TS Spé Chap 4 : Cours sur les Modèles Matriciels

8/12/2019 TS Sp Chap 4 : Cours sur les Modles Matriciels

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4.3. Soient (u n ) et (vn ) les suites relles barycentriques dnies paru 0 = 12 etu n +1 = un + 2vn

3 ,

v0 = 1 et vn +1 = un + 3vn

4 .Dterminer les termes gnraux et la convergence de ces deux suites.

On pourra utiliser la fonction de jordanisation de Sage, qui permet en particulier de diago-naliser une matrice : .jordan_form(transformation=True) .

4.3 Suites rcurrentes matricielles affinesOn vient de voir un exemple de suite rcurrente matricielle linaire U n +1 = AU n . On trouve

le terme gnral en calculant An et en lutilisant dans U n = A n U 0 .

Dnition. Une suite de matrices de mme taille converge si chaque lment forme une suiteconvergente.

4.4 (tude thorique). Soient A une matrice carre de taille p et B une matrice colonne detaille p. Soit (U n ) une suite de matrices colonnes de taille p dnie par U n +1 = AU n + B .

1. Supposons quune suite constante gale C vrie la relation de rcurrence. Peut-onexpliciter C ?

2. Si une telle suite existe, dterminer le terme gnral U n en sinspirant de la mthode vuedans le cadre des suites rcurrentes affines relles.

3. Montrer que si (An ) converge alors il en est de mme pour (U n ).

4.5. Soient A =0, 3 0, 20, 1 0, 4 et B =

120 .

On dnit la suite matricielle (U n ) par U 0 =243 et U n +1 = AU n + B .

1. Soient P = 1 21 1 , D =0, 5 00 0, 2 et Q =

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1 2

1 1.

Calculer P DQ et QP puis en dduire lexpression de An en fonction de n.2. Exprimer U n en fonction de n puis tudier la convergence de (U n ).

4.6. On dnit les suites relles (xn ) et (yn ) par x0 = 7

8, y0 =

3

8, xn +1 = 6xn + 3yn + 4 et

yn +1 = xn + 2yn 1.Dterminer les termes gnraux de (xn ) et (yn ) puis tudier leur convergence.

4.4 Modle dvolution de Lotka-VolterraOn sintresse lvolution dune population de marmottes M n (les proies) et de renards

R n (les prdateurs), o n reprsente lanne. Le nombre de marmottes augmente de 10% paran. Il y a M n R n rencontres possibles ; parmi celles-ci, seules 0, 1% ont lieu et se nissent malpour la marmotte. La population dcrot naturellement de 5% par an. Cependant, la nourriturrevigore les renards et leur population augmente de 5% du nombre de marmottes croques.

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Modlisation matricielle Lorsque la marche aboutit un tat x j , elle vient forcment de lundes tats xi possibles et la formule des probabilits totales donne :

P(X n +1 = x j ) = PX n = x 1 (X n +1 = x j )P(X n = x1) + + PX n = x d (X n +1 = x j )P(X n = xd )

=d

i=1 PX n = x i (X n +1 = x j )P(X n = x i)

=d

i=1 pij P(X n = x i )

On est donc amen poser : M n = 1n dn la suite de distributions de probabilits, i.e. kn = P(X n = xk ) ;

P =

P 11 P 12 P 1dP 21 P 22 P 2d... ... ... ...P d1 P d2 P dd

la matrice de transition .

La somme de chaque ligne de P vaut 1, tout comme la somme des lments de M n (lasomme des probabilits des lments dune partition vaut 1).

Dans ces conditions, on a lquation dvolution stochastique M n +1 = M n P . Dterminerlvolution de la suite (M n ) revient donc ltude dune suite rcurrente matricielle linaire.En particulier, on obtient M n = M 0P n i.e. PX 0 = x (X n = y) = (P n )xy .

Probabilit invariante Un tat stable probabiliste est une probabilit sur les tats de la chaneconserve ltape suivante : les probabilits de prsence ne changent pas.

Une probabilit invariante est un vecteur vriant P = .On comprend bien ladjectif invariante mais le lien avec un tat physique stable est plus

dlicat. Pour claircir ce point, on remarque que :

P = y y P yx = x x y,y = x y P yx = x x P xx y,y = x y P yx = x (1P xx ).

L cest intressant car on peut interprter cette galit comme P(X n = x, X n +1 = x) =P(X n = x, X n +1 = x) ce qui signie que la chane a autant de chance de partir de x que dyarriver, quel que soit ltat x.voquons ensuite le lien entre probabilit invariante et frquences de visite. Dnissons

vecteur alatoire des frquences de visite aux diffrents tats x de la chane : Y xn = 1n

n 1

k =0

1X k = x .

On passe lesprance : E(Y xn ) = 1n

n 1

k =0P(X k = x) =

1n

n 1

k =0

0P kx

, ce qui donne vectorielle-

ment : E(Y n ) = 1n

n 1

k =0

0P k .

Notons n ce vecteur : n P =1n

n 1

k =0

0P k P = 1n

n 1

k =0

0P k +1 = n 1n

0 + 1n

0P n .

Donc si la suite (P n ) converge alors n converge et limn P = limn soit nalement P = .

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Irrductibilit Sur une chane nie, il existe toujours une probabilit invariante. Lunicitnest par contre pas assure. Par exemple, la chane (nombriliste? conservatrice?) dnie par

0 1

1 1

possde une innit de probabilits invariantes.Si deux tats x et y sont relis par un chemin dont la probabilit est non nulle (i.e. en un

certain nombre dtapes il est possible daller de x y, i.e. x, y E, k N , (P k )xy > 0)alors x conduit y. Si x conduit y et y conduit x alors les tats x et y communiquent . Unechane dont tous les tats communiquent est irrductible . Si une chane est irrductible alorselle possde une unique probabilit invariante.

Sil existe un entier k tel que tous les coefficients de P k soient strictement positifs (i.e. enk tapes x conduit y quels que soient les tats x et y, i.e.

k

N ,

x, y

E, (P k)xy > 0

noter la diffrence avec lirrductibilit simple , i.e. il existe une puissance k > 0 telleque tous les coefficients de P k sont > 0) alors la chane est fortement irrductible . Dans cecas lim

n + P n = , i.e. quelle que soit la rpartition de probabilit initiale de la chane, ses

itrations conduisent la probabilit invariante.

Priodicit Soient x est un tat de la chane et R(x) = {n N , (P n )xx > 0} lensemble deslongueurs de chemins qui partent de x pour y revenir. La priode de x est le pgcd des entiersde R(x).

Si la chane est irrductible alors tous ses tats ont mme priode. En effet considrons detats x et y avec x conduisant y en m tapes et y conduisant x en n tapes. Si r R(y)alors y conduit lui-mme en r tapes. Ainsi x conduit lui-mme en m + n tapes (via lechemin x y x) mais aussi en m + r + n tapes (via le chemin x y y x). Parconsquent m + n R (x) et m + r + n R (x) ; il en dcoule que la priode de x divise m + n etm + r + n et donc aussi leur diffrence qui est r . Ceci tant valable quel que soit r dans R(y),on en dduit que p(x) p(y). De mme on peut tablir que p(y) p(x) et donc que x et y ontmme priode.

Ceci dnit donc la priode dune chane irrductible. Si cette priode vaut 1 alors la chaneest apriodique . Par exemple, sil existe un tat x pour lequel P xx > 0 alors la chane est

apriodique.La chane est fortement irrductible ssi elle est irrductible et apriodique. Limplicatiodirecte est facile tablir : supposons la chane fortement irrductible dexposant k ; elle estdonc irrductible et il reste montrer que sa priode vaut 1. Choisissons deux tats x et yvriant P xy > 0. On a (P k +1 )xx P xy (P k )yx > 0. Ainsi k mais aussi k + 1 appartiennent R (x). Ces deux entiers tant premiers entre eux, la priode de x vaut 1.

tats rcurrents et transitoires Un tat x est rcurrent si, en partant de x, la probabilitque le nombre de retours en x soit inni vaut 1. Dans le cas contraire, ltat x est transitoire .

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Si une chane est irrductible alors tous ses tats sont soit rcurrents soit transitoires. Onous considrons des chanes nies : il y existe donc au moins un tat rcurrent (cest le principe des tiroirs ). Par consquent une chane nie et irrductible est donc rcurrente.

La matrice potentielle de la chane est U = I + P + P 2 + + P n + . Ses lments peuventtre nis ou innis. Le nombre U xy reprsente le nombre moyen de visites de la chane ltaty en partant de ltat x. En effet, le nombre moyen de visites ltat y en partant de x en ntapes exactement est (P n )xy .

On vrie facilement que U = I + P (I + P + P 2 + ) = I + P U . Si la matrice I P est inversible alors U = I

I P . Le rsultat est mettre en relation avec la somme des termes

dune suite gomtrique : 1 +q + q 2 + + q n = 1q n +1

1q , qui tend vers 11q

si 1 < q < 1.Si U xx = + alors ltat x est rcurrent et si U xx < + alors il est transitoire.Assez intuitivement, si x conduit y mais y ne conduit pas x alors x est un tat transitoire.

Thorme ergodique Si la chane est irrductible (et donc rcurrente) et de probabilit inva-

riante alors x = limn + 1n

n 1

k =0

1X k = x = limn + 1n

n 1

k =0

(P k )yx i.e. quel que soit ltat y de dpart

de la chane, le nombre moyen de visites ltat x tend vers la probabilit invariante de ltatx.

De plus, si T x est linstant du premier retour en x en partant de x alors x = 1E(T x )

.(Rappel : si la chane est apriodique alors lim

n + (P n )yx = x quel que soit ltat y initial.)

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