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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs
exemples dapplication Soit la suite udfinie sur par
Pour un entier naturelpdonn, dterminer un entier naturel ntel
que :
En dduire que la suite est convergente et dterminer sa
limite.
corrig commentComme alors donc pour tout nde ,
Dterminons ntel que
soit soit soit
cest--dire car do
Donc si on pose tous les termes de la suite partir de un
sont
dans lintervalle ouvertIndication :quel que soit lentier p
choisi, donc quel que soit lintervalle ouvert decentre 1, cet
intervalle contient tous les termes de la suite partir dun certain
rang.
La suite (un) est donc convergente et sa limite est 1.
Soit la suite udfinie sur par
Dterminer par deux mthodes diffrentes la limite de
corrig comment Comme alors avec
car dans un voisinage de +.
donc, par quotient,
La suite utant la restriction de f , est divergente.
Or, sur , donc et par suite
donc par comparaison
unn 3+
n 2+-------------.=
1 10 p un 1 10p .+
un( )
n 3+ n 2,+ un 1 1 10p
un.
un 1 10p
+
n 3+n 2+------------- 1 10 p+ n 3+
n 2+------------- 1 10 p 1
n 2+------------- 10 p
10p n 2+ n 2 0+ n 10p 2.
N 10p 1+ 2,=
]1 10 p ;1 10p .[+
unn2 3+n 1+---------------.=
un( ).
unn2 3+n 1+---------------,= un f n( )= f x( )
x2 3+x 1+---------------
x x3x---+
1 1x---+
----------------------= =
x 0
donc
3x---
x +lim 0
=
x
x +lim +
=
3x--- x+
x +lim +
=
1 1x---+
x +lim 1
=
f x( )x +lim +
.
=
un( )
unn2 1 4+
n 1+-------------------------
n 1
4n 1+-------------.+= =
n 1+ 0 4n 1+------------- 0 n 1 4
n 1+-------------+ n 1
n 1( )x +lim +
= un( )
x+lim +
.
=
-
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CHAPITRE 2
SUITES NUMRIQUES
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Monotonie et proprits des suites
1.
Monotonie dune suite
Soit une suite relle etA
lintersection dun intervalle de
et de
. La suite est croissante
surA
, si quel que soit n
deA
: La suite est dcroissante
surA
, si quel que soit n
deA
: La suite est monotone
surA
, si quel que soit n
deA
, elle est crois-sante ou dcroissante. La suite est
stationnaire
, sil existe n
0
tel que pour tout
2.
Suites majores, minores, bornes
Thorme
:
toute suite croissante et majore est convergente.Toute suite
dcroissante et minore est convergente.
3.
Suites adjacentes
Dfinition
Deux suites et sont adjacentes si :
Thorme
Deux suites adjacentes sont convergentes vers une mme
limite.
Suite majore Suite minore Suite borne
Soit pour tout n
deA
, il existe un relMou un rel m
2
un( )un( ) un un 1+ .un( ) un un 1+ .un( )
un( ) n n0,un un
0
.=
A ,
un M un m m un M
un( ) vn( )
est croissante ;est dcroissante ;
pour tout ndeA, ;
un( )n Avn( )n A
un vn
un vn( )lim 0.=
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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs
exemples dapplication
Soit la suite dfinie sur
par tudier sa monotonie sur
.corrig commentIl existe une fonction fdfinie sur +telle que
avec :
Cette fonction fest rationnelle, dfinie et drivable sur +,
a le mme signe que lequel est positif pour :
Donc, pour si et seulement sipar suite la fonction fest
croissante sur sa restriction est croissante.Conclusion : la suite
est croissante pour tout entier naturel non nul.
Remarque :
et , donc u0a un comportement part dans la suite. La
monotonie dune suite est donne par le comportement de la majorit
des lments de (un).
Soit la suite udfinie sur par
On rappelle que, pour
tudier la monotonie de
corrig commentIndication : les unsont strictement positifs et se
prsentent sous la forme dun quo-tient donc on peut comparer 1.
; or
donc
Or, soit do car la fonction est stricte-
ment croissante sur + . Donc pour tout entier naturel non nul,
ce qui
signifie que la suite est strictement dcroissantesur
un( ) unn2 3+
n 1+---------------.=
un f n( )=
f x( ) x2 3+
x 1+--------------- .=
f x( ) 2x x 1+( ) x2 3+( )
x 1+( )2---------------------------------------------------
2x2 2x x2 3+x 1+( )2
--------------------------------------------= =
f x( ) x2 2x 3+x 1+( )2
----------------------------x 1( ) x 3+( )
x 1+( )2-----------------------------------.= =
f x( ) x 1( ) x 3+( )x ] ; 3 ] 1 ;+ .[[
x +, f x( ) 0 x 1;+ ,[[1 ;+ ,[[
un( )
u0
3,= u1
2,= u2
7
3---,=
u0 u1 u1 u2, un un 1+
un
n!
nn------ .=
n , n! n n 1( ) 3 2 1.=
un( )n .
un 1+un
------------
un 1+un
------------n 1+( )! nn
n 1+( )n 1+ n!---------------------------------------= n 1+( )!
n 1+( )n!= n 1+( )n 1+ n 1+( )n n 1+( )=
un 1+un
------------n 1+( )nn
n 1+( )n n 1+(
)---------------------------------------------
nn 1+-------------
n
.= =
n n 1+
n
n 1+------------- 1
n
n 1+-------------
n
1
x xn
un 1+un
------------ 1
un( ) .
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CHAPITRE 2 SUITES NUMRIQUES
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Rcurrence
1. Raisonnement par rcurrenceSoit un nombre entier naturel
n0etPnune proprit.Dmontrer quune propritPnest vraie pour tout se
fait en troistapes. Initialisation: on vrifie que est vraie. Hrdit:
on suppose pour un entier que la propritPnest vraie(hypothse de
rcurrence), puis on dmontre, compte tenu de cette hypo-thse, que
est vraie.
Conclusion: pour tout la propritPnest vraie.Remarque : on pense
ce raisonnement par rcurrence, ds que lon veut montrer
quune proprit Pnest vraie pour tout
2. Suites rcurrentes
Soit une fonction fdfinie sur un intervalle I tel que pour tout
xde I,est aussi dans I.On peut dfinir une suite par la donne de
u0avec et la relation
de rcurrenceSi unconverge, alors sa limite vrifie
Remarque : les suites arithmtiques et gomtriques sont des suites
rcurrentes.
exemples dapplication 1.Soit la suite dfinie sur par : .
Dterminer la monotonie de cette suite laide dun raisonnement par
rcurrence.
2. Soit la suite dfinie sur par .
Dterminer de mme la monotonie de cette suite.
corrig comment
1. On considre la fonction fdfinie sur +parLa fonction fest
drivable sur +, donc :
3
n n0
Pn0n n0,
Pn 1+
n n0,
n n0,
f x( )
un( ) u0 Iun 1+ f un( ).=
f ( ) .=
un( )u0 6=un 1+ un 3+=
vn( )v0 1=
vn 1+ vn 3+=
f x( ) x 3+ .=
f x( ) 12 x 3+--------------------- .=
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donc la fonction est strictement croissante sur +.
On calcule u1, u2: ;
On conjecture que la suite est dcroissante et on dmontre par
rcurrence
cette proprit.On posePn: Initialisation:P0est vraie car
Hrdit: on suppose que pour et on dmontre que
On sait que et que f est une fonction croissante sur +, donc
Soit donc Pn+ 1est vraie.
Conclusion: quel que soit la suite est dcroissante.
2. On remarque cette fois que et on conjecture que la suiteest
croissante.En utilisant la mme fonction fcar on dmontre par
rcurrenceque la suite est croissante.
Dmontrer par rcurrence que, quel que soit nde , le nombre estun
multiple de 22.
corrig comment
SoitPnla proprit : est un multiple de 22. InitialisationPour :
or zro est multiple de 22, doncP0est vraie.
HrditOn suppose que pour un entier quelconque la proprit est
vraie (hypo-thse de rcurrence), puis on dmontre compte tenu de
cette hypothse quePn + 1et vraie.
Or soit :
Daprs lhypothse de rcurrence, est un multiple de 22, le
nombretant la somme de deux multiples de 22, est un multiple de
22
do la vracit dePn+ 1.
ConclusionOn a vrifi queP0est vraie, on a montr quePn+ 1est
vraie sous lhypothse dercurrence quePntait vraie pour un donc :
est un multiple de 22.
f x( ) 0,u1 u0 3+ 6 3+ 3= = = u2 u1 3+ 3 3+ 6.= = =
un( )
un un 1+ .u0 u1.
n 0, un un 1+un 1+ un 2+ .
un 1+ f un( )=f un( ) f un 1+( )
un 1+ un 2+
n , un( )
v0 1= v1 2,= vn( )
vn 1+ f vn( ),=vn( )
52n 3n
52n 3n
n 0= 50 30 1 1 0,= =
n 0,
52 n 1+( ) 3n 1+ 52n 52 3 3n=
52 n 1+( )
3n 1+
22 3+( ) 52n
3 3n
22 52n
3 52n
3n
( ).+= =52n 3n52 n 1+( ) 3n 1+
n 0,n "( ), 52n 3n
-
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CHAPITRE 2 SUITES NUMRIQUES
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Suites particulires
1. Suites arithmtiques et gomtriques
Suites arithmtiques Suites gomtriques
Relation de rcurrence
r: raison de la suite q: raison de la suite
Terme gnral
et
Relation entre deux termes
et
Somme de termes conscutifs
et
Si alors
Sommes particulires
avec
Limites et monotonie
Si la suite estdcroissante et
.
Si la suite estcroissante et.
q 1 1q 0 0q 1 q 1
Suitealterne
divergente(pas delimite).
Suite alterneconvergente
de limitenulle.
Suitedcroissante
convergentede limitenulle.
Suitecroissante
divergentede limiteinfinie.
4
n un 1+ un r+=
r ,
n un 1+ qun=
q ,
n
un u0 nr+=
n
un u0qn=
n p
p nun up n p( )r+=
n p
p nun up q( )n p=
uii 0=
n
u0 un
+
( ) n 1+
( )2-----------------------------------------= uii 0=
n
u01 qn 1+
1 q---------------------= q 1
q 1,= uii 0=
n
n 1+( )u0=
1 2 n+ + + 1 n+( )n
2
---------------------= 1 q q2 qn+ + + + 1 qn 1+
1 q---------------------=
q 1
n u0 nr+ n qn
r 0,
unn +lim =
r 0,
unn +lim +=
-
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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs
2.Suites dfinies par un+1= aun+ b
Si il sagit de suites arithmtiques de raison b. Si et il sagit
de suites gomtriques de raison a.
Si et on considre la fonction affine ftelle queetLa
reprsentation graphique de fest une droite .Soit la droite
dquation
Les droites et sont scantes en si
Si la suite est convergente, alors sa limite est telle que
exemple dapplicationSoit la suite dfinie surpar et
Reprsenter graphiquement la fonction f: et tracer la droite
dqua-
tion mettre une conjecture concernant la limite de
corrig comment
Les droites (reprsentative de f) et sont scantes au point
dabscisse On
conjecture que la limite de est
a 1,=a 0 b 0,=
b 0 a 0, un 1+ f un( )=f x( ) ax b.+=
y x.=
I b1 a------------ ;
b1
a------------
a 1.
un( ) b
1 a------------ .=
un( ) u0 2= un 1+35---un 3.+=
x35---x 3+
y x.= un( ).
152
------ .
un( )152
------ .
6
3
O
2152
------u0 5u1 u2 u3 u4i
j
