ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 1 Renaissance de la Didactique des Mathématiques

ULYSSE ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactiquintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques e des mathématiques

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Renaissance deRenaissance de la la

Didactique des Didactique des MathématiquesMathématiques


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Les mathématiques vers Les mathématiques vers 19601960

Une évolution ancienne, qui Une évolution ancienne, qui s’accélère… s’accélère…

des idées qui envahissent les sciences des idées qui envahissent les sciences et les techniqueset les techniques

ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

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► Le 18Le 18ièmeième siècle voit le Calcul différentiel et intégral siècle voit le Calcul différentiel et intégral ouvrir un champ nouveau aux mathématiques qui ouvrir un champ nouveau aux mathématiques qui envahissent l’industrie envahissent l’industrie

► Le 19Le 19ièmeième voit l’algèbre, l’analyse et la logique voit l’algèbre, l’analyse et la logique réorganiser les structures de l’édifice jusqu’à la réorganiser les structures de l’édifice jusqu’à la crise des fondementscrise des fondements

► Le 20Le 20ièmeième siècle voit un développement tous azimuts siècle voit un développement tous azimuts des mathématiques fondamentales et appliquées des mathématiques fondamentales et appliquées (qui tendent à se confondre), toutes les sciences (qui tendent à se confondre), toutes les sciences demandent et suscitent des développements demandent et suscitent des développements mathématiques originaux mathématiques originaux

► Malgré l’allongement des études, il devient de plus Malgré l’allongement des études, il devient de plus en plus difficile d’assurer des connaissances en plus difficile d’assurer des connaissances mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs d’activités où cela serait nécessaire. les secteurs d’activités où cela serait nécessaire.


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► La pression concerne d’abord les formations La pression concerne d’abord les formations universitaires et en particulier en mathématiques, universitaires et en particulier en mathématiques, la préparation aux grandes écolesla préparation aux grandes écoles

► Après 1950, toutes les forces vives de la société, les Après 1950, toutes les forces vives de la société, les industriels comme les intellectuels, militent pour industriels comme les intellectuels, militent pour cette réforme dans le monde entier.cette réforme dans le monde entier.

► ► Progressivement toutes les disciplines et tous les Progressivement toutes les disciplines et tous les

secteurs de l’enseignement classique: le secteurs de l’enseignement classique: le vocabulaire, les objets de l’étude, la construction vocabulaire, les objets de l’étude, la construction des concepts, l’organisation d’ensemble, les des concepts, l’organisation d’ensemble, les méthodes d’enseignement… sont remis en cause, méthodes d’enseignement… sont remis en cause, certains mêmes disqualifiés dans l’opinion. certains mêmes disqualifiés dans l’opinion.

► Ces projets vont se concrétiser en France à Ces projets vont se concrétiser en France à l’occasion des évènements de 1968 l’occasion des évènements de 1968


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► La demande évoluera avec l’apparition de l’informatique La demande évoluera avec l’apparition de l’informatique qui rend progressivement automatiques les calculs, la qui rend progressivement automatiques les calculs, la gestion et la modélisation dans beaucoup d’activités gestion et la modélisation dans beaucoup d’activités humaines et par suite, dévalue leur apprentissage . humaines et par suite, dévalue leur apprentissage .

► Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le 22ièmeième cycle de l’enseignement secondaire scientifique. cycle de l’enseignement secondaire scientifique.

► ► Rapidement on conçoit qu’elle doit s’étendre à tout le Rapidement on conçoit qu’elle doit s’étendre à tout le

secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle et on entrevoit des raisons de l’étendre aussi au et on entrevoit des raisons de l’étendre aussi au primaire primaire

► Finalement l’ambition de la réforme s’étend « de la Finalement l’ambition de la réforme s’étend « de la maternelle à l’Université » maternelle à l’Université »


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Cette réforme consiste essentiellement :Cette réforme consiste essentiellement :► 1. à réorganiser l’ordre des notions classiques par 1. à réorganiser l’ordre des notions classiques par

rapport à l’exposé moderne des mathématiques rapport à l’exposé moderne des mathématiques afin de réformer et d’unifier le vocabulaire afin de réformer et d’unifier le vocabulaire

► 2. à réaliser les cours sur ces nouvelles 2. à réaliser les cours sur ces nouvelles connaissances connaissances

► 3. à imaginer les exercices et les problèmes 3. à imaginer les exercices et les problèmes correspondants. Ce qui était moins aisé !correspondants. Ce qui était moins aisé !

… … en utilisant si possible les méthodes pédagogiques en utilisant si possible les méthodes pédagogiques et les connaissances épistémologiques et et les connaissances épistémologiques et psychologiques psychologiques classiquesclassiques


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► Remarque : Adapter ces conceptions et ces Remarque : Adapter ces conceptions et ces méthodes aux méthodes aux nouvelles connaissancesnouvelles connaissances venues de venues de toutes les disciplines était considéré par les toutes les disciplines était considéré par les mathématiciens comme un problème indépendant, mathématiciens comme un problème indépendant, qui était l’affaire des professeurs et des qui était l’affaire des professeurs et des psychopédagogues psychopédagogues

► Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles suggestions à l’enseignement et engageaient des suggestions à l’enseignement et engageaient des recherches à ce sujet recherches à ce sujet


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1950-60 1950-60 Le renouveau des Le renouveau des

mathématiquesmathématiques pose à l’enseignement des pose à l’enseignement des

questionsquestions

- de culture mathématiques - de culture mathématiques - et d’Ingénierie didactique- et d’Ingénierie didactique

qui vont remonter jusqu’àqui vont remonter jusqu’àl’enseignement primairel’enseignement primaire


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L’enseignement des L’enseignement des mathématiques à mathématiques à

l’école primaire avant l’école primaire avant 19601960

Une méthodologie traditionnelle Une méthodologie traditionnelle sophistiquée mais sans sophistiquée mais sans

support scientifiquesupport scientifique


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Des méthodes et une épistémologie Des méthodes et une épistémologie stablesstables

► Les mathématiques à l’école primaire (6-14 ans) : Les mathématiques à l’école primaire (6-14 ans) : arithmétique (3h/s), système métrique (1h/s), géométrie arithmétique (3h/s), système métrique (1h/s), géométrie (1h/s) pendant 36 semaines (1h/s) pendant 36 semaines

► L’enseignement de l’arithmétique suit un plan d’ensemble qui L’enseignement de l’arithmétique suit un plan d’ensemble qui est le même depuis plus de 250 ansest le même depuis plus de 250 ans (ref. Gobain 1711), avec (ref. Gobain 1711), avec seulement l’ajout du système métrique. seulement l’ajout du système métrique.

► La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à tous les élèves, donner et corriger des exercices et des tous les élèves, donner et corriger des exercices et des problèmes. Assurer des révisions périodiques raisonnables problèmes. Assurer des révisions périodiques raisonnables pour les algorithmes fondamentaux pour les usagespour les algorithmes fondamentaux pour les usages

► Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans leur enseignement de l’arithmétique et du calcul, sauf un peu leur enseignement de l’arithmétique et du calcul, sauf un peu pour les problèmespour les problèmes: les élèves « doués » savent tous les faire : les élèves « doués » savent tous les faire parfaitement, les autres se limitent plus ou moins aux parfaitement, les autres se limitent plus ou moins aux exemples standards, certains en restent aux exercices. exemples standards, certains en restent aux exercices.


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Diverses organisations de manuelsDiverses organisations de manuels► 1. 1. Recueil de problèmes Recueil de problèmes pratiques gradués centrés sur les pratiques gradués centrés sur les

métiers: les algorithmes sont nommés mais pas étudiés à partmétiers: les algorithmes sont nommés mais pas étudiés à part

► 2. Les 2. Les algorithmes simplesalgorithmes simples sont regroupés et sont regroupés et quelques notionsquelques notions sont identifiées et montrées à l’occasion de leur usage sont identifiées et montrées à l’occasion de leur usage

► 3. 3. L’étude des algorithmes et des notions mathématiquesL’étude des algorithmes et des notions mathématiques devient devient l’ossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent l’ossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent l’objet d’enseignement et d’apprentissage formels (récitation). l’objet d’enseignement et d’apprentissage formels (récitation). Exemple, leçon type 1890.Exemple, leçon type 1890.

► 4. Lorsque survient l’étude des 4. Lorsque survient l’étude des structures mathématiques, structures mathématiques, à la à la fin des années 60 : les notions sont articulées pour la commodité fin des années 60 : les notions sont articulées pour la commodité de leur présentation et de leur compréhension interne. Les de leur présentation et de leur compréhension interne. Les exercices se diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport exercices se diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport classique avec les usages et les pratiques quotidiennes n’est plus classique avec les usages et les pratiques quotidiennes n’est plus assuré. assuré.

► 5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux 5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux passé passé


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Plan standard d’une leçon type 1920Plan standard d’une leçon type 1920

► LaLa correction des devoirs de la veillecorrection des devoirs de la veille► Le Le titretitre, l’objet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois), l’objet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois)► L’L’exposé exposé de la connaissance à apprendre : définition, ou règle, de la connaissance à apprendre : définition, ou règle, ► Les Les questions oralesquestions orales répéter, interroger et commenter l’exposé répéter, interroger et commenter l’exposé ► Les Les exercices exercices oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire)oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire)► Les Les exemples d’applicationsexemples d’applications, , ► Le Le Problème typeProblème type, Emplois similaires, Emplois similaires► Les Les commentairescommentaires et les questions et les questions ► La La correction correction , ,

► Les Les exercicesexercices d’entraînement, ad libitum d’entraînement, ad libitum► Les Les devoirs,devoirs,

EN

CLASSE

A la Maison

Il s’agit de l’étude des techniques et de leur applications. Les mathématiques sont, au mieux, orales, lors des explications


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Exemple (1923)(1923)

Alix & Bazenant, Arithmétique

Bibliothèque d’éducation (1923)(1923)


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Avec des variantes…Avec des variantes…

► présentation d’un problème introductifprésentation d’un problème introductif► recherche autonome ou recherche guidée de la solutionrecherche autonome ou recherche guidée de la solution► Explication, preuve ou démonstration, Explication, preuve ou démonstration, ► Reformulation et confirmation de la validité culturelle Reformulation et confirmation de la validité culturelle ► Les applications Les applications ► exercices contrôlés par le professeur, exercices contrôlés par le professeur, ► Problèmes Problèmes ► exercices d’entraînement où la réponse est donnée exercices d’entraînement où la réponse est donnée

(auto -enseignements programmés,(auto -enseignements programmés,

fichier de calcul de C. Freinet)fichier de calcul de C. Freinet)

EN

CLASSE


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Ch. Piette, S. Sciulara, R. Berthoul, Arithmétique Moderne, Cours moyen 1- 2, Wesmael-Charlier, 1962

Exemple 1962


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► Les Les modèles classiquesmodèles classiques (rationalistes et (rationalistes et « conductivistes ») sont toujours l’objet de critiques , qui, dans « conductivistes ») sont toujours l’objet de critiques , qui, dans la ligne de Rousseau, s’appuient sur des arguments d’origines la ligne de Rousseau, s’appuient sur des arguments d’origines diverses, pédagogiques, médicales ou philosophiques. diverses, pédagogiques, médicales ou philosophiques.

► - - L’éducation nouvelleL’éducation nouvelle de John Dewey prône une pédagogie de John Dewey prône une pédagogie active, l’écoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: active, l’écoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: apprendre en faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, apprendre en faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, expérimentale, volontariste et socialisante ». expérimentale, volontariste et socialisante ».

► Ce mouvement en inspire beaucoup d’autres, dès 1918, qui Ce mouvement en inspire beaucoup d’autres, dès 1918, qui se manifestent par la production de techniques variées : se manifestent par la production de techniques variées : textes et dessins libres (textes et dessins libres (C. FreinetC. Freinet), centres d’intérêt (), centres d’intérêt (O. O. DecrolyDecroly), méthodes fondées sur la psychologie sensori-), méthodes fondées sur la psychologie sensori-motrice (motrice (A. MontessoriA. Montessori), activités collectives (Roger ), activités collectives (Roger CousinetCousinet) ) ou individuelles (ou individuelles (H.H. BouchetBouchet ) ou orientées plutôt vers les ) ou orientées plutôt vers les travaux manuels ou vers les techniques modernes de travaux manuels ou vers les techniques modernes de communication… communication…

► Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées aux enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des aux enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des exemples de classes « modèles » ou expérimentales exemples de classes « modèles » ou expérimentales

► Le contenu intervient peu dans ces débats. Le contenu intervient peu dans ces débats.


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Trois questions sensibles en 1965Trois questions sensibles en 1965

► 1. Pour les instituteurs1. Pour les instituteurs Comment améliorer Comment améliorer l’apprentissage de la résolution de problèmes? l’apprentissage de la résolution de problèmes?

La recherche se concentre à cette époque :La recherche se concentre à cette époque :

- Sur - Sur l’étude des élèves en difficulté,l’étude des élèves en difficulté, classification des handicaps classification des handicaps enseignement enseignement

individualisé (1934) individualisé (1934)

- et sur - et sur l’enseignement de la résolution l’enseignement de la résolution des problèmesdes problèmes par les procédés classiques : par les procédés classiques : Problèmes types, analogie, discours et répétition Problèmes types, analogie, discours et répétition

(apprentissage behavioriste, (apprentissage behavioriste, L’illustration, le matériel etc. (moyens L’illustration, le matériel etc. (moyens

sensorimoteurs)sensorimoteurs)


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► 2. Pour les responsables des programmes2. Pour les responsables des programmes Comment améliorer l’organisation générale Comment améliorer l’organisation générale des apprentissages mathématiquesdes apprentissages mathématiques

Elle est fondée à l’époque sur l’enchaînement Elle est fondée à l’époque sur l’enchaînement des techniques et sur lades techniques et sur la décomposition des décomposition des tâches en sous tâches :tâches en sous tâches :

- adaptée aux exposés suivis d’exercices - adaptée aux exposés suivis d’exercices - mais lourde (répétitive), coûteuse (en - mais lourde (répétitive), coûteuse (en

vocabulaire, en temps et en échecs), inadaptée aux vocabulaire, en temps et en échecs), inadaptée aux mathématiques mathématiques

► Cette organisation conduit à multiplier les problèmes Cette organisation conduit à multiplier les problèmes types pour favoriser la reconnaissance par analogie. types pour favoriser la reconnaissance par analogie. Plus leur nombre croît plus l’incertitude des élèves Plus leur nombre croît plus l’incertitude des élèves augmente. augmente.

► Les mathématiques et une épistémologie Les mathématiques et une épistémologie scientifique peuvent-elles faire mieux ? scientifique peuvent-elles faire mieux ?


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► 3. 3. Pour les promoteurs de la réforme.Pour les promoteurs de la réforme. A quelles A quelles conditions des réponses à ces questions pourront conditions des réponses à ces questions pourront être tenues pour scientifiquement valides ? être tenues pour scientifiquement valides ?

Quelles Quelles connaissancesconnaissances pour déterminer leur objet pour déterminer leur objet (les questions, les hypothèses)?(les questions, les hypothèses)?

Quelles conditions pour la mise en Quelles conditions pour la mise en expérienceexpérience de de ces questions (la confrontation à la contingence)?ces questions (la confrontation à la contingence)?

Quelles Méthodes pour établir la consistance et la Quelles Méthodes pour établir la consistance et la validitévalidité des conclusions? des conclusions?

Quelles limites (précautions) pour leur Quelles limites (précautions) pour leur développement?développement?► A l’époque, on conçoit seulement un schéma A l’époque, on conçoit seulement un schéma

empirique : empirique : Grands principes,Grands principes, I Idées générales, dées générales,

/Expérimentations, /Expérimentations, « évaluation », /Diffusion par l’exemple / « évaluation », /Diffusion par l’exemple /

reproduction,reproduction,En fait ces processus sont seulement médiatiques, sans En fait ces processus sont seulement médiatiques, sans

contrôle effectif de la valeur scientifique des hypothèses.contrôle effectif de la valeur scientifique des hypothèses.


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Les mathématiques Les mathématiques « modernes » et « modernes » et

l’enseignement primairel’enseignement primaire

Les raisons et les causes de Les raisons et les causes de l’extension du mouvement à l’extension du mouvement à

l’école primaire sont différentesl’école primaire sont différentes


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► Mais il était clair que pour l’école primaire, le projet de Mais il était clair que pour l’école primaire, le projet de changer seulement le « contenu » mathématique ne pouvait changer seulement le « contenu » mathématique ne pouvait pas fonctionner car les méthodes pédagogiques pas fonctionner car les méthodes pédagogiques traditionnelles étaient critiquées de toutes parts. traditionnelles étaient critiquées de toutes parts.

► On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les changer changer

► Mais alors, tenter de résoudre en même tempsMais alors, tenter de résoudre en même temps le problème de le problème de la compréhension de l’enseignement et de l’apprentissage de la compréhension de l’enseignement et de l’apprentissage de mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des apports des autres disciplines notamment de l’épistémologie, apports des autres disciplines notamment de l’épistémologie, ne pouvait que provoquer la proposition d’un très grand ne pouvait que provoquer la proposition d’un très grand nombre de « solutions ».nombre de « solutions ».

► Il en résulterait une grande dispersion Il en résulterait une grande dispersion

- difficile à accepter pour les responsables de - difficile à accepter pour les responsables de l’éducation nationale soucieux de son homogénéité, et surtout l’éducation nationale soucieux de son homogénéité, et surtout

- difficile à réduire par le processus habituel des - difficile à réduire par le processus habituel des concertations entre le genre d’« experts » dont on disposait concertations entre le genre d’« experts » dont on disposait

- et a fortiori par des ralliements spontanés au même - et a fortiori par des ralliements spontanés au même modèle modèle


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► C’est sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et C’est sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et en particulier André Lichnérowicz à envisager la création en particulier André Lichnérowicz à envisager la création d’Instituts de Recherches sur l’Enseignement des d’Instituts de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques.Mathématiques.

► Il me proposa en 1964 d’étudier «Il me proposa en 1964 d’étudier « les conditions limites d’une les conditions limites d’une expérience en pédagogie des mathématiques expérience en pédagogie des mathématiques ». Je lui remis en ». Je lui remis en 1968 un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et 1968 un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et méthodologiques de méthodologiques de l’observationl’observation dont je vous parlerai bientôt. dont je vous parlerai bientôt.

► Je rendis public en 1970 une sorte de programme d’étude des Je rendis public en 1970 une sorte de programme d’étude des « situations pour l’enseignement des mathématiques « situations pour l’enseignement des mathématiques » avec » avec quelques premiers exemples. quelques premiers exemples.

► L’idée des L’idée des situations situations s’inspirait des dispositifs imaginés par Pierre s’inspirait des dispositifs imaginés par Pierre Gréco pour étudier l’apparition spontanée des structures Gréco pour étudier l’apparition spontanée des structures mathématiques chez l’enfant. J’avais l’intention de systématiser mathématiques chez l’enfant. J’avais l’intention de systématiser la construction de dispositifs appropriés à l’étude psychologique la construction de dispositifs appropriés à l’étude psychologique des nouveaux concepts mathématiques. des nouveaux concepts mathématiques.

► Les grandes étapes de ce qui s’ensuivit est l’objet de la vue Les grandes étapes de ce qui s’ensuivit est l’objet de la vue suivantesuivante


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La création des IREM et la naissance de La création des IREM et la naissance de la didactique la didactique et ma contributionet ma contribution

► 1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des 1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des professeurs réforme de l’enseignement à l’université professeurs réforme de l’enseignement à l’université

► Détail personnel: André Lichnérowicz me propose d’étudier Détail personnel: André Lichnérowicz me propose d’étudier «« les conditions limites d’une expérience en pédagogie des les conditions limites d’une expérience en pédagogie des mathématiquesmathématiques »»

► 1968 : Mouvements sociaux, 1968 : Mouvements sociaux, ► Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles

et méthodologiques des expériences en pédagogie des et méthodologiques des expériences en pédagogie des mathématiques » mathématiques » au colloque d’Amiensau colloque d’Amiens : il conclut sur le projet d’un : il conclut sur le projet d’un IREMIREM

► 1969 : Création des premiers IREM1969 : Création des premiers IREM : de la maternelle à : de la maternelle à l’université, tous les niveaux sont concernés … l’université, tous les niveaux sont concernés …

► Je publie un programme d’étude des Je publie un programme d’étude des « situations pour « situations pour l’enseignement des mathématiques l’enseignement des mathématiques ». Le Pr Colmez directeur du ». Le Pr Colmez directeur du nouvel IREM de Bordeaux me confie la mise en œuvre du programme nouvel IREM de Bordeaux me confie la mise en œuvre du programme de recherches de l’équipe que j’avais formée depuis 1964. de recherches de l’équipe que j’avais formée depuis 1964.


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L’enseignement primaire est un terrain plus favorable que d’autres L’enseignement primaire est un terrain plus favorable que d’autres aux recherches théoriques et expérimentales sur l’enseignement: aux recherches théoriques et expérimentales sur l’enseignement:

► les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux canons traditionnels de l’enseignement des mathématiques canons traditionnels de l’enseignement des mathématiques

► les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur forme plus différente.forme plus différente.

► les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et d’autant plus visibles. d’autant plus visibles.

► Les conflits épistémologiques y sont moins violents Les conflits épistémologiques y sont moins violents ► Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du

primaire permettaient la création des conditions expérimentales primaire permettaient la création des conditions expérimentales nécessaires nécessaires

► Alors que le mouvement prenait l’ampleur que l’on connaît dans Alors que le mouvement prenait l’ampleur que l’on connaît dans le secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à le secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à des recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la des recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la scolarité commune se mettaient en place avec la création du scolarité commune se mettaient en place avec la création du COREM. COREM.


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L’ingénierie didactiqueL’ingénierie didactique

Les options fondamentales du Les options fondamentales du centre d’observation et de centre d’observation et de

recherches de l’IREM de Bordeaux recherches de l’IREM de Bordeaux

(COREM)(COREM)


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► 1. La1. La Simulation de l’activité mathématiqueSimulation de l’activité mathématique► L’enfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des L’enfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des

conditions favorables (recherche de coopération, conditions favorables (recherche de coopération, communication, etc.) avant de pouvoir étudier sa grammaire. communication, etc.) avant de pouvoir étudier sa grammaire. Ces conditions le conduisent à s’exprimer et non pas à citer ou Ces conditions le conduisent à s’exprimer et non pas à citer ou à réciter des textes. à réciter des textes.

► Pour enseigner les mathématiques Pour enseigner les mathématiques il faut donc disposer de il faut donc disposer de conditions qui induisent spontanément chez les élèves des conditions qui induisent spontanément chez les élèves des comportementscomportements qui ressemblentqui ressemblent à ceux des mathématiciens à ceux des mathématiciens lorsqu’ils créent les mathématiques mais qui sont des lorsqu’ils créent les mathématiques mais qui sont des expressionsexpressions

► Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes qui tiennent ce rôle. qui tiennent ce rôle. Faire des mathématiques, « c’est » Faire des mathématiques, « c’est » résoudre des problèmes de mathématiques résoudre des problèmes de mathématiques dit-ondit-on..

► Or si avec les méthodes classiques l’enseignement des textes et Or si avec les méthodes classiques l’enseignement des textes et

des algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des des algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des problèmes est moins satisfaisant. problèmes est moins satisfaisant.

► On peut penser que c’est parce que On peut penser que c’est parce que l’activité mathématique est l’activité mathématique est mal représentée par les problèmes traditionnelsmal représentée par les problèmes traditionnels. .


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► Les méthodes d’apprentissage classiques consistent à exposer le Les méthodes d’apprentissage classiques consistent à exposer le savoir, puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la savoir, puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la restitution ce texte en restitution ce texte en réponseréponse à des circonstances voisines. à des circonstances voisines.

► Cette restitution ne représente pas bien l’activité mathématique: Cette restitution ne représente pas bien l’activité mathématique: tout ce qui s’écarte du texte et des méthodes enseignées est tout ce qui s’écarte du texte et des méthodes enseignées est considéré comme des maladresses ou des erreurs. considéré comme des maladresses ou des erreurs.

► Or l’activité mathématique réelle a abouti à ces textes par des Or l’activité mathématique réelle a abouti à ces textes par des processus beaucoup plus variés, où la production de questions et processus beaucoup plus variés, où la production de questions et de connaissances nouvelles avait son prix. de connaissances nouvelles avait son prix.

► Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser de nouveaux problèmes, de nouvelles questionsde nouveaux problèmes, de nouvelles questions en construisant en construisant au passage les instruments d’étude nécessaires au passage les instruments d’étude nécessaires

► D’où l’idée d’élargir la notion de « D’où l’idée d’élargir la notion de « problème problème » centrée sur la » centrée sur la construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus large de « large de « situationsituation », qui par des propriétés », qui par des propriétés poïétiquespoïétiques*, pourrait *, pourrait susciter une sorte de genèse mathématique des concepts. susciter une sorte de genèse mathématique des concepts.

* La poïétique a pour objet l'étude des potentialités inscrites dans une situation donnée qui débouche sur une création nouvelle.


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► 2. La chose avant le mot et avant l’explication 2. La chose avant le mot et avant l’explication ► Traditionnellement, les connaissances étaient introduites d’Traditionnellement, les connaissances étaient introduites d’abordabord

verbalement, par leur définition et par leur justification.verbalement, par leur définition et par leur justification.► Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile d’étudier des Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile d’étudier des

dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions avant avant d’être l’objet de formulations et d’explications. d’être l’objet de formulations et d’explications.

► Créer les conditions qui provoquent chez l’élève des décisions dont Créer les conditions qui provoquent chez l’élève des décisions dont la cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à la cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à cette connaissance une existence concrète qui peut permettre cette connaissance une existence concrète qui peut permettre ensuite de l’évoquer, de la communiquer et de l’expliquer. ensuite de l’évoquer, de la communiquer et de l’expliquer.

► Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Elles sont facilitées par l’existence préalable de leur objet sous Elles sont facilitées par l’existence préalable de leur objet sous forme de faits « objectifs », de décisions et de formulations forme de faits « objectifs », de décisions et de formulations directes. directes.

► Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus historiques, ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations historiques, ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations qui donnent aux connaissances le sens finalement retenu par les qui donnent aux connaissances le sens finalement retenu par les mathématiciens. Elles avaient l’avantage d’inviter les novateurs à mathématiciens. Elles avaient l’avantage d’inviter les novateurs à éviter l’intrusion de concepts trop discursifs, accompagnés d’un éviter l’intrusion de concepts trop discursifs, accompagnés d’un vocabulaire qui ne serait pas soutenu par un usage mathématique. vocabulaire qui ne serait pas soutenu par un usage mathématique.


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► 3. La spécificité des conditions et des processus 3. La spécificité des conditions et des processus

► Les conditions d’apprentissage sont spécifiques de chaque Les conditions d’apprentissage sont spécifiques de chaque savoir: par exemple on ne savoir: par exemple on ne compte compte pas et on ne pas et on ne rangerange pas des pas des objets dans les mêmes conditions ni pour les mêmes raisons. objets dans les mêmes conditions ni pour les mêmes raisons.

► Les processus de connaissance et d’apprentissage trop Les processus de connaissance et d’apprentissage trop généraux ou trop particuliers sont finalement plus coûteux et généraux ou trop particuliers sont finalement plus coûteux et moins efficaces. La construction mathématique est par moins efficaces. La construction mathématique est par définition la seule qui soit légitimement « signifiante ». définition la seule qui soit légitimement « signifiante ».

► Par exemple, l’importance démesurée donnée dans Par exemple, l’importance démesurée donnée dans l’enseignement aux procédés rhétoriques comme la l’enseignement aux procédés rhétoriques comme la métaphore et plus précisément l’analogie n’ont finalement métaphore et plus précisément l’analogie n’ont finalement qu’une efficacité locale et passagère. Il en est de même pour qu’une efficacité locale et passagère. Il en est de même pour la décomposition formelle soi disant « rationnelle » lorsqu’elle la décomposition formelle soi disant « rationnelle » lorsqu’elle fait disparaître la logique et la fonction du concept.fait disparaître la logique et la fonction du concept.

► La question génératrice de la théorie des situations est donc La question génératrice de la théorie des situations est donc

«pourquoi les élèves donneraient-ils la réponse attendue«pourquoi les élèves donneraient-ils la réponse attendue? Ces ? Ces raisons sont-elles mathématiques? Sont-elles l’objet de raisons sont-elles mathématiques? Sont-elles l’objet de l’enseignement? Sont-elles optimales?».l’enseignement? Sont-elles optimales?».


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4.4. La centration des recherches sur les situations La centration des recherches sur les situations mathématiquesmathématiques utilisées avec les enfants présentait plusieurs utilisées avec les enfants présentait plusieurs avantages…avantages…

a) aborder directement les difficultés principales de l’enseignement a) aborder directement les difficultés principales de l’enseignement traditionnel : celui de la traditionnel : celui de la résolution des problèmesrésolution des problèmes

b) tenter de répondre à la question essentielle : b) tenter de répondre à la question essentielle : «« Est-ce que pratiquer les mathématiques en mathématicien favorise Est-ce que pratiquer les mathématiques en mathématicien favorise

vraiment leur apprentissage et leur enseignement, par rapport vraiment leur apprentissage et leur enseignement, par rapport aux méthodes classiques plus formelles et plus périphériques?aux méthodes classiques plus formelles et plus périphériques? » »

c) c) Laisser les professeurs continuer à utiliser les moyens qui leur sont Laisser les professeurs continuer à utiliser les moyens qui leur sont familiersfamiliers et qui conviennent souvent à certains objectifs et à et qui conviennent souvent à certains objectifs et à certaines conditions sans entreprendre une bataille certaines conditions sans entreprendre une bataille épistémologique générale prématurée.épistémologique générale prématurée.

Il ne s’agissait pas pour moi de promouvoir des innovations lucratives Il ne s’agissait pas pour moi de promouvoir des innovations lucratives

en disqualifiant le travail des professeurs mais d’obtenir des en disqualifiant le travail des professeurs mais d’obtenir des réponses convaincantes à des questions. Je ne prévoyais pas de réponses convaincantes à des questions. Je ne prévoyais pas de faire l’impasse sur ce que l’expérience de l’enseignement avait faire l’impasse sur ce que l’expérience de l’enseignement avait accumulé au cours des siècles, mais de le questionner accumulé au cours des siècles, mais de le questionner


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5. … Et quelques inconvénients, entre autres… 5. … Et quelques inconvénients, entre autres…

a) Il fallait admettre que le sens des concepts mathématiques variait a) Il fallait admettre que le sens des concepts mathématiques variait suivant les conditions de leur utilisation. En créant de nouvelles suivant les conditions de leur utilisation. En créant de nouvelles situations les professeurs, volontairement ou non, transforment situations les professeurs, volontairement ou non, transforment les mathématiques qu’ils enseignent. L’idée que les les mathématiques qu’ils enseignent. L’idée que les mathématiques « changent » suivant le contexte paraît mathématiques « changent » suivant le contexte paraît choquante pour les mathématiciens. Il convenait d’étudier ces choquante pour les mathématiciens. Il convenait d’étudier ces modifications pour les contrôler et pour les utiliser. Ce modifications pour les contrôler et pour les utiliser. Ce phénomène a été étudié plus tard sous le nom de phénomène a été étudié plus tard sous le nom de « « transposition didactiquetransposition didactique»»

b) L’organisation mathématique des mathématiciens n’est donc pas b) L’organisation mathématique des mathématiciens n’est donc pas nécessairement la plus adaptée à l’apprentissage. L’ampleur et nécessairement la plus adaptée à l’apprentissage. L’ampleur et la signification des écarts n’est pas analysable sans une science la signification des écarts n’est pas analysable sans une science expérimentale appropriée ayant pour objet les rapports des expérimentale appropriée ayant pour objet les rapports des sociétés humaines avec les mathématiques.sociétés humaines avec les mathématiques.

c) Ce genre de travaux n’avait pas de place dans l’organisation des c) Ce genre de travaux n’avait pas de place dans l’organisation des disciplines, ni en psychologie, ni en pédagogie. Leur disciplines, ni en psychologie, ni en pédagogie. Leur responsabilité revenait aux mathématiciens. Nous les avons responsabilité revenait aux mathématiciens. Nous les avons intitulés : « intitulés : « recherches enrecherches en ingénierie (mathématique pour la) ingénierie (mathématique pour la) didactiquedidactique


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Conclusions Conclusions ► Il s’agissait donc de chercher comment pourraient être construites Il s’agissait donc de chercher comment pourraient être construites

ces situations propres à stimuler l’activité mathématique des élèves. ces situations propres à stimuler l’activité mathématique des élèves. ► Certains se sont attachés à donner des exemples d’activités pour Certains se sont attachés à donner des exemples d’activités pour

apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprentissages officiels. apprentissages officiels.

► Il s’agissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions Il s’agissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi bons. bons.

► La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la construction de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela construction de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela je présenterai je présenterai

► 1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les 1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les plus importantes de l’enseignement commun à tous les élèves plus importantes de l’enseignement commun à tous les élèves

► 2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la 2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la théorie des situations mathématiques et à celles des situations théorie des situations mathématiques et à celles des situations didactiques didactiques

► 3. Les méthodes d’observation que nous avons utilisées pour 3. Les méthodes d’observation que nous avons utilisées pour confronter nos travaux à la contingence. confronter nos travaux à la contingence.


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► Dans l’immédiat, nous allons d’abord montrer un exemple de Dans l’immédiat, nous allons d’abord montrer un exemple de situation propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et situation propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et les études dont elle a été l’objet. (qui dira 20?)les études dont elle a été l’objet. (qui dira 20?)

► ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé mathématique, théorème ou définition, peut être interprété mathématique, théorème ou définition, peut être interprété par des par des modèles de situationsmodèles de situations..

► Nous appliquerons ces principes à la construction d’une Nous appliquerons ces principes à la construction d’une ébauche appropriée à l’étude de l’égalité. ébauche appropriée à l’étude de l’égalité.

► Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées expérimentalement et théoriquement.expérimentalement et théoriquement.

► Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » au sens populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, au sens populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, ancien ou nouveau. ancien ou nouveau.

► Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour objet de nous aider à comprendre l’enseignement des objet de nous aider à comprendre l’enseignement des mathématiques, pratiqué ou possible, et sa complexité et de mathématiques, pratiqué ou possible, et sa complexité et de faire de son étude un objet de science faire de son étude un objet de science

► Cette science commence à pouvoir prévoir certains Cette science commence à pouvoir prévoir certains phénomènesphénomènes

► Mais nous ne prétendons pas qu’elle est assez avancée pour Mais nous ne prétendons pas qu’elle est assez avancée pour nous permettre de nous aventurer à suggérer des solutions nous permettre de nous aventurer à suggérer des solutions pratiques aux problèmes que nous soulevons. pratiques aux problèmes que nous soulevons.


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Fin Fin A venir :A venir :ID2 : Étude d’une situation mathématique ID2 : Étude d’une situation mathématique ID3 : Exemples de construction de situations : la ID3 : Exemples de construction de situations : la

désignation, l’égalité, désignation, l’égalité, ID4 : le nombre naturelID4 : le nombre naturel

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ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 1 Renaissance de la Didactique des Mathématiques