8/12/2019 TS Chap 7 : Cours sur la fonction Logarithme nprien

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CHAPITRE 5

FONCTIONS LOGARITHMES

148

Dfinition et reprsentation graphiquede la fonction logarithme nprien

1.

Dfinition

La fonction inverse est dfinie, continue sur elle admet

donc des primitives sur

2.

Consquences

La fonction logarithme nprien, dont la drive est strictement positivesur est strictement croissante.

Elle est continue et bijective.

;

La fonction logarithme nprien est la primitive, dfinie surde la fonction qui sannule en 1.

1

x1x--- ]0;+ ,[

]0;+ .[

x xln

]0;+ ,[ x 1x---

]0;+ ,[

x 0 1 +

+ +

ln

x1x---

+0

ln x( ) 1x---=

1ln 0.=

xlnx0

0

lim

=

xlnx+ lim +

.

=

1

0

A

B e

1

ln

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cou r s

savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

On appelle e le nombre rel tel que

Au point la tangente a pour quation et au point

la tangente a pour coefficient directeur 1.

e

xemple dapplication

Dterminer les asymptotes la courbe

reprsentative de la fonction :

f

:

c

orrig comment

Indication :

on commence par dterminer lensemble D de dfinition de la fonction f.

existe si, et seulement si, ; le signe de ce quotient est celui dun tri-

nme du second degr de racines 1 et 3.

Par suite, si, et seulement si,

Donc

Indication : on tudie ensuite les limites de f aux bornes de D.

pour do et donc par

composition

Donc la droite dquation est asymptote

dans un voisinage de +

et de

.

et donc par composition

Donc la droite dquation est asymptote

.

et donc et

donc par composition

Donc la droite dquation est asymptote D

.

En dfinitive, il y a 3 asymptotes dquations respectives :

y

= 0 ; etx

= 1.

eln 1.=

A e; 1( ), y 1e---x=

B 1;0( )

xx 3+x 1------------ .ln

f x( ) x 3+x 1------------ 0

x 3+x 1------------ 0 x ] ; 3 ]1 ;+ .[ [

D ] ; 3 ]1;+ .[ [ =

x 3+x 1------------

13x---+

11x---

-------------= x 01

3x---+

11x---

-------------

x lim 1

= XlnX1lim 0

=

f x( )x lim 0.

=

y 0=

x 3+

x 1

------------

x 3

3

lim 0

+

= Xln

X00

lim

,

= f x( )x

3

3

lim

.

=

x 3=

x 1( )x 1

1

lim 0

+

= x 3+( )x 1lim 4

=x 3+x 1------------

x 11

lim +

=

XlnX+

lim +

,

= f x( )x 1

1

lim +

.

=

x 1=

x 3=

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CHAPITRE 5

FONCTIONS LOGARITHMES

150

Proprits et autres fonctions

1.

Proprits de la fonction logarithme nprien

2.

Drives et primitives

Soit une fonction u

, dfinie et drivable sur un intervalle I, telle que pourtout x

de I, soit strictement positif :

. Si

Soit une fonction u

telle que sur un intervalle I dont la drive

u

est drivable sur I.

Les primitives sur I de sont les fonctions avec

3.

Fonction logarithme dcimal

La fonction logarithme dcimal est dfinie sur par

Cette fonction a la mme variation et les mmes proprits opratoires quela fonction logarithme nprien.

; ;

Cette fonction est utilise dans tous les calculs faisant intervenir des puis-sances de 10.

Conditions Proprits

(proprit caractristique desfonctions logarithmes)

;

avec

(fonction ln bijective) (fonction ln strictement

croissante);

2

a 0b 0

abln aln bln+=

ab---ln aln bln=

1b---ln bln=

aln aln=

aln bln= a b=a blnln a b

aln 1= a e= aln 0= a 1=

0 x 1 x 0ln

x 1 xln 0

u x( )

uln( ) u u-----=

u x( ) 0 uln( ) u

u-----.=

u x( ) 0

uu----- uln C+ C .

]0;+ [ xlogxln

10ln-------------.=

1log 0= 10log 1= x( )log 1x 10ln----------------- .=

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cou r s

savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

4.

Autres limites

; ;

( redmontrer chaque fois).

au voisinage de zro.

5.

Rsolution de lquation ln

x

= a

Pour chaque rel a

, lquation admet une solution unique dans

Cette solution est et se lit exponentielle de a

ou e exposant a

.

e

xemple dapplication

Soit la fonction f

: dfinie sur

Dterminer les variations de f.

corrig commentLa fonction fest telle que avec

Do avec

donc :

Or sur ; ; et donc a le mme

signe que le trinme dont les racines sont 1 et 3.

Par suite si, et seulement si, et si, et seulement

si,

Or donc la fonctionfest strictement croissante sur etfeststrictement dcroissante sur

Remarque: ne pas oublier que f nest dfinie que sur un ensemble contenu dans Df.Dans ce cas,

1 x+( )lnx

------------------------

x0lim 1

=xln

x---------

x + lim 0

=

x xlnx 0lim 0

=

1 h+( )ln h

xln a=]0;+ .[

e a

x x2 3+

x 1---------------ln ]1;+ .[

f uln= u x( ) x2 3+

x 1--------------- .=

f uu-----= u x( ) 2x x 1( ) x

2 3+( )x 1( )2

---------------------------------------------------x2 2x 3

x 1( )2----------------------------= =

f x( )

x2 2x 3

x 1( )2----------------------------

x2 3+x 1---------------

----------------------------x2 2x 3( ) x 1( )

x 1( )2 x2 3+( )--------------------------------------------------- .= =

]1;+ [ x 1 0 x 1( )2 0 x2 3+ 0 f x( )x2 2x 3

f x( ) 0 x ]3;+ [ f x( ) 0x ]1;3 ].f 3( ) 0= 3;+ [[

] 1 ;3 ].Df Df ]1;+[.= =