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8/12/2019 TS Chap 7 : Cours sur la fonction Logarithme
nprien
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CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
148
Dfinition et reprsentation graphiquede la fonction logarithme
nprien
1.
Dfinition
La fonction inverse est dfinie, continue sur elle admet
donc des primitives sur
2.
Consquences
La fonction logarithme nprien, dont la drive est strictement
positivesur est strictement croissante.
Elle est continue et bijective.
;
La fonction logarithme nprien est la primitive, dfinie surde la
fonction qui sannule en 1.
1
x1x--- ]0;+ ,[
]0;+ .[
x xln
]0;+ ,[ x 1x---
]0;+ ,[
x 0 1 +
+ +
ln
x1x---
+0
ln x( ) 1x---=
1ln 0.=
xlnx0
0
lim
=
xlnx+ lim +
.
=
1
0
A
B e
1
ln
-
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149
cou r s
savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs
On appelle e le nombre rel tel que
Au point la tangente a pour quation et au point
la tangente a pour coefficient directeur 1.
e
xemple dapplication
Dterminer les asymptotes la courbe
reprsentative de la fonction :
f
:
c
orrig comment
Indication :
on commence par dterminer lensemble D de dfinition de la
fonction f.
existe si, et seulement si, ; le signe de ce quotient est celui
dun tri-
nme du second degr de racines 1 et 3.
Par suite, si, et seulement si,
Donc
Indication : on tudie ensuite les limites de f aux bornes de
D.
pour do et donc par
composition
Donc la droite dquation est asymptote
dans un voisinage de +
et de
.
et donc par composition
Donc la droite dquation est asymptote
.
et donc et
donc par composition
Donc la droite dquation est asymptote D
.
En dfinitive, il y a 3 asymptotes dquations respectives :
y
= 0 ; etx
= 1.
eln 1.=
A e; 1( ), y 1e---x=
B 1;0( )
xx 3+x 1------------ .ln
f x( ) x 3+x 1------------ 0
x 3+x 1------------ 0 x ] ; 3 ]1 ;+ .[ [
D ] ; 3 ]1;+ .[ [ =
x 3+x 1------------
13x---+
11x---
-------------= x 01
3x---+
11x---
-------------
x lim 1
= XlnX1lim 0
=
f x( )x lim 0.
=
y 0=
x 3+
x 1
------------
x 3
3
lim 0
+
= Xln
X00
lim
,
= f x( )x
3
3
lim
.
=
x 3=
x 1( )x 1
1
lim 0
+
= x 3+( )x 1lim 4
=x 3+x 1------------
x 11
lim +
=
XlnX+
lim +
,
= f x( )x 1
1
lim +
.
=
x 1=
x 3=
-
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CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
150
Proprits et autres fonctions
1.
Proprits de la fonction logarithme nprien
2.
Drives et primitives
Soit une fonction u
, dfinie et drivable sur un intervalle I, telle que pourtout
x
de I, soit strictement positif :
. Si
Soit une fonction u
telle que sur un intervalle I dont la drive
u
est drivable sur I.
Les primitives sur I de sont les fonctions avec
3.
Fonction logarithme dcimal
La fonction logarithme dcimal est dfinie sur par
Cette fonction a la mme variation et les mmes proprits
opratoires quela fonction logarithme nprien.
; ;
Cette fonction est utilise dans tous les calculs faisant
intervenir des puis-sances de 10.
Conditions Proprits
(proprit caractristique desfonctions logarithmes)
;
avec
(fonction ln bijective) (fonction ln strictement
croissante);
2
a 0b 0
abln aln bln+=
ab---ln aln bln=
1b---ln bln=
aln aln=
aln bln= a b=a blnln a b
aln 1= a e= aln 0= a 1=
0 x 1 x 0ln
x 1 xln 0
u x( )
uln( ) u u-----=
u x( ) 0 uln( ) u
u-----.=
u x( ) 0
uu----- uln C+ C .
]0;+ [ xlogxln
10ln-------------.=
1log 0= 10log 1= x( )log 1x 10ln----------------- .=
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cou r s
savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs
4.
Autres limites
; ;
( redmontrer chaque fois).
au voisinage de zro.
5.
Rsolution de lquation ln
x
= a
Pour chaque rel a
, lquation admet une solution unique dans
Cette solution est et se lit exponentielle de a
ou e exposant a
.
e
xemple dapplication
Soit la fonction f
: dfinie sur
Dterminer les variations de f.
corrig commentLa fonction fest telle que avec
Do avec
donc :
Or sur ; ; et donc a le mme
signe que le trinme dont les racines sont 1 et 3.
Par suite si, et seulement si, et si, et seulement
si,
Or donc la fonctionfest strictement croissante sur
etfeststrictement dcroissante sur
Remarque: ne pas oublier que f nest dfinie que sur un ensemble
contenu dans Df.Dans ce cas,
1 x+( )lnx
------------------------
x0lim 1
=xln
x---------
x + lim 0
=
x xlnx 0lim 0
=
1 h+( )ln h
xln a=]0;+ .[
e a
x x2 3+
x 1---------------ln ]1;+ .[
f uln= u x( ) x2 3+
x 1--------------- .=
f uu-----= u x( ) 2x x 1( ) x
2 3+( )x 1( )2
---------------------------------------------------x2 2x 3
x 1( )2----------------------------= =
f x( )
x2 2x 3
x 1( )2----------------------------
x2 3+x 1---------------
----------------------------x2 2x 3( ) x 1( )
x 1( )2 x2 3+(
)--------------------------------------------------- .= =
]1;+ [ x 1 0 x 1( )2 0 x2 3+ 0 f x( )x2 2x 3
f x( ) 0 x ]3;+ [ f x( ) 0x ]1;3 ].f 3( ) 0= 3;+ [[
] 1 ;3 ].Df Df ]1;+[.= =
