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TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité
I Loi uniforme sur ;a b
1) Introduction
Dans cette activité, on s’intéresse à la modélisation du tirage au hasard d’un nombre réel de l’intervalle
[0 ;1], chacun des nombres ayant la même probabilité d’être tiré.
A. Intuition contre modèle discret
1. Dans cette question, on ne cherche pas à démontrer les résultats proposés, mais simplement à énoncer
des résultats, conformément à la perception intuitive du problème.
On tire au hasard un nombre réel de l’intervalle [0 ;1].
La probabilité de tirer 0,2 est :…..
La probabilité de tirer un nombre de l’intervalle [0 ;0,5] est : …………
La probabilité de tirer un nombre de l’intervalle 1
0;3
est :…………….
La probabilité de tirer un nombre de l’intervalle 110;5 10 est :…………….
2. a. L’intervalle [0 ;1[ contient dix nombres d’au plus une décimale : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; …. ; 0,9.
Cet intervalle contient ………………. d’au plus deux décimales.
Cet intervalle contient ………………. d’au plus dix décimales
b. Dans toute cette question on considère uniquement les nombres de l’intervalle [0 ;1[ qui s’écrivent avec
au plus dix décimales.
On appelle « nombre de type T » un tel nombre et U désigne l’ensemble de tous ces nombres.
On tire au hasard un tel nombre :
La probabilité de tirer le nombre 0,12345678 est : 0,12345678P T
La probabilité de tirer un nombre de type T dans l’intervalle [0 ;0,5[ est : 0 0,5P T
De même : 110 5 10P T =
3. a. Le modèle de la question 2 donne-t-il une modélisation de la situation conforme à notre intuition ?
Pourquoi ?
b. Pour améliorer le modèle de la question 2, on peut augmenter le nombre de décimales utilisées.
Si on note n 10n le nombre de décimales utilisées , la probabilité d’obtenir 0,12345678 est maintenant
égale à……………..
Que devient cette probabilité si n tend vers ?
B. Modélisation continue
Dans cette partie, on note X la variable aléatoire qui , à un tirage associe le nombre réel obtenu .
On considère que, pour tout nombre a de l’intervalle 0;1 , la probabilité que le nombre choisi X soit dans
l’intervalle[0; ]a est : 0;P X a a .
1. Avec cette modélisation :
0;0,5P X ….. ; 1
0;3
P X
…… ; 110;5 10P X ……
Intuitivement : P X a ……
On admet que P X a ….. . On a donc P X a P X a a .
On dit que X suit la loi uniforme sur l’intervalle 0;1 .
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2. En utilisant les propriétés des probabilités, on montre que P a X b ……………………………
3. On remarque que, pour tout réel a de l’intervalle [0 ;1], P X a est l’aire, en
unités d’aire, du domaine grisé sur le graphique ci-contre.
Pour pouvoir généraliser la notion de modèle continu, on cherche à obtenir une
nouvelle expression de P X a .
a. En calculant l’aire du domaine grisé à l’aide d’une intégrale, donner l’expression de
P X a .
b. Vérifier alors les résultats obtenus pour P X a et P a X b avec 0 1a b .
Remarque : dans le cas discret, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui
le réalise, dans le cas continu, la probabilité d’un événement « a X b », où X suit la loi uniforme sur
0;1 est une intégrale.
2) Définition
Définition
Soit ;a b un intervalle de avec a b .
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur ;a b si, pour tout intervalle I inclus dans ;a b ,
la probabilité de l’événement « X I » est l’aire du domaine D
sous la courbe de f sur I, où f est la fonction constante définie
sur ;a b par 1
f xb a
.
Donc, pour tout intervalle ;c d inclus dans ;a b ,
1
dd
cP c X d x
b a
.
La fonction définie sur ;a b par 1
f xb a
est appelée fonction de densité de la loi
uniforme sur ;a b .
Rappel : le domaine D sous la courbe de f sur un intervalle I est l’ensemble des points ;M x y tels que :
x I et 0 y f x .
Exemple
Soi f la fonction définie sur 3;5 par 1
2f x .
Représenter la courbe de f et calculer l’aire du domaine sous la courbe de f sur l’intervalle 3;5 .
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;a b .
Pour tous réels c et d tels que a c d b , [ ; ]
[ ; ]
d c longueur de c dP c X d
b a longueur de a b
.
a0 1
1
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Conséquences :
1P a X b ;
Pour tout réel m de ;a b , 0P X m ;
Pour tous réels c et d de ;a b tels que c d ,
P c X d P c X d P c X d P c X d .
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 2;7 .
Déterminer les probabilités suivantes :
4 5P X ; 3P X ; 6P X .
Exercice 2
Aux heures d’ouverture d’une gare de banlieue, un train passe toutes les heures à destination de Paris.
Un voyageur qui n’a pas eu le temps de se renseigner sur les horaires, se présente dans la gare .
On note X la variable aléatoire donnant le temps d’attente, en minutes, de ce voyageur dans la gare.
1. Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2. Calculer la probabilité que le voyageur attende :
a. exactement 15 minutes ; b. entre 15 et 30 minutes ; c. Plus de 40 minutes.
Exercice 3
Soit AB un segment de longueur 10 cm. On choisit au hasard un point M sur AB et on note X la
variable aléatoire donnant la distance AM en cm.
1. Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2. Calculer la probabilité que le point M:
a. soit le milieu I de AB ;
b. appartienne au segment AC où C est le point de AB tel que 3AC ;
c. soit plus près de B que de I.
3) Espérance, variance et écart type
On utilise un prolongement au cas continu de l’espérance , de la variance et de l’écart type d’une variable
aléatoire discrète.
a) Espérance
Définition
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;a b , et f la fonction de densité de cette loi
uniforme c'est-à-dire la fonction définie sur ;a b par 1
f xb a
.
On appelle espérance de X , le réel noté E X , défini par db
aE X xf x x .
Remarque : E X représente la valeur moyenne de X.
Propriété
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur ;a b est : 2
a bE X
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Démonstration
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 1;5 , Calculer E X .
Exercice 5
On reprend la situation de l’exercice 1. Quel est le temps moyen d’attente ?
b) Variance et écart type
Définition
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;a b , et f la fonction de densité de cette loi
uniforme c'est-à-dire la fonction définie sur ;a b par 1
f xb a
.
On appelle variance de X , le réel noté V X , défini par 2
db
aV X x E X f x x .
On appelle écart type de X, le réel noté X , défini par X V X .
Exercice 6
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 1;7 .
1. Donner la fonction de densité f de la loi uniforme sur 1;7 .
2. Calculer E X .
3. En utilisant la définition de la variance, calculer V X et en déduire X .
Propriété
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;a b :
2
12
b aV X
et
12
b aX
.
Exercice 7
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 0;4 .
1. Préciser la fonction de densité de cette loi uniforme.
2. Déterminer les probabilités suivantes : 0,2 3,5P X ; 1P X ; 0,5P X .
3. Calculer l’espérance E X et en donner une interprétation.
4. Calculer la variance V X et donner l’écart type X .
Exercice 8
Le standard téléphonique d’un grand magasin limite la durée d’attente en transférant le plus vite possible
les appels sur d’autres postes.
On s’intéresse aux appels dont la durée d’attente est comprise entre 10 secondes et 1 minute.
On note T la variable aléatoire qui, à un appel pris au hasard associe la durée d’attente en secondes.
On admet que T suit la loi uniforme sur l’intervalle 10;60 .
1. Donner la fonction de densité de T.
2. Déterminer les probabilités suivantes :
P A où A est l’événement « la durée d’attente pour un tel appel pris au hasard est inférieure à 20
secondes ».
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P B où B est l’événement « la durée d’attente pour un tel appel pris au hasard est supérieure à 40
secondes ».
P C où C est l’événement « la durée d’attente pour un tel appel pris au hasard est comprise entre 20 et
40 secondes ».
3. Déterminer l’espérance E T et en donner une interprétation.
4. Déterminer la variance V T .
Exercice 9
On donne l’algorithme suivant :
N prend la valeur 1
S prend une valeur réelle au hasard entre 0 et 1
Tant que S<1
N prend la valeur N+1
S prend la valeur S+une valeur réelle au hasard entre 0 et 1
Fin tant que
Afficher N
a. Quelle est la loi suivie par la première valeur prise par S ?
b. Expliquer ce que fait l’algorithme.
c. Le programmer sur la calculatrice. Le faire fonctionner 50 fois et noter les valeurs obtenues.
Faire la moyenne de ces 50 valeurs.
d. Faire la moyenne de l’ensemble des valeurs obtenues par la classe.
On montre que le nombre moyen de tirages nécessaires pour que la somme de réels tirés au hasard dans
0;1 est égal à e.
II Loi exponentielle
1) Définition
Dans l’étude de la radioactivité ou d’un système non soumis à un phénomène d’usure, le calcul de
probabilité relève d’une définition similaire à celle donnée pour une loi uniforme mais avec une fonction de
densité de la forme xx e .
Définition
Soit un réel strictement positif.
Une variable aléatoire T à valeurs dans 0; suit la loi exponentielle de
paramètre si, pour tout intervalle borné I inclus dans 0; , la
probabilité de l’événement « T I » est l’aire du domaine D sous la courbe
de f sur I, où f est la fonction définie sur 0; par xf x e .
Donc, pour tout intervalle ; inclus dans 0; ,
dxP T e x
.
La fonction définie sur 0; par xf x e est appelée fonction de densité de la loi
exponentielle de paramètre .
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Exercice 10
On considère la fonction f définie sur 0; par
0,020,02 xf x e .
1. Etudier le sens de variation de f et calculer la
limite de f en .
2.On a tracé ci-contre la courbe Cf, représentative de
la fonction f .
a. Calculer l’aire A t , exprimée en unité d’aire, de
la partie du plan délimité par la courbe Cf, les axes
de coordonnées et la droite d’équation x t , où
0t .
b. Calculer limt
A t
.
c. Que peut-on dire de l’aire sous la courbe de f sur 0; ?
Propriété
Soit T une variable aléatoire à valeurs dans 0; . T suit la loi exponentielle de paramètre
si et seulement si pour tout 0t , 1 tP T t e .
Remarque : Comme pour la loi uniforme 0P T t et P T t P T t
Exercice 11
On considère la variable aléatoire T qui suit la exponentielle de paramètre 0,02 .
1 . Donner la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre 0,02 .
2. Calculer les probabilités suivantes :
a. 100P T ; b. 200P T ; c. 20;50P T .
Exercice 12
1. La durée de vie, en heures, d’une diode est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de
paramètre 0,0008.
Déterminer la probabilité que la diode :
a. tombe en panne avant 4 000 h ;
b. fonctionne sans panne au moins 5 000 h ;
c. tombe en panne entre la 4 000e et la 5 000
e heure.
2. Pour une autre diode, la durée de fonctionnement, en heures, est une variable aléatoire T’ qui suit une loi
exponentielle. La probabilité que la diode fonctionne plus de 2000 h est égale à 0,02 déterminer le
paramètre .
Exercice 13
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique.
On modélise cette situation en supposant que la durée de vie de ce composant électronique est une variable
aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .
Une étude statistique montre qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore en état de
marche au bout de 200 semaines.
1. Montrer que ln 2
200 .
2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300
semaines.
t
A(t) Cf
100 150 200
0,02
0 50
0,01
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 7
2) Espérance
On procède par analogie avec la loi uniforme pour définir l’espérance d’une variable aléatoire T qui suit
une loi exponentielle de paramètre .
On appelle espérance de T le réel défini par 0
lim dE T tf t t
.
Propriété ( admise )
Si une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre , alors 1
E T
Exercice 14
La durée de vie, en heure, d’un composant électronique est une variable aléatoire T qui suit la loi
exponentielle de paramètre 0,00005. Déterminer la probabilité que le composant électronique :
1. a. tombe en panne avant 10 000 h ;
b. fonctionne sans panne au moins 15 000 h ;
c. tombe en panne entre la 10 000e et la 15 000
e heure.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10-3
.
2. Calculer l’espérance de T et en donner une interprétation.
Exercice 15
Une nuit d’été, Sarah ouvre sa fenêtre et voit une étoile filante.
On suppose que dans les conditions de cette nuit, la variable aléatoire T qui donne le temps , en minutes,
entre deux apparitions d’étoiles filantes suit une loi exponentielle de paramètre .
a. Sachant qu’il y a en moyenne cette nuit là 50 étoiles filantes visibles par heure, déterminer le paramètre
.
Dans la suite de l’exercice, donner les probabilités demandées arrondies à 10-3
.
b. Calculer la probabilité que Sarah attende moins d’une minute avant qu’une deuxième étoile filante soit
visible.
c. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’étoile filante visible pendant 5 min.
d. Déterminer le réel t tel que 0,9P T t . Comment interpréter ce résultat ?
III Loi normale
1) Introduction
A. Un peu d’intuition, un peu de simulation
Trois personnes choisissent chacune au hasard indépendamment l’une de l’autre un nombre réel compris
entre 0 et 1. On appelle 1N , 2N et 3N les nombres choisis respectivement par chaque personne.
On s’intéresse à 1 2 3N N N N .
1. a. dans quel intervalle varie N ?
b. Donner une réponse intuitive à la question suivante : « le choix de 1N , 2N et 3N se fait suivant la loi
uniforme sur 0;1 , leur somme N suit-elle la loi uniforme sur 0;3 ?
Autrement dit, a-ton la même probabilité d’obtenir un nombre N entre 0 et 1, qu’un nombre N entre 1 et 2 ?
2. Pour conforter ou non l’intuition, on teste avec la calculatrice.
a. Entrer un programme qui génère trois nombres aléatoires A, B, C et qui affiche la somme S de ces trois
nombres.
b. Utiliser ce programme 15 fois de suite en notant chaque fois si le résultat est entre 0 et 1, entre 1 et 2 ou
entre 2 et 3. La somme S semble-t-elle suivre une loi uniforme sur 0;3 ?
B. Avec 40 valeurs On suppose maintenant que 40 personnes choisissent chacune au hasard indépendamment l’une de l’autre
un nombre réel compris entre 0 et 1. On s’intéresse à la somme S des 40 nombres choisis.
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 8
1. Dans quel intervalle varie S ?
2. On a simulé 500 fois sur un tableur l’obtention de S.
Les valeurs obtenues ont été rassemblées en 20 classes de même largeur.
On donne ci-dessous un diagramme des fréquences : les valeurs en abscisses sont les centres des classes.
Répondre par lecture graphique aux questions suivantes :
a. En quoi l’observation de ce diagramme permet de conjecturer que S ne suit pas une loi uniforme sur
0;40 ?
Pour cette simulation, on obtient, pour la série des 500 valeurs de S , la moyenne 19,93 et l’écart type
1,84 .
b. Evaluer la fréquence de l’événement « S est inférieur ou égal à ». Que peut-on dire de la répartition
des valeurs de S autour de la moyenne ?
c. Evaluer la fréquence de l’événement : « S est compris entre et ».
La loi de S est proche d’une loi que l’on va étudier, la loi normale, dont la répartition des valeurs a des
propriétés telles que celles observées dans cette activité.
2) Loi normale d’espérance et d’écart type
a) Définition et propriétés
Définition
Soit et deux réels tels que 0 .
Une variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance et d’écart type si, pour tout
intervalle I inclus dans , la probabilité de l’événement « X I » est
l’aire du domaine sous la courbe de f sur I où f est la fonction définie sur
par
21
21
2
t
f t e
.
En particulier, pour tout intervalle ; on a :
dP X f t t
La fonction f est appelée fonction de densité de la loi normale d’espérance et d’écart type
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 9
Propriétés
Soit f la fonction de densité de la loi normale d’espérance et d’écart type .
La courbe représentative de f dans un repère orthogonal est une courbe « en cloche » symétrique
par rapport à la droite d’équation x , et d’autant plus « resserrée » autour de son axe de symétrie
que est petit.
L’aire sous la courbe de f sur est égale à 1.
0,5P X P X
b) Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance et
d’écart type
Exemple
Une cantine sert des repas en nombre important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes
des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale d’espérance 120 et d’écart type 15.
Les probabilités seront arrondies au millième.
1. Quelle est le poids moyen d’une ration de viande ?
Réponse : 120E X donc le poids moyen d’une ration de viande est 120 g.
2. Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110 g et 135 g ?
Réponse : On doit calculer 110 135P X avec la calculatrice :
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 10
On obtient 110 135 0,589P X .
La probabilité pour que le poids d’une ration soit compris entre 110g et 135g est donc 0,589.
3. Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas.
A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130g ?
Réponse : Il faut commencer par calculer 130P X .
130 0,5 120 130P X P X
On obtient 130 0,252P X .
Le lycée a servi 850 repas, donc on peut évaluer à 800 0,252 soit 214, le nombre de rations de viande
dont le poids dépassait 130g.
Exercice 16
Les résultats seront arrondis au millième.
1. La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 15 et d’écart type 4.
Déterminer les probabilités suivantes : 10 20P X ; 18P X ; 16P X ; 30P X .
2. La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance mathématique 50 et d’écart type 30.
Déterminer les probabilités suivantes : 70 10P X ; 10P X ; 100P X ; 3P X .
3. La variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance mathématique 2.
La courbe représentative de la fonction de densité de la loi de X est
représentée ci- contre. On sait que l’aire du domaine coloré vaut 0,118 à 310près.
Déterminer les probabilités 2,6P X et 2,6P X .
Exercice 17
La société K-Gaz produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm3.
On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque bonbonne tirée au hasard dans la production associe la
sa contenance en dm3.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 44 et d’écart type 0,2.
1. Quelle est la probabilité que la contenance d’une bonbonne de gaz choisie au hasard soit inférieure à
44,3 dm3.
2. Quelle est la probabilité que la contenance d’une bonbonne soit comprise entre 43,8 et 44,3 dm3.
Exercice 18
Une entreprise de travaux publics a un parc total de 150 camions.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque camion choisi au hasard, associe la distance en
kilomètres qu’il a parcourue dans une journée.
On admet que X suit la loi normale d’espérance 120 et d’écart type 16.
1. Quelle est la distance moyenne parcourue par un camion une journée ?
2. Déterminer, à 310 près, la probabilité pour qu’un camion parcourt un jour donné :
a. entre 110 et 130 km ;
b. plus de 150 km.
3. A combien peut-on évaluer le nombre de camions parcourant moins de 130 km par jour ?
2,62 3
0
0,1
120 130
0
0,008
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 11
c) Intervalles « Un, deux, trois sigmas »
Propriétés
X suit la loi normale d’espérance et d’écart type .
0,683P X
2 2 0,954P X
3 3 0,997P X
Remarque
On peut interpréter graphiquement chacun des résultats précédents.
Par exemple 0,683P X signifie que l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée
par la courbe représentative Cf de la fonction de densité f de la loi normale d’espérance et d’écart type
, l’axe des abscisses et les droites d’équation x et x , est environ égale à 0,68.
Exemple
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques. On appelle X la variable aléatoire qui, à
chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur en millimètres.
On suppose que X suit une loi normale d’espérance 100 et d’écart type .
On admet que la probabilité qu’une tige prélevée au hasard ait une longueur comprise entre 98 et 102 mm
est 0,95. Déterminer une valeur approché de .
D’après la propriété, on a 100 2 100 2 0,95P X .
Et 98 102 100 2 100 2X X d’où 1 .
Exercice 19
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 50 et d’écart type .
Déterminer une valeur approchée de dans chacun des cas suivants :
a. 49 51 0,68P X ;
b. 49,6 50,4 0,95P X ;
c. 49,97 50,03 0,99P X .
Exercice 20
On a représenté ci-contre, dans un repère orthogonal, la courbe
représentative de la fonction de densité d’une loi normale.
On sait que l’aire, en unités d’aire, du domaine grisé est environ égal à 0,95.
Déterminer par lecture graphique l’espérance et l’écart type de cette loi
normale.
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 12
3) Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
a) Loi binomiale : rappels
On répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire, donnant lieu à deux issues :
L’une nommée succès, avec la probabilité p, l’autre, l’échec, avec la probabilité 1 p .
La variable aléatoire X, qui, à cette succession de n épreuves, associe le nombre de succès, suit la loi
binomiale de paramètres n et p.
Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
L’espérance mathématique de X est E X np , sa variance est 1V X np p et son écart type
est 1X np p .
Utilisation de la calculatrice
Exemple
Corentin fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des
composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.
On estime que la probabilité pour qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment grand pour que l’achat
de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de
composants défectueux achetés.
Corentin achète 50 composants.
Les résultats seront arrondis à 210 .
1. Calculer la probabilité qu’il y ait 10 composants défectueux.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait moins de 10 composants défectueux.
3. Calculer la probabilité qu’au moins un des composants soit défectueux.
4. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
Exercice 20
Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l’industrie automobile.
On note E l’événement : « une plaque prélevée au hasard dans la production d’une journée est conforme au
cahier des charges ».
On suppose que 0,98P E .
On prélève au hasard 60 plaques dans la production de la journée pour vérification.
La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement de 60 plaques à un tirage
avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques
conformes au cahier des charges dans ce prélèvement.
a. Justifier que X suit une loi binomiale don on précisera les paramètres.
Dans la suite de l’exercice donner les résultats arrondis à 210 .
b. Avec la calculatrice, calculer les probabilités qu’il y ait dans un tel prélèvement :
exactement 58 plaques conformes ; plus de 55 plaques conformes ;au moins 10 plaques défectueuses.
c. Quel est, par lot de 60 plaques prélevées, le nombre moyen de plaques conformes ?
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 13
b) Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Sur le graphique ci-contre, on a représenté le diagramme en
bâtons de la loi binomiale de paramètres 40n et 0,35p .
On constate qu’il y a une certaine analogie entre cette
représentation graphique et la représentation graphique de la
densité de probabilité d’une loi normale.
La propriété qui suit confirme et précise cette analogie.
Propriété
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p avec 30n , 5np et
1 5np p , la loi de X peut être approchée par la loi d’une variable aléatoire Y suivant la loi normale de
paramètres np et 1np p .
Exemple
Une entreprise fabrique des rondelles en acier. La probabilité qu’une rondelle soit non-conforme au cahier
des charges est 0 08. L’entreprise conditionne ces rondelles par lot de 500.
La production est suffisamment importante pour qu’on assimile de choix de 500 rondelles à un tirage avec
remise.
On appelle X la variable aléatoire qui, à un lot de 500 rondelles, associe le nombre de rondelles non-
conformes.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Justifier que la loi de X peut être approchée par la loi d’une variable aléatoire Y suivant une loi normale
dont on précisera les paramètres.
c. En utilisant cette approximation, déterminer une valeur approchée de la probabilité que le lot de 500
rondelles contienne au plus 50 rondelles non conformes.
Exercice 21
Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques. On sait que 5% des composants
produits sont défectueux.
1. L’entreprise vend ses composants à des grossistes par lot de 150. On assimile le choix de 150
composants d’un lot à des tirages successifs avec remis. On note X la variable aléatoire qui, à un lot de 150
composants, associe le nombre de composants défectueux.
a. Justifier le fait que X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
b. Donner l’espérance et l’écart type de X. Donner la valeur arrondi à 10-3
de l’écart type.
2. L’entreprise vend les composants à des sociétés par lots de 1 500. On assimile le choix des 1 500
composants à des tirages successifs avec remise.
a. La variable aléatoire Y qui comptabilise le nombre de composants défectueux dans un lot suit une loi
binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
b. Justifier que la loi de Y peut être approchée par la loi d’une variable Z suivant une loi normale et
préciser les paramètres de cette loi normale.
c. En utilisant cette approximation, déterminer, au millième près, la probabilité d’avoir :au plus 60
composants défectueux dans un lot ; entre 70 et 80 composants défectueux dans un lot.
