Triangles rectangles I.Mdiatrice dun triangle et cercle circonscrit a)Mdiatrice dun segment

DfinitionLa mdiatrice dun segment est constitue de tous les points quidistants des extrmits de ce segmentTriangles rectanglesI.Mdiatrice dun triangle et cercle circonscrita)Mdiatrice dun segment

PropritLa mdiatrice dun segment est une droite, cest la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire

b.Mdiatrices dun triangleDfinitionUne mdiatrice dans un triangle est la mdiatrice dun ct.PropritIl y a 3 mdiatrices dans un triangle.PropritLes trois mdiatrices dun triangle sont concourantes en mme point.

c.Cercle circonscrit

PropritIl existe un cercle passant par les trois sommets dun triangle, son centre est le point dintersection des 3 mdiatricesDfinitionLe cercle passant par les trois sommets dun triangle est appel cercle circonscrit au triangle.Le point dintersection des trois mdiatrices est appel centre du cercle circonscrit au triangle.Pour tracer le cercle circonscrit un triangle, il suffit de tracer 2 mdiatrices pour dterminer le centre du cercle.

II.Triangle rectangle et cercle circonscritPropritSi un triangle est rectangleAlors Le milieu de lhypotnuse est le centre du cercle circonscrit Lhypotnuse est un diamtre du cercle circonscrit

La longueur de la mdiane issue de langle droit vaut la moiti de la longueur de lhypotnusePropritSi un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamtre est lun des cts Alors le triangle est rectangle et son hypotnuse est le diamtrePropritSi dans un triangle, la longueur de la mdiane issue dun sommet vaut la moiti de la longueur du ct opposAlors le triangle est rectangleIIIApplicationsa.Montrer quun point est sur un cercleABC triangle tel que BC = 4 cm

I milieu de [BC].Prouver que le cercle de diamtre [BC] passe par le point A.Calculer IA.Donnes:

PropritOr la somme des angles dun triangle vaut 180 ConclusionDonc ABC rectangle en ADonnesABC triangle rectangle en AProprit Si un triangle est rectangleAlors lhypotnuse est un diamtre du cercle circonscritConclusionDonc le cercle circonscrit ABC est de diamtre [BC] donc A est sur ce cercleDonnesABC triangle rectangle en A (IA) mdiane issue de APropritOr si un triangle est rectangle Alors la longueur de la mdiane issue de langle droit vaut la moiti de la longueur de lhypotnuseConclusiondonc IA = BC/2 = 2cm

b.Dmontrer que 2 droites sont perpendiculaires.ABC triangle, C cercle de diamtre [AB] coupe (BC) en HDmontrer que (AH)

(BC)DonnesC cercle circonscrit ABH de diamtre [AB]Proprit Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamtre est lun des cts Alors le triangle est rectangle et son hypotnuse est le diamtreConclusion Donc ABH triangle rectangle en H et (AH)

(BC)

IV.Tangente un cercleUn cercle coupe une droite en 0, 1 ou 2 points.

OH est la distance du centre du cercle la droiteR est le rayon du cercle OH>ROH=ROH