TS Chap 2 : Cours sur les Suites

8/12/2019 TS Chap 2 : Cours sur les Suites

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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

exemples dapplication Soit la suite udfinie sur par

Pour un entier naturelpdonn, dterminer un entier naturel ntel que :

En dduire que la suite est convergente et dterminer sa limite.

corrig commentComme alors donc pour tout nde ,

Dterminons ntel que

soit soit soit

cest--dire car do

Donc si on pose tous les termes de la suite partir de un sont

dans lintervalle ouvertIndication :quel que soit lentier p choisi, donc quel que soit lintervalle ouvert decentre 1, cet intervalle contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

La suite (un) est donc convergente et sa limite est 1.

Soit la suite udfinie sur par

Dterminer par deux mthodes diffrentes la limite de

corrig comment Comme alors avec

car dans un voisinage de +.

donc, par quotient,

La suite utant la restriction de f , est divergente.

Or, sur , donc et par suite

donc par comparaison

unn 3+

n 2+-------------.=

1 10 p un 1 10p .+

un( )

n 3+ n 2,+ un 1 1 10p

un.

un 1 10p

+

n 3+n 2+------------- 1 10 p+ n 3+

n 2+------------- 1 10 p 1

n 2+------------- 10 p

10p n 2+ n 2 0+ n 10p 2.

N 10p 1+ 2,=

]1 10 p ;1 10p .[+

unn2 3+n 1+---------------.=

un( ).

unn2 3+n 1+---------------,= un f n( )= f x( )

x2 3+x 1+---------------

x x3x---+

1 1x---+

----------------------= =

x 0

donc

3x---

x +lim 0

=

x

x +lim +

=

3x--- x+

x +lim +

=

1 1x---+

x +lim 1

=

f x( )x +lim +

.

=

un( )

unn2 1 4+

n 1+-------------------------

n 1

4n 1+-------------.+= =

n 1+ 0 4n 1+------------- 0 n 1 4

n 1+-------------+ n 1

n 1( )x +lim +

= un( )

x+lim +

.

=


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CHAPITRE 2

SUITES NUMRIQUES

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Monotonie et proprits des suites

1.

Monotonie dune suite

Soit une suite relle etA

lintersection dun intervalle de

et de

. La suite est croissante

surA

, si quel que soit n

deA

: La suite est dcroissante

surA


deA

: La suite est monotone

surA


deA

, elle est crois-sante ou dcroissante. La suite est stationnaire

, sil existe n

0

tel que pour tout

2.

Suites majores, minores, bornes

Thorme

:

toute suite croissante et majore est convergente.Toute suite dcroissante et minore est convergente.

3.

Suites adjacentes

Dfinition

Deux suites et sont adjacentes si :

Thorme

Deux suites adjacentes sont convergentes vers une mme limite.

Suite majore Suite minore Suite borne

Soit pour tout n

deA

, il existe un relMou un rel m

2

un( )un( ) un un 1+ .un( ) un un 1+ .un( )

un( ) n n0,un un

0

.=

A ,

un M un m m un M

un( ) vn( )

est croissante ;est dcroissante ;

pour tout ndeA, ;

un( )n Avn( )n A

un vn

un vn( )lim 0.=


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exemples dapplication

Soit la suite dfinie sur

par tudier sa monotonie sur

.corrig commentIl existe une fonction fdfinie sur +telle que avec :

Cette fonction fest rationnelle, dfinie et drivable sur +,

a le mme signe que lequel est positif pour :

Donc, pour si et seulement sipar suite la fonction fest croissante sur sa restriction est croissante.Conclusion : la suite est croissante pour tout entier naturel non nul.

Remarque :

et , donc u0a un comportement part dans la suite. La

monotonie dune suite est donne par le comportement de la majorit des lments de (un).

Soit la suite udfinie sur par

On rappelle que, pour

tudier la monotonie de

corrig commentIndication : les unsont strictement positifs et se prsentent sous la forme dun quo-tient donc on peut comparer 1.

; or

donc

Or, soit do car la fonction est stricte-

ment croissante sur + . Donc pour tout entier naturel non nul, ce qui

signifie que la suite est strictement dcroissantesur

un( ) unn2 3+

n 1+---------------.=

un f n( )=

f x( ) x2 3+

x 1+--------------- .=

f x( ) 2x x 1+( ) x2 3+( )

x 1+( )2---------------------------------------------------

2x2 2x x2 3+x 1+( )2

--------------------------------------------= =

f x( ) x2 2x 3+x 1+( )2

----------------------------x 1( ) x 3+( )

x 1+( )2-----------------------------------.= =

f x( ) x 1( ) x 3+( )x ] ; 3 ] 1 ;+ .[[

x +, f x( ) 0 x 1;+ ,[[1 ;+ ,[[

un( )

u0

3,= u1

2,= u2

7

3---,=

u0 u1 u1 u2, un un 1+

un

n!

nn------ .=

n , n! n n 1( ) 3 2 1.=

un( )n .

un 1+un

------------

un 1+un

------------n 1+( )! nn

n 1+( )n 1+ n!---------------------------------------= n 1+( )! n 1+( )n!= n 1+( )n 1+ n 1+( )n n 1+( )=

un 1+un

------------n 1+( )nn

n 1+( )n n 1+( )---------------------------------------------

nn 1+-------------

n

.= =

n n 1+

n

n 1+------------- 1

n

n 1+-------------

n

1

x xn

un 1+un

------------ 1

un( ) .


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CHAPITRE 2 SUITES NUMRIQUES

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Rcurrence

1. Raisonnement par rcurrenceSoit un nombre entier naturel n0etPnune proprit.Dmontrer quune propritPnest vraie pour tout se fait en troistapes. Initialisation: on vrifie que est vraie. Hrdit: on suppose pour un entier que la propritPnest vraie(hypothse de rcurrence), puis on dmontre, compte tenu de cette hypo-thse, que est vraie.

Conclusion: pour tout la propritPnest vraie.Remarque : on pense ce raisonnement par rcurrence, ds que lon veut montrer

quune proprit Pnest vraie pour tout

2. Suites rcurrentes

Soit une fonction fdfinie sur un intervalle I tel que pour tout xde I,est aussi dans I.On peut dfinir une suite par la donne de u0avec et la relation

de rcurrenceSi unconverge, alors sa limite vrifie

Remarque : les suites arithmtiques et gomtriques sont des suites rcurrentes.

exemples dapplication 1.Soit la suite dfinie sur par : .

Dterminer la monotonie de cette suite laide dun raisonnement par rcurrence.

2. Soit la suite dfinie sur par .

Dterminer de mme la monotonie de cette suite.

corrig comment

1. On considre la fonction fdfinie sur +parLa fonction fest drivable sur +, donc :

3

n n0

Pn0n n0,

Pn 1+

n n0,

n n0,

f x( )

un( ) u0 Iun 1+ f un( ).=

f ( ) .=

un( )u0 6=un 1+ un 3+=

vn( )v0 1=

vn 1+ vn 3+=

f x( ) x 3+ .=

f x( ) 12 x 3+--------------------- .=


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donc la fonction est strictement croissante sur +.

On calcule u1, u2: ;

On conjecture que la suite est dcroissante et on dmontre par rcurrence

cette proprit.On posePn: Initialisation:P0est vraie car

Hrdit: on suppose que pour et on dmontre que

On sait que et que f est une fonction croissante sur +, donc

Soit donc Pn+ 1est vraie.

Conclusion: quel que soit la suite est dcroissante.

2. On remarque cette fois que et on conjecture que la suiteest croissante.En utilisant la mme fonction fcar on dmontre par rcurrenceque la suite est croissante.

Dmontrer par rcurrence que, quel que soit nde , le nombre estun multiple de 22.

corrig comment

SoitPnla proprit : est un multiple de 22. InitialisationPour : or zro est multiple de 22, doncP0est vraie.

HrditOn suppose que pour un entier quelconque la proprit est vraie (hypo-thse de rcurrence), puis on dmontre compte tenu de cette hypothse quePn + 1et vraie.

Or soit :

Daprs lhypothse de rcurrence, est un multiple de 22, le nombretant la somme de deux multiples de 22, est un multiple de 22

do la vracit dePn+ 1.

ConclusionOn a vrifi queP0est vraie, on a montr quePn+ 1est vraie sous lhypothse dercurrence quePntait vraie pour un donc :

est un multiple de 22.

f x( ) 0,u1 u0 3+ 6 3+ 3= = = u2 u1 3+ 3 3+ 6.= = =

un( )

un un 1+ .u0 u1.

n 0, un un 1+un 1+ un 2+ .

un 1+ f un( )=f un( ) f un 1+( )

un 1+ un 2+

n , un( )

v0 1= v1 2,= vn( )

vn 1+ f vn( ),=vn( )

52n 3n

52n 3n

n 0= 50 30 1 1 0,= =

n 0,

52 n 1+( ) 3n 1+ 52n 52 3 3n=

52 n 1+( )

3n 1+

22 3+( ) 52n

3 3n

22 52n

3 52n

3n

( ).+= =52n 3n52 n 1+( ) 3n 1+

n 0,n "( ), 52n 3n


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CHAPITRE 2 SUITES NUMRIQUES

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Suites particulires

1. Suites arithmtiques et gomtriques

Suites arithmtiques Suites gomtriques

Relation de rcurrence

r: raison de la suite q: raison de la suite

Terme gnral

et

Relation entre deux termes

et

Somme de termes conscutifs

et

Si alors

Sommes particulires

avec

Limites et monotonie

Si la suite estdcroissante et

.

Si la suite estcroissante et.

q 1 1q 0 0q 1 q 1

Suitealterne

divergente(pas delimite).

Suite alterneconvergente

de limitenulle.

Suitedcroissante

convergentede limitenulle.

Suitecroissante

divergentede limiteinfinie.

4

n un 1+ un r+=

r ,

n un 1+ qun=

q ,

n

un u0 nr+=

n

un u0qn=

n p

p nun up n p( )r+=

n p

p nun up q( )n p=

uii 0=

n

u0 un

+

( ) n 1+

( )2-----------------------------------------= uii 0=

n

u01 qn 1+

1 q---------------------= q 1

q 1,= uii 0=

n

n 1+( )u0=

1 2 n+ + + 1 n+( )n

2

---------------------= 1 q q2 qn+ + + + 1 qn 1+

1 q---------------------=

q 1

n u0 nr+ n qn

r 0,

unn +lim =

r 0,

unn +lim +=


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2.Suites dfinies par un+1= aun+ b

Si il sagit de suites arithmtiques de raison b. Si et il sagit de suites gomtriques de raison a.

Si et on considre la fonction affine ftelle queetLa reprsentation graphique de fest une droite .Soit la droite dquation

Les droites et sont scantes en si

Si la suite est convergente, alors sa limite est telle que

exemple dapplicationSoit la suite dfinie surpar et

Reprsenter graphiquement la fonction f: et tracer la droite dqua-

tion mettre une conjecture concernant la limite de

corrig comment

Les droites (reprsentative de f) et sont scantes au point dabscisse On

conjecture que la limite de est

a 1,=a 0 b 0,=

b 0 a 0, un 1+ f un( )=f x( ) ax b.+=

y x.=

I b1 a------------ ;

b1

a------------

a 1.

un( ) b

1 a------------ .=

un( ) u0 2= un 1+35---un 3.+=

x35---x 3+

y x.= un( ).

152

------ .

un( )152

------ .

6

3

O

2152

------u0 5u1 u2 u3 u4i

j

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