Travaux Pratiques de Mécanique...• Les fluides tendent à minimiser leur surface de contact avec l’extérieur. • Cela se fait sous l’effet des forces de tension superficielle

Université de Mons

Exercices de Physique Biomédicale18 Novembre 2020

Service de Physique Biomédicale

Université de Mons

Préparation à l’interrogation de travaux pratiques

En pratique

• Interrogation de travaux pratiques le 5 décembre 2020.

• Matière :

• Graphes-erreurs : • Savoir lire et réaliser un graphique et en tirer des paramètres ;

• Savoir calculer l’erreur (absolue et relative) sur une mesure ;

• Savoir arrondir une erreur absolue calculée suivant la règle vue aux TP.

• Fluides 1 : • Notion de masse volumique ;

• Principe d’Archimède ;

• Tension superficielle.

• Fluides 2 : • Théorème de Bernoulli

• Dynamique de l’écoulement.

• Sur la plateforme Moodle Examens.

• 1h30 d’interro.

• Réalisez au préalable le test technique non coté disponible sur Moodle !

Calcul d’erreur

Graphes-erreurs : rappel théorique – exercice | Fluides 1 : rappel théorique – exercice | Fluides 2 : rappel théorique - exercice

Lorsqu’on effectue une mesure physique, elle est toujours entachée d’une erreur expérimentale.

L’erreur d’une grandeur a calculée à partir de valeurs entachées d’erreur (x1 ± ε1), (x2 ± ε2), (x3 ± ε3), … par la formule a = f(x1,x2,x3,…) est donnée par la formule de Taylor :

εa =𝜕f

𝜕x1εx1 +

𝜕f

𝜕x2εx2 +

𝜕f

𝜕x3εx3 + …

L’erreur relative (en %) est donnée par εrel =εa

a× 100

Exemple :

On mesure expérimentalement que la tension aux bornes d’une résistance R est de (15,0 ± 0,9) V et le courant qui y circule est de (15,0 ± 0,5) mA. Par la loi d’Ohm, on a donc R = U/I = 1 kΩ.

L’erreur sur cette mesure est :

εR =𝜕R

𝜕UεU +

𝜕R

𝜕IεI =

1

IεU +

−U

I2εI =

εU

I+

U εI

I2= 93,33 Ω.

Son erreur relative est donc εrel = 90

1000× 100 = 9,33 %.

Arrondi d’erreur

Le résultat d’une mesure physique et son erreur s’arrondissent.

Pour cela, on regarde le premier chiffre significatif, c’est-à-dire non nul, de l’erreur (en partant de la gauche).

• S’il est supérieur ou égal à 5, c’est le seul qu’on garde.

• S’il est inférieur à 5, on garde également le chiffre suivant.

On arrondit ensuite au regard du chiffre suivant (le premier chiffre négligé).

Le résultat s’arrondit au même rang que son erreur.

Exemple :

On mesure expérimentalement que la tension aux bornes d’une résistance R est de (15,0 ± 0,9) V et le courant qui y circule est de (15,0 ± 0,5) mA. Par la loi d’Ohm, on a donc R = U/I = 1 kΩ.

L’erreur sur cette mesure, telle que calculée à la slide précédente, est de 93,33 Ω.

Elle s’arrondit à 90 Ω, et le résultat s’arrondit donc au rang des dizaines (tout ce qui suit les dizaines est remplacé par 0).

Le résultat devient donc 1000 Ω.


Calcul d’erreur

Soit la portée balistique p =v2 sin(2θ)

gd’un objet tiré à une vitesse v faisant initialement un angle θ

avec l’horizontale.

1. En considérant que v = (100,0 ± 2,0) m/s, θ = (40,0 ± 2,0)° et g = (9,81 ± 0,10) m/s², calculez p, son erreur et écrivez le résultat en respectant les règles d’arrondis vues aux TPs.

1. p =1002 sin(80°)

9,81= 1003,8815 m.

En appliquant la formule de Taylor : εp =𝜕p

𝜕vεv +

𝜕p

𝜕θεθ +

𝜕p

𝜕gεg

⇔ εp =sin(2θ)

g.𝜕v2

𝜕vεv +

v2

g

𝜕 sin(2θ)

𝜕θεθ + v

2 sin 2θ𝜕( ൗ1 g)

𝜕gεg

⇔ εp =sin(2θ)

g. 2v εv +

v2

g2 cos(2θ) εθ + v

2 sin 2θ−1

g²εg

⇔ εp =sin(80°)

9,81. 200 2 +

1002

9,812 cos(80°) 2 + 1002 sin 80°

−1

9,81²0,1 = 62,75 m.

On trouve donc p = (1000 ± 60) m.

Janvier 2018


Droite de régression

Pour tirer des paramètres de résultats expérimentaux on les porte en graphique.

• Si la loi suivie par les résultats est une loi linéaire, on les trace sur papier linéaire.

• Si la loi suivie par les résultats est une loi exponentielle, on les trace sur papier semi-logarithmique.

• Si la loi suivie par les résultats est une loi de puissance (ex : 3x2, 18x1/2, 4x-5, …), on les trace sur papier log-log.

On cherche ensuite à construire la droite de régression.

La meilleure droite est celle qui passe

• au plus près de tous les points expérimentaux

• si possible, par toutes les barres d’erreur

La loi suivie par les données peut ensuite être déterminée en choisissant deux points de la droite de régression et en employant la formule appropriée.

Remarque : La meilleure droite ne passe pasforcément par (0,0) ni par lesgraduations du papier !


Paramètres d’un graphique

Type de loi Loi linéaire Loi exponentielle Loi de puissance

Equation y = mx + p y = a ebx y = β xn

Type de graphiqueLinéaire

Les deux échelles sont linéaires

Semi-logUne échelle est linéaire, l’autre

logarithmique

Log-logLes deux échelles sont

logarithmiques

Paramètre 1 m =(y2 − y1)

(x2 − x1)b =

(ln(y2) − ln(y1))

(x2 − x1)n =

(log(y2)) − log(y1))

(log(x2) − log(x1))

Paramètre 2 p = y1 −mx1 = y2 − mx2 a = y1e−bx1 = y2e

−bx2 β = y1x1−n = y2x2

−n


a. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,125) et (v2,P2) = (1 ; 0,51).

b. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,1) et (v2,P2) = (0,8 ; 0,42).

c. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,15) et (v2,P2) = (0,65 ; 0,25).

Lecture et analyse d’un graphique

Novembre 2019

On a porté en graphique log‐log l’évolution du poids P d’une goutte d’eau en fonction de sa vitesse limite de chute vlimite, théoriquement donnée de manière générale par : P = b v

n . Le résultat est présenté ci‐dessous.

1. Quelle est la « meilleure » des trois droites proposées ? Entourez ET justifiez votre réponse.

a. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,125) et (v2,P2) = (1 ; 0,51).

b. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,1) et (v2,P2) = (0,8 ; 0,42).

c. La droite comprenant les points (v1,P1) = (0,5 ; 0,15) et (v2,P2) = (0,65 ; 0,25).


Lecture et analyse d’un graphique

Novembre 2019

On a porté en graphique log‐log l’évolution du poids P d’une goutte d’eau en fonction de sa vitesse limite de chute vlimite, théoriquement donnée de manière générale par : P = b v

n . Le résultat est présenté ci‐dessous.

2. À partir du graphique, déterminez les valeurs de n et du coefficient de frottement b de l’air sur la goutte.

3. Ce résultat est‐il compatible avec la valeur de (0,50 ± 0,05) Ns²/m² ? Justifiez.

2. La droite de régression passe par (v1,P1) = (0,5 ; 0,125) et (v2,P2) = (1 ; 0,51).

Dès lors, n =log P2 −log(P1)

log(v2)−log(v1)=

log 0,51 −log(0,125)

log 1 −log(0,5)= 2,029.

D’où, b = P1v1−n = P2v2

−n = 0,5102 Ns2m−2.

3. Le coefficient de frottements b calculé entre dans l’intervalle d’erreur [0,45 ; 0,55] de la valeur proposée, donc oui, les deux résultats sont compatibles.


Masse volumique et poussée d’Archimède

• Masse volumique : ρ =M

V.

• Loi d’Archimède : « Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de la part du fluide une force verticale, dirigée vers le haut (et ressort mouillé…). En grandeur, la poussée d’Archimède est égale au poids du volume de liquide déplacé.»

V, 𝜌sol

Ԧ𝑃𝐴𝑟𝑐ℎ |𝑃𝐴𝑟𝑐ℎ| = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒𝑉𝐼𝑚𝑚𝑔

| Ԧ𝐺| = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑉𝑠𝑜𝑙𝑔՜𝐺


Tension superficielle

• Les fluides tendent à minimiser leur surface de contact avec l’extérieur.

• Cela se fait sous l’effet des forces de tension superficielle F = γL.

• Conséquence 1 : les bulles prennent une forme sphérique.

• Conséquence 2 : un trou dans un film prend une forme circulaire.

• Conséquence 3 : une pièce, un insecte, … peuvent ne pas couler.


Université de Mons

Rappel de la manipulation fluides 1

1. Détermination de la masse volumique de l’éthanol

2 méthodes distinctes :

Eléonore Martin | Physique biomédicale : préparation à l’interro de TP | 12 novembre 2019

m M’ M

𝜌 =𝑀 −𝑚

𝑀′ − 𝑚𝜌′

Méthode du pycnomètre

M’’M M’

Méthode de la balance hydrostatique

𝜌 =𝑀 −𝑀′

𝑀 −𝑀′′𝜌′


Université de Mons


2. Détermination de la tension superficielle de l’éthanol dans un capillaire


h

Les forces de tension superficielle équilibrent le

poids de la colonne de liquide.

Pour un capillaire circulaire : 𝛾 =𝜌𝑑ℎ𝑔

4



Novembre 2019

Vous disposez d’un récipient cubique dont chacun des côtés mesure 5 cm et dont l’épaisseur des parois peut être négligée. Vous pesez d’abord le récipient vide et obtenez une masse de 75 g. Vous le remplissez ensuite complètement d’huile et mesurez, pour l’ensemble, une masse de 187,5 g.

1. A partir de ces mesures, calculez la masse volumique de l’huile. Exprimez‐la en kg/m³.

1. L’épaisseur des parois du récipient est négligeable.

Donc, le volume d’huile que le récipient contient est V = (0,05)³ = 1,25 ∙ 10-4 m³.

La masse de cette huile est de 187,5 g – 75g = 112,5 g = 0,1125 kg.

Donc, 𝜚 =𝑚ℎ𝑢𝑖𝑙𝑒

𝑉ℎ𝑢𝑖𝑙𝑒=

0,1125

1,25 ∙10−4= 900 𝑘𝑔/𝑚3.



Novembre 2019

Vous disposez d’un récipient cubique dont chacun des côtés mesure 5 cm et dont l’épaisseur des parois peut être négligée. Vous pesez d’abord le récipient vide et obtenez une masse de 75 g. Vous le remplissez ensuite complètement d’huile et mesurez, pour l’ensemble, une masse de 187,5 g.

2. Vous videz ensuite le récipient cubique, le posez à la surface de l’eau et constatez qu’il flotte.a. Réalisez un schéma des forces s’appliquant sur le récipient.b. Calculez, à partir d’un bilan de forces, le volume immergé du récipient.

2. Le récipient flotte, donc son poids égale la poussée d’Archimède :𝑃𝐴 = 𝐺

⇔ 𝜚𝑒𝑎𝑢 𝑉𝑖𝑚𝑚𝑒𝑟𝑔é 𝑔 = 𝑚𝑟é𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑔

⇔ 𝑉𝑖𝑚𝑚𝑒𝑟𝑔é =𝑚𝑟é𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡

𝜚𝑒𝑎𝑢

⇔ 𝑉𝑖𝑚𝑚𝑒𝑟𝑔é =75 ∙ 10−3

1000= 75 ∙ 10−6 𝑚3= 75 𝑐𝑚3

… c’est-à-dire 75/125 x 100 = 60% du volume total du récipient.


𝑃𝐴

Ԧ𝐺

Conservation du débit

• Le débit est la quantité de liquide traversant une section A donnée par unité de temps.

• Il est donc donné par :

𝑄 =Δ𝑉

Δ𝑡= 𝐴𝑣

• Comme la matière ne disparaît pas, si le fluide est incompressible et en l’absence de fuites, il est conservé : Q1 = Q2

v2

v1

Q1

Q2


Théorème de Bernoulli

Pour tout fluide parfait (non visqueux et incompressible), la conservation de l’énergie amène :

𝑃1 +1

2𝜌𝑣1

2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +1

2𝜌𝑣2

2 + 𝜌𝑔ℎ2

z

h1

h2

v2

v1

Q1

Q2


Université de Mons


But : vérifier le théorème de Bernoulli. 2 méthodes distinctes :

1. Détermination de la trajectoire

Bernoulli permet de prédire, en fonction de la hauteur de la colonne de liquide, la vitesse de sortie. La trajectoire est ensuite parabolique, et cette vitesse de sortie peut être liée à la position à l’arrivée :


Patm

y0

y1

Mouvement parabolique :

𝑣𝑜 = 𝑥 − 𝑥0𝑔

2(𝑦0 − 𝑦)

1/2

Bernoulli :

𝑣𝑜 = 2𝑔 ⋅ 𝑦1 − 𝑦𝑜 +𝑑𝑦1𝑑𝑡

2 1/2

≈ 2𝑔 ⋅ 𝑦1 − 𝑦𝑜1/2


Université de Mons

Fluides 2 : méthode du temps de demi-vieBut : vérifier le théorème de Bernoulli. 2 méthodes distinctes :

2. Temps de demi-vie

Bernoulli permet de prédire la variation de la hauteur de la colonne d’eau en fonction du temps. Elle est donnée par :

Dès lors, la hauteur de liquide peut être caractérisée par un temps de demi-vie :


𝑦 − 𝑦01/2 = 𝑦𝑖𝑛𝑖 − 𝑦0

1/2 − 𝑔/2 ⋅𝐴0𝐴1

𝑡

𝑇1/2 = 2− 1𝐴1𝐴0

𝑦1 − 𝑦0𝑔

1/2

h/2

Patm

hv0

Patm



Les pompiers se mobilisent pour éteindre un incendie au 10e étage d’un immeuble (hauteur = 30m). Le diamètre de sortie de leur lance d’incendie est de 5 cm, elle débite 360 litre/min et est connectée à une bouche d’incendie dont le diamètre de sortie est de 10 cm et qui est situé au niveau de la rue.

1. Calculez la vitesse de l’eau à la sortie de la bouche d’incendie et à la sortie de la lance d’incendie.

Novembre 2019

1. Par définition et conservation du débit :Q = A1v1 = A2v2

Or Q = 360l

minute= 360 ∙ 10−3

m3

minute= 0,006

m3

s.

Le rayon de sortie de la bouche d’incendie est de 5 cm, donc son aire est A1 = πR2 = π 0,05 2.

Le rayon de sortie de la lance d’incendie est de 2,5 cm, donc son aire est A2 = π 0,0252.

Dès lors, la vitesse à la sortie de la bouche d’incendie est v1 =Q

A1=

0,006

π 0,05 2= 0,7639

m

s, et la

vitesse à la sortie de la lance d’incendie est v2 =Q

A2=

0,006

π 0,025 2= 3,05577 = 3,056

m

s.



Les pompiers se mobilisent pour éteindre un incendie au 10e étage d’un immeuble (hauteur = 30m). Le diamètre de sortie de leur lance d’incendie est de 5 cm, elle débite 360 litre/min et est connectée à une bouche d’incendie dont le diamètre de sortie est de 10 cm et qui est situé au niveau de la rue.

2. Pour que l’eau puisse sortir de la lance d’incendie, il faut que sa pression soit supérieure à la pression atmosphérique (Patm = 101325 Pa). Quelle doit être la valeur minimale de la pression à la sortie de la bouche d’incendie ?On suppose que l’eau est un fluide parfait incompressible.

Novembre 2019

2. Par conservation du débit, v1 = 0,7639 m/s et v2 = 3,056 m/s.

Par le théorème de Bernoulli :

P1,min +1

2ϱv1

2 + ϱgh1 = P2,min +1

2ϱv2

2 + ϱgh2

⇔ P1,min = Patm +1

2ϱv2

2 + ϱgh2 −1

2ϱv1

2 − ϱgh1

⇔ P1,min = 101325 +1

21000 ∙ 3,0562 + 1000 ∙ 10 ∙ 30 −

1

21000 ∙ 0,76392 = 405700 Pa.


Université de Mons

Merci pour votre attention, et bon courage !

Université de Mons

Un dangereux virus cause une épidémie dans un petit pays d’Afrique. On recense le nombre de personnes atteintes par ce virus en fonction du temps, et on porte le résultat en graphique, représenté ci-dessous. La propagation de l’épidémie est décrite par la loi

N = N0 et/τ

a) Quelle est la meilleure des trois droites de régression proposées ?

b) De combien de malades est partie l’épidémie ? [Considérez ici (t1 ; N1) = (1,3 ; 4,5) et (t2 ; N2) = (7,7 ; 410)]

a) La courbe orange.

b) τ =t2−t1

ln N2 −ln N1= 1,42 j.

Donc,

N0 = N1e−t1τ = 1,81.

L’épidémie est probablement partie de 2 malades.

Physique biomédicale : préparation à l’interro de TP 12 novembre 2019

Exercices supplémentaires : analyse graphique | calcul d’erreur | principe d’Archimède | théorème de Bernoulli

Analyse graphique

Syllabus de TP

Université de Mons

Soient a = (1,360 ± 0,005) m/s, b = (162,0 ± 1,0) cm et θ = (35,0 ± 0,5)°. Calculez 𝑥 =a sin 𝜃

𝑏, son erreur

absolue et son erreur relative. Ecrivez correctement le résultat avec les règles d’arrondi vues au TP.

Les unités de la grandeur x seront des m/s

m= s−1 = Hz.

On a x =1,36 × sin(35°)

162 ×10−2= 0,4815 Hz.

Par la formule de Taylor, εx =𝜕x

𝜕aεa +

𝜕x

𝜕bεb +

𝜕x

𝜕θεθ

Donc, εx =sin θ

bεa + −

a sin θ

b2εb +

a cos θ

bεθ

⇔ ε𝑥 =sin(35°)

162 ×10−2× 0,005+ −

1,36 sin(35°)

162 ×10−2 2× 1,0 × 10−2 +

1,36 cos(35°)

162 ×10−2× 0,5 ×

2π

360= 0,01074 Hz.

Ecrit correctement, on a donc x = (0,482 ± 0,011) Hz.

L’erreur relative est de 0,011

0,182× 100 = 2,282%.



Calcul d’erreur

Décembre 2016

Université de Mons

Pierrot fait la sieste au bord d'une rivière d'eau (qu’on considère pure). Le temps est clair, la température estd'environ 20°C. Soudain, un cylindre de composition inconnue passe devant lui en flottant à la surface del'eau. Pierrot aimerait connaitre la nature du matériau constituant le tube ainsi que sa masse. Au péril de savie, Pierrot repêche le tube. Pour savoir de quel matériau il s'agit, il souhaiterait déterminer la massevolumique du cylindre.

Notre ami Pierrot avait justement sur lui un tableau des masses volumiques de différents composés sous desconditions normales de température et pression (20°C et 1 atm) donné ci-dessous.

Sachant que le cylindre a une section de 10 cm de diamètre et est long de 18,5 cm et sachant que la moitié deson volume était immergé quand il flottait à la surface de l'eau, déterminez de quoi se compose le cylindreainsi que la masse du cylindre. Le cylindre est supposé parfaitement homogène.

Le volume du cylindre est donné par V =πd2h

4= 1,453 x 10-3 m³.

Lorsqu’il flotte à la surface, son poids est entièrement compensé par la poussée d’Archimède. On a donc :

mg = ϱeau Vimg = ϱeauV

2g

Dès lors, m = ϱeauV

2= 0,7265 kg.

En outre, ϱ =m

V=

ϱeau

2= 500 kg/m3, ce qui correspond au pin.


Table des masses volumiques (avec T = 20°C et P = 1 atm) en kg/m³

Acier 7850 Plomb 11350 Ébène 1150

Cuivre 8920 Titane 4500 Liège 240

Fer 7860 Acajou 700 Platane 650

Laiton 8400 Buis 1320 Sapin 450

Or 19300 Pin 500 Tack 860


Principe d’Archimède

Décembre 2016

Université de Mons

Au laboratoire, vous désirez calculer la masse volumique du cuivre. Pour ce faire, vous mesurez la masse d’un cylindre de cuivre dans l’air (mcyl = 0,0896 kg) et la masse apparente de ce même cylindre dans l’éthanol (mapp = 0,0817 kg).

1. Sachant que la masse volumique de l’éthanol est de 0,79 g/cm³, calculez celle du cuivre.

1. Par définition de la masse volumique,Mcyl = ϱCu Vcyl


Par ailleurs, par l’équilibre des forces agissant sur le cylindre dans l’éthanol,Gapp = Gcyl − PArch

⇔mappg = mcylg − ϱethVcylg

⇔mapp = mcyl − ϱethVcyl

⇔ Vcyl =mcyl−mapp

ϱeth=

0,0896 −0,0817

790= 10−5 m3

On trouve donc :

ϱCu =mcyl

Vcyl=

0,0896

10−5= 8960 kg/m3


Décembre 2015

Principe d’Archimède

Université de Mons

2. Pour notre plus grand plaisir, les autorités communales de Mons ont décidé que de la fontaine de la Grand-Place jaillirait désormais de l’éthanol (voir schéma ci-dessous).

Les autorités veulent que la vitesse de l’éthanol à la sortie soit de 8 m/s. Si le diamètre du tuyau à la sortie est de 2 cm et que le diamètre de la canalisation acheminant l’éthanol jusqu’à la fontaine est de 4 cm, quelle doit être la pression dans la canalisation en supposant que le centre de cette dernière soit enterrée à 1 m sous le sol ?

[g = 10 m/s², Patm = 100 kPa, on néglige les frottements]

2. Soit v1 la vitesse de l’éthanol au niveau de la canalisation, v0 à la sortie. Soient A0 et A1 les sections du tuyau respectivement à la sortie et au niveau de la canalisation. Par l’équation de continuité, nous avons :

A1v1 = A0v0 ⇔ v1 =A0v0A1

=v04= 2m/s


1m

Sol

4cm

2cm

Par Bernoulli, avec P0 la pression à l’entrée et P1 à la sortie, h0 la hauteur de l’entrée et h1la hauteur du sol :

P1 +1

2ϱ v1

2 + ϱ g h1 = P0 +1

2ϱv0

2 + ϱ g h2

⇔ P1 = P0 +1

2ϱ v0

2 − v12 + ϱg h0 − h1 = 10

5 +790

282 − 22 + 790 × 10 × 1 = 131600 Pa


Décembre 2015


Université de Mons

Pour éteindre un incendie, les pompiers relient leur lance à une des sorties d’une borne incendie aupoint B. La borne incendie est reliée à un réservoir d’eau qui permet aux pompiers de mobiliser 115200 litres d’eau en deux heures. La pression de l’eau quand elle arrive à la borne incendie au point Aest de 109 990 Pa. On suppose la pression atmosphérique égale à 100 000 Pa.

Voici le schéma de la borne incendie. On considère que l’eau est un fluide sans viscosité. Que vaut lediamètre de sortie de la borne d’incendie ?

On sait que PA = 109 990 Pa, PB = Patm = 100 000 Pa, RA = 0,1 m et hB = 0,5 m.


Par ailleurs, Q = 115 200 / 2 = 57 600 l/h ;

Dès lors, Q = 57600 × 10−3 ÷ 3600 = 0,016 m3/s.

La vitesse au point A est donc vA =Q

SA=

0,016

π ×0,12= 0,5093 m/s.

Par Bernoulli, la vitesse au point B est donc :

vB =PA−PB+

1

2ρvA

2+ ρghA − ρghBρeau2

= 3,200 m/s.

Par conservation du débit, la surface B est donc SB =Q

vB= 0,005 m2.

Le diamètre de sortie de la borne est donc de dB = 2 ×SB

π= 7,98 cm.



Décembre 2013

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