996) et Rodet et al.

36

(1998)). En revanche, une présentation synthétique de la soufflerie, de sa veine d'essais ainsi

que de l'instrumentation retenue pour la mesure de vitesses et de températures semble

nécessaire à la bonne compréhension de l'ensemble des résultats expérimentaux qui seront

présentés dans le présent mémoire. De plus, les principales caractéristiques de l'écoulement

turbulent dans la veine d'essais seront présentées.

1.2.1. Présentation de la soufflerie et de la veine d'essais

La soufflerie (figure 1.3) est essentiellement constituée, d'un ventilateur hélico-centrifuge à

vitesse variable de 0 à 3000 tr/min, d'une batterie de résistances chauffantes d'une puissance électrique

totale de 120 kW, d'une chambre de tranquillisation, de la veine d'essais et d'un ensemble de trois

vannes permettant un fonctionnement soit en boucle fermée soit en boucle ouverte. Dans ce dernier

type de fonctionnement, l'air sortant de la veine peut céder une grande partie de sa chaleur à l'air

entrant (air ambiant) au niveau de deux échangeurs à plaques. Le fonctionnement en boucle fermée

est utilisé pour le préchauffage de l'installation et pour des études avec injection d'air. Celui en boucle

ouverte est choisi pour un refroidissement accéléré ou pour des études avec injection à travers le

matériau poreux d'un fluide différent de l'air de l'écoulement principal.

Fig 1.3 Schéma de la soufflerie thermique.

Le débit maximal est de 3 m3/s à la température ambiante ce qui induit une vitesse de

25 m/s dans la veine et la température maximale possible dans celle-ci est de 300 °C. La

température de l’écoulement principal est contrôlée (régulateur PID et sonde platine) et la

vitesse dans la veine est obtenue par variation de la fréquence d’alimentation du ventilateur.

ventilateur

chambre detranquillisation

injection du fluidesecondaire

réchauffeur électrique120 kW

admission d'airambiant

sortie de l'air encircuit ouvert

veine d'essais

caisson de tranquillisationet plaque poreuse filtre

échangeurs à plaquesrécupérateurs de chaleur

37

La veine d'essais, parallélépipède de 2 m de longueur, 0,5 m de largeur et 0,2 m de

hauteur, est constituée d'un plancher et d'un plafond, tous deux modulaires, en duralumin et de

deux parois latérales en verre pyrex.

L'élément poreux, de volume 600 x 300 x 3 mm3, est intégré dans le plancher à une

abscisse variable de façon discrète avec un pas de 200 mm. Les plaques poreuses, choisies

pour leur qualité de résistance thermo-mécanique, de résistance à la corrosion et

d'homogénéité de porosité, sont en acier inoxydable fritté. Leurs caractéristiques seront

détaillées au chapitre 3.2. Pour l’étude des couches limites, une plaque de porosité 30 % et

dont le diamètre moyen des pores est de 30 µm est utilisée.

L'injection d'air dans la plaque poreuse (figure 1.4) s'effectue par l'intermédiaire d'un

caisson de 150 mm de hauteur équipé de deux plaques déflectrices placées face aux arrivées

d'air dans celui-ci. Sa conception s'inspire de celle du caisson développé par Baker et Launder

(1974a). Une soupape de sécurité est mise en place pour assurer une pression inférieure à

30000 Pa dans le caisson.

Fig. 1.4 Schéma de la veine d'essais et du caisson d'injection (plan médian).

Le taux d'injection est défini par le rapport entre la vitesse massique de fluide injecté

sur celle de l’écoulement potentiel (relation (1.33)). La vitesse verticale, vf, est ici la vitesse

de filtration, c'est à dire la vitesse moyennée sur toute la surface de la paroi. La vitesse

réseau d'aircomprimé

détendeurdiaphragme

écoulement principal

plaque déflectrice

Soupape desécurité

paroi poreusethermocouple Te

tube de Pitot

plaque déflectrice

prise depression

plafond de la veine

plancher de la veine

T1

capteur de pressiondifférentiel

T5T3T4

hublots

T2

x2

x1

caissond'injection

38

massique de l’air injecté, ρwvf, est calculée à partir du débit massique de l'écoulement

secondaire mesuré à l'aide du diaphragme (figure 1.4).

Fv

Uw f

e e= ρ

ρ 1 (1.33)

1.2.2. Instrumentation.

Un tube de Pitot et un thermocouple (type K, diamètre 1 mm), mobiles dans la veine,

permettent de mesurer, dans le plan médian, les vitesses et températures moyennes dans

l'écoulement principal (jusqu'à la surface de la plaque poreuse pour le thermocouple). Cinq

thermocouples (T1 à T5 sur la figure 1.4) permettent d'estimer les températures, du fluide

secondaire à l'entrée du caisson et juste sous la plaque poreuse.

Quatre prises pour la mesure de la pression statique de l'air ont été installées le long du

plancher de la veine (entrée de la veine, début, milieu et fin de la plaque poreuse) et une

cinquième sur l'une des parois latérales du caisson. Ces prises sont reliées par des tubes en

Téflon à un commutateur manuel puis à un capteur de pression différentielle Rosemount

(précision de 0,2% de l'étendue de mesure) et ensuite à un indicateur digital de pression. Par

ailleurs, les mesures de pression totale et statique de l'air sont réalisées pour la détermination

de vitesse par le tube de Pitot.

Un anémomètre laser Doppler (voir descriptif en annexe II) a été installé en face d’une

des parois latérales en verre de la veine d’essais afin d’effectuer des mesures de vitesse dans

la couche limite. Il s’agit d’un laser à trois faisceaux permettant de mesurer deux composantes

de la vitesse suivant les axes x1 et x2. La structure est placée sur un bâti permettant un

déplacement micrométrique du laser. L’optique émettrice du laser génère des faisceaux

lumineux d’intensité égale mais de fréquence différente (correspondant au bleu et au vert)

ainsi qu’un faisceau commun (bleu + vert). Une lentille fait ensuite converger les trois

faisceaux en un point (volume de mesure) créant un réseau de franges d’interférence. Les trois

rayons se croisent en formant deux plans perpendiculaires dont les normales sont orientées à ±

45° par rapport à l'écoulement. Un système, appelé cellule de Bragg, décale la fréquence du

faisceau commun de 40 Mhz ce qui permet de faire défiler le réseau de franges d'interférence.

Des particules provenant du système d’ensemencement pénètrent dans le volume de mesure et

diffuse isotropiquement la lumière. Une partie de cette lumière est captée par le récepteur,

constitué d’un photomultiplicateur qui convertit le signal lumineux en un signal électrique. La

39

fréquence f de cette lumière, appelée fréquence Doppler, est directement liée à la vitesse

relative de la particule, V, dans le réseau de franges d'interférence selon la relation (1.34). La

comparaison entre cette fréquence f et la fréquence de décalage introduite par la cellule de

Bragg permet de déterminer le signe de la vitesse dans le repère de la veine.

( )f

V=

2 2sin θλ

(1.34)

où θ est l’angle entre les deux faisceaux incidents (bleu ou vert et le commun) et λ la longueur

d’onde de la lumière incidente.

Les signaux ainsi obtenus sont ensuite filtrés et numérisés. L'ensemencement de

l'écoulement principal a été réalisé avec des gouttes d'huile ou de la fumée d'encens selon le

niveau de température (jusqu'à 50°C avec l'huile, et pour les températures supérieures, jusqu'à

100°C, avec l'encens) à l'aide d'une canne d'injection située en amont de la chambre de

tranquillisation. La résolution verticale offerte par le dispositif de mesures est de l'ordre de 0,1

mm.

Le plafond de la veine est équipé de trois hublots de visée infrarouge situés au-dessus

du début, du milieu et de la fin de plaque poreuse. Une caméra infrarouge (voir descriptif en

annexe III), placée au-dessus du plafond et pouvant être translatée d'un hublot à un autre,

permet de visualiser et de contrôler le champ thermique sur la paroi poreuse.

1.2.3. Etude de l’écoulement.

Ce travail consiste à étudier la couche limite, sans injection, à température ambiante,

puis pour une température plus élevée.

Résultats préliminaires

Les prises de pression statique disposées le long du plancher de la veine ont permis

d'évaluer le gradient de pression longitudinal à environ 7 Pa/m quand la vitessse de

l'écoulement dans la veine vaut 10 m/s. Pour cette vitesse, l’intensité longitudinale de

turbulence dans l'écoulement potentiel au-dessus de la plaque poreuse est de 1 %.

Développement de la couche limite dynamique

Les résultats obtenus dans la couche limite dynamique à l'abscisse x1 = 0,86 m

(correspondant à la position du début de la plaque poreuse comptée à partir de l'entrée de la

40

veine), à la vitesse Ue de 10 m/s, et après introduction en début de veine et transversalement à

celle-ci, d'une rugosité (profil rectangulaire de 2 mm de hauteur, 0,5 mm d'épaisseur et 500

mm de longueur) ont permis de qualifier l’écoulement (Rodet et al. 1998). Cette hauteur de

rugosité a été déterminée expérimentalement de telle sorte que pour une gamme de vitesses

centrée sur 10 m/s, la couche limite soit turbulente en amont de la paroi poreuse.

Pour la suite de cette étude, nous avons choisi de conserver cette configuration. Une

analogie de Reynolds entre les résultats obtenus dans ces conditions et ceux théoriques que

l'on obtiendrait sur plaque plane semi-infinie (développement de la couche limite à partir du

bord d'attaque de la plaque), peut être effectuée. Pour cela, on utilise la valeur du coefficient

de frottement calculée à x1 = 0,86 m et par la corrélation (1.35) liant pour un écoulement

turbulent le coefficient de frottement avec le nombre de Reynolds.

Re,

xeq

fC=

0 0295

2

5

(1.35)

où Rexeq

eqex U= 1

ν et x1

eq est l’abscisse comptée à partir du bord d'attaque de la plaque

plane équivalente.

En prenant pour Cf , la valeur donnée par des corrélations intégrales (reliant le

coefficient de frottement à l’épaisseur de quantité de mouvement θ,

θ ρρ

= −

∞∫ U

U

U

Udx

e e e

1

101

121 ), on obtient, pour Ue égale à 10 m/s, x1

eq = 1,25 m. La différence

entre cette longueur et la distance séparant l'entrée de la veine avec le début de la plaque

poreuse où ont été effectuées les mesures, soit 0,39 m, est liée aux singularités à l'entrée de la

veine : raccord entre le convergent de la chambre de tranquillisation et la veine, rugosité

introduite.

La figure 1.5 présente, en milieu de plaque poreuse et sans effusion, les profils de la

vitesse longitudinale pour des températures de l'écoulement principal de 20, 45 et 100°C. Ces

résultats mettent en évidence une faible influence de la température dans la gamme étudiée.

L’abscisse équivalente obtenue à température ambiante sera donc conservée pour l’étude d’un

écoulement chaud. Par la suite, l’ensemble des mesures sera effectué pour une vitesse de

l’écoulement potentiel de 10 m/s et la variation du taux d’injection sera obtenue par variation

du débit de fluide frais.

41

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1 (m/s)

Te = 20 °C

Te = 45 °C

Te = 100 °C

Fig. 1.5 Profils de vitesse pour différentes températures d’écoulement.

Par ailleurs, la plaque poreuse utilisée présente une rugosité moyenne de 30µm. Les

premiers essais de qualification ont montré que l'écoulement au-dessus de la paroi poreuse

peut être considéré comme lisse (la hauteur moyenne des aspérités correspond à une valeur de

y+ d'environ 1, sensiblement inférieure à l'épaisseur de la sous-couche visqueuse). Le caractère

bidimensionnel de l'écoulement au-dessus de la zone de soufflage est obtenu dans une bande

d'environ 10 cm de largeur centrée sur la ligne médiane (Campolina França et al. 1998).

Les résultats expérimentaux montrent principalement : l’existence d’un profil de

vitesse longitudinale moyenne logarithmique pour 30 < y+ < 200, que la contrainte turbulente

( −ρu u1 2' ' ) s’annule à la paroi, passe par un maximum dans la zone proche de la paroi puis

s’annule sur l’axe de l’écoulement et que l’intensité turbulente longitudinale passe par un

maximum dans la zone proche du précédent maximum. Qualitativement, ces résultats

expérimentaux sont en accord, par exemple, avec ceux obtenus par Phordoy (1992) qui étudie

l’écoulement turbulent de l’eau dans une veine de 10 m de long, 5 cm de haut et 20 cm de

large.

Les différents profils obtenus par nos expériences permettent de connaître les couches

limites turbulentes qui se développent dans la veine d’essais. De plus, ces profils sont une

référence indispensable à une bonne simulation des écoulements turbulents : ils permettent, en

autre, la discrimination des différents modèles de fermeture par la confrontation entre les

résultats numériques et l’expérience.

42

1.3. Simulations numériques des couches limites turbulentesLa configuration numérique étudiée (figure 1.6), représente une partie de la veine

d'essais décrite ci-dessus. On s'intéresse au développement de la couche limite jusqu’au milieu

de la paroi poreuse, endroit où les profils expérimentaux de vitesse et de température ont été

obtenus. Cette configuration est bidimensionnelle et le régime d'écoulement est permanent en

moyenne. Le plancher est tout d'abord imperméable, sur une longueur de 1,27 m

(correspondant au xeq défini paragraphe 1.2.3. auquel s'ajoutent 2 cm du fait de la présence

d'un joint d’étanchéité) puis est constitué d'une plaque poreuse, de 30 cm de longueur, à

travers laquelle l'air frais est injecté. La vitesse longitudinale de l'écoulement potentiel est de

10 m/s avec une intensité longitudinale de turbulence de 1 %. Le nombre de Reynolds est

suffisamment élevé pour considérer que la couche limite pariétale est turbulente en amont de

la plaque poreuse. A ce stade de l'étude, nous nous intéressons à la modélisation de

l'écoulement turbulent sur le plancher imperméable (sans effusion). On note x1 l'axe

horizontal et x2 l'axe vertical avec comme origine le point bas de l'entrée de la veine.

Fig. 1.6 Configuration numérique étudiée.

1.3.1. Modélisation de la couche limite turbulente

L'écoulement est régi par les bilans de masse, de quantité de mouvement et d'énergie -

équations (1.7), (1.8 bis) et (1.9 bis). Afin de fermer ce système d'équation, le choix s'est porté

sur trois modèles de turbulence classiques. Il s'agit des modèles k-ε standard (relations (1.24),

(1.26) et (1.27)), du groupe de renormalisation k-ε (RNG k-ε, relations (1.28), (1.29) et (1.31))

et du modèle aux tensions de Reynolds (RSM relation (1.32)). Pour le modèle RSM, la

formulation précisant la modélisation des différents termes de l'équation (1.32) est donnée

dans Bellettre et al. (1997a et 1997b). Il s'agit d'une modélisation simplifiée incluant dans

l’équation de transport des différentes tensions de Reynolds une viscosité turbulente. Cette

Plaqueporeuse

Injection de gaz frais

H = 0,2 m

x2

x1(0, 0)

0,3 m

Plancher imperméable1,27 m

Ecoulement potentielU1 = 10 m/sI x1 = 1 %

h ou Tp

43

viscosité turbulente est déterminée selon la relation (1.24) et la dissipation de l'énergie

cinétique turbulente selon l'équation (1.27) :

Uu u

x x

u u

xPk

i j

k k

t

k

i j

kij ij ij

∂∂

∂∂

νσ

∂∂

ε' ' ' '

( )= + + −Φ (1.32 bis)

avec P u uU

xu u

U

xij i kj

kj k

i

k= − +( )' ' ' '

∂∂

∂∂

, Φij i j ij ij ijCk

u u k C P P= − − − −3 42

3

2

3

ε δ δ( ) ( )' ' ,

ε δ εij ij= 2

3, σk = 1,0 ; P Pii= 1

2, C3 = 1,8 et C4 = 0,60

A l'entrée de la veine, la vitesse longitudinale est imposée et la température est fixée si

l'on étudie un écoulement chaud. L'énergie cinétique turbulente est définie à partir de la

mesure expérimentale des fluctuations de vitesse dans l'écoulement potentiel (en estimant que

l'écart type des fluctuations dans la direction transversale est égale à la moyenne de ceux

mesurés dans les deux autres directions). Enfin, le taux de dissipation de l'énergie cinétique de

turbulence est donné par la relation (1.36) issue de Campolina França et al. (1995).

ε µ= Ck

dh

3 43 2

0 05 2

//

, (1.36)

où dh est le diamètre hydraulique (égal à 2 H dans le cas d'une géométrie

bidimensionnelle, H étant ici la hauteur de la veine).

Conditions aux limites pour la vitesse et la température sur la paroi imperméable.

Pour déterminer la vitesse longitudinale en tenant compte des effets de paroi,

l'approche mettant en oeuvre des lois de paroi est couplée aux modèles k-ε et RSM. La loi de

paroi (1.16) de Launder et Spalding (1974) est alors utilisée. En ce qui concerne le modèle

RNG k-ε, la loi de paroi et des effets "à bas nombre de Reynolds" (décrits au paragraphe

1.1.3.) sont testés.

L'hypothèse, généralement retenue dans les couches limites, d'équilibre entre les

termes de production et de dissipation de l'énergie cinétique turbulente implique l'égalité

(1.37) (Schiestel 1993).

U C kwpτ µ

τρ

= = 1 4 1 2/ / (1.37)

Uτ est la vitesse de frottement et l'indice p fait référence au premier point du maillage.

44

kp est déterminé par résolution de l'équation complète de l'énergie cinétique turbulente

(équation (1.26), (1.28) ou (1.32 bis) selon le modèle utilisé) en imposant, comme condition à

la limite, une valeur nulle au gradient d'énergie cinétique turbulente normal à la paroi. La loi

(1.16) peut alors être utilisée pour le calcul de la vitesse au noeud du maillage le plus proche

de la paroi, pourvu que celui-ci se situe dans la zone logarithmique de la couche limite. Pour

simplifier les calculs, la région interne de la couche limite turbulente est divisée comme suit :

la sous-couche laminaire s'étend jusqu'à y+ = 11,2, distance à laquelle débute la zone

logarithmique (cf. figure 1.2). De plus, la condition d'équilibre entre production et dissipation

de l'énergie cinétique turbulente entraîne l'égalité (1.38) comme condition à la limite pour le

taux de dissipation (Parneix 1995).

εκµ

pp

p

C k

x=

3 4 3 2

2

/ /

(1.38)

De la même façon, dans le cas d'un écoulement pariétal chaud, la valeur de la

température à proximité de la paroi est déterminée par la relation (1.39) qui est l'expression de

la loi de paroi (1.19) au premier point du maillage (Launder et Spalding 1974).

( )

ρ µ

σκ

σ σ ππ κ σ

cp T C kpq

EypAh

hh

h

∆ 1 4 1 2

1 4 4

4

1 21

/ /

lnPr

/ /

sin( / )

/ Pr

=

+ +

−

(1.39)

(avec ∆T = Tw - Tp , σh = 0,85 et q le flux convectif échangé entre le fluide et la paroi)

Par ailleurs, la température de la plaque imperméable est soit imposée, soit calculée en

tenant compte du flux de chaleur qu'elle évacue vers le milieu extérieur par convection

naturelle et rayonnement.

Notons finalement que les conditions aux limites pour les corrélations doubles de

vitesse pour le modèle aux tensions de Reynolds sont déterminées en fonction de l'énergie

cinétique turbulente calculée au noeud le plus proche de la paroi.

Méthode numérique

La procédure numérique de cette étude utilise la méthode des volumes finis avec des

volumes de contrôles quadrilatéraux et un maillage structuré. Le schéma de discrétisation

45

employé est de type polynomial et le couplage vitesse-pression est calculé selon l'algorithme

SIMPLE (Patankar 1980). Les calculs sont effectués à l'aide du code de simulations

numériques de mécanique des fluides FLUENT (1995).

L’équation de transport d'une grandeur intensive φ telle H, Ui, Uj, k et ε est d'abord

mise sous une forme générale. Cette équation générale de transport s'écrit, en coordonnées

cartésiennes, selon la relation (1.40).

( )∂∂

ρ φ ∂∂

∂φ∂φx

Ux x

Sj

jj j

=

+Γ Φ (1.40)

où Γφ est le coefficient isotropique de diffusion et Sφ le terme source de la grandeur φ

considérée.

On remarque que, dans la mise en forme des équations pour chaque variable φ, tous les

termes non convectifs ou non diffusifs, sont inclus dans le terme source Sφ. Le tableau 1.1

recense chaque terme de l'équation (1.40) pour les différentes grandeurs calculées dans le cas

de l’utilisation du modèle k-ε.

Grandeur transportée Φ ΓΦ SΦ

Masse 1 0 0

Quantité de mouvement

selon xi

Ui ρ (ν+νt) − − + +

− + +

∂∂

ρ ρ ν ν∂∂

∂∂

ρ ν ν ∂∂

δ ρ δ

P

xg

U

x

x

U

xk

ii t

j

i

jt

l

lij ij

( )

( )2

3

Energie H ρ ( ν νσPr

+ t

h) + U

P

xjj

∂∂

Energie cinétique turbulente k ρ ( ν νσ

+ t

k) G - ρ ε

Taux de dissipation de

l'énergie cinétique

turbulente

ε ρ ( ν νσε

+ t ) Ck

G Ckε ε

ε ρ ε1 2

2−

Tab. 1.1 Présentation des différents termes de l'équation de transport considérée

(le terme G est la production d'énergie cinétique turbulente -cf. équation 1.26).

46

Les équations aux dérivées partielles sont ensuite discrétisées et l'on détermine la

valeur des variables en chacune des cellules du maillage. Les équations algébriques permettant

cette résolution sont obtenues en intégrant les équations aux dérivées partielles sur une cellule

du maillage appelée "volume de contrôle". Pour illustrer cette discrétisation, nous intégrons

l'équation de convection diffusion monodimensionnelle, en régime permanent, sur le volume

de contrôle (de centre P) représenté sur la figure 1.7. Sous forme intégrée, l'équation de

transport (1.40) s'écrit selon la relation (1.41), en adoptant une valeur moyenne S pour le

terme source et une variation linéaire de φ entre E et W pour l'estimation des termes diffusifs.

( ) ( ) ( )( )

( )( )

ρ φ ρ φ φ φ φ φU U

x xS xe w

e E P

e

w P W

w

− = − − − +Γ∆

Γ∆

∆ (1.41)

W P E • • •

w e

Fig. 1.7 Volume de contrôle pour la discrétisation avec le schéma standard.

Il faut alors calculer la valeur de la grandeur φ en e et w en fonction de ce que l'on

connaît, c'est à dire φ (W), φ (P) et φ (E). Il existe plusieurs méthodes pour effectuer cette

interpolation : le schéma centré adopte l'hypothèse d'une variation linéaire de φ entre chaque

noeuds mais n'est acceptable que si la diffusion domine la convection, le schéma amont (ou

upwind) suppose que la valeur de φ à l'interface est égale à celle du noeud amont (E ou W

selon le sens de l'écoulement) mais n'est fiable que dans le cas où la convection est

prépondérante. Notre choix s'est donc porté sur le schéma polynomial (Patankar 1980)

applicable dans des configurations plus diverses.

La solution exacte de l'équation (1.40), si l'on admet que ρU et Γφ sont des constantes

sur un intervalle δx, s'écrit sous la forme adimensionnelle suivante entre P et E :

∆xe∆xw

47

( )φ φφ φ( )

exp

exp

x

Pex

x

PeP

E P

−−

=

−

−∆

1

1 (1.42)

où Pe, PeU x= ρ

φ

∆Γ

, est le "nombre de Peclet de maille" qui représente le rapport local

de la convection sur la diffusion.

La représentation graphique de cette solution, paramétrée en fonction du nombre de

Peclet, est donnée, pour φE = 0, φP = 20 et ∆x = 20, sur la figure 1.8. La valeur de φe est

obtenue par le calcul de la fonction (1.42) pour x = 0,5 ∆x. En pratique, on n'utilise pas la

solution exacte car les exponentielles sont trop pénalisantes en temps de calcul. A l'aide du

schéma que nous avons sélectionné pour nos calculs (schéma polynomial), on approxime cette

fonction exponentielle de la façon suivante : lorsque le nombre de Peclet est proche de zéro,

on a φ φ φe

P E= +( ( ))

2 et lorsque le nombre de Peclet est élevé en valeur absolue, on a

φ φe E= ( ) ou φ φe P= ( ) suivant le signe de la vitesse. Entre les deux, on utilise un schéma,

équivalent à la solution exacte, dans lequel on fait un développement limité à l'ordre 5, en

fonction du nombre de Peclet de maille, de la fonction exponentielle exacte.

0

10

20

0 10 20

Pe = 1

Pe = 10

Pe = 0

Pe = -1

Pe = -10

EP e

estimation de φe

x

φx

Fig 1.8 Evolution de la solution exacte de l'équation de convection-diffusion

intégrée en fonction du nombre de Peclet.

48

Le schéma polynomial donne de bons résultats lorsque l’écoulement est localement

unidimensionnel, c’est-à-dire lorsqu’il est globalement aligné avec la grille. C’est ce schéma

que nous avons utilisé en premier lieu pour nos calculs. Mais l’utilisation d’un schéma de

discrétisation d’ordre plus élevé (c'est à dire faisant appel à des valeurs de φ calculées dans des

volumes plus éloignés) peut améliorer la précision des calculs dans le cas d’écoulements plus

complexes. Un shéma souvent utilisé est le schéma Quadratic Upwind Interpolation, ou

schéma QUICK (Leonard 1979).

Le résultat de la discrétisation des équations différentielles de transport est un

ensemble d’équations algébriques non linéaires. Si on divise le domaine de calcul en N

mailles selon x1 et en M mailles selon x2, on aura un système de N × M équations algébriques

non linéaires pour chaque variable φ considérée. Rappelons que les variables φ, dans notre cas,

sont l'enthalpie H, les deux composantes de la vitesse U1 et U2, l’énergie cinétique k et son

taux de dissipation ε. Un problème subsiste du fait qu'il n'existe pas d'équation donnant

directement le champ de pression. Il faut donc avoir recours à une méthode itérative.

La méthode SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) débute

par l'introduction d'un champ de pression fixé a priori dans l'équation de bilan de quantité de

mouvement permettant le calcul d’un premier champ de vitesse. Par combinaison des

équations de quantité de mouvement et de conservation de masse, on obtient une équation

discrétisée de correction de pression (faisant intervenir ce premier champ de vitesse). La

résolution de cette équation permet de corriger le champ de pression. Les vitesses sont ensuite

ajustées et les différentes équations de transport sont résolues. Cette succession d'opérations

est reprise et se poursuit jusqu'à convergence des différentes grandeurs calculées. La

convergence est quantifiée par l'intermédiaire de résidus normalisés (définis pour chaque

grandeur φ comme la somme, sur tous les volumes de contrôles, des erreurs sur le bilan de φ

rapportée à la somme des termes de l'équation discrétisée qui concernent le centre des

volumes). Ils permettent de suivre la convergence des calculs au fur et à mesure des itérations.

1.3.2. Choix du modèle de turbulence.

Les modèles de turbulence, décrits au paragraphe 1.1.3, sont testés dans le cas d'un

écoulement sur le plancher imperméable de la veine. Les résultats numériques sont alors

comparés à nos résultats expérimentaux et à des corrélations semi-empiriques issues de la

littérature permettant d'exprimer des éléments caractéristiques de notre écoulement (tels que la

49

contrainte de frottement ou le coefficient d'échange convectif entre le fluide et la paroi) en

fonction de nombres sans dimension.

Maillage

Le maillage utilisé est cartésien et plusieurs résolutions ont été testées. Dans la

direction longitudinale, le maillage est linéaire et plusieurs tests ont montré une indépendance

des résultats par rapport à la longueur des mailles (de 5 à 50 mm). Dans la direction verticale,

une grille linéaire ou avec une progression géométrique a été utilisée. Dans le cas de

l'utilisation des lois de paroi, il a été observé une indépendance des résultats en fonction du

type de grille et, pour un maillage linéaire, de la hauteur des mailles (entre 1 et 3 mm). Enfin,

les lois de paroi (1.16) et (1.19) sont utilisées uniquement pour le premier point de calcul au

dessus de la paroi, celui-ci étant toujours compris entre y+ = 20 et y+ = 40 de façon à rester

dans le domaine de validité des lois sans pénétrer dans la sous-couche laminaire.

La convergence des résultats est testée selon deux critères : pour chaque grandeur

calculée, les résidus normalisés doivent être inférieurs à 10-3 et des itérations supplémentaires

ne doivent pas modifier les résultats une fois la convergence atteinte.

Ecoulement à température ambiante

Dans un premier temps, nous nous intéressons aux profils de vitesse longitudinale et

au coefficient de frottement en amont de la plaque poreuse. Sur la figure 1.9, sont représentés

les profils de vitesse, pour un nombre de Reynolds (Rex1) de 856000 (ce qui correspond à la

fin du plancher imperméable). Ils sont obtenus avec les trois modèles de turbulence couplés à

la loi de paroi. Nous pouvons remarquer que les résultats du modèle RNG k-ε coïncident

parfaitement avec les résultats de l'expérience. Le modèle standard k-ε donne également des

résultats très proches mais sa courbe coupe celle des résultats expérimentaux. Enfin, on

observe que les écarts entre le modèle aux tension de Reynolds et l'expérience sont

importants. Ce résultat est surprenant car ce modèle a été validé dans des configurations très

diverses. La version simplifiée du modèle RSM (équation (1.32 bis)) apparaît donc comme

insatisfaisante ce qui nous a conduit à abandonner ce type de modèle pour la suite de notre

étude1.

Par ailleurs, les résultats obtenus avec une modélisation RNG k-ε "à bas nombre de Reynolds"

ne donnent pas toujours satisfaction. On observe parfois une détérioration des résultats avec un

resserrement du maillage à proximité de la paroi. Ce phénomène est

50

certainement à relier à la notion de "diffusion numérique" (Gobin, 1995). Pour remédier à ce

problème, il faudrait utiliser un shéma de discrétisation d'ordre supérieur (comme le shéma

QUICK). Nous reviendrons sur cette possibilité au chapitre suivant. Pour la suite de cette

étude préliminaire, ne sont donc conservées que des modélisations couplées à des lois de

paroi.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 10 20 30 40 50 60 70X2(mm)

U1 (m/s)

exp.

RNG k-ε

k-ε

Tensions deReynolds

Fig. 1.9 Profils de vitesses expérimentaux et calculés à Rex1 = 856000.

Une grandeur importante dans la connaissance de l'écoulement est la contrainte de frottement

qu'exerce le fluide en mouvement sur la paroi. Cette contrainte est souvent calculée à partir de

corrélations, issues de données empiriques et de développements analytiques. Aussi est-il intéressant

de comparer les coefficients de frottement calculés (relation (1.43) où Uτ est déduit de la relation

(1.37) : U C kpτ µ= 1 4 1 2/ / ) avec ceux déterminés par la corrélation classique (1.44) pour un

écoulement sur plaque plane (Cousteix 1989).

( )C

U

U

Uf w

e

w

e e

0

12 1

2

2= =

τ

ρ

ρρ

τ (1.43)

Cfx

01

0,2

20 0295=

−, Re

(1.44)Les résultats, pour un nombre de Reynolds compris entre 4,5 105 et 8,5 105, sont représentés

sur la figure 1.10. On constate que les résultats obtenus avec le modèle RNG k-ε sont très proches de

51

la corrélation. Les écarts avec le modèle standard k-ε sont modestes (inférieurs à 5 %) et

peuvent être attribués à un calcul de kp légèrement différent de celui du modèle RNG k-ε.

Pour l'écoulement étudié, le modèle RNG k-ε, couplé à la loi de paroi, semble être le

mieux adapté. A noter qu'un cas test effectué par Bidart et al. (1997) sur un écoulement

turbulent d'air dans un canal rectangulaire muni de perturbateurs avec le même code de calcul

a abouti au même choix : modèle RNG k-ε avec loi de paroi.

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0,002

0,0022

4,5 105 5,5 105 6,5 105 7,5 105 8,5 105

Rex1

Cf0 / 2

Relation (1.44)

RNG k-ε

k-ε

Fig. 1.10 Coefficients de frottements pour Rex1 compris entre 4,5 105 et 8,5 105.

Analyse des transferts thermiques

Les transferts convectifs entre un écoulement chaud et une paroi sont particulièrement

importants si l'on s'intéresse à la protection thermique. Il s'agit donc, dans cette étude

préliminaire, de valider aussi le modèle de fermeture en ce qui concerne les échanges de

chaleur entre une couche limite turbulente chaude et le plancher imperméable. Les pertes

thermiques du plancher vers le milieu extérieur sont prises en compte par l'intermédiaire d'un

coefficient d'échange intégrant les transferts convectifs et radiatifs. Pour un écoulement

potentiel porté à 200 °C, le profil expérimental de température, obtenu à l'aide d’un

thermocouple, est comparé à celui de la simulation numérique à une abscisse correspondant à

la fin du plancher imperméable. Comme on peut l'observer sur la figure 1.11, les deux profils

se superposent confirmant ainsi notre choix de modèle de turbulence.

La quantification de l'échange convectif fluide-paroi est également intéressante. Pour

cela, l'écoulement est porté à 45 °C et la température du plancher imperméable est fixée à

52

35 °C, ce qui correspond aux conditions expérimentales de Moffat et Kays (1968) dont les

résultats, en terme de flux de chaleur convectif, sont corrélés par la relation (1.45).

St x0 10,2 0,40 0295= − −, Re Pr (1.45)

avec Stq

c U T Tp e e p0

0

1=

−( ) ( )ρ

410

420

430

440

450

460

470

480

0 10 20 30 40 50 60 70

X2 (mm)

T (K)

expérience

RNG k-ε

Fig 1.11 Profils de température expérimentaux et simulés.

Sur la figure 1.12, sont comparés les résultats de cette corrélation avec les calculs faits

à l'aide du modèle RNG k-ε, où le flux est calculé selon la loi (1.39). La concordance des

résultats est très bonne. Le modèle RNG k-ε donne donc à nouveau satisfaction.

0,002

0,00225

0,0025

4,0 105 5,0 105 6,0 105 7,0 105 8,0 105

Rex1

St0

RNG k-ε

Relation (1.45)

Fig. 1.12 Nombre de Stanton pour Rex1 compris entre 4 105 et 8 105.

53

Validation du modèle par les corrélations intégrales

Une autre manière d'étudier la couche limite turbulente est de la caractériser par son

épaisseur de quantité de mouvement et son épaisseur d'enthalpie qui peuvent remplacer, dans

les nombres sans dimension intervenant dans les corrélations, la longueur caractéristique x1.

Un des intérêts de ce type de corrélations est de pouvoir déterminer le coefficient de

frottement ou le nombre de Stanton en fonction des caractéristiques locales des couches

limites turbulentes dynamiques ou thermiques.

Pour un écoulement turbulent sur plaque imperméable, le coefficient de frottement

peut-être obtenu à l'aide de corrélations faisant intervenir Reθ, le nombre de Reynolds fondé

sur l'épaisseur de quantité de mouvement. Simpson et al. (1969) proposent la relation (1.46) et

Andersen et al. (1975) la corrélation (1.47). Les coefficients dans ces deux expressions ont été

déterminés expérimentalement. Cependant, les résultats de Simpson et al. (1969) ont été

discutés et sembleraient un peu trop élevés (Squire 1970).

Caf0 0,25

2= −Reθ , avec a = 0,013 (1.46)

avec a = 0,012 (1.47)

avec Reθρ θ

µ= U e1 et θ ρ

ρ= −

∞∫ U

U

U

Udx

e e e

1

101

121 .

La comparaison entre les résultats du modèle RNG k-ε, où le coefficient de frottement

est déterminé selon la relation (1.43) et les corrélations (1.46) et (1.47) (où les épaisseurs de

quantité de mouvement sont calculées par intégration des résultats numériques dans la couche

limite), est présentée sur la figure 1.13. On observe que, dans notre configuration, les résultats

de la corrélation d'Andersen et al. (1975) et ceux du modèle RNG k-ε coïncident.

De même, il est possible calculer le nombre de Stanton (donc le flux convectif entre

l'écoulement chaud et la plaque imperméable) à l'aide de Re∆, nombre de Reynolds basé sur ∆,

l'épaisseur d'enthalpie. Whitten et al. (1970) proposent la corrélation (1.48) obtenue pour de

faibles écarts de température.

5,025,00 Pr0128,0 −−

∆= ReSt (1.48)

avec µ

ρ ∆=∆eU

Re 1 et 201

1 dxTT

TT

U

U

ew

e

ee −−=∆ ∫

∞

ρρ

.

54

En imposant un écart de température de 10 K entre l'écoulement chaud et le plancher,

on observe sur la figure 1.14 que les résultats du modèle RNG k-ε, où le flux est déterminé

selon la loi (1.39), et ceux de la relation (1.48) (l'épaisseur d'enthalpie étant calculée par

intégration des profils de vitesse et de température) sont en bon accord. Par la suite, le modèle

RNG k-ε sera conservé pour simuler l’écoulement pariétal puisqu’il a donné entière

satisfaction dans toutes les confrontations entre les résultats numériques et les résultats

expérimentaux ou issus de corrélations.

0

0,0005

0,0015

0,002

0,0025

800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Reθ

Cf0/2

Relation (1.46)

RNG k-ε

Relation (1.47)

0,001

Fig. 1.13 Coefficient de frottement pour Reθ compris entre 900 et 1600.

0,002

0,0025

0,003

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Re∆

St0

Relation (1.48)

RNG k-ε

Fig. 1.14 Nombre de Stanton pour Re∆ compris entre 1000 et 1700.

55

Conclusion

Cette étude préliminaire sur les écoulements turbulents au voisinage d'une paroi

imperméable a permis de présenter les moyens théoriques, expérimentaux et numériques qui

seront utilisés pour l'ensemble de l'étude des couches limites turbulentes avec effusion. Du

point de vue de la modélisation, nous avons retenu, sans préjuger des modifications qui seront

nécessaires à la prise en compte de l'injection de gaz frais, le modèle RNG k-ε. Couplé à une

loi de paroi, il reproduit correctement nos propres résultats expérimentaux et prédit

précisément les coefficient de frottement et d'échange convectif en amont de la zone

d'effusion.

Il est donc envisageable d'étendre notre modélisation à la région d'injection afin de

quantifier précisément l'impact de l'effusion sur les profils de vitesse, de température et sur les

coefficients de frottement et d'échange thermique entre le fluide et la paroi poreuse.

Chapitre 2

TRANSFERTS ENCOUCHES LIMITES TURBULENTES

AVEC EFFUSION DE GAZ

57

Les transferts de masse, de quantité de mouvement et de chaleur dans une couche

limite turbulente soumise à de l'effusion de gaz sont d'une grande importance pour le contrôle

des écoulements pariétaux et la protection thermique des parois. Les possibilités de réduction

du frottement et de l'échange convectif entre le fluide et le milieu poreux en font un sujet très

étudié. Aussi dispose-t-on d'un important nombre de travaux, tant expérimentaux que

numériques, sur ce sujet.

Dans un premier temps, sont présentés les principaux résultats de la littérature

concernant les couches limites dynamique et thermique avec effusion. Après avoir effectué

une synthèse historique des recherches menées sur ce thème, nous détaillons quelques

résultats. L'évolution des coefficients de frottement et d'échange convectif en fonction du taux

d'injection retient particulièrement notre attention. Cependant, les modélisations disponibles

dans la littérature ont souvent recours à des corrections empiriques pour tenir compte de l'effet

de l'injection. De plus, toutes les configurations n'ont pas été examinées. Nous avons donc

mené notre propre expérimentation et modélisation.

Les résultats des ces études expérimentale et numérique, menées en parallèle, sont

ensuite présentées. L'étude numérique, décrite au paragraphe 1.3, est étendue aux couches

limites soumises à de l'effusion. La comparaison avec nos résultats expérimentaux, obtenus

sur le banc d'essais décrit au paragraphe 1.2, ou issus de la littérature est ensuite effectuée.

Pour différents taux d'injection, des profils de vitesses et de température au-dessus de la

plaque poreuse, mesurés ou calculés, sont fournis. L'effet de l'injection de gaz frais y est

notable tant d'un point de vue dynamique que thermique. De plus, la modélisation des couches

limites permet de prédire l'évolution des transferts de quantité de mouvement et de chaleur en

fonction notamment du débit de gaz injecté.

2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion

2.1.1. HistoriqueL'intérêt pour les couches limites turbulentes avec effusion remonte aux années 1950.

Les études "pionnières" de Rubesin (1954) et de Dorrance et Dore (1954) ont trait aux aspects

théoriques alors que les études expérimentales ont commencé avec les travaux de Mickley et

al. (1954) et Leadon et Scott (1956). Les années 1960, ont donné lieu à des contributions

58

britanniques (Stevenson 1964, Bradshaw 1967) et soviétiques (Romanenko et Karchenko

1963, Kutateladze et Leontiev 1964).

En 1965, Kays et ses collaborateurs du département de génie mécanique de l'université

de Stanford ont débuté une étude expérimentale complète des couches limites turbulentes

incompressibles et bidimensionnelles avec effusion d'air. Les écarts de température entre

l'écoulement potentiel et le gaz injecté étant faibles, l'hypothèses de propriétés constantes a pu

être retenue. Les différents thèmes étudiés sont les suivants (dans l'ordre chronologique) :

- transferts de chaleur pour un taux d'injection constant (Moffat et Kays 1968),

- coefficient de frottement pour un taux d'injection constant ou variant faiblement (Simpson et

Whitten 1968 et Simpson et al. 1969),

- nombre de Prandtl turbulent avec effusion ou succion - aspiration de la couche limite -

(Simpson et al. 1970),

- caractérisation théorique des couches limites en présence d'effusion (Simpson 1970),

- transferts thermiques pour un écoulement fortement accéléré (Kays et al. 1970),

- transferts de chaleur pour un taux d'injection discontinu (Whitten et al. 1970),

- transferts de quantité de mouvement pour un écoulement accéléré (Julien et al. 1971),

- coefficient de frottement pour un taux d'injection discontinu (Simpson 1971),

- transferts de quantité de mouvement pour un écoulement soumis à un gradient défavorable

de pression (Andersen et al. 1975),

- transferts thermiques sur parois rugueuses (Moffat et al. 1978).

Enfin, Kays (1972) et Moffat et Kays (1984) ont synthétisé une partie de ces travaux.

Parallèlement, l'effusion de gaz chimiquement différents du fluide de l'écoulement

principal a été étudiée expérimentalement par Romanenko et Kharchenko (1963) d'une part,

Baker et Launder (1974a, 1974b) d'autre part, et numériquement par Landis et Mills (1972).

Par ailleurs, notons l'importante synthèse de Jeromin (1970) qui a répertorié un grand nombre

d'études expérimentales. Ce panorama a été complété par Campolina França (1996). On

constate que les écarts de température entre l'écoulement principal et le gaz injecté sont

relativement faibles (10 à 20 K) dans ces études expérimentales à l'exception de celle de

Romanenko et Kharchenko (1963) (écart de 100 K).

Les couches limites turbulentes pour un écoulement compressible avec effusion ont,

quant à elle, fait l'objet de nombreuses études à l'université de Cambridge. Ces études ont

porté essentiellement sur la détermination de lois de paroi (Jeromin 1968, Squire 1969) et de

coefficients de frottement (Silva Freire 1988). Plus récemment, Silva Freire et al. (1995) ont

59

approfondi l'étude théorique des lois de paroi et de sillage pour des écoulements

compressibles en utilisant une méthode de développements asymptotiques.

Outre les lois de paroi couramment utilisées (Stevenson 1968, Simpson 1970, Squire

1969, Silva Freire et al. 1995), des modélisations à l'aide de longueur de mélange ont été

mises en oeuvre (Kays 1972, Landis et Mills 1972). D'autre part, la modélisation "à bas

nombre de Reynolds" des écoulements turbulents avec transfert de masse pariétal a été

conduite par So et Yoo (1987), Shima (1993) (modèle RSM avec injection ou aspiration) et

par Campolina França et al. (1998) (modèle de Lam-Bremhorst avec correction de Yap).

Les résultats expérimentaux et numériques concernant les écoulements pariétaux avec

effusion de gaz sont donc nombreux et il n'est pas envisageable d'en dresser une liste

exhaustive dans le cadre du présent mémoire. Cependant, le calcul des coefficients de

frottement et d'échange thermique entre l'air en écoulement et la paroi poreuse revêt un intérêt

particulier pour notre étude. Les principaux résultats concernant leur détermination sont donc

examinés de façon détaillée, ainsi que ceux concernant les modifications dues à l'effusion des

profils de vitesses à proximité des parois.

2.1.2. Détermination des coefficients de frottement et d'échange thermiqueLes études expérimentales sur les écoulements turbulents avec injection ont permis

d'obtenir de nombreux résultats que l'on peut exprimer sous forme de corrélations.

L'analyse la plus simple consiste à négliger, dans la couche limite avec effusion, les

variations longitudinales de la vitesse longitudinale. En adoptant cette hypothèse et en

considérant les propriétés du fluide comme constantes, on montre que les équations de

continuité et de quantité de mouvement prennent la forme suivante dans le cas d'un

écoulement bidimensionnel :

dU

dx2

20= (2.1)

( )UdU

dx

d

dx

dU

dxt21

2 2

1

2= +

ν ν (2.2)

Résolues simultanément avec une condition de vitesse de l'écoulement secondaire

uniforme le long de la paroi, ces deux équations aboutissent à l'expression suivante du

coefficient de frottement :

60

C B

B U

dxf f

f e t2

1 1

1

2

0

1

= ++

∫

−ln( )

ν ν

δ (2.3)

où BF

Cff

= 2 et δ est l'épaisseur de la couche limite.

Mickley et al. (1954) ont estimé, en première approximation, que les évolutions de la

viscosité turbulente et de l'épaisseur de couche limite se compensent si l'injection varie de

sorte que la valeur de l'intégrale dans l'équation (2.3) est indépendante du taux d'injection.

Cette hypothèse permet l'obtention d’une corrélation simple reproduisant correctement des

résultats expérimentaux :

C

C

B

Bf

f

f

fx

01

1

Re

ln( )= + (2.4)

Les mêmes hypothèses sont applicables dans le bilan d'énergie et une expression

similaire du nombre de Stanton est obtenue (Rubesin et al. 1985) :

St

St

B

Bx

01

1

Re

ln( )= + (2.5)

B est un paramètre thermique d’injection défini par BF

St= .

Dans les relations (2.4) et (2.5) St0 et Cf0 / 2 sont, respectivement, le nombre de

Stanton et le coefficient de frottement pour l’écoulement sans injection. Ils sont donnés par les

relations (1.44) et (1.45) définie au chapitre 1 (pour mémoire : Cf

x0 0,2

20 0295

1= −, Re et

St x00,2 0,40 0295

1= − −, Re Pr ).

Dans le cas des écoulements sur plaque plane poreuse avec température de paroi et

vitesse d’injection uniformes, Moffat et Kays (1968) obtiennent des nombres de Stanton

expérimentaux à partir d’un bilan thermique effectué sur la plaque poreuse. Notons que le

banc d'essais utilisé dans cette étude présente une injection secondaire dès l'entrée de la veine

d'essais où se développe la couche limite. Moffat et Kays (1968) observent que la corrélation

(2.5) est en très bon accord avec les résultats expérimentaux obtenus dans un domaine de

variation du nombre de Reynolds de 1 O5 à 2 1 O6 et pour un taux d’injection inférieur à 1 %

(figure 2.1, où F > 0 correspond à de l’injection et F < 0 à de l’aspiration). Dans cette étude, les

auteurs montrent que pour un taux d’injection proche de 1 % et un nombre de Reynolds

d’environ 106, le décollement de la couche limite thermique se produit. Ce décollement est

caractérisé par une annulation des échanges convectifs entre la paroi poreuse et l’écoulement

pariétal (figure 2.1). Constatons d’ores et déjà l’efficacité de ce procédé de protection

thermique puisque le taux d’injection requis pour atteindre une protection optimale est très

faible.

oi4

OI2St

1 w 10-:Oi8

Oj6

oi’

_--Of0024

l5 2 4 6 loD 2 4

- - --_Req .<

Fig. 2.1 Nombre de Stanton pour un taux d’injection constant (Moffat et Kays 1984).

Simpson et al. (1969) puis Whitten et al. (1970) ont quantifié le frottement et les

transferts de chaleur en présence d’une injection non uniforme mais toujours pour de faible

écarts de température entre l’écoulement potentiel et le gaz injecté. Simpson et al. (1969)

déterminent la valeur du coefficient de frottement à l’aide de l’équation intégrale de la quantité

de mouvement qui prend la forme de la relation (2.6) pour un écoulement bidimensionnel

avec effusion.

61

62

( )d

dx

C

U

dP

dxH Ff

e e

eθ θρ

= + + +2

212

1 (2.6)

H étant le rapport de l'épaisseur de déplacement, δd, sur l'épaisseur de quantité de

mouvement, θ, respectivement définies par δ ρρd

e e

U

Udx= −

∞∫ 1 1

10 2 et

θ ρρ

= −

∞∫ U

U

U

Udx

e e e

1

101

121 .

L'équation (2.6) fait apparaître que l'injection joue un rôle similaire à celui d'un

gradient de pression positif. Injecter du fluide à la paroi a donc un effet déstabilisant sur la

couche limite. Du fait de la faible valeur des coefficients de frottement en présence d'injection,

l'utilisation directe de l'équation (2.6) peut être très imprécise. Aussi est-elle utilisée sous

forme intégrée (2.7).

Cd F df

x

x x

20

1 1

10

Re Re

Re Re (Re ) Re∫ ∫= −θ (2.7)

L'étude expérimentale de Simpson et al. (1969) montre particulièrement que le

coefficient de frottement peut être décrit par des caractéristiques locales de l'écoulement à

savoir, le taux d'injection F et l'épaisseur de quantité de mouvement θ, la connaissance de

"l'histoire" de l'écoulement n'étant requise que pour la détermination de cette épaisseur de

quantité de mouvement.

De la même façon, pour les transferts de chaleur quand la vitesse d’injection n'est pas

uniforme, Whitten et al. (1970) montrent que le nombre de Stanton peut être calculé

localement en fonction du taux d'injection et de l'épaisseur d'enthalpie. Leurs résultats

expérimentaux sont obtenus après intégration de l'équation de l'énergie qui, dans le cas d'un

écoulement sans gradient longitudinal de pression, prend la forme suivante :

d

dxSt B

∆

11= +( ) (2.8)

où ∆ est l'épaisseur d'enthalpie : ∆ = −−

∞∫ ρ

ρU

U

T T

T Tdx

e e

e

w e

1

10 2 .

Les nombres de Stanton, présentés sur la figure 2.2, illustrent ce résultat. Dès que l’on

s’éloigne d’une discontinuité d’injection, les nombres de Stanton sont identiques à ceux

obtenus avec un taux d’injection uniforme (représentés par les lignes continues) à condition de

les comparer à des nombres de Reynolds, basés sur l’épaisseur d’enthalpie, constants.

.\l

\

i.\

0~0002

: l 1,m Conrt. 0008

\

/l l

Fig. 2.2 Nombre de Stanton avec taux d’injection uniforme

ou discontinuité de l’injection (Whitten et al. 1970).

Finalement, ces différents résultats expérimentaux permettent l’obtention des

corrélations (2.9) et (2.10), qui sont applicables pour des écoulements avec un taux d’injection

variant ou non avec l’abscisse xl.

Cf -0 25 In(1 + Bf) Oy

2= aRee 9

[ 1Bf

avec a = 0,013 ou 0,012

St = 0,0128Re~oy25 Pr 11,25

(1+ B)o’25

cw

(2.10)

Pour de plus importants écarts de température entre le fluide principal et le fluide

secondaire, Landis et Mills (1972) suggèrent de normaliser les coefficients de frottement ou

nombres de Stanton et le taux d’injection. En effet, la variation des propriétés du fluide, et

63

notamment la diminution de la masse volumique avec la température, peut être importante et

avoir un impact non négligeable sur les échanges de quantité de mouvement et de chaleur.

Cependant, cet effet peut être pris en compte dans le calcul du frottement et du nombre de

Stanton sans injection (à condition de les calculer pour un écart de température entre la paroi

et l’écoulement potentiel identique à celui existant en présence d’injection). Landis et Mills

(1972) montrent, par une étude numérique, que l’effet d’un important écart de température sur

les valeurs normalisées est faible dans le cas de l’effùsion d’un gaz léger (hélium ou air) dans

un écoulement potentiel d’air (figure 2.3). Par ailleurs, leurs résultats numériques sont

semblables aux résultats expérimentaux de Romanenko et Kharchenko (1963) qui montrent

une réduction des coefficients de frottement et nombres de Stanton d’autant plus importante

que le gaz injecté est léger.

‘1’

‘fO

J9

l8

1’St/ St(-) .6

c

IS

T4

l3

j2

- 0 HeOJ2 =T,/T,

c----- OI9 (295K/324K)

OI9 (132SK/1472K)

0 1 ? 3

F / St0

Fig. 2.3 Effet de l’écart de température sur le nombre de Stanton normalisé

(Landis et Mills 1972).

2.1.3. Lois de parois en présence d’injection pariétale

La détermination des coefficient de frottement permet d’adimensionner les vitesses

longitudinales en les rapportant à la vitesse de frottement U,, UT=

Ainsi, des travaux théoriques s’appuyant sur des résultats expérimentaux ont conduit à

64

l’élaboration de lois de paroi modifiées caractérisant l’évolution des couches

turbulentes avec effusion.

limites

Les résultats expérimentaux de Moffat et Kays (1984), présentés sur la figure 2.4,

montre que l’injection, même pour de faible taux, modifie considérablement l’allure du profil

des vitesses adimensionnelles.

101

91

fM

7c

60

"'

50

40

30

20

10

0

-_--- -.-. _.a_-

-. .-

es _

.__- -

--_ _.

--

-w .-

-_

---

.-

-.-.- -em --

-..--- _.

_- -- .._.

_- .-.

--. -.

-- ..-

.-_ .--

b

-_

-1

--< --

-,-

10 100 1 0 0 0

Y+-

Fig. 2.4 Profils des vitesses adimensionnelles pour les écoulements

sur plaque plane avec injection (F > 0) ou aspiration (F < 0);

A et Sse réfèrent à des expérimentateurs différents (Moffat et Kays 1984).

Stevenson a analysé des résultats expérimentaux, compris dans le domaine 1000 < Ree

< 6000, de cinq auteurs et a aboutit à la corrélation (2.11) pour la loi de paroi avec injection

(White 199 1).

)” -I] = $n(y+)+A (2.11)

V

où les constantes K et A sont respectivement égales à 0,4 et 5,5, y+ = -X2Ur et v+ - fV

w-u l

z

65

Constatant des écarts entre la loi de Stevenson et ses propres resultats expérimentaux,

Simpson (1970) a corrigé cette première loi et a proposé l’équation (2.12) valable pour

30 < y+ < 100. Il insiste sur la difficulté à obtenir des mesures précises de coefficients de

frottement, ce qui rend délicate l’obtention des lois de parois.

2-[(l+vGU+)+-(I+lIv$]=+i[$Jv;

(2.12)

Par ailleurs, Simpson et al. (1970) étudient l’évolution du nombre de Prandtl turbulent

dans la couche limite en fonction du taux d’injection. Leurs résultats sont obtenus à l’aide de la

mesure des champs moyens de vitesse et température, puis en comparant localement le

gradient de température moyenne au flux thermique diffusif obtenu grâce aux équations de

bilan moyennées. Simpson et al. (1970) montrent que le nombre de Prandtl turbulent n’est pas

modifié par l’injection de gaz frais dans la majeure partie de la couche limite (figure 2.5).

ah A8

x 0 00

*+ = 0*= 0 Oj? 3

* \ e 973

A Mton value * %3rB Jenkins mode1 , 8 ~0 ‘tt

d : f : ::- i : ;LtHt: : : :f:--:- - - Uncefiainty envelope d y

- : 3+-J10° 10’ 102 103 104

Y+

Re@2 2 3 83177 . .4 1 4 14 2 8 65 4 0 0 I’

Fig. 2.5 Nombre de Prandtl turbulent pour différents taux d’injection,

Br = 2 F/Cf (Simpson et al. 1970)

Ainsi, le comportement des écoulements turbulents avec injection pariétale a fait

l’objet de nombreux travaux. On peut particulièrement retenir les résultats suivants :

- le frottement fluide - paroi ainsi que les échanges convectifs diminuent fortement avec le

taux d’injection,

66

67

- le coefficient de frottement et le nombre de Stanton peuvent s'exprimer en fonction de

caractéristiques locales de l'écoulement (taux d'injection, épaisseurs de quantité de

mouvement et d'enthalpie),

- le profil des vitesses adimensionnelles est considérablement modifié par l'effusion et peut

être décrit par des lois de parois corrigées.

Les différentes caractéristiques décrites dans la littérature sur les écoulements

pariétaux avec injection pourront être utilisées, par la suite, comme éléments de comparaison

et de validation de nos travaux.

2.2. Modélisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz etvalidation par l'expérience

Dans la littérature sur les couches limites turbulentes avec effusion, la description de

l'interaction entre les écoulements principal et secondaire n'a pas été faite dans toutes les

situations. Par exemple, Moffat et Kays (1968) ont montré que le décollement de la couche

limite thermique se produit pour un taux d'injection de 1 % pour un nombre de Reynolds (basé

sur x1) de 106 dans le cas d'une effusion sur toute la longueur du plancher où se développe la

couche limite. Mais qu'en est-il dans une configuration différente ? Nous nous sommes donc

fixés comme objectif de décrire de façon plus générale les interactions couche limite -

effusion. Pour cela l'étude numérique présentée au paragraphe 1.3 est étendue aux cas des

écoulements sur parois poreuses avec injection. Par ailleurs, les résultats expérimentaux,

obtenus sur le banc d'essais décrit au paragraphe 1.2, seront utiles pour confronter notre

modélisation à l'expérience.

Afin de prendre en compte l'effet de l'effusion, des auteurs modifient les équations

gouvernant l'écoulement pariétal. On peut citer, par exemple, les lois de paroi modifiées par

Stevenson (1968) ou Simpson (1970), l'introduction de constantes empiriques dans des

modèles de turbulence à bas nombre de Reynolds (Campolina França et al. 1998) ou bien des

longueurs de mélange modifiées (Kays 1972 ou Landis et Mills 1972). Dans le cadre de cette

étude, nous avons choisi de porter particulièrement notre attention sur la modélisation des

phénomènes physiques qui régissent les interactions entre l'écoulement et la paroi poreuse en présence

d’effusion. Cette méthode a pour avantage de ne pas nécessiter de relations supplémentaires, issues

de l'expérience, pour prendre en compte l'injection et donc de limiter l'empirisme.

68

La plaque poreuse est représentée, dans notre modélisation, comme une succession

bidimensionnelle de deux types d'éléments (figure 2.6). Le premier est un élément solide sur

lequel se produit le frottement solide - fluide. Le second est une source par laquelle arrive une

quantité de fluide. Ce second élément représente un pore. Ainsi, la couche limite soumise à

l'effusion est le résultat du mélange de deux écoulements (écoulement pariétal et injection).

L'injection modifie l'écoulement principal en apportant une masse et une quantité d'énergie.

Simultanément, ce mélange est soumis au frottement sur les éléments solides.

Fig. 2.6 Modélisation discrète de la surface de la plaque poreuse.

Les conditions aux limites correspondantes aux éléments solides et aux pores sont de

deux types. Au-dessus d'un élément solide (première cellule du maillage), l'écoulement est

régi par la loi de paroi classique (relation 1.16) et les échanges convectifs entre l'écoulement

pariétal et les éléments solides sont déterminés par loi (1.39). A la sortie d'un pore, la

température est fixée, la vitesse longitudinale, l'énergie cinétique turbulente et le taux de

dissipation de k sont nuls. Dans un pore, la vitesse verticale, U2w, est imposée de façon à ce

que le débit injecté corresponde au taux d'injection désiré qui peut être, par exemple, le taux

d'injection de l'étude expérimentale. Ainsi, la vitesse verticale est donnée par la relation

(2.13).

UF U

we

w2

1= ( )ρρ ϕ

(2.13)

ϕ étant la porosité de la paroi.

Différentes proportions entre les pores et éléments solides seront testées, mais la

première configuration est une succession de deux éléments solides pour un pore (figure 2.6).

2 p p

Ecoulement potentiel

Soufflagepore

frottement surélément solide

69

Cette proportion a été retenue pour s'approcher au mieux de la porosité de la paroi utilisée

pour les expériences (environ 30 % de porosité). Dans cette configuration, la vitesse moyenne

de l'air dans un pore est le triple de la vitesse de filtration, définie comme le débit volumique

de l'écoulement secondaire rapporté à la surface totale de la paroi poreuse. On discutera

ultérieurement de l'influence de la porosité sur les couches limites soumises à de l'effusion.

Afin d'illustrer les effets du frottement sur les éléments solides et de l'injection à

travers les pores, sont comparés, sur la figure 2.7, trois profils de vitesses longitudinales. Le

profil expérimental est une mesure effectuée au milieu de la plaque poreuse pour un taux

d'injection de 1 % et un écoulement principal à 10 m/s. Les deux profils numériques sont

obtenus avec le modèle de turbulence retenu au premier chapitre (RNG k-ε) et avec, comme

condition aux limites sur la paroi, soit un soufflage uniforme (pas de frottement, porosité de

100 %), soit uniquement du frottement (pas de soufflage, porosité nulle). Il apparaît

clairement que ces deux phénomènes influencent fortement le comportement de la couche

limite dynamique et qu'il faut en tenir compte dans la modélisation.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1 (m/s)

mesures

RNG k-ε (soufflage pur)

RNG k-ε (frottement pur)

Fig. 2.7 Influence du frottement et du soufflage sur le profil de vitesse longitudinale

(pour une abscisse x1 de 1,55 m correspondant à l'endroit de la mesure).

La représentation discrète de la paroi poreuse, définie sur la figure 2.6, est ajoutée dans

le prolongement du plancher imperméable (cf. figure 1.6). D'un point de vue numérique, un

pore est représenté par un volume de contrôle alors qu'un élément solide l'est par deux. La

densité des cellules du maillage est plus importante au niveau de la paroi poreuse qu'au niveau

du plancher imperméable qui se situe en amont de la zone de soufflage (figure 2.8). Au total,

le maillage utilisé est composé de 17000 volumes de contrôle.

La dimension p d’un pore, est fixée dans un premier temps à 2,5 mm sachant qu’en

réalité notre plaque a des pores d’un diamètre moyen de 30 pm. Notre modèle est donc une

représentation géométrique simplifiée de la réalité. Entre la surface de la matrice poreuse et le

premier point de maillage (situé 1,5 mm au dessus de la paroi ce qui correspond à une valeur

de y+ comprise entre 41 et 11,2 selon le taux d’injection) a lieu la jonction entre les

écoulements principal et secondaire. L’écoulement est rapidement homogénéisé lorsque la

distance à la paroi augmente. Ainsi, au premier noeud du maillage, il n’y a plus de

discontinuité entre une grandeur calculée au-dessus d’un élément solide (où interviennent les

lois de paroi) ‘et celle calculée au-dessus d’un pore (sans loi de paroi). L’effet de l’injection de

fluide sur la couche limite turbulente est donc homogène au-delà du voisinage immédiat de la

paroi. Enfin, signalons que le couplage entre le modèle discret de paroi et une modélisation à

“bas nombre de Reynolds” aurait nécessité une discrétisation beaucoup plus fine de la paroi

(une discrétisation dix fois plus fine (pas de 0,25 mm) était prohibitive en temps et moyens de

calculs).

A-

I I

IIIIIIIJlIIIIlIIIIIIIIIIIlIIIlllJ1ll_I~III

II

PLANCHER IMPERMEABLE PAROI POREUSE

Fig. 2.8 Maillage.

70

71

Par ailleurs, des profils de vitesse longitudinale sont calculés pour des dimensions de

pore p variants faiblement, la porosité de la plaque restant fixée à 33 % et le taux d'injection à

1 % (figure 2.9). On ne constate pas d'influence significative de ce paramètre dans la plage de

variation étudiée (1,5 à 5 mm). Les effets du soufflage et du frottement sont donc

indépendants de la taille d'un pore à condition de conserver une porosité et un débit de gaz

injecté constants. Par la suite, les résultats des simulations seront présentés avec une largeur

de pore de 2,5 mm, présentant le meilleur compromis entre le temps de calcul et la finesse de

la représentation de la paroi.

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

x2 (mm)

U1 (m/s)

p = 2,5 mm

p = 5 mm

p = 1,5 mm

Fig. 2.9 Influence de la taille des pores sur le profil de vitesse longitudinale.

2.2.1. Effusion sans gradient de températureDans cette première étude, l'écoulement pariétal et l'injection sont à température

ambiante, le taux d'injection étant égal à 1 %. Le champ de vitesse est calculé en utilisant le

modèle RNG k-ε et notre modélisation de l'injection à travers la paroi poreuse. Les résultats

de la simulation et ceux de l'expérience sont comparés avant la plaque poreuse (sans injection)

et au milieu de la zone d'injection. On peut observer, sur la figure 2.10, un très bon accord

entre les mesures obtenues par anémométrie Laser-Doppler et les résultats numériques.

L'épaississement de la couche limite est notamment très bien reproduit par notre modèle.

Notons également l'importante décroissance de la vitesse longitudinale à proximité de la paroi

72

du fait de l'injection. Cette décroissance de la vitesse se traduit par une diminution des forces

de frottements fluide-solide (quantifiables par le calcul du coefficient de frottement).

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1 (m/s)

exp. dans la region d'injectionexp. avant l'injectionsimulations numériques

Fig 2.10 Couches limites avant et dans la région d'effusion (F = 1 %).

Le profil expérimental de vitesse verticale au milieu de la plaque poreuse et pour un

taux d'injection de 1 % (figure 2.11), montre une croissance importante de celle-ci dans la

couche limite (jusqu'à environ 40 mm de la paroi), puis une décroissance faible au-delà. La

direction de l'écoulement secondaire est modifiée, par échange de quantité de mouvement

avec l'écoulement principal, en deçà d'une ordonnée, x2, de 1 mm. L'évolution du profil de

vitesse verticale est similaire à celle que l'on observe dans une couche limite sans effusion

mais, dans ce cas, le maximum est déplacé vers les ordonnées plus élevées. Comparé à la

vitesse de l'écoulement secondaire, le maximum obtenu est nettement supérieur (environ

0,35 m/s au lieu de 0,1 m/s). Même 50 mm au-dessus de la paroi, la vitesse verticale reste

relativement importante. Ce phénomène traduit une déviation verticale de l'écoulement

principal par l'écoulement secondaire. Par ailleurs, l'injection pariétale ayant pour effet de

diminuer sensiblement la vitesse longitudinale à proximité de la paroi, la déviation due à

l'injection engendre une composante de vitesse verticale faible dans les premiers millimètres

au-dessus de la paroi.

Du fait de la parfaite planéité du plancher que nous avons retenue dans notre

configuration théorique, alors que des imperfections ou obstacles existent sur le banc d'essais

73

(cf. paragraphe 1.2), les vitesses verticales mesurées et calculées ne peuvent pas être

directement comparées. Cependant, nous avons tracé, sur la figure 2.12, les vitesses verticales

adimensionnelles mesurées et calculées pour une même abscisse. On peut observer que le

déplacement du maximum en présence de l'effusion est bien reproduit par la simulation. De

même la légère augmentation de ce maximum (environ + 10 %), quand il y a injection

secondaire, est bien simulée.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

X2 (mm)

U2 (m/s)

mesures dans la zone d'injection

mesures avant la zone d'injection

Fig. 2.11 Profils expérimentaux de vitesse verticale avant

et dans la région d'injection (F = 1 %).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

X2 (mm)

U2 / U2max

mesures avant l'injection

mesures au milieu de la région d'injection

simulation avant l'injection

simulation au milieu de la région d'injection

Fig. 2.12 Profils adimensionnels expérimentaux et numériques de vitesse verticale.

74

Le coefficient de frottement peut être calculé avant et dans la région d'injection.

Simpson et al. (1969) ont montré que le frottement ne dépend que du taux d'injection et de

l'épaisseur de quantité de mouvement. L'épaisseur de quantité de mouvement peut être

déterminée par intégration discrète du profil de vitesse longitudinale. Le coefficient de

frottement est donc calculable par la corrélation (2.9) qui, pour mémoire, s'écrit :

C B

Bf f

f20 012

10,250,7

= +

−, Reln( )

θ . Dans le cas d'un taux d'injection de 1 %, la concordance

entre les coefficients de frottement calculés à partir des résultats expérimentaux et ceux

obtenus par intégration des résultats numériques est très bonne, tant avant l'injection qu'au

milieu de la plaque poreuse (Bellettre et al. 1998a). L'effet du taux d'injection sur le

coefficient frottement sera discuté ultérieurement. Par ailleurs, l'utilisation de corrélations

intégrales permet de mener le calcul en prenant en compte l'ensemble des valeurs des vitesses

dans la couche limite ce qui minimise l'erreur par rapport à un calcul de gradient de vitesse à

la paroi.

Cette détermination du calcul du coefficient de frottement permet de calculer une

vitesse de frottement Uτ et de présenter les profils de vitesse longitudinale sous forme

adimensionnelle. Sur la figure 2.13 sont représentés les profils adimensionnels de vitesses, en

milieu de plaque poreuse, pour un taux d'injection de 1 %.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 100 1000

Y+

U+

mesures

Loi de paroi (Simpson 1970)

simulation numérique

Loi standard (1.16)

Fig. 2.13 Profils adimensionnels de vitesses en milieu de plaque poreuse (F = 1 %).

75

Les profils numériques et expérimentaux sont en bon accord avec la loi de paroi semi-

empirique de Simpson (1970) : ( ) ( )21 1 11

1

11

12

12

vv U v

y

ww w++ + +

++ − +

=

κln dans

l'ensemble de son domaine d'application (30 < y+ < 100). En comparant la loi de Simpson et

la loi standard, on constate que le profil de vitesse est d'autant plus affecté par l'effusion que

y+ est grand.

2.2.2. Effusion avec gradients de températureAprès avoir étudié expérimentalement et modélisé les couches limites dynamiques

avec effusion en situation isothermique, il convient de s'intéresser au comportement d'un

écoulement turbulent chaud en présence d'injection de gaz frais. Dans un premier temps,

l'écoulement potentiel est porté à 45 puis 100 °C, température maximale admissible par

l'ensemencement nécessaire aux mesures par anémométrie Laser-Doppler. Le débit massique

de gaz injecté à travers la plaque poreuse est identique à celui du cas ambiant. Les

températures du gaz injecté et des éléments solides de la plaque poreuse sont imposées et

identiques. Les températures de surface de paroi sont données par l'expérience : 31 °C et

43 °C pour une température d’écoulement potentiel respectivement de 45 °C et 100 °C. Les

résultats présentés sur la figure 2.14 montrent la concordance entre le modèle et l'expérience

pour les couches limites thermiques tant avant la plaque poreuse que dans la région

d'injection. Remarquons que l'épaisseur des couches limites thermiques est accrue par

l'effusion et, par conséquent, que les températures de l'écoulement pariétal à proximité de la

plaque sont diminuées. Ce phénomène se traduit par une diminution des échanges convectifs

fluide chaud-paroi qui peut être quantifiée par le calcul du nombre de Stanton.

La détermination du nombre de Stanton est similaire à celle du coefficient de frottement. Il est

possible de calculer les nombres de Stanton, avant et dans la zone d'effusion, à partir de l'intégration

des vitesses longitudinales ou des températures. La corrélation intégrale (2.10) est alors utilisée dans

la région d'injection : ( )StB

BB= +

+− −0 01281

10,25 0,51

0,25, Re Prln( ) ,25

∆ . La concordance

entre les nombres de Stanton calculés à partir de résultats numériques ou expérimentaux est, à

nouveau, très bonne (Bellettre et al. 1998a) : l'écart est de l'ordre de 5 %. La réduction du

nombre de Stanton avec le taux d'injection sera chiffrée au paragraphe 2.2.4.

76

Par ailleurs la concordance modèle-expérience des profils de vitesses dans le cas d'un

écoulement pariétal chaud est aussi satisfaisante que celle observée dans le cas d'un

écoulement à température ambiante. La déviation de l’écoulement pariétal est notamment bien

reproduite par la simulation (cf. annexe IV)

300

310

320

330

340

350

360

370

380

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

T (K)

mesures au thermocouple dans lazone d'injection

mesures au thermocoupleavant l'injection

simulations numériques

Te = 45 °C

Te = 100 °C

Fig. 2.14 Couches limites thermiques pour un écoulement à 45 °C et 100 °C.

2.2.3 Influence de la porositéDans ce paragraphe, nous étudions l'influence de la proportion entre les éléments

solides et les pores. Tous les résultats précédents ont été obtenus avec une proportion

surfacique de 1/3 de pores pour 2/3 d'éléments solides. Toutefois, il apparaît intéressant

d'étudier comment peuvent être affectés, par cette proportion, les résultats déjà obtenus.

De nouveaux rapports entre les surfaces des pores et du solide sont testés : 1/4, 1/2 et

2/3. Dans chaque cas, le débit de gaz injecté est maintenu constant (0,12 kg/m²s). Sur la figure

2.15 sont représentés les profils de vitesse longitudinale au milieu de la zone d'injection

(x1 = 1,55 m). On constate que la couche limite dynamique est très peu modifiée pour des

porosités comprises entre 1/4 et 1/2. En revanche, dans le cas d'une proportion de 2/3, le profil

de vitesse est sensiblement affecté. L’effet de la porosité est bien pris en compte par le présent

modèle mais une variation importante est nécessaire pour que son influence soit significative.

En conséquence, la proportion entre la surface des pores et celle du solide n'a pas besoin d'être

77

connue très précisément pour le présent taux d'injection puisque celle-ci n'a une influence que

si elle est très éloignée de celle de notre élément poreux. On peut en effet noter que, pour le

débit de gaz injecté qui a été retenu expérimentalement et qui a permis la validation de notre

modélisation, l'influence de la porosité est faible car le frottement fluide-solide est fortement

réduit par l'injection. Pour des taux d'injection plus faibles, ce frottement est beaucoup plus

important et les profils pourraient être plus modifiés par une variation de la porosité.

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1(m/s)

porosité = 1/4

porosité = 1/3

porosité = 1/2

porosité = 2/3

2.15 Influence de la porosité sur le profil de vitesse longitudinale.

2.2.4 Influence du taux d'injection

Mise en évidence du décollement des couches limites dynamiques et thermiques

L'influence du taux d'injection sur le profil de vitesse longitudinale est donnée sur la

figure 2.16. La vitesse passe progressivement du profil de type logarithmique caractéristique

d'une couche limite turbulente développée pour un taux d'injection de 0 %, à un profil linéaire

pour F = 2,6 %. Pour ce dernier taux d'injection, la linéarité du profil est retrouvée

expérimentalement. Par ailleurs, pour F = 2,6 %, le point de mesure par anémométrie Laser-

Doppler le plus proche de la paroi est à 2 mm de celle-ci alors qu'il est à 0,4 et 0,8 mm sans

effusion ou pour un taux d'injection plus faible. Ceci met en évidence, par l'absence

d'ensemencement dans cette zone, le fait que la couche limite dynamique soit décollée pour ce

taux d'injection.

78

0

4

8

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1 (m/s)

F = 0 %

F = 0,35 %

F = 0,95 %

F = 1,9 %

F = 2,6 %

mesures F = 2,6 %

Fig. 2.16 Profils de vitesse longitudinale (Te = 100 °C, x1 =1,55m).

Les profils de températures, présentés sur les figures 2.17, sont obtenus dans le cas

d'un écoulement potentiel porté à une température de 200 °C. On peut remarquer : un

épaississement important de la couche limite thermique avec une augmentation du taux

d'injection, une déformation des profils similaire à celle observée pour ceux de la couche

limite dynamique et une linéarité du profil pour F = 3,2 % conforme à l'expérience.

Par ailleurs, on a noté l'existence d'une zone isotherme au-dessus de la fin de la plaque

poreuse pour un taux d'injection de 3,2 %. Ce phénomène est dû, au décollement de la couche

limite thermique créant un film froid au-dessus de la plaque poreuse.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50X2 (mm)

T - Te

F = 0%

F = 0,5 %

F = 0,8 %

F = 1,4 %

F = 3,2 %

mesures F = 3,2 %

Tw - Te

Fig. 2.17. Profils de température adimensionnelle longitudinale (Te = 200 °C).

79

Calculs des coefficients de frottement et nombres de Stanton

La validation de notre modèle est également effectuée par comparaison des résultats

numériques, obtenus en faisant varier le taux d'injection, avec des résultats issus de la

littérature. Les profils simulés de vitesse longitudinale sont intégrés pour calculer l'épaisseur

de quantité de mouvement. A l'aide de la corrélation intégrale (2.9), ces résultats permettent

de calculer, pour différents taux d'injection, des valeurs de coefficients de frottement. La

concordance avec les mesures de nombreux auteurs est satisfaisante (figure 2.18). La

comparaison entre les différents résultats est effectuée pour des nombres de Reynolds Reθ

compris entre 2000 et 3000 (Reθ augmente avec le taux d'injection). Par ailleurs, on peut

constater l'importante décroissance du frottement avec l'effusion : pour un taux d'injection de

1 %, le coefficient de frottement est réduit d'environ 80 % par rapport au cas sans effusion.

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0 0,4 0,8 1,2F (%)

Cf / 2

Présente étude

Andersen et al. (1975)

McLean and Mellor (1972)

Baker et Launder (1974)

Rubesin et al. (1985)

Fig. 2.18 Coefficient de frottement en fonction du taux d'injection

(x1 = 1,55 m, Reθ = 2000 à 3000).

L'évolution du nombre de Stanton est étudiée en fonction du taux d'injection, pour un

écoulement principal à 45 °C. La température de paroi est maintenue constante à 31 °C quel que soit

le taux d'injection, ce qui correspond aux conditions expérimentales de Whitten et al. (1970) dont la

température de plaque était régulée. Sur la figure 2.19 sont présentés les résultats de cette étude

paramétrique. Les nombres de Stanton sont calculés après intégration des profils de vitesse et de

température obtenus par la simulation et à l'aide de la corrélation (2.10). On constate un bon accord

entre nos résultats et les résultats d'expérimentateurs qui ont

80

travaillé pour des nombres de Reynolds (fondés sur l'épaisseur d'enthalpie) équivalents aux

nôtres (Re∆ = 1300 pour F = 0 % à Re∆ = 2000 pour F = 1,1 %).

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0 0,4 0,8 1,2

F (%)

St

Présente étude

Whitten et al. (1970)

Rubesin et al. (1985)

Moffat et Kays (1984)

Fig. 2.19 Nombre de Stanton en fonction du taux d'injection (x1 = 1,55 m).

L'étude de l'évolution des coefficients de frottement et nombres de Stanton est

poursuivie pour un écoulement potentiel porté à 100 °C et 200 °C. Les nombres de Stanton

rapportés au nombre de Stanton sans injection sont présentés sur la figures 2.20. Ces résultats

sont obtenus en tenant compte de l'évolution des propriétés de l'air avec la température dans le

calcul des nombres de Reynolds basés sur les épaisseurs de quantité de mouvement et

d'énergie. On constate une influence sensible de la température de l'écoulement potentiel sur

les résultats. Les nombres de Stanton sont en effet plus élevés pour Te = 200 °C que pour Te =

100 °C (la température de l'écoulement secondaire étant égale à 40 ± 10 °C). Le gaz effusé est,

relativement à l'écoulement potentiel, plus lourd pour Te = 200 °C que pour Te = 100 °C. Or,

toutes les études portant sur l'injection de différentes espèces montrent que la protection

thermique par effusion est d'autant moins efficace que l'espèce est lourde (Romanenko et

Kharchenko (1963), Baker et Launder (1974a, 1974b) et Landis et Mills (1972)). La

différence obtenue entre les résultats à 100 °C et 200 °C peut donc s'expliquer par analogie

avec ces résultats concernant le soufflage de différentes espèces chimiques.

Comme le suggèrent Landis et Mills (1972), les taux d'injection sont normalisés par le

nombre de Stanton sans injection (sensiblement plus élevé pour Te = 200 °C que pour

81

Te = 100 °C) afin de compenser l'effet de la variation de densité. Pour les niveaux de

température étudiés, les courbes de la figure 2.21 se superposent correctement.

Les résultats de Landis et Mills (1972), concernant la faible influence de la

température de l'écoulement potentiel sur l'évolution du nombre de Stanton normalisé en

fonction du taux d'injection normalisé sont donc en bon accord avec les nôtres. Le même

résultat concernant le coefficient de frottement est obtenu (figure 2.22). Nous considérerons

donc que les calculs de coefficients de frottement et nombres de Stanton sont applicables pour

des écoulements pariétaux sensiblement plus chauds que ceux pour lesquels ils ont été validés.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

F (%)

St / St0

Te = 100 °C

Te = 200 °C

Fig. 2.20 Nombre de Stanton normalisé en fonction du taux d'injection pour différentes

températures d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

F / St0

St / St0

Te = 100 °C

Te = 200 °C

Fig 2.21 Nombre de Stanton normalisé en fonction du taux d'injection normalisé pour

différentes température d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).

82

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

2 F / Cf0

Cf / Cf0

Te = 100 °C

Te = 200°C

Fig. 2.22 Coefficient de frottement normalisé en fonction du taux d'injection normalisé pour

différentes température d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).

Le coefficient d'échange convectif entre l'écoulement chaud et la paroi poreuse est

déduit du calcul du nombre de Stanton. Son évolution avec le taux d'injection est présentée sur

la figure 2.23. Ce résultat souligne l'efficacité du procédé de protection thermique par

effusion. En effet, on constate une diminution de 85 % de l'échange convectif pour un taux

d'injection de 1 % par rapport au cas sans effusion.

0

5

10

15

20

25

30

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4F (%)

h (W/m²K)

Fig 2.23 Coefficient d'échange convectif en fonction du taux d'injection

(x1 = 1,55 m, Te = 100 °C).

83

Conclusion

En utilisant un modèle classique de turbulence (modèle RNG k-ε à "haut nombre de

Reynolds") et en modélisant les phénomènes physiques liés à l'effusion à travers une paroi

poreuse, des simulations numériques de couches limites turbulentes soumises à de l'injection

de gaz ont été effectuées. Pour des écoulements potentiels à différentes températures, les

résultats obtenus ont été comparés à nos propres résultats expérimentaux ainsi qu'à ceux issus

de la littérature et un bon accord a été trouvé. L'épaississement des couches limites

dynamiques et thermiques du fait de l'injection est, notamment, très bien reproduit par notre

modélisation. Le calcul des coefficients de frottement et du nombre de Stanton, pour

différents taux d'injection, ont pu être menés à bien par l'emploi de corrélations semi-

empiriques. Il nous appartient maintenant d'utiliser les résultats de nos travaux pour l'étude du

refroidissement des parois poreuses en couplant le modèle de couche limite avec une

modélisation des transferts internes à une matrice poreuse.

Chapitre 3

COUPLAGE ECOULEMENTPARIETAL - PLAQUE POREUSE

85

L’étude des transferts de chaleur en couches limites turbulentes soumises à de

l’effusion prend tout son intérêt si l’on examine les conséquences de tels transferts sur les

plaques poreuses à protéger. Pour cela, il convient de s’intéresser, non seulement aux

transferts convectifs entre l’écoulement pariétal et la paroi, mais également aux échanges

internes au milieu poreux et aux transferts par rayonnement entre la paroi à protéger et son

environnement.

A notre connaissance, seulement quatre études ont couplé un modèle des transferts en

couche limite avec les transferts de masse et de chaleur au sein d’une matrice poreuse. Il s'agit

des travaux de Eckert et Cho (1994) et Campolina França (1996) d’une part, et de Kubota

(1977) et Ishii et Kubota (1984) d’autre part.

Eckert et Cho (1994) couplent un modèle k-ε "à bas nombre de Reynolds" avec un

bilan thermique dans la paroi poreuse, mais l'hypothèse d'équilibre thermique entre la phase

gazeuse et la phase solide de la plaque est adoptée et le rayonnement sur les éléments solides

de la plaque est négligé. Campolina França et al. (1998) étudient le couplage d'une couche

limite turbulente avec effusion d'air et un milieu poreux unique équivalent. Les deux

approximations précédentes concernant l'équilibre thermique et le rayonnement sont aussi

adoptées.

Kubota (1977) et Ishii et Kubota (1984) étudient le comportement thermique d’une

matrice poreuse de silice, refroidie par effusion de dioxyde de carbone, entrant dans

l’atmosphère de Saturne. Ils prennent en compte les échanges radiatifs du matériau avec son

environnement ainsi que le déséquilibre thermique interne entre le gaz et le solide. En

revanche, l’écoulement pariétal n’est pas étudié et le flux convectif incident est déterminé à

l’aide d’un facteur d’atténuation dû à l’effusion. Ce facteur est soit constant quel que soit le

taux d’injection, soit calculé de façon explicite en fonction du taux d’injection par le "modèle

du film" ; or Tedeschi et al. (1995) ont montré que ce modèle analytique ne peut être qu'une

première approximation notamment pour les forts taux d’injection.

Il apparaît donc intéressant de coupler notre étude des transferts en couches limites

avec celle des transferts internes aux matrices poreuses en vue de déterminer plus précisément

l’impact de l’effusion sur la température de la phase solide. Afin de faciliter la lecture de ce

chapitre, les principaux éléments bibliographiques concernant les transferts de masse et de

chaleur au sein des milieux poreux sont, tout d’abord, donnés. Par la suite, une détermination

expérimentale de l'effet de l'effusion sur les températures de plaques est présentée. Enfin, une

86

quantification numérique des différents transferts de chaleur entre la matrice poreuse et son

environnement est effectuée.

3.1. Transferts dans les milieux poreux

Une étude précise de l'effusion nécessite une connaissance approfondie des transferts

de masse et de chaleur dans la paroi poreuse. La complexité de la géométrie des milieux

poreux rend difficile une étude uniquement théorique des transferts internes à ceux-ci. Le

recours à l'expérience est donc primordial.

3.1.1. Transferts de masse

Afin de quantifier le débit de fluide traversant un milieu poreux, il est intéressant de

déterminer la relation entre ce débit et le gradient de pression dans la paroi. Darcy (1856) a

proposé un premier modèle pour un écoulement où les forces visqueuses sont prépondérantes

(écoulement à faible vitesse). L'équation de Darcy est donnée par la relation (3.1).

∂∂

µP

x K2= − v (3.1)

K étant la perméabilité du milieu et l'action de la gravité est négligée.

Cependant, pour des écoulements à plus grande vitesse, les forces inertielles ne sont

plus négligeables devant les forces visqueuses. Deux approches sont alors envisageables :

l'une, où les effets des deux forces sont mêlés (modèle d'écoulement mixte : les deux effets

sont indissociables), l'autre, où les effets sont superposés (les deux effets sont additionnés).

Modèle d'écoulements mixtes

Andoh (1992), Andoh et al. (1994) et Lips et Lallemand (1992) proposent un modèle

général applicable à des écoulements isothermes ou non, de fluides pouvant être

compressibles ou incompressibles. Leur modèle divise la paroi (dans la direction de

l’écoulement) en plusieurs éléments. Pour l'élément i, l'équation (3.2) est appliquée.

∆ ∆P Km m

xii i

i=

1

2

2

1� �

µ ρ

α (3.2)

où �m est le débit massique surfacique de fluide.

87

K1 et α1 sont deux caractéristiques du milieu. Ces deux coefficients sont identiques

pour chaque élément et sont déterminés pour un milieu par deux points expérimentaux (∆P,

�m). A noter que les propriétés du fluide (ρ, µ) sont déterminées en tenant compte de la

température de l'élément i considéré. Ce modèle a été validé expérimentalement pour des

écoulements de gaz ou de liquide à travers différents milieux.

Modèle de superposition des effets inertiels et visqueux.

La relation entre le débit et le gradient de pression dans le milieu poreux s’écrit selon

la relation (3.3).

∆∆

P

x Kv b v

2

1= +µ ρ ² (3.3)

Cette relation peut également s'écrire : f C= +1

Re

avec f

P

xK

v=

− ∆∆ 2

2ρ (coefficient de frottement),

Re= ρµ

v K (nombre de Reynolds)

et C = K b .

De nombreux auteurs ont caractérisé de la sorte les écoulements de fluides à travers les

milieux poreux. A titre d’exemple, citons l’importante étude de Kar (1980) dont l’application

est le refroidissement des matrices poreuses soumise à un flux incident radiatif. Kar (1980)

étudie l'écoulement de l'azote à travers un milieu poreux chauffé à l'extrémité (opposée à celle

de l'entrée du gaz) par un flux radiatif uniforme. Différents milieux sont étudiés : des milieux

non-consolidés constitués de sphères (en acier, d'un diamètre compris entre 0,2 et 0,65 cm),

des matériaux frittés en acier, en nickel ou en cuivre, des échantillons de matériaux poreux

"commerciaux". Il montre que, pour les différents milieux, le coefficient de frottement suit

une loi f C= +1

Re ; mais il n'y a pas de corrélation universelle valable pour tous les modèles

ou échantillons. En comparant les mesures de débit et de pression obtenues sans flux radiatif à

l'extrémité aval du milieu et avec une puissance radiative donnée (300 à 400 W/cm²), on note

que les variations des caractéristiques mesurées sont inférieures aux incertitudes sur les

88

mesures. Ainsi, Kar confirme que la loi obtenue pour un écoulement isotherme est applicable

à un écoulement non-isotherme à condition de tenir compte de la variation des propriétés de la

phase fluide avec la température.

3.1.2. Transferts de chaleur

L'évaluation précise des champs de températures dans un milieu poreux traversé par un

fluide doit tenir compte des facteurs suivants :

- conduction dans les phases solides et liquides,

- convection et rayonnement entre les deux phases,

- transport de chaleur par le fluide réfrigérant,

- échanges de chaleur (par rayonnement ou convection) aux frontières du milieu.

La détermination de la conductivité thermique équivalente du milieu poreux et celle du

coefficient d'échange convectif interne entre le fluide et le solide ont fait l'objet de nombreux

travaux dont nous allons examiner les résultats les plus utiles pour notre étude.

Conductivité thermique équivalente.

La conductivité thermique équivalente, λeq, d'un milieu poreux permet de quantifier les

transferts conductifs au sein du milieu en l’absence d’écoulement. Elle est une fonction

complexe de la géométrie du milieu et des caractéristiques thermophysiques des différentes

phases. Elle est généralement déterminée à partir des conductivités thermiques des phases

solide, λs, et fluide, λf. Les modèles les plus simples sont les modèles série, parallèle et mixte

décrits respectivement par les équations (3.4) à (3.6).

1 1

λϕλ

ϕλeq f s

= + − (3.4)

λ ϕ λ ϕ λeq f s= + −( )1 (3.5)

λ λ λϕ ϕeq f s= + −1 (3.6)

Par ailleurs, il existe dans la littérature de nombreux modèles de conductivité

équivalente plus raffinés. Par exemple, Sarwa et Majumdar (1995) proposent un modèle très

détaillé pour déterminer la conductivité thermique équivalente de matériaux composites

poreux et humides. Ils procèdent, pour une maille élémentaire de matériau, à la détermination

89

d'un schéma électrique équivalent. La conductivité équivalente est calculée à partir de cette

analogie.

Coefficient d'échange interne

Les études expérimentales concernant les coefficients d’échange convectif entre une

matrice solide chaude et un fluide réfrigérant sont très nombreuses. Dans la plupart des

travaux, les auteurs mesurent les températures des phases solides et fluides d’un échantillon

poreux chauffé, par rayonnement, à une extrémité. A l’aide d’un bilan thermique, le

coefficient d’échange convectif est alors déterminé. A titre d’exemple, le bilan utilisé par Kar

(1980) est schématisé sur la figure 3.1. Afin de s’affranchir de l'estimation de la surface

d’échange interne, il est préconisé d’utiliser un coefficient d’échange interne volumique, hint,

défini par la relation (3.7).

h hsint = (3.7)

où s est la surface interne d’échange par unité de volume du milieu.

hc v T T

T T dx

p f sortie f entrée

s f iint

, ,( )

( )=

−

−∫ρ

(en négligeant la conduction dans la phase fluide)

Fig. 3.1 Bilan thermique sur un volume poreux (Kar 1980).

Les résultats sont ensuite présentés sous forme adimensionnelle. Les corrélations obtenues

sont de la forme Nu A a b= ×Re Pr . Du fait de la grande diversité des milieux poreux, il n’existe pas

de corrélation universelle permettant de quantifier les échanges convectifs internes. En effet, le non

respect des similitudes géométriques rend impossible l’obtention d’une telle corrélation.

milieu poreux

ρvf Tf, entréeρvf Tf,

hv

mesures de Ts

qconductif, fluideqconductif, fluide

mesures de Tf

xi

90

En ce qui concerne les matériaux frittés métalliques, qui nous intéressent

particulièrement dans le cadre de ce travail, on peut synthétiser différents résultats

expérimentaux. La longueur caractéristique, d, utilisée dans les nombres sans dimension

(Reynolds, Nusselt) est soit le diamètre moyen des pores, soit le diamètre moyen des

particules solides, soit le diamètre hydraulique du milieu (dsh = 4ϕ

) ou encore le produit

K x b (cf. relation (3.3)) qui est homogène à une longueur.

Le nombre de Nusselt peut être défini de deux façons : selon la relation (3.8) si la

surface d’échange interne, s, est connue ou bien selon l’équation (3.9) si ce n’est pas le cas.

Nuh d

s f= int

λ (3.8)

Nuh d

f= int ²

λ (3.9)

Les propriétés thermophysiques sont calculées à la température moyenne

logarithmique de la phase fluide. La précision sur la détermination expérimentale du nombre

de Nusselt est d’environ 15 à 20 % (quand elle est donnée). Cette faible précision est liée à la

difficulté de mesurer les températures de chacune des deux phases, et d'en déduire

précisément leur différence notamment quand celle-ci est faible (Polyaev et al. 1996).

Du fait des différentes possibilités pour définir les nombres sans dimension, il n’est

pas aisé de comparer les coefficients multiplicatifs des différentes corrélations issues de la

littérature. Par contre, une étude comparative sur l’exposant a (qui nous intéressera

particulièrement par la suite) est tout à fait licite. Le tableau (3.1) permet de comparer les

différents résultats recensés. Ceux-ci sont relativement variables d’un matériau à l’autre.

Cependant, en ce qui concerne l’acier inoxydable fritté, une proportionnalité entre le nombre

de Nusselt et le nombre de Reynolds semble se dégager.

En ce qui concerne notre modélisation de l’effusion, il nous paraît peu réaliste

d'utiliser, a priori, une corrélation de la littérature pour prendre en compte les transferts

convectifs internes à la paroi. En effet, les résultats de Koh et al. (1973) sont à considérer

"avec réserve" à cause des fluctuations de débit enregistrées lors de leurs essais (Andoh 1994)

et, par ailleurs, nous travaillerons pour des nombres de Reynolds sensiblement inférieurs aux

domaines de validité des corrélations obtenues par Kar (1980). Il nous appartient plutôt de

quantifier expérimentalement ces transferts convectifs internes.

91

Auteurs Longueur

caractéristique

Exposant a

de Re

Domaine de

validité pour Re

Métal étudié

Groothenhuis et

al . (1951)

dparticule solide 0,03 10 à 10000 cuivre

ϕ = 0,26 à 0,4

Koh et al. (1973) dhydraulique 1

1

1 à 100

10 à 600

acier inoxydable

ϕ = 0,21 à 0,31

acier inoxydable

‘Rigimesh’*

ϕ = 0.18 à 0.36

Kar (1980) dpore 1,06

1,60

1,40

0,97

1 à 100

0,1 à 10

0,1 à 10

10 à 200

acier inoxydable

ϕ = 0,28 à 0,65

nickel

ϕ = 0,35 à 0,51

cuivre

ϕ = 0,45 à 0,58

acier inoxydable

‘Rigimesh’

ε = 0.05

Zegarnik et

Polyaev (1996)

K x b 1 Re x Pr =

0,01 à 25

première

approximation

valable pour de

nombreux matériaux

poreux

Tab. 3.1 Synthèse des différents travaux sur les métaux frittés.

* Nom commercial

3.2. Mesures de températures de plaques poreuses

La détermination expérimentale de la température des parois poreuses refroidies par

effusion permet de quantifier les effets de ce mode de protection et d’optimiser le débit de

fluide réfrigérant. A l’aide d’un modèle de transfert de chaleur, il sera ensuite possible de

92

déterminer, en fonction du taux d’injection, outre le flux convectif incident étudié au

chapitre 2, le rayonnement incident sur la paroi et les échanges convectifs internes.

Dans un premier temps, nous présentons les milieux poreux retenus ainsi que leurs

caractéristiques. L’instrumentation nécessaire à la mesure de la température est ensuite

explicitée. Enfin, les principaux résultats expérimentaux sont présentés et interprétés.

3.2.1. Présentation des matériaux poreux

Rappelons que l’acier inoxydable fritté a été retenu pour sa résistance

thermomécanique et ses propriétés anticorrosives. Nous disposons de trois plaques qui se

différencient par la taille des grains solides qui les constituent. Le constructeur est la société

Sintertech qui a établi la classification suivante : une plaque de classe X est constituée de

grains métalliques de diamètre moyen 10 X µm.

Caractéristiques géométriques

Les trois plaques ont 3 mm d’épaisseur, 500 mm de longueur et 200 mm de largeur.

Compte tenu de la présence d’un joint d’étanchéité sur la périphérie des parois, la surface de

soufflage vaut 0,46 x 0,16 m2. Le tableau 3.2 synthétise les autres dimensions utiles.

Type Diamètre moyen des

particules métalliques (µm)

Diamètre moyen des pores

(µm)

Classe 5 50 18

Classe 10 100 30

Classe 20 200 75

Tab. 3.2 Caractéristiques géométriques des plaques.

Chaque classe de plaque est constituée sensiblement de la même masse de solide et la

porosité croît très peu avec la classe (de 30 % pour une classe 3 à 40% pour une classe 40). Le

constructeur estime donc que la porosité des trois classes choisies est d’environ 33 %. Ce

choix de plaques permet notamment d’étudier l’impact de la surface d’échange interne

puisque le refroidissement par convection interne est présent dans le processus étudié et que la

surface spécifique est une fonction décroissante de la taille des particules solides.

93

Caractéristiques thermiques

La conductivité thermique équivalente des parois, donnée par le constructeur, est

d’environ 5 W/mK (quand le fluide, au repos dans les pores, est de l’air). Elle correspond à la

valeur donnée par Koh et Fortini (1973) pour des milieux en inox fritté d’une porosité de

30 %.

L’émissivité hémisphérique des plaques, dans le domaine infrarouge, a été déterminée

expérimentalement et vaut 0,85 (Campolina França 1996).

Perméabilité

L’étude expérimentale, des transferts de masse permet de tracer les caractéristiques ∆P = f

(vf), où vf est la vitesse de filtration du fluide (c’est à dire la vitesse moyennée sur toute la surface de

la plaque) et ∆P la perte de pression aux bornes du milieu poreux. Pratiquement, sur le banc d'essai

décrit au paragraphe 1.2, les mesures du débit massique et de la température du fluide permettent la

détermination de vf ( v mAf

f= �

ρ , où A est l'aire de la surface de soufflage), vitesse pour laquelle la

différence de pression, ∆P, est mesurée.

La figure 3.2 montre une caractéristique obtenue pour la classe 10. Un modèle polynomial de

superposition des effets visqueux et inertiels (équation 3.3) permet de retrouver très correctement les

caractéristiques de notre plaque. Pour les faibles vitesses, les résultats expérimentaux sont bien

reproduits par les lois de Darcy ou la loi de superposition. A partir d'une vitesse de 0,3 m/s, les effets

inertiels ne sont plus négligeables devant les effets visqueux et seule la seconde loi concorde avec les

mesures.

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

vf (m/s)

∆P / ∆x2x 10-6 (Pa/m)

Mesures Loi de Darcy Loi de superposition

Fig. 3.2 Exemple de caractéristique de transferts de masse (plaque classe 10).

94

Cette bonne adéquation entre le modèle de superposition et l'expérience se retrouve

pour les différentes plaques et pour les différentes températures d'écoulement pariétal que

nous allons étudier

Le tableau 3.3 synthétise les différents résultats expérimentaux obtenus pour les

différentes plaques. On constate que la perméabilité est d’autant plus forte et le coefficient b

d’autant plus faible que les pores de la paroi sont plus grands. Les valeurs de K et b sont

obtenues par une régression polynomiale à partir des mesures expérimentales.

Type K (m²) b (m-1)

Classe 5 1,8 10-12 4,3 106

Classe 10 4,2 10-12 9,3 105

Classe 20 2,7 10-11 4,9 105

Tab 3.3 Valeurs expérimentales de la perméabilité et du coefficient b.

3.2.2. Moyens expérimentaux mis en oeuvre

Les différentes parois sont tour à tour insérées dans le plancher de la veine. Elle sont

donc soumises à un double apport de chaleur : par convection due à l’écoulement chaud et par

rayonnement provenant des parois chaudes de la veine (plafond, vitres).

Dans un premier temps, la thermométrie infrarouge, moyen non intrusif, est apparue

comme adaptée à notre étude (Campolina França 1996) et des hublots, transparents au

rayonnement infrarouge, ont été implantés dans le plafond de la veine pour mesurer la

température des matrices poreuses. Du fait de l’existence de réflexions multiples dans la

veine, le rayonnement réfléchi par la matrice poreuse (point froid de la veine) n’est pas

négligeable vis à vis de son émission propre. La caméra infrarouge interprétant le

rayonnement reçu comme étant uniquement l’émission propre de la paroi, les mesures

effectuées sont surestimées.

Le choix s’est donc porté vers une instrumentation plus adaptée à notre configuration.

Des thermocouples chromel-alumel fins (0,1 mm de diamètre) sont soudés, par décharge électrique,

sur la matrice poreuse afin de mesurer la température de la phase solide. La température de surface de

la phase solide est ainsi obtenue puisque la plaque poreuse, soumise à l'effusion, est obstruée par la

soudure sur une très faible surface ce qui protège localement la jonction de l'écoulement d'air. La

matrice solide de la plaque étant bon conducteur thermique, l'homogénéité de sa température de

surface n'est pas affectée. La précision des mesures est de

95

1 K. Les thermocouples sont implantés sur la ligne médiane des plaques avec un plus grand

nombre dans la partie amont de la paroi où le gradient longitudinal de température est le plus

fort (figure 3.3). La même instrumentation est mise en place sur la face inférieure des plaques

afin de déterminer le gradient vertical de température.

Fig. 3.3 Implantation des thermocouples (x1 = 1, 3, 7, 13, 19, 25, 38, 49 cm).

Sont relevées également, les températures des surfaces chaudes de la veine (vitres et

plafond) et celle des plaques déflectrices fraîches du caisson de tranquillisation. Ces

températures de surfaces sont mesurées à l’aide de thermocouples collés. Elles seront utiles

pour l’étude du rayonnement entre la plaque et son environnement.

3.2.3. Résultats expérimentaux

La température de la matrice solide est étudiée en fonction de trois paramètres :

l’abscisse x1 afin d’obtenir la « cartographie thermique » des plaques, la température de

l’écoulement et la classe de la paroi. Ainsi, les températures de la plaque de classe 10 sont

relevées pour une température de l’écoulement potentiel de 100, 150, 200 et 250 °C et les

différentes classes de matériau poreux sont étudiées pour un écoulement à 250 °C. La gamme

des taux d’injection s’étend de 0 à 10 % et la vitesse de l'écoulement potentiel reste fixée à

10 m/s.

Mesure du taux d’injection

La mesure du taux d’injection nécessite la connaissance du débit massique de fluide

frais. Ce débit est obtenu à l’aide de la mesure du gradient de pression aux bornes des plaques

poreuses, qui fluctue moins que la différence de pression au diaphragme, et de la caractéristique ∆P =

f (v) de chacune d'elles. En tenant compte des fluctuations de pression observées lors de

l’expérimentation, des incertitudes concernant la détermination

Paroi Poreuse

x3

sens de l’écoulement

Limite de la zone de soufflage

x1 x20

96

des masses volumiques et de la surface de soufflage, la précision obtenue pour la mesure du

taux d’injection est comprise entre environ 10 % pour les faibles taux (F < 0,5 %) et moins de

5 % pour les plus forts (F > 8 %) (l'incertitude décroît avec l'injection - cf. Annexe V).

Cartographie thermique

Sur la figure 3.4, est représentée la cartographie obtenue pour l’essai sur la plaque de

classe 10 avec un écoulement potentiel à 250 °C. Sans effusion, la température de la matrice

poreuse est uniforme et de 224 °C. A mesure que le taux d’injection augmente, la température

de paroi décroît. La zone comprise entre x1 = 19 cm et x1 = 38 cm est toujours isotherme. Pour

les plus forts taux (10 % environ), la température de la plaque atteint 34 °C. Le gradient

vertical de température dans la plaque est faible (0 à 5 K) et n'évolue pas significativement en

fonction du taux d’injection (figure 3.5).

Les profils expérimentaux de température dans la couche limite (cf. paragraphe 2.2.4)

montrent que, pour un taux d’injection de 3,2 %, le décollement de la couche limite a déjà été

obtenu. Or, la température de la matrice poreuse, soumise alors uniquement au rayonnement

des parois chaudes de la veine, continue de décroître avec le taux d’injection. La matrice

solide est alors refroidie uniquement par convection interne ce qui suppose l’existence d’un

déséquilibre thermique solide-fluide au sein du milieu poreux, déséquilibre souvent ignoré

dans la littérature sur les transferts de chaleur en couches limites soumises à l’effusion.

Les tendances observées ci-dessus se retrouvent sur l’ensemble des cartographies

thermiques obtenues (quelle que soit la température de l’écoulement potentiel et quelle que

soit la classe de matériau).

On note en observant la figure 3.4 que l’écart de température entre le thermocouple

amont (non situé dans la zone de soufflage) et un thermocouple soumis à l’effusion passe

systématiquement par un maximum en fonction du taux d'injection. On peut interpréter ce

phénomène de la façon suivante :

- pour les faibles taux, le thermocouple "central" est protégé, de l'écoulement chaud, par

l’effusion et refroidi par la convection interne à la plaque alors que le thermocouple amont

n’est refroidi que par la conduction longitudinale dans la paroi ; l’écart de température croît

donc avec le taux d’injection du fait de la forte augmentation de la protection du thermocouple

central avec l'effusion ;

- pour les forts taux, l'évolution de température au niveau du thermocouple "central" est

uniquement due à l'augmentation de la convection interne (il y a décollement de la couche

97

limite thermique et la protection due à l'effusion a déjà atteint son optimum) et le

thermocouple amont est toujours refroidi par la conduction longitudinale dans la paroi. Il doit

donc exister un changement d'allure dans la courbe de l’écart de température en fonction du

taux d’injection traduisant la disparition de l'augmentation de protection du thermocouple

central après le décollement de la couche limite. Dans notre cas, ce changement d'allure se

traduit par un maximum.

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

X 1 (cm )

Tsolide (°C )

00,150,30,751,11,41,852,32,653,053,754,755,88,159,6

F (% )

Fig. 3.4 Cartographie thermique pour la plaque de classe 10 et

un écoulement potentiel à 250 °C.

Le maximum par lequel passe l’écart de température peut donc être interprété comme

une estimation du taux critique : c'est à dire du taux d’injection pour lequel le décollement de

98

la couche limite thermique se produit. Les écarts de température entre le premier

thermocouple et les quatre suivants (figure 3.6) montrent que le décollement semble se

produire d’abord en aval, c'est à dire dans la zone isotherme comprise entre x1 = 19 et x1 = 38

cm. Une légère augmentation du taux d’injection (de 2,3 à 2,7 %) entraîne un décollement sur

la totalité de la surface de soufflage.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

F (%)

∆Tsolide (K)

Fig. 3.5 Gradient vertical de température de la matrice solide en milieu de plaque.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F (%)

∆T (K)

1 / 19 cm

1 / 13cm

1 / 7 cm

1 / 3 cm

Fig. 3.6 Ecart longitudinal de température pour différentes abscisses (Te = 250 °C).

99

Influence de la température de l’écoulement potentiel

Afin de comparer les performances du procédé de protection pour des températures

d’écoulement potentiel différentes, nous avons recours à l’utilisation de l’efficacité η définie

par la relation (3.10).

η = −−

T T

T Te solide

e air injecté (3.10)

La figure 3.7 représente l’évolution de l’efficacité, en milieu de plaque, en fonction du

taux d’injection pour les différentes températures étudiées.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F (%)

η

100°C

150°C

200°C

250°C

Fig. 3.7 Efficacité de la protection pour différentes température d’écoulement potentiel.

Les quatre courbes atteignent, pour les forts taux, le même palier d’efficacité (97 %).

Cependant, plus la température de l’écoulement potentiel est élevée, plus ce palier nécessite

un taux important pour être atteint.

Le décollement de la couche limite thermique, en milieu de plaque, se produit pour un

taux d’injection plus fort si l’écoulement potentiel est plus chaud (figure 3.8, représentant

l'écart entre le premier thermocouple et un thermocouple de la zone isotherme). Les taux

correspondant au décollement (1,8 à 2,3 %) sont inférieurs aux taux pour lesquels l’efficacité

se stabilise (3 à 5 %). Les différences observées sur la figure 3.7 ne peuvent donc seulement

s’expliquer par l’évolution du taux critique avec la température. Elles sont aussi à mettre à

l’actif du rayonnement incident sur la paroi : pour un écoulement plus chaud, le rayonnement

100

des parois chaudes est plus important ce qui nécessite un refroidissement de la plaque par

convection interne plus conséquent pour atteindre une même efficacité.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F (%)

∆T (K)1 / 19 cm

100°C

150°C

200°C

250°C

Fig. 3.8 Ecart longitudinal de température pour différentes températures

de l’écoulement potentiel.

Influence de la taille des pores

Pour une température d’écoulement potentiel de 250 °C, où les écarts de température

mesurés sont les plus significatifs, les trois classes de plaques sont étudiées. Les évolutions de

l'écart longitudinal de température entre le premier thermocouple et un thermocouple de la

zone isotherme (figure 3.9) montrent que le taux critique, en milieu de plaque, n'est pas

significativement affecté par la classe de la plaque.

Les mesures de température (figure 3.10) montrent que le refroidissement de la paroi

est d’autant meilleur que la taille des grains solides de la paroi est faible. De plus, l’écart de

température est plus important entre les classes 5 et 10 (jusqu’à 15 K) qu'entre les classes 10

et 20. Cette différence est à attribuer à l’évolution, en fonction de la classe, de la surface

d’échange interne du milieu, puisqu’une plus grande surface favorise le refroidissement par

convection interne. En première approximation, on peut supposer que la surface spécifique

interne est inversement proportionnelle au diamètre des grains solides du milieu (hypothèse

d’un milieu constitué de sphères). Dans ce cas, l’écart de surface spécifique entre les classes 5

101

et 10 est deux fois plus fort que celui entre les classes 10 et 20. Cette tendance correspond

bien aux écarts de température expérimentalement observés.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

F (%)

classe 10classe 20

classe 5

1

∆ T∆ Tmax

(1 / 19 cm)

Fig. 3.9 Ecart longitudinal adimensionnel de température pour différentes classes de paroi.

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6

F (%)

Tsolide (°C)

classe 10

classe 20

classe 5

Fig 3.10 Température des plaques de classe 5, 10 et 20 en fonction du taux d’injection

(mesures en milieu de plaque).

102

Pour de plus forts taux d'injection, les températures des trois parois se rapprochent

progressivement de la température du gaz injecté sans toutefois l'atteindre. Une efficacité de

97 % (± 1 %) est alors obtenue. Un faible décalage subsiste entre les trois classes de milieu

poreux correspondant à la différence de surface d'échange interne.

Cette détermination expérimentale des températures de parois protégées par effusion

montre que, pour les différents niveaux de température et pour les différentes classe de

milieux poreux étudiées, une efficacité de refroidissement très importante (de l’ordre de 97 %)

est obtenue. Ce procédé est donc tout à fait à même d’assurer une très bonne protection.

Cependant, un taux d’injection important (d'environ 5 %) est nécessaire pour assurer un

refroidissement optimal.

De plus, l’examen des résultats expérimentaux révèle que, outre l’évolution de la

convection forcée sur la face supérieure des plaques, le rayonnement incident et la convection

interne ont un effet dans le système étudié. Il est alors important de quantifier ces différents

types d'échanges thermiques afin de pouvoir optimiser le procédé de refroidissement par

effusion. C'est pourquoi une détermination par modélisation numérique des flux de chaleur,

auxquels sont soumises les parois poreuses, a été entreprise.

3.3. Etude numérique des échanges de chaleur

Disposant d’un modèle des transferts convectifs en couches limites, il paraît, a priori,

pratique de compléter ce premier modèle en y additionnant les transferts convectifs internes à

la paroi et le rayonnement dans la veine.

Cependant deux problèmes nous ont amenés à développer un calcul des flux échangés

de façon différente. En effet, si les échanges convectifs peuvent être considérés comme

bidimensionnels, l’introduction du rayonnement provenant non seulement du plafond chaud

mais également des vitres de la veine nécessitent un calcul tridimensionnel ce qui augmente

considérablement le temps de calcul. Par ailleurs, il n'a pas été possible de coupler

correctement les différents modes de transferts thermiques (conduction dans une plaque

d’épaisseur non nulle, convection et rayonnement) avec la version utilisée du code de calcul.

103

Notre choix s’est donc porté vers le développement d'un modèle autonome pour le

calcul des flux échangés au sein de la paroi et par rayonnement entre la plaque poreuse et les

surfaces chaudes de la veine. Le couplage avec la couche limite pariétale est assuré comme

suit : pour chaque taux d'injection, le coefficient d’échange convectif calculé par le modèle de

couche limite turbulente est intégré dans le nouveau modèle, dont les résultats de température

d'air en sortie de pore sont pris en compte dans les conditions aux limites du premier modèle.

3.3.1. Méthode de calcul des échanges internes

Pour notre système, les phases solide et fluide du milieu poreux sont découplées.

Chaque phase a ses propres conditions aux limites vis à vis de l'écoulement chaud et de l'air

frais sous la plaque. Les échanges de chaleur entre les deux phases se font par convection.

La méthode nodale a été retenue pour modéliser les transferts thermiques au sein de la

paroi. Cette méthode a pour principe de diviser le système étudié en différents blocs supposés

isothermes. La masse de chaque bloc est concentrée en son centre, appelé noeud. Les flux de

chaleur entre chaque noeud sont alors calculés à l’aide de conductances thermiques. Les

conductances entre chaque noeud, Cij , sont déterminées par la combinaison (en série ou en

parallèle) de conductances élémentaires conductives, convectives, radiatives ou de transport.

Pour chaque noeud, l’équation de la chaleur, qui en régime transitoire s'écrit selon la relation

(3.11), est intégrée.

( )m cT

tC T Ti p i

ii j j i

j

∂∂

= −∑ (3.11)

L'étude est située dans la région où le gradient de température longitudinal (cf. figure

3.4) est nul au sein de la plaque, si bien que le domaine d'étude est réduit à un ensemble pore-

solide élémentaire (figure 3.11). Les expressions des conductances thermiques élémentaires

conductives, convectives et de transport sont données par les relations (3.12), (3.13) et (3.14)

où S est la surface d’échange entre deux blocs et e l’épaisseur d’un bloc.

CS

econd = λ/ 2

(3.12)

C hSconv = (3.13)

C mc Stransp p= � (3.14)

où �m est le débit massique surfacique moyen traversant un pore.

104

Fig. 3.11 Transferts thermiques au sein de la paroi poreuse.

Phase solide

Les échanges de chaleur se font par conduction au sein de la phase solide. Entre les

deux noeuds solides, est insérée une résistance de contact permettant de retrouver la

conductivité thermique équivalente du milieu poreux. La conduction des noeuds solides vers

les noeuds fluides est calculée en tenant compte du diamètre moyen des grains solides du

milieu (50, 100 ou 200 µm).

Phase fluide

Les transferts thermiques au sein de cette phase se font par conduction (dans la direction

axiale) et transport par le mouvement du fluide. Le flux conductif dans la direction axiale est calculé à

partir d'une combinaison en série des conductances conductives élémentaires. Le flux thermique de

transport est donnée par l'équation (3.15) où le gradient thermique, ∆T, aux bornes de chaque bloc est

déterminé par interpolation linéaire entre les températures des noeuds.

Φ ∆transp pmc S T= � (3.15)

Les échanges thermiques entre les phases solide et fluide se font par convection

interne. Le flux échangé est calculé par la relation (3.16) où V est le volume du milieu poreux

étudié (volume fluide et volume solide).

Φ ∆conv sfh V T= int (3.16)

convectionconductiontransport

rayonnement

pore soliderésistance de contact

écoulement chaud

caisson d'air frais

Plafond et vitres de la veine

e S

105

3.3.2 Conditions aux limites

Phase solide

Sur la surface aval de la phase, le flux thermique incident est de nature radiative et

convective. Le coefficient d'échange convectif côté chaud est déterminé par le modèle de

couche limite turbulente soumise à de l'effusion (cf. chapitre 2). Les transferts radiatifs sont

directement calculés à partir de la mesure de la température des parois chaudes (plafond et

vitres de la veine) et des facteurs de forme sous lesquels les différentes surfaces se voient.

L’expression du flux net perdu par une surface est donnée par l’équation (3.17) où les

hypothèses de rayonnement entre surfaces grises et diffusantes séparées par un milieu

transparent sont retenues. De plus, on considère que les parois en verre pyrex sont opaques

dans le domaine infrarouge.

Φ inet

i

i

ii iS

T J=−

−εε

σ1

4( ) (3.17)

Chaque radiosité Ji est donnée par : J T J Fi i i i jj

n

ij= + −=∑ε σ ε4

1

1( ) . Les émisivités des

parois rayonnantes (pyrex et aluminium) sont données par Brewster (1992). Elles sont

respectivement de 0,8 et 0,1 pour une température de surface comprise entre 300 et 500 K.

Côté amont, le solide est refroidi par convection avec l’air frais et par rayonnement,

essentiellement vers les plaques déflectrices fraîches du caisson, dont les températures ont été

déterminées expérimentalement. Le coefficient convectif est estimé à partir d'expériences sans

effusion et supposé invariant avec l’injection.

Phase fluide

La vitesse de l'air frais dans le pore est déterminée en tenant compte de son

accélération à l'entrée du milieu poreux (prise en compte la diminution de la section de

passage). Par ailleurs, la température d'air à l'entrée du pore est imposée (elle est mesurée par

un thermocouple placé à un millimètre au-dessous de la plaque et nous admettons que l'air

pénètre dans le milieu poreux à cette même température).

En sortie de pore, nous considèrons que la conduction de chaleur provenant de

l'écoulement pariétal chaud est négligeable et que, par conséquent, le flux incident est nul à

l’interface pore-couche limite. Cette hypothèse revient à imposer la totalité du flux convectif

106

incident sur la phase solide du milieu poreux (ce choix a également été fait par Kubota (1977)

et Ishii et Kubota (1984)).

Enfin, l'air effusé est considéré comme transparent et le rayonnement incident arrivant

sur un pore est absorbé par la phase solide voisine.

3.3.3. Méthode numérique

Les équations de la chaleur, pour chaque noeud, sont résolues numériquement en

régime transitoire de façon à intégrer les équations de façon explicite : les flux échangés à

l’instant t + dt sont calculés directement en fonction des températures déterminées à l’instant

t. Les conditions initiales sont une température uniforme égale à la température ambiante. A

l'instant initial, les flux incidents sont calculés, puis les équations de la chaleur sont intégrées

par la méthode d'Adams-Bashford du second ordre (TUTSIM 1992). Le calcul se poursuit

jusqu'à ce que le régime permanent soit atteint.

3.3.4. Méthodologie

Le coefficient d'échange convectif interne étant inconnu, le système d'équations n'est

pas fermé. Il est donc apparu nécessaire de caler notre modèle sur une mesure de température.

Le choix s'est porté sur la température de surface, côté chaud, de la phase solide dont on

connaît la valeur dans de nombreuses configurations (cf. paragraphe 3.2).

Les conditions aux limites étant connues, il est alors possible de déterminer le

coefficient d'échange convectif interne par comparaison entre les résultats du modèle et les

mesures de température de surface.

3.3.5. Résultats

Comme pour la phase expérimentale, l'influence de trois paramètres est étudiée. Il s'agit du

taux d'injection, de la température de l'écoulement potentiel et de la classe de la paroi poreuse. Une

fois le calage du modèle sur l’expérience effectué, sont obtenus, outre le coefficient d'échange interne,

les gradients de température dans la paroi et entre les phases du milieu poreux ainsi que les différents

flux échangés.

Dans un souci de synthèse, chaque description du comportement des parois est fournie pour

une configuration donnée, les résultats pour une autre température d’écoulement ou pour une autre

plaque étant similaires. En revanche les résultats quantitatifs (concernant coefficients

d’échange interne) sont donnés de façon exhaustive.

107

Flux échangés sur la face aval de la paroi poreuse

Le flux radiatif net reçu par la matrice poreuse est un paramètre important de notre

étude. Afin de valider sa modélisation, les températures mesurées par les thermocouples et

celles déterminées par thermographie infrarouge sont comparées. Lors d'une mesure par

thermographie infrarouge, on considère la radiosité de la plaque poreuse comme étant

uniquement l’émission propre de celle-ci. En calculant la radiosité par le modèle présenté ci-

dessus (relation 3.17), il est possible de déduire la température estimée par la thermométrie

infrarouge (équation 3.18).

J Tplaque poreuse caméra I R≡ ε σθ . .4 (3.18)

εθ est l’émissivité, dans le domaine de température étudié, de la paroi poreuse selon l’angle

sous lequel la caméra la voit. Elle a été déterminée par égalisation des mesures par la caméra

infrarouge entre une surface d’émissivité connue et un échantillon de paroi poreuse tous deux

portés à la même température. Dans notre étude, εθ vaut 0,52.

Pour un écoulement potentiel à 200 °C et pour la plaque de classe 10, sont représentées

(figure 3.12), en fonction du taux d’injection, l’évolution des températures en milieu de paroi

mesurées par thermocouples, par thermographie infrarouge et recalculées en égalant radiosité

et émission propre (relation 3.18).

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

F (%)

T (°C)

mesures thermocouples

infrarouge recalculées

mesures Caméra IR

Fig. 3.12 Evolution des températures mesurées par thermocouples, par thermographie

infrarouge et recalculées en égalant radiosité et émission propre.

108

Le décalage important entre la température réelle et la température mesurée par caméra

est correctement retrouvé par notre modélisation ce qui tend à confirmer l'importance

pressentie des réflexions multiples dans la veine d'essais. Une amélioration de notre

modélisation du rayonnement pourrait être apportée, à l'avenir, notamment en prenant en

compte l’évolution des températures des parois chaudes avec l’abscisse longitudinale x1 et en

déterminant expérimentalement les émissivités des parois chaudes.

Sur la figure 3.13, sont présentés les flux incidents calculés pour une température

d’écoulement de 250 °C et une paroi de classe 20. Le flux convectif décroît avec

l'augmentation du taux d'injection (du fait de la forte décroissance du coefficient d'échange

convectif - figure 3.14 -) et est correctement représenté par une évolution linéaire. Le calcul

du coefficient d’échange convectif fait apparaître une annulation de l’échange convectif pour

un taux d’environ 2 % ce qui correspond au décollement de la couche limite thermique

déterminé expérimentalement (environ 2,3 %).

Par ailleurs, le flux radiatif net échangé entre la plaque et les surfaces chaudes de la

veine croît au fur et à mesure que la température de la paroi poreuse diminue. Initialement, la

plaque poreuse est la surface la plus chaude de la veine, puisqu’elle est isolée thermiquement

par le caisson d’air et perd donc de la chaleur vers le plafond et les vitres. En présence

d'effusion, l'écart de température entre la paroi et les surfaces chaudes s’inverse et croît avec le

taux d'injection ; le flux radiatif incident est alors croissant jusqu’à la stabilisation de la

température de plaque.

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F (%)

Flux (W/m²)

Convection

Rayonnement

Fig. 3.13 Flux incidents sur la paroi en fonction du taux d'injection.

109

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

F (%)

h (W/mK)

Fig. 3.14 Coefficient d’échange convectif en fonction du taux d'injection.

Gradients de température

Sur la figure 3.15, est présentée l’évolution du gradient de température entrée-sortie de

la phase fluide. On constate que le fluide s’échauffe peu lors de la traversée du milieu poreux

ce qui préfigure un échange convectif interne faible.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

F (%)

∆Tfluide (K)

Fig. 3.15 Gradient de température entrée-sortie du fluide (Te = 250 °C, classe 10)

en fonction du taux d'injection.

110

En ce qui concerne la phase solide, le gradient vertical de température calculé (figure

3.16) est très faible (2 à 3 K) et correspond à l’ordre de grandeur mesuré expérimentalement

(0 à 5 K).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

F (%)

∆Tsolide (K)

Fig. 3.16 Gradient vertical de température de la phase solide (Te = 250 °C, classe 10)

en fonction du taux d'injection.

Ces premiers résultats présentés sont obtenus avec une modélisation à faible nombre

de noeuds : deux dans la phase solide et deux dans la phase fluide. De faibles gradients

verticaux justifient le peu de besoin en nombre de noeuds pour modéliser correctement les

échanges thermiques au sein de milieu. En effet, l’écart de température entre les deux phases

évolue très peu dans l’épaisseur du milieu. Pour illustrer ce propos, un exemple de calcul des

températures avec un modèle à deux, quatre et six noeuds est donné dans le tableau 3.4. Le

déséquilibre thermique entre les phases solide et fluide est déterminé en milieu de plaque pour

un écoulement potentiel à 200 °C, avec la plaque de classe 10. Le taux d’injection est choisi

de façon à avoir un fort gradient thermique dans la phase fluide (15 K environ), c’est à dire

une configuration défavorable. L’écart constaté est très modeste, de l’ordre du kelvin. Compte

tenu de l’importante incertitude sur la mesure du taux d’injection (jusqu’à 10 % pour les

faibles taux), il apparaît inutile d’augmenter le nombre de noeuds puisque les principales

sources d’incertitudes ne se situent pas à ce niveau. Ceci revient à considérer qu'un bilan

thermique global au niveau des échanges internes à la paroi est tout à fait acceptable pour

cette étude.

111

Nombre de noeuds (solides et fluides) ∆Tinterne (K)

2 54,4

4 53,3

6 54,1

Tab. 3.4 Déséquilibre thermique calculé avec un modèle à deux, quatre et six noeuds.

Le déséquilibre thermique interne solide-fluide peut être quantifié en fonction du taux

d’injection. La figure 3.17 présente un exemple de déséquilibre thermique au milieu de

l'épaisseur de la plaque. On peut observer que le déséquilibre interne est très important pour

les faibles taux d’injection. Ce déséquilibre s’atténue avec l’effusion pour tendre vers

l’égalisation des températures.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7

F (%)

∆Tsolide-fluide (K)

Fig. 3.17 Déséquilibre thermique fluide-solide (Te = 250 °C, classe 5)

en fonction du taux d'injection.

La présentation de cette évolution de l'écart de température fluide-solide est rarement

rencontrée dans la littérature sur les transferts de chaleur dans les milieux poreux. En effet, les

milieux étudiés sont généralement épais et le gradient thermique dans la phase solide est

important dans le sens de l'écoulement si bien que le gaz pénètre dans le milieu poreux à la

même température que celle de la face amont de la matrice solide. Dans notre cas, l'air pénètre

frais dans la plaque et, pour de faibles taux d'injection, l'écart de température à l'entrée du

milieu est important car la matrice solide est encore très chaude. Cet écart de température entre

le solide et le fluide s'atténue légèrement au fur et à mesure que l'air s'échauffe dans la plaque. Par

112

ailleurs, pour un taux d'injection nul, le gradient de température dans l'air entre l'endroit de la mesure

au thermocouple (placé un millimètre sous la plaque) et l'entrée de la paroi ne peut plus être négligé.

Ceci explique que n'apparaisse pas, sur la figure 3.17, l'équilibre thermique entre les phases solide et

fluide alors qu'il est présent dans une configuration sans écoulement secondaire.

Convection interne

Les résultats du calage du modèle permettent de corréler l’ensemble des coefficients

d’échange interne sous la forme Nu = A Rea. L’air injecté s’échauffant peu en traversant la paroi

poreuse, le nombre de Prandtl n’évolue pas suffisamment significativement au cours de cette étude

pour que son évolution puisse être prise en compte. Les propriétés thermophysiques du gaz sont

déterminés à la température moyenne de l’air dans la plaque (même choix que ceux de Kar (1980) et

Koh et al. (1973)).

Le nombre de Nusselt est calculé par la relation (3.8) où la dimension caractéristique est le

diamètre moyen d’un pore. La surface d’échange spécifique, s, est déterminée par le constructeur des

plaques. Sur la figure 3.18, est représentée l’évolution de s en fonction du diamètre des particules

solides.

s = A dsolide

-0,9

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 50 100 150 200 250 300 350 400

dsolide (µm)

s (m2/m3)

Fig. 3.18 Surface spécifique en fonction du diamètre des particules solides.

On trouve une évolution inversement proportionnelle à dsolide0,9 qui rappelle celle d’un

milieu constitué de sphères (sdsolide

= −6 1( )ε). En revanche, l’ordre de grandeur de la surface

113

interne de nos plaques est très inférieur à celui d’un lit de sphères. Par exemple, la plaque de

classe 10 a une surface spécifique de 1250 m2/m3 alors qu’un milieu de porosité 30 %

constitué de sphères de 100 µm de diamètre a une surface d’échange de 42000 m2/m3. La

faiblesse de la surface spécifique se traduit par des coefficients d'échange volumique interne

relativement faibles : de l'ordre de 104 W/m3K alors que, dans la littérature, des coefficients de

l'ordre de 106 sont obtenus pour des coefficients d'échanges surfaciques, h, du même ordre de

grandeur que les nôtres (cf. les résultats de Kar (1980) pour Re ≈ 1). Ceci explique, très

certainement, le faible échauffement de l’air traversant le milieu poreux et l’existence d’un

fort déséquilibre thermique interne dans la paroi.

Sur la figure 3.19, est représentée l’évolution du nombre de Nusselt en fonction du

nombre de Reynolds. Les courbes des différentes configurations étudiées se superposent

correctement.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Re

Nu

200 °C, Classe 10

150 °C, Classe 10

250 °C, Classe 10

250 °C, Classe 20

250 °C, Classe 5

Fig. 3.19 Nombre de Nusselt pour les différentes configurations.

Une remarque peut être faite concernant la faible influence du coefficient d’échange

volumique interne sur la température de plaque. En effet, pour un même taux d’injection, un faible

écart de température pour deux classes différentes (cf. figure 3.10) entraîne une variation importante

du coefficient obtenu après recalage (expliquant la superposition des courbes du nombre de Nusselt

en fonction du nombre de Reynolds pour les différentes classes de matériaux). Une forte diminution

du coefficient volumique est compensé par une augmentation du gradient de température solide-fluide

et par une diminution des flux convectif et radiatif incidents. Cette diminution ce traduit alors par

une faible augmentation de

114

la température de la phase solide. Pour illustrer ce propos, la figure 3.20 montre d’une part,

l’écart de température expérimental entre la classe 10 et la classe 5 et d’autre part, l’effet

d’une diminution de 45 % du coefficient d’échange intérieur (correspondant à la différence de

surface spécifique entre les deux plaques) sur la température de la plaque de classe 5. Le

modèle adopté permet de retrouver de manière satisfaisante l’effet de la diminution de ce

coefficient.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

F (%)

∆T (K)

écart expérimental entreles classes 5 et 10 en milieu de plaque

sensibilite du modèle :

diminution de 45 % de hv

Fig. 3.20 Effet de la diminution du coefficient d’échange interne

en fonction du taux d'injection.

La corrélation des échanges internes pour les plaques étudiées est présentée sur la

figure 3.21. Elle est obtenue à partir d'une régression "en puissance" sur l'ensemble les

résultats du calage du coefficient d'échange volumique. On obtient une évolution

proportionnelle du coefficient d’échange avec le débit de fluide frais. Cette proportionnalité

est souvent rencontrée dans la littérature des milieux frittés constitués d’acier inoxydable. La

précision due à la dispersion des résultats est de 10 % sur l’exposant et de 20 % sur la

constante multiplicative. Une amélioration de la mesure de l’injection notamment pour les

faibles taux, par exemple en injectant de l’air comprimé provenant d’une bouteille stable en

pression, permettrait une meilleure détermination des échanges internes (l'augmentation du

nombre de noeuds du modèle pourrait alors être utile).

115

Nu = 0,037 Re1,0

0,0001

0,001

0,01

0,1

0,01 0,1 1

Re

Nu

Fig. 3.21 Corrélation des échanges internes

(avec intervalle d'incertitude).

Conclusion

Cette étude expérimentale et numérique a montré que le processus de protection des

parois poreuses par effusion peut atteindre une efficacité de 97 %. Cependant, les effets

combinés de la convection et du rayonnement sur la paroi nécessitent un taux d’injection

important (de l’ordre de 5 %) pour obtenir un tel niveau de protection. Le refroidissement par

convection interne a été quantifié. Il intervient de façon limitée dans notre processus du fait de

la faiblesse des surfaces spécifiques des milieux utilisés. De ce fait, le déséquilibre interne

solide-fluide est très important, notamment pour les faibles taux d’injection.

Afin d’optimiser la protection thermique par effusion, c’est à dire de diminuer la

consommation de réfrigérant pour obtenir une bonne efficacité, deux actions sont

envisageables. La première consiste à améliorer sensiblement le refroidissement par

convection interne en adoptant un matériau poreux dont la surface spécifique est plus

importante. La seconde consiste en l’utilisation d’un fluide réfrigérant plus performant :

emploi d’un gaz (tel que le dioxyde de carbone) absorbant une partie du rayonnement incident

ou bien l'emploi d’un liquide se vaporisant au contact de la plaque.

116

Notre choix s’est porté vers cette dernière possibilité. En effet, l’ordre de grandeur du

flux thermique absorbé par changement de phase est généralement très important et la

compression d’un liquide est, a priori, bien moins coûteuse que celle d’un gaz. De plus, ce

type de protection a été extrêmement peu étudié dans le cas du refroidissement de matériaux

poreux soumis à un écoulement chaud.

Chapitre 4

PROTECTION THERMIQUE DESPAROIS POREUSES PAR

TRANSPIRATION D'UN LIQUIDE

118

Le refroidissement des parois poreuses par effusion de gaz frais peut être optimisé par

utilisation de la chaleur latente de changement d'état du fluide réfrigérant. Un liquide est

injecté à travers un matériau poreux, lui-même en contact avec un écoulement pariétal d'air

chaud. Au sein du matériau poreux, se produit le changement de phase liquide-vapeur du

réfrigérant. Ce procédé de protection thermique est appelé transpiration.

Les problèmes de stabilité de l’interface liquide-vapeur sont relativement délicats. Ils

font l’objet de notre premier paragraphe par l'intermédiaire d'une étude bibliographique. Par la

suite, une étude expérimentale du procédé de transpiration est menée. Il s'agit en particulier

d'en étudier la stabilité et de comparer l'efficacité de la transpiration avec celle de l'effusion

d'air frais. Enfin, les bilans de masse et d'énergie concernant les parois poreuses refroidies par

transpiration sont présentés ainsi que les résultats de simulations des transferts de masse dans

la couche limite pariétale.

4.1. Etude bibliographique

Les travaux sur la transpiration d’un fluide à travers un matériau poreux ont

particulièrement portés sur la stabilité de l'interface liquide-vapeur. En effet, toute

perturbation de pression, de température ou de débit de réfrigérant entraîne un déplacement de

l'interface jusqu'à l'extérieur du matériau poreux. Koh et al. (1970) ont qualitativement mis en

évidence la raison des instabilités rencontrées. Considérons le système décrit sur la figure 4.1.

Fig. 4.1 : Système considéré.

∆P

L -

S -

vapeur, (ρv)v

liquide, (ρv)l

Tw, Pe

interface liquide-vapeur, Psat, Tsat

Tr , Pr

x2

réserve de liquide

plaque poreuse

0 -

Flux thermique incident, q

119

Un écart de pression est imposé entre les deux côtés d'une paroi poreuse et un débit de

fluide la traverse. La face aval de la plaque poreuse est à une température Tw, supérieure à la

température de saturation (à la pression Pe) du fluide injecté. Le fluide entre sous forme

liquide par la face amont, change d'état à l'intérieur de la plaque poreuse et sort sous forme de

vapeur.

Selon la loi de Darcy, le gradient de pression est proportionnel à la vitesse et à la

viscosité dynamique du fluide traversant le milieu poreux. Or la vitesse est beaucoup plus

élevée en phase vapeur qu'en phase liquide. Puisque la viscosité dynamique varie dans des

proportions moindres que la vitesse, la perte de charge correspondant à un débit massique

donné est plus faible en phase liquide qu'en phase vapeur. Cette constatation qualitative

permet à Koh et al. (1970) d'expliquer les mécanismes qui engendrent le déplacement

irrémédiable de l'interface hors du milieu poreux. A titre d’exemple, regardons l’effet d’une

perturbation de pression, puis de flux thermique incident, sur la position de l’interface liquide-

vapeur.

Effets d’une perturbation de la pression amont

Si l'on impose à la pression amont une augmentation finie (de type échelon), le débit

massique de réfrigérant augmente et la température de la paroi diminue. L’interface liquide-

vapeur se déplace donc vers l’aval et, à l’intérieur du matériau poreux, une partie de la vapeur

est remplacée par du liquide. Ceci entraîne une augmentation du débit massique afin de

maintenir les pertes de charges constantes (l'écart de pression amont-aval étant imposé). Cette

augmentation de débit provoque une amélioration de la protection thermique de la paroi et

donc, à nouveau, le déplacement du front d’évaporation vers l’aval. Le processus se répète

jusqu’à ce qu’il n’y ait plus que du liquide dans le matériau poreux.

Effets d’une perturbation du flux thermique incident

Suite à une augmentation du flux thermique incident, l’interface liquide-vapeur se

déplace vers l'amont. Ce déplacement entraîne une augmentation des pertes de charges par

unité de masse et donc une diminution du débit massique de fluide. Cette diminution de débit

provoque à nouveau le déplacement de l’interface qui se répète jusqu'à ce que le front

d'ébullition atteigne le réservoir de liquide.

120

A noter que les différences de pertes de charge entre les phases liquide et vapeur ont

moins d'influence aux hautes températures (lorsque l'on se rapproche du point critique). En

effet, la différence entre les caractéristiques de phases vapeur et liquide diminue (notamment

le rapport ρl/ρv).

4.1.1. Etude analytique de la transpiration

Luikov et al. (1975a et 1975b), Rubin et Schweitzer (1972) et El Masri (1983) ont

résolu analytiquement les équations régissant l'écoulement du réfrigérant en vue d'étudier

principalement la stabilité du système de transpiration. Le système (figure 4.1) est considéré

monodimensionnel et l'interface liquide-vapeur plane. De plus, il y a équilibre thermique entre

le fluide et la matrice solide (le système milieu poreux + fluide est alors traité comme un

continuum, caractérisé par une conductivité thermique équivalente λeq). Enfin, les propriétés

du fluide sont considérées constantes dans chaque phase. Les équations (4.1) à (4.3) régissent

les transferts de masse, de quantité de mouvement et de chaleur dans les phases liquide et

vapeur :

∂ρ∂

v

x20= (4.1)

ρ ∂∂

µ ∂∂

v

t Kv

P

x+ = −

2 (4.2)

( ) ( )ρ ∂∂

ρ ∂∂

∂∂

λ ∂∂

cT

tc v

T

x x

T

xp eq f p f eq+ =2 2 2

(4.3)

avec (ρ cp)eff = (1- ϕ) ρs cps + ϕ ρf cpf

où ϕ est la porosité ; l'indice eq correspond au milieu unique équivalent phase solide +

phase fluide et les indices s et f aux phases solide et fluide (liquide ou vapeur). v est la vitesse

de filtration du fluide.

Les conditions aux limites à l'interface liquide-vapeur sont données par la conservation

de masse et d'énergie et l'équilibre thermodynamique liquide-vapeur :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ϕ ρ ρv t v tdS

dtv l l v= − − (4.4)

dT1&Cl--

h dS

&2=q

aTv =

&2Pl CCP --v1)~v

dt(4-V

T1 = TV = f (P,,s (4.6)

S est la position de l’interface, Ah, l’enthalpie de changement de phase liquide-vapeur ;

les indices 1 et v correspondent aux phases liquide et vapeur.

Conditions aux limites sur la surface supérieure du milieu poreux

Sur la face supérieure de la plaque, sont envisagés les cas de température de paroi

imposée (Rubin et Schweitzer 1972), flux imposé (Rubin et Schweitzer 1972 et Luikov et al.

1975a et 1975b) et de température à l’infini imposée (El Masri 1983).

Le système étudié par El Masri (1983) est représenté sur la figure 4.2. Le flux de

chaleur reçu par la plaque est de nature convective. Sur la face aval de la plaque poreuse

existe un écoulement pariétal d’air à température T,, supérieure à la température de saturation

du réfrigérant à la pression P,. Cette configuration permet de coupler les phénomènes

thermiques et hydrodynamiques dans la plaque et dans la couche limite pariétale.T

Limite d’ébullition -/

nt de gaz chaud

Fig. 4.2 Profil de température dans une section de la plaque poreuse (El Masri 1983).

L’auteur fait l’hypothèse d’une relation linéaire entre le flux de chaleur auquel est

soumise la paroi (quantifié par le nombre de Stanton) et le taux d’injection. Pour cela, il prend

121

122

en compte le taux d'injection critique Fcrit, au de là duquel se produit le décollement de la

couche limite thermique :

St

St

F

Fcrit01= − (4.7)

Méthode de détermination de la stabilité

Les critères de stabilité d’un système de transpiration diffèrent d’un auteur à l’autre

sans qu’il soit possible d’en privilégier un a priori.

Luikov et al. (1975a et 1975b) s’intéressent à l’écoulement en régime permanent du

fluide réfrigérant. Le débit massique, la chute de pression aux bornes de la plaque et les

températures sont calculés en fonction de l'abscisse relative de l'interface l = S/L qui devient

alors le paramètre de l'étude. La condition de stabilité du système est dq

dl< 0 c'est à dire

qu'une augmentation du flux incident doit provoquer un recul l’interface liquide-vapeur. La

limite de stabilité est donc obtenue pour dq

dl= 0.

Dans l’étude de Rubin et Schweitzer (1972), la solution du système d'équations est tout

d'abord déterminée pour le régime permanent avec une condition de température imposée sur

la surface supérieure de la paroi poreuse. Les températures des phases liquide et vapeur sont

des fonctions explicites de l'abscisse, du débit massique et des propriétés du fluide. La

position S de l'interface est déterminée par une équation implicite qui, dans ce cas, n'a qu'une

solution pour 0 < S < L. Dans le cas du régime permanent avec condition de flux imposé, les

solutions pour la température sont obtenues analytiquement et la position S de l'interface est

également solution d'une équation implicite. Mais, dans ce cas, plusieurs solutions peuvent

être trouvées pour 0 < S < L. Afin d'analyser la stabilité du système, les auteurs reviennent à

une formulation en régime transitoire du problème (avec condition de flux imposé) et

introduisent de petites variations de température, débit ou position de l'interface, autour de

solutions établies pour le régime permanent. La réponse du système est alors calculée afin de

déterminer si celui-ci revient à une position d'équilibre ou non.

Pour El Masri (1983), la relation (4.7) permet d’éliminer le flux convectif incident sur

le milieu poreux dans l’équation de bilan d'énergie. La résolution analytique des équations

permet de déterminer, en régime permanent, une position de l’interface, une température de

paroi, côté chaud, et un débit de fluide dans la plaque. La stabilité des positions d’interface

calculées analytiquement est alors analysée. Le critère de stabilité est WV) > 0

d(&-,) l

Résultats

L’application des critères de stabilité aux solutions du système d’équations (4.1) à

(4.3) permet des discriminer les positions stables du système de transpiration des positions

instables. Des abaques donnant les régions de stabilité sont alors obtenus.

Luikov et al. (1975b) montrent qu’une solution du système d’équations correspond à

un état stable si deux conditions sont respectées : le flux imposé doit être supérieur à une

valeur limite et la conductivité thermique équivalente de l’ensemble milieu poreux-vapeur

limite doit être inférieure à une valeur maximale. Les deux valeurs limites sont exprimées en

fonction d’autres paramètres tels le débit de réfrigérant, la température du liquide dans le

réservoir, l’épaisseur et la perméabilité du milieu poreux... De la même façon, il est également

possible de déterminer un domaine de “fonctionnement sûr” c’est à dire un fonctionnement

pour lequel la température maximale du milieu (en x2 = L) est inférieure à un niveau T, max

admissible par le matériau. Le domaine hachuré sur la figure 4.3 représente la superposition

des deux conditions de stabilité et de sûreté pour T, max = 1000

écoulement d’eau à travers un milieu poreux en acier.

OC et dans le cas d’un

q (W/m2K) ”

Fig. 4.3 Région de stabilité et de sûreté (Luikov et al. 1975b).

123

124

Luikov et al. (1975b) concluent leur étude en estimant que de nombreuses

expérimentations sur le refroidissement par transpiration avec changement de phase liquide -

vapeur se sont révélées instables du fait de l'extrême minceur de la région de stabilité et de

sûreté de tels systèmes.

Rubin et Schweitzer (1972), quant à eux, montrent que si trois positions de l'interface

liquide-vapeur sont possibles en régime permanent, l'une d'entre elles représente un état

instable et les deux autres un état stable. Les situations stables correspondent à une position de

l’interface liquide-vapeur proche de la face aval ou de la face amont du milieu poreux. La

situation correspondant à une interface située au milieu de la plaque est instable. Ce sont les

conditions initiales qui déterminent la position qui sera atteinte par l'interface.

El Masri (1983) étudie la stabilité en fonction d’un « nombre de Péclet modifié », Pe’,

correspondant au produit du nombre de Péclet (Pevc Lpv

eqv=

ρλ

) par le rapport des viscosités

cinématiques de phases liquide et vapeur. Selon la valeur de Pe’, existent une deux ou trois

solutions du système d’équations. S'il n’existe qu’une solution, elle correspond à une position

instable ; s'il en existe plusieurs, une seule correspond à une situation d'équilibre stable.

L'auteur conclut son étude en estimant possible l'obtention d'un système de transpiration

stable.

4.1.2. Aspects expérimentaux

Koh et Del Casal (1967) et Koh et al. (1970) ont étudié expérimentalement le

phénomène de transpiration. Ils proposent une solution "multicouches" pour que le système de

refroidissement soit stable. Une combinaison optimale de couches de matériaux poreux

(nature, épaisseur, nombre...) est déterminée par des considérations qualitatives sur les

équations de transferts masse et de chaleur dans les milieux poreux. Le dispositif expérimental

est représenté sur la figure 4.4. Trois couches sont nécessaires. Le milieu poreux de la partie

centrale doit avoir une forte perméabilité et les plaques externes une faible. Si le front

d'évaporation se situe dans la couche centrale, une petite variation de sa position (due à une

variation de la pression ou du flux thermique incident) a peu d'effet sur les pertes de charges

totales du système car celles-ci se produisent essentiellement au niveau des deux couches à

faible perméabilité. Le débit massique de réfrigérant est donc constant et le système stable.

T,, pet

vapeur

11 faible perméabilité1

interface liquide-vapeur, P,,, T,,II-forte perméabilité

I

i 1 faible perméabilité 1

L Pr+

+*liquide

Fig. 4.4: Systèmepréconisépar Koh et al. (1970).

L’étude expérimentale du refroidissement par transpiration d’eau d’un système chauffé

par rayonnement est menée dans le cas de deux géométries différentes ; à savoir un disque

plan et un tube. Le modèle du disque plan est décrit sur la figure 4.5. Les observations

stable si le frontexpérimentales confirment les prévisions des auteurs : le système est

d’ébullition est préalablement dans le milieu à forte perméabilité, instab

deux autres milieux.

Ile s’il est dans les

probl

Lampes

1 9plaques poreuses

:n acier inoxydable

Injection de réfrigérant -7HERMOCoUPLES

Fig. 4.5 Cellule porte-échantillon pour un système multicouches Koh et al. (1970).

Comme nous venons de le voir par l’intermédiaire de cette étude bibliographique, les

èmes de stabilité de l’interface liquide-vapeur ont fait l’objet d’une attention particulière

125

126

dans les travaux portant sur le procédé de transpiration. La raison essentielle des instabilités

est la différence de pertes de charges entre le passage d'un débit donné en phase vapeur et

liquide. Dans la présente étude, les conditions expérimentales ne permettront certainement pas

d'atteindre l'ébullition du fluide réfrigérant et les instabilités ne seront alors probablement pas

observables. Cependant, il semblait nécessaire de ne pas omettre ces importants phénomènes

pouvant intervenir lors de la mise en oeuvre d'un procédé de transpiration.

4.2. Refroidissement par transpiration d'eau

Le refroidissement des milieux poreux par transpiration est tout d'abord étudié avec

l'eau comme fluide réfrigérant. Le faible coût, la grande disponibilité ainsi que l'importante

enthalpie de changement de phase liquide-vapeur de ce fluide en font un réfrigérant, a priori,

optimal. Dans un premier temps, une étude numérique préliminaire (Bellettre et al. 1997c et

1998b) est menée de façon à prédire les échanges de quantité de mouvement et de chaleur sur

la face supérieure des parois poreuses lorsque de la vapeur d'eau est injectée dans la couche

limite pariétale. L'étude expérimentale du système de refroidissement par injection de liquide

est ensuite menée. Le dispositif expérimental d’injection est donc préalablement modifié pour

pouvoir assurer l’injection de liquide à travers les milieux poreux.

4.2.1. Prédiction de la protection thermique des milieux poreux par effusion de

vapeur d'eau

Le refroidissement des parois poreuses par transpiration d'un liquide combine

l'absorption par chaleur latente et la protection vis à vis de l'écoulement pariétal chaud par

soufflage de vapeur. Aussi, l'étude numérique, présentée au chapitre 2, est étendue au cas du

soufflage de vapeur d'eau dans une couche limite turbulente d'air. L'objectif est de prédire

l'évolution des coefficients de frottement et nombre de Stanton avec le taux d'injection. Sur la

figure 4.6, est rappelée la configuration de l'étude numérique. La paroi poreuse est à nouveau

modélisée de façon discrète (cf. chapitre 2).

La température de l'écoulement principal est de 200 °C et l'écoulement secondaire est à

100 °C. Cette seconde condition aux limites correspond à une interface liquide-vapeur pour

l'eau sous une pression de une atmosphère.

127

Fig. 4.6 Configuration de l'étude numérique.

Les équations régissant les écoulements principal et secondaire sont présentées ci-

dessous. Par rapport à celles présentées au chapitre 1, une équation de bilan (4.8) portant sur

la conservation de la masse de vapeur d'eau est ajoutée et une contribution de la diffusion de

vapeur est intégrée dans le bilan d’énergie (relation (1.9 ter)). Le système d'équations est donc

le suivant :

∂

∂

ρUjxj

=0 (1.7)

( )∂∂

ρ∂∂

∂∂

µ µ∂∂

∂

∂µ µ

∂∂

ρ δ

x jUiU j

P

xi

x jt

Uix j

U jxi

tUlxl

k ij

= − +

+ +

− + −

( ) ( )

2

3

2

3

(1.8 bis)

( )( )

∂∂

ρ ∂∂

λ µσ

∂∂

∂∂

∂∂

x jU j H

x j cp

t

h

H

x jU j

P

x j

x jHv Ha J

= +

+

− −

( )

( ) (1.9 ter)

avec H = C Hv + (1 - C) Ha

Ecoulement d'airU1 = 10 m/s

Ix1 = 1 %Te = 200 °C

Plaque poreuseTw = 100 °C

Injection de vapeur d'eauT = 100 °C

0.2 m

(0,0)

1,27 m

0,3 mx1

x2

128

et ( )∂∂

ρ ∂∂xj

UjC xjJ= − ( ) (4.8)

avec J DC

xjc uj= − +ρ ∂

∂ρ ' '

U, H et P sont les valeurs moyennes de la vitesse, de l'enthalpie et de la pression. C est

la valeur moyenne de la fraction massique de vapeur et J est le flux de diffusion de la vapeur

dans l'air. Dans ces équations les propriétés thermophysiques, ρ, µ, cp et λ, sont celles du

mélange air-vapeur d'eau. Elles dépendent de la température et de la concentration en vapeur.

D est le coefficient de diffusion de la vapeur dans l'air et dépend de la température. Hv et Ha

sont respectivement les enthalpies de l'air et de la vapeur : H c dTvoua p voua

T

= ∫0

.

La corrélation double fluctuation de concentration-fluctuation de vitesse est reliée au

gradient de concentration moyen par l'intermédiaire d'un "nombre de Schmidt turbulent", σm :

c u jt

m

C

x j' ' = − ν

σ∂∂

(4.9)

avec σm = 1.

La viscosité turbulente est calculée par le modèle RNG k-ε (relation 1.31) après

résolution des équations de transport pour k et ε (équation (1.28) et (1.29)). Le maillage utilisé

ainsi que les conditions aux limites sur la plaque poreuse sont inchangés par rapport à ceux

décrits au chapitre 2.

Les profils de température, obtenus par la présente étude numérique, sont comparés

pour un même taux d’injection dans le cas d’effusion d’air et de vapeur d’eau (figure 4.7). On

constate une déviation plus importante du profil de température dans le cas d’effusion de

vapeur d’eau.

Par conséquent, il est intéressant de calculer et de comparer les nombres de Stanton

pour l'injection d'air ou de vapeur d'eau. La corrélation intégrale (2.10) est utilisée. Rappelons

qu’elle permet de calculer le nombre de Stanton après intégration des profils numériques de

vitesse et température. Les résultats sont comparés à ceux issus de la bibliographie sur les

couches limites turbulentes avec effusion. Les seuls résultats de la littérature sur l'effusion de

129

vapeur d'eau sont les résultats numériques de Landis et Mills (1972). Ils ont étudié l'effusion

de dix espèces chimiques différentes. Ces résultats numériques ont été validés par

comparaison avec des données expérimentales dans le cas d'effusion d'air, d'hélium et de R12.

350

370

390

410

430

450

470

490

0 10 20 30 40 50 60

X2 (mm)

T (K)

vapeur d'eau

air

Fig. 4.7 Profils de température avec effusion d’air ou de vapeur d’eau

(x1 = 1,55 m, F = 0,5 %).

Sur la figure 4.8, les nombres de Stanton, obtenus dans le cas d'injection de vapeur et

dans le cas d'effusion d'air, sont présentés pour différents taux d'injection.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

F / St0

St / St0

Landis et Mills (effusion de vapeur)Landis et Mills (effusion d’air)Présente étude (effusion de vapeur)Présente étude (effusion d’air)

Fig. 4.8 Nombres de Stanton avec effusion d’air ou de vapeur d’eau (x1 =1.55 m).

130

On peut remarquer que le nombre de Stanton avec effusion de vapeur est inférieur à

celui obtenu dans le cas d'injection d'air, particulièrement quand le taux d'injection augmente.

Par ailleurs, on observe que les résultats de cette étude sont proches des résultats de Landis et

Mills (1972) notamment pour des taux d’injection élevés. Les écarts constatés peuvent

s'expliquer par le fait qu'entre 100 °C et 200 °C, la conductivité thermique deux espèces

étudiées sont proches mais non identiques (de 0,025 à 0,032 pour la vapeur d’eau contre 0,033

à 0,038 pour l’air) alors que la corrélation de Whitten et al. (1970) a été établie pour de l’air

sans tenir compte de l’évolution des propriétés thermophysiques.

L’étude de l’évolution du frottement fluide-solide est menée de façon similaire. La

corrélation intégrale (2.9) est utilisée pour calculer les coefficients de frottement. Un écart

important (Bellettre et al. 1997c et 1998b) est trouvé entre les résultats de la présente étude et

ceux de Landis et Mills (1972). Cet écart peut être attribué à la différence des viscosités

dynamiques entre l'air et la vapeur d'eau (environ deux fois plus faible que celle de l'air à

100 °C) qui n'est pas prise en compte dans la corrélation. Ceci entraîne une surestimation des

coefficients de frottement obtenus avec effusion de vapeur. L'utilisation de la corrélation de

Simpson et al. (1969) dans le cas d'injection de vapeur d'eau n'est donc pas licite.

Pour résoudre ce problème, les coefficients de frottement sont déterminés par

l'intermédiaire de la vitesse de frottement ( U C kpτ µ= 1 4 1 2/ / ), qui est calculée sur chaque

élément solide de la paroi poreuse. Les résultats sont portés sur la figure 4.9 et montrent que

nos calculs prennent correctement en compte la décroissance du frottement plus importante

dans le cas d'injection de vapeur que dans le cas d'effusion d'air.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

2F / Cf0

Cf / Cf0

Landis et Mills (effusion d’air)Landis et Mills (effusion de vapeur)

Présente étude (effusion d’air)Présente étude (effusion de vapeur)

Fig. 4.9 Coefficients de frottement, x1 = 1,55 m (utilisation des vitesses de frottement Uτ ).

131

Cette première étude a donc permis de mettre en oeuvre une méthode pour le calcul

des échanges convectifs et des contraintes de frottement sur la surface aval des milieux poreux

refroidis par transpiration d'eau. Il convient maintenant de quantifier l'augmentation de

l'efficacité du système du fait l’absorption d’énergie par changement de phase liquide-vapeur.

Dans un premier temps, la détermination de l’efficacité est menée expérimentalement puisque

le code utilisé (FLUENT, 1995) ne permet pas la simulation du changement de phase liquide-

vapeur en présence de gaz incondensables.

4.2.2. Etude expérimentale de la transpiration d'eau

L'installation expérimentale, décrite au chapitre 1, est adaptée à l'étude de l'injection de

liquide au travers de parois poreuses. Un nouveau caisson d'injection est notamment conçu.

Installation hydraulique

Les taux d'injection nécessaires pour protéger les parois poreuses par transpiration

d'eau sont, a priori, plus faibles que ceux requis pour l'effusion d'air (El Masri 1983). Du fait

de la faiblesse des débits de réfrigérant, le choix s'est porté sur l'utilisation de la gravité

comme force motrice du liquide. Une réserve d'eau est placée à 3 mètres au-dessus de la

veine. Ceci implique une installation hydraulique de grande taille, schématisée sur la figure

4.10.

L’eau est acheminée par deux flexibles, de diamètres 9/11 et 25/32 mm. Par le plus

petit, sont acheminés de faibles débits pendant les expériences. Le second permet d'alimenter

rapidement le caisson (phase de remplissage) et de purger l’ensemble de l’installation.

Réglage et mesure du débit de liquide

Le débit d'eau est mesuré à l’aide d’un rotamètre (ROSEMOUNT R-2-15-C). Une

courbe d’étalonnage a été préalablement obtenue dans une gamme de 0 à 14 l/h. Le réglage du

débit est effectué par l’intermédiaire d’une vanne pointeau. Elle permet un réglage fin ainsi

qu’une grande stabilité de ce débit. Cette partie de l’installation hydraulique est isolée du reste

de l’installation par une vanne quart de tour.

Caisson d'injection

Une vue en coupe du caisson est présentée sur la figure 4.11. Il est construit en

duralumin et s'insère dans le plancher de la veine d’essais de la soufflerie. Afin de diminuer le

132

poids du caisson, sa hauteur est minimisée. D'une hauteur de 80 mm, il pèse environ 12 kg

quand il est rempli d'eau. Les plaques poreuses sont fixées sur un plancher intermédiaire pour

rendre possible le "montage multicouches" proposé par Koh et al. (1970). Les milieux poreux

utilisés sont identiques à ceux décrits dans le chapitre 3 (mêmes caractéristiques et mêmes

dimensions 200 x 500 x 3 mm) afin de pouvoir comparer directement l'efficacité de la

transpiration d'eau avec celle de l'effusion d'air.

Fig. 4.10 Installation hydraulique.

Le caisson est muni de deux arrivées d'eau. La plus importante (purge) est munie d'une

vanne quart de tour. Une plaque déflectrice est placée au-dessus de l'autre entrée de manière à

homogénéiser la distribution d'eau dans le caisson. Afin de visualiser l'intérieur du caisson,

deux hublots en verre (PYREX 6 mm) sont placés sur les parois latérales. L'étanchéité du

Cuve

Caisson d'injection

Vanne de purge

Egoût

Ecoulement d'air chaud

Veine d'essais dela soufflerie

Rotamètre

VanneVanne quart

de tour

eaupermutée

3 m

≈

133

système est réalisée à l'aide de joints en silicone. Le silicone a été choisi pour sa résistance aux

hautes températures (jusqu'à 250 °C).

Fig. 4.11 Schéma du caisson d'injection.

Instrumentation

Les mesures de températures sont effectuées à l'aide de thermocouples (type K,

diamètre 0,1 mm) soudés sur chaque face des parois poreuses (dans le cas d'un montage

multicouches, les deux plaques comportent des thermocouples au-dessus et au-dessous de

chacune d'elles). Le positionnement optimal des thermocouples sera obtenu après les premiers

essais. Dans le caisson, 1 mm en dessous de la plaque poreuse, une mesure de la température

du liquide est effectuée (thermocouple gainé de type K, diamètre 2 mm).

Une prise de pression dans le caisson est située sur une paroi latérale sans hublot. La

vitesse et la température de l’écoulement principal sont mesurées respectivement par un tube

de Pitot et par un thermocouple.

Expérimentation

Des expérimentations ont été effectuées avec un montage de une ou deux plaques

poreuses et diverses combinaisons, entre les trois différentes classes de matériaux poreux, ont

été testées. Cependant, les résultats expérimentaux se sont révélés inexploitables car il n'a pas

été possible d'obtenir une transpiration uniforme de l'eau. Dans toutes les configurations

testées, l'eau traverse les parois en plusieurs endroits spécifiques alors que les autres régions

de la plaque restent sèches, même pour un fort débit d'injection (figure 4.12). L'efficacité et la

stabilité du système n'ont donc pas pu être étudiées.

veine d'essais

parois poreuses

thermocouple

x2

x1

plaque déflectrice

arrivée de liquide(faibles débits)

purge

plancherintermédiaire

prise depression

zone mouilléew

Fig 4.12 Vue de dessus de lu paroi poreuse mouillée de façon héterogene.

Le problème d’hétérogénéité résulte d’une absence d’étalement de la phase liquide sur

knsemble de la plaque poreuse. C’est un problème de mouillabilité, et plus généralement un

lroblème de surface. Il convient donc de s’y intéresser plus particulièrement.

4.2.3. ~~uillubilité

Différents liquides s’étalent plus ou moins bien sur une surface plane donnée. Ils

“mouillent“ plus ou moins cette surface. L’angle de contact, 8, caractérise le mouillage d’un

liquide sur une paroi (figure 4.13). Il est considéré qu’il y a un bon mouillage lorsque l’angle

de contact est aigu. Si 8 = 0, le liquide mouille parfaitement le solide et une goutte de liquide

s’étale suivant un film fin sur la surface.

1 ,mq............................. * ........ * , . ......... ..s......~.~ ..og............................................: : : : : : : :J : i~~~~:~~::.:,:~.:.:.~ ......................._.f ...... ,_ ..................................

....................................,.., . 5, ...._,A** .&.&_. : .....:.#+y .. <+y

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I e>90° 8 < 9o"

Fig. 4.13 Angle de contact et mouillage (Le Neindre 1993)

La tension superficielle du liquide, 0, est une caractéristique prépondérante dans

l’étude des phénomènes de surface. Elle est définie comme la force de traction, existant à la

surface d’un liquide et qui s’oppose à la dilatation de celle-ci.

Zisman (1963) introduit la notion de tension superficielle critique oc pour prédire le

,mouillage des surfaces par les liquides. Tout liquide dont la tension superficielle est inférieure0

134

135

à la tension superficielle critique d'une surface mouille celle-ci. Un liquide dont la tension

superficielle est plus basse que celle de l'eau pourra donc mouiller l'acier inoxydable.

Cependant, l’étanchéité du caisson d'injection est réalisée à l'aide de divers joints en silicone.

Or les vapeurs de silicones (polysiloxanes) s'adsorbent très facilement sur les surfaces et sont

très difficiles à désorber. A ce phénomène s'ajoute celui d'une volatilité importante, qui

entraîne une migration aisée et rapide du silicone vers une surface. Au mouillage de l'eau sur

l'acier inoxydable se substitue alors le problème du mouillage de l'eau sur le silicone. Les

angles de mouillage donnés dans la littérature varient de 101 à 104°, c'est à dire que l'eau ne

mouille pas le silicone. Un traitement de surface pour améliorer la mouillabilité de l'eau sur

l'acier inoxydable perdra toute efficacité très rapidement en présence de silicone.

Du fait du non-mouillage de la plaque poreuse par l'eau dû, au moins en partie, à une

"pollution du silicone", et à cause de l'impossibilité de l'élimination du silicone du montage

expérimental, il est apparu nécessaire de remplacer l'eau par un autre liquide. Le choix s'est

porté sur l'éthanol dont la tension superficielle est sensiblement plus faible que celle de l'eau

(23 10-3 N/m contre 73 10-3 N/m à la température ambiante). Ce liquide est retenu pour

l'ensemble de la poursuite de l'étude de la transpiration.

4.3. Refroidissement par transpiration d'éthanol

Dans un premier temps, une étude expérimentale du refroidissement par transpiration

permet de caractériser le système de refroidissement et d'en mesurer l'efficacité. Par la suite,

les calculs de transferts de masse et de chaleur entre le milieu poreux et son environnement

font l'objet d'une étude théorique et numérique.

4.3.1 Etude expérimentale

Le réfrigérant utilisé est un mélange azéotropique d'eau et d'éthanol d'une

concentration volumique en alcool de 95 %. Les limites d'autoinflamation (490 °C sous une

atmosphère) et d'inflammabilité (3,3 % en volume à 20 °C, De Soete 1976) de l'éthanol sont

suffisamment élevées pour ne pas être atteinte lors de l’étude expérimentale du

refroidissement par transpiration. Les caractéristiques thermophysiques de l'éthanol peuvent

être trouvées dans les références suivantes : Dunn et Reay (1978), Eckert et Drake (1972) et

Liley (1985).

136

Efficacité du procédé de refroidissement par transpiration

L'étude expérimentale est menée sur le banc d'essais initialement prévu pour la

transpiration d'eau. Expérimentalement, on observe que le réfrigérant mouille uniformément

les parois. Les températures de la plaque sont alors mesurées pour différents taux d'injection et

différentes températures d'écoulement pariétal. Dans toutes les configurations étudiées,

l’éthanol n'est pas porté à sa température d'ébullition (78 °C sous une atmosphère). Le présent

système de transpiration s'est révélé stable contrairement aux cas, décrits dans la littérature, où

le réfrigérant est porté à ébullition (paragraphe 4.1). La mise en place d'un "système

multicouches" n'a donc pas été nécessaire. Les premières mesures de température de paroi

mettent en évidence d'une part, une uniformité de la température dans la direction

longitudinale et, d'autre part, un gradient vertical de température inférieur à 1 K. Les parois

poreuses ont donc été instrumentées uniquement sur leurs faces inférieures puisque la

précision des mesures par thermocouples est également de 1 K. Par ailleurs, la différence de

température entre l'éthanol injecté (sous la paroi) et la température de paroi est très faible (2 à

3 K). L'hypothèse d'équilibre thermique entre les phases solide et fluide est donc admise et

l'influence de la surface d'échange interne aux parois poreuses est négligée. Les mesures sont

réalisées pour une seule classe de matériaux poreux (la classe 5).

Sur les figures 4.14 à 4.16 sont portées les températures de paroi mesurées pour des

écoulements potentiels à 10 m/s et de températures comprises entre 100 et 200 °C. Le

comportement du système de refroidissement par transpiration est très différent de celui du

système de protection par effusion d'air. On observe deux régions distinctes (numérotées I et

II) . Pour les très faibles taux d'injection (inférieurs à 0,05 %), la paroi est sèche et chaude,

l'évaporation du réfrigérant se produit dans le caisson d'injection sous la plaque poreuse. Pour

des taux d'injection un peu plus élevés, la paroi est humide et refroidie par le réfrigérant.

L'évaporation se produit alors sur la face supérieure de la paroi. Entre ces deux régions, se

produit une forte chute de la température avec le taux d'injection. L'existence d'une zone de

transition entre les deux régions est due à l'imparfaite horizontalité du plancher de la veine

d'essais. Le réfrigérant pénètre dans le milieu poreux par le "point bas" et une augmentation

du taux d'injection est nécessaire pour que toute la surface de la paroi soit protégée. Une fois

la paroi uniformément protégée, une augmentation du débit de réfrigérant n'apporte aucune

amélioration de la protection de la paroi. Expérimentalement, on observe que la quantité

supplémentaire injectée ne s'évapore pas et s'écoule "en film" sur la paroi. L'épaisseur du film

137

d'éthanol, mesurée à l'aide d'un système de déplacement micrométrique, n'excède pas 0,4 mm

pour les plus forts taux d'injection présentés sur les figures 4.14 à 4.16.

0

20

40

60

80

100

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21

F (%)

Tw (°C)

I

II

Fig. 4.14 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 100 °C).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

F (%)

Tw (°C)

I

II

Fig. 4.15 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 150 °C).

138

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

F (%)

Tw (°C)

I

II

Fig. 4.16 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 200 °C).

L'efficacité, η, du système de protection par transpiration peut être quantifié de la

même façon que dans le cas de la protection par effusion d'air :

η = −−

T T

T Tw e

inj e (3.10)

où Tw est la température de paroi et Tinj la température de l'éthanol sous la paroi

poreuse.

L'efficacité en fonction du taux d'injection est représentée sur la figure 4.17 pour les

différentes températures d'écoulement potentiel. Une efficacité proche de celle obtenue par

effusion d'air (environ 97 %) est obtenue pour toutes les températures. Cependant, les taux

d'injection requis pour l'atteindre sont beaucoup plus faibles (de l'ordre de 0,1 % alors que 3 à

5 % sont nécessaires dans le cas d'effusion d'air).

Par ailleurs, plus la température de l'écoulement potentiel est élevée, plus un taux

d'injection important est nécessaire pour atteindre l'efficacité optimale du système. Le débit

d'éthanol évaporé augmente donc avec la température de l'écoulement. Afin d'étudier de façon

plus détaillée ce phénomène d’évaporation, il convient de s’intéresser aux transferts dans la

couche limite pariétale.

139

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4

F (%)

η

Te = 100°C

Te = 150 °C

Te = 200 °C

Fig. 4.17 Efficacité du système de transpiration.

Couche limite turbulente avec effusion de vapeur éthanol

Il s’agit d'étudier expérimentalement le comportement des couches limites turbulentes

en présence d'effusion de vapeur d'éthanol, c'est à dire lorsque la paroi est uniformément

protégée par transpiration. On mesure notamment la concentration massique en vapeur

d'éthanol en fonction de la distance à la paroi. La technique de mesure utilisée est la

chromatographie en phase gazeuse. Son principe repose sur des équilibres d’adsorption-

désorption entre une phase stationnaire emprisonnée dans une colonne et une phase mobile,

constituée d'un gaz vecteur (ici l'hélium) et de l'échantillon à analyser. Les différents

composants de l'échantillon se déplacent plus ou moins vite selon leur adsorption sur la phase

stationnaire. Cette différence d’entraînement des composés permet leur séparation. En fin de

colonne, un détecteur permet mesurer le temps de rétention (temps entre l'instant d'injection

dans la colonne et l'arrivée sur le détecteur) qui caractérise chaque espèce chimique. Le signal

délivré par le détecteur est enregistré en fonction du temps et l’on obtient un

chromatogramme. Ce chromatogramme est une succession de "pics" correspondant à chaque

espèce présente dans l'échantillon injecté. La mesure de l'aire des différents pics permet de

déterminer la concentration de chaque composé.

Le chromatographe utilisé est un appareil de la société MTI (cf. descriptif en annexe VI). Il

s'agit d'un chromatographe portable caractérisé par des temps d'analyse très courts (quelques

dizaines de seconde pour l'analyse d'une substance). Cet appareil est spécialisé dans la mesure

140

des échantillons gazeux. Il est relié à un tube de prise d'échantillon, d'un diamètre extérieur de

1/16 de pouce, lui-même introduit dans la veine d'essais. L'étalonnage du chromatographe est

présenté en annexe VII. La principale incertitude sur les mesures est liée à la distance à la

paroi x2. Elle est de l'ordre du dixième de millimètre. La distance minimale à la paroi pour

effectuer les mesures est de 1 mm. La taille du tube de prise d'échantillon (rayon extérieur 0,8

mm) ainsi que ses vibrations induites par la turbulence de l'écoulement pariétal rendent

impossible une mesure plus proche de la paroi.

Les profils de fraction massique de vapeur d'éthanol, C, sont obtenus pour différents

taux d'injection et températures d'écoulement potentiel. Un exemple de résultat expérimental

est présenté sur la figure 4.18. Pour chaque température d'écoulement, les taux d'injection

étudiés sont au moins égaux au taux pour lesquels la paroi est uniformément protégée. Tous

les résultats expérimentaux montrent qu'il n'y a pas d'influence du taux d'injection sur le profil

de concentration attestant que la quantité d'éthanol évaporée reste constante même si le débit

de réfrigérant augmente.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 5 10 15 20 25 30

X2 (mm)

C

F = 0,14 %

F = 0,21 %

F = 0,28 %

Fig. 4.18 Profil de concentration d'éthanol (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).

Le profil de concentration (exprimée sous forme de fraction massique) varie de façon

exponentielle avec la distance à la paroi (figure 4.19). On remarque une augmentation encore

plus forte du gradient de concentration à proximité de la paroi. Le tracé de la dérivée de la

concentration, sur la figure 4.20, souligne particulièrement ce phénomène.

141

Cette augmentation très importante du gradient de concentration met en évidence une

modification des transferts de masse au voisinage immédiat de la paroi. Aussi, peut-on faire

l'hypothèse de l'existence d’une sous-couche limite visqueuse analogue à celle qui existe dans

une couche limite dynamique y compris en présence d’injection (Simpson et al. 1969).

Cependant, du fait du peu de mesures disponibles dans cette sous-couche, il n'est pas

envisageable d'extrapoler le gradient de concentration pour déterminer sa valeur à l'interface

liquide-vapeur.

0,001

0,01

0,1

0 5 10 15X2 (mm)

C

F = 0,16 %

F = 0,31 %

Fig 4.19 Profil de concentration d'éthanol (Te = 200 °C, x1 = 1,55 m).

-0,018

-0,015

-0,012

-0,009

-0,006

-0,003

00 5 10 15 20 25

X2 (mm)

F = 0,14 %

F = 0,21 %

F = 0,28 %

exponentielle

dC

dx2(mm-1)

Fig. 4.20 Dérivée de la concentration (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).

142

Par ailleurs, d'autres expériences montrent que le taux d'injection n'influence pas les

profils de vitesse et de température (figure 4.21). Ces résultats confirment que la quantité

d'éthanol évaporée, que nous allons quantifier, n'est déterminée que par la température de

l'écoulement potentiel.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

X2 (mm)

T (°C)

F = 0,14 %

F = 0,21 %

F = 0,28 %

Fig. 4.21 Profils expérimentaux de température (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).

4.3.2. Etude théorique de la transpiration d'éthanol

L'efficacité du refroidissement par transpiration d'éthanol dépend de l'équilibre entre

les transferts de masse et de chaleur entre la paroi poreuse et son environnement. Une certaine

quantité d'éthanol s'évapore et absorbe de l'énergie reçue par la paroi par convection ou

rayonnement. Il est donc intéressant de calculer le débit de réfrigérant évaporé pour différentes

températures de l'écoulement potentiel.

Détermination des transferts de masse

Considérons un mélange de deux espèces se déplaçant à la vitesse V. Le débit

surfacique d'une espèce, �m, traversant un plan perpendiculaire à V est donné par la relation

(4.10).

�m J CV= + ρ (4.10)

J est le flux diffusif de l'espèce (J DC

xi= −ρ ∂

∂), C est sa concentration et ρ est la masse

volumique du mélange.

143

En présence d’un gaz incondensable, un bilan de masse à l'interface liquide-vapeur

permet de calculer le débit surfacique de réfrigérant évaporé (Shembharkar et Pai 1986) :

�mC

JC

DC

xii

ii i

=−

= −−

1

1

1

1 2ρ ∂

∂ (4.11)

où l'indice i correspond l'interface liquide-vapeur et D est le coefficient de diffusion de

la vapeur d'éthanol dans l'air.

Il convient alors de déterminer le gradient de concentration à l'interface. L'analyse des

mesures de concentration a permis d'admettre l'existence d'une sous-couche limite visqueuse

proche de la paroi. L'équation (4.12) exprime la conservation de masse de la vapeur d'éthanol

en régime laminaire. Elle est obtenue en négligeant les variations longitudinales de vitesse et

de concentration et en considérant les propriétés thermophysiques du mélange air-vapeur

constantes (ce qui entraîne un gradient de vitesse verticale nul).

ρ ∂∂

ρ ∂∂

UC

xD

C

x22 2

= ²

² (4.12)

Dans cette équation, la vitesse verticale U2 est induite par la diffusion de la vapeur et

s'exprime en fonction du gradient de concentration :

UD

C

C

x221

=−

∂∂

(4.13)

En substituant la vitesse U2 dans la relation (4.12), on obtient une équation différentielle de C

en fonction de x2. Prenons pour conditions aux limites, d'une part, l'interface liquide-vapeur et, d'autre

part, un point de la sous-couche visqueuse défini par son ordonnée x2vis. Si les concentrations en x2

= 0 et x2 = x2vis sont respectivement Ci et Cvis, la résolution de l'équation (4.12) conduit à la relation

suivante (Brouwers et Chesters 1992) :

C x Cx

x

C

Civis

vis

i( ) ( )exp ln2

2

21 1

1

1= − − −

−

(4.14)

La loi de variation de la concentration (4.14) peut donc être appliquée entre l'interface liquide

- vapeur et notre premier point de mesure situé dans la sous-couche visqueuse. Ainsi, le gradient de

concentration à l'interface liquide-vapeur est donné par la dérivée de l'équation (4.14) pour x2

= 0. Le débit d'éthanol évaporé s'exprime alors par :

144

� lnmD

x

C

Civis

vis

i= − −

−ρ

2

1

1 (4.15)

Notons que la méthodologie de calcul, mise en oeuvre ici, pourrait s’appliquer à la

détermination de gradients de température ou de vitesse. Simpson et al. (1969) ont d’ailleurs

appliqué une technique analogue, appelée "viscous sublayer model method", pour confirmer

les coefficients de frottement mesurés par la méthode de l’équation intégrale de quantité de

mouvement (cf. paragraphe 2.1).

La connaissance de la concentration de vapeur d'éthanol à l'interface liquide-vapeur est

nécessaire pour l'application de la relation (4.15) à nos résultats expérimentaux. Cette

concentration est calculée par application de la loi de Dalton :

CM

P

P

MP

PM

P

P

i

ethsat

ethsat

airsat

=+ −

1

(4.16)

où Psat est la pression de vapeur saturante d'éthanol, P la pression totale, Meth et Mair

les masses molaires de l'éthanol et de l'air.

La pression de saturation est déterminée en estimant qu'il y a équilibre thermique entre

la matrice solide de la paroi et l'éthanol qui s'écoule en film très fin (épaisseur maximale de

0,4 mm) sur sa face supérieure. La relation (4.16) suppose que la vapeur d'éthanol se comporte

comme un gaz parfait. En observant les propriétés données par Dunn et Reay (1978), il

semble que ce ne soit pas le cas lorsque les phases liquide et vapeur sont en équilibre sans

présence de gaz incondensable. Cependant, notons que la relation (4.16) a été employée

comme condition à la limite pour l'étude numérique du refroidissement d'un film d'éthanol par

évaporation (Yan et Lin, 1991), étude qui a donné des résultats conformes l'expérience (Yan et

al. 1991).

La détermination du gradient de concentration à l'interface liquide-vapeur puis du débit

d'éthanol évaporé est alors conduite. Les résultats, traduits en taux d'évaporation

( Fm

Uévapi

e=

�

( )ρ 1), sont reportés dans le tableau 4.1. Pour chaque température d'écoulement

potentiel, une moyenne est effectuée à partir des résultats obtenus pour les différents profils

expérimentaux de concentration. La dispersion des résultats est de ± 8 %.

145

Te (°C) Févap (%)

100 0,026

150 0,033

200 0,051

Tab. 4.1 Taux d'éthanol évaporé.

Comparés aux taux d'injection mesurés au rotamètre, les taux d'éthanol évaporés sont

situés dans la zone de transition (séparant les régions où l'évaporation se produit au-dessous

ou au-dessus de la paroi). Un exemple de comparaison entre les taux d'injection mesurés et le

taux d'évaporation calculé est donné sur la figure 4.22. Cette constatation permet de confirmer

le fonctionnement du procédé présent : si le taux d'injection est inférieur au taux

d'évaporation, le débit d'éthanol injecté est insuffisant pour assurer la protection de la paroi et

le front d'évaporation se déplace vers le caisson d'injection ; en revanche, si F > Févap, une

partie du réfrigérant s'évapore et l'excédent s'écoule en film au-dessus de la paroi. Les

résultats, portés dans le tableau 4.1, sont donc les taux d'injection optimaux dans le cas d'une

transpiration à travers une paroi parfaitement horizontale.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0.4

F (%)

Tw (°C)

Taux d'évaporationcalculé

Fig 4.22 Comparaison entre les taux d'injection et le taux d'évaporation d'éthanol

(Te = 200 °C).

146

Transferts thermiques

Le calcul du débit de fluide réfrigérant évaporé permet de connaître la quantité de

chaleur absorbée par évaporation. Il est donc intéressant de la comparer aux quantités de

chaleur échangées entre le système et son environnement (figure 4.23).

convection

Plaque poreuse

rayonnement

évaporation

conduction

Fig. 4.23 Echanges thermiques entre le système étudié et son environnement.

Outre l’absorption d'énergie par changement de phase, existe également une protection

de la paroi vis à vis de l'écoulement pariétal par "effusion de vapeur". Le modèle du film

(Brouwers et Chesters 1992) permet de comparer les échanges convectifs en présence de

diffusion de vapeur par rapport au cas sans diffusion. Le "modèle du film" considère une

idéalisation des transferts au voisinage de la paroi, comme s'ils se déroulaient entièrement

dans un film de mélange air-vapeur mince près de la paroi poreuse imbibée de liquide

(figure 4.24).

Fig. 4.24 Schéma de principe du modèle du film.

L'écoulement y est bidimensionnel, stationnaire, incompressible. La vitesse verticale est

considérée constante dans tout le film et les variations longitudinales de tous les paramètres sont

négligées. Il en résulte que le modèle n'est valable qu'à proximité de la paroi et peut servir par

exemple à l'évaluation de la variation du nombre de Stanton avec la vitesse de diffusion. En utilisant

les développements analytiques de Brouwers et Chesters (1992), le résultat suivant est obtenu

Vitesse de diffusion

film

Paroi poreuse humide

écoulement pariétal

147

:

St

St =

FSt

expF

St - 10

évap

0

évap

0

(4.17)

St est le nombre de Stanton en présence de diffusion et St0 sans diffusion.

On se place dans le cas d’un taux d’injection égal au taux d’évaporation de l’éthanol.

Le nombre de Stanton sans diffusion est calculé par une corrélation en considérant une paroi

sèche (Nux1 = 0,0288 Rex1

0,8 Pr1/3). Le rapport du nombre de Stanton avec diffusion de vapeur

sur le nombre de Stanton sans diffusion est présenté dans le tableau 4.2 (colonne 3). On

constate que la réduction des échanges convectifs entre le système et l’écoulement pariétal est

faible : 8 % au maximum. Par conséquent, l’ordre de grandeur de la réduction des échanges

convectifs est le même que la précision des mesures de taux d’évaporation de l’éthanol. Il

n’est donc pas envisageable de mener un calcul plus précis des échanges convectifs entre le

système et l’écoulement pariétal puisque d’éventuelles améliorations apportées à ce calcul ne

seraient pas significatives.

Par ailleurs, une adaptation de la modélisation du rayonnement mise en oeuvre au

chapitre 3 (relation 3.15) serait intéressante : prise en compte de l’absorption d’une partie du

rayonnement incident par l’éthanol, modification des caractéristiques radiatives du matériau

poreux lorsqu’il est humide... Toutefois les ordres de grandeur du flux radiatif incident sont de

5 à 10 fois plus faibles que les quantités de chaleur absorbées par l’évaporation du réfrigérant.

Les améliorations apportées ne seraient donc pas validables.

Te (°C) Févap (%) St / St0 Φconvectif

(kW/m²)

Φabsorbé

(kW/m²)

100 0,026 0,95 1,8 2,1

150 0,033 0,94 2,4 2,4

200 0,051 0,92 3,3 3,4

Tab. 4.2 Calcul des échanges convectifs entre la paroi et son environnement.

Il est intéressant de souligner, dans cette étude sur la transpiration, la faiblesse de la

concentration en vapeur d’éthanol mesurée à proximité de l’interface liquide-vapeur comparée à celle

calculée théoriquement (relation (4.16)) sur l’interface (tableau 4.3). L’ampleur de ce saut de

148

concentration constitue une caractéristique significative des profils de concentration relevés

expérimentalement. En outre, la détermination du débit d'éthanol évaporé permet une étude

numérique des transferts de masse dans la couche limite pariétale. Une vérification numérique

de la très forte décroissance de la concentration au voisinage immédiat de la paroi est donc

effectuée.

Te (°C) Ci C x2 ≈ 1 mm

100 0,18 0,022

150 0,26 0,048

200 0,30 0,079

Tab. 4.3 Concentration en vapeur d’éthanol au voisinage de l’interface liquide-vapeur.

Etude numérique des transferts de masse au voisinage de la paroi poreuse.

Cette étude des transferts de masse dans la couche limite pariétale soumise à la

diffusion de vapeur d’éthanol reprend la configuration numérique habituelle (figure 4.6). On

se place dans le cas d'une paroi parfaitement plane et d'un taux d'injection égal au taux

d'évaporation. Il n'y a donc pas de film liquide au-dessus de la paroi et le front d'évaporation

correspond à la surface supérieure de la plaque poreuse. Dans cette configuration, les

conditions aux limites sur la paroi poreuse sont les suivantes :

- équilibre thermique entre la phase vapeur et les éléments solides de la paroi,

- température de paroi correspondant aux mesures,

- lois de paroi pour la vitesse et la température au-dessus des éléments solides de la paroi,

- concentration en éthanol à la sortie d’un pore calculée par la relation (4.16),

- vitesse de la phase gazeuse calculée de façon à ce que le débit de vapeur d’éthanol injectée

corresponde au taux d’évaporation déterminé à partir des mesures de concentration :

UF U

wévap

sat

e2

1=ρ

ρϕ

( ) (4.18)

ϕ est la porosité de la plaque (ϕ = 33 %) et ρsat la masse volumique de la vapeur

d’éthanol en équilibre thermodynamique avec la phase liquide.

Le maillage et le modèle de turbulence restent inchangés par rapport aux études numériques

précédentes. Sur la figure 4.25, sont portés les profils numériques et expérimentaux de

149

concentration en vapeur d'éthanol. La très forte décroissance de la concentration au voisinage

de la paroi poreuse est bien reproduite par les simulations. Ces résultats numériques

confirment donc la validité d'une part, du calcul de la concentration à l'interface liquide-

vapeur et d'autre part, la méthodologie employée pour déterminer le débit d'éthanol évaporé.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30 35X2 (mm)

C

simulations

mesures Te = 100 °C

mesures Te = 200 °C

Fig 4.25 Profils expérimentaux et numériques de concentration.

En revanche, les profils de vitesses et de température (figure 4.26) ne sont pas

correctement simulés. Cet écart peut s’expliquer par la différence de configuration entre

l’étude expérimentale et l’étude numérique. En effet, les mesures de vitesse et température

sont effectuées en présence d’un film liquide s’écoulant au-dessus de la paroi poreuse. D’un

point de vue numérique, le recours à des lois de parois sur les éléments solides du milieu

poreux ne permet pas donc pas de reproduire correctement les profils de vitesse et de

température. Toutefois, constatons que les épaisseurs des couches limites dynamiques et

thermiques simulées et mesurées concordent (tableau 4.4) : les écarts sont de 6,5 % au

maximum.

Te (°C) δ (mm) δT (mm)

expérience simulation expérience simulation

100 27 26 25 24

150 28 29 29 29

200 30 29 33 31

Tab. 4.4 Epaisseurs de couches limites (± 2 mm).

150

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

0 10 20 30 40 50 60

X2 (mm)

T (K)

simulations

mesures Te = 100°C

mesures Te = 200 °C

Fig. 4.26 Profils numériques et expérimentaux de température

(x1 = 1,55 m).

Conclusion

L’étude du refroidissement d'une paroi poreuse par transpiration de liquide a mis en

évidence la nécessité d’un bon mouillage du fluide réfrigérant. L’éthanol a été préféré à l’eau

car sa faible tension superficielle permet un bon mouillage de l’acier inoxydable. L’efficacité

de ce procédé de refroidissement a fait l’objet d’une détermination expérimentale. Une

efficacité de 97 % a été mesurée. Elle est égale à celle obtenue par la protection par effusion

d’air dans une configuration identique. Toutefois, les taux d’injection nécessaires pour

l’atteindre sont environ 50 fois moindre que dans le cas de l’effusion d’air.

La mesure des profils de concentration en vapeur d’éthanol dans la couche limite

pariétale a révélé l’existence d’un très fort gradient à proximité du milieu poreux. En utilisant

les équations de transport dans la sous-couche visqueuse, le gradient sur l’interface liquide-

vapeur a pu être estimé et le débit d’éthanol évaporé a été calculé. Pour différentes

températures d’écoulement potentiel, les débits calculés sont conformes aux taux d’injection

nécessaires à l’obtention d’une protection uniforme de la paroi. De plus, les résultats de

simulations numériques des transferts de masse dans la couche limite pariétale confirment nos

151

calculs de débit d’éthanol évaporé. Par ailleurs, des considérations théoriques ont montré que

la réduction des échanges convectifs entre le milieu poreux et l’écoulement pariétal, du fait de

la diffusion de vapeur, est négligeable devant la quantité d’énergie absorbée par l’évaporation.

Si l'étude du refroidissement par transpiration d'éthanol a permis de comprendre et de

chiffrer d'importants phénomènes, à l’avenir une mise au point d’un système de

refroidissement par transpiration d’eau (avec ajout de tensio-actif pour améliorer la

mouillabilité) pourrait être envisagée et serait intéressante pour des applications industrielles.

De même, un couplage entre une modélisation du changement de phase liquide-vapeur et le

modèle des transferts en couches limites avec injection permettrait une étude numérique plus

précise du système de protection thermique par transpiration de liquide.

152

CONCLUSION GENERALE

Le travail, présenté dans le cadre du présent mémoire, est relatif aux transferts de

masse et de chaleur au voisinage de la surface et à l'intérieur d'un milieu poreux soumis à un

écoulement pariétal d'un gaz chaud et à un écoulement interne d'un fluide froid. Les résultats

de cette étude peuvent trouver des applications, par exemple, dans le domaine du

refroidissement des parois de moteurs, notamment des moteurs à flux continus, ou dans celui

de la réduction des traînées aérodynamiques.

Afin de quantifier l'effet de l'injection de fluide frais sur les transferts entre

l'écoulement potentiel et le milieux poreux, un traitement numérique du problème a été mis en

oeuvre parallèlement à une étude expérimentale.

Dans un premier temps, une nouvelle approche pour modéliser les couches limites

turbulentes dynamique et thermique soumises à l'effusion d'un gaz frais a été développée. Les

simulations numériques ont été effectuées en utilisant, pour l'écoulement pariétal, un modèle

classique de turbulence (modèle RNG k-ε à "haut nombre de Reynolds"). Les phénomènes

physiques liés à l'effusion à travers une paroi poreuse sont pris en compte par une

modélisation discrète de la paroi poreuse. Dans cette modélisation, la surface des parois

poreuses est représentée comme une succession de pores, par lesquels arrive le fluide frais, et

de grains solides, sur lesquels ont lieu les transferts de quantité de mouvement et de chaleur.

Les résultats obtenus ont été validés par comparaison avec nos propres résultats

expérimentaux ainsi qu'avec ceux issus de la littérature. Les coefficients de frottement et

nombres de Stanton pour différents taux d'injection ont pu être quantifiés par l'emploi de

corrélations faisant intervenir les grandeurs intégrales calculées par les simulations

numériques. Par ailleurs, nous avons initié une collaboration avec le département de Génie

Civil de l'Université de Londres. Cette collaboration a pour objet d'implanter notre

représentation simplifiée de la matrice poreuse dans un code de mécanique des fluides

spécialisé dans la simulation des couches limites turbulentes et offrant des possibilités

d'évolutions très importantes. Enfin, signalons que cette représentation discrète de la paroi

poreuse est actuellement utilisée dans le cas d'une géométrie cylindrique (Bataille et

153

Lallemand 1998) et permet de simuler la modification du sillage d'un cylindre poreux soumis

à de l'effusion.

Le travail a ensuite porté sur le couplage entre les transferts thermiques au voisinage et

à l’intérieur de matériaux poreux. Cette étude présente une nouveauté importante par rapport

aux travaux antérieurs qui ne traitaient que de l'un des ces deux aspects. Des températures de

la phase solide d'une plaque poreuse ont été mesurées en fonction de trois paramètres (taux

d'injection, température de l'écoulement potentiel et surface d'échange interne du milieu

poreux). L'étude expérimentale a montré que le processus de protection des parois poreuses

par effusion peut atteindre une efficacité de 97 %. Cependant, un taux d’injection important

(de l’ordre de 5 %) est nécessaire pour atteindre une telle efficacité. Parallèlement, les

températures de parois ont été calculées à l'aide d'un modèle nodal des transferts thermiques

internes à la paroi couplé au modèle de transferts en couches limites (avec addition du

rayonnement incident sur la plaque). Les coefficients d'échanges internes ont pu être

déterminés, par confrontation entre les résultats numériques et expérimentaux.

Enfin, en vue d'optimiser ce mode de refroidissement, les recherches se sont portées

sur la transpiration d'un liquide. L’étude expérimentale a montré la nécessité d’un bon

mouillage du milieu poreux par le fluide réfrigérant. Les résultats expérimentaux, obtenus

avec la transpiration d’éthanol, alors que l’écoulement pariétal est gazeux (air), ont mis en

évidence une excellente performance du système proposé. Une efficacité égale à celle obtenue

par la protection par effusion d’air été mesurée mais les taux d’injection requis pour

l’atteindre sont environ 50 fois moindre. La mesure des profils de concentration en vapeur

d’éthanol dans la couche limite pariétale et l’utilisation des équations de transport à proximité

de l’interface liquide-vapeur ont permis de calculer le débit d’éthanol évaporé. Par ailleurs,

l'étude numérique des transferts de masse dans la couche limite pariétale confirme les valeurs,

précédemment obtenues, de débit d’éthanol évaporé.

A l’avenir, il serait opportun de calculer les transferts de masse, de quantité de

mouvement et de chaleur à l’aide d’un seul outil numérique. En effet, l’utilisation de

techniques numériques différentes dans la couche limite et dans le milieu poreux s’avère peu

pratique d'emploi. D’un point de vue expérimental, l’étude du refroidissement par

transpiration d’eau peut être intéressante pour des applications industrielles. L’ajout de tensio

actif pourrait permettre une baisse significative de la tension superficielle du réfrigérant et, par

conséquent, un meilleur mouillage des matériaux à refroidir.

154

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ANNEXES

ANNEXE 1

Rendement thermique d’une turbine à gaz

Dans le but d’illustrer les propos tenus en introduction générale, l’exemple concret d’unturbomoteur est traité. On s’intéresse particulièrement à l’évolution du rendement thermique enfonction de la température des gaz et à l’effet d’un prélèvement de fluide destiné à laprotection thermique de parois.

nomenclature

% capacité thermique massique à pression constante (J/kg.K)

CV capacité thermique massique à volume constante (J/kg.K)P pression (Pa)4 apport de chaleur (J)T température (K)V volume massique (m3/kg)

Wt travail échangé entre le fluide et les éléments mobiles des machines (J)

rl rendement

Y C,’ Cv

indicesC compresseurt turbine0 sans prélèvement

Une turbine à gaz (ou turbomoteur) est essentiellement constituée d’un compresseur,d’une chambre de combustion et d’une turbine (figure A.l).

Entrée d’àirC h a m b r ede combusrion

hydre

Fig A. 1 Turbomoteur Malika 3G (Turboméca) (Giraud et Silet 1996).

Sur la figure A.2 est représenté le cycle thermodynamique pour un fluide standardéquivalent (air) subissant les transformations dans la turbine à gaz. Le fluide caloporteur estcomprimé (évolution l-2), puis s’échauffe lors d’une combustion (2-3) et se détend en cédantde l’énergie à une turbine (4-l).

163

164

Fig. A.2 Diagramme (P,v) correspondant au cycle d'une turbine à gaz.

Le fluide subissant les transformations est supposé être un gaz parfait idéal. Le travailrecueilli sur l'arbre moteur de la turbine correspond à la différence entre les travaux récupéréslors de la détente et fournis par la compression : w w wt t t= +12 34.

La compression et la détente sont adiabatiques donc : ( )w c T T T Tt p= − + −2 1 4 3 . Si,

de plus, on prend en compte les rendements isentropiques du compresseur (ηc) et de la turbine

(ηt), la relation suivante est obtenue :

w c Tt pc

t= − −11α

ααη

τ η( )

avec α

γγ=

−P

P

2

1

1

et τ = T

T3

1

Par ailleurs, l'énergie reçue par le fluide lors de la combustion est donnée par la

relation suivante : ( )q c T T c Tp pc

= − = − − −

3 2 1 1

11τ

ηα( ) . Le rendement thermique de la

turbine s'exprime donc par :

η αα

τη αη

τ αη

= − = − −

− − −w

qt

tc

c

1

11

L'évolution du rendement thermique en fonction de la température en amont de laturbine, T3, est présentée sur la figure A.3. Le calcul est mené à partir des conditions defonctionnement du turbomoteur Malika 3G (Giraud et Silet 1996). Les résultats montrent quele rendement thermique de la turbine à gaz est d'autant plus élevé que la température (T3) des

gaz en écoulements en amont de la turbine est importante.

P

v

1

2 3

4

compressiondétente

combustion

165

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

T3 (K)

η

Fig.A.3 Evolution du rendement thermique en fonction de T3

P2/P1 = 10, T1 = 293 K, ηc = 0,785, ηt = 0,90.

Dans le cas où l'on prélève une fraction massique x de fluide en sortie de compresseurpour refroidir les aubages de la turbine, et que l'on suppose que cette fraction de fluide neproduit aucun travail lors de la détente (ce qui est une hypothèse très "pessimiste"), lerendement s'exprime par la relation suivante :

η αα

τη αη

τ αη

= − − −

− − − −

1 1

1 11

( )

( )

x

x

tc

c

Le rapport du rendement avec prélèvement sur le rendement sans prélèvement (η0) est

représenté sur la figure A.4. Un prélèvement de fluide en sortie de compresseur, même faible, dégradesensiblement le rendement. Il est donc économiquement intéressant d'optimiser les procédés derefroidissement.

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2x

η / η0

Fig. A.4. Rendement du turbomoteur en fonction du taux de prélèvementP2/P1 = 10, τ = 4,44 K, ηc = 0,785, ηt = 0,90.

ANNEXE II

Anémomètre Laser Doppler(Spectra-Physics, puissance 5 W)

Le volume de mesure de l’anémomètre LASER-Doppler est délimité par l’intersection

de deux réseaux de franges d’interférence créés, d’une part, par les faisceaux vert et commun

et, d’autre part, par les faisceaux bleu et commun. Les caractéristiques de ces deux réseaux

sont données dans le tableau A.l.

Raie Longueur d’onde Distance minimale Nombre de

(nm) entre des franges @m) franges

I VerteI

488,3 3,357I 4I

Bleue 514,5 3,540 45/

Tab A. 1 Caractéristiques principales des deux réseaux d’interfranges.

Par ailleurs, les dimensions du volume de mesures sont les suivantes :- longueur : 1,l mm- diamètre : 80 prn.

La figure A.5 illustre le positionnement de l’anémomètre Laser-Doppler par rapport à la veined’essais.

Fig. A5 Mesure par anémométrie Laser-Doppler

166

ANNEXE III

Caméra Infrarouge

yCARACTERIS~lQUES.GENERALES DE LA TVS 2000. MB. Y.--. . . . . _ . _a._ _.. . \

Plage de température

PrécisionSensibiliti thermique

2 plages: 40°C a +95OTou : -aoc à 2ooo”c

+/- 0,3%0.1’ sur Corps Noir à 30°C

Etalonnage interneEmissivitiDistance de l’objet

.1 corps noir interne

Correction totale ou partielIePar logiciel de traitement

Humidité Par logiciel de traitement

Angle d’ouvertureDistance de focalisationRésolution spatiale

15* H x lo” vDe 2Ocm à I’infini

1.9 mrad à 50% de modulationSurface minimum observable 90mm H x 60mm V

CapceurBaiayageFréquence imageType de refroidissementAutonomie (ditente Joule - Thomson )

10 éléments InSbRotacion d’un polygone à 10 faces téfléchissances

30 images/sec (15 images pour Ie modèie LW)Décence Joute -Tnomson (gaz ARGON) / Cycle Stirling

Szfon conditionnemeac du gaz (voir annexe)

%ombte de curseursFonction zoom ’Scociiage interne numérique

Synchronisation externe (pour acquisition, lecture,

Grossissement 2x2Disquette 3 1/2 (autonomie 20 images)

Temps titi t sauvegarde MOD (autonomie 204 images)Signal TTL

PC ( disque dur, disquette...... >

Enregistreur vidéoImprimante couleur

Par liaison SCSI à 4 images/sec .Capacité suivant disque dur (50 Ko /image)

Marérief grand public (Standard PAL ou RGB)Matériel grand public

Température utilisationTempiracure stockageDimensions

Caméra : - 10 /+U”C processeur : 0/40°Co/+40°c

Caméra : 175*184*80 mmProcesseur : 300*400* 170 mm

PoidsConsommationDocumentationFormation

Caméra = 2.3 kg processeur : 9 kg100 h 200 VA (suivant modtfe)

En FrancaisOUI’

*. *a

Contrat de maintenanceDéhi de livraison moyencoût

Possible‘6 à 8 semaines

Entre 230 KF et 450 KF (seion options)

167

171

ANNEXE IV

Couches limites dynamiques pour Te = 45 et 100 °C

Les profils de vitesses longitudinales, pour un écoulement potentiel à 45 et 100 °C,sont présentés respectivement sur les figures A.6 et A.7.

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1e (m/s)

mesures avant l'injection

mesures à x1 = 1,55 m

simulations numériques

Fig. A.6 Couches limites dynamiques pour Te = 45 °C et F = 1,1 %.

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80

X2 (mm)

U1e (m/s)

mesures F = 1,3 %

simulations numériques

mesures F = 0 %

Fig. A.7 Couches limites dynamiques pour Te = 100 °C et x1 = 1,55 m.

173

ANNEXE V

Estimation de la précision de la mesure du taux d’injection

Le taux d’injection, F, est calculé à partir des caractéristiques (∆P, v) des paroisporeuses (un exemple est donné sur la figure A.8). Cette méthode indirecte de calcul du tauxd’injection a été retenue car la mesure au diaphragme de F s’avère peu précise pour les trèsfaibles débits injectés. Une régression linéaire, dans la région où la loi de Darcy est valide,permet d’estimer la valeur de la perméabilité ainsi que l’écart type lié à la précision desmesures de gradient de pression et de vitesse de l’air injecté.

0

300000

600000

900000

1200000

1500000

1800000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

v (m/s)

∆P/∆x2 (Pa/mm)

mesures régression linéaire

∆P / ∆x2 = µ/K v

Fig. A.8 Gradient de pression au bornes du milieu poreux en fonction de la vitesse del’écoulement secondaire.

La précision relative sur le taux d’injection est donnée par la relation suivante :∆ ∆ ∆F

F

U

U

U

Ue

e

w

w= +( )

( )

( )

( )

ρρ

ρρ

1

1

2

21

Compte tenu de la précision des mesures de pression dynamique et de température del’écoulement potentiel, respectivement de 1 Pa et 1 K, la vitesse massique de l’écoulementpotentiel est connue à 1,5 % près.

La précision sur la vitesse massique de l’écoulement secondaire est obtenue par :

∆ ∆ρ ∆ ∆ ∆∆

( )

( )

( )ρρ ρ

µ

µU

UK

K

P

Pw

w

w

w

2

2= + +

le rapport µ / K étant donné par la pente de la caractéristique de la paroi considérée (cf.figure A.8).

174

Le terme prépondérant dans le calcul d’erreur est l’incertitude relative du gradient depression aux bornes du milieu poreux. Les précisions obtenues sont calculées en tenantcompte des fluctuations de pression observées (de l’ordre de ± 20 Pa) et des écarts typesobtenus sur le rapport µ / K. Pour les trois classes de matériaux poreux étudiées, on obtient lesrésultats portés sur le tableau A.2.

matériau intervalle deconfiance sur µ/K

précision pourF < 0,5 %

classe 5 0,5 % 9 %classe 10 0,5 % 9 %classe 20 1 % 13 %Tab. A.2 Précision obtenues sur le taux d’injection.

En revanche, pour les forts taux d’injection, la mesure directe du taux d’injection àl’aide du diaphragme est tout à fait précise. Le débit massique de l’écoulement secondaire, qm,est déduit de la mesure de la perte de charges aux bornes du diaphragme, ∆Pdiaphragme :

q a Pm amont diaphragme= ρ ∆

a est une constante numérique et ρamont la masse volumique de l’air en amont dudiaphragme.

L’incertitude sur la vitesse massique de l’écoulement secondaire est alors :

∆ ∆ ∆ρ ∆ ∆

∆( )

( )

( )ρρ ρ

U

U

A

A

P

Pw

w

amont

amont diaphragme

diaphragme2

2

1

2

1

2= + +

où A est l’air de la surface d’injection.

L’ordre de grandeur des fluctuations de ∆Pdiaphragme est de ± 50 Pa, les mesures delongueur et de température sont prises à respectivement 1 mm et 1 K près. Il en résulte pourF > 8 %, une incertitude sur la mesure du taux d’injection de 4 %.

ANNEXE VI

Chromatographe MT1 P200H

Cartouche de gaz vecteur (hélium)_ __(autonomie 40 h)

batmit: LILL a *‘1_(autonomie 4 h)

Pompe interne a aspUObAV__ _.

second module permettantl’analyse de composés diffi

sans changer de colonne

14 k

~omatographie

Pinjecteur, colonne, detecteur à catha

(10 x 163 x 8,5 cm)

177

ANNEXE VII

Etalonnage du chromatographe

L’étalonnage du chromatographe est décrit dans cet annexe. Les résultats del’étalonnage permettent de relier la concentration d’une espèce à l’aire d’un "pic" obtenu surle chromatogramme.

MéthodologieUne quantité connue d’éthanol liquide est injecté, à l’aide d’une micro-seringue, dans

un ballon de volume connu (2 litres). L’éthanol se volatilise dans le ballon et un mélange air-vapeur d’éthanol homogène est obtenu. Un tube de prise d’échantillon relie le ballon auchromatographe et, pour chaque concentration, plusieurs chromatogrammes sont enregistrés.On compare alors le rapport de la masse d’éthanol sur la masse d’air au rapport des aires des‘pics’ correspondants à ces deux espèces.

RésultatsUne droite d’étalonnage est obtenue (figure A.9). La pente de la droite est de 75,2 ±

0,1.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

méthanol / mair

Séthanol / Sair (%)

Fig. A.9 Courbe étalonnage du chromatographe(S est l’aire d’un ‘pic’ du chromatogramme).

L’obtention d’un étalonnage reliant des grandeurs relatives s’avère d’une grande commoditépour les mesures de concentration in situ. Les rapports de surfaces entre les "pics" d’éthanol et ceuxde l’air sont relevés et la droite d’étalonnage permet l’obtention directe des fractions massiques, C, devapeur d’éthanol :

C

m

mm

m

éthanol

air

éthanol

air

=+1