TS Chap 8 : Cours sur la Géométrie dans l'Espace

8/12/2019 TS Chap 8 : Cours sur la Gomtrie dans l'Espace

1/8

CHAPITRE 2 ESPACE

60

Produit scalaire dans le plan ou dans lespace

1. Dfinition

Soit le plan ou lespace.

Soient deux vecteurs et de , et trois points O, A et B tels que :

et

Remarque :Le signe de dpend du signe de :

(aigu)

(obtus)

(droit)

2.Consquences

Si les vecteurs et sont colinaires et de mme sens, alors

car donc

Si les vecteurs et sont colinaires et de sens contraires, alors

car donc

Si alors

est appel carr scalaire, cest un nombre positif.

donc ; cette galit traduit la symtrie du pro-duit scalaire.

3. Proprits

Quels que soient les vecteurs de et deux rels et :

On note langle gomtrique

On appelle produit scalaire de deux vec-

teurs et le nombre rel not tel

que

Soit

1

u v

u OA= v OB.=

AOB.

v

u

v

O

A

B

u

u v u v

u v u v cos .=

u v OA OB .cos=

u v cos

u v 0

u v 0

u v 0.=

u v

u v u v= 0= cos 1.=

u v

u v u v= = cos 1 .=

u v,= u v u( )2

v( )2

u2

v2.= = = =

u( )2

AOB BOA= u v v u=

u , v, w

u( ) v( ) ( ) u v( )=

w u v+( ) w u w v+=


2/8

61

cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

Remarque :Le vecteur nul est orthogonal tout vecteur.

4.Proprit fondamentale

Si on projette orthogonalement les vecteurs en sur la direction deon a : (les vecteurs et sont colinaires).

De mme si on projette orthogonalement le vecteur en sur la direc-tion de on a :

Donc

exemple dapplicationDmontrer que dans un triangle quelconque ABC :

Ce thorme est celui dAl-Kashi (gnralisation un triangle quelconque duthorme de Pythagore).

corrig commentDaprs la relation de Chasles, quels que soient les points A, B et C :do

Soit do :

u v+( )2

u2

v2

2u v+ +=

u v( )2

u2

v2

2u v+=

u v+( ) u v( ) u2

v2

=

u v 12--- u v+

2u

2v

2

=

u v 0 u v.=

u u vu v u v= u v

v vu u v v u .=

u v u v v u= =

AC2 AB2 BC2 2AB BC ABC.cos+=

AC AB BC+=

AC( )2

AB BC+( )2

AB2 BC2 2AB BC.+ += =

AC2 AB2 BC2 2BA BC+=

AC2 AB2 BC2 2BA BC ABC.cos+=


3/8

CHAPITRE 2 ESPACE

62

Produit scalaire en gomtrie analytiqueDans le plan Dans lespace

Soit un repre ortho-norm du plan

Soit un repre ortho-norm de lespace

Reprsentation paramtrique dune droite

Passant par et de vecteur

directeur et

Passant par et de vec-

teur directeur

et

avec

, ,

quations cartsiennes de

avec

soit avec

Produit scalaire

des vecteurs et des vecteurs et

quation cartsienne et vecteur normal

Soit une droite passant par unpoint

et orthogonale un vec-

teur

SoitPun plan passant un point et orthogonal un

vecteur

Distance dun point B

une droite

dqua-tion un plan P dqua-tion

2

O; i j,( ) O ; i j k, ,( )

A x0 y0,( )

v a b,( ) , a , b

v 0

A x0 y0 z0, ,( )

v a b c , ,( ) , a ,

b , c v 0

M AM tv= t .

x x0 at+=

y y0 bt+=

t .

x x0 at+=

y y0 bt+=

z z0 ct+=

t .

x x0

a

--------------y y0

b

--------------= ab 0

Ax By C+ + 0=

x x0

a

--------------y y0

b

--------------z z0

c

--------------= =

abc 0

v x y,( ) v x y,( )

v v xx yy.+=

v x y z, ,( ) v x y z , ,( )

v v xx yy zz .+ +=

A x0 y0,( )

v a b,( )

M AM v 0=ax by c + + 0.=

A x0 y0 z0, ,( )

v a b c , ,( )

M P AM v 0=ax by cz d + + + 0.=

B x1 y1,( )ax by c + + 0=

d B ( ),( )ax1 by1 c+ +

a2 b2+------------------------------------.=

B x1 y1 z1, ,( )ax by cz d + + + 0=

d B P( ),( )ax1 by1 cz1 d+ + +

a2 b2 c2+ +---------------------------------------------------.=


4/8

63


quation paramtrique dun planPcontenant A(x0,y0, z0)et de vecteurs

directeurs et et non colinaires.

avec .

Remarque : Si et sont les qua-

tions cartsiennes de deux plans Pet scants, alors

est une reprsentation de leur droite dintersection dans lespace.

Lensemble des points tels que est le demi-espace ouvert de frontire le plan P dquation etcontenant le point O si

exemple dapplicationSoit les points A(0 ; 6)et B(2 ; 10)dans un repre orthonormalCalculer la distance du point C(4 ; 3) la droite (AB).

corrig commentConseil :On rappelle que les vecteurs et sont colinaires si, et

seulement si,

et sont colinaires.

Or et

soit

soit

Cerclequation dun cercle de centre

et de rayonR

soitavec

Sphrequation dune sphre de centre

et de rayonR

soit

avec

A a b,( )

x a( )2 y b( )2+ R2=x2 y2 2ax 2by c+ + 0=c a2 b2 R2.+=

A a b c, ,( )

x a( )2 y b( )2 z c( )2+ + R2=

x2 y2 z2+ + 2ax 2by 2cz d= 0+d a2 b2 c2+ + R2.=

v a b c , ,( ) v1 a1 b1 c1, ,( ), v v1

AM v v1+= 0

x x0 a a1+ +=

y y0 b b1+ +=z z0=

ax by cz d + + + 0= a x b y cz d+ + + 0=

Pax by cz d + + + 0=a x by cz d+ + + 0=

M x y z, ,( ) ax by cz d 0+ + +ax by cz d + + + 0=

d 0.

O; i j,( ).

u X Y,( ) v X Y,( )XY XY 0.=

N x y,( ) AB( ) AN AB

AN x;y 6( ) AB 2;4 ( ).

N x y,( ) AB( ) 4x 2( ) y 6( ) 0=4x 2y 12+ 0 2x y 6+ 0.= =

d C AB( ),( ) 2 4 3 1 64 1+

--------------------------------------------15

---------= = d C AB( ),( ) 55

-------.=


5/8

CHAPITRE 2

ESPACE

64

Barycentres dans lespaceet caractrisations barycentriques

1.

Dfinition du barycentre den

points pondrs

Soit les points de pondrations respectives

2.

Proprits

On ne change pas le barycentre de n

points en multipliant les pondra-tions par un mme nombre non nul. On ne change pas le barycentre de n

points pondrs, en remplaantp

deces points par leur barycentre, sil existe, affect de la somme desleurs pondrations (thorme du barycentre partiel).

Coordonnes du barycentre dans un repreUn point A

i

a pour coordonnes et pour pondration a

i

.

3.

Caractrisations barycentriques

La droite (

AB

)

est lensemble des barycentres des points pondrset avec Le segment [AB] est lensemble des barycentres des points pondrs

et avec Le plan (ABC)est lensemble des barycentres des points pondrset avec

La surface intrieure au triangle ABC est lensemble des barycentres despoints pondrs et avec> 0, > 0, > 0.

Si alors il existe un seul point G tel que

Ce point est appel barycentre des npoints pondrs.

Si soit le barycentre des npoints pondrs alors :

et

3

A1 A2 An, , , a1 a2 an., , ,

ai 0,i 1=

n

aiGAii 1=

n

0.=

p n( )

O; i j k, ,( )xi yi zi, ,( )

ai 0,i 1=

n

G xG yG zG, ,( )

xG

aixii 1=

n

aii 1=

n

------------------,= yG

aiyii 1=

n

aii 1=

n

------------------= zG

aizii 1=

n

aii 1=

n

------------------,=

A ,( )B ,( ) 0.+

A ,( ) B ,( ) 0.

A ,( ),B ,( ) C ,( ) + 0.+

A ,( ), B ,( ) C ,( )


6/8

65


exemples dapplication Soit un ttradre ABCD et C le symtrique de C par rapport A et G le bary-centre du systme Les points G, B Cet D sont-ils coplanaires ?

corrig commentIndication: La coplanarit des points G, B, Cet Drevient dmontrer que lundentre eux est barycentre des trois autres points pondrs.

Le point C est le symtrique de C par rapport A ce qui signifie quedonc Cest le barycentre des points (A, 2)et (C, 1).

Par associativit, le point G est alors le barycentre des points (C, 1), (B, 4) et(D, 3), on en dduit donc que les points G, B Cet D sont coplanaires.

Soit A, B, C et D quatre points de lespace tels queMontrer que le point A est barycentre des points B, C, D affects de coefficientsque lon dterminera.

corrig commentEn utilisant la relation de Chasles, on peut crire :

soitOr, 2 3 + 6 0, donc :A est le barycentre du systme {(B, 2) ; (C, 3) ; (D, 6)}.

A 2,( ); B 4,( ) ; C; 1( ); D 3,( ){ }.

2C A CC=

2AB 3CD 4BD+ + AD.=

2AB 3CA 3AD 4BA 4AD AD+ + + +

0=

2AB 3AC 6AD+ 0 .=


7/8

CHAPITRE 2

ESPACE

66

Positions relatives dans lespace

On considre un repre orthonormal

1.

Intersection de deux plans

Soit deux plans P

et dquations respectives et

Le planP

a pour vecteur normal et le plan a pour vecteur nor-

mal

Si et sont colinaires, alors les plansP

et sont parallles.

Remarque :Dans lespace, deux vecteurs et sont colinaires, si, et seule-

ment si, leurs coordonnes sont proportionnelles cest--dire sil existe un rel k

tel que

Si et ne sont pas colinaires, alors les plansP

et sont scantsselon une droite.

2.

Intersection dune droite et dun plan

Soit une droite

de vecteur directeur et un planP

dfini par deux vec-

teurs et

Si et sont coplanaires, alors la droite

est parallle au planP

.

Si et ne sont pas coplanaires, alors la droite

coupe le plan enun point.

Si

a pour reprsentation paramtrique ,

et siP

a pour quation cartsienne alors

etP

ont unpoint commun si, et seulement sil existe un rel t

tel que :

3.

Intersection de trois plans

Les plansP, et peuvent tre scants deux deux et navoir aucun

point commun et alors le systme :

na aucune solution.

4

O; i j k, ,( ).

P ax by cz d + + + 0=a x b y cz d+ + + 0.=

n a b c , ,( ) P

n a b c, ,( ).

n n P

n n

n kn .=

n n P

v

u u .

v, u u

v, u u

x t x0+=

y t y0+=

z zt z0+=

t ,

ax by cz d + + + 0,=

a t x0+( ) b t y0+( ) c t z0+( ) d+ + + 0.=

P P

S( )ax by cz d + + + 0=a x b y cz d+ + + 0=ax by cz d+ + + 0=


8/8

67


Si les trois plans sont strictement parallles, alors le systme (S) naaucune solution. Si les trois plans sont scants selon une droite, alors le systme (S)admetune infinit de solutions. Ces solutions sont les triplets de coordonnes despoints de la droite dintersection. Si les trois plans sont scants selon un point, alors le systme (S)admetune seule solution. Cette solution est le triplet de coordonnes du pointcommun ces trois plans.

exemple dapplicationDterminer les positions relatives des deux droites et de reprsentations

paramtriques respectives :

, et

corrig comment

Les vecteurs directeurs respectifs de et sont et ;les coordonnes ne sont pas proportionnelles donc les droiteset ne sont pasparallles.Si ces droites sont scantes, alors il existe un couple vrifiant les deux repr-sentations paramtriques.

Do .

Les rsultats ne sont pas compatibles, donc et ne sont pas scantes.Les droites et ne sont pas parallles, nont pas de point commun, doncellesne sont pas coplanaires.

x 2t 3+=y 3t 5+=z 4=

t x t 4+=y t 1+=z 2t 1=

, t .

u 2;3;0( ) u 1 ;1;2( )

t t,( )

2t 3+ t 4+=3t 5+ t 1+=

4 2t 1=

t

74

---=

t 136

------=

t

52

---=

Documents

TS Chap 8 : Cours sur la Géométrie dans l'Espace