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Les unités de mesures des angles

Inutile de rappeler la célèbre valeur de pi (3,1415926535...) arrondie à 3,1416.

Les angles s'expriment de trois manières différentes :

Degré Radian Grade

Dans un tour complet de cercle, il y a

360 degrés 2 pi radian 400 grades

La mesure se fait à partir du coté droit et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

De par cette définition, le point le plus en haut est donc égale à 90° ou 100 grades ou pi/2 radian.

Remarque : Les langages de programmation (Basic, Pascal, C...), quelque soit leur version, expriment les angles uniquement en radian. Il faut donc d'abord convertir l'angle en radian avant d'en demander le sinus, le cosinus ou la tangente. Idem quand à partir de

la valeur d'un sinus ou d'une tangente on en demande l'angle (fonctions arcsinus et arctangente). Dans ce dernier cas l'angle renvoyé est systématiquement en radian, il faut

en faire une conversion si l'on veut cet angle en degré ou en radian.

Formules de conversion des angles

Angle en radian = pi * (angle en degré) / 180 Angle en radian = pi * (angle en grade) / 200

Angle en grade = 200 * (angle en degré) / 180 Angle en grade = 200 * (angle en radian) / pi

Angle en degré = 180 * (angle en radian) / pi Angle en degré = 180 * (angle en grade) / 200

Dans ce chapitre nous nous exprimerons uniquement en degré

Schéma

Triangle rectangle inclut dans le cercle :

Dans un cercle d'équation R2 = X2 + Y2 :

R2 = X2 + Y2

R est le rayon équivalent à l'hypoténuse du triangle rectangle, X la base du triangle,

Y le coté opposé du triangle.

Avec α représentant l'angle alpha.

Équations de base

Définition

sin α = Y / R (le sinus est égal à la division du coté opposé par l'hypoténuse). cos α = X / R (le cosinus est égal à la division de la base par l'hypoténuse). tg α = Y / X (la tangente est égale à la division du coté opposé par la base).

cotg α = X / Y = 1 / tg α (la cotangente est l'inverse de la tangente, donc égale à la division de la base par le coté opposé).

Déduction

tg α = sin α / cos α sin2α + cos2α = 1 (application du théorème de Pythagore)

Déduction des équations de base

Étant donné que

et

alors

d'où

Particularité de certains angles

Dans les exemples qui suivent, on prendra comme rayon l'unité (r = 1).

Triangle rectangle de coté opposé égale à la base (triangle pris dans un carré)

Prenons la diagonale d'un carré inclus dans un cercle. Cette diagonale représente l'hypoténuse du carré (ou le rayon du cercle). Dans un carré, les côtés étant égaux et

l'angle a égale à 45°, on peut poser r = 2n2. Avec un rayon à 1, cela donne :

n =

d'où

cos 45° =

sin 45° =

La tangente étant le côté opposé sur la base, les deux côtés étant égaux, d'où : tg 45° = 1. L'inverse (la cotangente) est par définition aussi égale à 1.

Triangle équilatéral

Les angles sont donc tous égaux à 60°. Avec un triangle rectangle appliqué dans ce triangle équilatéral, on peut avoir une base égale à la moitié du côté opposé.

Le triangle équilatéral appliqué à un cercle ayant comme rayon l'unité, on a un cosinus égale à 1/2.

Pour α = 60° et avec x2 + y2 = 1 (Pythagore)

cos2 60° + sin2 60° = 1

sin2 60° = 1 - cos2 60°

avec cos 60° = 1/2, cela donne

sin2 60° = 1 - (1/2)2 = 1 - 1/4

sin2 60° = (4 - 1)/4

sin2 60° = 3/4

d'où

avec tg 60° = sin 60° / cos 60°, cela donne

d'où

De la même manière, on montre que

Récapitulatif

Par définition la tangente de 90° est logiquement 1/0. Mais comme la division par zéro est impossible, il n'y a donc pas de tg 90°. Tg 90° serait égale à l'infini.

Idem pour cotg 0°.

Tableau récapitulatif :

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