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8/17/2019 treillis.pdf

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Méthode des éĺements finis :treillis plans à nœuds articulés

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

Département Génie Mécanique et Productique

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

24 mars 2006 – 29 mars 2011

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html


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Table des matières

Introduction 3

1 Matrices ́elémentaires 3

2 Exemple 1 : treillis soumis à une force nodale 6

2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Partition des degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Efforts normaux dans les éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Exemple 2 : treillis soumis à une force nodale 8

3.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Partition des degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Efforts normaux dans les éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Exemple 3 : treillis soumis à une variation de température 10

4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Partition des degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Étude élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Premier cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.1 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.2 Efforts normaux dans les éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5 Deuxième cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.1 Assemblage et calcul des déplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.2 Efforts normaux dans les éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Programmes Maple 14

5.1 tre mat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Références 16


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Treillis plans à nœuds articulés 3

Introduction

Un treillis est un ensemble de poutres droites (éléments) reliées entre elles par des rotules (nœuds).Les liaisons extérieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces portées parles rotules, des gradients thermiques et des déplacements d’appui. La force intérieure dans unesection droite se réduit à l’effort normal.

Le treillis est plan si :

– Le plan {O; x, y} est un plan de symétrie pour toutes les sections droites.– Les forces appliquées sont situées dans le plan {O; x, y}.

On suppose que les déplacements sont petits.

1 Matrices élémentaires

Soit (i → j) un élément de treillis plan de section droite constante (figure 1).

Figure 1 – ´ Elément i → j

L est la longueur de l’élément et A l’aire de sa section droite.

(xi , yi) et (x j , y j) sont les coordonnées des nœuds de l’élément.

Le vecteur unitaire n porté par l’axe de la poutre est défini par :

nxny

=

1

L

x j − xiy j − yi

=

cos θsin θ

, L2 = (x j − xi)2 + (y j − yi)2 (1.1)

où θ est l’angle que fait n avec l’axe x.

E et α sont respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau.

L’éĺement est soumis à un effort normal N (positif : traction, négatif : compression) et à une variation

de température ∆T constante.


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4 Méthode des éléments finis

(ui, vi) et (u j , v j) sont les déplacements nodaux (figure 2).

Figure 2 – Déplacements élémentaires

Les efforts aux extrémités de l’élément sont (figure 3) :

− N n en i , N n en j (1.2)

Figure 3 – Efforts élémentaires

Différentions la relation :L2 = (x j − xi)2 + (y j − yi)2 (1.3)

Il vient :2 L dL = 2 (x j − xi) (dx j − dxi) + 2 (y j − yi) (dy j − dyi) (1.4)

d’où l’expression de l’allongement unitaire suivant n :

εn = dL

L =

1

L

(x j − xi)

L (dx j − dxi) + (y j − yi)

L (dy j − dyi)

(1.5)

soit :

εn = 1

L

( nx (u j

−ui) + ny (v j

−vi) ) (1.6)

Cet allongement unitaire est dû à l’effort normal (loi de Hooke) et à la variation de température :

εn = N

EA + α ∆T (1.7)

L’effort normal s’écrit en fonction des déplacements nodaux :

N = E A (εn − α ∆T )=

EA

L ( nx (u j − ui) + ny (v j − vi) ) − EA α ∆T

(1.8)

soit :

N = EA

L

−nx −ny nx ny

uiviu jv j

− EA α ∆T (1.9)


5/16


On en déduit :

{f nod} = [ k ] {u} − {f th} (1.10a)avec :

{f nod} = N −

nx−ny

nxny

, {u} =

uiviu jv j

(1.10b)

[ k ] = EA

L

−nx−ny

nxny

−nx −ny nx ny = EA

L

n2x nx ny −n2x −nx nyn2y −nx ny −n2y

n2x nx nysym. n2y

(1.10c)

{f th

}= E A α ∆T

−nx−ny

nxny

(1.10d)

{f nod} est le vecteur force nodal (N).

{u} est le vecteur déplacement élémentaire (m).

[ k ] est la matrice de rigidité (N/m).

{f th} est le vecteur force équivalent au gradient thermique (N).

Remarque 1 : la matrice de rigidité peut se mettre sous la forme :

[ k ] =

[k̄] −[k̄]−[k̄] [k̄]

avec [k̄] =

EA

L

n2x nx ny

nx ny n2y

(1.11)

Remarque 2 : la matrice de rigidité est égale à :

[ k ] =

nx 0ny 00 nx0 ny

EAL

1 −1−1 1

nx ny 0 00 0 nx ny

(1.12)

ou :

[ k ] =

nx −ny 0 0ny nx 0 00 0 nx −ny0 0 ny nx

EAL

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

nx ny 0 0−ny nx 0 0

0 0 nx ny0 0 −ny nx

(1.13)

Remarque 3 : l’énergie de déformation est égale à (à un coefficient près indépendant des déplacementset de leurs dérivées) :

E def = 1

2 E A ε2n L− EA εn α ∆T L

= 1

2{u}T [ k ] {u} − {u}T {f th}

(1.14)

Le travail des forces extérieures se réduit au travail des forces nodales :

W ext = {u}T {f nod} (1.15)


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L’énergie potentielle est égale à :

E pot = E def − W ext (1.16)

La matrice de rigidité est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l’énergie de déformation parrapport aux déplacements nodaux (programme tre mat) :

kij = ∂ 2E def

∂ui ∂uj(= kji) (1.17)

Le vecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l’énergie de déformation par rapport aux dépla-cements nodaux :

f nod,i = ∂E def

∂ui(1.18)

2 Exemple 1 : treillis soumis à une force nodale

2.1 Énoncé

Le treillis plan à noeuds articulés représenté sur la figure 4 est com-

Figure 4 – Exemple 1

posé de trois poutres de même nature et de même section droite.

Soient E le module de Young du matériau et A l’aire des sectionsdroites.

Le noeud 1 est articulé et le nœud 3 repose sur un appui simple dontla normale est horizontale.

Le noeud 2 porte une charge de composantes (0, P ).

Application numérique : on donne :

A = 100 mm2 , L = 0.2 m , E = 200000 MPa , P = −10000 N

2.2 Partition des degrés de liberté

Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

{U L} =

u2v2v3

, {U S } =

u1v1u3

d’où {U } =

{U L}{U S }

=

u2v2v3u1v1u3

On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales :

{DDL} =

u1 → 0v1 → 0u2 →

1v2 → 2u3 → 0v3 → 3


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2.3 Étude élémentaire

– coordonnées nodales :nœud x y

1 0 L2 L 03 0 −L

– élément 1 → 2 :caractéristiques : L

√ 2 , A , E , nx =

1√ 2

, ny = − 1√ 2

{ddl1−2} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 1v2 → 2

, [k1−2] = EA

2√

2 L

1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −1 −1 1

– élément 3

→1 :

caractéristiques : 2 L , A , E , nx = 0 , ny = 1

{ddl3−1} =

u3 → 0v3 → 3u1 → 0v1 → 0

, [k3−1] = EA

2 L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1


√ 2 , A , E , nx =

1√ 2

, ny = 1√

2

{ddl3−2

}=

u3 → 0v3 → 3u2 → 1v2 → 2

, [k3−2] =

EA

2√ 2 L

1 1 −1 −11 1 −1 −1−1 −1 1 1−1 −1 1 1

2.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus

Les déplacements inconnus sont les solutions de l’équation [K LL]{U L} = {F nod,L} :

EA

2√

2 L

2 0 −10 2 −1−1 −1 1 + √ 2

u2v2v3

=

0P

0

d’où (programme exemple 1) :

u2 = P L2 EA

= −0.050mm , v2 = P L2 EA (1 + 2√ 2) = −0.191mm

v3 = P L

EA = −0.100mm

2.5 Efforts normaux dans les éléments

Ils sont calculés à l’aide de la formule (1.8) :

N 1−2 = EA

L√

2

1√

2u2 − 1√

2v2

= −P

√ 2

2 = 7071 N

N 3−1 =

EA

2 L (−v3) = −P

2 = 5000N

N 3−2 = EA

L√

2

1√

2u2 +

1√ 2

( v2 − v3)

= P √

2

2 = −7071N


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2.6 Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calculées à partir des efforts normaux (équation 1.2) :

– nœud 1 : F 1 = −N 1−2 n1−2 + N 3−1 n3−1 d’où

F 1x = − 1√ 2

N 1−2 = P

2 = −5000N , F 1y = 1√

2N 1−2 + N 3−1 = −P = 10000N

– nœud 3 :

F 3 = −N 3−1 n3−1 − N 3−2 n3−2 d’où

F 3x = − 1√ 2

N 3−2 = −P 2

= 5000N

Remarque : l’équilibre de la structure est vérifié :

F 1x + F 2x + F 3x = 0 , F 1y + F 2y + F 3y = 0 , −2 LF 1x − LF 2x + LF 2y = 0

3 Exemple 2 : treillis soumis à une force nodale

3.1 Énoncé

Le treillis plan représenté sur la figure 5 est composé de trois


poutres de même section.

Soient E le module de Young du matériau et A l’aire des sec-tions droites.

Le nœud 1 est articulé et le nœud 2 repose sur un appui simpledont la normale est horizontale.

Le nœud 3 porte une charge d’intensité (P, 3 P, 0).

Application numérique : on donne :

A = 100 cm2 , E = 200000 MPa , L = 0.7 m , P = −120 kN



{U L} = v2u3v3

, {U S } =

u1v1u2

d’où {U } =

{U L}{U S }

=

v2u3

v3u1v1u2


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{DDL} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 0v2 → 1u3 → 2v3 → 3



1 0 02 0 L

3 L 0– élément 1 → 2 :caractéristiques : L , A , E , nx = 0 , ny = 1

{ddl1−2} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 0v2 → 1

, [k1−2] = EA

L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

– élément 1 → 3 :caractéristiques : L , A , E , nx = 1 , ny = 0

{ddl1−3} =

u1 → 0v1 → 0

u3 → 2v3 → 3

, [k1−3] = EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0


√ 2 , A , E , nx =

1√ 2

, ny = −1√

2

{ddl2−3} =

u2 → 0v2 → 1u3 → 2v3 →

3

, [k2−3] =

EA

2√

2 L

1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −

1 −

1 1

3.4 Assemblage et calcul des déplacements inconnus

Les déplacements inconnus sont les solutions de l’équation [K LL]{U L} = {F nod,L} :

EA

2√

2 L

1 + 2

√ 2 1 −1

1 1 + 2√

2 −1−1 −1 1

v2u3v3

=

0P

3 P


v2

=

3 P L

EA = −0.126 mm

u3 = 4 P L

EA = −0.168 mm , v3 = (7 + 6

√ 2) P L

EA = −0.650 mm


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3.5 Efforts normaux dans les éléments


N 1−2

=

EA

L v2

= 3 P = −360 kNN 1−3 =

EA

L u3 = 4 P = −480 kN

N 2−3 = EA

L√

2

1√

2u3 − 1√

2( v3 − v2)

= −3

√ 2 P = 509 kN

3.6 Actions de liaison


– nœud 1 : F 1 = −N 1−2 n1−2 − N 1−3 n1−3 d’où

F 1x = −N 1−3 = −4 P = 480 kN , F 1y = −N 1−2 = −3 P = 360 kN– nœud 2 :

F 2 = N 1−2 n1−2 − N 2−3 n2−3 d’où

F 2x = − 1√ 2

N 2−3 = 3 P = −360 kN


F 1x + F 2x + F 3x = 0 , F 1y + F 2y + F 3y = 0 , LF 3y − LF 2x = 0

4 Exemple 3 : treillis soumis à une variation de température

4.1 Énoncé

Le treillis plan à noeuds articulés représenté sur la figure 6 est composé de trois poutres de mêmematériau et de même section droite.


Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du matériau.

Soit A l’aire des sections droites.


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Les nœuds 1, 2 et 4 sont liés à l’extérieur par une rotule.

Premier cas de charge : la structure est soumise à une variation de température ∆T .

Deuxième cas de charge : la poutre (2 − 3) est soumise à une variation de température ∆T .Application numérique : on donne :

A = 100 mm2 , L = 0.1 m , E = 200000 MPa , α = 10−5 K−1 , ∆T = 100 K



{U L} =

u3v3

, {U S } =

u1

v1u2v2u4v4

d’où {U } ={U L}{U S }

=

u3

v3

u1v1u2v2u4v4


{DDL} =

u1 → 0v1

→0

u2 → 0v2 → 0u3 → 1v3 → 2u4 → 0v4 → 0



1 0 02 L 03 L L4 2 L L

– élément 1 → 3 :

caractéristiques : L√

2 , A , E , α , nx = 1√

2, ny =

1√ 2

{ddl1−3} =

u1 → 0v1 → 0u3

→1

v3 → 2

[k1−3] = EA

2√

2 L

1 1 −1 −11 1 −1 −1

−1

−1 1 1

−1 −1 1 1

{f th,1−3} = 1√

2EA α ∆T

−1−11

1

– élément 2 → 3 :caractéristiques : L , A , E , α , nx = 0 , ny = 1


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{ddl2−3} =

u2 → 0v2 → 0u3 → 1v3 → 2

[k2−3] =

EA

L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

{f th,2−3} = E A α ∆T

0−101

– élément 3 → 4 :

caractéristiques : L , A , E , α , nx = 1 , ny = 0

{ddl3−4} =

u3 → 1v3 → 2u4 → 0v4 → 0

[k3−4] = EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

{f th,3−4} = E A α ∆T

−1010

4.4 Premier cas de charge

4.4.1 Assemblage et calcul des déplacements inconnus

Les déplacements inconnus sont les solutions de l’équation [K LL]{U L} = {F th,L} :EA

2√

2 L

1 + 2

√ 2 1

1 1 + 2√

2

u3v3

=

1

2 E A α ∆T

√ 2 − 2√ 2 + 2


u3 = (√

2 − 2) L α ∆T = −0.0586 mm , v3 =√

2 L α ∆T = 0.1414 mm

4.4.2 Efforts normaux dans les éléments


N 1−3 = EAL√

2

1√

2u3 + 1√

2v3− EA α ∆T = (√ 2 − 2) EA α ∆T = −11716N

N 2−3 = EA

L v3 − EA α ∆T = (

√ 2 − 1) EA α ∆T = 8284 N

N 3−4 = EA

L (−u3) − EA α ∆T = (1 −

√ 2) EA α ∆T = −8284N

4.4.3 Actions de liaison


– nœud 1 : F 1 = −N 1−3 n1−3 d’où :F 1x = − 1√

2N 1−3 = (

√ 2− 1) EA α ∆T = 8284 N , F 1y = F 1x = 8284 N

– nœud 2 : F 2 = −N 2−3 n2−3 d’où :

F 2x = 0 , F 2y = −N 2−3 = (1−√

2) EA α ∆T = −8284N– nœud 4 :

F 4 = N 3−4 n3−4 d’où :

F 4x = N 3−4 = (1−√

2) EA α ∆T =−

8284 N , F 4y = 0


F 1x + F 2x + F 4x = 0 , F 1y + F 2y + F 4y = 0 , L F 2y − L F 4x = 0


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4.5 Deuxième cas de charge

4.5.1 Assemblage et calcul des déplacements inconnus

Les déplacements inconnus sont les solutions de l’équation [K LL]

{U L

}=

{F L

} :

EA

2√

2 L

1 + 2

√ 2 1

1 1 + 2√

2

u3v3

= E A α ∆T

01


u3 = 1 −√ 2

2 L α ∆T = −0.0207 mm , v3 = 3−

√ 2

2 L α ∆T = 0.0793 mm

4.5.2 Efforts normaux dans les éléments


N 1−3 = EA

L√

2

1√

2u3 +

1√ 2

v3

=

2 −√ 22

EA α ∆T = 5858N

N 2−3 = EA

L v3 − EA α ∆T = 1 −

√ 2

2 EA α ∆T = −4142N

N 3−4 = EA

L (−u3 ) =

√ 2 − 1

2 EA α ∆T = 4142 N

4.5.3 Actions de liaison


– nœud 1 : F 1 = −N 1−3 n1−3 d’où :

F 1x = − 1√ 2

N 1−3 = 1 −√ 2

2 EA α ∆T = −4142N , F 1y = F 1x = −4142N

– nœud 2 : F 2 = −N 2−3 n2−3 d’où :

F 2x = 0 , F 2y = −N 2−3 =√

2 − 12

EA α ∆T = 4142 N

– nœud 4 : F 4 = N 3−4 n3−4 d’où :

F 4x = N 3−4 =

√ 2 − 1

2 EA α ∆T = 4142 N , F 4y = 0


F 1x + F 2x + F 4x = 0 , F 1y + F 2y + F 4y = 0 , L F 2y − L F 4x = 0


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5 Programmes Maple

Les programmes suivant se trouvent dans le fichier treillis.txt.

5.1 tre mat

# calculs élémentaires

restart:with(linalg):

# allongement unitaire

eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(vj-vi))/L;

# énergie de déformation

Edef:=EA*eps^2*L/2-eps*EA*alpha*DT*L;

# matrice de rigiditék:=hessian(Edef,[ui,vi,uj,vj]);

# efforts nodaux

fnod:=grad(Edef,[ui,vi,uj,vj]);

# remarque

k:=jacobian(fnod,[ui,vi,uj,vj]);

# vecteur dû au gradient thermique

fth:=-jacobian(fnod,[DT]);

5.2 exemple 1


# application numérique

#L:=200;E:=200000;A:=Pi*30^2/4;P:=-10000;

# matrice de rigidité

KL:=matrix([[2,0,-1],[0,2,-1],[-1,-1,1+sqrt(2)]]):

KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L);

# vecteur FL

FL:=vector([0,P,0]);

# calcul des déplacements nodaux

UL:=linsolve(KL,FL);

#evalf(%);


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5.3 exemple 2



# L:=700;E:=200000;A:=10000;P:=-120e3;


KL:=matrix([[1+2*sqrt(2),1,-1],[1,1+2*sqrt(2),-1],[-1,-1,1]]):


# vecteur FL

FL:=vector([0,P,3*P]);

# calcul des déplacements nodauxUL:=linsolve(KL,FL);

#evalf(%);

5.4 exemple 3



#L:=100;E:=200000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100;


x:=1+2*sqrt(2):

KL:=matrix([[x,1],[1,x]]):


# vecteurs F

x:=E*A*alpha*DT/2:

FLcas1:=vector([(sqrt(2)-2)*x,(sqrt(2)+2)*x]);

FLcas2:=vector([0,E*A*alpha*DT]);

# calcul des déplacements nodaux

ULcas1:=linsolve(KL,FLcas1);

ULcas2:=linsolve(KL,FLcas2);

# map(evalf,ULcas1);

# map(evalf,ULcas2);


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Références

[1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebung-smethode in der statik , Vieweg, 1986.

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[6] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrançois – Méthode des éléments finis , Hermès, 2005.

[7] F. Frey – Traité du génie civil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statique appliquée , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.

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[9] F. Frey et J. Jirousek – Traité du génie civil, Volume 6. Méthode des éléments finis , PressesPolytechniques et Universitaires Romandes, 2001.

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[11] — , Dimensionnement des structures. Une introduction , Hermès, 1999.

[12] J.-F. Imbert – Analyse des structures par éléments finis , 3 éd., Cépaduès, 1995.

[13] S. Laroze – Mécanique des structures, Tome 2. Théorie des poutres , 2 éd., Eyrolles/Masson,

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