Transferts thermiques

Convection naturelle

externe (PC)

interne

influence de la stratification

Transferts de masse

analogie thermique

convection avec changement de phase

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Partie 1 - Convection naturelle

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Convection naturelle dans une cavite

Domaine ferme avec des parois differentiellement chauffees

Convection de Rayleigh-Benard

g//∇T

Cavite differentiellement chauffee

g ⊥ ∇T

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Cellules de Rayleigh-Benard

Vue de dessus Vue de profil

Hexagones (Benard) Rouleaux

Emran and Schumacher, JFM 2015 Forts gradients dans couches limites

Nu = 0.069Ra1/3L Pr0.074 pour 3 105 < RaL < 7 109

Videos de M. Wilczek, Max-Planck-Institut

Cas 3d laminaire https://www.youtube.com/watch?v=wPK6fdxykpU

Cas 2d turbulent https://www.youtube.com/watch?v=OM0l2YPVMf8

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Cavite differentiellement chauffee

Oteski et al. PRE 2015 Wright et al. IJHMT 2006

Nusselt H/L Prandtl Rayleigh

NuL = 0.42Ra1/4L Pr0.012(HL )−0.33 [10, 40] [1, 20000] [104, 107]

NuL = 0.046Ra1/3L [1, 40] [1, 20] [106, 109]

https://www.youtube.com/watch?v=0enXB0XmQOIM. Storti, U. Buenos Aires

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Influence de la stratification

stable instable

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Stratification stable

g = −gey ρd2(δy)

dt2= g

dρ

dyδy

δy = δy0eiNt

N2 = −g

ρ

∂ρ

∂y

N2 = gβdT

dyFrequence de Brunt-Vaisala N100 s dans l’atmosphere

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Variations dues a la pression

Condition d’instabilite −dT/dy > 0

Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature

Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale

→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques

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Variations dues a la pression

Condition d’instabilite −dT/dy > 0Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature

Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale

→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques

January 3, 2020 8 / 24

Variations dues a la pression

Condition d’instabilite −dT/dy > 0Oui mais...le fluide chauffe est en expansion→ expansion associee a une variation d’energie→ baisse de temperature

Pas d’instabilite si la baisse de temperature est telle que le fluide qui sedeplace vers le haut garde la temperature locale

→ Instabilite seulement si le gradient de temperature est plus faible queles variations de temperature dues a la pression dans des conditionsadiabatiques

January 3, 2020 8 / 24

Gradient de temperature adiabatique

Variations adiabatiques de la temperature avec la pression :(∂T

∂p

)S

=

(∂V

∂S

)p

=

(∂T

∂S

)P

(∂V

∂T

)P

mcp = T ( ∂S∂T )P (definition cp) et β = 1V

(∂V∂T

)P

(dilatation volumique)

→(∂T

∂p

)S

=βT

ρcp

Variations de pression avec l’altitude:

dp

dy= −ρg →

(∂T

∂p

)S

= − 1

ρg

(∂T

∂y

)Gradient de temperature adiabatique: Γ = −βTg

cp

Condition d’instabilite −dT

dy> −Γ =

βTg

cp

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Application du gradient de temperature adiabatique

Effet non negligeable pour applications geo- ou astrophysiquesΓ = 10◦C . km−1 dans l’atmosphere

Temperature potentielle: temperature θ qui serait observee pour unchangement adiabatique a une pression de reference

∂θ

∂y=∂T

∂y− Γ

Definition modifiee de la frequence de Brunt-Vaisala N

N2 = gβdθ

dy

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Partie 2 - Transferts de masse

Analogie thermique

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Fluide heterogene

Soit un fluide constitue d’un melange heterogene de S especes.Chaque espece s de concentration cs est caracterisee par une vitesse dediffusion vDs en chaque point M

vitesse de diffusion = vitesse de l’espece− vitesse du fluide

vDs = Vs − v

On definit un vecteur flux de masse de l’espece s

qms = csv

Ds

On s’interesse:

a la variation de la masse de chaque espece s

aux transferts d’enthalpie des differentes especes dans un elementmateriel du melange

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Bilan de masse de l’espece

Pour le systeme materiel associe a la seule espece s on a

dMs

dt=

∫Vs

∂cs∂t

dV +

∫Ss

csV.ndS =

∫Vs

RsdV

avec Rs est la masse de l’espece creee ou detruite par unite de temps.On utilise vD = V − v∫

Vs

∂cs∂t

dV +

∫Ss

csv.ndS +

∫Ss

csvD .ndS =

∫Vs

RsdV

soit ∫Vs

(∂cs∂t

+∇.(csv))dV =

∫Vs

RsdV −∫Vs

∇.(csvD)dV

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Equation de bilan

On introduit la fraction massiqueY =csρ

ρ

∫Vs

DY

DtdV =

∫Vs

(Rs −∇.qms )dV (1)

soit

ρDY

Dt= Rs −∇.qm

s (2)

Le flux de masse et la vitesse de diffusion sont calcules a partir decoefficients de diffusion etablis.

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Expression du flux de masse

Pour un melange binaire A-B caracterise par un coefficient dediffusion DAB

qmA = −ρDAB(∇YA +

kTT∇T +

kpp∇p)

Si les effets lies aux gradients de temperature et de pression sontfaibles qm

A = −ρDAB∇YA

ρDYA

Dt= RA −∇.(ρDAB∇YA)

Pour S especes infiniment dilueesS gaz parfaits ou liquides dilues dans bain de masse volumique ρuniforme

qms = −Dsb∇.cs

avec Dsb diffusivite de l’espece dans le bain

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Bilan d’energie d’un fluide monophasique heterogene

Flux d’energie:

qth = −k∇T +∑s

hsqms

Conservation de l’energie (forme enthalpique):

ρDh

Dt= ρ

∑s

(YsDhsDt

+ hsDYs

Dt)

ρcp =∑

s cscps → ρ∑

s YsDhsDt = ρcp

DhDt et DYs

Dt = Rs −∇.qms

ρDh

Dt= ρcp

DT

Dt+∑s

(hsRs − hs∇.qms )

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Analogie transferts thermiques - transferts massiques

Especes diluees:

κ ⇐⇒ Dsb → Lewis number Le =κ

Dsb

Convection naturelle massique:

ρ = ρ0(1 + βg(T − Teq)) ⇐⇒ ρ = ρ0(1 + γs(cs − cs0))

cs concentration → γs = 1ρ0

Temperature Fraction massique

Prandtl Pr = νκ Schmidt Sc = ν

Dsb

Grashof Gr = βgδTL3

ν2Grashof d’especes Grs = γsδcsL3

D2sb

Nusselt Nu = ∂T+

∂y+|paroi Sherwood Sh = ∂c+

∂y+|paroi

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Analogies de Reynolds dans les couches limites

Nombre de Stanton St = NuRePr Nombre de Stanton massique Stm = Sh

ReSc

Analogie de Reynolds: Si dp/dx = 0 et Pr = Sc = 1 alors

CfReL

2= Nu = Sh

Analogie de Reynolds modifiee ou de Chilton-Coburn:

Cf

2= StPr2/3 pour 0.6 < Pr < 60

Cf

2= StmSc

2/3 pour 0.6 < Sc < 3000

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Partie 3 - Transferts de masse

Convection avec changement de phase

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Convection avec changement de phase

Nous avons etudie les echanges de chaleur du a un gradient detemperature.Peut-il y avoir echange thermique a temperature constante?OUI - chaleur latente associee a un changement de phase

Solidification

Liquefaction

Condensation

Vaporisation : Evaporation ou ebullition

Vaporisation endothermique: absorption d’energieCondensation exothermique: emission d’energie

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Refroidissement par evaporation - 1

Le liquide perd de l’energie par evaporation: qevapCette perte doit etre compensee par un apport d’energie: convection dugaz (qconv ) ou apport (qadd) dans le liquide

qconv + qadd = qevap (*)

mevap: flux de masse evaporee, hfg : chaleur latente de vaporisation

qevap = mevaphfg

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Refroidissement par evaporation - 2

Flux de masse evaporee: mevap = hm(ρA,sat(Ts)− ρA,∞)Flux de convection: qconv = −h(Ts − T∞)On suppose qadd = 0.

(∗)→ T∞ − Ts = hfghmh

(ρA,sat(Ts)− ρA,∞)(∗∗)

Analogie transferts thermiques - transferts massiques

h

k(hmDAB

)−1 = Len

Dans de nombreux cas n = 23

Loi des gaz parfaits + (∗∗)→ equation pour Ts :

→ T∞ − Ts = hfgMA

RLenρcp(pA,sat(Ts)

Ts−

pA,∞T∞

)

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Transferts associes a l’ebullition

Ebullition: Vaporisation rapide sur une interfacesolide-liquide (ou a l’interieur d’un liquide)

Ts > Tsat

Transfert qs = h(Ts − Tsat)

Modification de l’interface liquide-gaz influencee par

la tension de surface

la force de flottaison

Chaleur latente + convection naturelle → Coefficient d’echange eleve

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Transferts associes a la condensation

Condensation: refroidissement d’une vapeur en-dessous de satemperature de saturation (qui depend de la pression) obtenu par:

contact avec une paroi froide (condensateur)

condensation homogene: suspension de gouttelettes due par ex. aexpansion (nuages)

contact direct avec un liquide

Contact avec une paroi peut se faire en

film gouttes

Le condensat represente une resistance pour le transfert de chaleur de lavapeur a la paroi→ transfert plus efficace (x 10) pour une condensation en gouttes qu’enfilm - mais plus difficile a maintenir

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